Численный анализ напряженно-деформированного состояния типовых элементов авиационных конструкций с применением экономичных дискретных моделей и алгоритмов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

РГ5 ОД

АКАДЕМИЯ НАУК РОССИИ ОРДЕНА ЛЕНИНА СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ ГИДРОДИНАМИКИ им. М. А. ЛАВРЕНТЬЕВА

На правах рукописи УДК 539.3

МАТВЕЕВ Александр Данилович

ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

АВИАЦИОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ С ПРИМЕНЕНИЕМ ЭКОНОМИЧНЫХ ДИСКРЕТНЫХ МОДЕЛЕЙ И АЛГОРИТМОВ

01. 02. 04 — механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск, 1994

Работа выполнена в Вычислительном центре СО РАН в городе Красноярске.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Ю. В. НЕЛЩ-РОВСКИИ.

Официальные оппоненты:

доктор технических наук В. В. КАБАНОВ,

кандидат физико-математических наук С. Н. КОРОБЕЙНИКОВ.

Ведущая организация:

Новосибирский государственный технический университет.

Защита-диссертации состоится ..МЬШЖ.......I ээ.^.г.

в ........часов на заседании специализированного совета

К 002.5o.0i по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в конференц-зале Института гидродинамики СО РАН по адресу: 630090, г. Новосибирск, проспект академика Л1. А. Лаврентьева, 15.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института гидродинамики СО РАН.

Автореферат разослан «.

......¿.1.&Я............ 199.Й.г.

Ученый секретарь специализированного совета К 002.55.01 в ИГиЛ СО РАН

кандидат физико-математических наук Ю. М. ВОЛЧКОВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теин. Самолет представляет собой совокупность сложных агрегатов: крыло, фюзеляж, оперение, которые состоят из типовых элементов конструкций /I/ - пластин, оболочек. Салок, стержневых систем. Самым распространенным типовым элементом авиационных конструкций являются анизотропные пластины. Например, панель Ьбшивки есть пластина, усиленная стрингерами, поп самолета, оперение являются тдрехслойными пластинами с легким наполнителем и рассматриваются как ортотропные пластины.

В конструкциях скоростных самолетов и ракет анизотропные тонкие пластины применяются в качестве несущих поверхностей. Такие пластины работают на изгиб как пластины Кирхгофа (монолитные крылья) либо испытывают изгиб при действии продольных сил сжатия и растяжения (панель обшивки) /2/.

Отдельные части и детали самолета соединяются между собой узлами. Узловые соединения могут быть неразъемными и разъемными.

В разъемных соединениях широко применяются проушины, основным конструктивным элементом которых являются толстые (трехмэр-мерные) пластины с круговыми отверстиями и расчет которых сводится к решению трехмерной задачи теории упругости. Точное определение поля напряжений узловых соединений необходимо потому, что они воспринимают и передают от одной части конструкции к другой большие сосредоточенные силы, и в элементах соединений возникают значительные концентрации напряжений /2/.

В настоящий момент анализ напряжений в конструкциях самолетов проводится с помощью МКЭ (метода конечных элементов) /3/. Повышенные требования к расчету на прочность самолета предъявляют высокие требования к точности математических моделей и вычислительных алгоритмов. С точки зрения МКЭ это означает существенное повышение размерности дискретных моделей.

Реализация МКЭ для таких моделей вызывает ряд трудностей /4,5/, связанных с быстродействием и памятью ЭВМ и которые остро проявляются при решении трехмерных задач теории упругости. Отметим некоторые из них.

Для решения систем уравнений МКЭ активно применяется метод сопряженных градиентов /4/, для которого не требуется оп-имальная нумерация неизвестных и который использует меньше памяти ЭВМ, чем методы Гаусса или Холесского. Однако, его реализация связана с выполненном большого объема вычислений. На практике обычно прово-

3

дится ЗН+Ы/ итераций, тдв ^-порядок системы уравнений ЫКЭ, и при достаточно большом N резко возникает проблема быстродействия ЭВМ.

Построение матриц жесткости конечных элементов сводится к вычислении интегралов от функций, предстввленных в естественной системе координат или в 1-координатах /4,5/. Для трехмерных элементов высокого порядка эти интегралы определяются численно с помощью квадратурных формул и в этом случае требуется выполнить большой объэм вычислений /4/.

Поскольку современные ЭВМ на обладают ресурсами достаточными для расчета дискретных моделей, имеющих высокую размерность, то разработка экономичных конечноалементных моделей (обеспечивающих высокую точность решения при использовании минимальных -ресурсов ЭВМ) является актуальной задачей.

В настоящий момент вопрос о сходимости существующих методов /6,7/ (методы Ритца, Бубнова-Галеретна и др.) для задач изгиба анизотропных неоднородных пластин Кирхгофа не исследован, за исключением частного случая - изгиба изотропных пластин. Поскольку проблема сходимости метода тесно связана с вопросом о выборе (полноте) системы координатных функций, то разработка для таких задач метода построения последовательности приближенных решений, сходящейся к точному решению, имеет практическое значение.

Как известно, использование систем координатных гладких функциий (полных по энергии) в методе Ритца более эффективно, чем использование конечноалементных аппроксимаций. Однако, построение таких систем функций затруднительно для пластин сложной формы, например, для прямоугольных пластин с произвольными вырезами, широко применимых в технике. Поэтому проблема построения систем координатных гладких функций для таких пластин актуальна.

В настоящее время наметились два направления преодоления трудностей реализации ЫКЭ на ЭВМ.

Первое - создание экономичных алгоритмов построения и ■решения систем уравнений МКЭ высокого порядка. В последние года бурно развиваются алгоритмы, основанные на методе ФеДоренко /а/. Последние результаты и обширный список работ, развивающих это направление, представлены в монографии /9/.

Вт .юе направление - построение экономичных дискретных моделей путем исключения в исходном разбиении узловых параметров МКЭ. Эти модвли состоят из суперэлементов. В данной ра-

4

боте оба направления получают дальнейшее развитие.

Цель работы. Диссертация посвящена разработке новых экономич-.ннх дискретных моделей для решения задач упругости (плоская и трехмерная задачи, изгиб пластин, задача о кручении стеркней) путем исключения узловых параметров МКЭ на границах с утгерэле ментов, прэдставлягацих исходное разбиение; разработке аналитического (экономичного) метода построения матриц жесткости анизотропных трехмерных элементов высокого порядка; разработке метода решения задач изгиба анизотропных неоднородных пластин Кирхгофа и построению систем координатных гладких функций для ряда пластин сложной формы, широко применяемых в самолетостроении.

Научная новизна работы. Разработан итерационный метод исключения узловых параметров МКЭ на границах суперэлементов, представляющих исходное тело. На его основе разработана процедура построения экономичных суперэлементов с законтурными узлами для решения задач изгиба пластин, кручения цилиндрических стеркней, плоской и трехмерной задач теории упругости.

Разработан аналитический метод построения матриц жесткости анизотропных однородных трехмерных элементов высокого порядка, имеющих форму прямоугольного параллепипеда. Предложена экономичная процедура вычисления матриц кесткости анизотропных трехмерных элементов высокого порядка. Построена процедура понижения порядка системы уравнений МКЭ (полученных по методу Ритца).

Разработан и обоснован ...етод виртуальных работ для решения задач изгиба анизотропных нэоднордных пластин Кирхгофа, реализация которого сводится к построению ортонормированного базиса гильбертового пространства. Построен модифицированный процесс ор- • тонормирования, определен критерий численной устойчивости этого процесса. Указан и обоснован способ построения систем координатных гладких функций для ряда пластин сложной формы, широко применяемых в авиационной технике.

Практическая ценность работы. Исключение узловых параметров МКЭ на границах суперэлементов, представляющих данное тело, существенно уменьшает общее число неизвестных МКЭ исходного ансамбля (в приведенных примерах: в 6+14 раз), в несколько раз сокращает ширину ленты системы уравнений МКЭ, -определяемую для методов Гаусса и сопряженных градиентов (в примерах: в 2+14 раз), порождает экономичную модель, состоящую из суперэлементов с законтурными узлами. Важно отметить, что применение метода сопряженных градиентов или Гаусса для решения системы уравнений МКЭ новой

Б

модели требует значительно меньше памяти ЭВМ (в примерах: в 12+196 раз и при этом сокращается время решения системы уравнений (в примерах: в 12*196 раз), чем для заданного разбиения.

Как показывают расчеты, время построения матриц жесткости • трехмерных элементов высокого порядка произвольной формы с помощью метода, разработанного в данной работе, в 5 раз меньше, чем по известной процедуре МКЭ /4/ при прочих равных условиях их реализации на ЭВМ. Следовательно, для нерегулярного разбиения, состоящего из высокоточных элементов, время построения глобальной матрицы жесткости по формулам нового метода сокращается примерно в Б раз. элемента высокого порядка формы прямоугольного

параллелепипеда, интегралы, определяющие коэффициенты матрицы жесткости по предлагаемой процедуре, вычисляются аналитически. Разработана процедура существенного понижения порядаа системы уравнений МКЭ, которая реализуется на ЭВМ средней мощности (имеющих внешние носители памяти) и реализация которой возможна и в том случае, когда глобальная матрица жесткости является плохо обусловленной.

Для ряда пластин сложной формы, широко применяемых в технике, построены системы координатных гладких функций (полных по энергии), например, для прямоугольных пластин с произвольными вырезами.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на:

-IXД Всесоюзных конфзрэнциях по численным методам решения задач теории упругости и пластичности, Саратов, 1985 г.; Красноярск, 1987 г.

-I Всесоюзной школе молодых ученых по численным методам механики сплошной среды, Шушенское, 1987 г.

-семинарах отдела вычислительной механики Вычислительного центра СО РАН, Красноярск, 1991, 1992 г.г.

-семинаре отдела механики деформируемого твердого тела Института гидродинамики СО РАН, г. Новосибирск, 1993 г.

-семинаре кафедры прочности летательных аппаратов Новосибирского государственного технического университета, 1993 s.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 печатных работ. *

Ctpj • гура и объем работы. Диссертационная работа состоит . из введения, трех глав, заключений и списка литературы; содержит 180 страниц текста, 41 рисунок, 29 таблиц. Список использованной

G

литературы включает 133 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дано обоснование актуальности темы диссертации, определена цель работы, представлен анализ подходов к проблемам расчета на прочность элементов авиационных конструкций.

В главе I изложены итерационный метод исключения узловых параметров МКЭ на границах суперэлементов (представлявдих исходную область) и процедура построения экономичных сулерэлементов с законтурными узлами для решения задач теории упругости: йзгиб пластин, кручение цилиндрических стеркней, плоская и трехмерная задачи.

В §1.1 представлен итерационный метод исключения узловых параметров МКЭ на границах сулерэлементов, представлявдих исходную область. Суть метода исключения состоит в следующем.

Пусть исходная область У0 представлена оуперэлементами 7д одного типа. Считаем, что во всех супералементах исключаются параметры МКЭ в одних и тех же узлах. Например, для разбиения, состоящего из прямоугольных сулерэлементов, исключаются параметры МКЭ во всех узлах, кроме узлов, являющихся вершинами супврэлемвнтов. Рассмотрим решение по МКЭ трехмерной задачи упругости. Для каждого суперэлемента Уе разбиения Ч0 выбираем подобласть которая включает область (суперэлемент) Че, т.е. 7д с

С с У0; е » 1.....п0; р = 1.....Яр. Яа - общее число

сулерэлементов, Ур - число подобластей, выбранных для всех У0.

Область Ч* удовлетворяет критерию, согласно которому можно считать, что внутренние силы подобласти (вырезанной из У0) оказывают малое влияние на изменение поля перемещений суперэлемента У . Если Уе находится "вдали" от границы области У0, то суперэлемент Уе является "центром тяжести" подобласти У^.

Введем обозначения:- матрица размерности (п*п),(*)п -

- вектор столбец размерности п. Для удобства изложения структуру вектора - узловых параметров МКЭ подобласти определим в

виде (хЬ„ = ¡(у1}п 1 у = п + п (1)

' Р"

где Гу£ >п - вектор узловых параметров МКЭ, которые исклгтзются на границах суперэлементов подобласти У^, (х1>т ~ вектор параметров МКЭ, которыэ не исключатся. Здесь и ниже индекс I указывает номер итерации метода исключения параметров МКЭ. Векторы

7

(х1)т,С\)1}п удовлетворяют условиям закрепления V®, если часть ее границы совпадает с границей тела Р0, по которой оно закреплено.

Для вырезанной подобласти V®, с учетом (I), первые п уравнений МКЗ краевой задачи упругости представим в виде

vKfVи-f?VfP{-Л (2)

где (Р)п - вектор заданных узловых сил подобласти У^; {р1_1)п-- вектор "внутренних" узловых сил отвечающий решению новой модоли.

Для простоты изложения полагаем: Шп » О, т.е. внешние силы заданы только е тех узлах, в которых параметры МКЭ не исключаются.

Вектор вычисляем по формуле

Гр^п - Ш^у^Ь ♦ }т (3)

Компоненты вектора определяем о помощью решения (Х/^,^,

используя при ётом лаграяиевые аппроксимации высокого.порядка, построенные на узловой сетке новой дискретной модели. Отметим, что внутренние силы действуют по границе вырезанной подобласти У^ только в тех узлах, в которых исключаются параметры МКЗ, и компоненты вектора {р1_^)п полегаем равным нулю для внутренних узлов подобласти Л^.

Используя (2) с учетом (Р)п-0, определим вектор

{У1>п- 1*%{я1>*+ (1л}п>"{Р1-1>п <4>

где = - ((А^гЧВ)1*, (Ш"Г1 - матрица, обратная [А]*. Для вектора (У()п определим следующую структуру

где Ги®^- вектор параметров МКЭ, которые исключаются на Уе, - вектор остальных компонент вектора Систему (4), используя представление (5), запишем в1 форма

где ш» . [ш? ]Т, (Ш»Г1 « [ш» ИН» ]' т - транспонирование •

(6)

Структура вектора (Фра - узловых параметров суперэлемента VQ имеет вид

f rwVv 1

где - вектор параметров МКЭ, которые- исключаются на грани-

це 7д, fu>®J - вектор неизвестных МКЭ, которые не исключаются.

Используя (6),(7) и связь Стр^ = [El^Cx^, где (El™ - булева матрица, вектор №е>3 - fuf о® ш| )Т - аппроксимирующих функций суперэлемента 70, предотавим

¿Va - (NI* (CG% (xt}m + (î% Jg. fpt_fV (8)

Г a, fj| ^t

гдэ iC^ - [fEJ™ f/tj^ ] . f^,^ - [fOJ" ] , 101* - нулев-

вая матрица, Ш® - матрица функций формы суперэлемента Vg.

Согласно (8) функции перемещений суперэлемента 7д зависят от вектора перемещений Ст(Jm, часть компонент (узловых параметров МКЭ) которого определяется в узлах, лежащих вне области суперэлемента Таким образом, исходный суперэлемент 7е после исключения части параметров МКЭ на его границах становится суперэлементом Qe с законтурными узлами.

Обозначим: - матрица жесткости и вектор узло-

вых сил суперэлемента Vg. Используя представление (8), из усло-зия минимизации потенциальной энергии Vg, определяем матрицу жесткости и (Fe)m - вектор узловых сил суперэлемента Qq:

1Не% = (lG%)*tRe#G%, (Fe)m = Œe}m - fPt,)m О) где Œe}m= (CGjy(r'e}a, tGJ* = [ш* Ш?

<Ph>m = <I0>

- pO^ [Ц ]T, (P^n = ."frvb'n *

Для первой итерации (1=1) полагаем: Ф0!п = О.

Итак, реализация данного итерациошюго процесса исключения узловых параметров МКЭ на границах суперэлементов сводится к вычислению на каждой ,1-ой итерации лишь только правой части системы уравнений МКЭ суперэлемента Qe по формулам (10).

: 9

Исследован вопрос о сходимости решений новой модели. Обозначим: вектор узловых неизвестных новой модели,

отвечающий равновесному состоянию тела У0, (ре>т - вектор

"внутренних* узловых сил суперэлемента Се, отвечающий равновесию У0; - вектор узловых неизвестных новой модели, отвечающий ( -ой итерации метода исключения параметров МКЭ (т.е. отвечает приближенному равновесному состоянию тола У0), >т -

в

вектор (-- -.черно ста те) "внутренних" узловых сил суперэлемвнта ()е, отвеча.^ий (1-1) -ой итерации метода исключения. Получена оценка

V

кс^гда^-го^ « о £ I%>т - I»• (")

ы в в

где ÍG0J^ - глобальнвя матрица жесткости, |•|ь -кубическая норма, заданная для алементов линейного пространства Я1", т.е. «Д1: |и| « юг |и{|, - кубическая норма,

Ь в

заданная для элементов линейного пространства тд - мерных векторов. Постоянная С определяется формой подобластей У^ и типом супервлементов Уд.

Пусть [(рв)т - | - о ' , е=?.....(12)

в ев

Тогда в силу (12) из (II) получаем

»'Со^о'Л^хГ 0

В силу того, что матрица ГС07^ удовлетворяет условию однородной эллиптичности и в силу эквивалентности норм в конечномерных пространствах, отсюда вытекает

О 1 - 00. (13)

Из (12),(13) следует, что погрешность решений (исход-

ной модели) и си^)Т (новой модели) зависит от порядка точности определения векторов "внутренних" узловых сил суперэлементов С)е на каздом шаге итерационного процесса исключения узловых параметров МКЭ в исходном разбиении.

В §1.2-51.5 подробно показаны процедуры построения супер&ле-ментов (элементов) с законтурными узлами соответственно для решения ьадач изгиба пластин, вручения стержней, плоской и трехмерной задач теории упругости. В основе этих процедур лежит метод исключения узловых параметров МКЭ на границах суперэлементов,

10

изложенный в 81.1. Г1Я каждого типа задачи приведены примеры расчета.

В §1.6 изложен метод последовательного исключения узловых параметров МКЭ на границах трехмерных суперелементов формы прямоугольного параллелепипеда. Суть метода заключается в том, что вначале исключаются параметры МКЭ во внутренних узлах всех граней суперэлемента, а затем - на его ребрах (кроме вершин).

В §1.7 обсуждаются результаты численных экспериментов. На основе анализа приведенных расчетов сформулированы практические рекомендации для решения задач упругости по МКЭ с применением новых экономичных суперелементов.

Глава II посвящена вопросам реализации МКЭ на ЭБМ.

В §2.1 рвзрвботан экономичный метод построения матриц жесткости анизотропных трехмерных элементов высокого порядка. Экономичность метода достигается путем исключения повторяющихся вычислительных операций и учета симметрии матрицы жесткости. В снова данного метода лежит представление матрицы Ш - функций формы элемента в определенном виде, а именно

Ш

№г..' Яп О ... О О ... О О ... О Пг.. №п О ... О О ... О О ... О Пп

(14)

где Н1,...,Ып - функции формы элемента.

При атом аппроксимирующие функции перемещений и, о, ш элемента через матрицу [Ш выражаются в виде

ш

Ш (<3) (16)

где (0} - вектор узловых параметров МКЭ данного элемента. Цспользуя перемещения (16) с учетом (14) в выражении потенциальной энергии П элемента (представленного в скалярной форме через

и,из условия дП/дв{ = О (1*1.....Зп) находим формулы для

определения коэффициентов его матрицы жесткости. Для изотропного однородного трехмерного элемента высокого порядка коэффициенты верхней треугольной части матрицы жесткости (К1 определяются по формулам /16/

ксф " ^ + го^ар + 0(Всф '* соф>'

Ка+п,?+п " ^ * * С(Асф ' V' <16>

*а+Я1,р«п " ^ * га,Сар * С(Л*р, * V'

II

Здэоь а " 1,...,п ß =• а,...,п яа+п,р+гп = ^ар * GPßa'

ка,р+2п * ^ар + GV <а'Р - 1.....п) (17)

ка,р+л " ^aß + CDßa'

2Й> S

л „ - ( с = -

(1rv)(1-Sv) 2( Uv)

G - модуль сдвига, v - коэффициент Пуассона, Е - модуль Dira

ÖHa ÖNp " 0Ка QNß

ÎCl P r Ca p

--- ar . ß_fl =--d7,

Ох дх j Oy Oy

V V

r dNa Mß а - 1.....TI

Caß-j — - ' <I8>

Oz Oz ß » a.....n

eKa r ™a ™p

P„я «--dV , Д-Я ---

«P J &r öz J Ox Oy

V V

0Na ONß a,p = J,...,rt

paß * J öt, öz £®г' V - объем элемента V

Если для элемента формы прямоугольного параллелепипеда функции формы Уа определяются в общей декартовой системе координат XYZ, то интегралы (18) вычисляются аналитически. Если элемент сложной формы, то интегралы (18) определяются численно, и как показывают расчеты, время построения мвтрицы жесткости по фгтмулам (16)-(18) в Б рвз меньше, чем по известным формулам МКЭ /4/ при одинаковом выборе числа точек интегрирования.

В §2.2 показана процедура многократного понижения порядка системы уравнений МКЭ. Эту процедуру можно рассматривать как модификацию методе последовательного исключения неизвестных в системе линейных алгебраических уравнений, матрица которой обладает определенными свойствами. Процедура сводится к обращению матриц малого порядка (по сравнению с глобальной матрицей жесткости) и может быть реализована в том случае, когда глобальная матрица жесткости является плохо обусловленной.

В главе III разработан и обоснован метод виртуальных работ решения задач изгиба анизотропных неоднородных пластин Кирхгофа.

'"■■■■ 12

Указан и обоснован пособ построения систем координатных гладких функций для ряда пластин сложной формы.

В §3.1 сформулирована постановка задачи изгиба ортотротшх пластин Кирхгофа.

В §3.2 изложен метод виртуальных работ (МБР). Допущения МБР:

а) решение ша задачи изгиба анизотропной неоднородной закрепленной пластины Кирхгофа (о кусочно гладкой границей) существует и входит во мнокество С с еа возможных перемещений, -область пластины.

б) модули упругости пластины С{щ есть кусочно гладкие

функции в Я и обладают свойством симметрии. (1,$,к,1=1,2)

с) функции нагрузкения пластины являются кусочно непрерывными в областях их задания (в области 5 и на свободном крае).

Следует отметить, что для существующих методов допущений а),б),с) недостаточно для обоснования их сходимости, так как каадый из них накладывает ряд условий, как правило, на свойства оператора краевой задачи или на свойства билинейной формы к т.д. /6,7/. Следовательно, обоснование сходимости этих методов для задач изгиба анизотропных неоднородных пластин Кирхгофа при допущениях а),б),о) влечет необхода/ость выполнения некоторых дополнительных исследований (связанных со свойствами оператора краевой задачи или со свойствами билинейной формы и т.д.), проведение которых для данного типа задач изгибе пластин затруднительно и в нестоящий момент такие исследования не проведены.

Суть нового метода состоит в- том, что искомое решение представляется в виде ряда в некотором гильбертовом пространстве, а его коэффициенты определяются с помощью уравнения принципа виртуальных работ. Решения задач изгиба плаотин по методам Рит-ца, Бубнова-Галеркина и т.д. ищутся в виде ряде, но в основе процедур вычисления его коэффициентов каждый метод реализует свой принцип. Например, в методе Ритца или в методе наименьших квадратов - коэффициенты ряда вычисляются из условия минимизации соответствующих функционалов, в методе Бубнова - Галеркина - из условия ортогональности системы координатных функций к уравнению краевой задачи и т.д. Отметим, что если в методе Ритца использовать ортонормированную (по энергии) систему функций, то коэффициенты ряда определяются с помощью уравнения принципа виртуальных работ. Однвко, допущений а),б),с) вполне достаточно для обетования оходимооти МБР и Достаточно для обоснования

13

сходимости метода Ритца, так как используя только эти допущения (без проведения дополнительных исследований) не представляется возможным показать, что оператор краевой задачи изгиба анизотропных неоднородных пластин является положительно определенным.

Кратко изложим метод виртуальных работ. На множестве С возможных перемещений пластины введем энергетическое скалярное произведение (,)е

Vu,t^ (£с О4 (Б): (и,и)е = | С1лаЕц(и) вы(и)<17 (19)

V

где eiJ(u},eJгl(v^-двфopмaцш пластины, порожденные перемещениями

и,у; У-обьем пластины; {

Обычным способом определим гильбертово пространство И как замыкание С по норме = (и,и)е.

Пусть Г<|>£.> с с есть ортонормирований базис С, т. е.

при I » / ,

При ( !* .

Тогда поскольку С плотно в £Ге , то Гср^ есть базис Не .

Разложим формально искомое решение ш0 в ряд Фурье по 00 ~ +

ш0 -■ ай <рй , (20)

где аЛ - (21)

функция ш0 неизвестна, и следовательно, вычислить а^ по формуле (21) невозможно. Эти коэффициенты определим следующим образом. Поскольку ш0 есть решение задачи, то на С длг и>0 € £ выполняется уравнение принципа виртуальных работ, которое с учетом обозначений обозначений (19) представим в виде

е С<р^ с С\ (М10, <рй)е = ¥(%), (22)

где - работе внешних сил пластины на ее перемещении

Фй-

г(<?к) = | щек +1 оц>каг, (23)

й г

здесь д,<3 - поперечная и полнвя перерезывающая-силы, заданные соответсвенно в области пластины 5 и по свободному краю Г.

- след функции на границе Г. Так как. € (<рк) с то имеем /6/: € С(Б.).

Используя (22) (21) в (20), получим п

%

К-1 п

Известно: 11т |ш0 - шп|е - О, - £ (ь>0, <рк)д <рй . (24)

П-*оо

П

к-)

В силу (22) имеем шп =' у (25)

Показано, что Еида (25)- есть решение задачи изгиба анизотропной неоднородной пластины Кирхгофа вл - мерном пространстве Сп , натянутом на систему <р,,...,фп. В силу дсрущений а),б);с) интегралы в (19),(23) существуют, т.е. функционал Р и вариционное уравнение (22) существуют. Итак, при таком подходе обоснование сходимости предложенного метода по сути сводится к проблеме существования интегралов в (19),(23). Реализация метода виртуальных работ сводится к построению ортонормированного базиса пространства Ие. Как известно, процесс ортонормирования не всегда численно устойчив. В §3.3 разработан* его модификация. Определен критерий численной устойчивости модифицированного процесга ортонормирования.

В §3.4 разработана процедура построения систем координатных гладких функций для плоских областей сложной геометрии. В основе этой процедуры лежит следующее утверждение. Пусть система гладких функций заданных в области 50, полна по анергии. Тогда при

выполнении соответсвующих условий система полна по энергии и для области Я, входящей в область 50, (3 с Б0).

Для ряда пластин сложной формы построены системы координатных гладких функций (полных по энергии). Приведены примеры решения задач изгиба пластин сложной формы с применением систем координатных гладких функций.

В заключении перечислены основные результаты диссертации, которые заключаются в следующем.

I. Построен итерационный метод исключения узловых параметров МКЭ на границах суперэлементов, представляющих данную область. Такое исключение порождает новую экономичную модель, состоящую из суперэлементов с ■законтурными узлами. При этом точность аппроксимации новой модели мало отличается от точности исходной.

Экономичность нового ансамбля состоит в том, что его общее число неизвестных и ширина ленты матрицы системы уравнений МКЭ, опродоляемая для метода сопряженных градиентов, в несколько раз

15

меньше (в приведенных примерах соответсЕенно в 6+14 раз и з 2+14 раз) общего числа неизвестных и ширины ленты исходной дискретной модели. Следовательно, применение метода сопряженных градиентов для решения системы уравнений МКЗ новой модели требует значительно меньше памяти ЭВМ (в примерах: в 12+196 раз) и при атом сокращается время решения системы уравнений (в примерах: в 12+196 раз), чем для заданного разбиения.

2. Разработана процедура построения новых вкономичных суперэлементов (элементов) с законтурными узлами для решения задач упругости (изгиб пластин, плоская и трехмерная задачи упругости, задача о кручении цилиндрических стержней). В основе построения новых экономичных суперэлементов лежит метод исключения узловых параметров МКЭ на границах супэрэлементов. Приведены примеры решения задач теории упругости по МКЭ с применением новых суперэлементов (элементов) и проведен анализ результатов численных расчетов.

3.Разработан аналитический (экономичный) метод построения матриц жесткости анизотропных однородных трехмерных элементов высокого порядка, имеющих форму прямоугольной призмы.

Коэффициенты матрицы жескости согласно данному методу выражаются в явном виде через некоторую группу интегралов, которые вычисляются аналитически. Для трехмерных высокоточных элементов сложной формы эти интегралы определяются численно, и как показывают расчеты, время построения матриц жескости по формулам предложенного метода примерно в Б раз меньше, чем по известной процедуре МКЭ /4/ при равных условиях их реализации на ЭВМ.

4. Построена процедура многократного понижения порядка система уравнений МКЭ. Процедура сводится к последовательному обращению матриц малого порядка (по сравнению с глобзльной) и может быть реализована в том случае, когда матриц-* системы уравнений является плохо обусловленной.

б. Разработан и1обоснован метод виртуальных работ решения задач изгиба анизотропных неоднородных пластин Кирхгофа. Суть предложенного метода состоит в том, что искомое решение представляется в виде ряда в некотором гильбертовом пространстве, а его коэф|нциенты определяются с помощью уравнения принципа виртуальных работ. Показано, что последовательности приближенных решений, построенных по предложенному методу, сходятся к точному по энергии. Реализация метода сводится к построению ортормирован-

16

ного базиса гильбер^-шого пространства/ Предложен модифицированный процесс ортонормирования и определен критерий его устойчивости.

6.Указан и обоснован способ построения систем координатных гладких функций (полных по энергии) для ряда пластин сложной геометрии. Построены системы координатных гладких функций для пластины S любой Форш, часть границы которой совпадает с границей прямоугольной области SQ, при этом S с SQ и пластина S закреплена только по общей гражце этих областей.

Автор благодарен научному руководителю д.ф,-м.н., профессору П.В. Иемировскому за внимание к работе и оказанную помочь; сотрудникам отдела вычислительной механики ВЦ СО РАН в г. Красноярске за полезные обсуждения результатов работы.

Основное содержание диссертации отражено в публикациях /10/--/17/.

ЛИТЕРАТУРА

1. Вельский В.Jt. и др. Конструкция летательных аппаратов.- М.: Оборонгиз, 1963.

2. Уманский A.A. Строительная механика самолета.- М.: Оборонгиз, 1961.

3. Образцов И.Ф., Савельев Л.М., Хазанов Х.С. МКЭ в задачах строительной механики летательных аппаратов.- М.: Высшая школа, 1985.

4. Зенкевич 0. Метод конечных элементов,- М.: Мир, 1976.

Б. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов.- М.: Мир, 1979.

6. Ректорис К. Вариционные метода в математической физике и технике. -М.: Мир, 1985.

7. Панагиотопулос П. Неравенства в механике и их применения.-М.: Мир, 1989.

8. ФеДоренко Р,П. Итерационные методы решения разностных эллиптических уравнений.- Успехи мат. наук, вып. 2, 1978.

9. Шайдуров В.В. Многосеточные методы конечных элементов.- М.г Наука, 1989.

10. Матвеев А.Д. Процедура понижения порядка системы уравнений МКЭ.- Численные метода механики сплошной среды:Тезисы докл. школы молодых ученых,- Красноярск, ВЦ СО АН СССР, 1987, ч. 2 с. IT7-II8.

11. Матвеев А.Д. Конечные элементы с законтурными узлами. Процедура исключения определенного типа неизвестныхв эрмитовых моделях.- ВЦ СО АН СССР.- Красноярск, I99I.-28 g., ил. 23, библ. 7 назв., рус., Деп. в ВИНИТИ Jf20I0-B9I.

12. Матвеев А.Д. Построение суперэлементов с законтурными узлами для решения задач теории упругости. Метод исключения неизвестных МКЭ на границах суперэлементов.- ВЦ СО РАН.- Красноярск, 1992.-68 е.,ил. 26,табл. 8, библ. 9 назв., рус., Деп. в ВИНИТИ Ж3466-ВЭ2. ■

13. Матвеев А.Д., Немировский D.B. Решение задач изгиба неоднородных пластин методом виртуальных работ.- Изв. АН СССР, МТГ, N 4, 1986,- о. 177-183.

14. Матвеев А.Д., Немировский D.B. Метод виртуальных работ в теории упругости.- Препринт ИГПМ СО АН СССР, N 25-86-, Новосибирск, 1986.

16. Мвтвеев А.Р., Немировский D.B. Энергетический метод определения матрицы жесткости двумерных и трехмерных высокоточных элементов.- В сб.: Механика деформируемого твердого тела. -Томск: ТГУ, 1988,- с. 95-106.

16. Немировский Ю.В., Матвеев А.Д. Построение устойчивых решений по мкэ и новых разностных отношений для задач кручения стержней и изгиба пластин.- Изв. СО АН СССР, сер. техн. наук, вып. 3, 1987,- с. II0-II8.

17. Матвеев А.Д.. Немировский СКВ. Экономичный метод построения жесткостей неодродных двух-трехмерных элементов высокого по-, рядка задач теории, упругости.- ВЦ СО РАН.- Красноярск, 1994. 25 е., ил. 3, библ. 7 назв., рус., Деп. в ВИНИТИ Л747-В94.

По/игр;4объединение "Сибирь" Заказ 626 тирах 100