Упруговязкопластические конечные деформации тел вращения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение.

1. Описание процесса деформирования сплошной среды.

1.1 Кинематика деформируемой сплошной среды.

1.2 Меры деформаций и напряжений.

Выводы.

2. Термомеханика процессов упругопластического и сверхпластического деформирования.

2.1 Основные термомеханические соотношения.

2.2 Описание равновесного и неравновесного деформирования.

2.3 Конкретизация моделей деформирования.

Выводы.

3. Математическая модель конечного деформирования в различных скоростных и температурных режимах.

3.1 Модель материала.

3.2 Постановка задач конечного деформирования.

Выводы.

4. Осесимметричное упруговязкопластическое деформирование цилиндра.

4.1 Постановка задачи.

4.2 Дискретная модель равновесного процесса.

4.3 Дискретная модель неравновесного процесса.

4.4 Результаты решения тестовых задач.

Выводы.

5. Симметричное упруговязкопластическое деформирование сферы.

5.1 Постановка задачи.

5.2' Дискретная модель равновесного процесса.

5.3 Дискретная модель неравновесного процесса.

5.4 Результаты решения тестовых задач.

Выводы.

Развитие и совершенствование прогрессивных ресурсосберегающих методов обработки материалов ставят задачу эффективного и адекватного теоретического описания процессов конечного формоизменения тел. При моделировании реального поведения материала в процессах конечного деформирования необходимо учитывать сложное взаимодействие различных факторов: температурных и скоростных параметров деформирования, его характер и историю, их влияние на механические свойства материала. С этим связаны: необходимость термодинамического описания необратимых процессов, адекватный выбор мер деформаций и напряжений, их корректное разделение на "упругие", "пластические" и "вязкие" составляющие, экспериментальное обоснование используемых законов пластического и скоростного упрочнения и т.д. Существующие общие подходы [38,41, 42,75,78,79,99] к описанию термомеханики упруговязкопластического конечного деформирования не всегда доводятся до конкретных расчётных моделей, позволяющих ставить и решать краевые задачи, соответствующие реальным технологическим процессам. Непосредственное использование данных теорий представляется достаточно трудоёмким. В то же время широко применяются подходы, существенно идеализирующие реальные задачи, что, с одной стороны, упрощает вычисления, но зато ограничивает область применимости конкретной частной модели. Поэтому представляется важным построить относительно простую, практически удобную, но в то же время достоверную математическую модель, описывающую достаточно широкий класс процессов конечного упруговязкопластического деформирования в различных температурных и скоростных режимах.

Особый интерес вызывает отражение сверхпластических свойств материалов. Явление сверхпластичности в последнее время широко используется в промышленности благодаря выгодным технологическим преимуществам обработки сверхпластичных материалов. Однако при этом наблюдается отставание в теоретическом изучении этого явления в рамках механики сплошных сред, в частности, механики деформируемого твёрдого тела. Как известно [18], исторически сложилось так, что первые сообщения о наблюдении сверхпластических свойств в экспериментах поступили от специалистов в области материаловедения. Сам термин "сверхпластичность" ввёл A.A. Бочвар [14-16] в 40-х годах нашего века, но только в 60-х были раскрыты широкие перспективы применения данного эффекта. Основные исследования в этой области проводились физиками и материаловедами [10,20,24,27,35,36,63,66,67,70,76,80]. Только в настоящее время намечаются подходы к макроописанию сверхпластичности в терминах механики как фундаментальной науки [18,21,22].

Теоретические основы подобного ана^шза заложены в работах A.A. Ильюшина, Ю.Н. Работнова, А. Надаи, В. Прагера и др. В настоящей работе на основе общей термомеханической модели, описывающей процессы упругопластического и сверхпластического конечного деформирования [56] построена математическая модель, отражающая упруговязкопластические свойства материала при деформировании в различных температурных и скоростных условиях. Конкретизацию определяющих соотношений и законов пластического и скоростного упрочнения ( нахождение констант материала и характерных параметров процесса) предполагается производить на основе экспериментальных данных, для получения которых достаточно провести серию опытов на простое деформирование при постоянных температурах.

В первом разделе изложено описание кинематики деформируемой сплошной среды, перечислены меры напряжений и деформаций, используемых для описания процессов деформирования, а также типы их производных по времени. Приведены требования объективности и критерии выбора мер, позволяющие установить однозначное соответствие между мерой деформаций, мерой напряжений и типом производной. Исходя из этих требований обосновывается выбор в качестве мер напряжений и деформации обычного и обобщённого тензоров истинных напряжений и тензора деформации скорости, рассматриваемых относительно полярной системы отсчёта.

Во втором разделе излагается общий подход к термомеханическому описанию процессов конечного упруговязкопластического и сверхпластического деформирования в рамках теории процессов Ильюшина. Разделения мер напряжений и деформаций на "упругие", "пластические" и "вязкие" составляющие производится как следствие разделения процессов деформирования на обратимые, необратимые равновесные и неравновесные. Приведён вариант определяющих соотношений и законов пластического и скоростного упрочнения.

В третьем разделе производится конкретизация модели упруговязкопласти-ческого материала и предлагается вариационная постановка краевых задач конечного деформирования. При этом использованы законы пластического и скоростного упрочнения, согласующиеся с экспериментальными данными. Определение констант материала предлагается производить по результатам серии опытов по простому деформированию при постоянных температурах. Новая постановка краевых задач конечного упруговязкопластического деформирования основана на вариационном уравнении равновесного процесса и принципе Журдена с использованием предложенной модели материала.

Применимость данного подхода для решения конкретных краевых задач проверялась при расчёте процессов конечного изотермического деформирования толстостенных цилиндра и сферы в различных скоростных режимах, в том числе сверхпластических ( четвёртый и пятый разделы ). Ввиду существенной нелинейности применяемых соотношений решение проводилось численно с использованием итерационногпошагового алгоритма в рамках метода конечных элементов. Проверка на тестовых задачах упругопластического деформирования показала хорошее согласование результатов с ранее полученными данными.

Работа выполнена на кафедре "Математическое моделирование" Тульского государственного университета. Целью работы является построение математической модели конечного упруговязкопластического деформирования материалов, учитывающей влияние скорости деформирования и температуры, а также постановка и решение на основе этой модели краевых задач конечного деформирования.

Основные положения и результаты диссертационной работы доложены на ежегодных научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава ТулГУ ( г. Тула, 1998-2000 г.г.), а также на международной конференции "Теория приближений и гармонический анализ", г. Тула, 1998, и на всероссийской научной конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики", г. Тула, 2000. По теме диссертации опубликовано 4 работы.

Диссертация состоит из введения, 5 разделов, заключения, списка литературы из 101 наименования и содержит 70 страниц и 12 рисунков.

Выводы.

Построена расчётная модель конечного упруговязкопластического изотропного деформирования цилиндра путём конечноэлементной пространственной и пошаговой временной дискретизации базовой математической модели, изложенной в главе 3. В процессе решения наглядно отслеживались вязкопла-стические свойства материала. Результаты решения тестовой задачи расчёта равновесного идеально-пластического деформирования цилиндра согласуются с ранее полученными данными. Это позволяет говорить о достоверном описании поведения цилиндрических тел при осесимметричном конечном деформировании данной моделью. ;

5 СИММЕТРИЧНОЕ УПРУГОВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКОЕ

ДЕФОРМИРОВАНИЕ СФЕРЫ.

5.1 Постановка задачи.

Рассмотрим изотермический процесс симметричного конечного упруговяз-копластического деформирования сферы, нагруженной внутренним давлением. Эта задача во многом аналогична предыдущей, поэтому будем использовать прежние обозначения и исходные данные. Внутренний и внешний радиусы сферы, соответственно, а и Ь. Внешняя поверхность свободна от напряжений. Задан закон перемещения точек внутренней поверхности в виде Уа = Уа (1). В силу центральной симметрии только радиальные компоненты перемещений отличны от нуля (линейная задача, изотропный процесс ). Начальное положение точек сферы задаётся в сферической системе координатами {г,ф, \|/}, текущие координаты -{р,ф,\|/}, р = г + и (г, 1), где ф- "широта", у - "долгота", I - временной параметр. Расчитаем эволюцию напряжённо-деформированного состояния сферы.

Для описания равновесного процесса деформирования используем базовое уравнение (3.7) в виде (4.1). Выражения для радиус-вектора произвольной точки и соответствующего локального базиса в начальном и текущем состояниях представляются в виде: где р^ = др/дт, а ек - единичный базис отсчётной системы.

Набла-оператор текущего состояния выглядит следующим образом:

X = гег;

Х1 = ег, Х2=геф, Хз = г БШф еч,;

5.1) х = рег; ДС1 = р/ег, х2= реф , лг3 = р8тфеч,; д дХ

5.2)

1 д

1 д 1 д

1+1^ дт а ненулевые компоненты тензора деформации скорости определяются выражениями: уг ^ у рр 5 ^ФФ — . (5.3)

1 + и г Г + и

Учитывая, что элементарный объём выражается следующим образом: = др • рскр • р БШф <1\|/ = (1 + иг)( г + и )2 БШф сЬг • ёф • ё\}/, а вф = и ХУф,, = \Vvyy в силу симметрии, приведём уравнение (4.1) к следующему виду ( опуская константы ): [ (8г+28г\Уфф)5\¥рр + 2[ ^^^рр+ЛУф,,) ]5WФФ ](1+иг)(г+и)2 } сЗг = 0 . (5.4) а

Определяющие соотношения, как и прежде, принимаем в виде (3.2)-(3.6). Выражения для скоростей напряжений, аналогично (4.6), задаются формулами: V 2 N2- ; г + и

5.5) (^ + N2)- ; г + ц

Уравнения (2.1), (3.4), (4.8) и (5.3)-(5.5) вместе с граничным условием Уа=Уа(0 составляют базовую математическую модель равновесного процесса конечного упругопластического деформирования сферы.

5.2 Дискретная модель равновесного процесса.

Проводя дискретизацию модели аналогично предыдущей задаче, приходим к следующим уравнениям: г -N1

1 +и, 8ф — — N2

V,

1 +и, п-1 Г'+1 /{ [ ^^'/^ф^бХУрр + 2[8ф+8'ф(\¥рр+\¥рр)]5>\фф ](1+иг)(г+и)2 } с1г = 0 , (5.6) Ъ где на каждом элементе (1) =

П+1 + и1+1 -Ъ-Щ

Уг+1 + V,

5.7) О

Выражения для скоростей напряжений и деформаций имеют вид:

2 ( р1+1У; - р^Ун-!)

А© , .

3(р21+1-р2) т гпУ*1"У* т Ум + V, 8« = N/0- + 2 1Ч2(1)

5.8)

Pi+l ~ р! . Р1+1 + р!

5.9)

Р1+1 ~ Р1 Р1+1 + р! где: & = п + иь р * У2( р1+1 + р,), 1=1.п-1, N1® = К + 4/Звк&, = К - 2/ЗОк(1), Ок(1)= дтЛ)е|е=е®.

Уравнение (5.6) в итоге принимает вид: п-1

Б ( 5У, { - 8®( г1+1 + Тг+ и1+1 +и,)-2 8®( У1+1 + V,) + 2 ¿Д г1+1 - г, + и1+1 + + 4 вД У1+1( г1+1 + и1+1)-У,( щ) ] / (г1+1 + п+ ц1+1 + иО } +

5.10)

8У1+1 { ¿Д г1+1 + гх + и1+1 + щ) +2 У1+1 + У,) + 2 ¿Д г1+1 - г, + и1+1 - щ ) +

4 8ф(0[ У1+]( г1+1 + и;+1) - У;( п+ щ) ] / (г1+1 + п+ и1+1 + и,) } )•( п+1 + г, + и1+1 + й,) = 0.

Объединяя слагаемые при соответствующих вариациях скоростей и приравнивая их к нулю, получаем систему, аналогичную (4.17), (4.18): I ¿г(М)( Р, + Ры) + 2 8Г(Я)( VI + Уи) + 2 8ф(ь1)( р,- ря) + 4 8ф(И)( У{р! - Уь1рм) / ( р! + Ри) }<Рг+ Ри) + { - ¿Г®( Рм + рО-2 У1+] + У0 + 2 8Ф(1)( р1+1-р,) + + 4 8ф(0( Уь-1р1+1 - У{р[) / ( Р1+1 + рО }•( рн-1 + РО = 0 ;

5.11) ¿/""Ч рп + Рп-1 ) + 2 8Г(П"1}( Уп + Уп-1 ) + 2 ¿ф(П-])( рп- Рп-1 ) + + 4 Упрп - УплРп-]) / ( Рп + рп-1) } •( Рп + Рп-1) = 0 .

5.12)

Подставляя в уравнения (5.11), (5.12) выражения для скоростей напряжений (5.9), приводём их к форме, аналогичной (4.19), (4.20):

Уи { N 1(1*1 )-(2С(1"1 -О^"1-*) + г^С™ + 2[8г(М)+8ф(М)(С(1-1)-1)]} ( р, + рь1) + { N1(ЯЧ2C(1-1)+D(l•1))+2N2(1-1)(C(l-1)+2)+2[sr(i■1)^-sф(,-1)(C(l-1)+l)] ( р, + Ря) +

5.13) ]\1®(2С(;) + Б(1)) + 2^(,)(С(1)-2) + 2[ 8г(1)-8ф(1)(С(1)-1) ] ( р1+1+ р,)} + +У1+1{ ^®<2С<М>®) + 21Ч2®С® + 2[8г(1)-8ф(1)(С(1)+1) }(р1+1+р0 - 0 , где ¿ = 2.п-2,

Упа{ ^"'^С^Ч)^) + 2К2(п-1)С<п-1)+ 2[8г(п-1)+8ф(1Я)(С(п-1)-1)] }(рп+рп-1) +

5.14)

Уп {1Ч1(п"1)-(2С(п"1)+В(п"1')) + 2^(п"1)(С(п"1)+2) + 2[8г(п-1)+8ф(п-1)(С(п"1)+1)}(рп+рп.1) = 0 . где -с®-*!*!; + р! + Рм Рг — Р1-1

Выражая из (5.13) и (5.14) скорости, получаем систему, аналогичную (4.21). Решение проводится по тому же алгоритму, что и для цилиндра. I

5.3 Дискретная модель неравновесного процесса.

Моделирование процесса неравновесного деформирования сферы производится аналогично задаче с цилиндром. Для описания вязких свойств используются соотношения (3.5) и (3.6). Итоговые уравнения, подобные (4.26), (4.27) выглядят следующим образом: Уп.! [ ап1 А(п"1} ] + Уп [ (Хп-1 В(п-1} - 2 ] + 3( рп - рп.! ) 8рф(п'1) +

5.15) 1.5[ ( рп + р»., ) + Зрп - Рп-0 ] }•( Рп + Рп-1) = о ;

Уи [ аь1 А(М) ] ( Р1 + рь1) + + У£ [ аи( В(И)-1 ХР1 + Ры) + О! ( В® + 1 )( рН1 + р,) ] + + У1+1[а1А®](р1+1 + рО+ (5.16) 1.5 [ 2( Р1 - рм ) + ( р! + р11 ) в^.!) + Зр! - рм)] ( р{ + Рм) + 1.5 [ 2( р1+1- рх) 8^) - ( Р1+1 + pi) в^) + Ка( р!+1 - ЗрО] ( р1+1 + р!) = о ; где: ¡ = Я-.п-2; р Г „2т шсШё/ё ) , а! = Т1 [е о о> - 1 ] / е; ; р1 = Г1 + щ;

А® - С® - Б® ; В® = С® + Б® .

Алгоритм расчёта полностью повторяет расчёт вязкопластического деформирования цилиндра.

5.4 Результаты решения тестовых задач.

Расчитывались варианты процесса деформирования для сферы с теми же геометрическими и физическими параметрами, что использовались при расчёте цилиндра. Зависимость внутреннего давления от относительного смещения внутренней поверхности цилиндра и распределение скоростей деформирования в соответствующих процессах приведены на рис. 5.1 и 5.2.

Рис. 5.1 Зависимость внутреннего давления от перемещения внутренней поверхности сферы.

Рис. 5.2. Распределение скоростей деформирования в сфере.

-ч>тн

-0.5 ф $Г

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1 г

Рис. 5.5 Распределение напряжений в сфере в процессе развития упругопластических деформаций.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Отметим основные результаты и выводы по диссертационной работе.

1. Предложена новая модель материала, отражающая упруговязкопластические свойства при конечном деформировании в различных температурных и скоростных режимах. Данная модель конкретизируется на основе ряда экспериментов по простому деформированию при различных температурах.

2. Предложенные законы деформирования и скоростного упрочнения позволяют адекватно отразить свойства металлов в режимах упругого, вязкопластическо-го и сверхпластического деформирования.

3. На основе уравнения развития равновесного процесса и принципа Журдена дана вариационная постановка краевых задач упруговязкопластического конечного деформирования твёрдых тел.

4. Развит итерационный пошаговый метод интегрирования по времени исходной системы уравнений как в условиях равновесного, так и неравновесного процессов деформирования.

5. Результаты решения конкретных краевых задач позволяют сформулировать требования к граничным условиям, обеспечивающим выдерживание сверхпластического режима деформирования.

1. Адамов В.И., Маркин A.A., Фердман Э!Б. Описание процессов осесимметрич-ного конечного деформирования тел вращения. / Тул. Политех, ин-т, Тула, 1986 - 8с., Рус., Деп. в ВИНИТИ 05.02.86., № 828-886-в.

2. Адамов В.И. Построение конечноэлементной модели процесса конечного уп-ругопластического деформирования. / Тул. Политех, ин-т, Тула, 1986, 11с., Рус., Деп. в ВИНИТИ 27.08.86., № 6195-в.

3. Адамов В.И., Маркин A.A. Моделирование процессов обработки давлением осесимметричных изделий. / Изв. высш. уч. зав., "Машиностроение", № 12, 1989.

4. Андреев Л.С. О проверке законов пластичности в пространстве напряжений. / Инж. журнал "Механика твёрдого тела", 1966, № 2, с. 365-367.

5. Андреев Л.С. О проверке постулата изотропии. / Прикл. механика, 1969, т.б., вып 7, с. 238.

6. Антипов В.А. Сравнительный анализ итерационных методов решения упруго-пластических задач. / Международная конференция "Теория приближений и гармонический анализ": тезисы докладов, Тула, ТулГУ, 1998, с. 18.

7. Антипов В.А., Маркин A.A. Постановка задачи расчёта процесса конечного упругопластического деформирования цилиндра. / Изв. Тульск. гос. ун-та, Тула, 1999, т. 5, вып. 2, с. 20-24.

8. Антипов В.А., Маркин A.A. Упруговязкопластическое деформирование цилиндра. / Механика деформируемого твёрдого тела и обработка металлов давлением: межвуз. сб. научн. тр., Тула, 2000, с. 152-156.

9. Астапов В.Ф., Соколова М.Ю. Кинематические характеристики конечного формоизменения сплошного цилиндра. / Тул. Гос. ун-т, Тула, 1998, 24с., Биб-лиогр.: 6 назв., Рус., Деп. в ВИНИТИ 29.05.98., № 1641-В98.

10. Ю.Базык A.C., Тихонов A.C. Применение эффекта сверхпластичности в современной металлообработке ,-М.: НИИМАШ, 1977, 64 с.

11. П.Безухов Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. М.: Высшая школа, 1968, 512 с.

12. Белл Дж.Ф. Экспериментальные основы механики деформируемого твёрдого тела. Часть П. Конечные деформации. М.: Наука, 1984,432 с.

13. Блинов Э.И. Теория пластичности, учитывающая термодинамическую неравновесность состояния. / Херсон, индустр. ин-т, Херсон, 1994, 9 е., Библиогр.: 5 назв., Рус., Деп. в ГНТБ Украины 15.12.94., № 2482-Ук94.

14. Бочвар A.A. О разных механизмах пластичности в металлических сплавах. / Изв. АН СССР, ОТН, 1948, № 5, с. 649-653.

15. Бочвар A.A. Сверхпластичность металлов и сплавов.-М.: Институт металлургии им. A.A. Байкова АН СССР, 1969, 24 с.

16. Бочвар A.A., Свидерская З.А. Явление сверхпластичности в сплавах цинка с алюминием. / Изв. АН СССР, ОТН, 1945, № 9, с. 821-824.

17. Васин P.A. Некоторые вопросы связи напряжений и деформаций при сложном нагружении. / Упругость и неупругость: сб. науч. Тр., М.: изд-во МГУ, 1971, вып. I, с. 59-126.

18. Васин P.A., Еникеев Ф.У. Введение в механику сверхпластичности: ч.1, Уфа: Гилем, 1998,280 с.

19. Галлагер Р. Метод конечных элементов: основы. М.: Мир, 1984, 428 с.

20. Гвоздев А.Е. Производство заготовок быстрорежущего инструмента в условиях сверхплаетичности. / М.: Машиностроение, 1992, 176 е.: ил.

21. Горев Б.В., Ратничкин A.A., Соснин О.В. Закономерности деформирования материалов в условиях, близких к сверхпластичности. / Пробл. прочности-1987.-№ 11, с.36-41.

22. Горев Б.В., Ратничкин A.A., Соснин О.В. Закономерности деформирования материалов в условиях, близких к сверхпластичности. Сообщение 2. Плоское напряжённое состояние / Пробл. прочности.-1987.-№ 11, с.36-41.

23. Горлач Б.А., Ефимов Е.А. Конечные деформации в задачах формообразования неупругих тел. / Мат. моделир. систем и процессов, 1992, № 1, с. 89-99.

24. Грабский M.B. Структурная сверхпластичность металлов.: пер. с польск.-М.: Металлургия, 1975, 270 с.

25. Греков A.M., Берестнёв М.Б. Исследование функциональной зависимости интенсивности напряжений от интенсивности деформаций. / Приют, физ., 1997, №1, с. 70-77.

26. Грин А.Е., Нахди П.М. Общая теория упругопластической сплошной среды. Механика.: сб. перев. иностр. ст., 1965, № 5, с. 111-142.

27. Гуляев А.П. Сверхпластичность стали.-М.: Металлургия, 1982, 56 с.

28. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975, 542 с.

29. Зенкевич О., Марган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир, 1986, 318 с.

30. Ибрагимов В.А., Махнач В.И., Швед О.Л. О вариационном принципе в теории пластичности с конечными деформациями. / Весщ АН Беларуси Сер. Ф1з,-тэхн. Н., 1997, № 4, с. 110-114.

31. Ильюшин А.А, Пластичность. Часть I. Упругопластические деформации., М., Л.: Гостехиздат, 1948, 376 с.

32. Ильюшин A.A. Пластичность. Основы общей математической теории., М.: изд-во АН СССР, 1963, 272 с,

33. Ильюшин A.A. Механика сплошной среды: Учебник для ун-тов, 2-е изд., пе-рераб. и дополн., М.: изд-во МГУ, 1987, 287 с.

34. Кайбышев O.A. Пластичность и сверхпластичность металлов.-М.: Металлургия, 1975, 279 с.

35. Кайбышев O.A. Сверхпластичность промышленных сплавов М.: Металлургия, 1984, 264 с.

36. Качанов Л.Н. Основы теории пластичности, М.: Наука, 1969, 420 с.

37. Кобозев A.B. Построение общих моделей упругопластических сред и создание на их основе единой теории релаксирующих, вязкоупругих и разномо-дульных сред. / Препр. РАН ДВО ВЦ, Хабаровск, 1996, № Ю, с. 1-46.

38. Коновалов A.B. Определяющие соотношения для упругопластической среды при больших пластических деформациях. / Изв. РАН, Мех. тв. тела, 1997, № 5, с. 139-147.

39. Коротких Ю.Г., Маковкин Г.А. О моделировании процессов непропорционального упругопластического деформирования на базе уравнений пластичности с комбинированным упрочнением. / Прикл. пробл. прочн. и пласт., 1997, №55, с. 5-10.

40. Кузнецов В.Н., Басалов Ю.Г. Математическая модель процессов вязкоупру-гопластического деформирования. / Теория и технология процессов пластического деформирования: тр. научн.-техн. конф., Москва, 8-10 окт. 1996, М., 1997, с. 548-552.

41. Кукуджанов В.Н., Сантаойя К. Термодинамика вязкопластических сред с внутренними параметрами. / Механика твёрдого тела, 1997, № 2, с. 115-126.

42. Ли Э.Х. Упругопластическое деформирование при конечных деформациях. / Тр. Америк. Об-ва инж.-мех., Сер. Е, 1969, № 1, с. 1-8.

43. Ложкин В.Н. Плоскодеформированное упругопластическое состояние изотропной цилиндрической трубы. / Теор. и прикл. мех. ( Киев )-1998,-№28, с.29-36.

44. Ломакин В.А. Большие деформации трубы и полого шара. / инж. сб. АН СССР, 1956, т.21,с. 61-72.

45. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980, 512 с.

46. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970, 940 с.

47. Майборода Е.Е., Ильченко E.H. Метод конечных элементов в задачах формоизменения пространственных тел. / Киев. Гос. техн. ун-т стр-ва и архит., Киев, 1996, 21 е., Библиогр.: 5 назв., Укр., Деп. в ГНТБ Украины 09.12.96, № 2313-Ук96.

48. Малинин H.H. Прикладная теория пластичности и ползучести-М.: Машиностроение, 1975, 400 с.

49. Маркин A.A. Меры и определяющие соотношения обратимых процессов конечного деформирования. / ТулПИ, Тула, 1988, 14 е., Деп. в ВИНИТИ 16.07.85., №5106-85.

50. Маркин A.A. Об изменении упругих и пластических свойств при конечном деформировании. / Изв. АН СССР, Механика твёрдого тела, 1990, № 2, с. 120126.

51. Маркин A.A. Определяющие соотошения конечного упругопластического деформирования. / Тул. Политех, ин-т, Тула, 1985, 17 е., Рус., Деп. в ВИНИТИ 08.04.85, № 2358-85, Деп.

52. Маркин A.A. О различных типах тензоров и выборе их производных. / Материалы Всероссийской конференции по чистой и прикладной математике, ТулПИ, Тула, 1988, с. 15-17.

53. Маркин A.A. Равновесное нагружение и устойчивость в процессах конечного деформирования. / Устойчивость в механике деформируемого твёрдого тела, Тезисы докладов II Всесоюзного симпозиума, Калинин, изд-во КГУ, 1986, с. 62-63.

54. Маркин A.A. Термодинамические модели процессов конечного упругопластического деформирования. / Тул. Политех, ин-т, Тула, 1987, 35 е., Рус., Деп. в ВИНИТИ 03.04.87., № 2042-в87, Деп.

55. Маркин A.A. Термомеханика процессов упругопластического и сверхпластического деформирования металлов. / Изв. Сиб. отд. РАН, ПМТФ, 1999, № 5, с. 164-172.

56. Маркин A.A., Гвоздев А.Е. Определяющие соотношения термомеханических процессов конечного деформирования упруговязкопластических материалов.

57. Изв. ТулГУ, Сер. Механика, Тула: ТулГУ, 1996, т.2, Вып.2., с. 79-85.

58. Маркин A.A., Гвоздев А.Е. Термомеханика упруговязкопластического деформирования. /Изв. РАН, МТТ, Москва, 1998, № 6, с. 115-121.

59. Маркин A.A., Толоконников JI.A. Меры и определяющие соотношения конечного упругопластического деформирования. / Прикл. пробл. Прочности и пластичности. Методы решения., Всесоюзн. межвуз. сб., Горьк. Гос. ун-т, Горький, 1987, с. 32-37.

60. Маркин A.A., Толоконников JI.A. Меры процессов конечного деформирования. / Известия Северо-Кавказского научного центра высшей школы. Естественные науки, 1987, № 2, с. 49-53.

61. Матвеенков А.П., Смирнов О.М. Применение теории наследственности для описания сверхпластической деформации В кн.: Теория и технология обработки металлов давлением. / Под ред. Ю.М. Арышенского, Куйбышев, КуАИ, 1975, с. 123-127.

62. Новиков И.И., Портной В.К. Сверхпластичность металлических материалов с ультрамелкозернистой структурой. / Металловедение и термическая обработка металлов, 1977, № 8, с. 28-34.

63. Новожилов В.В. О связи между напряжениями и деформациями нелинейно упругих телах. / Прикл. математика и механика, 1951, т. 15, № 2, с. 183-194.

64. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.: Мир, 1976, 464 с.

65. Охрименко Я.М., Смирнов О.М. О феноменологии механизма сверхпластичности. / Физика и химия обработки материалов, 1967, № 3, с. 87-92.

66. Охрименко Я.М., Смирнов О.М., Сурмач JI.B. О возможности количественной оценки состояния сверхпластичности. / Физика и химия обработки материалов, 1971, № 6, с. 37-41.

67. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. М.: изд-во МГУ, 1974, 206 с.

68. Поздеев A.A., Роговой A.A. Вариационная постановка в приращениях упру-гопластической задачи при больших деформациях. / Проблемы механикитвёрдого тела: межвуз. сб. научн. тр., Калинин. Политех, ин-т, Калинин: изд-во ЮГУ, 1986, с. 103-109.

69. Пресняков A.A. Сверхпластичность металлов и сплавов. Алма-Ата: Наука, 1969, 203 с.

70. Пустовгар A.C. Исследование эффекта сверхпластичности сталей и сплавов с помощью математических моделей: Автореф. дис. . канд. техн. наук, М., 1981,23 с.

71. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твёрдого тела.-М.: Наука, 1979, 744 с.

72. Седов Л.И. Механика сплошной среды, т.1, Учебник для ун-тов, М.: Наука, 1970,492 с.

73. Селёдкин Е.М., Гвоздев А.Е. Моделирование процессов осесимметричного деформирования методом конечных элементов. / Тул. гос. ун-т, Тула, 1998, 35с.: ил., Библиогр.: 11 назв., Рус., Деп. в ВИНИТИ 13.05.98., № 1463-В98.

74. Сеченков Н.К., Жук Я.А. Термодинамический анализ одной модели термо-вязкопластического деформирования материалов. / Прикл. мех. ( Киев ), 1997,33, №2, с. 41-48.

75. Смирнов О.М. Обработка металлов давлением в состоянии сверхплас-тичности.-М.: Машиностроение, 1979.-184 с.

76. Соколовский В.В. Теория пластичности. М.: Высшая школа, 1969,608 с.

77. Терегулов И.Г. Термодинамика необратимых процессов и теоретические основы построения определяющих соотношений для сплошных сред. / Известия ВУЗов, Сер. Математика, 1995, № 4, с. 82-95.

78. Терегулов И.Г. Термодинамические потенциалы и математическое моделирование процесса течения вязких сред. / Известия ВУЗов, Сер. Математика, 1997, №11, с. 72-80.

79. Тихонов A.C. Эффект сверхпластичности металлов и сплавов. Вопросы теории и практическое применение.-М.: Наука, 1978,142 с.

80. Толоконников Л.А. Механика деформируемого твёрдого тела: учебное пособие для втузов, М.: Высшая школа, 1979, 318 с.

81. Толоконников JI.A. О связи между напряжениями и деформациями в нелинейной теории упругости. / ПММ, 1956, т.20, вып. 3, с. 439-444.

82. Толоконников JI.A., Маркин A.A., Определяющие соотношения при конечных деформациях. / Проблемы механики деформируемого твёрдого тела, меж-вуз. Сб. тр., Калинин. Политех, ин-т, Калинин: изд-во КГУ, 1986, с. 49-57.

83. Толоконников Л.А., Маркин A.A., Астапов В.Ф. Исследование процесса формоизменения деформируемого твёрдого тела./ Работы по механике деформируемого твёрдого тела: сб. научн. тр., ТулПИ, Тула: изд-во ТулПИ, 1981, с. 50-54.

84. Толоконников Л.А., Маркин A.A., Астапов В.Ф. Исследование процесса формоизменения с учётом конечности деформаций. / Прикладная механика, 1983, XIX, №10, с. 122-125.

85. Толоконников Л.А., Маркин A.A., Астапов В.Ф. Свойства материалов при конечном пластическом деформировании. / Прочность материалов и элементов конструкций при сложном напряжённом состоянии., Киев, 1986, с. 237-239.

86. Трусов П.В. Большие упругопластические деформации: некоторые аспекта теории и приложения. / Прикл. пробл. Прочности и пластичности. Численная реализация решения физ.-мат. задач, Горький: изд-во Горьк. ун-та, 1984, с. 116-123.

87. Шитиков A.B., О вариационном принципе построения уравнений упругопла-стичности при конечных деформациях. / Прикл. мат. и мех. (Москва), 1995-59, № 1, с. 158-161.

88. Шитиков A.B., Шитиков С.А. Определяющие уравнения упругопластическогоупрочняющегося тела при малых деформациях в изотермическом процессе. /

89. Прикл. задачи МДТТ и прогрес. технол. в машиностр. // Ин-т машиновед, и металлургии ДВО РАН, Владивосток, 1997, с. 80-88.

90. Шоршоров М.Х., Тихонов A.C., Булат С.И. и др. Сверхпластичность металлических материалов М.: Наука, 1973,220 с.

91. Шоршоров MX., Тихонов A.C. Сверхпластичность металлов и сплавов. / Физическое металловедение в СССР, Киев: Наукова Думка, 1986, С. 240-251.

92. Besdo D. A general material law of plasticity and its numerical application. / Steel Res., 1998-69, № 4-5, c. 188-192, Англ.

93. Durban David. Finite straining of pressurized compressible elasto-plastic tubes. / Int. J. Eng. Sci.-1988.-26, № 9.-c. 939-950.-Англ.

94. Eve R.A., Reddy B.D. The variational formulation and solution of problems of finite strain elastoplasticity based on the use of dissipation function. / Int. J. Numer. Meth. Eng., 1994-37, № 10, с 1673-1695, Англ.

95. Healy B.E., Dodds R.H.(Jr) A large strain plasticity mogel for implicit finite element analyses. / Probab. Eng. Mech. 1992-7, № 1, c. 95-112, Англ.

96. Mu Xiaying, Hu Hurang. A finite element elastic-plastic-creep analysis of materials with temperature dependent properties. / Comput. and Struct.-1988.-30, № 4.-c. 953-956-Англ.

97. Okada H., Rajiyah H., Atluri S.N. Some recent developments in finite-strain elastoplasticity using the field-boundary element method. / Comput. and Struct.-1988.-30, № 1-2,-c. 275-288,-Англ.

98. Stein E., Miele, C. A model of finite strain thermoviacoplasticity: aspects of thef-ц *formulation and numerical time integration. / 18 Int. Congr. Theor. and Appl. Mech., Haifa, Aug. 22-28, 1992-Haifa, 1992, c. 140, Англ.

99. Zabaras Nicholas, Arif Abul Fazal Muhammad, A family of integration algorithms for constitutive equations in finite deformation elasto-viscoplasticity. / Int. J. Numer. Meth. Eng., 1992-33, № l,c. 59-87, Англ.