Усредненные модели упругих композиционных материалов и элементов конструкций тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Глава А. ВАРИАЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ЖЕСТКОСТЕЙ НЕОДНОРОДНЫХ ПЛАСТИН И БАЛОК

1. Вариационные принципы для жестокостей неоднородной пластины

2. Вариационные принципы для жестокостей неоднородной балки

Глава В. НАПРЯЖЕННЫЕ КОМПОЗИТНЫЕ СТРУКТУРЫ. УСРЕДНЕННЫЙ ПОДХОД

1. Введение метод усреднения для напряженных композиционных материалов

1.1 Модель напряженного упругого тела

1.2 Метод усреднения в механике композитов

1.3 Метод усреднения в механике напряженных композитов 1.4. Усреднение конструкций

1).2. НАПРЯЖЕННЫЕ КОМПОЗИТНЫЕ ТВЕРДЫЕ ТЕЛА

2.1. Усреднение в теории упругости композитов с начальными напряжениями

2.2. Слоистые тела с начальными напряжениями

2.3. Усреднение упругих конструкций с начальными напряжениями

2.4 Усредненные характеристики напряженных композитов и конструкций В.З. НАПРЯЖЕННЫЕ КОМПОЗИТНЫЕ ПЛАСТИНКИ И МЕМБРАНЫ

3.1. Напряженная пластина (2-0 модель)

3.2. Напряженная пластина (3-0 модель, начальные напряжения в плоскости)

3.3. Напряженная пластина (3-0 модель, моменты начальных напряжений).

3.4. Напряженная пластина (3-0 модель, начальные усилия сравнимые с упругими постоянными материала пластины)

3.5. Мембрана (2-0 модель)

3.6. Мембрана (3-0 модель)

3.7. Напряженная пластина с системой контактов (3-0 модель)

В.4. НАПРЯЖЕННЫЕ КОМПОЗИТНЫЕ СТЕРЖНИ, БАЛКИ И СТРУНЫ

4.1. Напряженная балка (2-0 модель)

4.2. Напряженная балка (3-0 модель, осевые начальные напряжения)

4.3. Напряженная балка (3-0 модель, моменты начальных напряжений).

4.4. Струна (1-0 модель)

4.5. Струна (3-0 модель)

4.6. Напряженная балка с системой контактов (3-0 модель).

Глава С. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ УСРЕДНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

1. Усреднение в задаче термоупругости для балки периодической структуры

2.Усреднение в задаче термоупругости для пластины периодической структуры

3. Усредненная модель для пластины с актуаторами 4 Усредненная модель для балки с актуаторами

5. Применение метода усреднения для расчета стержневых конструкций типа пластин и балок

Глава О. ПРОЕКТИРОВАНИЕ СЛОИСТЫХ И ВОЛОКНИСТЫХ

КОМПОЗИТОВ С ЗАДАННЫМИ ХАРАКТЕРИТИКАМИ БЛ. ПРОЕКТИРОВАНИЕ СЛОИСТЫХ КОМПОЗИТОВ С ЗАДАННЫМИ ХАРАКТЕРИТИКАМИ

1.1. Задача проектирования для слоистых композитов с заданным набором усредненных характеристик

1.1. Усредненные характеристики

1.2. Некоторые формулы для вычисления усредненных характеристик

1.3. Усредненный критерий прочности

1.4. Задача проектирования

1.5. Условие разрешимости

1.6. Задача проектирования с учетом прочности

1.7. Задача проектирования наиболее прочного композита

1.8. Метод решения ЗВК в общем случае

Б.2. ПРОЕКТИРОВАНИЕ СЛОИСТЫХ КОМПОЗИТОВ С УЧЕТОМ ТЕРМОУПРУГИХ СВОЙСТВ

2.1 .Усредненные характеристики

2.2. Формулы для вычисления усредненных характеристик

2.3. Возможные значения усредненных характеристик

2.4. Усредненный критерий прочности для термоупругой задачи

2.5. Задача проектирования

2.6.Случай у^сопб! аз. ПРОЕКТИРОВАНИЕ ВОЛОКНИСТЫХ КОМПОЗИТОВ с ЗАДАННЫМИ УСРЕДНЕННЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

Усредненные характеристики

3.2. Усредненный критерий прочности

3.3. Задача проектирования композита с заданными усредненными упругими характеристиками

3.4. Задача проектирования с учетом локальной прочности

3.5. Метод решения ЗВК

3.6. Проектирование с учетом прочности связующего

3.7.Примеры

Основы асимптотической теории усреднения были заложены в работах Дюво (1979), Babuska (1976), Sanchez-Palencia (1980), Marino и Spagnolo (1969), Tartar (1977), Bensoussan et a/.(1983), Бахвалов и Панасенко (1989). Доказательство возможности замены рассмотрения композиционных материалов однородными - усреднение, было одном из основных результатов математической теории усреднения.

При рассмотрении композитов возникают две задачи:

1. Первая - описать композит как единый материал (ясно, что он исходно не таков). Это - описание на макроуровне (собственно задача усреднения)

2. Вторая - описать начальные напряжения в фиктивном материале. Это -задача описания на микроуровне. Она также относится к задачам усреднения, так как целью является выразить локальные напряжения через усредненные величины.

Представляется, что решение задач, а попытки их решения предпринимались неоднократно, найдено в методе усреднения. Этот хорошо обоснованный (часто - на математическом уровне строгости) метод адекватен задаче и вопросам, задаваемым по отношению к композитам регулярного строения. Метод также прозрачен с механической точки зрения, и многое математическое выкладки метода имеют механическую интерпретацию.

Отметим что для композитов, особенно для композиционных балок и пластин и пористых материалов, разница между композиционным материалом и многоэлементной конструкцией теряется. Например, решетчатая балка может быть рассмотрена как балка, сделанная из некоторого однородного материала. Применение асимптотического метода усреднения дает возможность рассмотреть "композиционный материал" и "композиционную конструкцию" исходя из традиционных подходов. В этой связи не будем делать различия между "композиционным материалом" if w и и и композиционнои конструкцией .

В практике выделяют несколько основных типов конструкционных элементов: (а) твердые тела и пространственные конструкции, (Ь) пластины и мембраны, (с) балки, стержни, и струны. В настоящее время методы усреднения известны для всех типов конструкционных элементов.

Задача предсказания усредненных характеристики композита исходя из характеристик его компонентов рассматривается как прямая задача (задача расчета композита). Обратная к ней задача формулируется в виде: управляя микроструктурой композита создать материала с заданными усредненными характеристиками. При этом оказывается, что технология композиционных материалов является не только одним из возможных путей создания материалов с заданными свойствами, но в значительной мере и исчерпывает возможные пути создания новых материалов на механическом (не молекулярном) уровне.

На основе метода усреднения были разработаны прикладные и инженерные методы для исследования композиционных материалов и конструкций, которым, в значительной мере и посвящена данная работа (см. Аннин, Каламкаров, Колпаков, Партон (1993), Kalamkarov и Kolpakov (1977)).

Дадим краткий обзор теоретических работ, посвященных композиционным материалам.

Обзор следует начать с феноменологической модели. Из бытовой и инженерной практики известно, что материалы, сделанные из разных компонентов (бетон, дерево, армированные пластики, и т.п.), и различные неоднородные конструкционные элементы (перфорированные и сетчатые пластины, решетки и т.п.) могут рассматриваться как однородные и их технические постоянные можно измерять как постоянные однородных материалов. Для этого характеристики материалов определяются на образце большом в сравнении типичным размером компонентов. Это -подход в рамках феноменологической модели композита, см. например, Christensen (1991), Композиционные материалы. Т. 1-7 (1974-78), Работнов (1965.1979), Jones (1975). Выписав задачу теории упругости для напряженного тела с этими постоянными и начальными напряжениями, определенными из решения задачи теории упругости, получаем модель напряженного композиционного тела. Феноменологические модели не учитывают явно неоднородность структуры. В то же время неоднородность структуры играет определяющую роль в механике композитов. Прежде всего, это касается прочности.

Другой широко используемый подход можно назвать методом гипотез. Модели в этом случае основаны на введении a priori предположений о напряженно-деформированном состоянии компонентов композита. Модели этого типа учитывают неоднородность композита. Успешное применение аналогичных подходов (например, классические гипотезы Kirchhoff-Love или Тимошенко и Войновский-Кригер) - весомый довод в пользу метода гипотез. Комбинация механической наглядности с возможностью экспериментальной проверки гипотез служит основой для ряда широко применяемых моделей и методов инженерного расчета композиционных материалов и конструкций. В то же время, отрицательная сторона метода тоже хорошо известна. Автору модели следует угадать неизвестную информацию, что не всегда удается. Метод гипотез широко использовался в расчетах композиционных пластин и балок (см. [Sendeckyj (1974), Chou (1989), Пшеничнов (1982), Болотин, Новичков (1980)) и при моделировании композитов (см. например Коппьев, Овчинский (1977), Соколкин, Ташкинов. (1994), Полилов (1975), Уржумцев (1972), Огибалов, Суворова (1965)). На основе комбинирования краевых задач, статистических методов и разного рода гипотез был предложен ряд методов для расчета усредненных характеристик композитов (см. Болотин, Москаленко (1968), Ломакин (1965), Шермергор (1977), Новожилов (1970), Васильев (1988))

Плоские структуры периодического строения были исследованы методами теории функции комплексных переменных (Ван Фо Фы (1971), Григолюк, Филыптинский (1970)).

В 1970-80 годах был разработан и применен к анализу композитов метод усреднения. Применение метода усреднения дало много результатов как теоретического, так и практического значения. Основные направления этого метода представлены в работах [Bensoussan et al. (1978), Лионе (1978), Иосифьян, Олейник, Панасенко (1982,1983), Sanchez-Palencia (1980), Tartar (1977), Бахвалов и Панасенко (1989), Панасенко, Резцов (1987)), см. также [Победря (1984), Олейник, Иосифьян, Шамаев (1990)] . В указанных книгах и статьях содержится обширная библиография.

Рассматриваемые в диссертации вопросы - усреднение упругих композиционных материалов и конструкций является традиционным для теории усреднения. В то же время ряд практически важных вопросов оставался не затронутым в предыдущих исследованиях.

В главе А рассмотрены вариационные принципы для усредненных жесткостей неоднородных пластин и балок. Получены вариационные принципы и аналоги оценок Фойгхта-Рейса-Хилла для жесткостей пластин и балок). Вариационные принципы всегда были тесно связаны с теорией усреднения (см. например Bruno (1991)), но аналогичных исследований ранее предпринималось только для жесткостей трехмерных тел (Reuss (1929),Voigt (1899), Willis J.R. (1977,1981), Hashin, Shtrikman (1963), Francofort, Murat (1986), Milton, Kohn (1988), Бердичевский (1975,1977)), а не пластинок и балок.

В главе В произведен вывод уравнений напряженных композиционных тел и конструкций из трехмерной задачи теории упругости для напряженного тела. Получены все основные модели теории упругости (композиционное тело, пластина, мембрана, балка) для неоднородных структур. Для неоднородных структур многие классические понятия, на которых базируется теория напряженных структур (нейтральные оси и поверхности, поперечные сечения и моменты и усилия в них) оказываются не связанными с какими то механическими реалиями. При анализе задач выяснилось, что место дополнительных усилий (возникающих при анализе деформации напряженного тела) занимает понижение симметрии локальных определяющих соотношений для напряженного упругого тела. Для однородных структур имеется полное согласие с классическими моделями. Тела с начальными напряжениями рассматривались многими авторами (см. библиографию в [Гузь 1986]. Что касается напряженных композитов, результаты в данной области ограничиваются исследованиями Гузя (1986,1975), посвященными волокнистым и слоистым композитам, причем основные результаты получены для слоистых композитов. Замечания Гузя (1986,1975) о (в современных терминах) о том, что усредненная задача не является задачей теории упругости, в общем случае не могут быть ни опровергнуты, ни подтверждены. В общем случае усредненная задача не является задачей теории упругости. В случае если напряжения имеют нулевое среднее - является. Прогресс в исследовании задачи и более полном ее исследовании связан как раз с применением метода усреднения. Сказанное относится к трехмерным напряженным композитам. Результаты, касающиеся вывода моделей напряженных пластин, мембран, балок и струн из трехмерных уравнений теории упругости неоднородного тела не имеют аналогов.

В первых четырех разделах главы С рассматриваются задачи пластин и балок, характеризующиеся "сильными" изгибами. Такие изгибы возникают, например, в термоупругой задаче (неоднородная пластинка может "скрутиться в трубочку"). Аналогичные эффекты возникают и при рассмотрении тел с актуаторами (силовыми элементами). Усреднение задач проведено на основе введения нового члена (позволяющего учесть "сильные" изгибы) в традиционные разложения. Последний раздел посвящен формулировке задачи усреднения балок и пластин в терминах теории сопротивления материалов. Такая формулировка не всегда возможна, но для тех случаев, где она возможна, представляется весьма удобной для проведения расчетов.

Глава D содержит полное решение задач проектирования слоистых и высокомодульных волокнистых композитов с заданными деформационно прочностными характеристиками. Эта задача традиционно привлекала внимание, как механиков, так и математиков (см. Gurdal, Haftka, Hajela (1999), Образцов, Васильев, Бунаков (1977)) и, несмотря на это, не имела решения. Больший прогресс был достигнут в решении задач оптимального проектирования. Основой решения задач проектирования, помимо асимптотического метода, послужило решение так называемой задачи о выпуклых комбинациях, связанной с задачами неотрицательных решений систем линейных уравнений (Черников 1968 ) и вычислительной геометрией (Preparata, Shamos. (1985)).

Материал изложен с разной степень подробности. Подробное изложение произведено в частях А и В, содержащих результаты, опубликованные только в периодических изданиях. В остальных частях изложены основные результаты и некоторые иллюстрирующие примеры. Это связано с наличием монографий (Аннин, Алехин, Колпаков (1988), Новосибирск, Инт гидродинамики СО АН СССР; Аннин, Каламкаров, Колпаков, Партон (1993), Новосибирск, Наука; Kalamkarov, Kolpakov (1997) Wiley, Chichester, New York), освещающих эти вопросы в деталях. f "

I

Представленные результаты обоснованы на различных уровнях строгости. Результаты, представленные в частях А (вариационные принципы) и D (задачи проектирования), имеют полное математическое обоснование. Результаты, представленные в частях В и С, получены на основе использования формальных асимптотических разложений. Применение этих разложений показывает высокую достоверность получаемых на их основе результатов (многие разложения имеют математическое обоснование). Для однородных тел полученные в данной работе результаты полностью согласуются с известными решениями.

Публикации по теме диссертации

Полученные автором результаты изложены в трех монографиях

1. В.В. Алехин, Б.Д. Аннин, А.Г.Колпаков Синтез слоистых материалов и конструкций. Новосибирск. Ин-т гидродинамики СО АН СССР. 1988.

2. Б.Д. Аннин, A.JL Каламкаров, А.Г.Колпаков, В.З.Партон Расчет и проектирование композиционных материалов и элементов конструкций. Новосибирск. ВО "Наука", 1993.

3. A.L. Kalamkarov, A.G.Kolpakov Analysis, design and optimization of composite structures. John Wiley&Sons, Chichester, New York, Weinheim, Brisbane, Singapore, Toronto, 1997.

И более чем 60 статьях (см. список статей автора в разделе «Литература») и трудах конференций

Результаты, представленные в диссертации, докладывались, в частности, на следующих конференциях:

Пятый Всесоюзный, съезд по теор. и прикл. механике. Алма-Ата 1981. Шестой Всесоюзный съезд по теор. и прикл. механике. Ташкент 1986. Шести национален конгресс по теоретична и приложна механика. Варна. 1989

Second World Congress on computational mechanics. 1990. Stuttgart, FRG. 13th World Congress on Numerical и Applied Mathematics. 1991,Dublin, Ireland.

IUTAM Symp on Theor. And Numerical Methods in Continuum Mech. Porous Materials, Stuttgart, Germany, 1999

Second World Congress of Structural and Multidisciplinary Optimization. Zakopane, Poland. 1997. 3

The third European Conf Numerical Mathematics and Advanced Application. Jyvaskyla, Finland, 1999.

Conf. European Chapter on Combinatotial Optimization. 2001. Bonn. Germany First SIAM-EMS Conference "Applied Mathematics in our changing world". Berlin. 2001. Germany jt

A. ВАРИАЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ЖЕСТКОСТЕЙ НЕОДНОРОДНЫХ ПЛАСТИН И БАЛОК

Здесь вариационные принципы и двусторонние оценками для неоднородных пластин и балок периодической структуры получены на основе асимптотического метода и анализа функционалов Лагранжа и Кастильяно для функционалов ЯЗ. Неоднородность пластинок и балок может возникнуть как результат неоднородности материала или геометрии. Для монолитных тел возможен только первый случай.

Известно [см. Bensoussan, Lions, Papanicolaou,1978], что сильнонеоднородное тело можно рассматривать как однородное, если размер неоднородностей мал. Это однородное (называемое усредненным) тело описывается усредненными определяющими уравнениями.

Усредненные постоянные связаны с микроскопическими вариационными принципами. Для усредненных постоянных монолитных тел вариационные принципы выводились многими авторами [см. Sendeckyj (1974), и Nemat-Naser, Hori (1993)]. Вариационные принципы позволяют получать оценки эффективных (усредненных) жесткостей. Некоторые хорошо известные оценки представлены в [Francfort, Murât. (1986); Milton (1990); Milton, Kohn (1968); Nemat-Naser, Hori (1993); Willis (1977,1981)].

Вариационные принципы и оценки следует выводить из трехмерной задачи теории упругости без добавочных гипотез. С этой целью сначала надо связать задачу теории пластин или балок с трехмерной задачей теории упругости в области малой толщины или малого диаметра. Эта связь осуществляется путем использования результатов асимптотических теорий, связывающих трехмерную задачу теории упругости в областях малой толщины или малого диаметра с одномерными и двумерными предельными задачами.

Одним из результатов проведенного анализа является получение аналога «вилки Хилла» (или оценок типа оценок Фойгхта и Рейса) для жесткостей неоднородных балок и пластинок. Вариационные принципы могут быть использованы как для получения оценок, так и для численного вычисления жесткостей.

1. Партон Расчет и проектирование композиционных материалов и элементов конструкций Новосибирск. ВО "Наука", 1993 3. A.L. Kaiamkarov, A.G.Kolpakov Analysis, design and optimization of composite structures John Wiley&Sons, Chichester, New York, Weinheim, Brisbane, Singapore, Toronto, 1

2. Статьи 1. А.Г.Колпаков Эффективные термоупругие характеристики неоднородного материала Динамика сплошной среды Вып.

3. Comput. Mechanics Publ. Southampton, Boston, Springer-Verlag.. 21. А.Г.Колпаков Проектирование слоистых пластинок с заданными деформационно-прочностными характеристиками Проблемы прочности. 1990, N 2

4. Stuttgart, FRG. Extended Abstracts of Lectutes. 23. Б. Д. Аннин, А.Г.Колпаков Проектирование слоистых и волокнистых композитов с заданными характеристиками ПМТФ. 1990, N 2. 24. В. D. Annin, A.L.Kalamkarov, A.G.Kolpakov Analysis of local stresses in high modulus fiber composites Localized Damage Computer-Aided Assessment and Control. V.2. 1

5. Comput. Mechanics Publ. Southampton.. 25. А.Г.Колпаков К вычислению характеристик тонких упругих стержней периодического строения ПММ, 1991. т.55,3. 26. A.G.Kolpakov, I.G. Kolpakova Convex combinations problem and its application for problem of design of laminated composite materials IMACS91, 13th World Congress on Computational and Applied Mathematics. 1

6. Анциферов В.Н., Сиротенко Л.Д., Ханов A.M., Яковлев И.В. Композиционные материалы и конструкции на основе титана и его соединений. Ин-т гидродинамики СО АН СССР. 2001

7. Бахвалов Н.С. Панасенко Г.П. (1984) Усреднение процессов в периодических средах./М Наука.

8. Бердичевский В.Л. Пространственное осреднение периодических структур Доклады АН СССР. 1975. 222. 3.

9. Бердичевский В.Л. Об осреднении периодических структур. ПММ. 1975. 6.

10. Берлянд Л.В. Усреднение уравнений теории упругости в области с мелкозернистой границей Терия функций, функциональный анализ и приложения. Харьков, 4.1. 1983. Т.39. 16-25; 4.2. Т.40. 16-23.

11. Болотин В.В., Москаленко В.Н. Задача об определении упругих постоянных неоднородной среды ПМТФ. 1968, N1.

12. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. М. Машиностроение. 1980.

13. Васидзу К. (1982) Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М Наука. 9. Ван Фо Фы Г.А. Конструкции из амированных пластиков Киев, Техника. 1971. 10. Ван Фо Фы Г.А. Теория амированных материалов Киев, Наукова думка. 1971. П.Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов. М. Машиностроение. 1988.

14. Григолюк Э.И., Фильштинский Л.А. Перфорированные пластины и оболочки. М. Наука. 1970.

15. Гузь А.Н. К теории композитных элементов с начальными напряжениями. Сб. Механика деформируемых тел и конструкций. М. Машиностроение. 1975.

16. Гузь А.Н. Об определении приведенных упругих постоянных композитных слоистых материалов с начальными напряжениями Доклады АН УСССР. Сер.А.. 3,216-219.

17. Гузь А.Н. Упругие волны в телах с начальными напряжениями. Киев. Наукова думка. 1986.

18. Дюво Ж. Функциональный анализ и механика сплошной среды. Приложения к описанию композиционных материалов с периодической структурой гомогенизации В кн. Теоретическая и прикладная механика. М. Мир. 1979.

19. Иосифьян Г.А., Олейник О.А., Панасенко Г.П. Асимпоточеское разложение решения системы терии упругости с периодическими быстро осциллирующими коэффициентами //Доклады АН СССР. 1982. 622. 2. 18-22.

20. Иосифьян Г.А., Олейник О.А., Панасенко Г.П. Асимпоточеское разложение решения системы терии упругости с перфорированных областях Матем. сборник. 1983. 120(162). 1.22-41.

21. Каламкаров А.Л. Задача термоупругости для конструктивно неоднородных оболочек регулярной структуры ПМТФ. N6. (1989)

22. Композиционные материалы. Т. 1-7. Ред. Л.Браутман, Р.Крок. М,: Мир, Машиностроение. 1974-1978.

23. Коппьев И.М., Овчинский А.С. Разрушение металлов, армированных волокнами. М. Наука. 1977.

24. Лионе Ж-Л. Замечания по некоторым вычислительным аспектам метода гомогенизации в композитных материалах. Вычисл. методы в матем., геофиз. и оптимальном управлении. Новосибирск: Наука, 1978.

25. Ломакин В.А. О деформировании микронеоднородных упругих тел ПММ.1965. 29.

26. Новожилов В.В. О связи между математическими ожиданиями тензоров напряжений и деформаций в статистически изотропнях упругих телах ПММ. 1970,34,1.

27. Образцов И.Ф., Васильев В.В., Бунаков В.А. Оптимальное проектирование оболочек вращения из композиционных материалов. М. Машиностроение. 1977

28. Огибалов П.М., Суворова Ю.В. Механика армированных пластиков. М. МГУ. 1965.

29. Олейник О.А., Иосифьян Г.А., Шамаев А.С. Математические задачи теории теории сильно неоднородных упругих сред. М МГУ 1990.

30. Панасенко Г.П. Принцип расщепления осредненного оператора для нелинейной системы уравнений в периодических и слзгчайных каркасных конструкциях Доклады АН СССР. 1982. 623. 1. 35-40.

31. Панасенко Г.П. Осреднение полей в композиционных материалах с высокомодульной арматурой Вестник МГУ. Сер. Вычислит. Матем. И кибернетика. 1983. 2. 20-27.

32. Панасенко Г.П. Резцов М.В. (1987) Усреднение трехмерной задачи теории упругости для неоднородной пластины ДАН СССР, 294, 1061-1065.

33. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М МГУ 1984.

34. Полилов А.Н. Продольная трещина в однонаправленном композите. Известия АН СССР. МТТ. 1975. N5.

35. Прикладная механика композитов. Сборник статей. М. Мир. 1989.

36. Пшеничнов Г.И. (1982) Теория тонких упругих сетчатых оболочек и пластинок. М Наука. 1982

37. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого тврдого тела. М.:Наука. 1979.

38. Работнов Ю.Н. Механика твердых тел и композиционных материалов. Вестник АН СССР. 1965. 3

39. Работнов Ю.Н. Механика композитов. Вестник АН СССР. 1979. 5

40. Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. М. Мир.1964.

41. Соколкин Ю.В., Ташкинов А.А. Механика дефрмирования и разрушения структурно-неоднородных сред. М. Наука. 1994.

42. Тимошенко П., Войновский-Кригер К. К. (1959) Теория пластин и оболочек. М, ГИФМЛ

43. Тимошенко П., Гудиер Д. (1970) Теория упругости. М.

44. Тканные композиционные материалы. М:Мир.1991.

45. Фудзи Т., Дзако М. Механика разрушения композиционных материалов. М:Мир. 1982. 44. Хог К., Чой К., Комков В. Анализ чувствительности при проектировании конструкций. М.:Мир.1988.

46. Черников Н. Линейные неравенства. М:Наука. 1968

47. Уржумцев Ю.С. Прогностика деформативности процессов разрушения полимерных материалов. Мех. полимеров. 1972 N2.

48. Шермергор Г.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. М. Наука. 1977.

49. Babushka, I (1976) Solution interface problem by homogenization Parts I,II. SIAM J Math. Anal. 7, 603-645.

50. Bakhvalov N,S., Panasenko G.P. (1989) Homogenization: Averaging processes in periodic media. Kluwer. Dordrecht.

51. Bensoussan, A., Lions, J.-L., Papanicolaou, G. (1978) Asymptotic analysis for periodic structures. North Holland Publ.Comp., Amsterdam. Sl.Bendsoe M.P. (1995) Optimization of structural topology, shape and material. Springer-Verlag. Heidelberg.

52. Boccardo, L., Marcellini,P (1976) Sulla convergenza della soluzioni di disequazioni variazionali Ann. Mat. Рига Appl. 110. 137-159.

53. Bruno 0. The effective conductivity of strongly heterogeneous composites Proc. Royal Soc. London A, pp. 353-381 (1991).

54. Caillerie, D. (1984) Thin elastic and periodic plates Math. Meth. Appl. Sci 6, 159-191.

55. Caillerie, D. (1982) Plaques elastiques minces a structute periodique de periode et depaisseur comparable//C.R.Acad.Sci., Ser.2,294(3), 159-162.

56. Cellular metals and metall foaming technology Banhart. Ashby, Fleck. Eds. Verlag-MIT Press. 2001

57. Ciarlet, P.G., Destuyner, P. (1979) A justification of two-dimensional linear plate model J de Mecanique. 18, 315-344.

58. Cioranescu, D., Saint Jean Paulin, J. (1979) Homogenization in open sets with holes J Math.Anal.Appl. 71, 590-607.

59. Christensen, R.M. (1991) Mechanics of composite materials. Krieger, Malabar.

60. Duvaut, G., Lions J-L. (1976) Inequalities in mechanics и physics. Springer-Verlag. Berlin, New York.

61. Duvaut, G. (1976) Analyse fonctionelle et mechanique des mulieux continus. Proc. 14th lUTAM Congress. Delft. Amsterdam. 119-132.

62. Ekeland I., Temam R. (1976) Convex analysis and variational problems. NorthHolland Publ.Comp. 63. Ene H.I. On linear thermoelasticity of composite materials Intern. J.Eng.Sci. 1983, V.21.N5. P.443-448.

63. Fichera, G. (1972) Existence theorems in elasticity. Springer-Verlag. Berlin, New York.

64. Fiery F., Pasa G., Polisevshi D (1979) Homgeneisation de софз composites sous Taction de force de grande frequence spatial C.R.Acad.Sci.Paris. 289.

65. Gajewski, H., Groger, K., Zacharias, K. (1974) Nichtlineare operatorleichngen und operatordifferential-gleichungen. Academic-Verlag. Berlin.

66. Gibson L.J., Ashby M.F. Cellular solids: structures and properties. Cambrige. Cambrige University Press. 1997.

67. Gurdal Z., Haftka R.T., Hajela P. (1999) Design and optimization of laminated composite materials. John Wiley&Sons, Chichester, New York, Weinheim, Singapore, Toronto.

68. Hashin Z, Shtrikman S A variational approach to the theory of the elastic behaviour of multiphase materials J Mechanics and Physiscs f Solids. 1963, V.l 1

69. Hashin Z. Elastic moduli of heterogeneous materials Transactions of the ASME. J. ofAppl.Mechanics. 1962.29,1.

70. Hrennikoff A. Solution of problem of elasticity by the framework method J.Appl.Mech. Dec.1941. A-169-A-175.

71. Jones R.M. Mechanics of composite materials. New York. McGraw-Hill. 1975.

72. Lions, J-L. (1980) Asymptotic expansion in perforated media with periodic structure Rocky Mountain J Math. 10,125-144.

73. Lions, J-L., Magenes, E. (1972) Non-homogeneous boundary value problems and applications. Springer-Verlag. Berlin, New York.

74. Marcellini, P. (1973) Su una convergenza di funzioni convesse BuU.Unione Mat.Ital. 8(1),

75. Marcellini, P. (1975) Un teorema di passagio de limite per la somma di convesse BuU.Unione Mat.Ital. 4,107-124.

76. Marino, A., Spagnolo, S. (1969) Un tipo di appromizioni dell operatore DijDj(Dij(x)Dj) con operatori SjDj(PDj). Ann. ScuolaNorm. Sup. Pisa. 23.

77. Mignot, F., Puel, J-P., Suquet, P-M. (1980) Homogenization and bifurcation of perforated plate Int. J Engng. Sci. 18.409-414.

78. Mihon G.W. (1990) On characterizign the set of possible effective tensors for composite: the variational method и translation method Comm. on Pure и Appl.Math. V.43.

79. Milton G.W., Kohn R. (1988) Variational bounds on the effective moduli of anisotropic composites J.Mechanics and Physics of Solids. V.36.

80. Nemat-Naser, S., Hori, M. (1993) Micromechanics: overall properties of heterogeneous materials. Elsevier, Amsterdam.

81. Noor A.K. Continuum modeling for repeative lattice structures Appl.Mechanics Reviews. 1988. V.41. N7. Pp.285-296.

82. Oleinik, O.A., losifian, G.A., Shamaev, A.S. (1990) Mathematical problems of theory of non-homogeneous media. Cluwer.

83. Preparata F.P, Shamos M.I. (1985) Computational geometry: An introduction. Springer. New York.

84. Reuss A. (1929) Berechnung der fliessgrenze von mischkristallen auf crund der platiztatsbedingung fur einkristalle ZAMM. V.9. 49.

85. Sanchez-Palencia, E. (1980) Non-homogeneous media и vibration theory. Lect. Notes in Physics.

87. Spagnolo, S. (1967) Sul limite delle soluzioni di equazioni paraboliche et elittiche Ann. ScuolaNorm. Sup. Pisa. 22. 577-597.

88. Tollenaere H., Caillerie D. Continuous modelling of latice structures by homogenization Civil-Comp News. N28, June 1995.

89. Voigt W. (1899) Uder die beziehungzwischen den deiden elasizitatkonstanten isotropen кофег. Wied.Ann. V.38.

90. Wasidzu K. (1982) Variational methods in the theory of elasticity и plasticity. Pergamon Press.

91. Willis J.R. (1977) Bounds и self-consistent estimates for overall properties of anisotropic composites J.Mech.Phys.Solids. V.21.

92. Willis J.R. (1981) Variational и related methods for the overall properties of anisotropic composites Appl.Mech.Rev. V.21.