Численно-аналитический метод исследования напряженно-деформированного состояния и его применение к расчету неоднородных пространственных конструкций тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

МБ ОД

На правах рукописи

I

КАЛЕДИН ВАЛЕРИЙ ОЛЕГОВИЧ

ЧИСЛЕ1ШО-АНЛЛ1ГГИЧЕС1ШЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ К РАСЧЕТУ НЕОДНОРОДНЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ

01.02.06 - дннамнха, прочность машин, приборов и аппаратуры

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

НОВОКУЗНЕЦК 1995

Работа выполнена в Сибирской государственной горно-металлургической академии

Научный консультант: доктор физико-математических наук.

Официальные оппоненты:

доктор технических каук, профессор В.А.Бунаков доктор технических наук, профессор В.И.Машуков доктор фгоико-иатеыатнческих наук, профессор В.МЛСорнса

Ведущая организация:

Новосибирский государственный технический ушшерситет

днссертационного совета Д(ЮЗ.22.01 в Институте теоретической и

прикладной механики СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск, ул.

Институтская, 4/1, ИТПМ СО РАН.

Факс: (3832)35-22-63

E-mail: ADM©ITAM^SK.SU ■ ■ •

С диссертацией ноесно ознакомиться в библиотеке Ицспггута теоретической и прикладной uexamnai СО РАН.

Автореферат разослан 1995 г.

профессор О.В.Сосиип.

Защита состоится

Ученый секретарь дисссртацзюштго совета, д.ф.-м.н„ С.Н.С.

В.И.Самсонов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Ахт^рлы'сатиррлМет^ При создании новых силовых конструкций м^шнн н оборудования требуется с достаточно пысокой точностью прогнозировать ппрамегры их напряженно-деформированного состояния у;'се ¡¡а ранних стадиях проектирования. Преимущественно используемым видом исследования напряженного состояния па это;: этапе является расчет/ю-теоретическое. К настоящему времени методы расчета наиряжен-но-деформирспанного состояния сложных пространственных конструкций достигли высокой степени совершенства, позволяя с высокой точностью определять напряжения, перемещения и деформации конструкции произвольной структуры при силовых и термических воздействиях как статического, так и динамического характера.

При создании новых силовых конструкций решаются три основных вида задач расчета на прочность: проектировочный расчет, в котором конструктивные параметры определяются из условия экстремума критерия качества или из ограничения па параметры напряженного состояния; поверочный расчет, в котором находятся параметры напряженного состояния при заданных значениях конструктивных параметров; и параг метрическое исследование, в котором для целен рационального проектирования отыскивается зависимость ме:кду проектными параметрами, и. характеристиками напряженно-деформированного состояния. Можно уз-. вер::;дпть, что существующие методы численного моделирования сложных пространственных конструкций налили применение п первую очередь в поверочных расчетах и в задачах оптимизации, но крайне неэффективны при проведении параметрических исследований. Это связано с высокой стоимостью и трудоемкостью расчета. В то :-се время при пс* пользовании простых расчетных схем, ориентированных иа аналитические методы расчета напряженного состояния, задача параметрического, исследования решается весьма просто, но лишь для ограниченного спектра конструкций, с достаточной точностью описываемых такими расчетными схемами.

Поэтому представляется актуальной разработка эффективного метода исследования напряженно-деформированного состояния неоднородных пространственных конструкции, сочетающего универсальность численных методов с экономичностью и просготоП параметрического исследования, присущими аналитическим методам определения каиряжен-ио-деформированного состояния.

Ц-Ш'.-хЛ'¿сссрXIища является разработка, обоснование и апробация численно-аналитического метода решения задач статики ¡1 динамики пространственных конструкции произвольной конструктивно-силовой схемы, в котором объектом расчета является однопараметрическое семейство однотипных моделей, различающихся конструктивным (жесткост-ным, геометрическим или массовый) параметром.

Научи:-:: новизна работы состоит б разработке метода определения явной зависимости напряасенно-деформировашюго состояния от конструктивных параметров сложных многоэлементных пространственных конструкций произвольной формы и структуры, при произвольной анизотропии и неоднородности материала, подверженных как силовым, таге н термическим воздействиям. Частные методики к алгоритмы параметрического исследования неоднородных пространственных конструкции реализованы в виде пакетов программ для ЭВМ серна ЕС и персональных IBM-совместимых, компьютеров. Проведена апробация созданных методик, алгоритмов и программ на прикладных задачах динамики н прочности авиационных и машиностроительных конструкций. Впервые решены задачи оценки и?пряжений в перспективных замковых соединениях "металл-композит", напряжений вблизи эллипсоидальной выпуклости г. анизотропной панели, напряженно-деформированного состояния пространственной конструкции размеростабнльноп платформы из композитов.

Прокпущстср уфтмоеггл определяется разработанными пакетами программ дня экономичного расчета динамики и прочности силовых конструкций, a решениями практически сажных задач, полученными с использованием созданного аппарата. Проведенное исследована; напряжении в большегрузной железнодорожной цистерне позволила обоснованно выбрать толщину факшщпшца. На основе параметрического нссдедованил папря;::сшш-д:фарыпро1;сцшого состояния проектируемой ргзмеростаб1!яииой платформы т композиционных материалов определены ее констручальпиг вердмстры, обеспемикаюшке вшюяиш;я технических требований. Полусиди; результаты позволяют улучшил, технические данные разрибзэьидемт машин и оборудования, cniiv.a; массу енлозом конструкции при одновременном обеспечении с. прочности и жесткости, за счгг большего объема данных, получаемы.'1! высокоточным прочностным расчетом при тех а;е затратах на проведение расчета о-теоргтических работ.

Результаты диссертационной работы использованы при шиолпе шш бх:шейших НИР, проводимых Снбирско'й государственной горпо металлургической академией (СибГГМЛ) в'рамках цактаой комплексно? программы Госкомитета РФ по высшему образованию, а также договор ных научно-исследовательских работ, еьшолнльшихсл СпбГГМА и Харь ковеким авиационным пнеггшутоы в интересах ОКБ ш;. О.К.Антоноса ЦНИИ специального машиностроения, ПГО "Згпсибгсояогия", Пи ститута теоретической ц праювдной механики АН Украины, Залоро:;: ското МКБ "Прогресс", МКБ "Радуга" (г. Дубна). Разработка отдельны; прикладных программ поддерживалась фирмой "Eagle Dynamic: Limited".

Практическая значимость работы заключается не только в содержа щихся в ней решениях конкретных задач, но и в возможности применят! разработанные численно-аналитические методы и созданные пакезь

программ для анализа широкого класса однородных и композитных пространственных конструкций, в том числе сложной формы.

¿füauaeegiiixffih. результатов, получаемых при использовании предлагаемых алгоритмов, методик и программ прочностного расчета, обеспечивает ст.

- теоретическим обоснованием сходимости разработанных алгоритмов, их численной устойчивости, теоретическими оценками погрешности и интервалов сходимости используемых степенных рядов;

• численными экспериментами, позволившими сопоставить результаты решения по предлагаемым методикам с известными решениями молельных задач;

- сопоставлением результатов расчстно-георгтичеекого решения впервые решенных задач с результатами экспериментального измерения параметров напряженно-деформированного состояния.

Ащой(ншя.ряб_стъи Основные положения и результаты работ!,! докладывались и обсуждались ил I Всесоюзной конференции по механике неоднородных структур (Львов, 1983 г.), Всесоюзной научно-технической конференции "Методы и средства машинной диагностики газотурбинных двигателей н их элементов" (Харьков,! 933 г.), XII, XIII и XIV Гага-ринских научных чтениях по космонавтике и авиации (Москва. 1983 -198J г.), XIЯ Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек (Таллин, 19БЗ г.), II Уральской научно-технической конференции "Применение композиционных материалов на полимерной и металлической матрице в машиностроении" (Уфа, 1985 г.), V Всесоюзной конференции по статике и динамике пространственных конструкций (Киев, 1985 г,), но

VI Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Ташкент, 1986 г.), на Всесоюзной школе "Проблемы оптимизации в машиностроении" (Харьков, 1933 и 19261\), IV научно-технической конференции "Методы расчета изделий из высокоэлпстнчиых материалов" (Рига, 1986),

VII Всесоюзном семинаре "Теоретические основы' и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики" (Кемерово, 1930), III Всесоюзной конференции по нелинейной теории упругости (Сыктывкар, 19S9), Всесоюзной гистаяке программных комплексов по численному решению задач термомехаинки (Москва, 1990), Всесоюзном совсшаннп "Моделирование физико-химических систем и технологических процессов в металлургии" (Новокузнецк, 1991 r.)s VIII и X Всесоюзных школах-семинарах "Методы конечных и граничных элементов в строительной механике" (Усть-Нарпа, 1936; Одесса, 1992 г.), Международном азрокоемнчееком конгрессе (Москва, 1994 г.), 2-й Московской международной конференции по композитам (Москва, 1994 г.), 2-й международной конференции "Динамика, идентификация систем и обратные задачи" (С.-Петербург, 1994), а также на 43-й и 47-й научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава, сотрудников и аспирантов Харьковского авиационного института (1986 и 1990 г.) и на семинаре отдела механики деформируемого твердого тела Института

гидродинамики им. М.А.Лаврентьева СО РАН под руководством профессора, доктора фнз.-мат. наук О.В.Сосннна в 1993 и 1994 г.

Пх&лишщш, По теме диссертации опубликовано 43 печатных работы, 9 депонированных научно-технических отчетов и одна депонированная рукопись статьи. В автореферате приведено 38 основных публикации.

0^11Сли1Х1пр}'ктуд(1рабап1Ь1 Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, библиографического списка из 207 наименований и двух приложений; изложена на 226 страницах машинописного текста (исключая список литературы и приложения), содержит 70 рисунков и 4 таблицы. Общий объем диссертации 309 ар.

ОСНОВНОЕСОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Ва^&мйгини обоснована актуальность темы диссертации; представлены основные концепции работы, определяющие ее научную новизну и практическую значимость; сформулированы цель, задачи работы и выносимые на защиту положения; приведены сведения об апробации работы и краткое содержание работы по главам.

ЕаишЛ содержит аналитический обзор основных методов и результатов исследования напряженно-деформированного состояния пространственных конструкций с учетом их неоднородности, анизотропии конструкционных материалов, силовых и термических воздействий.

Задачи обеспечения прочности занимают приоритетное место б процессе проектирования силовых' конструкций машин, приборов и оборудования. Благодаря работам С.А.Амбарцумяна, Н.В.Баиичука, И.А.Биргера,' В.В.Болотина, З.И.Бурмана, Г.А.Ванииа, В.В.Васильева, В.З.Власова, А.Л.Гольденвейзера, Э.И.Грлголюка, Я.М.Григореико,

A.Н.Гузя, С.Н.Кана, А.С.Кос.чодамиашсого, С.Г.Лехиицкого, В.АЛо-макина, А.К.Малмейстера, С.Г.Михлина, Н.И.Мусхелишвили, Ю.В. Нс-мировского, В.В.Новожнлоза, И.Ф.Образцовд, В.П.Тамужа, Ю.Н. Ра' ботнова, В.З.Партона, В.В.Парцезского, Б.Е.Победри, В.А. Постновз,

B.Д.Протасова, Ю.Н.Работнова, Р.А.Резникова, А.Р.Ржашшыиа, Р. Б.Рикардса, Г.Н.Савина, Ю.М.Тарнопольшого, а также Б.Айронса, Дж.Аргириса, Д.Ашвелла, О.Зенкевича, Г.Кснтина, Р.Клафа, СЛанцо-ша, С.Лукасевнча, Д;к. Одена, Н.Пагано, Б.Парлетта, И.Пшемииепкого, Дж.Робинсона, Д>:.\ Сендецкого, Л.Сегерлинда, Г.Стренга, Ф. Сьярле,

C.П.Тнмошенко, К.Трусделла, С.Цая, КЛамнса, Х.Хана, М. Зламала и многих других ученых создан мощный аппарат расчета прочности конструкций различной структуры, при широком спектре воздействий и граничных условий, с учетом реальных физико-механических свойств конструкционных материалов.

Необходимость получения достоверной информации о напряженно-деформированном состоянии сложных по форме и строению конструкций, в том числе - композитных, обусловила распространение с

практике прочностных расчетов универсальных методов численного .моделирования. Вместе с тем, такие методы (расчетные схемы высокого уровня) нашли применение в первую очередь л поверочных расчетах и лишь в незначительной степени - в проектировочных расчетах и параметрических исследованиях конструкций, что вызвано высокой стоимостью и трудоемкостью расчета.

С другой стороны, в тех случаях, когда структура и форма конструкции допускают аналитическое решение прямой задачи определения напряженного состояния, удается достаточно просто получать оценки шшриич конструктивных параметров на действующие напряжения и тем самым па несущую способность проектируемой конструкции. Эти два подхода - численное моделирование и аналитический расчет полей напряжении - часто противопоставляются; между тем их объединение способно привести к созданию новых методов расчета на прочность, сочетающих универсальные средства моделирования широкого класса конструкции, свойственные численным методам, и простоту параметрического исследования, присущую аналитическим методам исследования напряженно-деформированного состояния.

Неоднородные пространсгсенимз конструкции сложной формы, кох прапило, не допускают приемлемого описания с использованием простых аналитических моделей. Классическая цепочка абстракции: си-лозая хомструкцил - несущая конструкция - физическая модель - математическая модель - расчете:».1 схема в конечном итоге приводит к тому, что проектные решения принимаются, исходя из анализа расчетной схем.ы, далеко не к полной мерз отражающей реальные свойства будущей конструкции. При этом нет никакой гарантии оптимальности выбора пара пара?, конструэдш, и для улучшения показателей ее качества приходится принимать дополнительные меры.

По-видимому, в целях рационального проектирования многозле-ментиой пространственной енлозой "обструкции актуально Повышение уровня расчетной схемы на этапе параметрического исследования. Это позволило бы получить следующие преимущества:

1) повысить точность кодичеегшшой оценки действующих напряжений з зависимост от варьируемых конструктивных параметров и тем самым создать предпосылки для улучшения критериев качества за счет более точного выбора конструктивных параметров;

2) исключить или уменьшить возможность ошибочного выбора такого сочетания конструктивных параметров, которое выходило бы за рамки адекватного описания деформирования конструкции с помощью выбранной расчетной модели.

Среди универсальных методов численного моделирования сложных пространственных конструкций и настоящее время наиболее популярен в силу своих несомненных достоинств метод конечных элементов (МКЭ). Он позволяет естественным образом учесть наличие элементов, описываемых разными математическими моделями, что важно в случае

подкрепленных конструкций; нечувствителен к отсутствию топологической регулярности дискретной сетки; обладает высокой алго-ритмнчносгью. Однако его роль ограничивается в основном повероч-чыми расчетами, что связано с недостаточной экономичностью и невозможностью получения явной зависимости величин напряжений, деформаций и перемещений от проектных параметров конструкции.

Стремление улучшить экономичность, сохранив универсальность к потенциально высокую точность, вызвало многочисленные попытки совместного использования МКЭ с другими методами решения краевых задач. Известные методы расчета напряженно-деформированного состояния на базе МКЭ с точки зрения круга решаемых задач либо повышают экономичности. поверочных расчетов, как разработанное В.Н.Апаноаичем сочетание МКЭ и метода Колосоза-Мусхелишаили или принадлежащий С.Ю.Еременко МКЭ с использованием R-фуикцнй, либо позволяют решать задачи оптимизации, как метод продолжения по параметру Н.В.Баничука. Эти задачи, однако, не исчерпывают всех потребностей в прочностных расчетах при проектировании сложных пространственных конструкций; do многих случаях актуально отыскание зависимости напряженно-деформированного состояния от проектных параметров конструкции, т.е. параметрическое исследование выбранной конструктивно-силовой схемы. Для этого требуется использовать экономичные, но в то ас с время достаточно универсальные методы,-которые могут быть построены на основе комбинирования численного метода конечных элементов с аналитическими. Такие методы могут использоваться как с целях рационального проектирования конкретных единичных конструкций, так а -для изучения прочности типовых конструкций, принадлежащих к определенным классам.

В итоге первой главы формулируются цель и задачи работы и обосновывается выбор методов исследования.

В глпее 3 излагаются используемые способы 'дискретизации задач расчета полей напряжений и деформации в многоэлементных конструкциях с переменным параметром на основе метода конечных элементов. Разрабатываются оригинальные алгоритмы численно-аналнтичсского решения получаемых прн этом дискретных задач.

Численно-аналитический метод, разработанный в диссертации, занимает промежуточное положение ме>зду методами поверочных расчетов и методами оптимального проектирования, относясь к области рационального проектирования неоднородных пространственных конструкций. Объектом расчета в нем является семейство однотипных моделей, различающихся конструктивным (жесткостным, геометрическим или массовым) параметром. Основная идея заключается в том, что для исследуемого семейства конструкций строится конечноэлементная модель со свободным параметром, в которой матрица жесткости и/или масс и вектор обобщенных узловых сил выражаются в явном виде как функция переменного параметра при фиксированных числовых значениях

стальных величин, что приводит к системе уравнений с матрицей и равыми частями, зависящими от параметра. В случае статического еформнровпиия разрешающая система имеет вид:

К(>0 0(Л) - И(Х), (I)

хе К - глобальная матрица жесткости модели,

О - глобальный вектор узловых перемещений, П - глобальный вектор узловых сил, Я - варьируемый параметр.

Матрица жесткости модели известным образом формируется из атриц хесткости конечных элементов, вычисляемых по известной фор-уле

К ~ 1 ВгОВс13, (2)

[с В - матрица, связывающая перемещения узлов с деформациями элемента,

О - матрица упругости, связывающая деформации с напряжениями, погонными либо сосредоточенными усилиями и моментами. Вид матриц деформации В и матриц упругости О конкретизируется ы частных видов конструктивных элементов. Во всех случаях матрица 1ругосги зазиент от физико-механичсскнх констант материала, а для ¡гнбаемых элементов - балок, пластин, оболочек - и от толщины либо ометрических характеристик сечения. Матрица деформаций £3 злностъга определяется формой и размерами конечного элемента в тяне, которые, в езою очередь, при фнксироганной схеме дискретной тки зазнепт от размеров конструкции либо отдельных се фрагментов, опструктпглшз параметры, входящие з матрицу упругости О, будут в шьнейшем именоваться гессткостиьши, а определяющие матрицы формаций В - геометрическими.

На основе рассмотрения частных видов физического закона в :5отс поггазако, что зависимость матрицы жесткости модели от хткостпого параметра является функцией вида:

К(Х) = 1 /Р„(Х) {К0 + ХК1 + Х2/С2 + Шз], (3)

где К1 - числовые матрицы,

Рп{Х) - полином степени не выше первой.

Зависимость матрицы жесткости от геометрического параметра получена в работе для случая, когда фрагмент модели трансформируется путем однопарамстрпческого линейного преобразования координат (х.у.г) -> (х'.у'г1) с диагональной матрицей Якоби:

х'-х/ (]+а\). у'-у/(1+ЪХ). г'-г/(НсХ). (4)

Здесь множители а, Ь, с при параметре Л задают степень растяжения (сокращения) по осям х, у, 2 соответственно. Исходные размеры соответствуют X = 0; положительные значения X дают сокращение размеров, отрицательные - увеличение (в случае положительных а, Ь, с). Коэффициент при координате в правой части равенств (4), т.е. величина, обратная (1 + РХ), Р = а, Ь или с , разен степени удлинения вдоль соответствующей оси.

Поскольку в случае геометрически линейной задачи теории упругости деформации выражаются через первые степени производных от перемещений по координатам, то при линейном преобразовании вида (4) матрица деформаций оказывается линейно зависящей от параметра X. Это справедливо для плоской, осесимметричиой и пространственной задач теории упругости, а 'также для задач изгиба пластин. В случае оболочек линейная- зависимость матрицы деформаций от параметра сохраняется: а) при равномерном растяжении пространства (а= Ь~ -с)\б) при одинаковом растяжении по двум осям при нулевой кривизне вдоль третьей координаты (а-с, крнвизпа или Ъ=с, кх=0)-

Матрица жесткости элемента вычисляется интегрированием коэф-' фициентов. квадратичной формы плотности потенциальной энергии по ' объему конечного элемента в пространстве образов:

к(х) = [ к0 + х / (в0тое, + в,тов0)с/и + х21 в,тов,сл/ ] до J (5)

v v.

Якобиан с/с' J равен

№ J=M [(1 +аХ)(1+йХ)(1+сХ)]. (б)

Таким образом, матрица жесткости модели с варьируемым геометрическим параметром выражается дробно-рациональной функцией вида

К(Х) = 11Рп(Х) [Кд + ХК, + Х2К21 (7)

для плоских, пространственных и осеснмметричных задач теории упругости, а также пластин и оболочек типа Тимошенко, м аналогичным выражением 4-й степени для тонких пластин и оболочек. Рассмотренная методика легко обобщается на случай косоугольного преобразования при услознн постоянства его якобиана. Это позволяет варьировать не только линейные, но н угловые размеры исследуемого элемента конструкции.

Сажную роль в решении з<1дач'статики многоэлементных конструкций со свободным параметром занимает, таким образом, решение систем линейных уравнений вида:

(А0 - ХА1 - Х2А2 -... - ХпАп) и(Х) = П, (8)

где Л; (¿-О,..., п) - симметричные матрицы, а А0 вдобавок положительно

определена; и(Х) - искомое решение системы; Я - правая часть, которую для простоты будем считать постоянной. Разложим решение системы (8)

в ряд по степеням параметра:

и,- V (9)

м ■

гдз £/,• - числовые векторы-столбцы, Подставив равенство (9) в уравнение (3), раскрыв скобки и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях, найдем векторы и0, и^, ... из рекуррентных соотношений:

.......• • • •'............................................• <Ю)

лсик = + А#к_г + ...+ Апик.п (к>п).

Сгруппируем л таких равенств в одно матричное уравнение:

РУ=ОХ, (II)

где X и У - векторы, составленные из п последовательных коэффициентов и,:

* г а Iик-1Х ик-2 ■ ■ ■ "к-пХ). Ут = 1икТ ик-1Г ■ ■ ■ ик-пЧ I. (12)

Р, О - матрицы, составленные из коэффициентов полиномиальной матрицы системы (8):

Р =

А00 0 . О Аг А3

О Ап О

О

А3А4... А„

о о

0=

ь2а3а4.

Ап0

Ап-1 К

О

О о

о о

(13)

Нормируя на к-й итерации вектор УМ по максимальной компоненте (верхний индекс равен номеру итерации), получим последовательность векторов, которая при известных условиях сходится к собственному вектору, и последовательность нормирующих множителей, которая сходится к наименьшему по абсолютной величине ненулевому собственному числу пары [Р,О), т.е. коршо характеристического уравнения

ао1 (Р - 7,0) = О. (14)

Степенной ряд (9) сходится в интервале |х| < 1хт/„| и расходится за пределами этого интервала. На практике 'неизбежна погрешность усечения ряда (9). Ее оценка возможна в ситуации, когда отбрасываются члены с коэффициентами, блшхими к 'собственному вектору. Тогда остаточный член с приемлемой точностью равен сумме геометрической прогрессии со знаменателем Учет зависимости правых частей

системы (8) от параметра це нарушает сходимости ряда (9), если правая часть аналитична в интервале < 1?-гла;,!.

Все предыдущие выкладки сделаны в предположении положительной определенности пары матриц (Р,0) (без учета возможного наличия общего ядра этих матриц). Эго условие выполняется по крайней мере в следующих практически вашшх случаях: а) матрица системы (8) зависит от параметра линейно; б) матрица системы зависит от параметра квадратично, причем А2 неотрицательно определена. С другой стороны, условие положительной определенности достаточно, но не необходимо для сходимости; алгоритм работоспособен, если наименьшее по модулю собственное число действительно к хорошо отделено от чисел с другими модулями, без учета кратности. В случае, если после разумно большого числа шагов сходимость не достигнута, можно предположить, что это условие не в"полнено, и полученная зависимость и(к) справедлива лишь асимптотически.

Изложенный выше алгоритм имеет существенный и неустранимый недостаток: он содержит операцию вычисления суммы степенного ряда интервал сходимости которого ограничен. Этот недостаток вытекает не

нз исходной постановки задачи, а из особенностей применяемого аппарата - метода малого параметра. Поэтому задача (8) при конечном изменения параметра рассмотрена с несколько иных позиции, с использованием вместо степенных рядов представления искомого решения в виде дробно-рациональной функции. Для этого осуществляется переход к базису подпространства Крылова, определяемого последовательностью векторов УМ, и определяются аппроксимации Релея-Ритца собственных векторов в этом подпространстве. Окончательно, искомое решение имеет вид:

где и,- - верхний блок /'-го вектора Релея-Ритца, Рц и цц - проекции матриц Р и О на /-й вектор. Наконец, остановимся на расчете частот и форм собственных колебаний, который сводится к решению обобщенной задачи собственных чисел;

где ГЛ(л) - глобальная матрица масс, <о,(Х) - /-я собственная частота,

/¿(X.) - /-я форма свободных колебаний (собственный вектор); зависимость матрицы масс от конструктивных параметров может быть найдена интегрированием плотности, умноженной на весовые функции формы, либо аппроксимироваться функциями типа линейной или дробно-линейной.

Известно, что при переходе через кратное собственное число собственный вектор может изменяться разрывно, скачком. Это делает невозможным построение аналитической зависимости в лириком диапазоне изменения параметра. Поэтому в работе предложен алгоритм отыскания этой зависимости лишь в окрестности нсвочмущениого решения задачи (16). По этому алгоритму вначале определяются производные от собственного числа (квадрата частоты) р, и собственного вектора ^ по параметру:

и(К) = £ щ,

(15)

I К(\) - о/(Х)ГЛ(Х) ] Цк) = О,

(16)

МтМГа*Г0ГК,ГаГ]101ММ1Га1

/да' =

«А - Ио/п**) = - (Ск№ - - Ио/М) ^,

Здесь через ку, и ткк обозначены проекции матриц на базис из собствен' ных векторов. Затем приближенно оцениваются значения собственны? частот и формы колебаний и окрестности исходного значения параметр! путем замены их приращений дифференциалами. Последний шаг состою в уточнении частот и форм путем выполнения одной-двух итерациГ подпространства.

Разработанные алгоритмы были реализованы в среде паке! а прикладных программ "Параметр", предназначенного для расчета напря женно-деформированиого состояния конструкций из композиционны? материалов методом конечных элементов.

Таким образом, предложенный в главе метод расчета напряженно-деформированного состояния позволяет получить явную зависимосп напряжений, перемещений и деформаций от конструктивных параметре! сложных многоэлементных конструкций произвольной конструктивно силовой схемы, при любом виде анизотропии материала, с учето,\ реальных воздействий.

С целью проверки работоспособности разработанных алгоритмов оценки их эффективности и достоверности получаемых результатов I работе проведена апробация предлагаемого метода на задачах парамгт рического исследования напряжений и деформаций в соединения; "металл-композит" и "композит-композит", пластинах, оболочках и мно-гоэлементиых пространственных конструкциях. Анализируются точного и эффективность применения предлагаемого метода. Получаемые реше ния сопоставлены с результатами традиционного расчета М КЭ, а так;:х с известными теоретическими и экспериментальными данными. В ряд; случаев использовались результаты экспериментов, выполненных < участием автора. Результаты предпринятых исследований изложены I последующих главах роботы.

В гла*д 3 приведены результаты применения метода н алгоритмов разработанных во второй: главе, 'к параметрическому нсслсдованнк ■концентрации напряжений в соединениях элементов конструкций и: • композиционных материалов при статических воздействиях.

Образец-сеидетель из углггметика с приклеенной х; нему накладко! рассмотрен х рамках задачи о плоско!! деформации. Повышенна: чувствительность композиционного материала к концентрации напряжений у кромок накладок мо;::ет привести к тому, что прочность оспсытгс материала не полиостью реализуется в конструкции образца. Дл; обоснования выбора конструктивных параметров получены засисимост! напряжений у кромки накладки от ее модулей упругости, толщины 1 длины (рис. I). Эти данные сопоставлены с результатами традиционного поверочного расчета МКЭ. Найдено, что, в зависимости от значени; параметра, достижение сопоставимой точности численно-аналитического решения требует вычисления от 1 до 7-9 членов разложение (9) или (15). Характер изменения погрешности усечения от чнел:

накладка

лам

50

250 £,/77« - 2

Рис. 1. Максимальные растягивающие напряжения в зависимости от продольного модуля упругости накладки: жирные кривые - накладка из углепластика, тонкие - из стеклопластика.

Рис. 2. Погрешность усечения в зависимости от числа удержанных членов ряда N. Номера кривых соответствуют значениям параметра: 1 - А.=-0,92, 2 - Хя-0,63, 3 - ¡>1=0,03, 4 - А~0,92 от радиуса сходимости.

1.4

U

1,|

0

0

2

\

I1 Ш

О 25 50 ХММ 0 10 20 30 . 40 50* мм

Рис. 3. Продольные деформации на поверхности основного материала образца-свидетеля: 1 - МКЭ, накладка треугольного профиля; 2 -МКЭ, накладка трапециевидного профиля; точки - эксперимент. Рис. 4. Гистограмма распределения координаты разрушенного сечения образцов-свидетелей.

удерживаемых членов при различных значениях параметра иллюетри-руетея рис. 2. По затратам вычислительного времени построение явной зависимости напряжений от параметра предложенным в работе методом эквивалентно проведению двух дополнительных традиционных расчетов при измененном значении параметра. Расчетная модель образца-свидетеля обоснована экспериментально путем сопоставления рассчитанных деформаций его поверхности с данными голографических измерений (рис. 3) и анализа результатов экспериментов на разрушение, «оторые показывают, что более чем в половине случаев разрушение образца начинается вблизи кромки накладки, т.е. в зоне, предсказываемой расчетом (рис. 4).

Для определения эффективных модулей упругости кпеештифтоеого соединения "металл-композит" было рассмотрено пространственное структурное звено материала соединения (рис. 5), ограниченное плоскостями симметрии и включающее четверть конического штифта. Граничные условия в перемещениях соответствуют условиям симметрии. Применение предлагаемого метода позволило получить зависимость приведенных модулей соединения в трех ортогональных направлениях и коэффициентов поперечных деформаций от модулей композита и штифтов, от соотношения размеров структурного звена и от объемной доли штифтов (рис. 6; все модули на этом рисунке даны в долях продольного модуля упругости композита). Полученные результаты со-, поставлялись с традиционным расчетом МКЭ для оценки добавленной погрешности усечения, которая в проведенных расчетах не превышала 23%. Результаты расчета модулей упругости удовлетворительно согласуются с известными моделями суммирования жесткостей (вдоль направления штифтов) или податливостей' (в двух направлениях, перпендикулярных к штифтам). Коэффициенты поперечной деформации, определенные в работе, не согласуются с результатами расчетов по правилу смесей, не чувствительному к соотношению размеров структурного звена. Результаты экспериментального измерения модуля упругости и коэффициентов поперечной деформации оказались близкими к теоретическим. Так, продольный модуль упругости, найденный расчетным путем, на 2,2% меньше экспериментально полученного значения. Теоретический коэффициент поперечной деформации в плоскости образца равен 0,28, что на 15% меньше измеренного значения, но укладывается в разброс экспериментальных данных. Коэффициент поперечной деформации в трансверсальном направлении равен 0,27, что отличается от экспериментально полученного значения на 35%. Коэффициент концентрации напряжений, определенный расчетом, равен 1,3, что существенно меньше определенного экспериментально (1,8), но следует иметь в виду крайне низкую точность экспериментального измерения деформаций вследствие малости базы. Зависимости структурных напряжений в соединении от конструктивных параметров обнаруживают существование такого сочетания размеров и модулей, при

о б

Рис. 5. Структурное звено клеешгнфгоаого соединения: а - схема, б • конечноэлементнал модель, о - напряжения сгх (жэсткий штифт), г -сгх (податливый штифт).

X 1.1 1,0 0.0 0,8

т~

•1 с- --—-а

Г<г к

А

0,5г 0.4;-

0,6 1,0 1,4 1.0 2,2 г.

0.2г 0.0^—

0,Гг£-

О.вА-

у

0,07

о.сэ 0.03

!

>

у

1 1 -

г -Л—

0,3 1,0 1,4 1.8 2,2 £

0,4

0,8

1,2 1,6~Ъ7а

*

К, -

3

1

и?. •

• 1

*

0,4 0,3

1,2

1.3 Ь/я

Рис. 6. Влияние модуля штифтов и размеров структурного звона на упругие характеристики соединения "металл - композит". Кривые 1, 2, 3 соответстзуют объемной доле штифтоз 0,221, 0,0932 и 0,0245. Точки - правило смесей.

о.

3

\

котором концентрация напряжений в композите отсутствует; это согласуется с известными результатами Я.С.Карпова. .

Проведенный анализ позволил определить эффективные жсеткост-ные характеристики комбинированного материала хлеештифтового соединения, необходимые для расчета напряженного состояния его как макрооднородного тела. Вместе с тем за рамками рассмотрения осталась задача о поперечном сдвиге, необходимая для расчета модуля поперечного сдвига. Учитывая, что формулировка соответствующей краевой задачи в перемещениях для структурного звена будет содержать неизбежный произвол в выборе граничных перемещений, представляется целесообразным использовать приближенную оценку модуля поперечного сдвига, оценивая при этом влияние его изменения на напряженное состояние соединения. При известных границах изменения модуля поперечного сдвига такой, подход дает верхнюю и нижнюю оценку напряжений, реализующихся в конструкции соединения. Таким образом было исследовано напряженное состояние стыка композитного пера лопасти воздушного винта с металлической втулкой, изображенного на рис. 7. Соединение было рассмотрено в рамках осеснм-мстричной задачи теории упругости. Варьировались модули упругости зоны соединении 1< ее длина. Проведенный анализ показал, что при указанном выше сочетании конструктивных параметров изменение модуля поперечного сдвига к достаточно обширном диапазоне приводит к относительно малому шысяошиз средних напряжений в клеештифчо-ьом соединении. Изменение объемисто содержания штнфтои практически не изменяет доминирующих компонент гладкой составляющей поля напряжении, охазызая слияние только на структурные напряжения. 'Увеличение -дшши соединения уменьшает окружные напряжения ь нем. Результаты параметрического исследования'сопоставлялись с расчетом МКЭ по сбичцоП методике; несовпадение результатов соответствует теоретической оценке ссылочного члена, не пресыщая I. 2% от приложенного растягивающего напряжения.

Замкозос сосдиягтг цилиндрической композитной оболочки с металлическим шпангоутом (рис. 8), разработанное Б.И.Ныркоиским, рас-смогреио в работе в рамках осссимыстрн»шой задачи. Особенностью расчетной модели является то, чго деформации композитных петель отнесены к цилиндрической системе координат, а константы упругости задаются и главных осях анизотропии, совпадающих с касательной и нормалью к профилю петли. Расчет соединения проведен при следующих граничных условиях: сечение металлического шпангоута спит ял ось жестко закрепленным о г осевых перемещений; воздействие на противоположную кромку композитной оболочки задавалось в виде осевого перемещения на заданную величину. Основное внимание уделяется напряженному состоянию петли, поскольку она наиболее нагружена. Материал петли считался подчиняющимся критерию Гольдсн-блата-Копнова, который при условии равенства сопротивления рас-

ЩЗПШП}

се,

1 К

3 2 л \

«

со

0,2 0,4 0,6 0,а хЛ

3

х

1,2

О 0,2 0,4 0,8 0,8 х/1

б

1 _.J

/

=ч а ^¿У

0,2 . 0.4 0,3 0,8 «Л

Рис. 7. Клеошт'ифтогое соединенна зтулки лопгсти создушисго та с композитным лонжероном: а - схема <1 - втулка, 2 - лонжерон, 3 -штифты); б - г - распределения напряжет«! по длина соединения: сплошные линия - расчзтноз значение модуля сдвига , — — вхг уменьшен о 2 раза, - - вхг уооличзн о 2 раза; объемной содержгнмэ штифтоз: кризыа 1 - £а=0,2, кркаыа 2 и 3 - £а=0,1; длина соединения: кривые 1 и 2 - /=200 мм, кривые 3 - /=100 рл.м.

а

тяжению и сжатию, а также сопротивления сдвигам под углами 45° и -45° к направлению армирования, принимает известный вид

где сгвз, авп, ств0 - пределы прочности при растяжении-сжатии в направлении армирования (в), нормали (п) и окружности (6), тв0 -предел прочности при поперечном сдвиге, твп45 , тв645- пределы прочности при сдвиге в плоскости, составляющей угол 45° с направлением армирования и нормалью к петле либо направляющей окружностью.

Левая часть неравенства (18) характеризует уровень нагруженности материала петли. Распределение этой величины вдоль профиля петли приведено на рис. 9. Эксперименты на разрушение, проведенные В.И.Нырковским, показывают, что начальное разрушение петли происходит в точках, совпадающих с положениями максимумов критерия. В этих экспериментах методом тензометр'ирования измерялись также деформации на поверхности образцов соединения, сопоставление которых с расчетными данными также Подтверждает достоверность теоретической модели. Для повышения прочности соединения за счет уточнения конструктивных параметров было проведено параметрическое исследование максимумов критерия разрушения в зависимости от диаметра оболочки, соотношения радиуса и толщины петли и от длины петли. При этом численно-аналитическим методом удается решить задачу о длине пегли; влияние зке.относительной толщины, как и влияние радиуса оболочки, приходится оценивать расчетом- дискретных вариантов, что намного более трудоемко.

Проведенный анализ показал, что наибольшее влияние на напряжения в петле оказывают ее длина, радиус и толщина. Результаты расчетов приведены на рис. .10. С ростом'длины петли напряжения уменьшаются; при длине, большей 3,5 радиуса, заметно изменяются только напряжения в закруглении внутренней петли, а напряжения во внешней петле почти постоянны. При увеличении радиуса и толщины петли все компоненты напряжений существенно уменьшаются. При увеличении отношения радиуса и толщины петли до величин, больших 10, доминируют растягивающие напряжения. При малом радиусе по отношению к толщине (порядка 5) существенно возрастают напряжения поперечного сдвига.

Рис. 8. Схема замкового соединения композитной оболочки с металлическим шпангоутом: 1 - шпангоут, 2 - слои оболочки, 3 - примотка, 4 - профилеобразующая вставка.

Рис. 9. Уровень напряжений по критерию Гольденблата-Копноза: 1 ■ онугренняя петля; 2 - внешняя петля.

1,8 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0.4 0,2 0,0

1

V •

V ч \ 2

ч 4 4

И А/ ^ 6 --

С 6

2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 ¡/г

а

0,12 б

Рис. 10. Зависимость максимальных уровней напряжений в характерных точках от длины (а) и радиуса (б) петли: 1.2- внутренняя петля, 3,4- внешняя петля; 1,3- точка В, 2, 4 - точка С. г - радиус петли, 5 - толщина петли, / - толщина петли.

Таким образом, предлагаемые численно-аналитические решения задач о статическом нагружении соединений "композит-композит" п "металл-композит" оказываются более экономичными по сравнению с традиционными при той же точности. Полученные оценки позволяют уточнить и обосновать методику проектирования рассмотренных видов соединений.

Гласа 4 содержит результаты исследования деформирования оболо-чечпых конструкций при локальном изменении формы или жесткости. Рассмотрена задача о растяжении ортотропной пластины с локальной выпуклостью эллипсоидальной формы; определены напряжения в зависимости от соотношения ее осей и доли слоев, армированных в разных направлениях. Проведено параметрическое исследование напряжений в котлах большегрузных цистерн в зависимости от толщины фальшднища. Получены количественные оценки влияния локального снижения жесткости ортотропной конической оболочки (например, от микротрещин в связующем) на напряжения и искажение формы. Результаты решения обосновываются сопоставлением с экспериментальными данными. Анализируется специфика применения предлагаемого метода к задачам статики оболочек по сравнению с задачами предыдущей главы.

Ортотротая пластина с локальной выпу/слостыо при растяжении (рис. 11) рассматривалась в рамках гипотез Кирхгофа-Лява и Тимошенко. Результаты оказываются идентичными ввиду малости перерезы, вающих сил. Использование предлагаемого метода позволяет проанализировать зависимость напряженного состояния от доли продольно и поперечно армированных-слоез в схеме 00°а/ ±45°1_а, 0°а/90°,_а и 0°а

/±45°^ (рис. 12). Записимость напряженного состояния от геометрических параметров выпуклости рассчитывалась путем варьирования длин полуосей выпуклости при трех фиксированных значениях ее стрелы. При этом в выражении для кривизны удерживались только члены, линейные относительно изменяемого параметра. Было найдено, что максимальное погонное усилие слабо зависит от соотношения полуосей; остальные компоненты напряжений обнаруживают более существенную зависимость: при увеличении продольной оси в 1,6 раза уменьшение qx составляет 5%, уменьшение qy - 22% и уменьшение q2 - 10%. Если же продольная ось уменьшается, то qy и тх растут на 10-15%, а остальные компоненты замелю ие изменяются. Благодаря малому изменению напряжений даже при крайних значениях параметра численно-аналитическое решение отличается от традиционного МКЭ не более чем на 10%. С ростом стрелы дефекта мембранные напряжения растут с увеличивающейся, а изгибные - с уменьшающейся скоростью.

Расчетная модель обосновывается сопоставлением деформаций с данными тензометрии. Полученные результаты даюг возможность оценить искажение поля напряжений в композитной панели, вызванное

z| b h"

L___о___j -

Рис. 11. Ортотррпппя пласила с локальной выпуклостью а цсмгрс (чотсорть симметричной сблзстп).

Я.

1

1 1 Ии

i 1 2 "Т

/ /

XL / Г 1 1 - * -

С _

у

со» -t * А -

Л

40; \ 20

10 • —

.IL

Г

/ L

0.0

(J : 1 i

ДУТ

rf-r

i -J i

isL_

' i

«L\

L:

i

f 0 J---

! I

1ЧГ

TT

ОЯ а

~T

Г

i I

0.0 0,2 0,.! 0,3 0,3 n

G

П1"

l^-rvi

t

К

nxtt

к/Л,

i

10-

J. 1

0.0 0,2' 0.1 3,0 0,8 а

3 j j

0,0 0,2 0,4 0,5 0.9 м Г

Рис. 12. Зависимость максимальных погшигл усляг:;! л мемантоо от схгмы ермярозгнкя материала Криаые 1 • уюкууса SC°n /л450)н1,2 • , 3 - 0°а /¿45°,^ . Пунктиром из рис. г покмзпн погонный r.io?.!£ht ту, сплошной линией - тх. Течки - расчот МКО.

1

технологическими погрешностями формы, в целях регламентации допустимых технологичесхих дефектов.

Напряженно-деформированное состояние композитной оболочки с нарушением сплошности связующего исследовалось в предположении о линейной зависимости матрицы упругости материала поврежденной зоны от параметра, характеризующего степень ослабления материала. Это дало возможность получить численно-аналитическое решение во всем диапазоне возможных значений параметра - от 0 (неповрежденный материал) до ! (полное разрушение связующего). Коническая оболочка (рис. 13), армированная по схеме: 0я/90оп/±45о^я, нагружена внутренним давлением, не зависящим от окружной координаты VI линейно изменяющимся вдоль образующей от максимального значения у закрепленной кромки до нуля на свободной, Меньшее основание оболочки закреплено так, что осевые и окружные перемещения, а также повороты нормали, отсутствуют, в то время как перемещения в плоскости сечения разрешены; большее основание свободно. Влияние снижения жесткости материала наиболее заметно проявляется в повороте оси оболочки при несимметричном расположении ослабленной зоны (рис. 14): максимальный угол позорота достигается при секторе ослабления 50% окружности оболочки.

Анализ зависимости перемещений оболочки от размеров и формы ослабленной области, аналогичный рассмотренному выше, позволяет выявлять искажения формы, вызванные начальными микроразруше-нияяи. Это может быть важно для конструкций, подверженных аэро- и гидродинамическим воздействиям.

Параметрическое исследование напряженного состояния большегрузных цистерн с жидкостью проведено в рамках задачи квазистатики. В качестве воздействий прикладывалось давление жидкости, найденное физическим моделированием цистерны при' ударе в днище и в автосцепку; эти данные предоставлены автору Г.И.Богомазом. Модель цистерны (ряс. 15) включает конструктивные элементы, описываемые расчетными схемами балки, цилиндрической и сферической оболочки, мембраны (опоры котла) и стержня (стяжные хомуты). Анализировалась зависимость, эквивалентных напряжений по критерию пластичности Губсра-Мизеса от толщины фальшднища котла, которая учитывалась добавлением к толщине основного днища (рис. 16). Полученные данные сопоставлены с результатами расчетов по традиционной методике и с результатами натурных испытаний цистерны модели 15-1547,' проведенных ПО "Азовмаш". В результате определена минимальная толщина фальшднища, обеспечивающая отсутствие пластических деформаций при ударе.

Рассмотренные выше задачи позволили выявить следующие особенности, присущие параметрическому исследованию оболочек:

1) Варьирование размеров конечноэлементной модели ограничено более жесткими рамками по сравнению с пространственными, плоскими

ная сетка.

Рис. 14. Зависимость угла поворота оси оболочки под нагрузкой от степени ослабления материала при секторе ослабления (заштрихован на рисунке): 1 - 25%, 2 - 50%, 3 - 75%. Точки - расчет МКЭ.

Рис. 15. Коиечноэлементная модель цистерны (симметричная поло-, вина): 1 - обечайка котла, 2 - днище, ,3 ■- хребтовая балка, 4 - шкворневые балки, 5 - опоры котла, 6 - стяжные хомуты, 7 - фасонные лапы, 8 - жесткая связь, 9 - упругие опоры, а

-20<

б

3

1

4 ■

2

а

МПа

100

4 е а

В 1ньш

-100

3

1 .

4'

2

4 6 б

С 1ным

Рис. 16. Зависимость напряжений в днтце (а) и обечайке (б) от толщины фа'льшднища: 1-с^, 2 - с^', 3 - с2+, 4 - сг2", 5 - критерий Губе-

ра-Мизеса. Индексы + и - относятся к внешней и внутренней поверхности соответственно.

о

и осесиммегричными задачами вследствие большего ухудшения аппроксимации перемещений конечными элементами оболочки при изменении соотношения их размеров в плане.

2) Для оболочек, отвечающих сдвиговой модели Тимошенко, указанная трудность усугубляется тем, что размеры элемента в плане не должны превышать величины, пропорциональной толщине и зависящей от соотношения модулей упругости.

Указанные особенности приводят к тому, что границы изменения параметра лимитируются уже не погрешностью решения системы, а адекватностью описания деформирования рассматриваемого семейства конструкций с помощью возмущенной конечноэлсментной модели.

Таким образом, л главе разработаны и апробированы частные методики численно-аналитического решения задач о статическом деформировании конструкций, содержащих оболочки, и выявлены основные особенности таких задач по сравнению с плоскими, осесиммегричными и пространственными моделями.

Л ?.лт,е 5 на основе численно-аналитического метода решения задачи расчета собственных частот разработана методика параметрического исследования частот и форм собственных колебаний. С применением ггоЯ методики исследованы собственные частоты пространственной фермы из композитов з зависимости от жесткости поперечного сдвига и гшогоэлемгнтпой конструкции разиерсетабнлышй платформы в зависимости от жсстхосгиого параметра. Показано, что расчет по предлагаемой методике менее трудоемок, чем по традиционной, но получаемая при этем экономил относительно незелика по сравнению с задачами статики.

Отметим особенности реализации алгоритма решения обобщенной задачи собственных чисел' и гсктороп применительно к конструкциям с пгргнениой жесткостью н/нли массой. Начальный шаг этого алгоритма не отличается от обычного расчета при фиксированных параметрах. Затем циклически определяются параметрические зависимости в окрестности анализируемой точки, и параметр получает приращение, гарантирующее достаточно малую погрешность. На каждом этапе виачадс вычисляются производные от ссбетзенных чисел и векторов и приближенно находятся их приращения при изменении параметра, п затем итерацией подпространства сабстпснные лекторы уточняются в левой точке. Последний шаг алгоритма- требует решения систем линейных уравнений с матрицей, равной матрице жесткости модели. Поэтому наибольший выигрыш вычислительного премешг достигается в том случае, когда от параметра зависит только матрица масс. Отмстим, что вычисление производных по параметру содержит операции умножения матриц высокого порядка, причем по крайней мере одна из них - матрица масс • имеет полный ранг. Поэтому экономия относительно невелика, особенно /то сравнению с быстрым алгоритмом Лаи-цоша (порядка 15%). Сравнительные затраты вычислительного времени

при использовании различных методик показаны на рис. 17; за 100% приняты полные затраты времени при использовании метода итераций подпространства.

Изложенный алгоритм, программно реализованный применительно к соответствующим классам конструкций, использован для решения прикладных задач анализа собственных колебаний.

Пространственная ферменная конструкция (рис. 18,а) состоит из трех углепластиковых шпангоутов, соединенных тремя секциями угле-пластиковых подкосов. Каждая секция включает 16 подкосов. Концевой шпангоут несет сосредоточенную массу; противоположное сечение жестко защемлено. Особенность конструкции состоит в низкой сдвиговой жесткости и относительно небольшой длине ее элементов, вследствие чего перемещения, вызванные деформациями поперечного сдвига, соизмеримы с перемещениями, обусловленными изгибом шпангоутов и растяжением-сжатием подкосов. Поэтому представляется необходимой оценка влияния жесткость' поперечного сдвига на собственные частоты конструкции. Результаты такого исследования приведены на рис. 18,6. Результаты сопоставлены с данными экспериментального измерения собственных частот натурной конструкции по резонансной характеристике; различие составляет менее 2% при реальном значении модуля поперечного сдвига и 7,1% - при бесконечной сдвиговой жесткости.

Конструкция размеростабильной платформы включает собственно платформу 2, купол 3 и лапу 4 (рис. 19). Платформа состоит из балок-коробчатого сечения, закрытых снизу и сверху плоской обшивкой. Купол выполнен в виде полусферической оболочки на каркасе; в нем имеются вырезы, в которых крепятся астрономические приборы. Лапа 4 предназначена для крепления сосредоточенных масс. Рассматривались варианты с коробчатой лапой и балочной лапой, усиленной стенкой и косынками. Анализ собственных частот проводился для варианта с балочной лапой; исследовалось влияние толщины стенки лапы. Поскольку масса стенки весьма мала по сравнению с массой других конструктивных элементов и грузов, матрица масс конструкции считалась постоянной. Матрица жесткости зависит от параметра линейно. Благодаря этому, а также малости ранга переменной матрицы жесткости стенки, вычисление собственных чисел удастся выполнять достаточно быстро.'

Результаты параметрического исследования приведены на рис. 20. При малых значениях параметра первой формой являются поперечные колебания лапы; частота таких колебаний быстро возрастает по мере увеличения толщины стенки. Начиная с толщин порядка 0,7 мм частота поперечных колебаний превышает частоту продольных колебаний платформы вместе с лапой. Эта форма колебаний становится, таким образом, первой, а поперечные - второй. При дальнейшем росте толщины. стенки в поперечные колебания включается платформа, и вторая форма колебаний становится изгибио-крутнльной. Проведенный анализ

1С»

75

60

25

Вычисление матриц жесткости и масс

12 3 4

Произподныа по параметру

1_2 3

Вычисление или уточнение собстп. векторов з

Суммарные) затраты г~' времени1'' 1 1

.-'12

Рис. 17. Затраты машинного времени на вычисление собственных частот: 1 - традиционная методика, метод Лпнцоша; 2 - метод Ланцо-ша с коррекцией начального вектора; 3 - метод итерации подпространства; 4 - предлагаемая мзгодика.

• 3

"—г -

2

1

•

Ю'5

10"

ю8. в, МЛа

10ь

а б

Рис. 18. Ферма из композитов (а) и засисшость собственных частот от модуля сдвига (б). Номера крнаых соответствуют номерам форм колебаний без учета кратности.

вариант лапы (б): 1 - балки подсоски, 2 - платформа, 3 - купол, 4 - липа, 5 - сосредоточенные массы, 6 - балки лапы, 7 - косинки, 8 -стенка.

Рис. 20. Продольные колебания платформы, (а), поперечные колебания лапы (б) и зависимость собственных частот от толщины стенки (в): 1 - продольные колебания, 2 - поперечные колебания лапы, 3 -крутильные колебания платформы.

позволяет выбрать толщину стенки из ограничения по собственным частотам конструкции.

Таким образом, предлагаемый численно-аналитический метод применен для исследования частот и форм собственных колебаний пространственных конструкций и получена оценка эффективности разработанной методики по сравнению с традиционными.

Шг,тиЛ предлагаемый численно-аналитический метод применяется к исследованию полей температуры и термоупругих деформаций. Задачи теплопроводности и термоупругости решаются на ранних стадиях проектирования конструкций, подверженных термическим воздействиям, и особенно актуальны в случае различия коэффициентов термического расширения конструктивных элементов.

Выше уже рассматривалась пространственная конструкция размере-стабильной платформы из композиционных материалов. Одним из требований к ней является жесткое ограничение термоупругих перемещений астрономических приборов, размещаемых на платформе. Для выполнения этого ограничения была определена зависимость перемещений мест базирования приборов на куполе, лапе и боковых консолях от толщины стенки лапы, а также от коэффициентов теплоотдачи открытых участков конструкции. Задача 'териоупругости рассматривалась как несвязанная; поле температур определялось решением стационарных и нестационарных краевых задач теплопроводности, причем стационарные ¡адачи решались с учетом внутреннего (в полости купола) и внешнего кондуктнвно-конвективно-радиационного теплообмена, а п нестационарном случае граничные условия радиационного типа приближенно заменялись конвективными с целью линеаризации задачи. Рассматривались два режима температур: "холодный", соответствующий !ерабочему состоянию приборов, и "горячий", в котором приборы гермостатирутотсл, а на конструкцию воздействует внешний тепловой ' юток. Изменение тепловых воздействий при расчете переходных ¡роцессоз считалось мгновенным.

На рис. 21 представлены результаты параметрического исследова-шя стационарной температуры в характерных точках конструкции. Анализ этих зависимостей показывает, что стенка лапы, необходимая для велнчения собственных частот конструкции, в то же время способствует глаживаниго поля температур, что частично компенсирует еблагоприятное влияние увеличения коэффициента теплоотдачи из-за арушения теплоизоляции. Тер мо упругие перемещения (рис. 22) сущест-енно изменяются во времени практически на всем участке циклограммы оздействий, не успевая установиться к моменту смены режима; однако ремя переходного процесса уменьшается с ростом коэффициентов гплоотдачи.

Таким образом, использование численно-аналитического метода озволило провести параметрическое исследование стационарных полей 'мператур и термоупругих деформаций при варьировании показателей

Рис. 21. Зависимость температуры d Хиршгтсрнш течках от коэффициента теплоотдачи на площадка лапы (а) и от толщины стена! лапи (б) с холодном pw.aiMc.

а 'О

Рис.22. Линойньш пйреисщсн;;г1 басоБоЛ консоли (а) п площадки лапы (б) d зависимости от времени: 1 - их, 2 - иу, 3 - иг.

теплоотдачи и проектных параметров пространственной конструкции. Решение нестационарных задач теплопроводности и термоупругости получено на основе алгоритмов вычисления собственных векторов для пучка матриц, зависящего от параметра. Достоверность полученных результатов удалось подтвердить лишь косвенно, решением упрощенных модельных задач; окончательно вопрос о достоверности расчета может быть решен лишь после проведения натурных экспериментов.

Таким образом, в главе разработана частная методика решения стационарной и нестационарной несвязанной задачи термоупругости. Найдены температурные поля а термоупругие деформации пространственной размеростабильиой платформы, работающей п услозиях внешнего и внутреннего кондуктивпо-конвектнвно-раднационного теплообмена, в зависимости от конструктивного параметра - толщины стенки -и от коэффициентов теплоотдачи различных участков поверхности конструкции.

В щклтчс.тт даны рекомендации по использованию результатов работы и сформулированы общие выводы:

1. Разработан новый численно-аналитический метод исследования напряженно-деформированного состояния неоднородных пространственных конструкции в зависимости от гесткостных и геометрических параметров, заключающийся в .том, что для исследуемой конструкции строится конечноэлементная модель со свободным параметром, матрица жесткости н/или масс и вектор обобщенных узловых сил выражаются в ясном виде как функция переменного параметра при фиксированных числовых значениях остальных величин, и решается система уравнений с матрицей и правыми частями, зависящими о,т параметра.

Метод отличается от известных аналогов тем, что, с целыо упрощения параметрического исследования, перемещения, деформации и напряжения отыскиваются п виде явных функций переменного параметра, что позволяет определить напряженно-деформированное состояние -для семейства моделей в конечном интервале изменения варьируемой величины.

2. Предлагаемый метод реализован з алгоритмах решения, основанных на разложении искомого вектора узловых величин в степенной ряд или конечную сумму дробно-рациональных функций. На основе метода малого параметра найдено теоретическое обоснование точности получаемого решения, обобщенное затем на случай конечного изменения параметра. Получена оценка интервала изменения параметра, в котором добавленная (по сравнению с традиционным МКЭ) погрешность асимптотически мала. Достоверность теоретического обоснования точности и устойчивости разработанных алгоритмов подтверждена численными экспериментами.

3. На основе предлагаемого метода разработаны частные методики параметрического исследования напряженно-деформированного состояния следующих классов конструкций: соединений разнородных

элементов, описываемых, в рамка* плоской, оееснмметричной и пространственной задач теории упругости; апизофопных и изотропных пластин и оболочек' при локальных вариациях их формы и жесткости; пространственных конструкций, содержащих балки с сочетании с изотропными и анизотропными пластинами и оболочками, при вариации жест-костных параметров.

Для указанных видов конструкций в работе решены задачи статики, кавзнстатнки, анализа свободных колебаний, теплопроводности н несвязанной термоупругости.

4. Применение предлагаемого численно-аналитического метода дало возможность получить явные зависимости параметров напряженно-деформированного состояния от модулей упругости и размеров в клеевом, клеешгнфтовом н замковом соединениях "композит-композит" и "металл-композит", позволяющие более обоснованно выбирать их конструктивные параметры. Впервые получены такие зависимости для замкового соединения стеклопластнковой оболочки с кольцевым металлическим шпангоутом.

Решена задача о растяжении ортогрэпной пластины с эллипсоидальной выпуклостью при переменных размерах выпуклости и переменных модулях упругости. Полученные результаты могут быть использованы для регламентации допустимых по прочности технологических дефектов в панелях из композитов.

Найдены напряжения и искажение формы конической орзотропной оболочки при внутреннем даьяаг.т в зависимости от уменьшении жесткости а секторе, при&:ика:ощем к защемленное основанию. Результаты решения могут использоваться для анализа влияния повреждении связующего при эксплуатации па функциональные свойства конструкции.

Получена зависимость напряжений о г толщины фальшднища большегрузной цистерны при квазистатическом нагружении и собственных частот шюгоэлгменшой конструкции размеростабнльной платформы от толщины стенки. Эти зависимости нспользосаны для рационального выбора указанных конструктивных параметров.

Пройсдело параметрическое исследование температурных полей и термоупругих деформаций размгростабилыюй платформы при смешанном теплообмене, с зависимости от коэффициентов теплоотдачи на отдельных участках поверхности конструкции и толщины стенки. Методика этого исследования может быть использована для анализа влияния конструктивных параметров и состояния теплоизоляции на функциональные свойства конструкции.

Достоверность полученных решений в каждом случае обосновывалась сравноием с традиционным расчетом МКЭ, а также с имеющимися в распоряжении автора экспериментальными данными и известными теоретическими, эмпирическими и экспериментальными результатами.

5. При решении задач прикладного характера проведен сравнительный анализ эффективности предлагаемого метода с традиционным методом конечных элементов и выявлена его область применимости. Показано, что в задачах статики значительный выигрыш по сравнению с численным расчетом получается при варьировании модулей упругости. В моделях с переменными геометрическими размерами достаточная точность достигается лишь в относительно узком диапазоне изменения параметра, что связано с ухудшением аппроксимации при искажении конечнозлементной сетки. В расчетах оболочек средней толшнны по модели Тимошенко аналогичное обстоятельство ограничивает вариацию отношения модулей растяжения н поперечного сдвига. При параметрическом исследовании собственных частот и форм колебаний разработанная методика более эффективна, чем традиционный численный расчет, но экономия вычислительного времени невелика; по сравнению с многовариантным расчетом с использованием алгоритма Ланцоша она составила 15-20%.

В расчетах стационарных температурных полей разработанный метод наиболее эффективен при решении задач внешнего и внутреннего кондуктнвно-конвектнчного теплообмена при варьировании коэффициентов теплопроводности я теплоотдачи.

С. С использованием разработанных алгоритмов, методик и программ для ЭВМ получены решения как известных, так и новых задач прикладного характера, что подтверждает практическую применимость предлагаемого метода з задачах расчета на прочность пространственных неоднородных конструкций.

Таким образом, достигнута цель диссертации - разработан численно-аналитический метод решения задач статики и динамики пространственных неоднородных конструкций, сочетающий универсальные средства моделирования сложных конструкций с простотой параметрического исследования.

В приложениях приведены данные вспомогательного характера, а также представлены сведения о практическом использовании материалов диссертации.

Основные положения диссертации содержатся з следующих публикациях:

1. Каледин В.О. Об автоматизации параметрического исследования элементов силовых конструкций из композитов на этапе проектирования //Теория автоматизированного проектирования, 1936, с. 81-87.

2. Бакулин В.Н., Каледин В.О. Численно - аналитический подход к исследованию деформирования оболочечнмх конструкций из композитов // Изв. ЛН СССР. Механика твердого тела, 1989, № 12, с. 184-188.

3. Каледин В.О. Температурко-угтругая аналогия а методе конечных элементов: основные уравнения н вариационные принципы // Отраслевой науч.-техн.сб. НТЦ "Информтехника", серия 15, М, 1992, вып. ЗПОЗ) -4(104), с. 15-20,

4. Каледин В.О. Темпсратурно-упругая аналогия в методе конечных элементов: алгоритмы решения краевых задач при смешанном теплообмене // Отраслевой науч.-техн.сб. НТЦ "Информтехника", серия 15, М., 1992, вып. 3(103)-4(104), с. 21-26.

5. Богомаз Г.И., Каледин В.О., Соболевская МБ. Оценка нагруженностн элементов конструкции летательного аппарата, содержащего полости с жидкостью, при нестационарных режимах движения II Космическая наука и техника, 1992, вып. 6, с. 43-49.

6. Богомаз Г.И., Каледин В.О., Кельрих М.Б., Соболевская М.Б. Определение напряженно-деформированного состояния элементов конструкций цистерн при продольном ударе // Динамика н управление движением механических систем, 1592, с. 95-100.

7. Капустин A.A., Каледин В.О., Рассоха A.A., Мажура С.О. Применение голографической и спекл-интсрферометрии в задачах технической диагностики элементов конструкций // III Всес.конф. по голографии. Ульяновск, 1978, с. 123-124.

8. Рассоха А.А.,10пшснко И.С.,Каледин В.О.,Капустин A.A.,Мажура С.О. Способ измерения перемещений и деформаций объектов И А.с.СССР №938093 / Заявл. 32.12.80 №3242045, опубл. 23.06.821 Бюлл. 23. - 7 с. •

9. Еакулин В.Н., Каледин B.Ö., Кривцов B.C. Об одной конечно-элементной модели слоистой анизотропной ободочки двоякой кривизны // В кн.: Теория пластин и оболочек. XIII Всес.конф. по теории пластин н оболочек, Таллин, ТЛИ, 1S83.T.1, с.78-83.

10. Бакулпн В.Н., ИижинВ.В., Каледин В.О., Рассоха A.A. Исследование краевого эффекта е. пластинах с накладками И Механика композитных материалов, 1985, №1, с.154-156. • ;

11. Воронцов Н.Б., Дибир А.Г., Каледин D.O. Перспективы автоматизации поверочных расчетов конструкций на основе МКЭ-программи "Композит" II В кн.: Вопросы проектирован!».! п технологии произзодст-

■ ва конструк-пшных элемеэто& летательных аппаратов. Харьков, ХАИ, . 1986, с. 56-59.

12. Гайдачук В.Е., Каледин В.О., Качкар И.В., Киса Д.С. Применение дифференциального метода проектирования к анализу и выбору рациональных конструктпвно-с:що1шх схем лопасти воздушного пинта из композиционных материалов II В кн.: Проектирование самолетных конструкций и их соединений. - Харьков: ХАИ, 1986, с. 164-170.

13. Гайдачук В.Е., Каледин D.O., Качкар И.В. Модель деформирования лопасги воздушного винта из композиционных материалов // В кн.: Проектирование самолетных конструкций и их соединений. Харьков, ХАИ, 1986, с. 152-163.

14. Каледин В.О., КарпкЙ В. М. Об автоматизации расчета напряженного состояния анизотропных оболочек // В кн.: Вопросы проектирования и технологии производства конструктивных элементов летательных аппаратов. Харьков, ХАИ, 1986, с. 70-79.

15. Бакулни В,Я., Каледин В.О. Численно-аналитический подход к исследованию деформирочания сболочсчных конструкций из композитов // Тезисы докл./ VI Всес. съезд по теоретической и прикладной механике. Ташкент, 1986, с.72.

16. Бакулни В.Н., Каледин В.О., Рассоха A.A. Анализ термоупругих напряжений в слоистых оболочках двоякой кривизны // Механика композитных материалов, 1937, N?ó, с. 1023-1033.

17. Бакулни В.Н., Каледин D.O., Каледина Л.П., Рассоха A.A. Численный анализ температурных нолей в слоистых анизотропных оболочках II Математические методы и фнзпш-механичесгне поля, 1987, пып. 26, с. 98-101.

18. Гайдачук В.If., Каледин В.О., Качкар И.В., Локтионов В.Д. Применение метода конечных элементен к математическому моделированию податливой оболочки в поле центробежных сил ¡I Вопросы проектирования и производства лстат. аппаратов, Харьков, 1937, с.39-45.

19. Каледин И.О., Белкин В.П. О применении конечноэлемеитных моделей к задаче устойчивости при ползучести // Деп. в ВИНИТИ, № 8144-BS8 от 16.11.1983 г. - 5 с. /Реферат: Библиогр. указатель ВИНИТИ "Де-поннр. науч. работы", 1989, >53, о/о 225.

20. Паку.чин В.П., Каледин В.О., Kapnni! В.М. Алгоритм быстрых итераций подпространства и его применение к иссдедсаинпо устойчивости слоистых подкрепленных оболочек II В сб.: Расчет тонкостенных элементов консгрукицП на прочность, устойчягсетч годсбглшл н долговечность. М.: МАП, 1903, с. 57-63.

21. Каледин В .О., Капустин A.A., lOmnp 11.В. t келгдовлшгс дефарма-тикиосгн зоны соединения м-лллличсскоП и зглаи/астикоеой пластин II Расчет и проектирование ко;;сфукнш1 легат, шшарлгов, 1989, с. 101-105.

22. Каледин 3.0. Применение метола конечных элементов к рлечсту теа-лопрокогшостп в слоистых оболочках при излучении с поверхности II Рйсчсг и простирование конструкций лет ельимх аниаоатов, 1959, с. 21-30.

23. A.V.Gukh.inov, V.O.Kaledm, Vl.O.Kaletün, M.TI.Sütlcov. Dimensionally Stable Piriform; Mcdc of Composites for Scientific Studies II Int. Acrospacc Congress. Theory, Application^ Technologies. Amurt 15-19, 1991, Moscow. Rir:ia. . "

24. Суханов A.B., Каледин В.О., Каледин Вл.О., Слитков M.II. Размеро-стабплыше платформы из композитен для научи;\г, псслгдолаинй //. Тезисы докладов Второй Москолскей мег(дуиародиоЗ конференции по композита:.?. М., 1994. С. 125.

25. Рассоха A.A., Капустин A.A., Каледин B.C. Применение истодов, сог,-мещптачпх голографическую п спекл-иитсрфгромзтршо, дал исследования деформирования трехслойных пластин и оболочек с легким заполнителем // II Всес. конф.•■"Применение лпзероп в приборостроении, мешиностроеннн и медицинской технике". М., МВТУ, 1979, с. 145-145,

26. Рассоха A.A., Каледин В.О. О деформирований армированного волокнами слоистого композита вблизи свободной поверхности // Прикладная механика, т.ХХ, МЬ 9,1934, с. 91-97.

17. Бакулин D.H., Каледин D.O. О расчете деформирования термонапряженных анизотропных пространственных конструкций // Прочность элементов авиационных конструкций, Уфа, 1988, №2, с. 92-96.

28. Каледин В.О. и др. Разработка методики, алгоритмов и программ для пасчета напряженно-деформированного состояния конструкций из композиционных материалов. Статика анизотропных конструкций II Отчет о НИР г.р.№ 01850039154, Новокузнецк, 1985,102 с.У Деп. ВНТИЦ, инв. ta 02860024610.

29. Каледин В.О. и др. Разработка методики, алгоритмов и программ для расчета напряженно-деформированного состояния конструкций из композиционных материалов. Устойчивость конструкций II Отчет, о НИР, г.р. № С1860094278, Новокузнецк, 1986, 62 с. II Деп. ВНТИЦ, шт. Na 02870033072.

30. Каледин В.О. и др. Разработка методики, алгоритмов и программ для расчета напряженно-деформированного состояния конструкций из композиционных мш ерналов. Динамика конструкций // Отчет о НИР, г.р. Ка 01870019129, Новокузнецк, 1937, 59 с. / Деп. ВНТИЦ, инв. JV; 02SSQ020553.

31. Каледин Б.О. и др. Разработка методики, алгоритмов и программ для расчета напряженно-деформированного состояния конструкций из композиционных материалов. Теплопроводность -конструкций II Отчет о НИР, г.р.КЬ 0i880021006, Новокузнецк, 1988, 89 с. / Деп. ВНТИЦ, шв. М 02900000489. '

32. Бакулин В.Н., Каледин В.О., Рассоха A.A. К определению методом конечных элементов напряжении вблизи концентраторов II В сб.: Концентрация напряжений в элементах авиационных двигателей. Уфа, 1986, №4, с. 8-12.

33. Каледин В.О., Качкар И.В. Разработка алгоритма проектировочного расчета лопасти воздушного винта из композиционных материалов II Г кн.: Вопросы проектирования и технологии производства конструктивных элементов летательных аппаратов. Харьков, ХАИ, 1986 с. 18-23.

34. Каледин В.О.,Ластовецкий В.Г1. Решение прямой задачи электроразведки постоянным током методом конечных элементов. II Изв. АН CCCI "Физика Земли", №12, 1988, с.31-38.

35. Каледин В.О. и др. Численно - аналитические методы в задачах меха ннкк сплошной среды с усложненными физико-механическими свойст вами // Ог»ет о НИР, r.p.N 01860119967. Новокузнецк, СМИ, 1989,- 88 с / Деп. ВНТИЦ, инв. № 02900000491.

36. Каледин В.О.,Карпий В.М..Кулаков В.И. Программа и методика рас чета напряженно-деформированного состояния слоистых конструкций /

биформ, листок № 109-90, Кемеровский межотраслевой террито-шальиый центр науч.-техн. информации и пропаганды, 1990. - 2 с. 17. Каледин В.О., Карпий В.М., Кулаков В.И., Шеметов В.Л. Программа i методика расчета полей температуры // Информ. листок № 45-90, Кемеровский межотраслевой территориальный центр науч.-техн. информации и пропаганды, 19S0. - 2 с.

38. Каледин В.О. Чнсленно-аналитическое решение линейной 1адачи наследственной пязкоупругостн неоднородных тел и конструкций три сложном напряженном состоянии // Вопросы оборонной техники, 1993, вып. 1(105)-2(106), с.З-б.