Исследование устойчивости сжимаемых сложных сред тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

л а

У <1

на правах рукописи

Чеботарев Андрей Сергеевич

Исследование устойчивости сжимаемых сложных сред

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела.

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

Воронеж - 1596

Работа выполнена в Воронежском государственном университете. Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор А.Н. Спорыхин

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор А.Ф. Ревуженко

кандидат физико-математических наук, доцент А.И. Шашкин

Ведущая организация:

Российский университет Дружбы Народов

Зашита состоится 21 июня 1996 года в 10 часов на заседании диссертационного совета К 063.48.13 при Воронежском государственном университете по адресу: г. Воронеж, Университетская площадь, 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан 20 мая 1996 года

Ученый секретарь

диссертационного совета М.А. Артемов

Общая характеристика работы

Настоящая работа посвящена исследованию устойчивости деформирования сжимаемых упруговязкопластических сред в точной трехмерной постановке, постановке и решению отдельных задач устойчивости при однородных и неоднородных докритических состояниях; разработке численного алгоритма решения характеристических уравнений задач и выявлению влияния сжимаемости (в том числе необратимой), вязкости и других характеристик сред на критические параметры в рассмотренном классе задач при малых докритических деформациях.

Актуальность темы. Вопросы устойчивости деформирования сложных сред с учетом их сжимаемости в точной трехмерной постановке позволяют оценить с большей степенью точности значения критических параметров. При этом необходимость предсказания отказов различных конструкций из металлов, грунтов и т.п. требует разработки более сложных математических моделей. С этой точки зрения рассмотрение модели сложной среды, в которой учитывается дополнительное свойство - необратимая сжимаемость - обнаруживаемое у реальных физических тел, не может не представлять интерес. Естественно, возникает необходимость постановки задач устойчивости для принятой модели сжимаемого упруговязкопластического тела, обобщения известных методов решения и решение отдельных задач для конкретных материалов. В настоящее время нет универсальных аналитических методов решения задач устойчивости сжимаемого упруговязкопластического тела. Поэтому важное значение имеет разработка методов, дающих приближенное решение поставленных задач. Развитие исследований в этом направлении связано с именами: Ж.С.Акопьяна, М.Т.Алимжанова, И.Ю.Бабича, Т.А.Баклановой, В.В.Болотина, М.А.Био, А.Н.Гузя, Ж.С.Ержанова, Л.В.Ершова, Д.Д.Ивлева, А.А.Ильюшина, А.Ю.Ишлинского, В.Д.Клюшникова, Т.Г.Кулиева, И.Д.Легени, В.М.Назаренко, Р.В.Саусвела, А.Н.Спорыхина, Ю.В.Чигорева, А.И.Шашкина Н.Ю.Швайко, и др.

Диссертационная работа выполнена в соответствии с планом научно-исследовательских работ кафедры теоретической и прикладной механики Воронежского государственного университета в рамках темы "Разработка фундаментальных математических моделей и эффективных численных методов решения статических и динамических задач течения и деформирования сред сложной структуры" (код по ГАСНИТИ 50.53/08).

Цель работы заключается в развитии трехмерной линеаризированной теории устойчивости сжимаемых сложных сред модели Д.Д.Ивлева - А.Н.Спорыхина при малых докритических деформациях включая:

- представление математически корректной постановки задач устойчивости:

полосы, свободная поверхность, слоистые массивы, полупространство с полостью при сжатии; полупростанство с непрерывной неоднородностью, вертикальная скважина;

определение аналитическим путем напряженно-деформированного докритического состояния поставленных задач;

- получение с позиций ТТУ характеристических уравнений для определения критических параметров конструкций;

- разработку методов решения данных уравнений, и на их основе вычисление

критических параметров;

- проведение теоретического и численного анализа полученных решений и выявление характерных эффектов и явлений для конкретных материалов.

Научная новизна диссертационной работы состоит в том что для сжимаемого упрочняющегося упруговязкопластического тела модели Д.Д.Ивлева А.Н.Спорыхина на основе идей теории возмущений:

- получены статические линеаризированные задачи при малых докритических

деформациях;

- дана постановка задач устойчивости при однородных (прямоугольная плита

при сжатии, слоистые массивы, полупространство с полостью при сжатии) и неоднородных (полупространство с непрерывной неоднородностью, бурящиеся скважины) докритических состояниях;

- определено напряженно-деформируемое состояние, в невозмущенном состоянии, поставленных задач;

- получены характеристические уравнения, построен численный алгоритм их

решения и определена степень влияния характеристик среды (сжимаемости, вязкости, упрочнения и др.) на критические параметры для конкретных материалов.

Практическое значение. Полученные результаты могут быть использованы при определении напряженно-деформированного состояния горного массива около скважин, выработок, полостей при учете более широкого спектра физико-механических характеристик среды, что тем самым позволит снизить конструктивные характеристики проектируемых изделий.

Приведенные решения задач устойчивости могут быть использованы при выборе расчетных схем и проектировании задач механики горных пород и сейсмологии (бурящиеся скважины, полости, поверхностные явления и явления складкообразования в толще земной коры); для проведения мероприятий, обеспечивающих их безаварийную эксплуатацию, а также при расчете пластин и оболочек при малых деформациях.

Выявленные характерные эффекты, в частности дестабилизирующая роль вязкости и стабилизирующая роль необратимой сжимаемости, в рассмотренном классе задач, позволяют при проектировании правильно назначить прочностные нормы для конструкций, работающих под нагрузками. В теоретическом плане полученные выводы дополняют уже известные и способствуют более глубокому пониманию процессов, происходящих в сжимаемых упрочняющихся упруговязкопластических конструкциях при малых деформациях.

Построенный алгоритм численной реализации исследуемых задач может применяться к ряду смежных задач устойчивости конструкций при действии различных нагрузок.

Достоверность. Проведенные в диссертационной работе исследования базируются на корректной математической постановке задач устойчивости и их решении в рамках точных трехмерных уравнений. Численная реализация построенного алгоритма для поставленных задач устойчивости основана на методе конечных разностей, который широко применяется во многих задачах механики сплошных сред и показал достаточную эффективность. Правильность работы комплекса программ проверена путем решения тестовых задач. Выводы работы согласуются с общими физическими представлениями, а также согласуются с результатами других авторов (в частных случаях).

На защиту выносятся следующие основные результаты работы:

- развитие трехмерной линеаризированной теории устойчивости сжимаемых

упруговязкопластических сред модели Д.Д.Ивлева-А.Н.Спорыхина при малых докритических деформациях;

- решение класса задач при однородных (полоса, свободная поверхность, слоистые массивы, полупространство с полостью) и неоднородных (полупространство с непрерывной неоднородностью, вертикальная скважина) докритических состояниях;

разработка алгоритма численного решения поставленных задач устойчивости, как задач многомерной оптимизации;

графические зависимости критических параметров от геометрии конструкций для конкретных материалов;

- оценка влияния механических параметров: необратимой сжимаемости -стабилизирующая роль, вязкости и коэффициента Пуассона. -дестабилизирующая роль на величину критических характеристик.

Апробация работы. Основные результаты работы неоднократно докладывались и обсуждались на семинарах кафедры теоретической и прикладной механики Воронежского государственного университета в 1992-1995 гг. на научных сессиях Воронежского государственного университета 1993-1994 гг.; на школах, проводимых Воронежским государственным университетом совместно с Московским государственным университетом, Саратовским государственным техническим университетом, математическим институтом им. В.А.Стеклова в 1992-1995 гг. посвященных современным проблемам механики и математической физики.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 6 печатных работах.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав (13 параграфов), заключения и списка литературы, включающего 156 наименований. Работа содержит 117 листов машинописного текста, включая 16 рисунков.

Содержание работы

Во введении дан краткий обзор работ, касающихся темы диссертации, обоснована актуальность темы рассматриваемой работы и изложено краткое ее содержание.

Первая глава посвящена исследованию устойчивости деформирования сжимаемых упруговязкопластических сред при малых докритических деформациях.

Приведены соотношения, определяющие напряжено-деформированное состояние сжимаемой упрочнающейся упруговязкопластической среды модели Д.Д.Ивлева - А.Н.Спорыхина:

- уравнения равновесия в напряжениях: ~ ® (1)

- соотношения Коши, связывающие компоненты тензора деформаций и

вектора перемещений Ц ~ + (2)

- соотношения,связывающие полные деформации, упругие и пластические;

е„ = ееи + е^ (3,

где индекс "е" соответствует упругим а индекс "р" пластическим деформациям; -соотношения закона Гука, которым "подчиняются" упругие деформации:

* 1+ V V _ = (4)

Е - модуль упругости, V - коэффициент Пуассона;

- функция нагружения для сжимаемой упруговязкопластической модели с упрочнением принимается в виде:

(5)

Здесь а - скорость дилатансии, ~ _ первый инвариант тензора

напряжений, = С? у — — &№8у _ девиатор тензора напряжений, С

коэффициент упрочнения, еу ~ еу - девиатор тензора пластических

• р _ • р ^ * £ _ ^ { Р

деформаций, Т] - коэффициент вязкости, еу ~ еу ~ ~ еу

девиатор тензора скоростей пластических деформаций, К - предел текучести.

- скорости пластических деформаций на основании ассоциированного закона пластического течения определяем следующим образом:

«ЙР . Ж . 1 . . ^

--О ,, -I--О ,,---О м <?,.

3 да, * дБ у 4 ЪдЗк1 \

(6)

Здесь £ - некоторый положительный множитель. Из зависимости (6) следует, что ■Р - 1 е ^ -р _ 1 -Р

е\ ~ > где е' ~ 3 ~ первый инвариант тензора скоростей

пластических деформаций,

Таким образом, это соотношение определяет "ассоциированную" сжимаемость материала, связанную с возникновением в теле сдвиговых пластических деформаций.

Предположено, следуя работам Д.Д.Ивлева, что для тела определена

зависимость е? — <р{с 1) где ~ еаа - первый инвариант тензора

пластических деформаций.

Откуда, дифференцируя это соотношение по времени, получаем

¿Р = 4>(гг ^

1 ^^ 1 V 1 /1. Эта зависимость определяет сжимаемость материала,

но уже никак не связанную с формоизменением, а определяемую из экспериментов на всестороннее растяжение - сжатие.

С учетом этого связь между компонентами тензора скоростей пластических деформаций и напряжением будет принимать вид:

.р (\dF dF 1 дР 1 , ч

ег = £--5и +-о¡,---о ¡.¡оа + ЧЧет, )сг,д,,

" \Ъдах " дБц " 3 дБк1 к! и) К х} 1 *

(7)

- граничные условия в напряжениях: ^у^У — А (8)

(- компоненты вектора нормали) и граничные условия для перемещений

и,. =(9)

Соотношения (1.1.1) - (1.1.9) образуют замкнутую систему уравнений, когда все тело при нагружении находится в пластическом состоянии (первый тип задач). В случае задач, когда имеет место граница раздела зон упругого и пластического поведения материала при нагружении (второй тип задач), то необходимо дополнить (1.1.8), (1.1.9) условиями непрерывности векторов напряжений и перемещений на

упругопластической границе Г.

[о"Л]= 0; [«,.] = О (Ю)

Квадратные скобки здесь обозначают разность значений выражений соответствующих упругой и пластической областям.

Далее проведена линеаризация соотношений (1) - (10) и сформулированы задачи устойчивости в трехмерной постановке, исходя из второго варианта теории малых докритических деформаций. Исследование проведено в рамках динамического подхода при принятии обобщенной концепции продолжающегося

нагружения. Получено уравнение состояния для сжимаемой среды в зоне упруго-пластического деформирования в форме:

выполнимость которых, допускает применение статического метода. Предложен алгоритм поиска критической нагрузки для численной реализации задач устойчивости первого и второго типа, согластно которому, определение критических параметров линеаризированных задач сводится к многомерной минимизации соответствующего характеристического определителя.

Вторая глава посвящена решению ряда задач устойчивости сжимаемых упруговязкопластических тел при однородных докритических состояниях. Приведены решения уравнений линеаризированных задач первого типа для сжимаемых сложных сред в случае однородных докритических состояний. Решения получены операторным методом для плоской и пространственных задач устойчивости при квазистатическом подходе.

В рамках этого подхода дана постановка задач и исследовано: явление поверхностной неустойчивости полуплоскости при сжатии; неустойчивость прямоугольной полосы при сжатии; неустойчивость деформирования слоистых массивов при сжатии. Приведены результаты и дан анализ численного эксперимента.

На примере явления поверхностной неустойчивости установлено, что влияние необратимой сжимаемости и коэффициента Пуассона на величину критической силы значительно (5-7%). Вязкость оказывает дестабилизирующую роль, то есть увеличивает область неустойчивости (до 10%). Графические зависимости построены для конкретных материалов: сыпучие среды типа песка, гравия, а также материалов типа сталь 3 и медь. Установлено, что полученные значения критических нагрузок не реальны в рассмотренных пределах изменения параметров среды, следовательно явление поверхностной неустойчивости для рассмотренных материалов не будет наблюдаться.

рис 1

В рамках задачи о неустойчивости полосы при сжатии также установлена дестабилизирующая роль вязкости и стабилизирующая роль необратимой

н- 1

сжимаемости (рис. 1). Зависимость Рьр от геометрии пластины " ~ ~7 представлена

П

на рис. 1 кривыми 1-3, при следующих значениях параметров среды

с0 = 0.1, Ка = 0.1, v — 0.1, г)й = 0.01, при этом кривая 1 соответствует <2 = 0.1,

кривая 2 - а = 0.25, кривая 3 - а = 0.4. Пунктирная кривая соответствует

а — 0.25,77 = 0, при тех-же значениях у,с0,К0. Из сравнения кривых следует, что

пренебрежение вязкими свойствами среды приводит к значительному уменьшению зоны неустойчивости. Учет необратимой сжимаемости приводит к увеличению области устойчивости. Таким образом наличие вязкости при пластических деформациях уменьшает величину критической силы, а наличие скорости дилатансии при пластической деформации приводит к увеличению величины критической силы. Исследованы неустойчивость деформирования сжимаемых слоистых массивов. Получены характеристические определители в случае потери устойчивости первого и второго рода. Анализ численных результатов потери устойчивости первого рода показал, что увеличение жесткости слоев связующего приводит к увеличению критической нагрузки. Влияние других параметров среды, такое же как и в предыдущих задачах. Установлено, что потери устойчивости первого рода при выбранных параметрах среды не будет наблюдаться. Таким образом во второй главе дана постановка и развит метод решения ряда задач устойчивости деформируемых сжимаемых упруговязкопластических сред при однородных докритических состояниях и выявлены некоторые характерные механические эффекты.

- и-

Третья глава посвящена исследованию устойчивости задач при неоднородных докритических состояниях. В общем случае криволинейной системы координат, построены замкнутые системы уравнений первого и второго типа задач устойчивости. Приведены уравнения трехмерной теории устойчивости в цилиндрической системе координат. Рассмотрены задачи: неустойчивость полупространства в сжимаемом упруговязкопластическом грунте с непрерывной неоднородностью; неустойчивость полупространства с круговой цилиндрической полостью при сжатии, а также неустойчивость вертикальной скважины пройденной в массиве горных пород. Для первой и второй задач выведены характеристические уравнения. Для первой и третьей задач докритическое состояние найдено методом малого параметра. В качестве малого параметра принималась - СС - скорость дилатансии, что позволило в нулевом приближении получить задачи с известной моделью среды (несжимаемой, упрочняющейся, упруговязкопластической). Получено два приближения.

Решение задачи устойчивости вертикальной скважины выбрано в следующем виде, описывающем несимметричную деформацию:

где ш,п - параметры волнообразования.

Подстановка (12) в уравнения устойчивости приводит к краевой задаче

записанной в терминах функций А(г), В(г), С (г)

Уравнения равновесия:

и= А(г) созтвсозпг; v = В(г)$1х\твса%пг-, ■и» = С(г)со$т9втп2~,

(12)

А41 + А'д2 + з + В{4 + + С'£7 = 0;

А4г + + + В'<*и + 5%2 + с£13 = 0; А£и + А + В£16 + с£17 + + с"<г,9 = 0;

(13)

Граничные условия:

А420 + А'^ + В£13+Се2 з = 0; Ат + В-В'г = 0; Ап-С' = 0

Условия затухания возмущений при Т —> «з:

А(г) -> 0; В(г)-> 0; с(г)->0

Условия сопряжения на упругопластической границе Г:

[А£и + А'£и + В£36 + С£211т = 0;

1-А^ + В^ + В'^] |г=0; (15)

[-А£п + С'^2]\г= о

Иг)1г = 0; [5(г)]|г = 0; [С(г)]|г = 0

Коэффициенты есть известные функции

где КГ,К!. - геометрические характеристики и параметры среды соответственно.

Приближенное решение краевой задачи (13) - (15) строится методом конечных разностей. Замена производных функций разностными соотношениями приводит к замене дифференциальных уравнений разностными, решение которых в любой конечной области сводится к решению конечной системы алгебраических уравнений. Условием существования нетривиальных решений этой системы является равенство нулю характеристического определителя, построенного из коэффициентов разностной матрицы:

<Ц^(£4)]=0; /,7 = 1,.....ЗАГ (16)

здесь N - общее количество точек разбиения. Далее поиск критической нагрузки осуществлялся согластно алгоритму предложенному в первой главе.

Результаты вычислительного эксперимента представлены в виде графиков на рис. 2 - рис. 4 (скважина).

рис. 2

На рисунке 2 представлена зависимость противодавления на стенки скважины от гравитационного параметра q [при значениях У = 0.3 - кривые 1, 2, 3, а при значении v = 0.5 - кривые Г, 2', 3']. Кривые 1, Г соответствуют а = 0.1, кривые 2,

-132' соответствуют а - 0.4 , кривые 3, 3' соответствуют а = 0.8. При этом все £

кривые построены при Ю0> 7 о = 0-1 > со -0-1. С ростом гравитационного

параметра величина критического противодавления увеличивается. С ростом коэффициента Пуассона критическое противодавление значительно увеличивается -10%-15%.

<1

1.54

1.494-

ол

ОТ

а

рис. 3

На рис. 3 представлена зависимость критического значения гравитационного параметра для свободной выработки (значение нагрузки на "бесконечности", при которой свободная выработка начинает терять устойчивость) от скорости

Е

дилатансии. Кривая 1 соответствует = ~ а

кривая

2 соответствует 100, т]й — 0.001, с0 - 0.1; v— 0.3. Как следует

приведенных кривых вязкость оказывает дестабилизирующую роль, так как величина критической нагрузки при увеличении вязкости уменьшается.

1-001 1.2 1.4 1.'

<1

рис. 4

На рисунке 4 представлена зависимость радиуса упругопластической границы от гравитационного параметра для свободной выработки. Как следует из приведенного графика с ростом гравитационного параметра радиус упругопластической границы возрастает. С возрастанием скорости дилатансии радиус упругопластической границы возрастает. На рисунке 4 кривая 1 соответствует СС = 0.1, кривая 2 - ОС = 0.25, кривая 3 - а — 0.4 , кривая 4 -а = 0.55, кривая 5 - а. — 0.7 . При этом принималось:

— = 100, т]0 = 0.1, с0 = 0.1; у= 0.3 к

Анализ показал, что эффект влияния необратимой сжимаемости на Ркр значителен до 7%. С ростом гравитационного параметра (рис. 2) критическая нагрузка уменьшается, это явление обнаружено для пластических глин и горных пород: аллгерит, уголь). Результаты представленные на рис. 2 - рис. 4 соответствуют материалу - аллгерит и уголь. Также как и в главе II установлена дестабилизирующая роль вязкости в смысле уменьшения области устойчивости - рис. 3.

Все результаты вычислительного эксперимента получены в рамках точных трехмерных уравнений устойчивости для модели сложной среды Д.Д.Ивлева -А.Н.Спорыхина, учитывающей необратимую сжимаемость.

Таким образом в III главе дана постановка и развит метод решения задач устойчивости сжимаемых упруговязкопластических сред при неоднородных докритических состояниях, численно исследованы практически важные задачи.

Основные результаты и выводы по работе

В диссертационной работе проведено исследование устойчивости практически важных задач в рамках трехмерной линеаризированной теории устойчивости деформированных сложных сред при малых докритических деформациях. Расчеты представлены для упрочняющихся упруговязкопластических материалов модели Д.Д.Ивлева - А.Н.Спорыхина, учитывающей необратимую сжимаемость:

- определено напряженно-деформированное состояние и в трехмерной постановке дана формулировка задач устойчивости: прямоугольной пластины, свободной поверхности, слоистых массивов и полупространства

с полостью при сжатии; полупространства с непрерывной неоднородностью, вертикальной скважины;

- для однородных докритических состояний решения уравнений ТТУ построены операторным методом;

- для неоднородных докритических состояний построен алгоритм решения задач устойчивости на основе метода конечных разностей;

- получены характеристические уравнения в виде определителя для каждой рассматриваемой задачи;

- проведен вычислительный эксперимент и получены числовые данные в виде

графиков зависимости критических параметров от геометрии конструкций для конкретных материалов - металлов и горных пород (пластические глины, песок, гравий, аллгерит и т. п.);

- проведен теоретический и численный анализ полученных решений и дано

сопоставление с решениями аналогичных задач для несжимаемых сложных сред;

- установлено, что учет необратимой сжимаемости приводит к увеличению

зоны устойчивости 5%-7%, таков же эффект и при увеличении коэффициента Пуассона;

- обнаружено, что наличие вязкости при пластических деформациях уменьшает величину критической нагрузки - до 10%, в этом смысле можно говорить о дестабилизирующей роли вязкости в среде;

- явление поверхностной неустойчивости полупространства с цилиндрической

полостью и свободной поверхности при сжатии для металлов не наблюдается;

- обнаружено, что увеличение жесткости слоев связующего приводит к увеличению критической нагрузки, а с ростом гравитационного параметра критическая нагрузка падает;

- влияние других механических параметров сложных сред - упрочнения, предела текучести на величину критических характеристик в рассмотренном классе задач такое же, как и моделях несжимаемых упрочняющихся упругопластических сред.

Публикацин по теме диссертации

1. Спорыхин А.Н., Чеботарев A.C., Чиканова H.H. " Моделирование грунтов и

неустойчивость полупространства" Деп. ВИНИТИ, 11.02.93, N34113-93, 12с.

2. Спорыхин А.Н., Чеботарев A.C. "О неустойчивости стенок бурящихся скважин"

Современные методы в теории краевых задач, тез. докл. Вор. университета, 1992, с.102.

3. Спорыхин А.Н., Чеботарев A.C. "Об одном подходе аналитического решения

плоских задач для сжимаемых упруговязкопластических тел" Сбор, тезисов докладов Весенняя Воронежская математическая школа "Понтрягинские чтения V", Воронеж, 1994.

4. Спорыхин А.Н., Чеботарев A.C. "Моделирование грунтов и неустойчивость

бесконечного пространства с круговой цилиндрической полостью" Тез. докл. Вор. ун-т, 1993.

. 5. Чеботарев A.C. "О неустойчивости сжимаемых слоистых упруговязкопластических" Современные методы теории функций и смежные проблемы прикладной математики и механики, Тез. докл. Вор. ун-т, 1995, с.246. 6. Чеботарев A.C. "Неустойчивость полупространства в упрочняющемся упруговязкопластическом грунте с непрерывной неоднородностью" Тез. докл. Вор. ун-т, 1994, с. 105.

Заказ 2J0 от 15.5. 1996 г. Тир. Щ_0_. Лаборатория оперативной полиграфии ВГУ.