Исследование больших вязкоупругопластических деформаций в трехмерной постановке МКЭ тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

СУЛТАНОВ ЛЕНАР УСМАНОВИЧ

ИССЛЕДОВАНИЕ БОЛЬШИХ ВЯЗКОУПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ

ДЕФОРМАЦИЙ В ТРЕХМЕРНОЙ ПОСТАНОВКЕ МКЭ

Специальность 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

КАЗАНЬ - 2005

Работа выполнена на кафедре теоретической механики Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования "Казанский государственный университет им. В.И. Ульянова-Ленина"

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Голованов Александр Иванович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Каюмов Рашит Абдулхакович

доктор технических наук,

профессор Шлянников Валерий Николаевич

Ведущая организация: Научно-исследовательский институт

механики при Нижегородском

государственном университете им. Н.И. Лобачевского

Зашита состоится "24" ноября 2005 г. в 14 ч. 30 мин. в ауд. физ. 2 КГУ на заседании диссертационного совета Д 212.081.11 при Казанском государственном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, 18.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке КГУ им. Н.И. Лобачевского

Автореферат разослан "19" октября 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, к. ф.-м. н.

А.А. Саченков

мс-г

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. В последнее время со стороны исследователей все больше возрастает интерес к нелинейным задачам механики твердого деформируемого тела, учитывающих все более сложные процессы. Такие задачи возникают в производстве, где широко используются материалы со сложными физико-механическими свойствами, также существует проблема моделирования технологических процессов. При этом нужно учитывать, что в элементах конструкций могут возникать конечные деформации, и решение задач такого рода осложняется тем, что материалы характеризуются различными физическими свойствами, такими как упругость, пластичность, вязкость. Поэтому создание эффективных методик исследования нелинейных процессов деформирования, применимых к более широкому классу задач, является актуальной задачей на сегодняшний день.

Для решения нелинейных задач используются, как правило, численные методы, к которым относится метод конечных элементов (МКЭ). В настоящее время МКЭ является самым популярным способом решения практических задач механики деформируемого твердого тела (МДТТ). С его помощью проводят расчеты по определению напряженно-деформированного состояния (НДС) и несущей способности реальных конструкций самых различных отраслей техники и строительства. При этом эффективно решаются задачи как общей, так и локальной прочности. Развитие метода конечных элементов на динамические и нелинейные проблемы предоставляют возможность достоверно моделировать такие сложные процессы, как разрушение, удар, потеря устойчивости, штамповка, вытяжка и т.д. Практически все задачи МДТТ получили постановку и алгоритмы решения в рамках конечноэлементных методик.

Традиционно в МДТТ для решения нелинейных задач получило распространение лагранжево описание среды, согласно которому состояние элементарного объема описывается в компонентах вектора перемещений из недеформированного состояния в деформированное и второго тензора напряжений Пиолы-Кирхгофа, также отнесенного к недеформированному объему. В этом случае хорошо формулируется краевая задача в дифференциальной или вариационной форме, для решения которой возможно использование различных численных методов. Однако подобный подход имеет существенный недостаток в задачах с большими деформациями. Он связан со сложностью построения определяющих соотношений между используемыми тензорами напряжений и деформаций, который особенно сильно проявляется при постулировании определяющих соотношений в дифференциальной (скоростной) форме. Тогда, если течение среды описывать в эйлеровой постановке, то можно эти трудности обойти.

Цель работы:

на основе пошагового нагружения в рамках комбинированного лагранжево-

эйлерового описания сплошной

исследования

процесса деформирования трехмерных неупругих тел с учетом больших перемещений, поворотов и конечных деформаций;

построить определяющие соотношения в скоростях напряжений, рассмотреть класс гиперупругих, упругопластических и

вязкоупругопластических материалов;

получить разрешающие уравнения и разработать алгоритм решения задач механики твердого деформируемого тела с учетом физической нелинейности;

на основе метода продолжения по параметру разработать алгоритм исследования закритического поведения при потере устойчивости;

на основе метода конечных элементов разработать алгоритм и создать программное обеспечение для решения указанного класса задач;

решить ряд тестовых и прикладных задач нелинейного деформирования неупругих тел.

Научную новизну работы составляет использование современного описания процесса деформирования и течения среды в сочетании с шаговой процедурой нагружения и итерационным уточнением напряженного состояния в каждой текущей точке исследуемого объема.

Приведенные численные примеры демонстрируют широкие возможности и эффективность настоящей методики решения нелинейных задач механики твердого деформируемого тела. На защиту выносятся:

методика исследования напряжено-деформированного состояния вязкоупругопластических тел с учетом больших перемещений, поворотов и конечных деформаций, основанная на методе пошагового нагружения в рамках комбинированного лагранжево-эйлерового описания сплошной среды;

методика исследования закритического поведения при потере устойчивости на основе метода продолжения решения по параметру;

численный алгоритм и программное обеспечение на базе конечноэлементной дискретизации, позволяющее решать задачи указанного класса;

результаты решения ряда нелинейных задач механики деформируемого твердого тела.

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгими математическими постановками, хорошим совпадением численных решений тестовых задач с аналитическими или полученными другими авторами.

Практическая значимость работы заключается в возможности использования разработанной вычислительной методики для расчета напряжено-деформированного состояния реальных конструкций, для исследования широкого класса материалов, таких как эластомеров, пеноматериалов, фунтов и т.д., также ее можно развить на задачи моделирования технологических процессов и движения многофазных сред.

Апробация работы. Отдельные результаты и работа в целом доложены на итоговых научных конференции КГУ (Казань, 2003-2005), Международных молодежных школах-конференциях «Лобачевские чтения» (Казань, 2002, 2003), городском научно-методическом семинаре кафедры теоретической механики КГТУ (Казань, 2003), итоговой научной конференции казанского научного центра РАН (Казань, 2003), XV Всероссийской межвузовской научно-технической конференции «Электромеханические и внутрикамерные процессы в энергетических установках, струйная акустика и диагностика, приборы и методы контроля природной среды, веществ, материалов и изделий» (Казань, 2003), городской научно-практической конференции «Студенты Зеленодольску» (Зеленодольск, 2003), Международной научной конференции «Фундаментальные и прикладные вопросы механики» (Хабаровск, 2003), Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2004), Всероссийском семинаре «Сеточные методы для краевых задач и приложения (Казань, 2004), Международной научной конференции «Актуальные проблемы математики и механики (Казань, 2004), XVII сессии Международной школы «Модели механики сплошной среды» (Казань, 2004), Х-ом и Х1-ом Международных симпозиумах «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» (Ярополец, 2004, 2005), XII международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Владимир, 2003); XIV международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Алушта. 2005): Школе молодых ученных по механике сплошных сред (Пермь, 2003, 2005), XX Международных конференциях «Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов» (Санкт-Петербург, 2003, 2005); семинарах кафедры теоретической механики КГУ и лаборатории механики оболочек НИИММ КГУ им. Н.Г. Чеботарева (Казань, 2005).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 20 научных работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 141 страниц, включая 78 рисунок и список литературы из 176 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится обзор работ, близких к теме диссертации, сформулированы актуальность, цель работы, ее структура, выписаны положения, выносимые на защиту.

Первая глава посвящена нелинейной механики деформируемых тел. Рассматривается кинематика деформируемой среды, вводятся тензоры и меры деформации и геометрический смысл их компонент. Приведены различные тензоры напряжений, получившие распространение в МДТТ, а также уравнения движения среды. Приводится вариационное уравнение принципа виртуальных мощностей, получено уравнение в скоростях напряжений.

Для описания процесса деформирования используется комбинированная лагранжево-эйлерова постановка. Поведение материальной точки Элементарного объема) отслеживается в соответствии с лагранжевым методом описания среды, а в текущий момент времени процесс деформирования представляет собой течение среды с некоторыми физико-механическими свойствами. Это соответствует подходу Эйлера, широко применяемого в механике сплошных сред.

Напряженное состояние описывается тензором истинных напряжений

Коши-Эйлера (х) = а''ё1 <8> , здесь е1 - орты глобальной декартовой системы

координат. Исходным является уравнение виртуальных мощностей в актуальной конфигурации

0(1) ■ {М\П = |Ц7 • ЗиеШ + Цр ■ 5и<Е, (1)

о о ь°

где и - скорость изменения конфигурации, (г/) - тензор деформации

скорости, О - текущий объем, Б" - часть его поверхности, на которой заданы усилия, /, р - векторы массовых и поверхностных сил. Путем линеаризации уравнения мощностей (1) получено уравнение в скоростях напряжений

о I-

-ш

бисЮ.-

Л?

- -./

+ Р-7

сК1

(2)

где J - относительное изменение объема в процессе деформирования.

Во второй главе рассматривается вопрос о построениие определяющих соотношений и разрешающих уравнений.

Рассмотрено свойство индифферентности и инвариантности различных тензоров, вводится в рассмотрение производная Яуманна тензора напряжений Коши-Эйлера (е1 ), которая имеет вид

(3)

где (0) - тензор скоростей поворота.

Описывается класс нелинейно упругих материалов, для которых предполагается существование потенциальной энергии упругой деформации (V как функции инвариантов тех или иных мер деформаций, производная от которой по соответствующей мере деформации определяет тензор напряжений, в частности

/д\У дВ

где (В) - мера деформации Фингера (левый тензор Коши-Грина).

В качестве примера рассмотрен стандартный материал второго порядка, для которого определяющее соотношение в скоростях напряжений записывается в следующем виде

Ц|(/)..(б).-з)-(4 -(4 (5>

2

3

Здесь Я , И - коэффициенты Ляме обычного закона Гука, /|Д , /2В - соответственно первый и второй инварианты тензора (В).

При решении задач с учетом пластического деформирования используется аддитивное представление для деформации скорости, считается, что относительное изменение объема является упругой деформацией скорости, предполагается справедливость ассоциированного закона течения.

Рассмотрен идеально пластический изотропный материал. Для удобства тензоры деформации скорости и напряжений разложены на шаровые части

г/„ - ] с1", <т0 = уст", и девиаторы = - 8и<10, ст"} = &' - 8ца0, где 8Ч -

символ Кронекера.

Физические соотношения упругого деформирования записаны в виде линейной зависимости между производной Яуманна тензора напряжения (3) и тензора деформации скорости

(е;)=З4Ц (Г)=2си, (6)

где О - модуль сдвига, К - модуль объемного сжатия. В этом случае соотношения упругости будут полностью удовлетворять принципу индифферентности.

В качестве условия пластичности в работе используется критерий Губера-Мизеса, для которого функция текучести Ф имеет вид

ф(а")=£г(-<у/=0, (7)

где а, - интенсивность напряжений, а1 - передел текучести. Для материалов с внутренним трением применяется условие пластичности Мизеса-Боткина

ф(а«)=~а,-С' +о01Е<р- =0, (8)

здесь С", <р" - сцепление и угол внутреннего трения на октаэдрических площадках.

В рамках классической теории течения пластическое деформирование моделируется на основе метода проецирования напряжений на поверхность текучести. То есть, если имеется два бесконечно близких состояния / и (/+1), то по известным параметрам /-го состояния определяется напряжения (/+1). Сначала вычисляется тензор пробных напряжений (е)= , где (¿) определяется

с помощью (3) и (6). Тогда шаровая часть тензора истинных напряжений будет иметь вид

("%)=(£о), (9)

а девиатор истинных напряжений определяется как проекция девиатора «пробных» на поверхность текучести.

а,

При моделировании процессов деформирования с учетом деформаций ползучести, используется аддитивное представление деформации скорости. Рассмотрена обобщенная модель Максвелла, при учете пластических деформаций используется теория течения и метод проецирования напряжений на поверхность текучести. Определяющие соотношения в этом случае записаны как ($0)=ЗАГ(<Ц

где 77 - коэффициент вязкости.

Для каждой модели поведения среды получены разрешающие уравнения, путем подстановки соответствующих физических соотношений в уравнение (2).

Третья глава посвящена методике, основанной на методе пошагового нагружения, численного решения нелинейных задач. Приводится общий алгоритм решения, на каждом шаге проводится итерационное уточнение текущего НДС. Для исследования закритического поведения конструкций разработан алгоритм на основе метода продолжения по параметру. Дается конечноэлементная дискретизация на базе восьмиузлового элемента.

Для решения нелинейных задач используется метод последовательных нагружений, который может быть естественно реализован в рамках МКЭ. Процесс деформирования представляется в виде последовательности равновесных состояний. Переход от предыдущего состояния к последующему происходит путем приращения нагрузки. Методика расчета состоит в разработке алгоритма вычисления (7+1)-го состояния при известных параметрах процесса /го состояния.

На каждом шаге нагружения строится разрешающее уравнение, в которое входит особое слагаемое, невязка. По физическому смыслу это есть уравнение виртуальных мощностей (1) в /-м состоянии, которое должно удовлетворяться для точного решения. Т.к. это уравнение на шаге нагружения в настоящей методике точно не выполняется, то его вводим в линеаризованное уравнение в виде невязки. Опыт решения нелинейных задач в шаговой постановке (в том числе и представленной в настоящей работе) свидетельствует, что наличие такого рода слагаемых в правой части соответствующего линеаризованного уравнения

препятствует накоплению ошибок и не позволяет решению удаляться от действительной кривой деформирования.

Полученное уравнение является линейным относительно скорости 'о . Т.к. исследуемые процессы не имеют явного динамического характера (ускорения не учитываются), то под временем можно понимать любой монотонно возрастающий параметр, определяющий изменение нагрузки. В таком аспекте вполне уместно принять производную по времени как отношение приращения соответствующих величин, получаемых при переходе с 1-го состояния в (/+1)-ое.

В результате конечноэлементной дискретизации получено уравнение для приращений перемещений в узловых точках {д'и}

(12)

где ['/г] - матрица левых частей, {а'/5} - вектор приращения узловых сил,

{'#} - вектор невязки.

Решая систему алгебраических уравнений (12), получим приращение

перемещений, с помощью которых определим конфигурацию (/+1) шага

/+|Л = 'Я+Д'и и напряженное состояние .

При появлении пластических деформаций и вследствие использования метода проецирования напряжений на поверхность текучести (9), (10), полученное напряженное состояние не удовлетворяет разрешающей системе уравнений (12). Поэтому применяется итерационное уточнение текущего НДС. Эта итерационная процедура основана на введение в разрешающее уравнение вариации мощности «дополнительных напряжений» (Ей) на возможных

деформациях скорости Д^'Е"' )■ [з'с^К!., где дополнительные напряжения

определяются как разность девиаторов истинных и «пробных» напряжений. Итоговое уравнение для т-ой итерации на 1-м шаге нагружения имеет вид

№Ми}=М-М-{'Н (13)

где {'5""} - вектор дополнительных напряжений.

При исследовании вязкоупругопластичеких деформаций алгоритм итерационного уточнения выглядит аналогично лишь за исключением разрешающего уравнения, в котором в правой части появляется дополнительное

слагаемое ('£')• , характеризующее вязкие деформации,

о ^

При исследовании закритического поведения при потере устойчивости нагружение не носит монотонно возрастающего характера, вследствие чего применение классического шагового метода представляется невозможным, тогда используется алгоритм, основанный на методе продолжения по параметру.

Процесс деформирования представляется в виде последовательности равновесных состояний, тогда на очередном шаге имеем систему линейных алгебраических уравнений (13).

Считаем, что известны все параметры /-го состояния. На очередном шаге приращение прикладываемой нагрузки является неизвестной и представляется в

следующем виде {а'/*}—Д'/{/'0}, где {Рр} - вектор, задающий направление

нагружения, а А'/ - параметр, определяющий приращение нагрузки, который надо найти. Тогда решение ищется в виде проекции касательной к кривой деформ ирования

{ДГ}, Д'/='Мм/ - Аг, где ' Л - параметр, определяющий величину шага, {а''м,Д' '/] вектор касательной, {дк.дл} - вектор проекции касательной к кривой деформирования, который находится из условия ортогональности вектора касательной к вектору проекции и уравнения равновесия.

Параметр 'Л, определяющий длину касательной на каждом шаге, в приведенных ниже численных расчетах принят как отношение длины дуги на предыдущем шаге приращения к длине дуги на первом шаге.

Пространственная дискретизация основана на методе конечных элементов в рамках полилинейной трехмерной изопараметрической аппроксимации на базе восьмиузлового элемента.

В четвертой главе приводится решение тестовых и прикладных задач. В качестве тестовых, рассмотрены следующие задачи: упругопластическое деформирование толстостенной балки под действием внутреннего давления, исследование закритического поведения упругой арки, растяжение вязкоупругого бруса; приводятся сравнения с результатами, полученными аналитическим путем. В качестве новых и прикладных задач решены упругопластическое деформирование балки, упругое деформирование плиты из стандартного материала второго порядка, вязкоупругопластическое деформирование «подковы», упругопластическое деформирование трубы с учетом потери устойчивости, расчет фунтовой насыпи.

1. Задача об изгибе в кольцо упругой балки прямоугольного поперечного сечения, жестка защемленной с одной стороны и нагруженной изгибающим моментом с другой. Определяющие соотношения записаны в виде (6). Значение момента, при котором балка изгибается в кольцо, было найдено из аналитического решения. Параметрическое исследование

Рис.

"/ } *«» У,

Ч I!

по изменению сетки конечных элементов показало, что увеличение числа элементов по высоте мало сказывается на точности решения, наибольшее влияние оказывает число элементов по длине. Величина шага нагружения существенно влияет на точность, что вполне объяснимо. На рис. 1 изображено деформированное состояние балки и несколько промежуточных этапов нагружения при сетке конечных элементов 200х 1*1, 1000 шагов.

2. Распределение напряжений в толстостенной длинной трубе под осесимметричным внутренним давлением р при упругопластичном деформировании в геометрически линейной постановке (плоская задача). Внутренний радиус трубы а = 1 см, внешний Ь=2 см, модуль упругости £=2000000 кг/см2; коэффициент Пуассона ,«=0.3. Материал полагаем идеально пластическим, критерием пластичности служит условие Губера-Мизеса (7), физические соотношения упругого деформирования записываются в виде (6). Из аналитического решения было найдено отношение внутреннего давления к пределу текучести р/а7=0.7208, при котором радиус пластической зоны с* 1.5 см. На рис. 2 показано распределение радиальных и окружных напряжений в трубе по отношению к пределу текучести при сетке конечных элементов 80*20, а также аналитическое решение (штрихованная линия).

Далее задача была решена с учетом геометрической нелинейности с использованием сетки конечных элементов размером 40*20. При этом варьировался модуль упругости £, а величина внутреннего давления р подбиралась таким образом, чтобы радиус пластической зоны соответствовал с=1.5 см. Нагрузка была разделена на 50 шагов. Так на рис. 3 изображены деформированные состояния при различных значениях £ и р: £=2000000 кг/см2, /у'ег/=0.7208 (геометрически линейная задача) - рис. 3, сг, £=200000 кг/см2, р/и,=0.6584 - рис. 3, б; £=1000 кг/см2, р/<тг=0.6057 - рис. 3, в; £=200 кг/см2, /7/(77-0,3578 - рис. 3, р. Темным цветом изображены области пластического деформирования. Исследование показало, что при уменьшении жесткости

Рис. 2

Рис.3

материала, величина внутреннего давления, необходимого для появления заданной области пластичности, также убывает, а труба все более расширяется. В частности, ее диаметр существенно изменяется, а толщина уменьшается. Также отметим, что при решении задачи с учетом конечных деформаций, перемещений и поворотов, в отличие от геометрически линейной постановки, величина внутреннего давления также падает.

3. Задача об упругом

деформировании плиты из стандартного материала второго порядка (5) под действием равномерного давления д - 40 кг / см2. Нижнее ребро плиты не имеет вертикального смещения. Плита -

/шштФ^

квадратная со стороной а~20 см и толщиной /?=0.5 см, £=1000 кг/см2, //=0.3. На рис. 4 изображено деформированное состояние плиты.

СНШ

"'V

Рис.4

4. Упругопластическое деформирование жестко защемленной с обоих концов балки прямоугольного поперечного сечения под действием распределенной нагрузки ц= 25 кг/см2. Длина балки /=25 см, высота й=1 см, ширина ¿=0.125 см, ¿5=20000 кг/см2, ц=0, предел текучести сгт=750 кг/см2. Материал идеально пластический, подчиняющийся критерию пластичности Губера-Мизеса (7), определяющие соотношения заданы в виде (6). Т.к задача является симметричной, то достаточно рассмотреть половину балки, введя дополнительные условия симметрии. При решении используем сетку конечных элементов размером 100* 10х I. Нагрузка разбита на 100 шагов.

Рис. 5

На рис. 5 показано распределение интенсивности пластических деформаций в нагруженном и разгруженном состояниях для половины балки. Интересно отметить в этой задаче наличие впадины в окрестности защемления, а

именно в этой зоне возникают конечные пластические деформации. Наличие этой впадины объясняется учетом физической нелинейности, так как в упругой задаче она не появляется.

На рис. 6 приведены графики зависимости от нагрузки интенсивности напряжений в точках, указанных на рис. 5, где сплошной линией показан этап нагружения, а штрихом - этап разгрузки. Так в точке 1 можно наблюдать этап упругого деформирования с возрастанием интенсивности напряжений, затем наступает этап пластического с возрастанием интенсивности пластических деформаций; при разгрузке сначала происходит убывание интенсивности .» напряжений с неизменными пластическими деформациями, затем увеличение до

предела текучести и наступление этапа догрузки с возрастанием пластических деформаций (здесь имеет место влияния впадины). В точке 2 и 4, как видно из графиков, после достижения предела текучести, возникают пластические деформации, которые сохраняются и после снятия нагрузки. Однако, в точке 2 можно наблюдать эффект падения интенсивности напряжений при возрастании нагрузки. В точке 3 возникают лишь упругие деформации.

5. Задача устойчивости шарнирно опертой круговой нерастяжимой арки под равномерным давлением. Радиус арки 10 см, центральный угол равен ж рад, толщина и ширина арки - 1 см, £=2000 кг/см2, ¡л=0. Физические соотношения выбраны в виде (6).

В силу симметрии рассматривалась половина арки, разбитая на сетку конечных элементов размером 120*2Х1, с постановкой граничных условий шарнирного опирания для конца арки (узлы, расположенные на средней линии основания полностью защемлены) и условий симметрии для центральной точки (узлы не имеют горизонтального смещения). Решение основано на методе продолжения решения по параметру. Значение критической нагрузки </* =1 ЗАЪкг/см2, полученной настоящей методикой, практически совпадает с

50 —1

Рис. 7

Рис. 8

аналитическим решением q1 = 1.333кг!см1. На рис. 7 приведен график зависимости нагрузки от прогиба средней точки арки, на рис. 8 -деформированное состояние.

6. Растяжение вязкоупругого бруса. Рассмотрен брус квадратного поперечного сечения, на одном конце »-,

которого заданы напряжения cr(t) = a°t, а другой - защемлен. В качестве ' реологической модели выбрана обобщенная модель Максвелла (11). е

На рис. 9 приводится сравнение -точного решения (штрихованная линия) и решения, полученное настоящей методикой. Как видно результаты практически 2_ идентичны при малых деформациях и начинают расходиться при увеличении величины деформации, что вполне очевидно, так как точное решение справедливо при малых растяжениях. Рис. 9

7. Решена задача изгиба конструкции, конечноэлементная модель которой представлена на рис. 10. В силу симметрии рассмотрена полконструкции, которая разбита на две подконструкции: четырехугольное основание и обод. Примем, что левый конец основания защемлен, вертикально направленная вниз нагрузка равномерно распределена по верхней грани обода и изменяется по закону q = q0t. Задача решалась за 150 шагов при следующих параметрах: внутренний радиус обода равен 10 см, внешний - 20 см, ширина левого края основания - 5 см, правого - 10 см, длина - 20 см, толщина конструкции -

\ см, £ = 2.0х 10" кг/см2, //=0.3, 77 = l.OxlO7 , qa =2.0 кг/см2,

см

а, —1500 к? / см2. Четырехугольное основание было разбито на 20 конечных элементов по длине, 10 - по ширине, 1 - по толщине, обод - 20 элементов по окружному направлению, 10 - по радиальному, 1 - по толщине. Реологическая модель записана в виде (11), условие пластичности (7). Также для наглядности была решена аналогичная задача, но без учета деформаций ползучести.

На рис. 11 представлено деформированное состояние конструкции с распределением интенсивности пластических деформаций. На рис. 12 показан график зависимости перемещения точки А от нагрузки, на рис. 13 - зависимость интенсивности напряжений в точке В, где штриховыми линиями обозначено решения без учета вязкости, а сплошной - с учетом последних. Из приведенных рисунков, видно, что учет деформаций ползучести ведет к понижению скорости развития напряжений при возрастании деформаций.

Рис. 12 Рис. 13

8. Закритическое поведение толстостенной трубы под воздействием моментов, приложенных с обоих концов. Физические соотношения записаны в виде (6), используется условие пластичности (7). Внешний радиус трубы - 5 см, длина трубы - 50 см, толщина - 1 см, Е=2000 кг/см2, //-0.3, а, =250 кг/см2.

Рис. 14 Рис. 15

На рис. 14 приведен график нагрузка-перемещение конца трубы, где а -некий параметр нагружения. На рис. 15 показано распределение интенсивности пластических деформаций. Как видно, в трубе в процессе деформирования

происходит перестройка формы, и появляются вмятины. В области перестройки формы возникают пластические деформации, а наибольшие - во вмятинах.

9. Задача деформирования фунтовой насыпи под действие собственного веса и нагружения.

Грунтовый массив представляется как сплошная среда, обладающая специфическими физико-механическими свойствами. Исследовано НДС фунтовой насыпи под действием собственного веса и нагрузки, равномерно распределенной по верхней грани, нижняя фань не имеет вертикальных смещений, а боковые - горизонтальных (рис. 16). Рассмотрен случай плоского деформирования. Считается, что фунт - однородная среда со следующими физико-механическими свойствами модуль деформации £=0,160 МПа, коэффициент бокового расширения //=0.42, сцепление С=40 КПа, угол внутреннего трения ср= 17°, плотность р=2000 кг/м3, величина нафузки ¡7=0.40 МПа. Физические соотношения записаны в виде (6), в качестве условия текучести выбран критерий Мизеса-Боткина (8). Процесс деформирования был разбит на два этапа. На первом этапе производился расчет под действием собственного веса. Затем исследовалась насыпь под действием нафузки с учетом напряженного состояния, полученного на предыдущем этапе.

о

Рис. 16 Рис. 17

На рис. 17 показано распределение интенсивности пластических деформаций. Из рис. 17 видно, что грунт в районе нафужения имеет осадку, максимальные пластические деформации возникают на склонах. Зона пластических деформаций имеет небольшую площадь, поэтому при таком нафужении для данной формы насыпи не возникает опасных участков.

В заключении приводятся основные результаты и выводы, полученные в диссертации:

построены разрешающие уравнения и определяющие соотношения для сред с различными физическими свойствами. Приведен алгоритм решения задачи гиперупругого, упругопластического и вязкоупругопластического деформирования, рассмотрены критерия пластичности Губера-Мизеса и Мизеса-Боткина. Процесс пластического деформирования моделируется на основе метода проецирования напряжений на поверхность текучести с итерационным уточнением текущего напряженно-деформированного состояния;

для исследования процесса деформирования с учетом потери устойчивости разработан алгоритм, основанный на методе продолжения решения по параметру.

на базе конечноэлементной дискретизации разработана численная методика и создан соответствующий программный пакет для решения нелинейных задач на языке Fortran-90;

приведенные численные примеры демонстрируют широкие возможности и эффективность настоящей методики решения нелинейных задач механики твердого деформируемого тела.

Представленная в настоящей работе вычислительная технология решения задач механики деформируемого тела позволяет исследовать широкий класс материалов, в рамки описанной методологии легко укладываются разнообразные физические модели поведения сред. Описанная методика позволяет формулировать и решать задачи моделирования технологических процессов обработки материалов, движения многофазных сред, одной из фаз которых является деформируемый скелет (матрица). При этом нет никаких ограничений на величины деформаций.

Публикации по теме диссертации:

1. Голованов А.И. Численное моделирование больших деформаций неупругих трехмерных тел / А.И. Голованов, Ю.Г. Коноплев, С.А. Кузнецов, Л.У. Султанов // Наукоемкие технологии. - 2004. - №4. - Т. 5. - С. 52-60.

2. Голованов А.И. Расчет больших упругопластических деформаций трехмерных тел МКЭ / А.И. Голованов, Л.У. Султанов // Математ. моделир. систем и процессов: Межвуз. сб. науч. тр. - Пермь: Перм. гос. техн. ун-т, 2004. -№12. - С. 4-11.

3. Голованов А.И. Численный расчет больших упругих деформаций трехмерных тел / А.И. Голованов, Л.У. Султанов // Прикладная математика и механика: сб. науч. тр. - Ульяновск: УлГТУ, 2004. - С. 180-182.

4. Голованов А.И. Исследование больших деформаций упругих трехмерных тел МКЭ / А.И. Голованов, Л.У. Султанов // Фундаментальные и прикладные вопросы механики / сб. докл. междунар. науч. конф. Т. 2 Хабаровск: Изд-во Хабар, гос. техн. ун-та, 2003. - С. 41-47.

5. Голованов А.И. Пошаговое исследование больших деформаций упругих тел / А.И. Голованов, Л.У. Султанов // Электромеханические и внутрикамерные процессы в энергетических установках, струйная акустика и диагностика, приборы и методы контроля природной среды, веществ, материалов

Т и изделий / сб. материалов XV Всеросс. межвузов, науч.-техн.й конф. Ч. 1. -

Казань: КГУ, 2003. - С. 324-325.

6. Голованов А.И. Исследование больших упругопластических деформаций трехмерных тел / А.И. Голованов, Ю.Г. Коноплев, С.А. Кузнецов, Л.У. Султанов // Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов / Тр. XX Междунар. конф. (СПб., 2426 сен., 2003 г.). - Т. 2. - СПб: 2003 - С. 128-133

7. Голованов А.И. Исследование больших упругопластических деформаций трехмерных тел / А.И. Голованов, Ю.Г. Коноплев, С.А. Кузнецов,

Л.У. Султанов, О.И. Борецкий // Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов / тез. докл. XX Междунар. конф. (СПб., 24-26 сен., 2003 г.). - СПб: 2003. - С. 51-53

8. Голованов А.И. Постановка задачи и разработка алгоритма исследования больших деформаций упругих тел / А.И. Голованов, A.C. Сенникова, Л.У. Султанов // Зимняя школа по механике сплошных сред (тринадцатая). Школа молодых ученных по механике сплошных сред / тез. докл. - Пермь: 2003. - С. 109.

9. Голованов А.И. Пошаговое исследование больших деформаций упругих тел МКЭ / А.И. Голованов, Л.У. Султанов // Двенадцатая Междунар. конф. по вычислительной механике и современным прикладным программным системам / тез. докл. (Владимир, 30 июня-5 июля, 2003 г.). - Т. 2. - М.: Изд-во МАИ, 2003. - С. 197-198.

10. Голованов А.И. Численное исследование больших деформаций неупругих трехмерных тел МКЭ / А.И. Голованов, Л.У. Султанов // Материалы XVII сессии Междунар. шк. по моделям механики сплошной среды / Тр. математ. центра имени Н.И. Лобачевского Т. 27. - Казань: Изд-во Казанск. матем. общ-ва, 2004. - С. 126-129.

П.Голованов А.И. Численное исследование закритического состояния упругих тел с учетом больших деформаций / А.И. Голованов, Л.У. Султанов // Сеточные методы для краевых задач и приложения / материалы всерос. семинара, посвященного 200-летию Казан, гос. ун-та. - Казань: КГУ, 2004. -С. 43-47.

12. Голованов А.И. Исследование закритического состояния упругопластических тел с учетом больших деформаций / А.И. Голованов, Л.У. Султанов // Актуальные проблемы математики и механики / Материалы междунар. науч. конф. / Тр. математ. центра им. Н.И. Лобачевского Т. 25. -Казань: Изд-во казанск. матем. общ-ва, 2004. - С. 90-91.

13. Голованов А.И. Численный расчет больших упругопластических деформаций трехмерных тел / А.И. Голованов, Л.У. Султанов // Математ. моделир. и краевые задачи / Тр. Всерос. науч. конф. Ч. 1. - Самара, 2004. -С. 60-62.

14. Голованов А.И. Исследование больших деформаций упругопластических трехмерных тел МКЭ / А.И. Голованов, Л.У. Султанов // Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред / материалы XI Междунар. симп. - Т. 1. - М: Изд-во МАИ, 2005. -С.57-59.

15. Голованов А.И. Пошаговое исследование больших упругопластических деформаций трехмерных тел методом конечных элементов / А.И. Голованов, Л.У. Султанов // Зимняя школа по механике сплошных сред (четырнадцатая). Шк. молодых ученных по механике сплошных сред / тез. докл. - Пермь: 2005. - С. 86.

16. Голованов А.И. Численное исследование упругопластических тел при больших деформациях / А.И. Голованов, Л.У. Султанов // Материалы XIV Междунар. конф. по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Алушта, Крым, 25-31 мая, 2005 г.) - М.: Вузовская книга: 2005. - С. 127-129.

17. Голованов А.И. Исследование больших вязкоупругопластических деформаций трехмерных тел / А.И. Голованов, Л.У. Султанов // Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов / Тр. XXI Междунар. конф. (СПб., 4-7 окт., 2005 г.). -Т. 1. - СПб: ВВМ, 2005 - С. 70-72.

18. Сенникова A.C. Постановка задачи и разработка алгоритма исследования больших деформаций упругих тел / A.C. Сенникова, Л.У. Султанов // Лобачевские чтения-2002 / Материалы междунар. молодеж. шк.-конф. / Тр. Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. Т. 18. Казань: Изд-во Казанск. матем. об-ва, 2002. - С. 88-89.

19. Султанов Л.У. Расчет больших деформаций упругих тел МКЭ / Л.У. Султанов // Студенты Зеленодольску: городская научн.-практ. конф. / сб. докл. - Зеленодольск: 2003. - С. 53-64.

20. Султанов Л.У. Исследование больших деформаций упругопластических тел / Л.У. Султанов // Лобачевские чтения - 2003 / Материалы третьей Всерос. молодеж. науч. шк.-конф. / Тр. Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. Т. 21. - Казань: Изд-во Казанск. матем. об-ва, 2003. -С. 202-204.

№2 1 2 4&

РНБ Русский фонд

2006-4 18740

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательского центра Казанского государственного университета им.В.И.Ульянова-Ленина Тираж 120 экз. Заказ 10/50

420008, ул. Университетская, 17 тел.: 231-53-59,292-65-60

ВВЕДЕНИЕ.

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ.

ГЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНАЯ МЕХАНИКА ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТЕЛ.

1.1. Кинематика движения среды.

1.2. Напряженное состояние.

1.3. Уравнения движения.

1.4. Принцип виртуальных мощностей.

1.5. Вариационное уравнение в скоростях напряжений.

ГЛАВА 2. ФИЗИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТЕРИАЛЫ. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ.

2.1. Свойство индифферентности.

2.2. Нелинейно упругое тело.

2.3. Стандартный материал второго порядка.

2.4. Определяющие соотношения в виде линейного закона Гука.

2.5. Условие пластичности.

2.6. Основные положения теории пластического течения. щ 2.7. Метод проецирования напряжений на поверхность текучести.

2.8. Основные положения теории ползучести.

ГЛАВА 3. МЕТОД ПОШАГОВОГО НАГРУЖЕНИЯ.

3.1. Общий алгоритм.

3.2. Итерационное уточнение текущего НДС.

3.3. Исследование закритического состояния.

3.4. Конечноэлементная дискретизация.

3.5. Пересчет напряжений и геометрии.

3.6. Решение СЛАУ.

3.7. Описание пакета прикладных программ.

- ГЛАВА 4. ЧИСЛЕННЫЕ ПРИМЕРЫ.

4.1. Изгиб балки в кольцо.

4.2. Упругопластическое деформирование толстостенной трубы.

4.3. Упругое деформирование прямоугольной плиты.

4.4. Упругопластическое деформирование балки.

4.5. Исследование закритического поведения арки.

4.6. Растяжение вязкоупругого бруса.

4.7. Вязкоупругопластическое деформирование «подковы».

4.8. Упругопластическое деформирование трубы.

4.9. Расчет грунтовой насыпи.;.

В последнее время со стороны исследователей значительно возрос интерес к нелинейным задачам механики твердого деформируемого тела, учитывающих все более сложные процессы. Такие задачи возникают в производстве, где широко используются материалы со сложными физико-механическими свойствами, также существует проблема моделирования технологических процессов. При этом нужно учитывать, что в элементах конструкций могут возникать конечные деформации, и решение задач такого рода осложняется тем, что материалы характеризуются различными физическими свойствами, такими как упругость, пластичность, вязкость. Поэтому создание эффективных методик исследования нелинейных процессов деформирования, применимых к более широкому классу задач, является актуальной задачей на сегодняшний день.

Настоящая работа посвящена разработке и численной реализации методики исследования напряженно-деформированного состояния (НДС) вязкоупругопластических трехмерных тел с учетом больших перемещений, поворотов и конечных деформаций. Используется процедура пошагового нагружения в рамках комбинированного лагранжево-эйлерового описания деформирования среды. Для исследования закритического поведения используется алгоритм, основанный на методе продолжения решения по параметру. Пространственная дискретизация основана на методе конечных элементов (МКЭ) в рамках полилинейной трехмерной изопараметрической аппроксимации.

Для решения нелинейных задач используются, как правило, численные методы, к которым относится МКЭ. В настоящее время МКЭ является самым популярным способом решения практических задач механики деформируемого твердого тела (МДТТ). С его помощью проводят расчеты по определению НДС и несущей способности реальных конструкций самых различных отраслей техники и строительства. При этом эффективно решаются задачи как общей, так и локальной прочности. Развитие метода конечных элементов на динамические и нелинейные проблемы предоставляют возможность достоверно моделировать такие сложные процессы, как разрушение, удар, потеря устойчивости, штамповка, вытяжка и т.д. Практически все задачи МДТТ получили постановку и алгоритмы решения в рамках конечноэлементных методик. Существует множество публикаций, в которых обсуждаются теоретические и практические аспекты применения МКЭ. Среди них можно отметить работы [3, 4, 5, 17, 26, 33, 39, 50, 51, 58, 74, 75, 82, 84-87, 89, 93, 110112,174-176].

Для решения задач МДТТ с учетом физической и геометрической нелинейностей используются численные методы, которые можно разделить на две группы. Первая предполагает использование итерационных методов (метод простой итерации, метод Ньютона и т.д.) для решения системы нелинейных обыкновенных дифференциальных или алгебраических уравнений. Но в рамках современных численных методов наиболее популярными являются шаговые методы (методы последовательных нагружений), в соответствии с которыми-процесс деформирования представляется как последовательность равновесных состояний и переход из текущего состояния в последующее определяется приращением нагрузки (изменением граничных условий, области определения и т.д.). Эти методы условно можно разделить на три подгруппы [79]: первая -предполагает использование принципа виртуальных перемещений, в котором все величины отнесены к исходному недеформированному состоянию (глобальная лагранжева постановка); вторая - основана на том же вариационном уравнении, но в качестве базовой используется текущая метрика (модернизированная лагранжева постановка) [3, 4, 33, 44, 47, 52, 63, 86, 85, 110112, 114, 116, 118, 167]; третья - представляет собой комбинированную лагранжево-эйлерову постановку, согласно которой отслеживается поведение материальной точки (элементарного объема) в соответствии с лагранжевым методом описания среды, но в текущем состоянии ставится задача о течении среды в соответствии с эйлеровым подходом [31, 124, 143, 166]. Традиционно в механике деформируемого твердого тела для решения геометрически нелинейных задач получило распространение лагранжево описание среды, согласно которому состояние элементарного объема описывается в компонентах вектора перемещений из недеформированного состояния в деформированное и второго тензора напряжений Пиолы-Кирхгофа, также отнесенного к недеформированному объему. В этом случае хорошо формулируется краевая задача в дифференциальной или вариационной форме, для решения которой возможно использование различных численных методов. Однако подобный подход имеет существенный недостаток в задачах с конечными деформациями. Он связан со сложностью построения определяющих соотношений между используемыми тензорами напряжений и деформаций, который особенно сильно проявляется при постулировании определяющих соотношений в дифференциальной (скоростной) форме. Тогда, если течение среды описывать в эйлеровой постановке, то эти трудности можно обойти.

При решении задач с учетом пластических деформаций применяются методы линеаризации, которые делятся на две группы. К первой группе относятся метод переменной жесткости (или метод касательной жесткости) [127, 134, 137, 173], метод переменных параметров упругости [97], процедура решения которых аналогична методу Ньютона. К недостаткам этих методов относится то, что на каждой итерации приходится переопределять компоненты матрицы системы уравнений, что приводит к значительным затратам времени решения.

Во вторую группу входят методы, основанные на идее метода Ньютона-Рафсона решения нелинейных алгебраических задач,' таких как метод упругих решений А.А. Ильюшина [9, 10, 56, 59, 105], метод начальных напряжений [126, 173], метод начальных деформаций [2, 7, 8, 97]. В этом случае т коэффициенты матрицы системы алгебраических уравнений на итерациях не изменяется, что является основным преимуществом методов второй группы. Данное обстоятельство позволяет существенно сократить время решения системы линейных алгебраических уравнений.

При решении нелинейных задач с учетом особых точек разработаны алгоритмы, предусматривающие регуляризацию уравнений и получение многозначных решений. Базовым является алгоритм на основе методов продолжения по параметру. Метод продолжения решения по параметру был сформулирован М. Лаэем (М. Lahaye) и Д. Давиденко как метод построения множества решений нелинейных уравнений, содержащих параметр. Простейший пример таких множеств - кривая в многомерном пространстве, координатами которого являются неизвестные и параметр. В основе метода лежит идея движения вдоль множества решений с использованием на каждом шаге информации о решении, полученном на предыдущих шагах. Уже Д. Давиденко отметил, что в качестве параметра продолжения решения можно использовать не только параметр задачи, но и любую из неизвестных. В [43, 125] было показано, что наилучшие вычислительные свойства обеспечиваются, если в качестве параметра продолжения используется длина вдоль кривой множества решений. На этой основе сформулирован метод продолжения по наилучшему параметру или наилучшая параметризация [43, 125]. В книге [103] показано, что метод продолжения по наилучшему параметру применим в любой математической задаче, решением которой является кривая или другое однопараметрическое множество. В [103] рассмотрены задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений, интерполяция и аппроксимация кривых и др. Численная реализация метода, осуществляемая в виде шагового процесса по параметру нагрузки и получившая название метода последовательных нагружений В.В. Власова, нашла применение в работах [73, 78]. Являясь, по существу, аналогом метода Эйлера, этот метод характерен тем, что в нем не предусмотрена компенсация погрешности вычислений, вызванной линеаризацией нелинейных уравнений на каждом шаге. Поэтому достижение требуемой точности может быть получено путем уменьшения величины приращения нагрузки. Имеются такие варианты неявных схем интегрирования задачи Коши по параметру с применением различных способов улучшения сходимости итерационных процессов типа метода Ньютона-Рафсона [15, 16, 42, 102].

Изложив некоторые методы решения нелинейных задач, остановимся на работах, близких к теме настоящей диссертации.

В работах [6, 45, 54, 60, 68, 71, 76, 147, 161] приводятся вариационные принципы, с помощью которых получают постановку задачи для нелинейных задач. Различные формулировки для инкрементальной теории пластичности приведены в работах [114, 138]. В [77, 150, 151] рассматриваются вариационные формулировки задачи упругопластичности в скоростях, вариационное уравнение, сформулированное как в элеровой, так и в лагранжевой формулировках, основано на введение потенциального представления скоростей напряжений. . В работах содержится также двойственная формулировка, являющейся аналогом принципа Рейснера в-линейной теории упругости. С использованием предположения о существовании потенциала для яуманновской производной тензора напряжений Коши-Эйлера в работах [107, 108, 109] формулируется вариационные уравнения в скоростях для геометрически нелинейных упругопластических проблем, подобные принципам-Ху-Вашизу, Хеллингера-Рейсснера и дополнительной энергии в теории упругости. Некоторые примеры решения геометрически нелинейных упругопластических задач с использованием вариационного подхода содержаться в работах [115, 120, 137, 151].

Следующие работы посвящены реализации МКЭ в физически и геометрически нелинейных задачах. В статьях [117, 123, 127, 133, 136, 135, 143] рассматривается вопрос физически нелинейных задач с учетом конечных деформаций в рамках инкрементального подхода. В [117, 143] используется эйлерова формулировка, в[123, 127, 133, 135, 136] - лагранжева. В работах [3, 4, 86, 85] изложены основы моментной схемы метода конечных элементов, описаны алгоритмы решения задач прочности, динамики и устойчивости пластин, дисков, массивных осесимметричных и пространственных тел. При исследовании устойчивости и закритического поведения используется метод продолжения решения по параметру. Также в статье моделируется процесс деформирования тел с трещинами, железобетонных конструкций на упругопластическом основании, гибких конструкций из композитных эластомеров, приводится исследование НДС комбинированного большепролетного покрытия спортивно-зрелищного сооружения.

Работа [53] посвящена реализации метода продолжения по параметру в геометрически и физически нелинейных задачах. Уравнения продолжения записаны в недеформированной конфигурации тела, параметром продолжения служит параметр длины интегральной кривой множества решений. При упругопластическом деформировании используется теория течения с аддитивным разделением деформаций, поверхность текучести определяется условием Губера-Мизеса. Приводятся результаты численных расчетов.

Работы [110, 139, 143] посвящены исследованиям конечных упругопластических деформациях в лагранжевой и эйлеровой формулировках. Обсуждаются недостатки и преимущества той или иной формулировок, показано, что при определенных физических соотношениях оба подхода приводят к одинаковому результату.

Вопросы точности и некоторые вычислительные аспекты МКЭ обсуждаются на примерах в статьях [134, 137, 143, 149, 165, 167, 170]. Исследованию напряженно-деформированного состояния различных конструкций с учетом геометрической нелинейности посвящены работы [18, 19,41,58, 119, 126, 128, 138, 156, 159, 160, 167, 172].

Работы [57, 61, 116, 118, 130, 132, 140, 144, 148, 152, 153, 169, 171] посвящены проблеме моделирования процессов обработки металлов. В [118, 152, 169, 171] описывается применение МКЭ для решения технологических задач упругопластичности, относящихся к обработке металлов давлением. В статье [116] используется уравнения Прандтля-Рейсса для описания упругопластического поведения материала в модернизированной лагранжевой формулировке. В статье [124] моделируется процесс холодного выдавливания в рамках, как и текущей лагранжевой, так и комбинированной лагранжево-эйлеровой формулировки. Полученные численные решения сравниваются с экспериментальными данными, которые демонстрируют, что применение комбинированной лагранжево-эйлеровой формулировки приводят к более точным результатам. В работе [166] используется комбинированная лагранжево-эйлеровая формулировка для исследования процесса горячей обкатки. В работе [144] моделируется технологический процесс обработки металлов, в [140, 144] процесс моделируется в модернизированной лагранжевой постановке, в [132, 130] - в эйлеровой, в [112, 175] используется комбинированная постановка. В [153] используется вязкопластическая; реологическая модель для исследования горячей и холодной прокатки, используется теория жестковязкопластического течения в рамках теории Леви-Мизеса.

Работы [100, 101] посвящены выводу определяющих уравнений для упругих и упругопластических сред при конечных деформациях. При формулировке физических соотношений в рамках скоростной постановке возникает вопрос о выборе объективной производной тензора напряжений. В работах [110, 116-118, 123, 127, 129, 133-136, 137, 139, 143, 152, 167, 169, 171] в качестве скорости изменения напряжений используется производная Яуманна тензора напряжений Коши, в [157] используется производная Трузделла. В статье [122] рассмотрены как производная Яуманна так и Трузделла.

В работе [141] приведена методика исследования предельного состояния материалов, обладающих внутренним трением, в качестве критерия пластичности используется условие Мора-Коломбо и Мизеса-Боткина (Друкера-Прагера). Используется ассоциативный закон течения, рассмотрены численные примеры. В [146] исследуется большие деформации вязкоупругих и вязкоупругопластических геоматериалов. Используется модель Максвелла. В [106] рассматриваются задачи о больших деформациях гиперупругих-вязкопластических твердых тел в модернизированной лагранжевой постановке.

При моделировании упругопластических деформаций чаще всего используется теория течения. В [129, 143, 154, 155, 157] применяется метод проецирования на поверхность текучести при конечных деформациях. Также существует два подхода разделения полной деформации на упругую и пластическую составляющие. В работах [4, 65, 80, 121, 134, 143] используется аддитивное предоставление, в [66, 67, 106, 124, 145, 162-164, 168] — мультипликативное.

Таким образом, исходя из анализа научных публикаций в данном направлении, перед автором была поставлена следующая задача: на основе пошагового нагружения в рамках комбинированного лагранжево-эйлерового описания сплошной среды разработать методику исследования процесса деформирования трехмерных неупругих тел с учетом больших перемещений, поворотов и конечных деформаций; построить определяющие соотношения в скоростях напряжений, рассмотреть класс гиперупругих, упругопластических и вязкоупругопластических материалов; получить разрешающие уравнения и разработать алгоритм решения задач механики твердого деформируемого тела с учетом физической нелинейности; на основе метода продолжения по параметру разработать алгоритм исследования закритического поведения при потере устойчивости; на основе метода конечных элементов разработать алгоритм и создать программное обеспечение для решения указанного класса задач; решить ряд тестовых и прикладных задач нелинейного деформирования неупругих тел.

Результаты научной деятельности автора нашли отражение в диссертации, которая состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 176 наименований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Настоящая работа посвящена разработке методики исследования неупругих тел с учетом больших перемещений, поворотов, конечных деформаций и физической нелинейности. Решение основано на методе пошагового нагружения в рамках комбинированной лагранжево-эйлеровой постановки. Физическая нелинейность представлена классом гиперупругих, упругопластических, вязкоупругопластических материалов.

Построены разрешающие уравнения и определяющие соотношения для сред с различными физическими свойствами. Приведен алгоритм решения задачи гиперупругого, упругопластического и вязкоупругопластического деформирования, рассмотрены критерия пластичности Губера-Мизеса и Мизеса-Боткина. Процесс пластического деформирования моделируется на основе метода проецирования напряжений на поверхность текучести с итерационным уточнением текущего напряженно-деформированного состояния.

Для исследования процесса деформирования с учетом потери устойчивости разработан алгоритм, основанный на методе продолжения решения по параметру.

На базе конечноэлементной дискретизации разработана численная методика и создан соответствующий программный пакет для решения нелинейных задач на языке Fortran-90.

Приведенные численные примеры демонстрируют широкие возможности и эффективность настоящей методики решения нелинейных задач механики твердого деформируемого тела.

Представленная в настоящей работе вычислительная технология решения задач механики деформируемого тела позволяет исследовать широкий класс материалов, в рамки описанной методологий легко укладываются разнообразные физические модели поведения сред. Описанная методика позволяет формулировать и решать задачи моделирования технологических процессов обработки материалов, движения многофазных сред, одной из фаз которых является деформируемый скелет (матрица). При этом нет никаких ограничений на величины деформаций.

1. Алфутов Н.А. Основы расчета на устойчивость упругих систем / Н.А. Алфутов. М.: Машиностроение, 1978. - 312 с.

2. Аргирис Дж. Методы упругопластического анализа / Дж Аргирис., Д. Шарпф // Механика. 1972. -№ 4 (134). - С. 107-139.

3. Баженов В.А. Моментная схема метода конечных элементов в задачах нелинейной механики сплошной среды / В.А. Баженов, А.С. Сахаров, В.К. Цыхановский // Прикл. механика. 2002. - №6. - С. 24-63.

4. Баженов В.А. Полуаналитический метод конечных элементов в механике деформируемых тел / В.А. Баженов, А.И. Гуляр, А.С. Сахаров, А.Г. Топор. К.: Изд-во НИИ Строймеханики, 1993. - 376 с.

5. Баженов В.Г. Численное моделирование трехмерных задач нестационарного деформирования упругопластических* конструкций; методом конечных элементов / В.Г. Баженов, А.И. Кибец // Изв. РАН МТТ. 1994. - №1. - С. 52-59.

6. Бердичевский B.JL Вариационные принципы механики сплошной среды / B.JL Бердичевский. М.: Наука, 1983. - 448 с.

7. Биргер И.А. Метод дополнительных деформации в задачах теории пластичности / И.А. Биргер // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. 1963. - № 1. - С. 47-56.

8. Биргер И.А. Общие алгоритмы решения задач теорий упругости, пластичности и ползучести / И.А. Биргер // В кн.: Успехи механики деформируемых сред. М.: Наука, 1975. - С. 51-73.

9. Быков Д.Л. О некоторых методах решения задач теории пластичности / Д.Л. Быков // Упругость и неупругость. М.: Изд-во МГУ. - 1975. Вып. 4. - С. 119-139.

10. Быков Д.Л., Шачнев В.А. Об одном обобщении метода упругих решений / Д.Л. Быков, В.А. Шачнев // Прикл. математика и механика.- 1969. Т. 33. - №2. - С. 290-298.

11. Ван. Упрощенная теория уравнений состояния металлов при конечной пластической деформации / Ван // Прикладная механика (Trans ASME).- 1973. №4. - С. 115-122.

12. Васидзу В. Вариационные методы в теории упругости и пластичности / В. Васидзу. М.: Мир, 1987. - 542 с.

13. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры /

14. B.В. Воеводин. М.: Наука 1977. - 304 с.

15. Вольмир А.С. Устойчивость упругих систем / А.С. Вольмир. М: Физматгиз, 1963. - 879 с.

16. Ворович И.И. К решению нелинейных краевых задач теории упругости методом перехода к задаче Коши / И.И. Ворович, В.Ф. Зипалова // Прикл. механика и математика. 1965. - 29. - вып. 5 - С. 894-901.

17. Ворович И.И. Проблемы устойчивости и численные методы в теории сферических оболочек / И.И. Ворович, Н.И. Минакова // Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Сер. Механика деформируемого твердого тела. -1973. №7. - С. 5-86.

18. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы / Р. Галлагер. М.: Мир. 1984. - 428с.

19. Голдманис М.В. Исследование устойчивости оболочек вращения из волокнистых композитов в геометрически нелинейной конечно

20. Голованов А.И. Метод конечных элементов в механике деформируемыхтвердых тел / А.И. Голованов, Д.В. Бережной. Казань: Изд-во «ДАС», 2001. - 30Г с.

21. Голованов А.И. Расчет больших упругопластических деформаций трехмерных тел МКЭ / А.И. Голованов, Л.У. Султанов // Математ. моделир. систем и процессов: Межвуз. сб. науч. тр. Пермь: Перм. гос.Iтехн. ун-т, 2004. №12. - С. 4-11.

22. Голованов А.И. Численное моделирование больших деформаций неупругих трехмерных тел / А.И. Голованов, Ю.Г. Коноплев, С.А. Кузнецов, Л.У. Султанов // Наукоемкие технологии. 2004. - №4. -Т. 5. - С. 52-60.

23. Голованов А.И. Численный расчет больших упругих деформаций трехмерных тел / А.И. Голованов, Л.У. Султанов // Прикладная математика и механика: сб. науч. тр. Ульяновск: УлГТУ, 2004. -С. 180-182.

24. Голованов А.И. Численный расчет больших упругопластических деформаций трехмерных тел / А.И. Голованов, Л.У. Султанов // Математ. моделир. и краевые задачи / Тр. Всерос. науч. конф. Ч. 1. -Самара, 2004. С. 60-62.

25. Горбачев К.П. Метод конечных элементов в расчетах прочности / К.П. Горбачев. Л.: Судостроение, 1985. - 156 с.

26. Горлач Б.А. Исследование поведения цилиндрической в начальном состоянии оболочки при конечных осесимметричных деформациях / Б.А. Горлач, Н.Н. Орлов // Вопросы расчета прочности конструкций летательных аппаратов. Казань, 1982. - С. 25-31.

27. Григолюк Э.И. О методах сведения нелинейной краевой задачи к задаче Коши / Э.И. Григолюк, В.И. Мамай // Прикл. проблемы прочности и пластичности: Методы решения задач упругости и пластичности. -Горький, Изд-во горьк. ун-та, 1979. С. 3-49.

28. Григолюк Э.И. Проблемы нелинейного деформирования. Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела / Э.И. Григолюк, В.И. Шалашилин. -М.: Наука, 1988. 232 с.

29. Грин А. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды / А. Грин, Д. Адкинс. М.: Мир, 1965. - 455 с.

30. Грин Б. Обобщенные вариационные принципы в методе конечных элементов / Б. Грин, Р. Джонс, Р. Маклей // Ракетная техника и космонавтика. 1969. - Т. 7. - С. 47-55.

31. Гузь А.Н. Основы трехмерной теории устойчивости деформируемых тел

32. A.Н. Гузь. Киев: Вища школа, 1986. - 511 с.

33. Гурьянова О.Н. Расчет слоистых оболочек в геометрически нелинейной постановке МКЭ: дисс. канд. физ.-мат. наук: 01.04.02 / О.Н. Гурьянова Казань, 2000. - 166 с.

34. Данилин А.Н. О параметризации нелинейных уравнений деформирования твердого тела / А.Н. Данилин, В.И. Шалашилин // Изв. РАН МТТ. 2000. - № 1. - С. 82-92.

35. Джорж А. Численное решение больших разряженных систем уравнений / А. Джорж, Дж. Лю. М.: Мир, 1984. - 333 С.

36. Еременко С.Ю. Методы конечных элементов в механике деформируемых тел / С.Ю. Еременко. Харьков: «Основа», 1991. — 272 с.

37. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич. — М.: Мир, 1975. 542с.

38. Зуданс 3. Исследование упруго-пластических деформаций сосудов давления методом конечных элементов. Тр. Амер. Об-ва инж.-мех. Сер.

39. B. Конструирование и технология машиностроения. Ч. 1. / 3. Зуданс. -1970, №2. С. 33-43.

40. Зуев Н.Н. Реализация продолжения по наилучшему параметру в геометрически и физически нелинейных статических задачах метода конечных элементов / Н.Н. Зуев, Э.Н. Князев, А.Б. Костриченко, В.И. Шалашилин // Изв. РАН. МТТ. 1997. - № 6. - С. 136-147.

41. Ивлев Д.Д. Теория упрочняющегося пластического тела / Д.Д. Ивлев, Г.И. Быковцев. М.: Наука, 1971. - 232 с.

42. Ильюшин А.А. Основы математической теории термовязкоупругости /

43. A.А. Ильюшин, Б.Е. Победря. М.: Наука, 1970, 280 с.

44. Ильюшин А.А. Пластичность. Ч. 1. Упругопластические деформации / Ильюшин А.А. М.; JL: Гостехиздат, 1948. - 376 с.

45. Казаков Д.А. Моделирование процессов деформирования и разрушения материалов и конструкций / Д.А. Казаков, С.А. Капустин,• Ю.Г. Коротких. Н. Новгород: ННГУ, 1999. - 226 с.

46. Капустин С.А. Численный анализ нелинейных квазистатических процессов деформирования составных конструкций / С.А. Капустин // Прикл. проблемы прочности и пластичности. Горький. - 1979. -Вып. 10. - С. 68-80.

47. Клюшников В.Д. Метод упругих решений в теории пластического течения / В.Д. Клюшников // Журн. прикл. механ. и техн. физики. -1965. № 1. - С. 133-135.

48. Койтер В.Т. Общие теоремы теории упругопластических сред /

49. B.Т. Койтер. М.: Изд-во иностр. лит, 1961. - 80 с.

50. Колмагоров В.Л. Численное моделирование больших пластических деформаций и разрушения металлов / B.JI. Колмагоров // Кузнечно-штамповочное производство. 2003. - №2. - С. 4-16.

51. Корнеев В.Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности / В.Г. Корнеев. JL: Изд-во ЛГУ, 1977. - 208 с.

52. Коробейников С.Н. Нелинейное деформирование твердых тел /

53. С.Н. Коробейников. Новосибирск, 2000. - 262 с.

54. Кузнецов В.Н. Численный метод решения задач теории пластичности / В.Н. Кузнецов // Упругость и неупругость, вып. 4. М.: Изд-во МГУ, 1975. - С. 110-119.

55. Кукуджанов В.Н. Численное решение неодномерных задач динамики твердого деформируемого тела / В.Н. Кукуджанов, В.И. Кондауров //

56. Проблемы динамики упругопластических сред. М.: Мир, 1975. -С. 39-84.

57. Левитас В.И. Большие упругопластические деформации материалов при высоком давлении7 В.И. Левитас. Киев: Наукова думка, 1987. -232 с.

58. Ли. Упруго-пластическое деформирование при конечных деформациях / Ли // Прикладная механика (Trans ASME). 1969. - № 1. - С. 1-6.

59. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости / А.И. Лурье. М. Наука, 1980. - 536 с.

60. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести / Н.Н. Малинин. М.: Машиностроение, 1975. - 400 с.

61. Митчелл Э. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными / Э. Митчелл, Р. Уэйт. М.: Мир, 1981. - 216 с.

62. Мосолов Л.П. Механика жесткопластических сред / Л.П. Мосолов, В .П. Мясников. М.: Наука, 1981. - 208 с.

63. Мяченков В.И. Численное решение плоской задачи теории пластичности / В.И. Мяченков, В.Б. Петров // Изв. вузов. Машиностроение. 1980. - № 11. - С. 8-12.

64. Никиреев В.М. К решению нелинейных уравнений строительной механики методом последовательных нагружений / В.М. Никиреев // Строительная механика и расчет сооружений. 1970. - № 3. -С. 61-62.

65. Норри Д. Введение в метод конечных элементов / Д. Норри, де Фриз. -М.: Мир, 1981. 304 с.15.' Оден Д. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред7 Д. Оден. М.: Мир, 1976. - 464 с.

66. Паймушин В.Н. К вариационным методам решения- нелинейных^ пространственных задач сопряжения деформируемых тел / В.Н. Паймушин // ДАН СССР. 1983. - Т. 5. - С. 1083-1086.

67. Пежина П. Вариационные проблемы теории вязкопластичности при больших деформациях 7 П. Пежина, А. Балтов // Теорет. и прикл.механика. 1973. - Т. 4. - №4. - С. 19-28. >

68. Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластин и оболочек / В.В. Петров. Саратов: Изд-во сарат ун-та, 1975.-173 с.

69. Поздеев А.А. Большие упругопластические деформации: теория, алгоритм, приложения / А.А. Поздеев, П.В; Трусов., Ю.И. Няшин. -М.: Наука, 1986. 232 с.

70. Поздеев А.А. Остаточные напряжения: Теория и приложения / А.А. Поздеев, Ю.Я. Няшии, П.В. Трусов. М.: Наука, 1982. - 112 с.

71. Прагер В. Введение в механику сплошных сред / В. Прагер. М.: Изд-во иностр. лит., 1963. - 312 с.

72. Рикардс Р.Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин / Р.Б. Рикардс. Рига: Зинатне, 1988. - 284 с.

73. Розин JI.A. Вариационные постановки задач для упругих систем / JI.A. Розин Л.: Изд-во Ленинград, ун-та, 1978. - 224 с.

74. Розин Л.А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам / Л.А. Розин М.: Стройиздат, 1977. - 129 с.

75. Сахаров А.С. Метод конечных элементов в механике твердых тел / А.С. Сахаров, В.Н. Кислоокий, В.В. Киричевский, И. Альтенбах, У. Габберт, Ю. Данкерт, X. Кепплер, 3. Кочык. Киев: Вища школа, 1982. - 480 с.

76. Сахаров А.С. Моментная схема конечных элементов МСКЭ с учетом жестких смещений / А.С. Сахаров // Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев, 1974. - Вып. 24. - С. 147-156.

77. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов / Л. Сегерлинд. М.: Мир, 1979. - 392 с.

78. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды / Л.И. Седов. М.: Физматгиз, 1962. - 284 с.

79. Стренг Г. Теория метода конечных элементов / Г. Стренг, Д. Фикс. -М.: Мир, 1977. 350 с.

80. Стриклин Оценка методов решения задач строительной механики, нелинейность которых связана со свойствами материала и (или) геометрией / Стриклин, Хейслер, Риземанн // Ракет. техн. и космонавтика. 1973. - Т. 11. - №3. - С. 46-56.

81. Султанов Л.У. Расчет больших деформаций упругих тел МКЭ / Л.У. Султанов // Студенты Зеленодольску: городская научн.-практ. конф. / сб. докл. Зеленодольск: 2003. - С. 53-64.

82. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач / Ф. Сьярле. М.: Мир, 1980. - 512 с.

83. Терегулов И.Г. Нелинейные задачи теории оболочек и определяющие соотношения / И.Г. Терегулов. Казань: ФЕН, 2000. - 335с.

84. Терегулов И.Г. Термодинамические потенциалы и математическое моделирование процесса течения вязких сред / И.Г. Терегулов // Изв. вузов. Математика. 1997. - №11. - С. 72-80.

85. Термопрочность деталей машин / Под ред. И.А. Биргера, Б.Ф. Шорра. -М.; Машиностроение, 1975. 455 с.

86. Уилкинс M.JI. Расчет упругопластических течений / M.JI. Уилкинс // Вычислительные методы в гидродинамике. М. Мир, 1967.-С. 212-263.

87. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах / К.Ф. Черных Л.: Машиностроение, 1986. - 336 с.

88. Чернышов А.Д. Определяющие уравнения для упругопластического тела при конечных деформациях / А.Д. Чернышов // Изв. РАН МТТ. -2000. № 1. - С. 120-128.

89. Чернышов А.Д. Простые определяющие уравнения для упругой среды при конечных деформациях / А.Д. Чернышов // Изв. АН МТТ. 1993. - № 1. - С. 75-81.

90. Шалашилин В.И. Метод продолжения по параметру в задаче больших осесимметричных прогибов оболоческ вращения / В.И. Шалашилин // Тр. XII Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин. Ереван: Изд-во ереван. ун-та, 1980. - Т. 3. - С. 264-271.

91. Шалашилин В.И. Метод продолжения по параметру и наилучшая параметризация в прикладной математике и механике / В.И. Шалашилин, Е.Б. Кузнецов. М.: Эдиториал УРСС, 1999. -224 с.

92. Шалашилин В.И. Продолжение по наилучшему параметру в нелинейных статических задачах решаемых методом конечных элементов / В.И. Шалашилин., А.В. Костриченко., Э.Н. Князев, Н.Н. Зуев // Изв. вузов. Авиационная техника. 1997. - №4. - С. 18-24.

93. Шевченко Ю.Н. Метод упругих решений в теории пластического течения при неизотермических процессах нагружения / Ю.Н. Шевченко // Тепловые напряжения в элементах конструкций: Респ. межвед. сб. -1975. Вып. 15. - С. 45-49.

94. Arif A.F.M. Performance of a finite element procedure for hyperelastic-viscoelastic large deformation problems / A.F.M. Arif, T. Pervez, M.M. Pervez // Int. J. of Solids and Structures. 2000. - V. 34. -P. 89-112.

95. Atluri S.N. On some new general and complementary energy theorems for the rate problems in finite strain, classical elastoplasticity / S.N. Atluri // J. Struct. Mech. 1980. - V. 8. - N 1. - P. 61-92.

96. Atluri S.N. Rate complementary energy principles, finite strain plasticity problems and finite element / S.N. Atluri // In: Var. meth. mech. solids.: Proc. IUTAM symp.(Evanston (111), 1978). Oxford etc. 1980. -P. 363-367.

97. Bathe K.J. Elastic-plastic large deformation static and dynamic analysis / K.J. Bathe, H. Ozdemir // Comput and Struct. 1976. - V. 6. - N 2. -P. 81-92.

98. Bathe K.J. Finite element formation for large deformation dynamic analysis / K.J. Bathe, E. Ramm, E.L. Wilson // In. J. for Numer. Meth. in Eng. -1975. V.9. - P.353-386.

99. Bathe K.J. Finite element procedures in engineering analysis / K.J. Bathe. -Englewood Cliffs, NJ, USA: Prentice-Hall, 1982.

100. Cao H.L. An improved iterative method for large strain viscoplastic problems / H.L. Cao, M. Potier-Ferry // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1999. - V. 44. - №2. - P. 155-176.

101. Capurso M. On the incremental solution of elasto:piastic continue in the rang on large displacements / M. Capurso // Meccanica. 1970. - V. 5. — N2. - P. 98-106.

102. Charter E. Finite plastic deformation of a circular membrane under hydrostatic pressure. Strainrate effects / E. Charter, K.W. Neale. // Intern. J. Mech. Sci.- 1983. -V. 25. N4. - P. 235-244.

103. Cheng J.H. An analysis of metal forming processes using large deformation elastic-plastic formulations / J.H. Cheng, N. Kikuchi // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. 1985. - V. 49. - N1. - P. 71-108.

104. Dems K. Physically and geometrically nonlinear analysis finite elements 7/ K. Dems, M. Kleiber // Pozpr. inz. 1976. - V. 24. - N 4.- S. 771-786.

105. Dieterle K. Anwendung der Methode der finiten Eleniente zum naherung / K. Dieterle // sweisen Bcrechnen grosser Formanderungen beim Flanschstauchen. Industr. Anz., 1975. - Bd. 97. - N 98. - S. 2080-2081.

106. Dinis L.M.S. Elasto-viscoplastic and elasto-plastic large-deformation analysis of thin plates and shells / L.M.S. Dinis, D.R.J. Owen // Intern. J. Numer. Meth. Eng. 1982. - V. 18. - N4. - P. 591-606.

107. Duszek M.K. On minimum principles in finite plasticity / M.K. Duszek // Bull. Acad. pol. sci. Ser. sci. techn. 1973. - V. 21. - N2. - P. 131-138.

108. Fish J. Computational aspects of incrementally objective algorithms for large deformation plasticity / J. Fish, K. Shek // Int. J. Numer. Meth. Eng. -1999. V.44. - №6. - P. 839-851.

109. Gadala M.S. Computational implementation of stress integration in FE analysis of elasto-plastic large deformation problems /M.S. Gadala, J. Wang // Finite Elements in Analysis and Design. 2000. - V. 35. - P. 379-396.

110. Gadala M.S. Geometric and material nonlinearity problems / M.S. Gadala, G.A.E. Oravas, M.A. Dokainish // In: Numer. meth. non-linear problems: Proc. Intern, conf. Swansea. 1980. - V. 1. - P. 317-331.

111. Gouveia B.P.P.A. Finite element modeling of cold forward extrusion using updated Lagrangian and combined Eulerian-Lagrangian formulations /

112. B.P.P.A. Gouveia, J.M.C. Rodrigues, P.A.F. Martins // J. of Materials Processing Technology. 1998. - 80-81. - P. 647-652.

113. Grigolyuk E.I. Problems of Nonlinear Deformation / E.I. Grigolyuk, V.I. Shalashilin. Dordrecht et al.: Kluwer, 1991. - 262 pp.

114. Gupta A.K. Elasto-plastic analysis of three-dimensional structures using the isoparametric element / A.K. Gupta, B. Mohraz, W.C. Schnobrich // Nucl. Eng. andDes. 1972. - V. 22. - N2. - P.305-317.

115. Hibbit H.D. A finite element formulation for problems of large strain and large displacement / H.D. Hibbit, P.V. Marcal,. J.R. Rice // Int. J. Solids Stuct. 1970. - V.6. - P. 1069-1086.

116. Hofmeister L.D. Large strain, elasto plastic finite element analysis / L.D. Hofmeister, G.A. Greenbaum, D.A. Evensen // AIAA J. 1971. -V. 9. - N7. - P. 1248-1254.

117. Hughes T.J.R. Finite rotation effects in numerical integration of rate constitutive equations arising in large-deformation analysis / T.J.R. Hughes, J. Winget // Int. J. Numer. Methods Eng. 1980. - V. 15. - 1862-1867.

118. Iguchi T. 3-Dimensional analysis of flat rolling by rigid-plastic FEM considering sticking and slipping frictional boundary /Т. Iguchi, I. Yarita. // ISIJ International. 1991. - 31(6):559-65.

119. Jin H. On the use of the boundary dement method for elastic-plastic large deformation problems / H. Jin, K. Mattiasson, A. Runesson // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1988. - V. 25. - № 1. - P.165-176.

120. Karabin M. A quasi three-dimensional analysis of the deformation processing of sheets with applications / M. Karabin, R. Smelser // Int. J. of Mech. Sc. 1990. - 32(5):375-89.

121. Kawahara M. Large strain, elasto-plastic numerical analysis by means of finite element metbod / M. Kawahara, K. Horii // Trans. Jap. Soc. Civ. Eng. -1972. V.3. - N2. - P. 154-155.1137

122. Kawahara M. Large strain, viscoelastic and elasto viscoplastic numerical analysis by means of the finite element method / M. Kawahara // Arch, mech. stosow. 1975. - V. 27. - N 3. - S. 417-443.

123. Kitagawa H. An incremental theory of large strain and large displacement problems and its finite-element formulation / H. Kitagawa, Y. Seguchi, Y. Tomita // Ing. Arch. -1972. Bd.41. - N3. - S. 213-224.

124. Klee K.D. On numerical treatment of large elastic-visco-plastic deformations / K.D. Klee, J. Paulun // Arch. mech. stosow., 1980. V. 32. - N 3. -S. 333-345.

125. Kleiber M. Finite elements in nonlinear mechanics and large deformation elasto-plasticity / M. Kleiber // Probl. non-lineaires mech.: Symp. fr.-pol., (Cracovie, 1977). Varsovie. - 1980. - P. 273-296.

126. Kleiber M. Lagrangian and eulerian finite element formulation for large strain elasto-plasticity / M.Kleiber // Bull. Acad. pol. sci. Ser. sci. techn. 1975.- V. 23 N3. -P. 109-126.

127. Kobayashi S. Metal forming and the finite-element methods / S. Kobayashi, Oh SI, T. Altan. New York, Oxford: Oxford University Press, 1989.

128. Li H.X. Kinematic limit analysis of frictonal materials using nonlinear programming / H.X. Li, H.S. Yu // Int. J. of Solids and Structures. 2005.- V. 42. P. 4058-40769.

129. Malkus D.S. Mixed finite element methods reduced and selective integration techniques: a unification of concepts / D.S. Malkus, T.J.R. Hughes // Сотр. Meth. in Appl. Mech. and Eng. 1978. - V. 15. - N 1. - P. 63-81.W

130. McMeeking R.M. Finite-element formulations for problems of large elastic-plastic deformation /R.M. McMeeking, J.R. Rice // Int. J. Solids Stuct. -1975. V. 11. - N5. - P. 601-616.

131. Montmitonnet P. A review on theoretical analyses of rolling in Europe / P. Montmitonnet, P. Buessler // ISIJ International. 1991. -31(6):525-38.

132. Moran B. Formulation of implicit finite element methods for multiplicative finite deformation plasticity / B. Moran, M. Ortiz, C.F. Shih // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1990. - V. 29 - N3. - P. 483-515.

133. Moresi L. A Lagrangian integration point finite element method for large deformation modeling of viscoelastic geomaterials / L. Moresi, F. Dufour, H.-B. Muhlhaiis // J. of Comput. Physics. 2003. - V. 184. - P. 476-497.

134. Mroz Z. A note on variational principles in coupled termo-plasticity / Z. Mroz, B. Raniecki // Bull. Acad. pol. sci. Ser. sci. techn. 1975. -V. 23. - N 3. - P. 225-231.

135. Nactegaal J.C. On the development of a general purpose finite element program for analysis of forming processes / J.C. Nactegaal, N. Rebelo // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1988. - V. 25. - N1. - P. 113-131.

136. Nactegaal J.C. Some computational aspect of elastic-plastic large strain analysis / J.C. Nactegaal, J.E. De Long // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1981. V.17. - N 1. - P. 15-41.

137. Neale K.W. A general variational theorem for the rate problem in elasto-plasticity / K.W. Neale // Intern. J. Solids and Struct. 1972. - V. 8. -N 7. - P. 865-876.

138. Neale K.W. On the application of a variational principle for large displacement elastic-plastic problems / K.W. Neale // Var. meth. mech. solids: Proc. IUTAM symp. (Evanston (111), 1978). Oxford etc., 1980. -P. 374-377.

139. Oh S.I. Finite element analysis of plane-strain sheet bending / S.I. Oh, S. Kobayashi // Intern. J. Mech. Sci. 1980. - V. 22. - N 9. -P. 583-594.

140. Orowan E. The calculation of roll pressure in hot and cold flat rolling / E. Orowan. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, 1943.- 150 pp.

141. Ortiz M. Accuracy and stability of integration algorithms for elastoplastic constitutive relations / M. Ortiz , E.P. Popov // Int. J. Numer. Methods Eng. 1985. - V. 21. - P. 1561-1576.

142. Ortiz M. An analysis of a new class of integration algorithms for elastoplastic constitutive relations / M. Ortiz , J.C. Simo // Int. J. Numer. Methods Eng.- 1985. V. 23. P. 353-366.

143. Owen D.RJ. Anisotropic elasto-plastic finite element analysis of thick and thin plates and shells / D.R.J. Owen, J.A. Figueiras // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1983. - V. 19. - N. 4. - P. 541-566.

144. Pinsky P.M. Numerical integration of rate constitutive equations in finite deformation analysis / P.M. Pinsky, M. Ortiz, K.S. Pister // Сотр. Methods Appl. Mech. Eng. 1983. - V. 40. - P. 137-158.

145. Prager W. Variational principle for elastic plates with relaxed continuity requirements / W. Prager // Int. J. of Solids and Structures. 1968. - V.4.- N. 9. P. 837-844.

146. Reed K.W. Analysis of large quasistatic deformations of inelastic bodies by a new hybrid-stress finite element algorithm / K.W. Reed, S.N. Atluri // Cormput. Meth. Appl. Mech. and Eng. 1983. - V. 39. - P. 245-295.

147. Rubin M.B. Calculation of hyperelastic response, of finite deformed elastic-viscoplastic materials / M.B. Rubin, A. Attia // Int. J. Numer. Meth. Eng. -1996. V. 395. - N2. - P. 309-320.

148. Sandhu R.S. Variational methods in continuum mechanics / R.S. Sandhu, K.S. Pister // Var. meth. eng. Southampton. 1973. - V. 1.- P. 1/13-1/25.

149. Simo J.C. A framework for finite strain elastoplasticity based on maximum plastic dissipation and the multiplicative decomposition: Part I. Continuum formulation / J.C. Simo // Сотр. Meth. Appl. Mech. Eng. 1988 -V. 66. - N 2. - P. 199-219.

150. Simo J.C. Remarks on rate constitutive equations for finite deformation problems: computational implications / J.C. Simo, K.S. Pister // Сотр. Meth. Appl. Mech. Eng. 1984. - V. 46 - N2. - P.211-215.

151. Simo J.S. A unified approach to finite deformation elastoplastic analysis lased on the use of hyperelastic constitutive equations / J.S. Simo, M. Ortiz // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. 1985. - V. 49. - N2. - P. 221-245.

152. Synka J. A novel mixed Eulerian-Lagrangian finite-element method for steady-state hot rolling processes / J.Synka, A. Kainz // Int. J. of Mech. Sc.- 2003. V. 45. - P. 2043-2060.

153. Taylor L.M. Some computational aspect of large deformation, rate-dependent plasticity problems / L.M. Taylor, E.B. Becker // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. 1983. - V.41. - N 3. - P. 251-277.

154. Tvergaard V. Effect of large elastic strains on cavitation instability predictions for elastic-plastic solids / V. Tvergaard // Int. J. of Solids and Structures. -1999. V. 36. - P. 5453-5466.

155. Wifi A.S. An incremental complete solution of the stretch-forming and deep-drawing of a circular blank using a hemispherical punch /A.S. Wifi // Int. J. Mech. Sci. 1976. - V. 18. - N 1. - P. 23-31.

156. Wolf J.P. Alternate hybrid stress finite element model / J.P. Wolf // Int. J. for Numer. Meth. in Eng. 1975. - V. 9. - N 3. - P. 601-615.

157. Yamada Y. Analysis of large deformation and stress in metal forming processes by the finite element method / Y. Yamada, A.S. Wifi, T. Hirakawa // In. metal, form, plast. symp. (Tutzing, 1978). 1979. -P. 158-176.

158. Yamada Y. Nonlinear matrices, their implication and applications in inelastic large deformation analysis / Y. Yamada // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng.- 1982. V.33. - N1-3. - P. 417-437.

159. Yamada Y. Plastic stress-strain matrix and its application for the solution of elastic-plastic problems by the finite element method / Y. Yamada, N. Yoshimura, T. Sakura // Int. J. Mech. Sci. -1968. V. 10. - N 2. -P. 343-354.

160. Zienkiewicz O.C. Elasto-plastic solution of engineering problems «initial stress», finite element approach / O.C. Zienkiewicz, S. Valliapan, I. King // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1969. - V. 1. - N 1. - P. 75-100.

161. Zienkiewicz O.C. The Finite element method. Fifth edition. V. 1: The basis / O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor. Butterworth-Heinemann- 2000. 689 pp.

162. Zienkiewicz O.C. The Finite element method. Fifth edition. V. 2: Solid mechanics / O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor. — Butterworth-Heinemann -2000. 459 pp.