Процессы конечного упруговязкопластического и сверхпластического деформирования оболочек тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Кудряшов Александр Вячеславович

На правах рукописи

V1' $

ПРОЦЕССЫ КОНЕЧНОГО УПРУГОВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКОГО И СВЕРХПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ОБОЛОЧЕК

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Тула 2006

Работа выполнена на кафедре математического моделирования в ГОУ ВПО «Тульский государственный университет».

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор

Маркин Алексей Александрович

Официальные оппонен'

доктор физико-математических наук, профессор Васин Рудольф Алексеевич

ты:

доктор технических наук, профессор Тутышкин Николай Дмитриевич

Ведущая организация - ГОУ ВПО «Орловский государственный технический

Защита диссертации состоится 3 июля 2006 г. в 10 часов на заседании диссертационного совета Д 212.271.02 при ГОУ ВПО «Тульский государственный университет» по адресу: 300600, г. Тула, пр. Ленина, 92, учебный корпус № 12, аудитория 309.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке ГОУ ВПО «Тульский государственный университет».

Автореферат разослан «31» мая 2006 г.

университет»

Ученый секретарь

Л.А. Толоконников

диссертационного совета

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Исследования поведения материалов в широком диапазоне деформаций и температур представляют большой интерес, определенный в первую очередь возможными практическими приложениями. Актуальность этого направления механики сплошной среды обусловлена необходимостью получения изделий с заранее определенными свойствами, исследования в этой области непосредственно связаны с вопросами точности и экономичности технологических процессов обработки металлов и их сплавов. Широкое распространение в нашей стране и за рубежом получили процессы обработки металлов давлением с использованием эффекта сверхпластичности, который позволяет достичь значительных величин пластических деформаций (порядка 1000%) при действии сравнительно малых нагрузок.

Сверхпластичностью называется способность материалов к значительным и равномерным деформациям при определенных температурных и скоростных условиях. Явление сверхпластичности характеризуется следующими основными признаками: повышенной чувствительностью напряжения материала к скорости деформирования, чрезвычайно большим ресурсом деформационной способности и низким пределом текучести, значительно меньшим, чем в «обычном» состоянии. Однако только лишь комбинация этих признаков не определяет сверхпластичность. Необходимым условием реализации сверхпластического состояния материала является его специфическая структура — так называемая структурная сверхпластичность, либо состояние, близкое к фазовому превращению. Исследованию микроструктуры среды, определяющей эффект сверхпластичности, посвящено большое число работ по материаловедению. Значительные результаты достигаются при использовании сверхпластичности в процессах обработки давлением труднодеформируемых и малопластичных металлов и сплавов, обработка которых стандартными средствами не представляется возможной, а также при получении деталей особо сложных форм.

Открытие явления сверхпластичности и первые исследования в этой области связаны с именами A.A. Бочвара и З.А. Свидерской. Начиная с 50-х годов прошлого столетия, сверхпластическое состояние наблюдалось у большого числа металлов и сплавов, а также в керамических и других неметаллических материалах, что позволяет говорить о сверхпластичности, как о «естественном» состоянии материала с определенной структурой. Исследованиям физических аспектов данного явления, в первую очередь исследованию структуры материалов в состоянии сверхпластичности и способов подготовки материалов к сверхпластическому деформированию посвящено подавляющее число работ в этой области. Основные результаты связаны с именами Я.М. Охрименко, О.М. Смирнова, O.A. Кайбышева, A.C. Тихонова, B.C. Горбунова, В.О. Гука и т.д., а также с работами зарубежных ученых: У. Бэкофена, Д. Филдса, Ф.Джовани, Р.Джонсона, Дж. Корнфилда, Д.Холта.

Использование явления сверхпластичности в технологических процессах требует развития феноменологических подходов его описания, построения адекватных определяющих соотношений, моделирующих процессы конечного деформирования упру-говязкопластических сред и получения решений конкретных задач с их использованием. При моделировании технологических процессов сверхпластического деформирования широко используется модель нелинейно-вязкой жидкости, равнозначная ей мо-

дель установившейся стадии ползучести, а также модель трехмерного течения материала в состоянии сверхпластичности, предложенная О.М.Смирновым.

Фундаментальные теоретические разработки в области вязкопластического течения материалов связаны с классическими работами A.A. Ильюшина, Ю.Н. Работнова, А. Надаи, В. Рейнера, В. Прагера. Разработке моделей сред, описывающих поведение материала в широких диапазонах скоростей деформаций и температур и постановке задач для конечных упругопластических деформаций, посвящены работы Л.А. Толо-конникова, O.JI. Толоконникова, P.A. Васина, A.A. Маркина, А.Е. Гвоздева, В.Ф. Астапова, П.В. Трусова.

Явление сверхпластичности нашло широкое применение в технологических процессах, особенно в процессах газостатической формовки листовых заготовок. Данная работа направлена на описание процесса конечного квазистатического деформирования начально плоской оболочки вращения под действием нагрузок, приложенных по нормали к ее лицевым поверхностям для широкого диапазона свойств материала.

Цель работы. Описание процессов упруговязкопластического конечного деформирования оболочек вращения с учетом режимов сверхпластичности.

Объектом исследования является оболочка вращения, материал которой проявляет существенно нелинейные упругие, упруговязкопластические и сверхпластические свойства.

Методы исследования. Описание процесса конечного деформирования упруго-вязкопластической среды проводится на основе модели, предложенной A.A. Маркиным. Определение реологических свойств деформируемой среды производится сопоставлением траекторий формоизменения произвольного неравновесного процесса на-гружения в пространстве А.А.Ильюшина, и равновесного процесса, на той же траектории.

Описание деформированного состояния оболочки проводится с привлечением обобщенной гипотезы Кирхгофа-Лява. Растяжение-сжатие нормального к срединной поверхности оболочки материального волокна полагается равномерным.

Характеристики напряженно-деформированного состояния оболочки раскладываются в ряды по степеням независимых переменных: начальной радиальной координате и длине дуги траектории формоизменения в полюсе оболочки. Построен алгоритм, позволяющий для заданного закона формоизменения в полюсе найти распределение характеристик напряженно-деформированного состояния во всей оболочке в произвольный момент процесса деформирования. Полученное решение является приближенным аналитическим, поэтому оценка его точности может быть проведена непосредственной проверкой удовлетворения математической постановке.

Научная новизна работы.

1. Поставлена задача определения напряженно-деформированного состояния оболочки вращения, свойства материала которой при необратимом деформировании описываются дифференциально-нелинейными соотношениями, учитывающими эффект сверхпластичности.

2. Получено приближенное аналитическое решение поставленной задачи; определено напряженно-деформированное состояние в оболочке как на устойчивой, так и неустойчивой в смысле уменьшения нагрузок с ростом деформаций, стадиях процесса деформирования.

Теоретическая ценность работы состоит в разработанной математической модели процесса конечного деформирования оболочки вращения, материал которой проявляет существенно нелинейные реологические свойства.

Практическая ценность. Полученные решения моделируют технологический процесс газостатической формовки листовых заготовок на стадии свободной формовки.

Работа выполнена в рамках гранта поддержки научно-исследовательской работы аспирантов, шифр А04-2.10-722 и гранта РФФИ «Разработка методов математического моделирования процессов обработки давлением и резанием на основе соотношений, определяющих свойства металлических материалов в широком диапазоне термомеханических воздействий» (№ 04-01-96700).

Достоверность полученных результатов обоснована следующим:

1. модели деформируемых сред, использованные в постановке задачи, основаны на теории процессов A.A. Ильюшина, достоверность постулатов которой подтверждена экспериментально;

2. приближенные аналитические методы построения решения позволяют получить результат с любой заданной степенью точности, а также оценить погрешность каждого полученного частного решения;

3. проведено сравнение полученных решений с решениями других авторов и результатами экспериментов.

Апробация работы.

Основные результаты работы представлены на научном семинаре по механике деформируемого твердого тела им. JI.A. Толоконникова (Тула, 2006 г.), на международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Тула, 2005 г.), на Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2005 г.)

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 4 работы. Объем и структура работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы. Объем диссертации 140 листов. Работа содержит 35 рисунков и библиографический список из 112 наименований.

Содержание работы.

Во введении обоснована актуальность темы, сформулирована цель работы, приведен обзор литературы по рассматриваемой проблеме, изложено краткое содержание и основные полученные в диссертационной работе результаты.

В первой главе диссертации рассмотрена кинематика процессов конечного деформирования, а также модели поведения сред в области обратимых и необратимых деформаций.

Деформированное состояние сплошной среды описывается неголономной мерой К такой, что ее обобщенная яуманновская производная равна тензору деформации скорости:

Кл = K + il-K-K-il = W, (1)

где П = R"1 • R - тензор угловой скорости; R - тензор поворота в полярном представлении аффинора деформаций Ф, определяемого выражением:

<t> = v£ = U-R = R-V, (2)

здесь R = R(x,t) - радиус-вектор материальной точки как функция начальных коор-

0 д

динат и времени (подход Лагранжа), V = е' —- - «набла»-оператор в недеформиро-

Вх

ванном состоянии, U, V - соответственно левая и правая меры искажения. На основании аффинора деформации определяется мера Коши-Грина

G = Ф Фт = U2 (3)

Тензор деформации скорости W является симметричной частью текущего градиента поля скоростей:

W=i(vf + Fv), (4)

° ■ 3

здесь V = э' —- - «набла»-оператор в деформированном состоянии, э' = ё' ■ Ф - под-

дх'

вижный базис материального пространства. Компоненты тензора деформации скорости (4) связаны с компонентами меры Коши-Грина (3) выражением:

2W = (ф~' У - G ■ Ф~1. (5)

Для изотропных процессов деформирования, в которых главные оси деформации неподвижны относительно полярного базиса: гс. = ё( • R, мера К тождественно совпадает с мерой Генки: К = Г = In V. Энергетически сопряженными мере К являются тензор истинных напряжений Коши S и обобщенный тензор истинных напряжений а:

d'A = e9S--dK =e-dK ,

в = К • -Е - первый инвариант меры деформаций, характеризующий изменение объема материального элемента.

Девиатору меры деформаций К = К - в • -Е и девиатору обобщенного тензора истинных напряжений ст = а — сг0 • -Е в пространстве A.A. Ильюшина ставятся в соот-

ветствие вектор формоизменения к и вектор нагружения т. Годографы этих векторов являются траекториями формоизменения и нагружения в пятимерном девиаторном пространстве.

Как следствие постулата макроскопической определимости и независимости упругого напряженного состояния от пути деформирования, в обратимых процессах свободная энергия Ч' является функцией длины вектора формоизменения, изменения объема и температуры: Ч1 = Ч'(к,в,Т), к2 = к • к. В работе рассматриваются изотермические процессы деформирования: dT = О, Т = const

Для описания упругих свойств материала при конечном деформировании используется выражение свободной энергии, аналогичное линейной теории упругости:

Ч* = - Квг + Gk2, (6)

2

где G - модуль сдвига, К - модуль объемного расширения. Выражению свободной энергии в виде (6) соответствует неогуковский материал:

а = 2GK + <TqE (7)

Физически нелинейные упругие свойства несжимаемой среды описываются предложенным в работах A.A. Маркина выражением свободной энергии в виде:

Ч* =—A2 +—k} + —A3 cos3a, (8)

2 3 3 w

где a,b,c - константы материала, а - угол вида деформированного состояния. Выражению свободной энергии (8) соответствует следующая связь меры К и обобщенного тензора истинных напряжений:

о = сг„Е + я + + , (9)

^ к ) К $ )

где /3 = detK - третий инвариант меры деформаций.

Описание процессов конечного упругопластического деформирования проводится с привлечением следующих гипотез. Деформированное состояние в произвольный момент упругопластического процесса представляется суммой упругой и пластической составляющих: к = ке + кр, скорости приращения обратимых и необратимых

деформаций в упругопластическом процессе также аддитивны: к = ке + кр. Согласно подходу, предложенному A.A. Маркиным, описание реологических свойств материала может быть осуществлено сравнением равновесных и неравновесных процессов нагружения, реализуемых на одной траектории формоизменения. Равновесным является процесс нагружения, не зависящий от скорости движения вдоль траектории формоизменения, а определенный только величиной формоизменения. Равновесные параметры состояния не зависят явным образом от времени, и рассматриваются как функции длины дуги траектории формоизменения в пространстве A.A. Ильюшина: тр Сs). Вязкие напряжения определяются как разность напряжений при произвольном неравновесном и соответствующем ему равновесном процессах:

т„(0 = т(0-т„(5) (10)

Использован следующий критерий возникновения пластических деформаций:

т2р = ар ■■др >т] (11)

В этом случае, поверхностью обратимости ^ в девиаторном пространстве равновесных напряжений является сфера радиуса то. Если вектор нагружения тр находится на поверхности обратимости и его приращение направлено по касательной к этой поверхности или внутрь ее, то состояние среды упруго; если приращение вектора тр направлено извне поверхности обратимости, то такой процесс необратим, он сопровождается ростом диссипации. Предполагается, что материал остается изотропным на всем процессе деформирования, поэтому поверхность У-" сохраняет сферическую форму и с ростом необратимых деформаций увеличивает радиус, который а пределе стремится к пределу текучести материала та.

Девиаторы равновесного тензора напряжений и тензора деформации скорости связаны соотношением:

(12)

1

где тр = (др ■ -др У - интенсивность равновесной составляющей девиатора тензора на-1

пряжений, ¿р = (кр • кр)2 - скорость пластического формоизменения. С развитием необратимых деформаций первое слагаемое в уравнении (12), которое является скоростью изменения упругой составляющей вектора формоизменения, стремится к нулю, и на идеально необратимой стадии процесса деформирования тензор напряжений и тензор деформации скорости асимптотически соосны. Соотношение (12) позволяет описать известный эффект запаздывания векторных свойств материала при упругопла-стическом деформировании. Для описания свойств материала при необратимом равновесном деформировании необходимо конкретизировать выражение свободной энергии Ч', определяющее изменение упругих свойств материала в упругопластическом процессе, и характер изменения интенсивности равновесных напряжений, отражающий явление деформационного упрочнения материала, которое может быть описано следующей зависимостью:

т, = т.-(т,-т.)е'--, (13)

где г0 (Г) - предел упругости материала, г, (Г) - предел текучести материала, вр -начальный касательный модуль кривой деформационного упрочнения, < I

вр = Дкр • кр )2 <И - длина дуги пластической траектории формоизменения. Если по-

ложить Ор = 0, то выражение (13) примет вид: тр = г, = го, что соответствует модели идеально пластического материала.

Вязкая составляющая девиатора тензора напряжений определяется из уравнения:

о„ = (14)

где г„ = (с„ • б,,)2 - интенсивность вязкой составляющей девиатора тензора напряжений, в = (к • к)2 = (\У • -\У12 - второй инвариант девиатора тензора деформации скорости. Выражениями (12) и (14) устанавливается связь напряженного и деформированного состояний в произвольном неравновесном процессе.

Интенсивность вязкой составляющей девиатора тензора напряжений существенным образом зависит от скорости формоизменения «, а также от величины формоизменения вр и температуры Т. Соотношения (12) и (14) позволяют описать поведение материалов в широком диапазоне деформаций и температур, в том числе свойства материалов, способных к сверхпластическому деформированию. Для моделирования сверхпластических режимов деформирования использована следующая форма закона скоростного упрочнения:

ехр

/

2т0 (Т)атс1д

(15)

лсо,

здесь т0 - модуль сверхпластичности, ¿а - скорость сверхпластичности, при которой скоростное упрочнение проявляется наиболее существенно. Константы материала т0 и определяются экспериментально. Соотношение (15) устанавливает феноменологическую зависимость напряжений течения материала от скорости деформирования и не учитывает структуру среды, поэтому предполагается, что материал заранее структурно подготовлен к сверхпластическому деформированию. Так как рассматриваются изотермические процессы деформирования, то для каждой заданной температуры константы материала т0, ё0, г0 и г, считаются известными.

Во второй главе определен класс решаемых задач. Оболочка, которая до деформации является круговой пластиной радиуса Я с начальной толщиной к0 (г), деформируется под действием нагрузок р1 и р2, приложенных по нормали к ее лицевым поверхностям и Я", и нагрузки /, распределенной по торцевой поверхности Г. Материал оболочки полагается несжимаемым: в = \п{ё.г'1 ¿ь^ = 0. Массовые силы и силы

инерции отсутствуют. Движение оболочки рассматривается относительно недефор-мированного состояния, с которым связана цилиндрическая система координат

Со срединной поверхностью оболочки, равноудаленной от лицевых поверхностей, связан ортонормированный базис т1, г2, п, который до деформации совпадает с базисом цилиндрической системы координат ёг, ёв, ёг.

Деформированное состояние оболочки описывается обобщенной гипотезой Кирх-гофа-Лява, согласно которой материальное волокно, ортогональное к срединной поверхности оболочки до деформации остается таковым на всем процессе деформирования и испытывает равномерное растяжение-сжатие:

Ё(г,в,£,г) = Ёср(г,в^) + {Л3(г,г)п(г,г) (16)

Срединная поверхность оболочки в процессе деформирования является осесимметричной, поэтому все характеристики искомого напряженно-деформированного состояния не зависят от полярного угла в. Параметр Л^ (г, г) = /у/г0 характеризует растяжение-сжатие нормального к срединной поверхности материального волокна.

Деформированное состояние срединной поверхности описывается следующими величинами:

\ (г,Ь) = - относительное удлинение в

направлении вектора и Я, (г, ¿) = р(г, - удлинение срединной поверхности в направлении вектора тг. Ненулевые компоненты левой меры искажения и и тензора поворота К в начальном базисе связаны с деформацией срединной поверхности выражениями:

и,

Рис. 1. Деформированная срединная поверхность оболочки.

И ^22 ^33= Л. ии

ar г

Ai дЛ,

4 (17)

Л2 "Л2 дг

Ri! = Ra = cosr, Rii = -Rzi = -siny, R^ = 1,

где y(r,t) - угол поворота нормали к срединной поверхности оболочки относительно оси z, связанный с деформациями срединной поверхности выражением:

дР

Зг

- ^ eos y

(18)

в\

Гипотеза (16) позволяет считать процесс деформирования оболочки изотропным по всей толщине. Компоненты меры Генки на срединной поверхности имеют вид:

Г = 1пУ = Ьг/^?!?! + 1пС22г2г2 + 1п иззпп, (19)

Первый инвариант текущего градиента поля скоростей определяет скорость изменения объема материального элемента:

=А+А+А к- л л л

На основании вариационного принципа Журдена:

■ ЗУ ¿Б = + Зааву V,

в V

где вариация гидростатической составляющей тензора напряжений 8а0 играет роль неопределенного множителя Лагранжа в записи условного экстремума функционала мощностей, записаны дифференциальные уравнения равновесия оболочки:

вш у —г2- сое у -

(Р1-Р2)

Л

ЁУ1кг_± дг \ дг

Л2р = о

м

+ гГ13 + —^-соз/Л, =0 Лг

ду М1 | Г33 | М, втх , & + Рг)К __ 0 дг \ Лз Л, г 2Л,

и условие несжимаемости: (21)

Здесь Тп, Т22, Т33- растягивающие усилия в меридиональном, окружном и нормальном

направлениях соответственно, Т13 - перерезывающая сила, М1,М2 - изгибающие моменты в оболочке:

К/2

(22)

-кр

кр

кр

-кр -кр

Перемещения точек срединной поверхности оболочки связаны с ее деформированным состоянием выражениями:

42= ^

^ V И-^Л

(23)

¿Г ) ^ (1г

На границе оболочки г = Я задается одно из следующих условий:

шарнирное опирание: «г|г,я = 0, мг|г,д = 0, - 0 (24)

или жесткая заделка: иг | = 0, иг |г_д = 0, у\г^я = 0.

В области упругих деформаций внутренние силовые факторы (22) связаны с деформацией срединной поверхности выражениями (7), (17) и (19) для геометрически нелинейного, и соотношениями (9) , (17) и (19) для физически нелинейного материала.

Таким образом, математическая постановка задачи в области обратимых деформаций включает следующие уравнения: уравнения равновесия (20), выражения внутренних силовых факторов в оболочке (22), условие несжимаемости (21) и кинематические соотношения (18) и (23) и граничные условия (24). Полученная замкнутая система 13 уравнений позволяет определить следующие неизвестные функции: характеристики деформированного состояния оболочки: /^(г^), Я, (г, ¿), Лз (г, ¿), у (г, 4), силовых факторов в ней: Тп (г,, Т22 (г,4), Г33 (г,, Т13 (г, г), М1 (г, <), М2 (г,¿), гидростатическую составляющую тензора напряжений (т0(г,<) и поле перемещений то-

чек срединой поверхности иг(г,Ь) и иг(г,Ь) как функции начальной радиальной координаты и времени.

Предполагается, что характеристики напряженно-деформированного состояния необратимо деформируемой оболочки распределены по толщине равномерно. Безмо-ментная постановка пластической задачи считается приемлемой, как вполне отражающая реальные практические стороны рассматриваемого процесса.

В качестве временной характеристики необратимого равновесного процесса деформирования может выступать произвольный монотонно возрастающий параметр. В качестве такого параметра использована длина дуги траектории пластического формоизменения в полюсе оболочки = в0, производная по времени в этом случае

принимает вид: <>'<=( ¿0. Из соотношения (5) с учетом гипотезы несжимаемости следует выражение тензора деформации скорости:

W = + «„ ——Т2Г2 -8„-^-'-пп

оз„ дво

Скорость формоизменения связана со скоростью деформации срединной поверхности следующим образом:

= 2( ^АТ + 2( ^Т + 2( (25)

Э'.) I да. ) + ^ да. ) + ^ да. да. Представляя, согласно подходу (10), растягивающие усилия в оболочке суммой гидростатической, равновесной и вязкой составляющих: Ти = Т0 + 7]? + Т°, запишем выражения их определяющие:

1 ат; дзр т? _ дыЛ (да V1 выл, ....

— + Т--=«.—т-» -тЛ — —г-, г = 1,2,3 (26)

2С Вз. тр Вда.

Определяющие соотношения (26) и кинематическое соотношение (25), совместно с безмоментными уравнениями равновесия осесимметричной оболочки

'{то + т> + г,1;)£1пу = (Р1-Л) ^

(27)

\ г 2

(т. + т> + Г.1) В/ (Г. + Г;2 + Г;;) ЭШ /

\ Вг А,

Т.+Т>+7£

кинематическими соотношениями (18) и (23), условием несжимаемости (21) и выражениями для интенсивности равновесных (13) и вязких (15) напряжений образуют замкнутую систему уравнений для определения равновесных и вязких составляющих растягивающих усилий характеристик деформированного состояния: Лп

г = 1,2,3, угла поворота нормали у, гидростатической составляющей растягивающих усилий Т., длины траектории формоизменения и компонент вектора перемещения иг и иг. На границе пластически деформируемой оболочки задается условие шарнирного опирания (24). Начальным условием для решения задачи является напряженно-

деформированное состояние оболочки в момент выхода в пластическую область, которое определяется из упругого решения.

В третьей главе диссертации получены приближенные аналитические решения задач определения напряженно-деформированного состояния в осесимметрично деформируемой оболочке переменной толщины, свойства материала которой при обратимых деформациях описываются геометрически и физически нелинейными моделями, а при необратимых деформациях учитывают эффекты изотропного деформационного и скоростного упрочнения, в частности описывают эффект сверхпластичности.

Деформированное состояние оболочки в обратимой области описывается мерой Генки. Ее компоненты на срединной поверхности раскладываются в ряды по степеням начальной радиальной координаты:

Г* =1пЛ1(г) = 1п^> + 2]Л^)г' = 1пД0+Л(1:), А: = 1,2 (28)

где Л0 - относительное удлинение в полюсе оболочки. Аналогичное разложение имеет место и для угла поворота нормали, гидростатической составляющей растягивающих усилий, интенсивности деформаций на срединной поверхности оболочки и перерезывающего усилия:

ГСг) = £г(г', Г0(г) = |]7Гг'

1п^сг> = ^1п(к-к)

Г - (29)

= к» + ги<г) = £тг-У

¿«0 ¡.1 ..о

Таким образом, определение деформированного состояния в обратимо деформируемой оболочке сводится к определению зависимости коэффициентов разложений (28) и (29) от констант материала и величин приложенных давлений. Коэффициенты разложений в ряды относительных удлинений срединной поверхности оболочки будут определены через коэффициенты искомых разложений следующим образом:

к = = Д0 ел<1> = ^ХЦ^ = к = 1,2, (30)

3=0 3 • |ж0

(-1 (Лл(Ч

1-О ] ' ш-1

а коэффициенты определяются из рекуррентной формулы:

п-1

Зависимость внутренних силовых факторов от коэффициентов искомых разложений устанавливается выражениями (22). Уравнения равновесия оболочки (20) и кинематическое соотношение (18), в результате замены искомых функций их степенными разложениями (28) и (29) и преобразований, аналогичных (30), примут вид:

¿<г™У=0 => <ЭГ=0, т = 1,2,..6. (31)

1-0

где выражения (¿1"" содержат коэффициенты искомых разложений (28) и (29) и величины давлений р1 и р2, приложенные к лицевым поверхностям оболочки. Каждая из систем (31), для фиксированного значения г не содержит коэффициентов искомых

разложений, стоящих при степенях начальной радиальной координаты выше г, а коэффициенты при г -ой степени входят в уравнения линейно. В результате, из г -ой системы (31) могут быть выражены коэффициенты Г(, Л:1', Л|2), Т*°\через коэффициенты при младших степенях начальной радиальной координаты. Таким образом, задача определения напряженно-деформированного состояния в осесимметрич-ной оболочке сведена к решению систем уравнений (31), линейных относительно коэффициентов искомых разложений (28) и (29). Последовательным решением систем (31) определяется зависимость коэффициентов искомых разложений от величин приложенных давлений. Ограничиваясь N членами искомых разложений, будем иметь:

у " (32)

у = г1г + £г((ль,г1,р1)А)г'.

Выражения (32) содержат неопределенные коэффициенты Г1 и Ло. Для их определения используются граничные условия (24). На границе оболочки г = Я деформированное состояние удовлетворяет условиям шарнирного опирания:

= 0 (33)

1пЯ,| =оД 4 и* дг

или жесткой заделки:

1пЛ|г_д=0, г\г,я =0 (34)

Система уравнений (33) или (34) устанавливает зависимость между деформированным состоянием в полюсе оболочки Ла и Г1, и разностью давлений на лицевых поверхностях оболочки Ар = р1 - р2 для заданного давления р2 и свойств материала. Таким образом, для заданного относительного удлинения в полюсе оболочки Ла, численно определяются коэффициент Г\ и разность давлений на лицевых поверхностях Ар. Используя заданные значения Л0,р2 и найденные величины Г, и Ар в выражениях (32), получим приближенно аналитически распределение характеристик деформированного состояния в оболочке в момент, характеризуемый деформацией в полюсе Л0. Процедура определения напряженно-деформированного состояния в оболочке вращения для различных моделей упругих сред реализована в среде аналитических вычислений Мар1е 9.5.

Характеристики напряженно-деформированного состояние в упруговязко-пластическом процессе раскладываются с ряды по начальной радиальной координате г и длине траектории формоизменения в полюсе оболочки в0. К искомым характеристикам относятся следующие: угол поворота нормали к срединной поверхности

= (35)

V ¡-1 )

ее относительные удлинения в меридиональном и окружном направлениях

¿ = 1,2, сзв>

длина траектории формоизменения в пространстве A.A. Ильюшина

= (37)

i«i V >-i J

гидростатическая, равновесная и вязкая составляющие растягивающих усилий

= Tt"k(So,r) = ±±P^ Tt:(So,r) = £±Vyr-S>. (38)

jsco \—0 }=0 1=0 }*0 t*0

Используя дробно-рациональную аппроксимацию законов деформационного и скоростного упрочнения (13) и (15):

где коэффициенты ^ - £5 и cL - с5 известны для каждого температурного режима деформирования, и задавая выражение скорости формоизменения в полюсе оболочки как функцию длины дуги пластической траектории формоизменения:

¿.=¿.(0. (39> система уравнений (24)-(26) для разложений (34)-(37) преобразована к виду:

¿fer^ = °> m = i-2.3--11 «Г = 0 (40>

j-О V i-o /

Для произвольных значений индексов inj, каждое уравнение системы (40) линейно относительно искомых коэффициентов разложений при степенях inj начальной радиальной координаты и величины формоизменения в полюсе оболочки, и не содержит коэффициентов при больших степенях независимых переменных. Последовательным решением систем (40), определим зависимость коэффициентов искомых разложений (35)-(38) от величин давлений р2 и Др= р^-рг, приложенных к поверхности оболочки:

1пл(-.,г,А,др) = Ь/Ц м + я 5Х1)(Й>дР)'-< и

"7" { (41)

ас I оо Л

>-1 V1-0 )

При построении решений предполагалось, что в момент выхода в пластическую область оболочка имеет форму сферы с радиусом кривизны много большим радиуса оболочки, и интенсивность напряжений достигает предела упругости во всей точках среды.

На границе оболочки выполняется условие шарнирного опирания:

1пЛ(*0,Лр,Д) = Л<? (Др)дО^ = О (42)

Уравнение (42) в каждый момент процесса деформирования, который характеризуется величиной формоизменения в полюсе , для оболочки с известными свойствами и заданным законом формоизменения в полюсе (40) позволяет определить разность нагрузок Ар, приложенных к лицевым поверхностям оболочки и построить зависимость Ар = Ар (з0). Чтобы описать изменение деформированного состояния (41) в масштабе

физического времени, необходимо проинтегрировать закон (39) и определить зависимость s0 = s0 (i).

Процедура определения напряженно-деформированного состояния в оболочке вращения переменной начальной толщины для различных законов деформационного и скоростного упрочнения материала реализована в среде аналитических вычислений Maple 9.5.

В работе приведены результаты ряда численных экспериментов по обратимому и необратимому деформированию оболочек вращения. Число членов ряда в решениях подбиралось таким образом, чтобы погрешность на границе оболочки не превышала 1%. Оценка погрешности осуществлялась непосредственной подстановкой полученных частных решений в исходные уравнения.

Проведено сравнение результатов деформирования упругой физически нелинейной безмоментной оболочки с результатами, полученными в работах А. Грина и Дж. Адкинса.

7 6 5 4 3 2

О 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Результаты, полученные Грином А. Результаты расчетов физически

нелинейной оболочки

Рис. 2. Распределение по радиусу относительных удлинений срединной поверхности оболочки Л^ (сплошная линия) и

Результаты расчетов с использованием физически нелинейных соотношений удовлетворительно повторяют результаты, полученные А. Грином. Так как оценка точности полученных А. Грином решений не проводилась, то расхождение в результатах при приближении к краю оболочки может быть вызвано накопленной в его решениях погрешностью.

Проведен ряд численных экспериментов по деформированию упругой оболочки с целью установления влияния физической нелинейности материала на деформированное состояние и зависимость Др(Л0). Физическая нелинейность свойств материала описывается соотношением (9). Для физически нелинейного материала с константами:

с = 0, а = Ю = 2 • 103 Па и геометрически нелинейного материала на рис. 3 приведена зависимость давления от относительного удлинения в полюсе оболочки Др(Л0).

Ар 2000

1600

ч6-т V

---

1.2

1.4

Рис. 3. Зависимость Ар (Л0 ) для геометри- Рис- Профили срединной поверхности фн-

, „ , знчески и геометрически нелинейной

чески и физически нелинейных оболочек . . ,

(сплошная линия) оболочек

Из полученных результатов следует, что для деформирования физически нелинейной оболочки требуется большее внешнее давление чем для геометрически нелинейной. На устойчивой стадии процесса в физически нелинейной оболочке достигнуты большие величины деформаций.

Проведен ряд численных экспериментов по пластическому и сверхпластическому деформированию оболочки с целью оценить влияние эффекта сверхпластичности на напряженно-деформированное состояние и, в первую очередь, на приобретаемую раз-нотолщинность. Свойства материала оболочки моделируются выражениями (12)-(15) со значениями констант: г„ = 7 МПа, г, = 8 МПа, т0 = 0.33, ¿„ = 0.03 с"1.

1 Й др> ю3Па

),6 0.8 1

0.1 0.2 0.3 0 4 0 5 0.6

Рис. 5. Утонение упругопластнческой и сверхпластической (сплошная линия) оболочки

Рис. 6. Изменение давления при деформировании сверхпластической оболочки

Скорость формоизменения в полюсе поддерживалась постоянной и равной скорости сверхпластичности материала. На рис. 5. представлено распределение по радиусу утонения оболочки. Сплошной линией выделено решение, соответствующее материалу со сверхпластическими свойствами.

Из результатов следует, что упругопластическая оболочка в окрестности границы практически не испытывает деформаций, а утонение локализуется в полюсе. Эффект сверхпластичности обеспечивает значительную, по сравнению с упругопластическим материалом, равномерность деформирования и позволяет достичь величины формоизменения в полюсе = 0.6 с разнотолщинностью не более 30%. Наибольшая равномерность деформаций при постоянной скорости формоизменения в полюсе реализуется на начальной стадии процесса. С развитием процесса деформирования, скорость формоизменения на границе оболочки падает.

Проведен ряд численных экспериментов по сверхпластическому деформированию оболочки с переменной начальной толщиной. Для оболочки, начальная толщина

которой распределена по радиусу оболочки следующим образом: к0 =

на рис. 7. приведено утонение в некоторые моменты процесса деформирования. Решение поводилось для постоянной скорости формоизменения в полюсе, равной скорости сверхпластичности материала.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Рис. 7. Утонение оболочки переменной толщины.

Начальная разнотолщинность оболочки позволяет обеспечить равномерность деформаций на всем процессе деформирования и достигнуть величины формоизменения в полюсе э0 = 0.8 с разнотолщинностью 10%.

Основные результаты и выводы.

1. Поставлена задача определения напряженно-деформированного состояния в осесимметрично деформируемой оболочке вращения, материал которой проявляет нелинейные упругие, упруговязкопластические и сверхпластические свойства

2. Разработана процедура определения характеристик напряженно-деформированного состояния оболочки в виде рядов по степеням независимых переменных. Реализация ее в среде аналитических вычислений Maple 9.5 позволила получить приближенные аналитические решения поставленных задач на устойчивой и неустойчивой стадии процесса деформирования осесимметричной оболочки.

3. На основании полученных решений оценен вклад в напряженно-деформированное состояние физической нелинейности упругих свойств материала оболочки. Установлено, что физическая нелинейность свойств материала увеличивает диапазон устойчивых деформаций.

4. Численные эксперименты по необратимому деформированию оболочки показали, что эффект сверхпластичности оказывает существенное влияние на распределение напряжений и деформаций. При постоянной скорости формоизменения в полюсе, нелинейно-вязкие эффекты позволяют снизить неравномерность деформаций и до некоторого момента предотвращать их локализацию в полюсе. В частности, в сверхпластической оболочке могут быть достигнута величина формоизменения в полюсе sa = 0.6 при разнотолщинности менее 30%. Учет деформационного упрочнения материала не вносит существенного уточнения в решение.

5. Численные эксперименты по деформированию оболочек переменной толщины показали, что в оболочках, толщина которых уменьшается от полюса к краю, достигается значительная равномерность деформаций на всем процессе формоизменения. В частности, для оболочки с начальной толщиной

ft„(7O = 0.0LR(l-ry4), величина деформаций в полюсе s0 =0.8 может быть

достигнута при разнотолщинности 10%.

Содержание работы отражено в следующих публикациях:

1. Кудряшов A.B. Конечное деформирование упруговязкопластической с сверхпластической оболочки переменной толщины. //Изв. ТулГУ, Сер. Математика. Механика. Информатика, 2004, Т.10, Вып. 3 С.98-111.

2. Кудряшов A.B. Влияние эффекта сверхпластичности на процесс конечного деформирования оболочки с начальным локальным утонением. //Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Второй Всероссийской научной конференции. Часть I, Самара 2005 С.174-176.

3. Кудряшов A.B. Конечные деформации упругой мембраны. //Изв. ТулГУ, Сер. Математика. Механика. Информатика, 2005, T.l 1, Вып. 2 С.103-115.

4. Кудряшов А.В. Конечные упругие деформации тонкой оболочки вращения при произвольных кинематических граничных условиях //Изв. ТулГУ, Сер. Механика деф. тв. тела и обработка металлов давлением, 2005, Вып. 2 С.141-147.

Кудряшов A.B. Автореферат

Изд.лиц. JIP № 020300 от 12.09.97. Подписано в печать 25.05.2006 г. Формат бумаги 70x100 те . Бумага офсетная Усл. печ. л. 11. Уч.-изд. л. 1. Тираж 100 экз. Заказ 89.

Тульский государственный университет 300600, г. Тула, просп. Ленина, 92.

Отпечатано в Издательстве ТулГУ 300600, г. Тула, ул. Болдина, 151.

Введение

Обзор литературы

ГЛАВА I. МОДЕЛИ ОБРАТИМОГО И НЕОБРАТИМОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ МАТЕРИАЛОВ.

§ 1. Меры напряжений и деформаций, используемые при опи- 13 сании процессов конечного деформирования.

§ 2. Модели упругого деформирования.

§ 3. Модель упруговязкопластического и сверхпластического 30 деформирования материалов.

ГЛАВА II. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ КОНЕЧНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ.

§ 4. Кинематика деформирования оболочки вращения.

§ 5. Уравнения движения оболочки под действием нормально 49 приложенных нагрузок.

§ 6. Постановка задачи конечного деформирования упругой оболочки.

§ 7. Постановка задачи упруговязкопластического и сверхпла- 64 стического деформирования оболочки.

ГЛАВА III. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ И РЕЗУЛЬТАТЫ

§ 8. Определение напряженно-деформированного состояния упругой оболочки.

§ 9. Определение напряженно-деформированного состояния упруговязкопластической и сверхпластической оболочки.

§ 10. Анализ полученных результатов.

Исследования поведения материалов в широком диапазоне деформаций и температур представляют большой интерес, определенный в первую очередь возможными практическими приложениями. Актуальность этого направления механики сплошной среды обусловлена необходимостью получения изделий с заранее определенными свойствами, исследования в этой области непосредственно связаны с вопросами точности и экономичности технологических процессов обработки металлов и их сплавов. Широкое распространение в нашей стране и за рубежом получили процессы обработки металлов давлением с использованием эффекта сверхпластичности, который позволяет достичь значительных величин пластических деформаций (порядка 1000%) при действии сравнительно малых нагрузок.

Сверхпластичностью называется способность материалов к значительным и равномерным деформациям при определенных температурных и скоростных условиях. Явление сверхпластичности характеризуется следующими основными признаками: повышенной чувствительностью напряжения материала к скорости деформирования, чрезвычайно большим ресурсом деформационной способности и низким пределом текучести, значительно меньшим, чем в «обычном» состоянии. Однако только лишь комбинация этих признаков не определяет сверхпластичность. Необходимым условием реализации сверхпластического состояния материала является его специфическая структура - так называемая структурная сверхпластичность, либо состояние, близкое к фазовому превращению. Исследованию микроструктуры среды, определяющей эффект сверхпластичности, посвящено большое число работ по материаловедению. Значительные результаты достигаются при использовании сверхпластичности в процессах обработки давлением труднодеформируемых и малопластичных металлов и сплавов, обработка которых стандартными средствами не представляется возможной, а также при получении деталей особо сложных форм.

Открытие явления сверхпластичности и первые исследования в этой области связаны с именами A.A. Бочвара и З.А. Свидерской. Начиная с 50-х годов прошлого столетия, сверхпластическое состояние наблюдалось у большого числа металлов и сплавов, а также в керамических и других неметаллических материалах, что позволяет говорить о сверхпластичности, как о «естественном» состоянии материала с определенной структурой. Исследованиям физических аспектов данного явления, в первую очередь исследованию структуры материалов в состоянии сверхпластичности и способов подготовки материалов к сверхпластическому деформированию посвящено подавляющее число работ в этой области. Основные результаты связаны с именами Я.М. Охрименко, О.М. Смирнова, O.A. Кайбышева, A.C. Тихонова, B.C. Горбунова, В.О. Гука и т.д., а также с работами зарубежных ученых: У. Бэкофена, Д. Филдса, Ф.Джовани, Р.Джонсона, Дж. Корнфилда, Д.Холта.

Использование явления сверхпластичности в технологических процессах требует развития феноменологических подходов его описания, построения адекватных определяющих соотношений, моделирующих процессы конечного деформирования упруговязкопластических сред и получения решений конкретных задач с их использованием. При моделировании технологических процессов сверхпластического деформирования широко используется модель нелинейно-вязкой жидкости, равнозначная ей модель установившейся стадии ползучести, а также модель трехмерного течения материала в состоянии сверхпластичности, предложенная О.М.Смирновым.

Фундаментальные теоретические разработки в области вязкопластического течения материалов связаны с классическими работами A.A. Ильюшина, Ю.Н. Работнова, А. Надаи, В. Рейнера, В. Прагера. Разработке моделей сред, описывающих поведение материала в широких диапазонах скоростей деформаций и температур и постановке задач для конечных упругопластических деформаций, посвящены работы J1.A. Толоконникова, O.J1. Толоконникова, P.A. Васина, A.A. Маркина, А.Е. Гвоздева, В.Ф. Астапова, П.В. Трусова.

Явление сверхпластичности нашло широкое применение в технологических процессах, особенно в процессах газостатической формовки листовых заготовок. Данная работа направлена на описание процесса конечного квазистатического деформирования начально плоской оболочки вращения под действием нагрузок, приложенных по нормали к ее лицевым поверхностям для широкого диапазона свойств материала.

Научная новизна работы.

1. Поставлена задача определения напряженно-деформированного состояния оболочки вращения, свойства материала которой при необратимом деформировании описываются дифференциально-нелинейными соотношениями, учитывающими эффект сверхпластичности.

2. Получено приближенное аналитическое решение поставленной задачи; определено напряженно-деформированное состояние в оболочке как на устойчивой, так и неустойчивой в смысле уменьшения нагрузок с ростом деформаций, стадиях процесса деформирования.

Теоретическая ценность работы состоит в разработанной математической модели процесса конечного деформирования оболочки вращения, материал которой проявляет существенно нелинейные реологические свойства.

Практическая ценность. Полученные решения моделируют технологический процесс газостатической формовки листовых заготовок на стадии свободной формовки.

Работа выполнена в рамках гранта поддержки научно-исследовательской работы аспирантов, шифр А04-2.10-722 и гранта РФФИ «Разработка методов математического моделирования процессов обработки давлением и резанием на основе соотношений, определяющих свойства металлических материалов в широком диапазоне термомеханических воздействий» (№ 04-01-96700).

Достоверность полученных результатов обоснована следующим: 1. модели деформируемых сред, использованные в постановке задачи, основаны на теории процессов A.A. Ильюшина, достоверность постулатов которой подтверждена экспериментально;

2. приближенные аналитические методы построения решения позволяют получить результат с любой заданной степенью точности, а также оценить погрешность каждого полученного частного решения;

3. проведено сравнение полученных решений с решениями других авторов и результатами экспериментов.

Апробация работы.

Основные результаты работы представлены на научном семинаре по механике деформируемого твердого тела им. Л.А. Толоконникова (Тула, 2006 г.), на международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Тула, 2005 г.), на Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2005 г.)

Публикации.

Основные результаты диссертационной работы представлены в 4 статьях и тезисах [49, 50, 51, 52, 53].

В первой главе диссертации рассмотрена кинематика процессов конечного деформирования, модели упругих сред, учитывающие физическую нелинейность свойств материала, и упруговязкопластическая модель, позволяющая описать сверхпластические свойства среды.

Во второй главе диссертационной работы рассмотрена кинематика процессов конечного деформирования оболочек вращения в рамках обобщенной гипотезы Кирхгофа-Лява, полагая растяжение-сжатие нормального к срединной поверхности материального волокна равномерным. Записаны уравнения движения оболочки под действием нагрузок, приложенных по нормали к срединной поверхности.

Поставлена задача определения напряженно-деформированного состояния в упругой оболочке вращения для различных моделей обратимо деформируемых сред и различных условий закрепления на границе.

Поставлена задача определения напряженно-деформированного состояния в упруговязкопластической оболочке вращения с переменной начальной толщиной, материал которой проявляет сверхпластические свойства. Рассмотрено безмоментное напряженно-деформированное состояние пластической оболочки.

В третьей главе рассмотрена процедура, позволяющая приближенно аналитически определить напряженно-деформированное состояние в оболочке, материал которой проявляет нелинейные упругие, упруговязкопластические и сверхпластические свойства. Характеристики напряженно-деформированного состояния представляются в виде рядов по начальной радиальной координате и длине дуги траектории формоизменения в полюсе оболочки. Рассматриваемая процедура позволяет определить напряжения и деформации в оболочке как на устойчивой, так и на неустойчивой, в смысле уменьшения величины прикладываемой нагрузки с ростом деформаций, стадии процесса деформирования.

Рассмотренная процедура реализована в среде аналитических вычислений Maple 9.5. На основании численных экспериментов проведена оценка влияния физической нелинейности упругих свойств материала на величину нагрузок, необходимых для реализации заданной деформации в полюсе оболочки, а также влияние эффекта сверхпластичности, начальной геометрии оболочки и режимов деформирования на приобретаемую в процессе деформирования разнотолщин-ность.

В заключении кратко сформулированы основные полученные в работе результаты.

Объем и структура работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографического списка. Объем диссертации 140 листов. Работа содержит 35 рисунков и библиографический список из 112 наименований.

Выводы к третьей главе.

1. Разработана процедура, позволяющая в приближенно аналитически определить характеристики напряженно-деформированного состояния в оболочке, материал которой проявляет нелинейные упругие свойства, а также существенно нелинейные вязкие свойства при необратимом деформировании.

2. Исследовано влияние физической нелинейности упругих свойств материала оболочки на величину устойчивой стадии процесса деформирования и форму профилей срединной поверхности. Установлено что физически нелинейная оболочка проявляет большую жесткость. Диапазон устойчивых деформаций при этом изменяется сложным образом.

3. Исследовано влияние реологических свойств материала, режимов деформирования и начальной разнотолщинности оболочки на утонение оболочки в процессе деформирования. Определены законы изменения прикладываемых давлений, позволяющие реализовать заданный закон формоизменения в полюсе оболочки.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В заключение отметим основные полученные в работе результаты.

1. Поставлена задача определения напряженно-деформированного состояния в осесимметрично деформируемой оболочке вращения, материал которой проявляет нелинейные упругие, упруговязкопластические и сверхпластические свойства.

2. Разработана процедура определения характеристик напряженно-деформированного состояния оболочки в виде рядов по степеням независимых переменных. Реализация ее в среде аналитических вычислений Maple 9.5 позволила получить приближенные аналитические решения поставленных задач на устойчивой и неустойчивой стадии процесса деформирования осесимметричной оболочки;

3. На основании полученных решений оценен вклад в напряженно-деформированное состояние физической нелинейности упругих свойств материала оболочки. Установлено, что для деформирования физически нелинейной оболочки, свойства которой описываются соотношением (1.52), требуется большее внешнее давление, чем для оболочки из неогуковского материала, таким образом, физически нелинейная оболочки проявляет большую жесткость. Физическая нелинейность свойств материала увеличивает диапазон устойчивых деформаций, в частности для значений констант b = Gj2, с = 0, оболочка остается устойчивой, если Яа < 1.8, в то время как для неогуковского материала устойчивая область ограничена величиной деформаций в полюсе Яа = 1.6.

4. Численные эксперименты по необратимому деформированию оболочки показали, что эффект сверхпластичности оказывает существенное влияние на распределение напряжений и деформаций. При постоянной скорости формоизменения в полюсе, нелинейно-вязкие эффекты позволяют снизить неравномерность деформаций и до некоторого момента предотвращать их локализацию в полюсе. В частности, в сверхпластической оболочке могут быть достигнута величина формоизменения в полюсе sa = 0.6 при разнотолщинности менее 30%. Учет деформационного упрочнения материала не вносит существенного уточнения в решение.

5. Численные эксперименты по деформированию оболочек переменной толщины показали, что в оболочках, толщина которых уменьшается от полюса к краю, достигается значительная равномерность деформаций на всем процессе формоизменения. В частности, для оболочки с начальной толщиной ha (г) = O.OLfi^l - г2/4), величина деформаций в полюсе s0 = 0.8 может быть достигнута при разнотолщинности 10%.

1. Белл Дж.Ф. Экспериментальные основы механики деформируемых твердых тел. Часть II. Конечные деформации / пер. с англ./ под. ред. А.П. Филина. -М.: Наука, 1984.-432 с.

2. Бабенко В.И., К устойчивости нелинейно упругих пологих сферических оболочек при внешнем давлении. //Доповцц Нац. Акад. Наук Украши. №3. 1996, С.39-43.

3. Бабенко В.И., Кошелев В.М., Аведян В.Ш. К экспериментальному исследованию закритических равновесных состояний пологих, эллиптически пара-боидальных оболочек при внешнем давлении. // Доповщ1 Нац. Акад. Наук Украши. №8.2000, С.48-51.

4. Баренблатт Г.И. Изотермическое распространение шейки в полимерах // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1972. № 6. С. 96-104.

5. Баренблатт Г.И. О распространении шейки при растяжении полимерных образцов // Прикл. математика и механика. 1964. Т.28. № 6. С. 1048-1060.

6. Бочвар A.A., Свидерская З.А. Сверхпластичность сплава Zn-22%A1 // Изв. АН СССР ОНТ, 1945, №9 С. 821-824.

7. Бриджмен Б. Исследование больших пластических деформаций и разрыва. М.: Изд-во иностр. лит., 1955.

8. Бровко Г.Л. Понятие образа процесса и пятимерной изотропии свойств материалов при конечных деформациях. ДАА. 1989. Т. 308, №3. С. 565-570.

9. Быков Л.Д. О некоторых методах решения задач теории пластичности // Упругость и неупругость: Сб.науч.тр. М.: Изд-во МГУ, - 1975. - № 4. - С. 119139.

10. Бычков A.A. Карпинский Д.Н. Численный анализ условий образования шейки в растягиваемом стержне из термовязкопластичного материала. // ПМТФ. 1998. Т39. №4. С. 174-179.

11. Васин P.A. Некоторые вопросы связи напряжений и деформаций при сложном нагружении // Упругость и неупругость: Сб.науч. тр. М.: Изд-во МГУ, - 1971.-Вып. I-C.59-126

12. Васин P.A., Еникеев Ф.У. Введение в механику сверхпластичности: В 2 ч. Уфа: Гилем, 1998.4.1. 280 с.

13. Галимов К.З. К нелинейной теории тонких оболочек типа Тимошенко // Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела. 1976. №4. С.155-166.

14. Гвоздев А.Е. Роль структурных несовершенств при сверхпластичности гете-рофазных систем, ТулГУ, Тула, 1997 82 с.

15. Гвоздев А.Е., Маркин A.A., Термомеханика упруговязкопластического конечного деформирования. // Изв. РАН, МТТ, 1998, №6 С.115-121.

16. Глаголева М.О., Маркин A.A., Матченко Н.М., Трещев A.A. Свойства изотропных упругих материалов. // Изв. Тул. гос. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. Вып. 2. 1998. С.15-19.

17. Головина Л.Г., Шкутин Л.И. Двойная аппроксимация конечных деформаций оболочки // ПМТФ, 1996, Т.37, № 3, С.145-150.

18. Гольденвейзер A.JI. Алгоритмы асимптотического построения линейной двумерной теории тонких оболочек и принцип Сен Венана // Прикл. мат. и мех. 1994. Т58. Вып. 6. С.96-108

19. Гольденвейзер A.JI. Граничные условия в двумерной теории оболочек. Математический аспект вопроса // Прикл. мат. и мех. 1998. Т62. Вып. 4. С.664-677.

20. Гольденвейзер A.JI. Исследование напряженного состояния сферической оболочки //ПММ. 1994. Т8. Вып.6. С.441-467

21. Гольденвейзер A.JI. О внутреннем и краевом расчетах тонких упругих тел // ПММ. 1995. Т59. Вып.6. С.441-467

22. Гольденвейзер A.JI. О приближенных методах расчета тонких упругих оболочек и пластин. // Изв. РАН, МТТ, 1997, №3 С136-149.

23. Гольденвейзер A.JI. Об оценках погрешности классической теории тонких упругих оболочек // Изв. РАН, МТТ, 1996, №4 С145-158.

24. Горшков А.Г., Рабинский Л.Н., Д.В. Тарлаковский Д.В. Основы тензорного анализа и механика сплошной среды: Учебник для вузов. М.:Наука, 2000. -214с.

25. Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М.: Мир, -1965.456 с.

26. Ивлев Д.Д., Быковцев Г.И. Теория упрочняющегося пластического тела. -М.: Наука, 1971.-231 с.

27. Ивлев Д.Д.,Теория идеальной пластичности. М.: Наука, - 1966. - 231 с.

28. Ильюшин A.A. Механика сплошной среды. М.: Изд-во МГУ, 1990. 310 с.

29. Ильюшин A.A. Механика сплошной среды: Учебник для Университетов. -2-е изд., перераб. и дополн. М.: Изд-во МГУ, 1978. 287 с.

30. Ильюшин A.A. Некоторые вопросы теории пластических деформаций. /ЯТММ, 1943, T. VII, С.245-272

31. Ильюшин A.A. Пластичность. Упруго-пластические деформации. М.: Гос. издание технико-теоретической литературы. 1948.

32. Ильюшин A.A. Пластичность: Основы общей математической теории. М.: Изд-во АН СССР, - 1963. - 272 с.

33. Ильюшин A.A. Труды. Т.1. (1935 1945) - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 352 с.

34. Ильюшин A.A., Зубчанинов В.Г. Пластичность и устойчивость // Механика деформируемого твердого тела: Сб.научи.тр./Тульский лслитехн.ин-т. Тула: Изд-во ТулПИ, - 1983. - С.6-21.

35. Исследования в области пластичности и обработки металлов давлением. Сб. науч. тр. /Отв. Ред. С.П. Яковлев, ТулПИ, 1987 196 с.

36. Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001,2003. - 704 с.

37. Кабриц С.А., Михайловский Е.И., Товстик П.Е., Черных К.Ф., Шамина В.А. Общая нелинейная теория упругих оболочек. СПб.: Изд-во С.-Петерб. унта, 2002. 388 с.

38. Кайбышев O.A. Пластичность и сверхпластичность металлов. М.: Металлургия, 1975-279 с.

39. Кайбышев O.A. Сверхпластичность промышленных сплавов. М.: Металлургия, 1984-264 с.

40. Карнеев C.B., Беляев В.В., Зыбин В.Г. Расчет оболочек с учетом механических свойств материалов. — В кн.: Исследования в области пластичности иобработки металлов давлением. Тула, ТЛИ, 1983, с. 152 154.

41. Карнеев C.B., Маркин A.A. Расчет упруго-пластического состояния оболочек методом конечных элементов. В кн.: Исследования в области пластичности и обработки металлов давлением. Тула, ГНИ, 1980, с.36 - 40.

42. Карнеев C.B., Толоконников JI.A., Маркин A.A. МКЭ в расчетах физически нелинейных оболочек. В кн.: Нелинейная теория оболочек и пластин: Тез. Докл. Всесоюзного симпозиума. Казань, 1980, с.45 -46.

43. Карнеев C.B., Усов C.B., Шелобаев С.И. Неустойчивость в процессах обработки давлением. В. кн.: Устойчивость в механике деформируемого твердого тела: Тез. докл. II Всесоюзн. Симпозиума. Калинин, 1986, с. 27-30.

44. Качанов JI.M. Основы теории пластичности. М.: Наука. Главная редакция физико - математической литературы, 1969, -420 с.

45. Каюк Я.Ф. Геометрически нелинейные задачи теории пластин и оболочек. Киев: Наукова думка, 1987.208 с.

46. Кпюшников Д.В. Математическая теория пластичности. М.: Изд-во моек, ун-та, 1979.-208 с.

47. Кпюшников Д.В. Устойчивость упругопластических систем. М.: Наука, -1980. - 240 с.

48. Колмогоров B.JI. Механика обработки металлов давлением. М.: Металлургия, - 1986. - 638 с.

49. Кудряшов A.B. Конечное деформирование упруговязкопластической с сверхпластической оболочки переменной толщины. //Изв. ТулГУ, Сер. Математика. Механика. Информатика, 2004, Т. 10, Вып. 3 С.98-111.

50. Кудряшов A.B. Влияние эффекта сверхпластичности на процесс конечного деформирования тонкой оболочки вращения переменной толщины. //Тезисы докладов международной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики», Тула, 2004.

51. Кудряшов A.B. Конечные деформации упругой мембраны. //Изв. ТулГУ, Сер. Математика.Механика.Информатика, 2005, Т.11, Вып. 2 С. 103-115

52. Кудряшов A.B. Конечные упругие деформации тонкой оболочки вращения при произвольных кинематических граничных условиях //Изв. ТулГУ, Сер. Механика деф. тв. тела и обработка металлов давлением, 2005, Вып. 2 С.141-147

53. Куклина О.В., Марголин Б.З. Физико-механическая модель разрушения при ползучести//Проблемы прочности. 1990. №10. С.23-29.

54. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука. Главная редакция физико - математической литературы, 1980, -512 с.

55. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970, 939.

56. Ляв.А. Математическая теория упругости / Пер. с 4-го англ. изд. М.; Л.; ОНТИ, 1935.674 с.

57. Маркин A.A. Нелинейная теория упругости: Учебное пособие Тул. гос. ун-т. - Тула. 2000. - 72с.

58. Маркин A.A. О различных типах тензоров и выборе их производных // Материалы Всероссийской конференции по чистой и прикладной математике. ТулПИ. Тула, - 1988. - С. 15-17.

59. Маркин A.A. Термомеханика процессов упругопластического и сверхпластического деформирования металлов // ПМТФ. 1999, Т.40, №5 С164-172.

60. Маркин A.A., Оленич С.И. О связи между процессом внешнего нагружения и его образом в пространстве Ильюшина при конечных деформациях // Пробл. Прочности. 1999. №2. С.85-93.

61. Маркин A.A., Толоконников Л.А. Меры и определяющие соотношения конечного упругопластического деформирования // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Методы решения: Всесоюзн. межвуз.сб. / Горьк.гос.ун-т. Горький, - 1987. - С.32-37.

62. Маркин A.A., Толоконников Л.А. Меры процессов конечного деформирования // Известия Северо-Кавказского научного центра высшей школы. Естественные науки. 1987. - № 2. - С. 49-53.

63. Маркин.А.А. Об изменении упругих и пластических свойств при конечном деформировании. //Изв. АН СССР, МТТ, 1990, №2 С. 120-126.

64. Маркин.А.А. Теория процессов А.А. Ильюшина и термомеханика конечного равновесного деформирования. // Упругость и неупругость.

65. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. Т.2. Пер. с англ. /Под ред. Г.С. Шапиро. М.Мир, 1969 864 с.

66. Наймарк О.Б., Ладыгин О.В. Неравновесные кинематические переходы в твердых телах как механизмы локализации пластической деформации // ПМТФ. 1993. Т34. №3. С.147-154.

67. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек: 2-е изд. Л. Судпромгиз, 1962. 30с.

68. Новожилов В.В. О связи между напряжениями и деформациями в нелинейно-упругих телах // Прикладная математика и механика. 1951. - Т.15. - № 2. -С. 183-194.

69. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. М.:Гостехиздат, 1948.211 с.

70. Новожилов В.В. Теория упругости. Л.:Судпромгиз, 1958. 369 с.

71. Новожилов В.В., Черных К.Ф., Михайловкий Е.И. Линейная теория тонких оболочек. Л.:Политехника, 1991. 656 с.

72. Охрименко Я.М., Смирнов О.М. Эффект сверхпластичности и перспективы его использования в обработке металлов давлением. М.Машиностроение, 1971.81 с.

73. Панченко Е.В. Селедкин Е.М. Пневмоформовка листовых заготовок в режиме сверхпластичности. Решение технологических задач: Монография; Тул. гос. ун-т. Тула, 2004. - 304 с.

74. Панченко Е.В., Селедкин Е.М. Влияние скоростного упрочнения на изменение толщины изделий при пневмоформовке // Механика деформируемого твердого тела и обработка металлов давлением. Часть 2. Тула, ТулГУ. 2002. - С. 82-86.

75. Панченко Е.В., Селедкин Е.М. Моделирование процесса пневмостатиче-скойформовки листовых заготовок в матрице // Механика деформируемого твердого тела и обработка металлов давлением. Часть 2. Тула, ТулГУ.2002.-С. 153-159.

76. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу.-М.:Изд-во МГУ, 1974. - 206с.

77. Погорелов A.B. Геометрические методы в нелинейной теории упругих оболочек. М.Наука, 1967. 279 с.

78. Погорелов A.B. К теории выпуклых упругих оболочек в закритической стадии Харьков. 1960. - 78 с.

79. Поздеев A.A., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упруго-пластические деформации: теория, алгоритмы, приложения. М.: Наука, 1986. - 231 с.

80. Пресняков A.A. Сверхпластичность металлов и сплавов. Алма-Ата, Наука 1969,203 с.

81. Пэжина П. Основные вопросы вязкопластичности. М.:Мир, 1968. - 175 с.

82. Рыбин В.В. Большие пластические деформации и разрушение металлов. М.: Металлургия, 1986.

83. Седов Л.И. Введение в механику сплошных сред. М.: Физматгиз, 1962.284с.

84. Селедкин Е.М., Панченко Е.В., Зотов A.C. Управление утонением стенок при газостатической формовке деталей из листа // Изв. ТулГУ. Сер. Механика деформируемого твердого тела и обработка металлов давлением. -Вып.1. Тула, ТулГУ. 2003. - С. 143-147.

85. Смирнов О.М. Обработка металлов давлением в состоянии сверхпластичности. М.: Машиностроение, 1979, - 184с., ил.

86. Соснин О.В., Горев Б.В. Ратничкин A.A. Закономерности деформирования металлов в режимах, близких к сверхпластичности. // Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела: Сб. науч. Тр. Свердловск: Изд-во АН СССР. Урал. Отд-ние, 1990. С. 41-52

87. Соснин О.В., Горев В.Б., Любашевская И.В. Высокотемпературная ползучесть и сверхпластичность материалов. // ПМТФ. 1997. Т38. №2. С.140-145.

88. Соснин О.В., Горев В.Б., Любашевская И.В. О некоторых особенностях высокотемпературного деформирования материалов.// ПМТФ. 1999. Т40. №6. С.152-156.

89. Тимошенко С.П., Войновский Кригер С. Пластины и оболочки. - М.: Наука, 1966, с. 635, ил.

90. Тихонов A.C. Эффект сверхпластичности металлов и сплавов. М.Наука, 1978-142 с.

91. Товстик П.Е. Осесимметричная деформация оболочек вращения из нелинейно упругого материала //Прикл. мат. и мех. 1997. №4 С.660-673.

92. Товстик П.Е. Устойчивость тонких оболочек. Асимптотические методы. М.:Наука, 1995. 320 с.

93. Толоконников J1.A. Механика деформируемого твердого тела: Учеб.пособие для втузов. М.: Высшая школа, 1979. - 318 с.

94. Толоконников JI.A. О связи между напряжениями и деформациями в нелинейной теории упругости // ПММ. 1956. - Т.20. - Вып.З. - С. 439-444.

95. Толоконников JI.A. Уравнения нелинейной теории упругости в перемещениях // ПММ. Вып7. - T.2I. - № 6. - С.815-822.

96. Толоконников JI.A., Маркин A.A. Определяющие соотношения при конечных деформациях // Проблемы механики деформируемого твердого тела. Межвузов, сб.трудов /Калинин.политех.ин-т. -Калинин: Изд-во КГУ, 1986., -С. 49-57.

97. Толоконников О.Л., Маркин A.A., Астапов В.Ф. Исследование процесса формоизменения деформируемого твердого тела //Работы по механике деформируемого твердого тела: Сб.науч.тр. /Тульск.политехн.ин-т. Тула: Изд-во ТулПИ, 1981. - С.50-54.

98. Толоконников О.Л., Маркин A.A., Астапов В.Ф. Исследование процесса формоизменения с учетом конечности деформаций //Прикладная механика. 1983. - XIX. - № 10. - С. 122-125.

99. Толоконников О.Л., Маркин A.A., Астапов В.Ф. Свойства материалов при конечном пластическом деформировании //Прочность материалов и элементов конструкций при сложном напряженном состоянии. Киев, 1986. - С. 237-239.

100. Трусов П.В. Постановка и алгоритм решения технологических задач упру-гопластичности при больших деформациях //Механика деформируемого твердого тела: Сб.науч.тр. /Тульск.политехн. ин-т. Тула: Изд-во ТулПИ, 1983.- С.135-142.

101. Циглер Г. Экстремальные принципы термодинамики необратимых процессов и механика сплошной среды. М.: Мир, 1966.

102. Черных К.Ф. Линейная теория оболочек. 4.2. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1964.396 с.

103. Черных К.Ф. Линейная теория оболочек. 4.1. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1962.274 с.

104. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. -Л.: Машиностроение, Ленингр. отд-ние, 1986, 336 е., ил.

105. Черных К.Ф., Шубина И.М. Законы упругости для изотропных несжимаемых материалов // Механика эластомеров. Краснодар, 1977, T.I. - С. 54-64.

106. Чумаченко Е.Н. Моделирование процесса деформирования оболочек из титановых сплавов в условиях пониженных температур сверхпластичности. // Изв. РАН, МТТ, 2004, №6 С. 151-166.

107. Чумаченко Е.Н., Чумаченко С.Е. Математическое моделирование режимов давления, обеспечивающих формоизменение нелинейно-вязких оболочек в условиях локальной реализации сверхпластического течения. // Изв. РАН, МТТ, 2000, №6 С.134-142.

108. Шаповалов Л.А. Об учете поперечного обжатия в уравнениях нелинейной динамики оболочек. // Изв. РАН, МТТ, 1997, №3 С. 156-168.

109. Cornfield G.C., Johnson R.H. The forming of superplastic sheet metal. International Journal of mechanical Science, 1970, v. 12, p. 479-490

110. Jovane F. An approximate analysis of the superplastic forming of a thin circular diaphragm: theory and experiment. International Journal of mechanical Science, 1968, №.6, p. 403-428

111. Holt D. An analysis of the building of a superplastic sheet by lateral pressure.- International Journal of mechanical Science, 1970, v. 12, p. 491-497.