Конечное пластическое и сверхпластическое деформирование тонкостенных оболочек тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Фурсаев Сергей Александрович

КОНЕЧНОЕ ПЛАСТИЧЕСКОЕ И СВЕРХПЛАСТИЧЕСКОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ ТОНКОСТЕННЫХ ОБОЛОЧЕК

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твёрдого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 ИЮН 2011

Тула 2011

4848567

Работа выполнена на кафедре « Математическое моделирование» в ГОУ ВПО «Тульский государственный университет».

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Маркин Алексей Александрович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Васин Рудольф Алексеевич,

доктор физико-математических наук, профессор Матченко Николай Михайлович

Ведущая организация:

ГОУ ВПО

«Воронежский государственный университет»

Защита диссертации состоится «23» июня 2011г. в 14 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 212.271.02 при Тульском государственном университете по адресу: 300600, г. Тула, пр. Ленина, 92. (12-105)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тульского государственного университета. Автореферат разослан « ¿0» мая 2011г.

Ученый секретарь диссертационного совета 'С' Л.А. Толоконников

Ф-

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ

Актуальность темы. Существенное изменение исходной формы твердых тел реализуется как в естественных условиях, так и в технологических процессах обработки давлением. При этом актуальной является задача определения оптимального сочетания свойств материала и термомеханических воздействий на него, позволяющих достигать требуемой формы изделия за минимальное число переходов. Одним из ограничений обработки давлением является ограниченность режимов устойчивого деформирования, когда внешняя нагрузка не убывает в процессе деформирования. В прошлом веке было экспериментально установлено, что способность материалов к значительным деформациям существенно повышается в определенных диапазонах скоростей деформирования и температур. Данное явление было названо сверхпластичностью.

Начало систематическому изучению явления сверхпластичности было положено классическими работами Л. А. Бочвара, который дал название этому явлению и впервые предложил гипотезу механизма сверхпластической деформации. Дальнейшие исследования микроструктуры материалов и способов её подготовки к режиму сверхпластичносга связаны с именами O.A. Карбышева, A.C. Тихонова, B.C. Горбунова, О.М. Смирнова, Танаки К. и Ивасаки Р., Нагаи Т.

За прошедшее время российскими и зарубежными учеными исследовано состояние сверхпластичносга большого числа металлов и сплавов в диапазоне от легкоплавких до тугоплавких, изучены многие аспекты физической природы сверхпластической деформации. Однако проблема адекватного моделирования процессов конечного пластического и вязкопластического формоизменения с учетом выхода в режим сверхпласгичности далека до завершения. Сложность ее обусловлена существенной нелинейностью рассматриваемых физических эффектов и геометрической нелинейностью связанной с большими перемещениями, поворотами и деформациями. Исследования в данном направлении начаты сравнительно недавно и нашли отражение в работах A.A. Ильюшина, P.A. Васина, Г.Л. Бровко, И.А.Кийко, П.А. Моссаковского, Л.А. Толоконникова, A.A. Маркина, A.B. Кудряшова, ГТ.В. Трусова, A.A. Рогового, В.И. Левитаса, Фридмана П.А. и Гоша А.К., Кхалила М.А., Абдул-Латифа А., Ал-Наиба Т.М. и Данкана Д.Л., Кремпла Е.

Актуальным является выявление задач конечного пластического и вязкопластического (с выходом в режим сверхпласгичности) формоизменения оболочек допускающих в мембранном приближении аналитические зависимости между характеристиками напряженно-деформированного состояния и внешними нагрузками.

Цель работы состоит в исследовании процессов конечного формоизменения тонкостенных оболочек путем нахождения точных и приближенных аналитических решений в рамках моделей идеально-пластического, вязкопластического и сверхпластического деформирования.

Научная новизна:

1. Дана вариационная постановка задач о пластическом, вязкопластическом и сверхпластическом конечном деформировании тонкостенных оболочек;

2. Получены точные аналитические решения задач, описывающие процессы конечного пластического, вязкопластического и сверхпластического деформирования цилиндрической панели;

3. Получены точные и приближенные аналитические решения задач, описывающие процессы конечного пластического, вязкопластического и сверхпластического деформирования круговой оболочки.

Практическая ценность работы состоит в том, что полученные результаты можно использовать непосредственно для моделирования технологических процессов

пневмоформовки, а также в качестве тестовых решений при использовании численных методов. Работа выполнялась при финансовой поддержке РФФИ (проект № 10-01-97500) и Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (ко тракт П1125).

Достоверность полученных результатов обосновывается использованием фундаментальных положений механики деформируемого твёрдого тела, удовлетворением точных решений исходным уравнениям и соответствием приближенного решения известным теоретическим и экспериментальным данным.

Апробация работы. Основные результаты по теме данной диссертации были доложены на международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики», г. Тула, 2009; на молодёжной научно-практической конференции «Молодёжные инновации», г. Тула, 2009; на семинаре имени Толоконникова JI.A., г. Тула, 2011; на регулярных научных семинарах кафедры Математического моделирования, г. Тула, 2008-2011.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 печатные работы, две из которых в изданиях, рекомендованных ВАК.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, 3 основных разделов, заключения, списка литературы из 101 наименования и содержит 105 страниц и 44 рисунка.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении представлены основные цели диссертационной работы, обосновывается научная новизна и ценность, приводится краткий анализ работ других исследователей по схожей тематике, а также описывается структура диссертации.

В первом разделе выполнена общая постановка задачи о конечном деформировании идеально-жёсткопласгической и вязкопластической среды под воздействием внешней нагрузки.

Из вариационного принципа Журдена следует условие равновесного протекания процесса деформирования, которое в лагранжевых координатах имеет вид: $ó(x,t)~SWdVW+ ¡e-Sa°dVm+ | a°-SédVia) = J p(f)• Ф"1 • SVdÍm, (1)

где

o _ _

" - гидростатическая составляющая тензора напряжении, а - девиатор тензора напряжении,

в - скорость изменения объёма среды, W - девиатор тензора деформации скорости, р -

внешняя нагрузка, Ф - аффинор деформации, V - поле скоростей среды, V^ - начальный

объём среды, i'0' - начальная площадь действия нагрузки.

Закон вязкопласгического деформирования принимаем в следующем виде:

q=á + <T°-E =т0(г)-ехр

Здесь предел текучести TQ, модуль скоростного упрочнения тп0, скорость сверхпласгичносги V - параметры материала, зависящие от температуры. Скорость формоизменения представляется как

s = ~Jw ■ -W . (3)

2m0 {T)arctg

U(7)

(2)

Выражение (2) учитывает скоростное упрочнение и может быть использовано при описании сверхпластического течения. Материалы в сверхпластическом состоянии проявляют высокий деформационный ресурс, способность устойчиво деформироваться без существенной локализации. Сверхпластическое состояние материала характеризуется повышенной чувствительностью напряжений к изменению скорости деформирования, приближаясь по своим свойствам к вязкой жидкости, что и объясняет способность материалов к равномерной деформации. Режим сверхлластичности реализуется в узком диапазоне изменения скорости деформирования и температуры и характеризуется значительно меньшим напряжением течения (до 10-50%), чем предел текучести материала в пластическом состоянии.

Из соотношения (2), при ¿ -> 0 > следует закон пластического течения:

W

а = г —. (4)

" s

Поле перемещений определяется интегрированием выражений:

= (5)

В результате для описания модели вязкопластического деформирования имеем систему уравнений (1), (2), (5); а для идеально-жёстко пластической модели систему (1), (4), (5).

Во втором разделе рассмотрен процесс конечного идеально-жёсткопластического, вязкопластического и сверхпластического деформирования цилиндрической панели под воздействием внешней нагрузки.

Рассмотрим цилиндрическую панель, которая до деформации имеет вид прямоугольной пластинки и закреплена по боковым противолежащим сторонам.

Так как начальная толщина панели много меньше её остальных размеров, то, используя обобщенную гипотезу Кирхгофа-Лява, запишем закон движения в виде:

R(xv£,t) = ^,(.v11{) + ^Cv1,í)ñ = .r1(.v„í)^ + ^(.Y„t)e, + ^Á3(xvt)ñ, (6)

где ñ^A-pí) = xl(x¡,t)e¡ +х.гё2 +x3(.v1,í)é3 - радиус-вектор точек срединной поверхности, Á^(xvt)- утонение панели в направлении нормали, h(xnt) = (v^í)/^ (л,) - текущая

dx¡

срединной поверхности, лг,,лг2, £ - материальные декартовы координаты точки полосы, х1, х2, х, - пространственные декартовы координаты точки полосы.

Процесс деформирования сопровождается поворотом единичного материального базиса на срединной поверхности на угол у :

Ir, = cosygj - sin ya,, f2 = é2,

ñ = sin ye¡ + cospel,;

Из закона движения (6) следуют кинематические соотношения, позволяющие по известному деформированному состоянию определить поле перемещений и форму деформированной срединной поверхности:

дх дх

—i = A1cosy, —2- =-A sin г- (?)

дх, дх,

толщина панели, /¡„(а,) - начальная толщина, Я,

относительное удлинение

Рис. 1. Срединная поверхность цилиндрической панели.

Из вариационного принципа (1) получены уравнения равновесного протекания процесса:

2 '

(8)

условие несжимаемости: 0 = 0 или л1 А,А3 = 1. (9)

Здесь С(0 имеет смысл продольной силы, отнесённой к ширине цилиндрической панели, а рп - приложенное давление.

Граничные условия на торцах панели в скоростях и перемещениях принимаются в виде:

- - 0. = = 0. КЦ = |) = 0; % =|) = 0; = = «А - -|> = °>= = «А =|) = °-

Система (8), (9) является системой нелинейных дифференциальных и алгебраических уравнений относительно неизвестных компонент тензора напряжений <ти,<хм, характеристик

деформаций А3, и угла поворота нормали срединной поверхности: у.

Рис. 2. Деформирование цилиндрической панели под воздействием давления р.

При переходе к безразмерной форме записи уравнений, все величины, имеющие размерность напряжения, отнесены к пределу текучести, величины имеющие размерность длины - к начальной длине Ь панели, а величины имеющие размерность скорости - к скорости сверхпластичности материала.

В работе получены результаты при следующих постановках задачи об идеально-жесткопластическом деформировании панели:

1) в рамках предположения о плоском деформированном состоянии в направлении оси хг с использованием гипотезы полной пластичности;

2) в рамках предположения о плоском деформированном состоянии в направлении оси х2 с использованием ассоциированного закона течения и условия пластичности Мизеса;

3) в рамках предположения о плоском напряженном состоянии в направлении оси х2 с использованием ассоциированного закона течения и условия пластичности Мизеса;

и для вязкопластического и сверхпластического деформирования панели:

4) в рамках предположения о плоском деформированном состоянии в направлении оси Хг с использованием определяющих соотношений в виде (2);

5) в рамках предположения о плоском напряженном состоянии в направлении оси Х2 с использованием определяющих соотношений в виде (2).

Рассмотренные гипотезы позволяют получить точные аналитические выражения для характеристик напряженного и деформированного состояний панели.

Вне зависимости от свойств материала и используемых гипотез, для угла поворота нормали установлена его линейная зависимость от координаты:

здесь ук - угол поворота нормали к срединной поверхности на торце панели - монотонно

возрастающий «временной» параметр процесса деформирования.

Общими для всех постановок также являются выражение относительного удлинения:

откуда следует, что кривизна панели не зависит от координат и, как следствие, форма панели представляет собой часть кругового цилиндра.

Ниже приведены основные положения каждой из постановок и полученные результаты.

/. Гипотеза полной пластичности, плоское деформированное состояние.

Деформации в направлении оси х2 отсутствуют: Л^ = 1, а напряженное состояние удовлетворяет гипотезе полной пластичности:

У = 2 ■ у„ ■ *„

и поля перемещений:

Выражение для радиуса кривизны имеет вид:

аи = = = соп^> = 0.

11

Получено следующее выражения для закона изменения давления:

7

' к

2. Ассоциированный закон течения, плоское деформированное состояние.

Деформации в направлении оси отсутствуют: ^ = 1, процесс деформирования подчиняется ассоциированному закону течения:

б-=кШ,

компоненты тензора напряжений удовлетворяют условию пластичности Мизеса:

го =<?ц +<?и + <?зЛ

Получено следующее выражения для закона изменения давления:

р У

На рис. 3 изображены профили срединной поверхности панели для трёх значений давлений, полученные при использовании гипотезы полной пластичности и ассоциированного закона течения.

Ы1: 1-1 ~ | « | | I I \

| -- -г*. 4 ; | у 1 1'. >

н ург^т ■

Рис.3. Профили срединной поверхности (прерывистая линия - гипотезы полной пластичности; сплошная линия—для ассоциированного закона течения).

На рис. 4 изображены кривые изменения давления, полученные при использовании гипотезы полной пластичности и ассоциированного закона течения; указаны значения давления, для которых построены профили срединой поверхности панели на рис. 3.

Рис.4. Закон изменения приложенной нагрузки (прерывистая линия - результаты для условия пшотезы полной пластичности; сплошная линяя — результаты для ассоциированного закона течения.

Кривые давления на рис. 4 имеют точку максимума, отделяющую устойчивую и неустойчивую стадии процесса деформирования.

3. Ассоциированный закон течения, плоское напряженное состояние.

Напряжения в направлении оси х2 отсутствуют: <т22 = 0 , процесс деформирования подчиняется ассоциированному закону течения:

компоненты тензора напряжений удовлетворяют условию пластичности Мизеса:

Получены следующие выражения для закона изменения давления:

з

для характеристик деформации:

На рис. 5 приведены конфигурации профилей срединной поверхности панели для трёх значений давления при описании процесса деформирования ассоциированным законом течения в случаях плоского напряженного и деформированного состояний.

Рис.5. Профили срединной поверхности (прерывистая линия—для плоского деф ормированцого состояния; сплошная линия - для плоского напряженного состояния).

На рис. 6 изображены варианты изменения давления при описании процесса деформирования ассоциированным законом течения в случаях плоского напряженного и деформированного состояний. Также на рис. 6 отмечены три значения давления, для которых изображены профили из рис. 5.

Рисб. Закон изменения приложенной нагрузки для ассоциированного закона (прерывистая линия -для плоского деформированного состояния; сплошная линия - для плоского напряженного состояния).

4. Вязкопластическое и сверхпластическое деформирование, плоское деформированное состояние.

Деформации в направлении оси хг отсутствуют: А^ = 1, свойства среды описываются соотношением (2).

Получены следующие выражения для закона изменения давления:

рМ = ■

■Я

ехр

{уМ + ЦМШ)2)

доя компонент тензора напряжений:

(sin(rfc(i)))2

72

ехр

2marctg

V

dt

In

f-ÄJ№l

{ Н^щ

»H^Hmo))'

-¿ехр

2m arctg

Л*

dt

In

nW )) än(yt(t))J|

для скорости формоизменения:

для характеристик деформации:

sin(yt)

(П)

П

Особо рассмотрен случай сверхпластического деформирования, для чего в выражении скорости формоизменения (11) положено 5 = 1. В результате получен закон изменения углового параметра, реализующий режим сверхпластичности во всех точках панели:

гДО

зЦуДО)

и соответствующий ему закон изменения давления:

= ехр

^exp(2m0arctg(l))

На рис. 7 изображено несколько вариантов изменения давления при разных скоростных режимах деформирования. В случае режима сверхпластичности (сплошная кривая) область устойчивости больше по сравнению с другими режимами.

р

Рис.7. Изменение внешней нагрузки в режимах близких к сверхпластичносги, сверхпластичностн, цаеалыю - жёсткопластнчностн в случае плоского деформированного состояния.

5. Вязкопластическое и сверхпластическое деформирование, плоское напряженное состояние.

Напряжения в направлении оси Я, отсутствуют: сг22 = 0 , свойства среды описываются

соотношением (2).

Получены следующие выражения для закона изменения давления:

1+

2 Г*(0

хехр

2таагс1д

для компонент тензора напряжешгй:

" Ь 2y.fi)

2 УМ

для скорости формоизменения:

для характеристик деформации:

2т0агс1д

¿- 1.М

ь /АО

(12)

Особо рассмотрен случай сверхпластического деформирования, для чего в выражении скорости формоизменения (12) принято 5 = 1. В результате получен закон изменения углового параметра, реализующий режим сверхпластичносги во всех точках панели:

г/М

<йп(гД0)

и соответствующий ему закон изменения давления:

ехр

2/Д*) И

• ехр т0агсЬд (1 )).

На рис. 8 изображено несколько вариантов изменения давления при разных скоростных режимах деформирования. Как и в случае плоского деформированного состояния в режиме сверхпластичности (сплошная кривая) область устойчивости больше по сравнению с другими режимами.

Р

Рис.8. Изменение внешней нагрузки в случае плоского напряженного состояния.

В третьем разделе рассмотрен процесс конечного деформирования идеально-жёсткопласгической, вязкопластической и сверхпластической круговой оболочки под воздействием внешней нагрузки.

Введем цилиндрическую систему координат:

г -радиальная координата в материальной системе отсчета; р - радиальная координата в пространственной системе отсчета; в - полярный угол (совпадает в обеих системах); £, -координата вдоль нормали п .

Так как толщина оболочки много меньше её радиуса, то предполагаем, что материальное волокно, ортогональное к срединной поверхности до деформации, остается ортогональным ей в произвольный момент процесса деформирования и испытывает равномерное растяжение -сжатие (обобщенная гипотеза Кирхгофа- Лява):

К (г, ь) = Нг (г, ¿) + |А3п = р (г, е. + г (г, ¿) г + (13)

ЙДг,^ = + г^г.'^ё. - радиус-вектор точек срединной поверхности; Л, (г) -

утонение оболочки в направлении нормали, Цг) = А, (г)^Дг) - текущая толщина оболочки,

ho (г) -начальная толщина, \ ■■

dR

dr

О

меридиональном направлении; А, = —

г

окружном направлении.

Вследствие осевой симметрии процесса деформирования, единичный материальный и начальный базис на срединной поверхности связаны соотношениями:

е. = cos уг1 + sin yñ, = h>

ёг = -sin/fj + cos yñ;

где у - угол поворота материального базиса относительно начального.

Поле перемещений точек срединной поверхности оболочки определяется следующими выражениями:

^3- = -A.siny, = A. cosy (14)

1 а,,

Из вариациишого принципа (1) следуют уравнения равновесного протекания процесса: Кап sin у _ р^

относительное удлинение срединнои поверхности в

относительное удлинение срединнои поверхности в

Л

(15)

зз 2

■ 0;

и условие несжимаемости в виде в = 0 или Я1Я,Л3 = 1 ■ (16)

Система (15), (16) с учётом определяющих соотношений представляет собой систему нелинейных дифференциальных и алгебраических уравнений относительно неизвестных компонент тензора напряжений 0"и,<т33, характеристик деформации А1,А1,Л3, и угла поворота нормали срединной поверхности у.

Граничные условия в скоростях и, как следствие, в перемещениях, принимаем в виде

КДг = Я) = 0, V (г = Я) = 0,

и(г = Я) = 0, « (г = Я) = 0. (17)

Рассматриваемая оболочка деформируется под действием следящей нагрузки р, приложенной к одной из поверхностей (рис. 9). Распределение напряжений и деформаций по толщине считаем однородным.

При переходе к безразмерной записи, все величины имеющие размерность напряжения отнесены к пределу текучести, величины имеющие размерность длинны к начальному радиусу оболочки Я, а величины имеющие размерность скорости формоизменения - к скорости сверхпластичности для данного материала. В работе рассмотрены постановки задачи о деформировании круговой оболочки для идеально-пластических, вязкопластических и сверхпластических свойств материала.

Рассмотрим процесс деформирования круговой оболочки в рамках модели идеально-жёсткопластического материала для гипотезы полной пластичности в виде (10).

В этом случае решение системы (10), (14)-(17) выражается следующими аналитическими зависимостями.

Для угла поворота материального базиса: eos (у) = 1 - (l - cos(ykfj • r\

h ■ sin3)

для закона изменения давления: р = —-—,

" 1 - cos(jg

для характеристик деформации:

д . 2-(l-<=°s(rj) г д _ sin(r) . sin2(rk) (lg)

sm(rt) sin(r)' 2 r-sin(rj' 2-(l-cos(yj)'

r. am^i .. l-COS(rt) / 2\

для поля перемещении: U =-^--r, U =--—■ (1 - r).

' ' 1 ' «¡Til v 1 V /

Здесь ук - угол поворота подвижного базиса (или угол поворота нормали к срединной

поверхности) на краю оболочки.

Для радиуса кривизны оболочки имеем выражение:

г V { 1 ¿гТ »(Г.))т')' РЛ'Г)= гг --3-

Л ) sinÍJ'Jsm ^arccos(l - (l - cos(yk))-г2))

Рис.10. Изменение профиля оболочки в процессе деформирования.

На рис. 10 показано изменение профиля срединной поверхности оболочки в зависимости от величины давления.

Рис.11. Изменение давления в процессе деформврованняндеально-пластической оболочки.

На рис. 11 показано изменение давления круговой оболочки. Кривые давления имеют точку максимума, отделяющую устойчивую и неустойчивую стадии процесса деформирования. Отмеченные величины давления соответствуют профилям, изображенным на рис. 10.

Деформирование ехзкопластической круговой оболочки.

Для моделирования процесса деформирования вязкопластической оболочки использованы определяющие соотношения (2) и законы распределения характеристик деформации срединной поверхности, полученные для идеально-пластического материала.

На основании выражений для деформации (18) определены зависимости для компонент тензора напряжений:

[Г31X1^1 .ГдЦллЛ'

I дп 11 дг„ I

дП )

О",, = г0 • ехр (2таагс^ (л))

а22=го.ехр(2^0))-и величина скорости формоизменения:

\(Э1пЛ, V Г(а1п(Д,Л,)У

дук дук

5ЬЦ

зьяЛ Г^А) , дП J +1 дГь ) '

На рис. 12 показано распределение скорости формоизменения для различных скоростей углового параметра ук. Отметим, что наиболее близкое распределение скорости

формоизменения к режиму сверхпластичности наблюдается при скорости изменения углового у

параметра: — к 1.4.

V

......... 1 ■ » I I

- 1 --

1 • I ' •

... .,. . .

• 1 ..... ! • !

| • ; •• !

.......\ 1 | ' ¡-у —

(МИЛИ <1гЧ1-1 М>

Рис.12. Распределение скорости формоизменения.

На рис. 13 изображено несколько кривых изменения давления для различных скоростей углового параметра ук. Видно, что при приближении скоростного режима к сверхпластичности (сплошная кривая) область устойчивости процесса увеличивается.

р

Выражение для распределения толщины круговой оболочки имеет вид:

Г>) = К ■ 2'(Т"~'Тп ■ (1 + «»(г,)) • ■

На рис. 14 показано распределения толщины оболочки в различные моменты процесса деформирования. Из полученных результатов следует, что наибольшее утонение наблюдается в полюсе оболочки.

и

Рис.14. Изменение распределения толщины оболочки.

На рис. 15 продемонстрировано соответствие кривой изменения давления, полученной на основании расчетов (сплошная линия) для сверхпластического деформирования, и результатов экспериментов, проведенных Панченко Е. В. и Селёдкиным Е. М. для титанового сплава ВТбс.

Рис.15. Изменение давления в зависимости от высоты купола оболочки (символами обозначены данные эксперимента, сплошной линией—результаты теоретических расчётов).

Из рис. 15 видно, что результаты расчетов, вполне подтверждаются экспериментальными данными.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Дана общая вариационная постановка задач о пластическом, вязкопластическом и сверхпластическом копечном деформировании тонкостенных оболочек;

2. Построена модель конечного пластического и вязкопластического деформирования цилиндрической панели с учётом выхода в режим сверхпластичности. В рамках этой модели, получены точные аналитические выражения для напряжений, деформаций и перемещений.

3. Показано, что устойчивость процесса деформирования панели повышается при сверхпластическом режиме. Установлены законы изменения приложенной нагрузки, соответствующие режиму сверхпластичности.

4. Построеца модель конечного пластического и вязкопластического с учётом выхода в режим сверхпластичности деформирования круговой мембраны. Исходя из этой модели, получены точные аналитические выражения для напряжений, деформаций и перемещений при условии полной пластичности и приближённые при вязкопластичности.

5. Из анализа законов изменения внешнего давления следует, что устойчивость процесса деформирования круговой мембраны повышается при приближении к режиму сверхпластичности.

6. Установлен закон изменения давления, позволяющий поддерживать режим, близкий к сверхпластичности в круговой мембране.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

1. Маркин А.А, Фурсаев С.А. Конечное деформирование идеально-жесткопластической мембраны //ПМТФ. 2011, №2, С. 128-133.

2. Фурсаев С.А. Напряжённо-деформированное состояние идеально-жёсгкопластической сферической оболочки // Материалы международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики». Тула: изд-во ТулГу, 2009. - С. 299-302.

3. Фурсаев С.А. Деформирование торообразных оболочек с учётом режима сверхпластичности // Известия Тульского государственного университета. / Серия: «Естественные науки». Вып. 1. - Тула: изд-во ТулГу, 2009. - С. 71-82.

4. Фурсаев С.А. Напряженно-деформированное состояние вязкопластической оболочки. // Современные проблемы математики, механики, информатики: материалы Региональной научной конференции. Тула: ТулГУ, 2007. - 147с.

Изд. лиц. ЛР № 020300 от 12.02.97. Подписано в печать 17.05.2011. Формат бумаги 60x84 1/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. Уч.-изд. Тираж ■fOO экз. Заказ О ¿О

Тульский государственный университет. 300012, г. Тула, просп. Ленина, 92.

Отпечатано в Издательстве ТулГУ 300012, г. Тула, просп. Ленина, 95

Введение.

1. Основные характеристики процесса конечного деформирования

1.1. Основные кинематические соотношения, тензоры напряжений

1.2. Вариационный принцип Журдена.

1.3. Модели пластического и вязкопластического деформирования.

2. Конечное вязкопластическое деформирование цилиндрической панели

2.1. Постановка задачи.

2.2. Решение при плоской деформации для условия полной пластичности.

2.3. Решение при плоской деформации для ассоциированного закона течения.

2.4. Решение при плоском напряжённом состоянии для ассоциированного закона течения.

2.5. Решение в случае плоского деформирования в рамках вязкопластической модели.

2.6. Решение в случае вязкопластического процесса деформирования с плоским напряжённым состоянием.

3. Конечное пластическое и вязкопластическое деформирование круговой оболочки

3.1. Постановка задачи.

3.2. Построение аналитического решения для идеальножёсткопластической модели.

3.3. Построение аналитического решения для вязкопластической модели.

Существенное изменение исходной формы твердых тел реализуется как в естественных условиях, так и в технологических процессах обработки давлением. При этом актуальной является задача определения оптимального сочетания свойств материала и термомеханических воздействий на него, позволяющих достигать требуемой формы изделия за минимальное число переходов. Одним из ограничений обработки давлением является ограниченность режимов устойчивого деформирования, когда внешняя нагрузка не убывает в процессе деформирования.

Ещё в 1938 году Ильюшиным A.A. была рассмотрена задача о конечных деформациях круглой мембраны под действием равномерного давления [19]. Использовался нелинейный закон связи напряжений, а решение было дано в виде рядов.

Позже Хилл Р. предложил решение для материалов с линейным деформационным упрочнением [95], при этом срединная поверхность мембраны в процессе деформации полагалась сферической. В монографии [16] приведено сравнение экспериментальных результатов нагружения диафрагм давлением жидкости с эмпирическими зависимостями напряжений от логарифмических деформаций. Установлено, что разрушение происходит после достижения давлением максимального значения вблизи полюса оболочки при уменьшающемся давлении.

В работе [36] Кудряшова А. В. была решена задача о вязкопластическом деформировании круглой оболочки. Результаты были представлены в виде бесконечных рядов.

Чумаченко Е. Н. в своих работах [86, 87] для прогнозирования поведения оболочек при сверхпластической формовке использовал численное моделирование процессов (вычислительный комплекс SPLEN).

Панченко Е. В. и Селедкин Е. М. при рассмотрении вопроса о сверхпластическом деформировании круглых осесимметричных защемлённых мембран получили в работе [58] численное решение данной задачи на основе МКЭ.

Данной тематикой занимаются активно и за рубежом. Например, в статье Вержбицки и Флоренца [101] строится теория вязкопластического деформирования тел на основе анализа экспериментов с деформацией круглой защемленной вязкопластической оболочкой. В работе Попова и Нагараджана [100] при исследовании пластических деформаций осесимметричных оболочек, приводится решение линеаризованной системы уравнений в численном виде. В статье Kyohei Kondo и Т. Pian [99] в задаче о жесткопластическом деформировании пластин рассматриваются нагрузки распределенные по круговому контуру.

Актуальность подобных исследований во многом обусловлена развитием новых технологий, использующих для получения изделий процессы пластического формоизменения с выходом в режим сверхпластичности. Для ряда отраслей машиностроения в настоящее время многие задачи с успехом решаются благодаря использованию состояния сверхпластичности при обработке материалов.

Начало систематическому изучению явления сверхпластичности было положено классическими работами JI. А. Бочвара. Именно он дал название этому явлению и впервые предложил гипотезу механизма сверхпластической деформации. Дальнейшие исследования способов подготовки материалов к режиму сверхпластичности проводились O.A. Кайбышевым, A.C. Тихоновым, B.C. Горбуновым, О.М. Смирновым, Е.У. Еникеевым, Танака К. и Ивасака Р., Нагаи Т. За прошедшее время советскими, российскими и зарубежными учеными изучено состояние сверхпластичности большого числа металлов и сплавов в диапазоне от легкоплавких до тугоплавких. Кроме того изучены многие аспекты физической природы сверхпластической деформации, начаты исследования по механике течения сверхпластичных материалов.

Однако проблема адекватного моделирования процессов конечного пластического и вязкопластического формоизменения с учетом выхода в режим сверхпластичности далека до завершения. Сложность её обусловлена существенной нелинейностью рассматриваемых физических эффектов и геометрической нелинейностью связанной с большими перемещениями, поворотами и деформациями. Исследования в данном направлении начаты сравнительно недавно. Они нашли отражение в работах A.A. Ильюшина, P.A. Васина, Г.Л. Бровко, И.А.Кийко, П.А. Моссаковского, JI.A. Толоконникова, A.A. Маркина, A.B. Кудряшова, П.В. Трусова, A.A. Рогового, В.И. Левитаса, Фридмана П.А. и Гоша А.К., Кхалила М.А., Абдул-Латифа А., Ал-Наиба Т.М. и Данкана Д.Л., Кремпла Е.

Одним из основоположников технологического использования сверхпластичности является Я. М. Охрименко, который в конце 30-х годов наблюдал аномалию течения металла при штамповке колец из стали ШХ15 в области температур перлитного превращения. Эти наблюдения привели его к созданию в 1949 г. оригинальной методики исследования деформации сталей в процессе фазовых превращений [57].

Накопленный экспериментальный материал позволяет выделить три основных признака, сочетание которых характеризует состояние сверхпластичности.

1. Повышенная (по сравнению с пластическим состоянием) чувствительность напряжения течения сверхпластичных материалов к изменению скорости деформации.

2. Чрезвычайно большой ресурс деформационной способности (возможность деформировать сверхпластичные материалы при растяжении равномерно, без заметной локализации, до нескольких сотен процентов).

3. Напряжение течения материала в состоянии сверхпластичности значительно меньше (в большинстве случаев в несколько раз) предела текучести, характеризующего тот же материал в пластическом состоянии.

Эффект сверхпластичности находит широкое применение в процессах производства оболочёчных элементов конструкций, в частности в процессах пневмостатической формовки. Поддержание режима« сверхпластичности позволяет повысить точность получаемого изделия, контролировать его разнотолщинность и снизить энергозатраты на его производство.

В данной работе на основе общей термомеханической модели [43], описывающей процессы упруговязкопластического и сверхпластического; деформирования, построена математическая модель вязкопластического и; идеально-пластического конечного деформирования оболочек в рамках мембранной теории.

В первой главе дано описание кинематики деформирования, приведены используемые меры и тензоры деформации и напряжениям и; их производные* по времени. Для формулировки условия механического равновесиях среды в» процессе деформирования, используется вариационный принцип Журдена; При этом дифференциальный оператор текущего состояния, поле тензора истинных напряжений и поле скоростей рассматриваются; в координатах начального состояния (лагранжевых координатах). В данном разделе* приведены соотношения, определяющие вязкопластические свойства материала в процессах вязкопластического с: учётом выхода в режим свёрхпластичности конечного деформирования. В; результате получена общая постановка задач описания процессов конечного деформирования в рамках моделей идеальной пластичности и вязкопластичности, включающей режим сверхпластичности. Во второй главе рассмотрен процесс конечного, идеально-жёсткопластического, вязкопластического и сверхпластического деформирования цилиндрической панели под воздействием; внешней нагрузки. Построена модель конечного пластического и вязкопластического деформирования цилиндрической панели с учётом выхода в режим сверхпластичности. В рамках этой модели, получены точные: аналитические выражения для напряжений, деформаций и перемещений! Показано, что

6 :■ ■ устойчивость процесса деформирования панели повышается при сверхпластическом режиме. Установлены законы изменения приложенной нагрузки, соответствующие режиму сверхпластичности.

В третьей главе построена модель конечного пластического и вязкопластического деформирования круговой мембраны с учётом выхода в режим сверхпластичности. Исходя из этой модели, получены точные аналитические выражения для напряжений, деформаций и перемещений при условии полной пластичности .и приближённые при вязкопластическом деформировании. Из анализа законов изменения внешнего давления следует, что устойчивость процесса деформирования круговой мембраны повышается при приближении к режиму сверхпластичности. Установлен закон изменения приложенной нагрузки, используя который можно поддерживать режим деформирования близкий к режиму сверхпластичности. Сравнение полученных аналитических решений с известными экспериментальными результатами и численными решениями показало их удовлетворительное соответствие.

Работа выполнена на кафедре «Математическое моделирование» Тульского государственного университета. Целью данной работы является построение модели пластического и вязкопластического конечного деформирования тел в рамках теории мембран и получение на основе этого аналитических решений задач о конечном деформировании мембран.

Основные результаты по теме данной диссертации были доложены на международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики», г. Тула, 2009; на молодёжной научно-практической конференции «Молодёжные инновации», г. Тула, 2009; на семинаре имени Толоконникова Л.А., г. Тула, 2011; на регулярных научных семинарах кафедры Математического моделирования, г. Тула, 2008-2011.

По теме диссертации опубликовано 4 печатные работы, две из которых в изданиях, рекомендованных ВАК.

Диссертация состоит из введения, 3 разделов, заключения, списка литературы из 101 наименования и содержит 105 страниц и 44 рисунка.

Заключение.

Приведём основные результаты и выводы по диссертационной работе.

1. Построена модель пластического и вязкопластического с учётом выхода в режим сверхпластичности конечного деформирования цилиндрической панели в рамках мембранной теории. Исходя из этой модели, получены точные аналитические выражения для напряжения, деформаций и перемещений.

2. Показано, что в процессе деформации кривизна и утонение панели не зависят от дуговой координаты.

3. Получены законы изменения давления, из которых видно, что устойчивость процесса деформирования панели наблюдается дольше при сверхпластическом режиме. Установлены законы изменения приложенной нагрузки, используя которые можно удерживать процесс в рамках режима сверхпластичности.

4. Построена модель пластического и вязкопластического с учётом выхода в режим сверхпластичности конечного деформирования осесимметричной оболочки в рамках мембранной теории. Исходя из этой модели, получены точные аналитические выражения для напряжений, деформаций и перемещений при условии полной пластичности и приближённые аналитические соотношения при вязкопластичности.

5. Выяснено, что в процессе деформирования осесимметричной оболочки при условии полной пластичности утонение происходит равномерно вдоль радиуса оболочки.

6. Получены законы изменения давления, из которых видно, что устойчивость процесса деформирования осесимметричной оболочки наблюдается дольше при приближении к режиму сверхпластичности.

7. Приведён закон изменения приложенной к мембране нагрузки, используя который можно поддерживать режим деформирования близкий к режиму сверхпластичности.

8. Сделаны уточнения для распределения толщины в случае вязкопластического деформирования оболочки, исходя из которых, делается вывод о неравномерности распределения утонения вдоль радиуса. Причём максимальное утонение проявляется в полюсе оболочки.

1. АннииБ.Д. Двумерные подмодели идеальной пластичности при условии полной пластичности. // Проблемы механики: Сб; статей к 90-летию А.Ю. Ишлинского. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003, стр. 94-100/

2. Баничук Н. В. Оптимизация осесимметричных мембранных оболочек // Прикл. мат. и мех. N 4, 2007, т.71, с. 578-586.

3. Белл Дж.Ф. Экспериментальные основы механики* деформируемых твердых тел. Часть II. Конечные деформации7 пер. с англ./ под. ред. А.П. Филина.-М.: Наука, 1984. 432 с.

4. Бриджмен Б. Исследование больших пластических деформаций, и разрыва. М.: Изд-во иностр. лит., 1955.

5. Быков Л.Д. О некоторых методах решения задач теории« пластичности // Упругость и неупругость: Сб.науч.тр. М:: Изд-во МГУ, - 1975. - № 4. - с.119-139.

6. Васин P.A. Некоторые вопросы связи напряжений и деформаций при сложном нагружении // Упругость и неупругость: Сб.науч. тр. М.: Изд-во МГУ, - 1971. - Вып. I - с.59-126;

7. Васин P.A., Еникеев Ф.У. Введение в механику сверхпластичности: В 2 ч. Уфа: Гилем, 1998. 4.1. 280 с.

8. Васин Р. Д., Кийко И. А. О постановке начально-краевой задачи сверхпластичности // Вестн. МГУ. Сер. 1 № 1, 2004, с. 58-61; 64: .

9. Вервейко Н. Д., Купцов А. В. Итерационный метод решения: задач теории идеальной пластичности // Вестн. Воронеж, гос. ун-та. Сер. Физ. Мат. N1, 2005, с. 149-153.

10. Гвоздев А.Е., Маркин A.A., Термомеханика упруговязкопластическоик конечного деформирования. // Изв. РАН, МТТ, 1998, №6, с.115-121.

11. Гетман И. П., Карякин М. И., Устинов Ю. А. Анализ нелинейного поведения круглых мембран с произвольным профилем по радиусу. / Совр. пробл. механ. спл. ср. Тез. докл. 14 международ, конф. 19-24 июня 2010., Ростов-на-Дону.

12. Гольденвейзер А.Л. Исследование напряженного состояния сферической оболочки // ПММ. 1994. Т8. Вып.6. с.441-467

13. Горшков А.Г., Рабинский Л.Н., Д.В. Тарлаковский Д.В. Основы тензорного анализа и механика сплошной среды: Учебник для'вузов. — М.:Наука, 2000. 214с.

14. Грин А.„ Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М.: Мир,-1965. 456 с.

15. Джонсон Ч., Меллор П.Б. Теория пластичности для инженеров. Пер. с англ. / Пер. А.Г. Овчинников. М.: Машиностроение, 1979. - 567 стр., ил.

16. Ивлев Д.Д., Быковцев Г.И. Теория упрочняющегося пластического тела. -М.: Наука, 191971.-231 с.

17. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности. М.: Наука, - 1966.- 231 с.- 19. Ильюшин A.A. Труды. Т.1 (1935-1945) / Составители: Е.А. Ильюшина, М.Р. Короткина. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2003 .-352с.

18. Ильюшин A.A. Механика сплошной среды. М.: Изд-во МГУ, 1990. 310 с.

19. Ильюшин A.A. Механика сплошной среды: Учебник для Университетов. -2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Изд-во МГУ, 1978. 287 с.

20. Ильюшин A.A. Некоторые вопросы теории пластических деформаций. //ПММ, 1943, T. VII, с. 245-272.

21. Ильюшин A.A. Пластичность. Упруго пластические деформации. М.: я Гос. издание технико — теоретической литературы. 1948.

22. Ильюшин A.A. Пластичность: Основы общей математической теории. -М.: Изд-во АН СССР, 1963. -272 с.

23. Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001,2003. 704 с.

24. Кабриц С.А., Михайловский Е.И., Товстик П.Е., Черных К.Ф., Шамина В.А. Общая нелинейная теория упругих оболочек. — СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2002. 388 с.

25. Кайбышев O.A. Пластичность и сверхпластичность металлов. М. Металлургия, 1975 279 с.

26. Кайбышев O.A. Сверхпластичность промышленных сплавов. М. Металлургия, 1984 264 с.

27. Карнеев C.B., Беляев В.В., Зыбин В.Г. Расчет оболочек с учетом механических свойств материалов. В кн.: Исследования в области пластичности и обработки металлов давлением. Тула, II1И, 1983, с. 152-154:

28. Карнеев C.B., Усов C.B., Шелобаев С.И. Неустойчивость в процессах обработки давлением. В. кн.: Устойчивость в механике деформируемого твердого тела: Тез. докл. II Всесоюзн. Симпозиума. Калинин, 1986, с. 27-30.

29. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. М.: Наука. Главная редакция физико - математической литературы, 1969, -420 с.

30. Каюк Я.Ф. Геометрически нелинейные задачи теории пластин и оболочек. Киев: Наукова думка, 1987. 208 с.

31. Клюшников Д.В. Математическая теория пластичности. М. Изд-во моек, ун-та, 1979. 208 с.

32. Клюшников Д.В. Устойчивость упругопластических систем. М.: Наука, - 1980. - 240 с.

33. Колмогоров В.JI. Механика обработки металлов давлением. М-.: Металлургия, - 1986. - 638 с.

34. Кудряшов A.B. Конечное деформирование упруговязкопластической и сверхпластической оболочки переменной толщины.//Изв. ТулГУ, Сер. Математика. Механика. Информатика, 2004, Т.10, Вып.З С.98-111.

35. Кузнецов В.Н., Басалов Ю.Г. Математическая модель процессов вязкоупругопластического деформирования. / Теория и технология процессов пластического деформирования: т. научн.-техн. конф., Москва, 8-10 окт. 1996, М., 1997, с. 548-552.

36. Кукуджанов В.Н. Сантаойя К. Термодинамика вязкопластических сред с внутренними параметрами. / Механика твёрдого тела, 1997, №2, с. 115-126.

37. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука. Главная редакция физико - математической литературы, 1980, -512 с.

38. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970, 939 с.

39. Малиновский Д. Г. Обработка металлов давлением в условиях сверхпластичности // 4 Межотраслевой научно-технической конференции "Автоматизация и прогрессивные- технологии", Новоуральск, 26-29 сент., 2005, 2005, с. 231-232.

40. Маркин A.A. Нелинейная теория упругости: Учебное пособие Тул. гос. ун-т. - Тула. 2000. - 72с.

41. Маркин A.A. Термомеханика процессов упругопластического и сверхпластического деформирования металлов // ПМТФ. 1999, Т.40, №5 с. 164-172.

42. Маркин A.A. О различных типах тензоров и выборе их производных // Материалы Всероссийской конференции по чистой и прикладной математике. ТулПИ. Тула, - 1988.-е. 15-17.

43. Маркин A.A., Фурсаев С.А. Конечное деформирование идеально-жёсткопластической мембраны // ПМТФ. 2011, №2, с. 128-133".

44. Маркин A.A., Толоконников Л.А. Меры и определяющие соотношения конечного упругопластического деформирования // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Методы решения: Всесоюзн. межвуз.сб. / Горьк.гос.ун-т. Горький, - 1987. - с. 32-37.

45. Мерзляков В.А. Упругопластическое состояние цилиндрических оболочек некругового сечения // Доп. Нац. АН Украши №7,2007, с. 65-71.

46. Мерзляков В. А. Определение предельного неосесиммегричного термоупругопласгического состояния оболочек вращения // Доп. Нац. АН Украши № 6,2000, с.50-56.

47. Моисеенко М. О. Исследование нелинейных деформаций и устойчивости пологих оболочек при нагружении равномерно распределенной нагрузкой // Вестн. Томск, гос. архит.-строит. ун-та N 2, 2006, с.115-119.

48. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. Т.2. Пер. с англ. /Под ред. Г.С. Шапиро. М.Мир, 1969 864 с.

49. Наймарк О.Б., Ладыгин O.B. Неравновесные кинематические переходы в твердых телах как механизмы локализации пластической деформации // ПМТФ. 1993. Т34. №3. с.147-154.

50. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек: 2-е изд. Л. Судпромгиз, 1962. 430 с.

51. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. М.:Гостехиздат, 1948. 211 с.

52. Новожилов В.В. Теория упругости. Л.:Судпромгиз, 1958. 369 с.

53. Новожилов В.В. О связи между напряжениями и деформациями в нелинейно-упругих телах // Прикладная математика и механика. 1951. - T.I5. - № 2. - с.183-194.

54. Новожилов В.В., Черных К.Ф., Михайловкий Е.И. Линейная теория тонких оболочек. Л.:Политехника, 1991. 656 с.

55. Охрименко Я.М., Смирнов О.М. Эффект сверхпластичности и перспективы его использования в обработке металлов давлением. М. Машиностроение, 1971. 81 с.

56. Панченко Е.В., Селедкин Е.М. Пневмоформовка листовых заготовок в режиме сверхпластичности. Решение технологических задач. Монография; ТулГу. Тула, 2004. — 304 с.

57. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. М.: Изд-во МГУ, -1974. - 206 с.

58. Погорелов A.B. Геометрические методы в нелинейной теории упругих оболочек. М.Наука, 1967. 279 с.

59. Поздеев A.A., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упруго-пластические деформации: теория, алгоритмы, приложения. М.: Наука, 1986.-231 с.

60. Пресняков A.A. Локализация пластической деформации. М. Машиностроение, 1983.

61. Пэжина П. Основные вопросы вязкопластичности. ММир, 1968-175 с.

62. Радченко В. П., Саушкин М. Н. Решение задачи о неупругом реологическом деформировании и разрушении толстостенной сферической оболочки // Мат. моделир. 3, 2000, т. 12, с. 39-40.

63. Рыбин В.В. Большие пластические деформации и разрушение металлов. М.:Металлургия, 1986.

64. Рябов А. А., Романов В. И., Зефиров С. В. Численное исследование упругопластического выпучивания сферической оболочки // Прикл. пробл. прочн. и пластич., 1999, с. 125-128.

65. Седов Л.И. Введение в механику сплошных сред. М.: Физматгиз, 1962 284 с.

66. Смирнов О.М. Обработка металлов давлением в состоянии сверхпластичности. -М.: Машиностроение, 1979, 184с., ил.

67. Соснин О.В., Горев Б.В. Ратничкин A.A. Закономерности деформирования металлов в режимах, близких к сверхпластичности. //

68. Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела: Сб. науч. Тр. Свердловск: Изд-во АН СССР. Урал. Отд-ние, 1990. с. 41-52.

69. Соснин О.В., Горев В.Б., Любашевская И.В. О некоторых особенностях высокотемпературного деформирования материалов.// ПМТФ. 1999. Т40. №6. с.152-156.

70. Старожилова О. В Двухступенчатый итерационный метод в задачах упругопластического деформирования гибких неоднородных оболочек // 9 Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, Нижний Новгород, 22-28 авг., 2006, 2006, с. 200.

71. Столяров Н. Н. Методы исследования упругопластического деформирования гибких пластин и оболочек // Обозрение прикл. и пром. мат. N 4, 2006, т. 13, с.726-727.

72. Тимошенко С.П., Войновский Кригер С. Пластины и оболочки. — М.: Наука, 1966, с. 635, ил.

73. Тихонов A.C. Эффект сверхпластичности металлов и сплавов. М.Наука, 1978 142 с.

74. Товстик П.Е. Осесимметричная деформация оболочек вращения из нелинейно упругого материала // Прикл. мат. и мех. 1997. №4 с: 660 -673.

75. Товстик П.Е. Устойчивость тонких оболочек. Асимптотические методы. М.:Наука, 1995. 320 с.

76. Толоконников JI.A. Механика деформируемого твердого тела: Учеб.пособие для втузов. М.: Высшая школа, 1979. -.318 с.

77. Треуголов И.Г. Термодинамика необратимых процессов и теоретические основы построения определяющих соотношений для сплошных сред. / Известия ВУЗов, Сер. Математика; 1995, №4, с.82-95.

78. Треуголов И.Г. Математическое моделирование необратимых многопараметрических процессов и определяющих соотношения для сплошных сред. / Актуал. пробл. мех. оболочек, 2000, стр.78.

79. Ульченкова В. Э. Математическая теория обработки давлением сверхпластичных материалов // 15 Международная, научная конференция "Математические методы в технике и технологиях", Тамбов, 4-6 июня, 2002, 2002, с. 193-194.

80. Циглер Г. Экстремальные принципы термодинамики необратимых процессов и механика сплошной среды. М.: Мир, 1966.

81. Черных К.Ф. Линейная теория оболочек. 4.2. Л.: Изд-во Ленингр. унта, 1964. 396 с.

82. Черных К.Ф. Линейная теория оболочек. 4.1. Л.: Изд-во Ленингр. унта, 1962. 274 с.

83. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. Л.: Машиностроение, Ленингр. отд - ние, 1986, - 336 е., ил.

84. Черных К.Ф., Шубина И.М. Законы упругости для изотропных несжимаемых материалов // Механика эластомеров. Краснодар, 1977, Т.1.-с. 54-64.

85. Чумаченко Е.Н. Моделирование процесса деформирования оболочек из титановых сплавов в условиях пониженных температур сверхпластичности. // Изв! РАН, МТТ, 2004, №6 с.151-166.

86. Чумаченко Е.Н., Чумаченко С.Е. Математическое моделирование: режимов давления, обеспечивающих формоизменение нелинейно-вязких оболочек в условиях локальной реализации, сверхпластического ^ течения. // Изв. РАН, М ГТ, 2000. №6 с. 134-142.

87. Чумаченко Е. Н;, Портной В. К., Аксенов С. А., Рылов Д. С. Сверхпластическая формовка титановых оболочек в широком диапазоне//Наука пр-ву № 12, 2003, с. 2-6, 60.

88. Шаповалов JI.A. Об учете поперечного обжатия в; уравнениях нелинейной динамики оболочек. // Изв. РАН, МТТ, 1997, №3 с. 156-168.

89. Юдин А. С., Колесов В. Ю. Моделирование пластической формовки куполообразной оболочки // Соврем, пробл. мех. сплош. среды, 1999, с. 228-231. •

90. Якупов Н. М., Нургалиев А. Р., Якупов С. Н. Методика испытаний пленок и мембран в условиях равномерно распределенного поверхностного давления // Завод, лаб.: Диагност, матер. N 11, .2008, т.74, с.54-56, 80.

91. Blachut J. Plastic loads for internally pressurized toroidal shells // Trans. ASME. J. Pressure Vessel Technol. N 2, 2005, т.127, c.l 51-156. ■

92. Cornfield G.C., Johnson R.H. The forming of superplastic sheet: metal. -International Journal of mechanical Science, 1970, v. 12, p. 479-490:

93. Grigoliouk E.I., Lipovstev Y.V. On the creep buckling of shells. / Int. J. Solids Structures, 1969, Vol. 5, pp. 155-173. Г95 . Hill E.A. A Theory of the Plastic Bulging of a Metal Diaphragm by Lateral Pressure. // Phil. Mag. (ser. .7), 1950, p. 41.

94. Holt D. An analysis of the building of a superplastic sheet' by lateral pressure. // International Journal of mechanical Science, 1970, v.12, p. 491-497.

95. Jpnes D. P., Holliday J. E., Larson L. D. Elastic-plastic failure analysis of pressure burst tests of thin toroidal shells // Trans: ASME. J. Pressure Vessels Technol. 2, 1999, т. 121, c.l49-153.

96. Jo'vane F. An approximate analysis of the superplastic forming of a thin circular diaphragm: theory and experiment. International: Journal of mechanical Science, 1968, №.6, p. 403-428.

97. Wierzbicki Т., Florence A.L. A Theoretical and Experimental: investigation of impulsively loaded clamped circular viscoplastic plates. / Int. J. Solids Structures, 1970, Vol. 6, pp. 553-568. '