Вязкоупругопластическое деформирование осесимметричных тел при динамическом нагружении тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Орлов Дмитрий Альбертович

ВЯЗКОУПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ТЕЛ ПРИ ДИНАМИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ

Специальность 01.02.04 — Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Тула 2006

Работа выполнена на кафедре математического моделирования в ГОУ ВПО «Тульский государственный университет».

Научный руководитель — доктор физико-математических наук,

профессор Маркин Алексей Александрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Матченко Николай Михайлович

доктор физико-математических наук, профессор Спорыхин Анатолий Николаевич

Ведущая организация - ФГУП «ГНПП «Сплав»

Защита диссертации состоится 3 июля 2006 г. в /О-00на заседании диссертационного совета Д 212.271.02 при ГОУ ВПО «Тульский государственный университет» по адресу: 300600, г. Тула, пр. Ленина, 92, учебный корпус № 12, аудитория 309.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Тульский государственный университет».

Автореферат разослан « ( » 2006 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

Л.А.Толоконников

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Использование вязкоэластичных материалов в различных отраслях техники поставило перед специалистами в области прочности конструкций сложные задачи, связанные с определением законов, позволяющих выражать напряжения через деформации при различных видах нагружения и при разгрузке. К таким материалам относятся, прежде всего, полимеры (например, твердые ракетные топлива, композиционные материалы, асфальтобетон). Экспериментально установлено, что поведение таких материалов существенно отличается от линейно упругого, для них в большинстве случаев характерна нелинейная связь напряжений и деформаций, а нередко и разномодульность, вызванная наличием в материале жестких включений. Подробное описание свойств таких материалов приведено в монографии под редакцией В.В. Мошева. Анализ экспериментов с наполненными полимерными материалами дан в работах В.Э. Апетьяна и Д.Л. Быкова.

На сегодняшний день исследование процессов вязкоупругого и вязкоупругопластического деформирования твердых тел является одним из важных направлений развития механики деформируемого твердого тела. Этому вопросу посвящены монографии П. Пэжины, В.В. Москвитина, В.Н. Кукуджанова, A.A. Ильюшина и Б.Е. Победри. Он также рассматривается в монографиях

A.Ю. Ишлинского и Д.Д. Ивлева, А.Н. Спорыхина, Л.А. Толоконникова, АГ. Горшкова, Э.И. Старовойтова и Д.В. Тарлаковского.

Построению определяющих соотношений для задач вязкоупругопластичности при больших деформациях посвящены работы A.A. Маркина и A.B. Коновалова, при малых деформациях - С.А. Корнеева, Ю.Г. Басалова и В.Н. Кузнецова. Распространение волн в упруговязкопластических средах рассматривается в работах

B.Н. Кукуджанова и В.Л. Баранова, динамике вязкоупругих сред посвящены работы В.И. Желткова и А.И. Андреева. Подходы к описанию разносопротивляющихся сред предложены в работах Л.А. Толоконникова, Н.М. Матченко, A.A. Трещева.

Математическое моделирование процессов вязкоупругопластического деформирования физически нелинейных сред является одним из наиболее актуальных направлений современной механики, что подтверждается ростом числа публикаций по данной тематике как в России, так и за рубежом.

Цель работы. Постановка и решение задачи о деформировании осесимметричного твердого тела, обладающего вязкоупругими и пластическими свойствами, при динамическом воздействии газовой среды.

Научная новизна работы.

1. Построено экспериментально конкретизируемое дифференциально линейное тензорное соотношение, связывающее непосредственно процессы нагружения и деформирования, отражающее пластические и вязкоупругие свойства материала.

2. Разработана методика численного решения задач вязкоупругопластического деформирования твердых тел с использованием предложенных соотношений связи напряжений и деформаций.

Объект исследования. Объектом исследования является осесимметричное деформируемое твердое тело, обладающее вязкоупругими и пластическими свойствами.

Методы исследования, использовавшиеся в работе:

- теоретический анализ процессов вязкоупругопластического деформирования с использованием основных положений механики деформируемого твердого тела;

— математическое моделирование, конечно-элементный анализ, метод крупных частиц.

Теоретические результаты. Построено дифференциально линейное соотношение, связывающее непосредственно процессы нагружения и деформирования и отражающее обратимые (упругие), необратимые равновесные (пластические) и необратимые неравновесные (вязкие) свойства материала. На основе предложенного определяющего соотношения дана постановка задачи о вязкоупругопластическом деформировании твердых тел при динамическом воздействии газовой среды.

Практическая значимость работы. Предложенная постановка задачи о вязкоупругопластическом деформировании твердых тел, предложенный метод численного решения уравнений математической модели и программные средства для его реализации могут использоваться для расчета на прочность изделий из полимерных материалов, в частности, зарядов твердого топлива, а также в учебном процессе по дисциплинам «Механика сплошной среды», «Теория пластичности», «Методы вычислений».

Работа выполнялась в рамках гранта для поддержки научно-исследовательской работы аспирантов высших учебных заведений Минобразования России «Механика процесса взаимодействия газа и твердого тела для случая малых деформаций» (шифр АОЗ - 2.10 - 277).

Апробация работы. Основные положения и результаты работы доложены на Всероссийской научно-техническая конференции «Наука — производство -технологии - экология» (Киров, 2004 г.), Второй Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2005 г.), Международной конференции «Dynamical systems modelling and stability investigation» (Киев, 2005 г.), Международной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики», посвященной 85-летию со дня рождения профессора С.Б. Стечкина и 75-летию ТулГУ (Тула, 2005 г.), научном семинаре по механике деформируемого твердого тела им. Л.А.Толоконникова (научный руководитель - A.A. Маркин, г. Тула, 2006 г.),

Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечиваются строгостью использованных математических методов и совпадением результатов исследований в частных случаях с известными результатами других авторов.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованных источников. Объем диссертации - 124 страницы. Работа содержит 93 рисунка, 0 таблиц и список использованных источников из 101 наименования.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы работы, сформулирована ее цель, приведен обзор литературы по рассматриваемой проблеме, изложены краткое содержание и основные результаты работы.

В первой главе приводятся и анализируются предложенные различными авторами соотношения связи напряжений и деформаций для задач упругопластичности, вязкоупругости и вязкоупругопластичности.

Рассматривается соотношение, представляющее собой линейную комбинацию напряжений и деформаций:

СГ + С!& + с2£ + с3£ + с4 =0, (1)

и его частные случаи, предложенные Ф.Н. Шведовым, Б.П. Вейнбергом, Е. Бингамом, A.A. Ильюшиным, Д.К. Максвеллом, В. Прагером, А.Ю. Ишлинским; приводятся соотношения теории малых упругопластических деформаций, разработанной A.A. Ильюшиным и его учениками, интегральные соотношения линейной теории вязкоупругости, интегральное соотношение связи напряжений и деформаций для задач вязкоупругопластчности, предложенное А.Г. Горшковым, Э.И. Старовойтовым и Д-В. Тарлаковским, соотношения теории вязкоупругопластичности П. Пэжины, о пределяющие соотношения для описания вязкоупругопластических процессов, основанные на концепции «перманентной памяти», предложенные Ю.Г. Басаловым и В.Н. Кузнецовым, соотношения, предложенные В.Н. Кукуджановым, A.B. Коноваловым. Также рассматривается предложенный С.А. Корнеевым термомеханический метод моделирования

вязкоупругопластических сред при малых деформациях.

Во второй главе на основе идеализированной механической модели строится соотношение связи напряжений и деформаций для одномерных задач, на его основе предлагается соотношение связи тензоров напряжений и деформаций. Для случая процессов простого деформирования получено соотношение модулей девиаторов напряжений и деформаций и указаны подходы к определению функций и констант, характеризующих свойства материала.

Для построения соотношения связи напряжений и деформаций используется идеализированная механическая система, описанная в работах А.Ю. Ишлинского и Б.Е. Победри: образец, подверженный одноосному деформированию,

Рис. 1. Идеализированная механическая система

а = сЕг + ц-

заменяется системой из пружины жесткости Ь, соединенной поел« цовательно с комбинацией пружины жесткости с и поршня, движущегося в цш индрическом сосуде с вязкой жидкостью (рис. 1). На конце первой пружины создается напряжение а. Очевидно, что, если пренебречь инерционным эффектом, то

с1Е2

где ¡л — коэффициент, определяемый вязкостью жидкости и размерами поршня, е2 — деформация пружины с жесткостью с. С другой стороны,

_ а йег _ <1е 1 ¿сг

где е - полная деформация.

Подставляя эти выражения в предыдущее соотношение, получаем

М^- + {Ь + с)сг = ф^- + Ьсе. (2)

ш ш

Соотношение (2) связывает напряжение, деформацию и их первые производные. Оно может быть использовано для описания явлений ползучести и релаксации, его частным случаем являются соотношения Максвелла и Фойхта.

Предлагается модифицировать соотношение (2) таким образом, чтобы появилась возможность использовать его для описания активной стадии пластического деформирования. Положим, что первая пружина в системе будет по-прежнему линейно упругой с коэффициентом жесткости Ъ, а вторая — нелинейно упругой, и ее жесткость будет функцией ее деформации:

С = <?(£;),

су

где е2 = е--, причем (р й 0, а <р > 0.

Ъ

В этом случае соотношение (2) принимает вид:

^^~ + (Ь + <р{£г))а = цЪ^-+Ь<р{£2)е. (3)

ш ш

Соотношение (3) предлагается использовать для описания активной стадии процессов вязкоупругопластического одноосного деформирования твердых тел.

Разгрузку предлагается считать линейно вязкоупругой, поэтому для ее описания используется соотношение (2), записанное с учетом появившейся в теле остаточной деформации ер:

^^■ + (Ь + с)а = /иЬ^- + Ьс(е-£р). (4)

Укажем способ вычисления остаточной деформации.

При разгрузке принимается, что <р = с, то есть, возвращаясь к механической системе, пружина с жесткостью <р(с2) заменяется пружиной с жесткостью с. Напряжения в этих пружинах должны быть одинаковыми в момент их замены. Следовательно, ввиду разности жесткости пружин в этот момент, деформации

пружин должны отличаться. Разность деформаций и будет остаточной деформацией. Из условия равенства напряжений можем записать

где е2$ — значение е2 в момент смены нагружения на разгрузку.

С использованием предложенных соотношений (3) и (4) было получено решение одномерной задачи деформирования под действием внешней нагрузки, изменявшейся по закону, представленному на рис. 2.

Рис. 2. Закон изменения внешней нагрузки

Рассматривались два случая. В первом случае параметр к, определяющий закон нагружения, был принят равным 1,2 МПа/с, а параметры материала таковы:

[100 МПа, е2 <0,01, ¿ = 100 МПа, // = 0,1 МПа-с, <р = \ 2

[1МПа, ¿г2>0,01.

Во втором случае к = 2,5 МПа/с, параметры материала: 6 = 35 МПа, 25

// = 10 МПа-с, чКег) --МПа. Результаты решения для двух случаев

10г2+1

приведены на рис. 3 и рис. 4 соответственно.

Рис. 3. Кривая «напряжение-деформация» (слева) и зависимость деформации от времени (справа) для первого случая

от времени (справа) для второго случая

Для решения трехмерных, осесимметричных и плоских задач требуется на основе (3) и (4) построить соотношения, определяющие связь тензоров напряжений и деформаций.

Предлагается связь девиаторов напряжений с? и деформаций е принять в виде, аналогичном представлению (3):

у& + {<? + г]{ег „ ))ст = у£ё + ¿¡т}(е2 „, (6)

где у — константы материала; r¡{s2 „) — функция напряженно-деформированного

состояния, вид которой зависит от свойств рассматриваемого материала; е1и =£■„ -ст„ /£, £•„, аи - модули девиаторов деформаций и напряжений, принимаемые в следующем виде:

°"„ = 4S<JS4 ~a2if + (<?гг - стзз )2 + (стзз ~ О",, )2 + б (сг2 + а\г + сг,23),

= VS^ =-^^(£п-ЕггУ+^22 ~^зз)2 +(^зз -^п)2 +6(^,2 +í-.3>-

Тензор напряжений связан с первым инвариантом тензора деформаций и девиатором напряжений соотношением:

2 = 3 KsE+5, (7)

где ЛГ = const — коэффициент объемного расширения, с = {eu + с22 + еп)/3.

Соотношения (6), (7) описывают активную стадию процесса деформирования, когда скорость изменения модуля девиатора напряжений неотрицательна.

Для описания процесса вязкоупругой разгрузки по аналогии с (4) предлагается использовать следующее соотношение:

+ ^ + = + (8)

где <; = г/(о).

Тензор ер определяется по аналогии с (5):

Из (6) и (7) можно получить обобщенный закон Гука, соотношения Максвелла, Фойхта и соотношения теории малых упругопластических деформаций.

Запишем соотношение (б) для процессов простого деформирования. Деформирование считается простым, если девиаторы напряжений и деформаций соосны, то есть выполняется условие

— - — -В

е.

где а> - направляющий тензор, со--со = 1, сои= const.

Отсюда можем записать

5 = ои55, (10)

е ~ £иа>. (11)

Подставляя (10) и (11) в (61 получаем:

(го-„ + (£ + T](S2 „)) сг„ )а> = + 4т]{е2 „ )е„ )а.

Приравнивая коэффициенты перед со, получаем связь модулей девиаторов напряжений и деформаций. На активной стадии процесса нагружения они будут связаны соотношением:

+ =У&„+£г){егиК> о-,, ^0• (12)

Аналогично можно записать связь модулей девиаторов для процесса разгрузки:

Г<?и + (i + fK = Г&„ + -е,,). tr„ < 0. (13)

Полученная связь (12) между инвариантными скалярными характеристиками напряженного и деформированного состояния твердого тела позволяет указать программу экспериментов на простое деформирование, необходимых для определения констант £, у и функции 77^,,), характеризующих свойства материала.

1. Постоянную £, можно найти, определив из эксперимента на одноосное растяжение образца значения <та и си в самом начале процесса деформирования. Действительно, когда cru =0, еи = 0, модули девиаторов связаны соотношением

сг„ = ¿¡¿п, следовательно, £ = ст„ / ёи.

2. Функция ^(ffj,,) может быть определена из опыта на медленное одноосное растяжение образца, когда влиянием вязкости можно пренебречь, и процесс не зависит от времени.

3. Константу у можно определить из опыта на кратковременную ползучесть, наблюдаемую после нагружения образца до некоторого значения напряжения, которое затем поддерживается постоянным.

Примем гипотезу единой кривой и будем считать, что £, у и функция /7(fi"2„), определенные из опыта на простое деформирование, останутся неизменными для произвольного процесса.

Запишем постановку задачи о вязкоупругопластическом деформировании твердого тела при динамическом нагружении.

Будем считать деформации твердого тела малыми. В качестве меры напряжений выберем тензор истинных напряжений <т, в качестве меры

деформаций — тензор деформаций е, связанный с перемещениями и соотношением:

£ = 1(УЙ + ЙУ). (14)

Для описания динамического процесса деформирования твердого тела воспользуемся вариационным уравнением Лагранжа - Даламбера:

Щр •ШУ = ¡¡я'' (15)

V у О! %

где д - вектор нагрузки, приложенной к элементарной поверхности тела, р -плотность тела, ( — время, V — объем тела, 2 — поверхность тела, символ <5 означает вариацию.

Неизвестными в уравнении (14) являются поле тензора деформации е, поле

тензора напряжений д_, поле перемещений и. Необходимо дополнить уравнения

(14) и (15) уравнениями связи между тензорами напряжений и деформаций. Для этого воспользуемся соотношениями (6) - (9). Получим замкнутую систему уравнений, описывающую вязкоупругопластическое деформирование твердого тела при динамическом нагружении.

Необходимо записать дня этой системы начальные и граничные условия. Начальные условия в каждой точке тела: поле перемещений й = й(х,о), поле скоростей и = й{х,6), тензор напряжений а{х,о) и его производная по времени

еМ-

Граничные условия могут быть следующих типов:

• в перемещениях — поле перемещений на границе й(хгр,1), где Хгр -радиус-вектор точек границы;

• в напряжениях - поле вектора напряжения на границе Т'(Хгр,1);

• смешанные - на границе задаются разноименные компоненты векторов перемещений и напряжений, например, щ{Хгр,^), Р2{хгр,г), Р3(хер,г).

В третьей главе построен алгоритм численного решения задачи вязкоупругопластического деформирования осесимметричного тела при динамическом нагружении.

В основе численного решения лежит дискретизация искомых величин по времени и пространству.

Сначала проведем конечно-разностную аппроксимацию производных по времени. Разобьем рассматриваемый временной интервал на т малых интервалов одинаковой длины Лг. Будем считать распределения искомых величин неизменными на каждом интервале. Для аппроксимации производных используем метод конечных разностей первого порядка. Такой подход применим и к производным тензоров, поскольку деформации считаются малыми. Конечные разности первого порядка удобны тем, что приводят к явной схеме решения, когда значения искомых параметров на шаге п (п=\...т) могут быть определены непосредственно из их значений на предыдущих шагах.

Производные тензоров напряжения и деформации по времени и ускорение в точке тела, задаваемой вектором X, примут вид:

ш

В результате аппроксимации производных уравнение Лагранжа-Даламбера и соотношения связи девиаторов напряжений и деформаций на шаге по времени л принимают вид:

V у ш

У =

I, если ег,

Путем тождественных преобразований соотношений связи напряжений и деформаций получаем:

а. =£еАх)+а1епЧ{х)+А&„_1{х), если сгп л |(х)-сг^л 2(J?)> 0,

аХх)=^Хх)+а2е„:Хх)+ р2а„_Хх)+ХеХх\ если ет,,.,^)-^^О,

где

а2=/^Д/-Н А=1"—А/, z =

КГ ) Г Г

Заметим, что а, и Д зависят от напряженно-деформированного состояния в рассматриваемой точке тела, тогда как аг, /?а и х ~ константы.

Затем на каждом временном шаге производится дискретизация параметров, характеризующих напряженно-деформированное состояние тела, по пространству с использованием метода конечных элементов. Для этого используется осесимметричный симплекс-элемент треугольного поперечного сечения.

На основе линейных законов распределения перемещений на элементе кинематические характеристики процесса деформирования выражены через узловые перемещения. Из вариационного уравнения Лагранжа-Даламбера и соотношений связи напряжений и деформаций получены компоненты матрицы жесткости и вектора узловых внешних воздействий. Матрица жесткости состоит из констант, вектор узловых внешних воздействий на активной стадии нагружения является функцией напряженно-деформированного состояния, при разгрузке его компоненты — константы. Связывание конечных элементов в ансамбль осуществляется по методу прямой жесткости, позволяющему образовать глобальную матрицу жесткости конструкции, если известны матрицы жесткости отдельных элементов. В результате построения глобальных матрицы жесткости и вектора внешних воздействий получается система линейных алгебраических уравнений относительно узловых перемещений.

Для получения численного решения задач с использованием полученных соотношений в среде Delphi был разработан программный пакет. Он позволяет задавать геометрию задачи, значения параметров материала, начальные и граничные условия. Для решения системы линейных алгебраических уравнений, к которым приводит метод конечных элементов, используется метод Гаусса, оптимизированный для работы с ленточными матрицами.

Разработанный программный продукт был всесторонне протестирован на различных задачах, в том числе — на задаче о деформировании полого цилиндра под действием давления, приложенного к внутренней поверхности (рис. 5, а).

Сечение цилиндра было разбито на конечные элементы (рис. 5, б). Анализировалось напряженно-деформированное состояние в точках А, В, С.

Задача решалась для двух режимов нагружения. В первом случае было принято, что pa{t) = const, материал невязкий, и решение на активной стадии сравнивалось с решением задачи о деформировании бесконечного цилиндра, полученным В.В. Москвитиным (рис. 6). Видно хорошее совпадение результатов.

О' -0,02 -0,04 -0,06 -0,08 -0,1 -0,12

0,005 0,01 0,015 г, с

Рис. 6. Сравнение результатов. Точке А соответствует нижняя

пара графиков, точке В - средняя, точке С - верхняя

Пунктирной линией показано решение, полученное В.В. Москвитиным

Также была решена задача о вязкоупругопластическом деформировании полого цилиндра, давление на внутренней поверхности которого изменялось с течением времени по закону, представленному на рис. 7.

На рис. 8-а приведена кривая «интенсивность напряжений - интенсивность деформаций» для точки А, расположенной на внутренней поверхности цилиндра, при отсутствии сил инерции и при очень малой вязкости, на рис. 8-6 — при наличии сил инерции и при большой вязкости.

Рис. 7. Зависимость давления на внутренней поверхности цилиндра от времени

а) б)

Рис. 8. Кривая «интенсивность напряжений - интенсивность деформаций» при отсутствии сил инерции и при очень малой вязкости (а); при наличии сил инерции и большой вязкости (б)

На рис. 8-а видно, что после каждого цикла нагружения появляются не только остаточные деформации, но и остаточные напряжения. Появление остаточных напряжений обусловлено тем, что величина пластических деформаций при удалении от оси цилиндра уменьшается, следовательно, внешние слои цилиндра, где пластические деформации малы, стремятся принять практически исходное положение, чему препятствуют пластические деформации в слоях, прилежащих к внутренней поверхности. В результате внутренние слои сжимаются внешними, и в полом цилиндре возникают остаточные напряжения. Наибольшими являются окружные сжимающие напряжения. Хорошо видно, что при начале повторного нагружения интенсивность напряжений сначала падает, а потом начинает расти. Падение обусловлено тем, что нарастающее давление на внутренней поверхности вызывает деформации и снимает остаточные отрицательные окружные напряжения, а затем эти напряжения становятся положительными и продолжают расти.

В четвертой главе дается постановка задачи о вязкоупругопластическом деформировании твердого тела под действием потока вязкого газа, и приведено

решение задачи о сформировании топливного заряда реактивного снаряда на начальной стадии процесса воспламенения.

Воспламенение топливных зарядов реактивных снарядов и ракет производится с помощью специального устройства — воспламенителя. Типичный форкамерный воспламенитель представляет собой толстостенный корпус, заполненный порохом. При воспламенении порох быстро сгорает при очень высоком давлении, и продукты сгорания через небольшие отверстия в корпусе воспламенителя вытекают в камеру сгорания реактивного снаряда, создавая там высокие температуру и давление, что приводит к воспламенению топливного заряда. При определенных значениях параметров втекающих в камеру продуктов сгорания, а также при определенных свойствах материала топливного заряда и его геометрии возможно повреждение заряда, что может оказать негативное влияние на работоспособность всего изделия, поэтому несомненный интерес представляет моделирование этого процесса с целью определения напряженно-деформированного состояния заряда и местоположения опасных зон, в которых возможно разрушение.

В качестве объекта исследования был выбран реактивный снаряд с камерой сгорания, схематически изображенной на рис. 9.

Рис. 9. Схематическое изображение осевого сечения камеры сгорания реактивного снаряда. Газ втекает в камеру через 7 круглых отверстий в стенке АВ

Допускалось, что деформации и перемещения заряда в процессе воспламенения относительно невелики и не оказывают заметного влияния на течение газа. Вследствие этого задача была разделена на две: сначала решалась газодинамическая задача, и определялось распределение давления на поверхности заряда как функция времени. Затем с использованием полученных результатов решалась задача о деформировании заряда.

Для описания истечения продуктов сгорания из воспламенителя в камеру сгорания использована система уравнений движения вязкой газовой смеси. Для моделирования процесса деформирования заряда использовались уравнения (б) - (9), (И)-(15).

Начальные условия в камере сгорания, заполненной воздухом:

V -0, р = 0,1 МПа, р = 1,29кг/м3, уод = 1,4, су = 655. Дж/(кг К).

Граничные условия

1. Граница ВСОЕРОНП: условие прилипания V = 0;

2. Граница АВ: через границу АВ в область поступает газ из воспламенителя.

Она представляет собой круг с семью отверстиями одинакового радиуса, равного 1/6 АВ. Граничные условия на отверстиях: Vz =1000 м/с, Уг = 0 м/с, Т = 3800 К, у = 1,4, cv = 190 Дж/(кг К), давление задавалось в соответствии с графиком, представленным на рис. 10.

На остальной части границы АВ задавалось условие прилипания V = 0.

р, МПа

ю

0 0,01 0,02 С

Рис. 10. Зависимость давления на отверстиях от времени

Начальные условия для заряда:

и, = 0; й, = 0; ег,-, = 0; сг = 0 в каждой его точке.

Граничные условия: на границе ОН: ,/)=0; на границе БЕРСН - вектор

напряжений Р(Хгр,1) = ~р(Х,р,/)■«, где Я— вектор внешней (по отношению к

твердому телу) нормали к границе. Давление р(Хгр,1) определяется из решения

газодинамической задачи.

Свойства материала заряда задавались на основании кривых «напряжение-деформация» для твердого топлива, приведенных в монографии В.В. Москвитина.

Установлено, что при £, = 25МПа, $- = 15МПа, ?;(г2,)= 7---^, / = 23 МПа-с,

(4,5^+1/

К = 2 ГПа материал проявляет свойства, близкие к свойству реального твердого топлива (рис. И).

<Т, МПа 1

— б _ _ а

о од 0,2 е Рис. 11, Кривые «напряжение-деформация», приведенные В.В. Москвитиным (штриховая линия) и полученные в результате расчета с использованием выбранных функций и констант материала (сплошная линия) для скоростей деформации 1,9-Ю"4 1/с (а) и 7,6-Ю"31/с (б)

Задача о течении газа решалась в трехмерной постановке, численно, методом крупных частиц, с применением программного пакета ОаБОупагшсзТоо!. Рассматривался промежуток времени I < 0,02с. На рис. 12 и рис. 13 приведены полученные зависимости давления в точках 4 и 9 (рис. 9) от времени.

р, МП» 4

2

О 0.002 0,004 0.006 О.ООК 0,01 0,012 О,ОМ 0,014 0,018 I. с

Рис.12. Зависимость давления в точке 4 от времени

Рис.13. Зависимость давления в точке 9 от времени

На представленных графиках видно, что в области повышенного давления наблюдается осцилляция с высокой частотой. Это явление обусловлено многократным отражением потока от стенок, что создает в рассматриваемой области сложную структуру распределения давления, и тем, что при низких скоростях численная схема начинает добавлять свой «шум» в решение.

Было определено, что распределение давления на поверхности заряда можно с достаточной степенью точности считать осесимметричным.

На основании полученных результатов решения газодинамической задачи с помощью разработанного программного пакета была решена задача о деформировании топливного заряда в осесимметричной постановке.

Сечение заряда было разбито на 1500 конечных элементов, причем у торцов сетка сгущалась в несколько раз по сравнению со средней частью заряда. Оптимальное количество элементов определялось решением задачи на сетках различной густоты и анализом сходимости решений. Также анализировалась

сходимость решения при уменьшении шага по времени. Оптимальным шагом по критерию «точность-быстрота вычислений» был признан Д/ = 10~5 с.

В ходе решения анализировалось распределение компонент тензоров напряжений и деформаций по осевому сечению заряда и записывались значения

Результаты решения показали, что скорость деформаций заряда в процессе деформирования превышает 100 1/с. Поскольку материал обладает большой вязкостью, а время протекания процесса очень мало, заряд деформировался практически по линейно упругому закону с модулем £, = 25МПа. Этот результат можно объяснить на примере идеализированной модели, представленной на рис. 1. Если вязкость велика, а процесс быстротечен, поршень, находящийся в вязкой жидкости, остается практически неподвижным, и деформируется только пружина с жесткостью Ъ.

Наибольшая интенсивность напряжений в процессе деформирования возникала на поверхности заряда в окрестности точек А, В, С, О. Следовательно, эти участки могут считаться наиболее опасными с точки зрения возможности начала, разрушения заряда. Графики интенсивности напряжений в точках А и О приведены на рис. 15.

Рис. 15. Зависимость интенсивности напряжений от времени в точке А (сплошная линия) и в точке О (пунктирная линия)

Путем решения этой же задачи при меньших значениях коэффициента вязкости определено, что при у < 1 МПа-с деформирование является: вязкоупругопластическим, и в заряде возникают остаточные деформации.

Основные результаты и выводы

1. На основе обобщения гипотезы единой кривой (универсальной зависимости г)(уе1 „)) построено дифференциально линейное соотношение, связывающее

непосредственно процессы нагружения и деформирования и отражающее обратимые (упругие), необратимые равновесные (пластические) и необратимые неравновесные (вязкие) свойства материала. Указаны эксперименты, необходимые для конкретизации соотношения.

2. Предложенное соотношение позволяет отразить неупругие свойства материала на всех стадиях деформирования, избежать скачков напряжений при переходе от упругой к вязкопластической стадии деформирования.

3. На основе предложенного определяющего соотношения дана постановка задачи о вязкоупругопластическом деформировании твердых тел при динамическом нагружении.

4. Произведена дискретизация исходной модели по времени методом конечных разностей и по пространству методом конечных элементов, в результате чего исходная система на каждом шаге по времени сведена к системе линейных уравнений относительно перемещений узловых точек.

5. Решена задача о деформировании топливного заряда реактивного снаряда под действием потока газа на начальном этапе процесса воспламенения. Установлено наибольшее значение коэффициента вязкости материала, при котором в ходе процесса возникают остаточные деформации, решена задача о вязкоупругопластическом деформировании заряда, изготовленного из материала с меньшей вязкостью.

Содержание работы отражено в 8 публикациях:

1. Орлов Д.А. Оценка давления на заряд РДТТ при его воспламенении // Современные проблемы математики, механики и информатики: Тезисы докладов региональной научной студенческой конференции. Тула: ТулГУ, 2002. С. 68.

2. Орлов Д.А. Оценка давления на заряд РДТТ при его воспламенении И Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т.9. Вып. 2. - Тула: Изд-во ТулГУ, 2003. С. 168 - 174.

3. Орлов Д.А. Вариант определения напряженно-деформированного состояния топливного заряда при воспламенении // Известия ТулГУ. Серия «Проблемы специального машиностроения», в.6 (ч.1)-Тула: Изд-во ТулГУ, 2003. С. 169 - 173.

4. Орлов Д.А. Оценка влияния резиновой манжеты на напряженно-деформированное состояние топливного заряда снаряда РСЗО при воспламенении // Всероссийская научно-техническая конференция «Наука — производство — технологии — экология». Сборник материалов в 5-и томах, т. 2 (ФАВТ, ФПМТ), 2004. С. 177- 179.

5. Орлов Д.А. К вопросу о динамическом упругопластическом деформировании полого толстостенного цилиндра // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды второй всероссийской научной конференции. Часть 1. Секция

«Математические модели механики, прочность и надежность кс лструкций». Самара: Изд-во СамГТУ, 2005 г. С. 219-222.

6. Орлов Д.А., Барчуков М.А. Моделирование процесса динамического упругопластического деформирования твердого тела под действием потока газа // Dynamical system modeling and stability investigation: Тезисы докладов международной конференции. Киев, 2005. С. 314.

7. Орлов Д.А. Связь напряжений и деформаций для задач вязкоупругопластичности // Современные проблемы математики, механики, информатики: Тезисы докладов Международной научной конференции. Тула: Изд-во ТулГУ, 2005, с. 240-241.

8. Орлов Д.А. Вариант определяющего соотношения для процессов вязкоупругопластического деформирования // Известия ТулГУ. Сер. Механика деформируемого твердого тела и обработка металлов давлением. - Тула: ТулГУ, Вып. 2,2005. С. 127-131.

Издлиц. ЛР№ 020300 от 12.02.97. Подписано в печать Формат бумаги 70x100 1/]б. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 4,-2, Уч.-изд. л. О Тираж 100 экз. Заказ 9(

\

Тульский государственный университет 300600, г. Тула, просп. Ленина, 92

Отпечатано в Издательстве ТулГУ 300600, г. Тула, ул. Болдина, 151

Введение.

1. Обзор существующих соотношений связи напряжений и деформаций

1.1. Варианты соотношений связи напряжений и деформаций для задач вязкоупругости, упругопластичности и вязкоупругопластичности.

1.2. Выводы по главе.

1.3. Цели и основные задачи исследования.

2. Постановка задачи о вязкоупругопластическом деформировании твердых тел.

2.1. Построение связи напряжений и деформаций для одномерных задач 22 ® 2.2. Решение одномерной задачи об одноосном растяжении.

2.3. Построение связи тензоров напряжений и деформаций.

2.4. Программа экспериментального определения констант и функций, входящих в определяющие соотношения.

2.5. Постановка задачи о вязкоупругопластическом деформировании при малых деформациях.

2.6. Выводы по главе.

3. Разработка методики численного решения задач вязкоупругопластического деформирования осесимметричных тел.

Ф 3.1. Дискретизация по времени.

3.2. Дискретизация по пространству.

3.3. Программный пакет для проведения расчетов.

3.4. Решение тестовых задач.

3.5. Выводы по главе.

4. Осесимметричное вязкоупругопластическое деформирование твердого

4 тела под действием потока газа.

4.1. Постановка задачи о вязкоупругопластическом деформировании твердого тела под действием потока газа.

4.2. Постановка задачи о деформировании топливного заряда реактивного снаряда на начальном этапе процесса воспламенения.

4.3. Основные соотношения метода крупных частиц.

4.4. Результаты решения газодинамической задачи.

4.5. Результаты решения задачи о деформировании заряда.

4.6. Выводы по главе.

Актуальность работы. Использование вязкоэластичных материалов в различных отраслях техники поставило перед специалистами в области прочности конструкций сложные задачи, связанные с определением законов, позволяющих выражать напряжения через деформации при различных видах нагружения и при разгрузке. К таким материалам относятся, прежде всего, полимеры (например, твердые ракетные топлива, различные композиты, асфальтобетон). Экспериментально установлено, что поведение таких материалов существенно отличается от линейно упругого, для них в большинстве случаев характерна нелинейная связь напряжений и деформаций, а нередко и разномодульность, вызванная наличием в материале жестких включений. Подробное описание свойств таких материалов приведено в монографии под редакцией В.В. Мошева [59], в работах В.Э. Апетьяна и Д.Л. Быкова [1, 4], Дж. Ферри [88], М. Рейнера [77], А.К. Малмейстера, В.П. Тамуж, Г.А. Тетере [53].

На сегодняшний день исследование процессов вязкоупругого и вяз-коупругопластического деформирования твердых тел является одним из важных направлений развития механики деформируемого твердого тела. Этому вопросу посвящены монографии П. Пэжины [74], В.В. Москвитина [58], В.Н. Кукуджанова [47], А.А. Ильюшина и Б.Е. Победри [33]. Он также рассматривается в монографиях А.Ю. Ишлинского и Д.Д. Ивлева [35], А.Н. Спорыхина [84], JI.A. Толоконникова [86], АГ. Горшкова, Э.И. Старовойтова и Д.В. Тарлаковского [18]. Обзор основных достижений в области разработки моделей вязкоупругих сред приведен в работе Д.В. Георгиевского, Д.М. Климова, Б.Е. Победри [17], в которой анализируются модели, описанные в работах [14, 19,46, 52, 61, 72, 87, 92, 93, 96]

Построению определяющих соотношений для задач вязкоупругопла-стичности при больших деформациях посвящены работы А.А. Маркина

54, 55] и А.В. Коновалова [40, 41, 42, 43], при малых деформациях - С.А. Корнеева [45], Ю.Г. Басалова и В.Н. Кузнецова [8]. Подходы к описанию разносопротивляющихся сред предложены в работах JI.A. Толоконникова и Н.М. Матченко [56, 57].

Математическое моделирование процессов вязкоупругопластическо-го деформирования физически нелинейных сред является одним из наиболее актуальных направлений современной механики, что подтверждается ростом числа публикаций по данной тематике как в России, так и за рубежом.

Большое практическое значение имеет исследование динамических процессов вязкоупругого, упругопластического и вязкоупругопластическо-0 го деформирования. Среди работ, посвященных этому вопросу, можно отметить работы В.Н. Кукуджанова [47] и B.JI. Баранова [7], посвященные распространению волн в упруговязкопластических средах, работы В.И. Желткова и А.И. Андреева по динамике вязкоупругих сред [1, 2]. Динамические процессы упругопластического деформирования рассматриваются в работах Р.П. Дидык и Э.А. Масаковского [23], решивших задачу определения поля динамических напряжений при импульсном нагру-жении полого цилиндра для области упругопластических деформаций с учетом упругого предвестника и оценивших влияние энергетических параметров источника возмущений на характеристики поля динамических напряжений; В.Г. Баженова и А.И. Кибца [6], занимающихся численным моделированием упругопластического деформирования конструкций, состоящих из массивных и оболочечных элементов, при импульсных и ударных воздействиях, с использованием метода конечных элементов; Е.Р. Fahrenthold и В.A. Horban [94], рассмотревших задачу о сверхскоростном ударе, D. Karagiozova, Jones Norman [98] и П.В. Лаптева [9], предложивших решение задачи о динамическом упругопластическом выпучивании круговых осесимметричных оболочек при осевом ударе, изготовленных из упругопластического материала с деформационным линейным упрочнением и эффектом Баушингера.

Из экспериментальных исследований можно отметить работы К. Kussmaul, К. Kerkhof и К.-Н. Herter [100], осуществивших натурный эксперимент по изучению явления гидроудара на трубопроводе питательной воды ядерного реактора и сравнивших результаты с результатами решения задачи методом конечных элементов; С.В. Разоренова, Г.И. Канель, В.Г. Ануфриева и В.Ф. Лоскутова [75], проведших измерения динамического предела упругости и разрушающих напряжений при отколе образцов из ряда сталей и тяжелого сплава; A.M. Брагова, Г.М. Грушевского, А.К. Ломунова и А.А. Медведева [13], занимавшихся изучением упруго-пластических свойств пластилина и доказавших идентичность его свойств свойствам глинистого грунта; Е.М. Веапеу [89], приведшего результаты экспериментального исследования динамической реакции трубопроводов на сейсмические воздействия и процесса их пластического разрушения при поперечных колебаниях, математическую модель процесса, результаты решения и сравнение с данными эксперимента.

Цель работы. Постановка и решение задачи о деформировании осе-симметричного твердого тела, обладающего вязкоупругими и пластическими свойствами, при динамическом воздействии газовой среды.

Научная новизна работы.

1. Построено экспериментально конкретизируемое дифференциально линейное тензорное соотношение, связывающее непосредственно процессы нагружения и деформирования, отражающее пластические и вязко-упругие свойства материала.

2. Разработана методика численного решения задач вязкоупругопла-стического деформирования твердых тел с использованием предложенных соотношений связи напряжений и деформаций.

Основные научные положения, выносимые на защиту:

- предложенное соотношение, связывающее непосредственно процессы нагружения и деформирования и отражающее обратимые (упругие), необратимые равновесные (пластические) и необратимые неравновесные (вязкие) свойства материала;

- постановка задачи о деформировании осесимметричного твердого тела, обладающего вязкоупругими и пластическими свойствами, при динамическом нагружении;

- методика численного решения задач вязкоупругопластического деформирования твердых тел с использованием предложенных соотношений связи напряжений и деформаций;

- результаты решения задачи о деформировании топливного заряда реактивного снаряда под действием потока газа на начальном этапе процесса воспламенения.

Объект исследования. Объектом исследования является осесиммет-ричное деформируемое твердое тело, обладающее вязкоупругими и пластическими свойствами.

Методы исследования, использовавшиеся в работе:

- теоретический анализ процессов вязкоупругопластического деформирования с использованием основных положений механики деформируемого твердого тела;

- математическое моделирование, конечно-элементный анализ, метод крупных частиц.

Теоретические результаты. Построено дифференциально линейное соотношение, связывающее непосредственно процессы нагружения и деформирования и отражающее обратимые (упругие), необратимые равновесные (пластические) и необратимые неравновесные (вязкие) свойства материала. На основе предложенного определяющего соотношения дана постановка задачи о вязкоупругопластическом деформировании твердых тел при динамическом воздействии газовой среды.

Практическая значимость работы. Предложенная постановка задачи о вязкоупругопластическом деформировании твердых тел, предложенный метод численного решения уравнений модели и программные средства для его реализации могут использоваться для расчета на прочность изделий из полимерных материалов, например, зарядов твердого топлива, а также в учебном процессе по дисциплинам «Механика сплошной среды», «Теория пластичности», «Методы вычислений».

Работа выполнялась в рамках гранта для поддержки научно-исследовательской работы аспирантов высших учебных заведений Минобразования России «Механика процесса взаимодействия газа и твердого тела для случая малых деформаций» (шифр АОЗ - 2.10 - 277).

Апробация работы. Основные положения и результаты работы доложены на Всероссийской научно-техническая конференции «Наука -производство - технологии - экология» (Киров, 2004 г.), Второй Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2005 г.), Международной конференции «Dynamical systerns modelling and stability investigation» (Киев, 2005 г.), Международной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики», посвященной 85-летию со дня рождения профессора С.Б. Стечкина и 75-летию ТулГУ (Тула, 2005 г.), научном семинаре по механике деформируемого твердого тела им. Л.А.Толоконникова (научный руководитель -А.А.Маркин, г. Тула, 2006 г.).

Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечиваются строгостью использованных математических методов и совпадением результатов исследований в частных случаях с известными результатами других авторов.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованных источников. Объем диссертации - 124 страницы. Работа содержит 93 рисунка, 0 таблиц и список использованных источников из 101 наименования.

Основные результаты и выводы по работе

1. На основе обобщения гипотезы единой кривой (универсальной зависимости г)(е2и)) построено дифференциально линейное соотношение, связывающее непосредственно процессы нагружения и деформирования и отражающее обратимые (упругие), необратимые равновесные (пластические) и необратимые неравновесные (вязкие) свойства материала. Указаны эксперименты, необходимые для конкретизации соотношения.

2. Предложенное соотношение позволяет отразить неупругие свойства материала на всех стадиях деформирования, избежать скачков напряжений при переходе от упругой к вязкопластической стадии деформирования.

3. На основе предложенного определяющего соотношения дана постановка задачи о вязкоупругопластическом деформировании твердых тел при динамическом нагружении.

4. Произведена дискретизация исходной модели по времени методом конечных разностей и по пространству методом конечных элементов, в результате чего исходная система на каждом шаге по времени сведена к системе линейных уравнений относительно перемещений узловых точек.

5. Решена задача о деформировании топливного заряда реактивного снаряда под действием потока газа на начальном этапе процесса воспламенения. Установлено наибольшее значение коэффициента вязкости материала, при котором в ходе процесса возникают остаточные деформации, решена задача о вязкоупругопластическом деформировании заряда, изготовленного из материала с меньшей вязкостью.

1. Апетьян В.Э., Быков Д.Л. Анализ немонотонной зависимости напряжений от деформаций в вязкоупругих материалах // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 2004, №4, с. 106 115.

2. Апетьян В.Э., Быков Д.Л. Структурно-энергетический анализ одноосного напряженного состояния при сжатии и разгрузке вязкоэластично-го материала // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 2005, №6, с. 63 76.

3. Аргирис Дж. Современные достижения в методах расчета конструкций с применением матриц. / Перевод с английского В.А. Александрова. / под ред. А.Ф. Смирнова. М.: «Стройиздат». - 1968.

4. Баженов В. Г., Кибец А. И. Численное моделирование трехмерных задач нестационарного деформирования упругопластических конструкций методом конечных элементов // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 1994, N 1, с. 52-59.

5. Баранов В.Л. Продольные волны в упруговязкопластическом стержне с переменным модулем упругости // Работы по механике твердого тела: Сб. науч. тр., Тула, 1981. С. 142 149.

6. Басалов Ю.Г., Кузнецов В.Н. Определяющие соотношения для малых вязкоупругопластических деформаций. // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 1998, №1, с. 29-34.

7. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. / Перевод с английского С.А. Алексеева. / под ред. А.Ф. Смирнова. М.: «Стройиздат». - 1982.- 447с.

8. Белоцерковский О.М. Метод «крупных частиц» / Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. // Отчет ВЦ АН СССР и МФТИ. 1969. - №192. -81 с.

9. Белоцерковский О.М. Метод «крупных частиц» для задач газовой динамики / Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. // Отчет ВЦ АН СССР и МФТИ. -1969. -№192. -81 с.

10. Белоцерковский О.М. Нестационарный метод «крупных частиц» для решения задач внешней аэродинамики. / Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М.-М., 1970.-70 с.

11. Врагов А. М., Грушевский Г. М., Ломунов А. К., Медведев А. А. Механические свойства пластилина в условиях высокоскоростной деформации. Прикл. пробл. прочн. и пластич. 1991, N 49, с. 106-111.

12. Бугаков И.И. Ползучесть полимерных материалов. М.: Наука, 1973. 287 с.

13. Вайнберг Д.В. Применение ЭВМ для решения упругих статических задач. Киев:«Техника». - 1971. - 252с.

14. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. / Перевод с английского В.М. Картвелишвили.- М.: «Мир», 1984. 430 с.

15. Георгиевский Д.В., Климов Д.М., Победря Б.Е. Особенности поведения вязкоупругих моделей // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 2004, №1, с. 119-157.

16. Горшков А.Г., Старовойтов Э.И., Тарлаковский Д.В. Теория упругости и пластичности: Учеб.: Для вузов. М.:ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 416 с.

17. Громов В.Г. Метод построения определяющих соотношений вязко-упругих тел при конечных деформациях // Докл. АН СССР. 1985. Т. 285. №1. С. 69-73.

18. Губанов A.M. Механика упруго-вязко-пластических тел. ЖТФ, т. 19, №1, 1949.

19. Деклу У. Метод конечных элементов./ Перевод с фр. Б.И. Квасова. / под ред. Н.Н. Яненко. М.: «Мир». - 1976. - 95 с.

20. Дидык Р. П., Масаковский Э. А. Исследование поля динамических напряжений при импульсивном нагружении Прикл. мех. (Киев). 1999. 35, N2, с. 65-69.

21. Дэй У.А. Термодинамика простых сред с памятью. М.: Мир, 1974. 192 с.

22. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. / Перевод с английского Б.Е. Победри. М.:«Мир». - 1975 - 511с.

23. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация./ Перевод с английского Б.И. Квасова./ под ред. Н.С. Бахвалова. М.: «Мир». - 1986.-317с.

24. Зенкевич О., Чанг Н. Метод конечных элементов в теории сооружений и в механике сплошных сред. Нью-Йорк, 1967. / Перевод с английского А.П. Троицкого и С.В. Соловьева под ред. Ю.К. Зарецкого/ М., «Недра», 1974, 240 с.

25. Ильюшин А.А. Деформация вязко-пластического тела. Ученые записки МГУ, «Механика», вып. 39, 1940.

26. Ильюшин А.А. К вопросу о вязко-пластическом течении материала. Труды конференции по пластическим деформациям АН СССР, 1938.

27. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во МГУ, 1978. 287 с.

28. Ильюшин А.А. Некоторые вопросы теории пластических деформаций. Прикладная математика и механика, том VII, 1943, с. 245-272.

29. Ильюшин А.А. Об испытании металлов при больших скоростях. Инженерный сборник, I, №1, 1941.

30. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термо-вязкоупругости. М., 1970.

31. Ишлинский А.Ю. Прикладные задачи механики. Кн. 1. Механика вязкопластических и не вполне упругих тел. М.: Наука, 1969. 420 с.

32. Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности. М: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 704 с.

33. Капустин С.А. Метод конечных элементов в механике деформирования тел. Учебное пособие. Нижний Новгород. - 1997. - 70с.

34. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969. 420 с.

35. Клюшников В.Д. Физико-математические основы прочности и пластичности. М.: Изд-во МГУ, 1994, 190 с.

36. Коларов Д., Балтов А., Бончева Н. Механика пластических сред. М.: Мир, 1979, 302 с.

37. Коновалов А.В., Селиванов Г.С., Антошечкин Б.М. О динамической модели сопротивления металла пластической деформации // Изв. АН СССР. Металлы. 1987. №4. С. 122 127.

38. Коновалов А.В. Определяющие соотношения для вязкоупругопла-стической среды при больших пластических деформациях // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 2000, №4, с. 110 118.

39. Коновалов А.В. Определяющие соотношения для упругопластиче-ской среды при больших пластических деформациях // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 1997, №5, с. 139 147.

40. Коновалов А.В. Построение динамических моделей сопротивления металлов пластической деформации методами теории идентификации // Изв. АН СССР. Металлы. 1984. №5. с. 178 184.

41. Корнеев В.Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности. — JL- 1977. 206с.

42. Корнеев С.А. Определяющие соотношения вязкоупругопластических сред при малых деформациях. // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 2005, №3, с. 106- 122.

43. Кравчук А.С., Майборода В.П., Уржумцев Ю.С. Механика полимерных и композиционных материалов. М.: Наука, 1985. 303 с.

44. Кукуджанов В.Н. Распространение волн в упруговязкопластических материалах с диаграммой общего вида // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 2001, №5, с. 96- 111.

45. Кукуджанов В.Н. Распространение упруго-пластических волн в стержне с учетом влияния скорости деформации. М.: ВЦ АН СССР 1967. 48 с.

46. Лоусон Ч., Хенсон Р. Численное решение задач метода наименьших квадратов. М.: Наука, 1986. - 232 с.

47. Малинин Н.И. Ползучесть элементов конструкций из полимерных материалов//ПМТФ. 1970. №2. С. 109 125.

48. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. М.: Машиностроение, 1975. 400 с.

49. Малмейстер А.К., Тамуж В.П., Тетере Г.А. Сопротивление полимерных и композитных материалов. Рига: Зинатне, 1980. 571 с.

50. Маркин А.А. Термомеханика процессов упругопластического и сверхпластического деформирования металлов // Прикладная механика и техническая физика. 1999. Т40, №5, с. 164-172.

51. Маркин А.А. Термомеханика упруговязкопластического конечного деформирования // Изв. РАН, Механика твердого тела. Москва, 1996, №1.

52. Матченко Н.М., Толоконников JI.A., Трещев А.А. Определяющие соотношения изотропных разносопротивляющихся сред. 4.1. Квазилинейные соотношения // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 1995, №1, с. 73 78.

53. Матченко Н.М., Толоконников Л.А., Трещев А.А. Определяющие соотношения изотропных разносопротивляющихся сред. 4.2. Нелинейные соотношения // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 1999, №4, с. 87 95.

54. Москвитин В.В. Сопротивление вязко-упругих материалов (применительно к зарядам ракетных двигателей на твердом топливе). М.:, Изд-во «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1972, 328 с.

55. Мошев В.В., Свистков А.Л., Гаришин O.K., Евлампиева С.Е., Роговой А.А, Ковров В.Н., Комар Л.А., Голотина Л.А., Кожевникова Л.Л. Структурные механизмы формирования механических свойств зернистых полимерных композитов. Екатеринбург: УрО РАН, 1997. 507 с.

56. Новацкий В. Волновые задачи теории пластичности. М.: Мир,1978, 307 с.

57. Огибалов П.М., Ломакин В.А., Кишкин Б.П. Механика полимеров. М.: Изд-во МГУ, 1975. 528 с.

58. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. / Перевод с английского A.M. Васильева. / под ред. Э.И. Григолю-ка. М.: «Мир». - 1976. - 464с.

59. Орлов А.Р. Основы устройства и функционирования снарядов реактивных систем залпового огня: Учеб. пособие. Тула: Тул. гос. ун-т. 2002.- 156 с.

60. Орлов Д.А. Вариант определения напряженно-деформированного состояния топливного заряда при воспламенении // Известия ТулГУ. Серия «Проблемы специального машиностроения», в.6 (чЛ) Тула: Изд-во ТулГУ, 2003. С. 169- 173.

61. Орлов Д.А. Вариант определяющего соотношения для процессов вязкоупругопластического деформирования // Известия ТулГУ. Сер. Механика деформируемого твердого тела и обработка металлов давлением. -Тула: ТулГУ, Вып. 2, 2005. С. 127-131.

62. Орлов Д.А. Оценка давления на заряд РДТТ при его воспламенении // Современные проблемы математики, механики и информатики: Тезисы докладов региональной научной студенческой конференции. Тула: ТулГУ, 2002. С. 68.

63. Орлов Д.А. Оценка давления на заряд РДТТ при его воспламенении // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т.9. Вып.2. Тула: Изд-во ТулГУ, 2003. С. 168 - 174.

64. Орлов Д.А. Связь напряжений и деформаций для задач вязкоупруго-пластичности // Современные проблемы математики, механики, информатики: Тезисы докладов Международной научной конференции. Тула: Изд-во ТулГУ, 2005, с. 240-241.

65. Пальмов В.А. Реологические модели в механике деформируемых тел // Успехи механики (Advances in Mechanics). 1980. Т. 3. №3. С. 75 115.

66. Победря Б.Е. Модели линейной теории вязкоу пру гости // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 2003, №3, с. 120-134.

67. Пэжина П. Основные вопросы вязкопластичности. М.: Мир, 1968, 176 с.

68. Разоренов С. В., Канель Г. И., Ануфриев В. Г., Лоскутов В. Ф. Деформирование и разрушение конструкционных сталей при импульсном нагружении. Пробл. прочн. 1992, N 3, с. 42-48.

69. Рахматулин Х.А., Демьянов Ю.А. Прочность при интенсивных кратковременных нагрузках. М.: Гос. изд-во физ-мат. лит-ры, 1961.

70. Рейнер. Реология. М.: Наука, 1965. 223 с.

71. Розин Л.А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам. М.: «Стройиздат». - 1977. - 129с.

72. Розин Л.А. Основы метода конечных элементов и теории упругости.: Учебное пособие. Л. - 1972. - 79с.

73. Розовский М.И. Механика упругонаследственных сред // Итоги науки. Упругость и пластичность. М.: ВИНИТИ, 1967. С. 165 250.

74. Сабоннадьер Ж., Кулон Ж. Метод конечных элементов и САПР. / Перевод с фр. В.А. Соколова. / под ред. Э.К. Стрельбицкого. М.: «Мир».- 1989.- 192с.

75. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир. -1979.-392с.

76. Секулович М. Метод конечных элементов-М.: Стройиздат. 1993. -662с.

77. Спорыхин А.Н. Метод возмущений в задачах устойчивости сложных сред. Воронеж: Воронежский Государственный Университет, 1997. -361 с.

78. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. / Перевод с английского В.И. Агошкова. / под ред. Г.И. Марчука. М.: «Мир». -1977.-349 с.

79. Толоконников JI.A. Механика деформируемого твердого тела: Учеб. пособие для втузов. М.: Высш. Школа, 1979. - 318 с.

80. Уржумцев Ю.С. Прогнозирование длительного сопротивления полимерных материалов. М.: Наука, 1982. 222 с.

81. Ферри Дж. Вязкоупругие свойства полимеров. М.: Изд-во иностр. лит., 1963. 565 с.

82. Beaney Е. М. Measurement of dynamic response and failure of pipework. Strain. 1991. 27, N3, c. 89-93.

83. Bingham E. Plasticity and Fluidity, 1922.

84. Coleman B.D., Noll W. An approximation theorem for fiinctionals with applications in continuum mechanics // Arch. Rat. Mech. Anal. 1960. V6. №5. P. 355-364.

85. Drozdov A.D. Fractional differential models in finite viscoelasticity // Acta mech. 1997. V. 124. № 1 -4. P. 155 180.

86. Egan J. A new look at linear visco-elasticity // Mater. Letters. 1997. V. 31. №3- 6. P. 361 -357.

87. Fahrenthold E. P., Horban B. A. A hybrid particle-finite element method for hypervelocity impact simulation Int. J. Impact Eng. 1999. 23, N 1, c. 237-248.

88. Fitzgerald J.E., Vakili J. Nonlinear characterization of sand-asphalt concrete by means of permanent-memory norms // Exper. Mech. 1973. V.13. №12. P. 504-510.

89. Hassani S., Alaoui Soulimani A., Ehrlacher A. A nonlinear viscoelastic model: The pseudo-linear model // Europ. J. Mech. Ser. A. 1998. V. 17. №4 P. 567 598.

90. Hohenemser K., Prager W. Uber die Ansatze der Mechanik isotroper Kontinua // Ztscr. Angew. Math, und Mech. 1932. - Bd. 12, H.4. - S. 216226.

91. Karagiozova D., Jones Norman. Dynamic elastic-plastic buckling of circular cylindrical shells under axial impact Int. J. Solids and Struct. 2000. 37, N 14, c. 2005-2034.

92. Kukudzhanov V.N. Investigation of shock waves structure in elastovis-coplastic bars using the asymptotic method // Arch, of Mech. 1981. V33. №5. P. 739-751.

93. Kussmaul K., Kerkhof K., Herter K.-H. System response of piping configurations under overload conditions Trans. 10th Int. Conf. Struct. Mech. React. Technol., Anaheim, Calif., 14-18 Aug., 1989. Vol. F. Los Angeles. 1989, c. 93-104.

94. Maxwell Clark J. On the Dynamical Theory of Gase. Phylosophical Transactions of R. Soc. of London, v. 157, т. 1, 1867.