Нелинейное деформирование гибких элементов конструкций тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ имени СЕРГО ОРДЖОНИКИДЗЕ

На правах рукописи КОТЕЛЬНИКОВ АЛЕКСАНДР ВАДИМОВИЧ

УДК 539.3

НЕЛИНЕЙНОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ ГИБКИХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ

Специальность 01.02.04 "Механика деформируемого твердого тела"

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1992

Работа выполнена в Московском ордена Ленина и ордена Октябрьской революции авиационном институте им. С. Орджоникидзе.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Шалашилин В.И.

Официальные оппоненты - доктор технических наук, профессор Шклярчук Ф.Н., кандидат физико-математических наук, доцент Корнейчук Л.Г.

Ведущая организация - кафедра строительной механики

Московского института инженеров транспорта.

Защита состоится "_" _ 1992 года в_часов

на заседании специализированного совета Д 053.18.07 Московского авиационного института им. С. Орджоникидзе по адресу: 125871, Москва, ГСП, Волоколамское шоссе, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МАИ.

Автореферат разослан "_" _ 1992 года.

Ученый секретарь специализированного совета Д 053.18.07

В.Н. Зайцев

российская судак: ■;:-•.

БИБЛИСнЕ:(А -

ОНЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. В настоящее время одной из важнейших задач в современной технике является снижение материалоемкости конструкций и машин, что ведет к использованию в них тонкостенных элементов. Конструкции, элементами которых являются стержни и оболочки, в течение длительного времени остаются предметом многочисленных исследований на прочность и устойчивость. Для проектирования и создания таких конструкций следует знать их истинное напряженно-деформированное состояние. В связи с этим расчет стержней и оболочек с учетом физической и геометрической нелинейности является необходимым. Учет упруго-пластических деформаций значительно повышает надежность инженерного расчета конструкций, даже если условия их работы ограничиваются упругой стадией. Решение задач в упруго-пластической постановке позволяет определить истинный запас прочности и устойчивости конструкций и использовать этот важный резерв для решения проблемы уменьшения их материалоемкости. В связи с этим проблема создания и программной реализации эффективных универсальных алгоритмов для решения физически и геометрически нелинейных задач механики твердого деформируемого тела остается весьма актуальной. Кроме того, остаются актуальными проблемы расчета гибких элементов приборов и машин, которые могут быть решены только с учетом нелинейности деформирования.

Целью работы является создание математического обеспечения для решения задач статики о средних и больших прогибах криволинейных стержней и оболочек вращения и использование его для исследования поведения этих конструкций при различных граничных условиях и способах нагружения.

Метод исследований. Для преодоления трудностей, связанных с нелинейностью, применялся шаговый метод продолжения решения по параметру с привлечением обеспечивающего наибольшую обусловленность решений соответствующих линеаризованных уравнений оптимального параметра продолжения (Шалашилин В.И. Об

оптимальном и близких к нему параметрах продолжения решения нелинейных уравнений // Вопросы строит, механики и прочности ЛА: Сб. статей. - М.: МАИ, 1985. -с. 103-109). Для решения получаемой на каждом шаге по параметру линейной краевой задачи использовался метод ортогональной прогонки С.К.Годунова, сочетающий высокую точность решения и сходимость с приемлемой трудоемкостью (Кармишин A.B., Лясковец В.А., Мяченков В.И., Фролов А.Н. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций. - М.: Машиностроение, 1975. -376 с.)

Научная новизна. В работе получили дальнейшее развитие алгоритмы метода продолжения решения по параметру, применяемые к решению обобщенной нелинейной краевой задачи. Эти алгоритмы используют найденное в работе соответствие между функциональным однопараметрическим множеством решений нелинейной паевой задачи и кривой в евклидовом пространстве малой размерности.

Получен ряд новых результатов по расчету закритического деформирования плоских и пространственных криволинейных стержней и оболочек вращения.

Характерной особенностью работы является единый подход к исследованию физически и геометрически нелинейных задач: проблема рассматривается как нелинейная краевая задача деформирования при изменении параметра задачи (в исследуемых вопросах это был параметр нагрузки). Такая концепция дает возможность исследовать неединственность равновесных состояний, найти точки ветвления, создать адекватную модель поведения конструкции в реальных условиях нагружения.

Практическая ценность. Используемые автором эффективные алгоритмы решения задач деформирования тонкостенных конструкций реализованы в пакете прикладных программ (ШШ), который имеет универсальное ядро и обладает большими возможностями дяя расширения, включения дополнительных функций и перехода на другой класс задач. Он позволяет достаточно быстро проводить цикл научных исследований, включающий в себя подготовку постановки стандартной или новой задачи, введение в ППП, при необходимости усовершенствование численного алгоритма, расчет различных вариантов и обработку выходных данных.

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректностью постановки задачи, применением обоснованных математических методов ее решения, сравнением в частных случаях с известными результатами, полученными другими методами и проведением численных экспериментов по контролю сходимости решений.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в восьми работах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованных источников из 232 наименований. Работа изложена на .186 страницах, содержит.51-рисунок и одну таблицу.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались: на Х1У Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек, Кутаиси 1987 г.; III Всесоюзной конференции по нелинейной теории упругости, Сыктывкар 1989 г.; научном семинаре кафедры прикладной математики и вычислительной техники Московского авто-механического института, 1991 г.; научном семинаре кафедры математического моделирования физико-механических систем Московского института электронного машиностроения, 1992 г.; научном семинаре кафедры сопротивления материалов Московского авиационного института имени Серго Орджоникидзе, 1990 и

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, ставится цель работы, кратко описывается ее содержание, формулируются результаты, которые выносятся на защиту.

Первая глава посвящена исследованию математической модели. Рассматривается одномерная нелинейная краевая задача с явно выраженным параметром Р , векторно-,матричная формализация которой позволяет получить разрешающие дифференциальные уравнения в форме Коши

1992 гг.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

с дополнительными нелинейными уравнениями недифференциального

Ддя замыкания краевой, задачи уравнения дополняются в общем случае нелинейными граничными условиями

Методом продолжения решения по параметру нелинейная краевая задача (1)-(3) сводится к последовательности шаговых линеаризованных краевых задач. Последние решаются методом ортогональной прогонки Годунова. Структура решения этого метода позволяет установить соответствие между решением и касательной к кривой в евклидовом пространстве К^н , в качестве координат которого использованы произвольные постоянные решения. Интеграл от этого соответствия и устанавливает соответствие между функциональным множеством решений нелинейной краевой задачи и кривой в ИтМ . Это позволяет распространить разработанные для систем алгебраических уравнений метода продолжения на решение нелинейных краевых задач. Далее дается краткий обзор существующих методов, применяемых для решения подобных систем, и делается вывод, что одним из наиболее эффективных является метод продолжения решения по универсальному параметру, позволяющий прослеживать деформацию системы при изменении параметра задачи. На основе теоремы о неявных функциях определяется, что в регулярных и предельных точках решение такой задачи существует и единственно.

Выводятся основные соотношения алгоритмов методов непрерывного и дискретного продолжения решения по параметру применительно к обобщенной краевой задаче с использованием оптимального параметра продолжения. Доказывается необходимость использовать для решения линеаризованной краевой задачи метод ортогональной прогонки С.К.Годунова и даются некоторые рекомендации для практического применения этих алгоритмов.

Выводятся формулы вычисления необходимых для старта ме-

(3)

тода продолжения геометрических характеристик недеформирован-ной оси конструкции, координаты которой задаются непрерывной функцией либо дискретным множеством с возможной инструментальной ошибкой.

Также в этом разделе приводятся основные соотношения теории малых упруго-пластических деформаций.

Вторая глава посвящена расчету упругих прогибов криволинейных стержней.

Дается обзор современного состояния проблемы.

Принимаются предположения о малости продольной деформации оси в и выполнении гипотезы Бернулли-Эйлера и принципа Сен-Венана. В удобной для применения метода продолжения форме выводятся уравнения равновесия криволинейного стержня (рис.1, рис.2):

ГЦ,

с/£=- о ♦ е) ¡Г, с/ м/с! -(^ХЗ * Ь

Ц- Е'гв =о,

Здесь г" - радиус-вектор, 0 - вектор углов поворота орт главной подвижной системы координат, и И - силовые факторы в поперечном сечении стержня, К - вектор кручения и кривизн, Д - известная матрица, задающая в процессе деформирования поворот векторов связанной системы координат (Свет-лицкий В.А. Механика гибких стержней и нитей. - М.: Машиностроение, 1978. -222 е.); А0 - матрица направляющих косинусов в недеформированном состоянии;

г = 1

О

С^О,

ПЧАА0)Г; Т/=

6 г

о о

о

Е1

о о £1

Е и (5 - модули упругости соответственно первого и второго рода; , , - геометрический фактор жесткости кручения и моменты инерции сечения; Н и V/" - обобщенные функции внешних нагрузок.

Рассмотрены вопросы алгоритмизации различных форм нагру-жения и способов закрепления концов. Исследованы различные формы равновесия круговых, параболических и эллиптических шар-нирно опертых арок. Проведены исследования поведения деформируемых арок в зависимости от геометрии недеформированной оси конструкции и способа закрепления концов.

Проведен расчет пространственного изгиба стержня типа авиационной рессоры. На рис.3 показаны кривые деформирования Р(и) . Р(У)» РОлО и деформируемые формы такой конструкции для у= 0,1483 рад ( Р - значение параметра нагрузки; Ц > V > V/ ~ прогиб правого конца рессоры соответственно в направлении осей ^ > X > Хь ) •

В третьей главе рассматривается деформирование упруго-пластических криволинейных стержней. Вначале дается краткий обзор литературы по этому вопросу. В рамках теории малых упруго-пластических деформаций выводятся уравнения, описывающие большие прогибы криволинейных стержней из упруго-пластического материала.

Используются аналитический и численный способы сведения интегральных зависимостей усилий и моментов от деформаций и кривизн к алгебраическим соотношениям. Первый способ основы-

вается на аналитическом разрешении интегралов. Он применяется в случае плоского деформирования при активном нагружении. Второй (численный) способ, сводящий интегралы к сумме кусочно-линейных функций, учитывает возможность разгрузки и повторного нагружения материала. Приводится сравнительный анализ этих подходов и даются рекомендации для их применения.

На рис.4 приведена зависимость безразмерного давления Р , действующего в плоскости арки, от относительного прогиба Лл/ в вершине для арок из упругого материала ( У= идеального упруго-пластического ( у = I) и упруго-пластического материала с различными коэффициентами упрочнения и деформируемые формы одной из таких арок ( ^ = 0,5). Угол полураствора циркуля рад., условие закрепления концов шарнирное.

В качестве примера расчета пространственного деформирования упруто-пластических стержней на рис.5 даны кривые нагрузка-прогиб Р(У), Рс\/), (7и\л/ - перемещения вершины по осям К^ и соответственно) изгибаемых из своей плоскости давлением Р арок с различными коэффициентами упрочнения материала и деформируемые формы арки с ¡-0.5.

В четвертой главе изучаются большие и средние прогибы оболочек вращения при осесимметричном деформировании. Дай краткий анализ состояния исследований этого вопроса.

Выводятся в координатной форме уравнения больших осесим-мстричных деформаций оболочек вращения в постановке Рейсснора, т.е. в предположении малости деформаций срединной поверхности и неограниченных углов поворота нормали к ней.

Для установления связи между напряжениями и деформациями использовалась теория малых упруго-пластических деформаций. Физические соотношения интегрировались численно.

Рассмотрена задача об осесимметричном деформировании шарнирно закрепленной круговой цилиндрической оболочки с учетом геометрической и физической нелинейности.

Как показали расчеты, при действии на длинную оболочку сжимающей нагрузки по краям конструкции возникают кольцевые выпучины, что приводит к развитию пластических деформаций (рис.6.а). Если "напдуть" оболочку внутренним давлением, то

о

Рис. 5

• 03751

"a" |o.25E

lûj25f ¡0_

jo.Z5ß In

D

О

- 14

11 *

у )

0.5 to vA

1 2 з

i,

— ) )J

5

Рис. 6

-to vA

г

i i

I

f

2

I

?

•h

3

I

I

•ь -2,

i

0.5 €

fo.37.5j ■■Q.25Í 0.125 i

В

i

1

ft

Ш

2 i

1 'У

s->

у краев возникают небольшие складки, но после достижения нагрузкой некоторого значения складки выпрямляются, и кривизна во всех точках становится положительной (рис.6.б).

Был проведен расчет другой формы деформирования оболочки, когда под действием комбинированных нагрузок происходит ее "выворачивание". На конструкцию действует продольное сжимающее усилие 2.Т ( <£ - начальный радиус и толщина оболочки) и внутреннее давление 1^= <Р . Тогда деформируемые формы меридиана оболочки примут плавный характер. Результаты для случая к = 0,35 представлены на рио.7.

Все расчеты проведены с помощью созданного автором универсального программного комплекса, структура которого показана на рис.8.

основные результаты и выволы

1. Установлено существование отображения функционального множества решений нелинейной краевой задачи, содержащей параметр, на кривую (однопараметрическое множество) в векторном пространстве малой размерности. Это отображение использовано для переноса высокоэффективных алгоритмов продолжения, использующих оптимальный параметр продолжения, с нелинейных алгебраических уравнений на нелинейные краевые задачи.

2. На основе изложенного подхода создан ППП для решения задач нелинейного деформирования, сводящихся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Комплекс предполагает . возможность задания недеформированной формы стержня или меридиана оболочки вращения в форме табличной функции с возможной инструментальной ошибкой.

3. С помощью этого ППП решен ряд новых задач сильного нелинейного деформирования стержней и оболочек вращения:

- дан анализ влияния параметров геометрии и граничных условий на значения критических нагрузок и закритическое поведение плоских стержней. Исследованы три простейшие формы деформирования нагруженных равномерным давлением круговых арок. Проведен расчет деформирования эллиптических и параболических арок. Рассчитано пространственное деформирование стержня типа авиационной рессоры.

- В рамках теории малых упруто-пластических деформаций исследованы большие прогибы криволинейных стержней. Использованы два способа получения физических соотношений между усилиями и моментами в сечении и деформацией и кривизной оси стержня. Первый способ основан на аналитическом вычислении этих соотношений. На его основе рассчитаны модельные примеры. Второй способ использует представление стержня как совокупности продольных волокон. Он позволяет учесть разгрузку.

- В аналогичной постановке с использованием уравнений Рейсснера исследовано осесимметричное упруто-пластическое деформирование оболочки вращения. В частности, рассмотрено сильное деформирование цилиндрической оболочки при осевом сжатии

и внутреннем давлении.

СПИСОК РАБОТ ПО ТЖЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Шалашилин В.И., Котельников A.B. Модификация дискретной ортогональной прогонки для дискретного продолжения решения нелинейных краевых задач // Современные проблемы динамики машин и их синтез: Сб. статей. - М.: МАИ, 1986. - с.53-55.

2. Шалашилин В.И., Котельников A.B. Метод продолжения решения по параметру в одномерных краевых задачах нелинейного деформирования // Труды Х1У Всес. конференции по теории пластин и оболочек, Кутаиси, 1987. - Тбилиси: Изд-во Тбилисского ун-та, 1987. - с. 104-109.

3. Шалашилин В.И., Котельников A.B. О двух формах выпучивания круговых арок // Расчетные и экспериментальные исследования прочности, устойчивости и колебаний ЛА: Сб. статей. - М.: МАИ, 1987. - с. 71-75.

4. Шалашилин В.И., Котельников A.B. Метод непрерывного продолжения по параметру в задачах нелинейного деформирования арок // Численные методы исследования прочности ЛА: Сб. статей. - М.: МАИ, 1988. - с. 63-67.

5. Котельников A.B. Большие прогибы упруго-пластических арок // Ш Всес. конференция по нелинейной теории упругости. Тезисы докладов. - Сыктывкар, 1989. - с. 66-67.

6. Шалашилин В.И., Котельников A.B. Большие прогибы нелинейно упругих' арок // Геометрия и прочность в САПР изделий: Сб. статей. - М.: МАТИ, 1990. - с. 101-104.

7. Котельников A.B. К расчету прогибов упруго-пластических арок // Численные методы исследования прочности и разрушения деформируемых систем: Сб. статей. - М.: МАТИ, 1991.

- с. I08-112.

8. Котельников A.B. Нелинейное деформирование гибких элементов конструкций // Проблемы машиностроения и надежности машин. Труды Горьковского ун-та. - Н.-Новгород, 1992. -

в печати.