Теория неупругих слоистых и блочных сред тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На оравах рукописи

Никитин Илья Степанович

ТЕОРИЯ НЕУПРУГИХ СЛОИСТЫХ И БЛОЧНЫХ СРЕД

01.02.04. -Механиха деформируемого твердого тела.

АВТОРЕФЕРАТ Диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва-2008

Работа выполнена в Институте проблем механики Российской академии наук и Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования « МАТИ » - Российском государственном технологическом университете имени К.Э. Циолковского

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Бураго Николай Георгиевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Кукуджанов Владимир Николаевич (Институт проблем механики РАН), доктор физико-математических наук, профессор Кондауров Владимир Игнатьевич (Московский физико-технический институт), доктор физико-математических наук, профессор Якушев Владимир Лаврентьевич (Институт автоматизации проектирования РАН)

Ведущая организация - Институт Физики Земли РАН (ИФЗ РАН, Москва)

Защита диссертации состоится 6 ноября в 15.00 на заседании диссертационного совета Д 002.240.01 при Институте проблем механики Российской академии наук по адресу: 119526, г. Москва, проспект Вернадского, д.101, корп. 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем механики Российской академии наук.

Автореферат разослан 2008 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета Д 002.240.01 при ИПМех РАН,

кандидат физико-математических наук ^^Сысоева е.я.

BSQ

i.. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. Диссертация посвящена построению континуальных математических моделей слоистых и блочных сред с проскальзыванием и отслоением и разработке численных методов решения полученных систем уравнений. Эта научная проблема актуальна в связи с потребностью изучения продессов деформирования слоистых и блочных массивов в геофизических приложениях, при исследовании взаимодействия сейсмических волн с подземными сооружениями, в инженерно-строительном деле с учетом возможных проскальзываний и отслоений на контактных границах структурных элементов среды.

Цель работы. Необходимость решения научных задач, поставленных и исследованных в диссертации, следует из потребностей теории и практики. Эти потребности заключаются в эффективном описании механических процессов, протекающих в структурно-периодических средах, допускающих относительные касательные и нормальные смещения с нелинейными условиями взаимодействия на контактных границах. Научные цели диссертации включают континуальную математическую формулировку моделей слоистых и блочных сред, учитывающую возможные разнообразные формы укладки структурных элементов - блоков, разработку численных методов решения полученных систем уравнений, численную реализацию соответствующих алгоритмов и решение ряда характерных прикладных задач динамического и квазистатического деформирования слоистых и блочных массивов.

Методика исследования. В диссертации принят унифицированный подход к построению континуальных моделей структурно-периодических сред с возможными относительными смещениями на контактных границах, основанный на представлениях теории скольжения Батдорфа-Будянского. Численный алгоритм расчета полученных систем уравнений опирается на метод конечных объемов и оригинальную явно-неявную аппроксимацию по времени, учитывающую особенности модели, связанные с нелинейными условиями скольжения на границах структурных элементов.

Серьезное влияние на выработку единого подхода к построению моделей неупругих сред, основанного на представлениях теории скольжения, оказали своими трудами следующие ученые: S.B. Batdorf, В. Budiansky, Т.Н. Lin, J.W. Hutchinson, В.Д. Ктошников, М.Я. Леонов, А.К. Малмейстер, А.Н. Мохель, PJL Салганик, С.А. Христианович, Н.Ю. Швайко. Математическая теория осреднения структурно-периодических сред, послужившая толчком к постановке проблемы, заложена в работах Н.С. Бахвалова, Г.П. Панасенко, Б.Е. Победри, Е, Sanchez-Palencia.

Анизотропные упругие модели слоистых массивов развивались в работах A.B. Бакулина, Н.В.Зволинского, JI.A. Молоткова, Р.Л.Салганика, К.Н.Шхинека. Анизотропные неупругие модели слоистых и блочных сред на основе ассоциированных и неассоциированных законов пластического течения предлагали P.B.Lourenco, L.W. Morland, A. Zucchini.

Развитые в диссертации численные методы решения нестационарных упругопластических, упруговязкопластических, а в более общем случае, гиперболических систем уравнений восходят к трудам P.D. Lax, В. Wendroff, M.L. Wilkins, R.W. MacCormack, C.K. Годунова, В.И. Кондаурова, В.Н.Кукуджанова, Л.В.Никитина, A.A. Самарского, H.H. Яненко.

В диссертации использованы и многочисленные иные источники, ссылки на которые приведены в списке литературы, Привести их в автореферате в полном объеме не представляется возможным.

Научная новизва. В диссертации дан вариант решения крупной актуальной научной проблемы создания математических моделей неупругих слоистых и блочных сред и разработки численного метода решения полученного класса гиперболических систем.

Основными элементами новизны в диссертации являются следующие:

• разработка метода интегрирования соотношений теории скольжения для случая трехмерного напряженного состояния;

• на этой основе, в предположении малой вязкости, построение определяющих соотношений изотропной упруговязкопластической модели сплошной среды; установление зависимости показателя нелинейной функции релаксация от структуры трехмерного напряженного состояния;

• в предположении малого превышения главным касательным напряжением предела текучести, построение определяющих соотношений изотропной упруго пластической теории течения; определение состояний активного, частичного натр ужения и разгрузки, установление зависимости коэффициентов модели от структуры трехмерного напряженного состояния;

• построение анизотропной упруговязкопластической модели слоистой среды с учетом проскальзывания с трением и отслоения на межслойных границах на основе дискретного варианта теории скольжения;

• построение анизотропной упруговязкопластической модели блочной среды с учетом проскальзывания с трением и отслоения на межблочных границах на основе дискретного варианта теории скольжения; учет разнообразных форм укладки блоков («кирпичная кладка», «паркет») в определяющих соотношениях модели;

• разработка явно-неявного алгоритма, основанного на методе конечных объемов, для расчета полученных систем уравнений для анизотропных упруговязкопластических сред с учетом малого параметра вязкости;

• реализация упомянутых алгоритмов и численное решение набора новых задач о динамическом и квазистатическом деформировании упруговязкопластических, слоистых и блочных массивов различной геометрии с определением зон скольжений и отслоений,

Практическое значение диссертации. Разработанные модели и алгоритмы численного решения полученных систем уравнений могут быть использованы для теоретического и численного анализа ряда природных и технологических процессов. Задачи и полученные решения поставлены и выполнены в рамках плановых научно-исследовательских работ; взаимодействие волн с полостями и сооружениями в слоистом и блочном массивах исследовались по совместным проектам с НИИ «ГИДРОПРОЕКТ», 26-м Центральным Научно-Исследовательским Институтом МО РФ, Научно-Исследовательским Центром 26-го ЦНИИ МО РФ, 12-м Центральным Физико-Техническим Институтом МО РФ, финансировались в серии проектов РФФИ, координировавшихся Н.Г.Бураго. Численное исследование процессов контактного взаимодействия протяженных пластин проводилось по совместным проектам с Научно-исследовательским и конструкторским институтом монтажной технологии «НИКИМТ». Востребованность результатов исследований по моделированию динамических процессов в слоистых и блочных средах указывает на их серьезное практическое применение.

Достоверность полученных результатов основана на применении хорошо зарекомендовавших себя математических методов построения моделей неупругих сплошных сред, исследовании корректности постановки начально-краевых задач для

полученных систем уравнений. Сходимость численных решений проверялась последовательным дроблением расчетных сеток. Точность исследовалась на примерах модельных задач с известным численным или аналитическим решением. Применялись различные аппроксимации при численном моделировании, хорошее совпадение полученных решений придает уверенности в их достоверности.

Апробация работы. Результаты исследований, полученные в диссертации, были представлены на многих отечественных и зарубежных конференциях и семинарах.

Доклады по построению моделей неупругих сред на основе теории скольжения представлялись на Школах по механике горных пород под руководством академика С.А. Христиановича (Алушта, 1987, Симферополь, 1990), на семинаре Института механики Болгарской АН (София, 1990), на XIV и XV Международных конференциях по вычислительной механике и современным прикладным системам (Алушта, 2005, 2007), на IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород 2006), на Международной конференции ЕММС-10 «Multi-phases and multi-components materials under dynamic loading» (Казимеж Дольный, Польша, 2007), на XVIII сессии Международной школы по моделям механики сплошной среды (Саратов, 2007). Доклады по численным методам решения и явно-неявной аппроксимации систем уравнений с малым параметром вязкости для упруговязкопластических сред представлялись на Коллоквиуме СЗ (Страсбург, 1991), на П1 Всероссийской конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и механики» (Абрау-Дюрсо, 2006), на XVII Всероссийской конференции «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов и решение задач математической физики с приложением к многопроцессорным системам» (Абрау-Дюрсо, 2008). По мере получения результатов по построению моделей и разработке численных методов, соответствующие доклады делались на семинарах Института проблем механики РАН и Московского Физико-Технического Института.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Полный объем диссертации составляет 219 страниц, Рисунки включены в текст, список литературы занимает 21 страницу и содержит 188 источников.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении формулируется цель исследования, обосновывается его актуальность. Описывается структура работы и краткое содержание глав. Приводится список работ автора по теме диссертации.

Первая глава содержит обзор литературы по методам построения моделей сплошных сред с дополнительными внутренними переменными и, в частности, по моделям слоистых и блочных сред. Также дан обзор работ по теории скольжения, представления которой широко используются в диссертации. Отдельный раздел посвящен обзору работ по численным методам решения систем уравнений, описывающих поведение упругопластических и упруговязкопластических сред. Отмечены работы, посвященные алгоритмам корректировки компонент тензора напряжений при численных расчетах за пределом текучести, а также разработке алгоритмов расчета контактных взаимодействий.

Вторая глава посвящена построению упруговязкопластической модели деформируемого твердого тела на основе теории скольжения Батдорфа-Будянского для случая сложного трехмерного напряженного состояния. Основная идея теории скольжения заключается в следующем. Если выбраны условия контактного

взаимодействия на единичной площадке скольжения в фиксированной точке деформируемого тела, то путем интегрирования относительных сдвигов по всем площадкам, содержащим данную точку, для которых условия сцепления нарушены, можно получить в общем виде выражение дяя тензора пластической деформации. Первая теория такого типа была предложена Batdorf S.B., Budiansky В. (1952). Более поздние теории развивались в работах В.Д. Клюшникова (1958), М.Я.Леонова, Н.Ю. Швайко (1964), А.К. Малмейстера (1965), Hutchinson J.W. (1970). Кинематическая взаимосвязь пластических сдвигов на различных плоскостях скольжения учитывалась в работе А.Н. Мохеля, P.JI. Салганика, С.А. Христаановича (1983). В этих работах интегральные представления для тензора пластической деформации исследовались для конкретных процессов нагружения, либо для случаев одноосного или плоского напряженного состояний, либо численно. Произвести аналитическое интегрирование по всевозможным площадкам скольжения в случае произвольного трехмерного напряженного состояния, по-видимому, пока никому не удавалось. Это связано как со сложной нелинейной зависимостью области интегрирования от структуры напряженного состояния (при учете вклада всевозможных площадок, где нарушено условие сцепления), так и со сложным нелинейным характером условий скольжения (пластического сдвига).

В данной главе, на основе представлений, описанных в [14,15,17,19], аналитическое интегрирование локальных соотношений теории скольжения реализовано для общего трехмерного напряженного состояния. В результате получен новый вариант теории упруговязкопластической среды, отвечающий зависимости локальных контактных условий на площадках скольжения от скорости проскальзывания.

Примем гипотезу о том, что в каждой точке рассматриваемой среды скольжение (пластический сдвиг) может происходить вдоль любой плоскости с нормалью п, проходящей через эту точку. В декартовой системе координат xi,x2,xi напряженное состояние в этой точке задается тензором напряжений о. Вектор скольжения у равен относительной скорости проскальзывания [V] вдоль выбранной плоскости. Вектор касательного напряжения т на этой плоскости равен т = о п-(п о п)п . Направление скольжения совпадает с вектором т и начинается при выполнении критического условия |т| г г0, или при нормировании напряжений на г0 условия |т|^1.

Рассмотрим условие скольжения на единичной площадке следующего вида. Вклад скольжений по плоскостям, у которых нормаль лежит внутри телесного угла dCl, определяется вектором dy:

= Я(г2 -l)(r3 -Y)tdCl/Tj (1)

где Щх) - функция Хевисайда,Н(х) = 0 при х<0, Н{х) = 1 при xi.0, ц -коэффициент вязкости. В дальнейшем будем использовать обозначение (F) = F(x)H(F(x)), принятое в теории упруговязкопластичности. При малых коэффициентах вязкости рассматриваемое условие близко к условию сухого трения с добавленной малой зависимостью от скорости проскальзывания.

В соответствии с представлениями теории скольжения вклад скольжений Ф/ вдоль площадок с нормалью п внутри телесного угла dQ в тензор скоростей пластической деформации dt равен:

de = (n®£fy + tfy®n)/2 (2)

Для того чтобы вычислить полный тензор скоростей пластической деформации, необходимо проинтегрировать вклады по всем возможным площадкам скольжения. Перейдем в систему координат, связанную с главными осями тензора напряжений такую, что главные значения тензора напряжений ст, 23 удовлетворяют неравенствам <т, > <т2, <т, > сг3, а ее базисные векторы образуют правую тройку, и введем связанную с ней сферическую систему координат R,9,<p.

Компоненты тензора скоростей пластической деформации (2) будут иметь вид:

dey = (г2-l)[(c, + s'n 8d9d<pfq

Полные (интегральные) компоненты этого тензора получаются интегрированием по всем площадкам скольжения:

е<, = ¡¡{^ -^)[(.<^, + crj)/2-<7lnl'\n,nJsmSdMip/tj (3)

S.f

Условие для определения пределов интегрирования по S и д> имеет вид:

г2 -1 = sin2 Э sin2 2<р+sin2 9 cos2 9{S% + Sn cos Ър)2 -1 ä 0 (4)

Здесь обозначено: S12 = (er,-cr2)/2> 0, St¡ =(сг,-<т3)/2>0,

53 = (<г,-О-3)/2+(СГ2-О-з)/2.

В переменных А, В, где /4 = S3 + S12cos2<р, B = S12sin2p условие (4) примет форму неравенства для биквадратного трехчлена относительно cos 9:

A2 cos4 9-(А2 - B2)cos29+(l - В2) £ 0 (5)

Корни соответствующего биквадратного уравнения равны:

У2 = cos2 Э±={а2-Вг± \j(A2 +В2)2-4 A2 j /(2Л2)

Решением неравенства (5) будет диапазон: шах [О, У2 ] á cos2 9 < min [У2,1 ]

При этом должно выполняться условие Discr = (^2 +В2)2 -4A2 i 0 или (|л|-1)2 + .В2 äl. Условие У2 51 выполняется при любых А,В, а условие Y2 ¿ 0 при В'£1, В2 i А2. Условие У2 <. 1 выполняется при любых А, В, а условие У+2 2:0 при В2 i А2 и при В2 > 1 ,А2 йВ2. Таким образом, область допустимых значений для 9 в плоскости А, В имеет вид, показанный на Рис.1. Она представляет собой внешность заштрихованной фигуры, причем при В2 >1 предел интегрирования У2 отрицателен и должен быть заменен на 0.

Контур Г интегрирования по <р с учетом определения переменных А, В представляет собой часть окружности (Л-53)2 +В2 = S2lt расположенную в разрешенной (незапггрихованной) области в плоскости А,В( Рис. 1).

В*

Г

Рис. 1

Интегралы (3) для компонент тензора скоростей пластической деформации несложно проинтегрировать по 5 и они принимают вид

Подынтегральное выражение довольно громоздко, и не выписывается. Пределы интегрирования ^ неотрицательны, а коэффициент 2 появляется для учета

интеграл (б) аналитически с учетом сложной нелинейной зависимости А, В н У± от д> не представляется возможным. Однако при малых значениях коэффициента вязкости т} можно предположить по аналогии со стандартной теорией упруговязкопластической среды, что напряжения будут находиться в окрестности «поверхности текучести», релаксируя на нее с малым характерным временем порядка т]. В данном случае это означает, что контур интегрирования Г при малой вязкости будет мало «выступать» за пределы заштрихованной области на Рис.1. С учетом возникающего малого параметра можно проинтегрировать (6) по Г.

Проведем анализ возможных вариантов расположения контура Г и вычисление интеграла (6) с учетом возникающего малого параметра для трех характерных случаев. Различным положениям контура Г при этом будут соответствовать разные соотношения между главными значениями тензора напряжений.

Рассмотрим вариант расположения контура Г, показанный на Рис.2-а.

(6)

отрицательных значений (после извлечения корней из ). Проинтегрировать по Г

Рис.2-а

Рис,2-Ь

Соотношение между главными значениями тензора напряжений при этом таково, что 055,2 -1«1, ег, > ст3 > сх2. Контур Г представляет собой две «шапочки», выступающие за линии В = ±1 в плоскости переменных А, В. Максимальное значение имеет главное касательное напряжение (р-^-а,)/ 2. Введем малый параметр = — 1. Подынтегральное выражение в (6) можно упростить по переменным А, В и определить пределы интегрирования по <р, учитывая, что в рассматриваемом случае Р = В-\ <8 «\ и А < 1. В результате интегрирования окончательно получим:

Рассмотренный случай соответствует скольжению в окрестности углов Э = я/2 и <р~ я74 , Отметим, что коэффициент перед нелинейной функцией в (7) зависит от промежуточного касательного напряжения 513.

Полученные формулы не работают при 513 ~ 1. Этот случай требует отдельного рассмотрения. Введем малый параметр 8 = 512 -1 и для определенности рассмотрим значение = \-4з. Учитывая, что в рассматриваемом случае /3-В-1 < <5 «1 и а = 1 - А < 2\[8 «1, можно произвести интегрирование и получить формулы:

Приближенное вычисление этого интеграла дает значение с0» 5.88.

Рассмотрим вариант расположения контура Г, показанный на Рис.2-Ь. Соотношение между главными значениями тензора напряжений таково, что 0^5,3-1«1, ег, > > ег3. Максимальное значение имеет главное касательное напряжение (а,-ст3)/2. Введем малый параметр <У = 5,3-1. Подынтегральное выражение в (6) можно упростить, учитывая, что а = А- 2 < 2£ «1 и р — В< 2\[8 «1. Окончательный результат интегрирования имеет вид:

(7)

-I

(8)

«11 =

1 я

/7, еи =0 , еа =-е„

(9)

Рассмотрешшй случай соответствует скольжению в окрестности углов & = п / 4 и р = 0. Отметим, что и в этом случае коэффициент перед нелинейной функцией в (9) зависит от среднего касательного напряжения .

Рассмотрим вариант расположения контура Г, показанный на Рис.3.

В*

Рис.3

При этом 0 £ -1«1. В этом случае сг2 = ст3. Угол р изменяется в широком диапазоне от -я/4 до тг/4, что соответствует кардинальной перестройке зон скольжения (пластических зон) от режима (7) к режиму (9).

л/2

С0= 16-у/г/З |7с05у7/(1+С05(У

Приближенное вычисление коэффициента дает значение С0 » 2.10.

Выпишем полученные уравнения в сжатом виде для компоненты в„:

/т], <т1>а7>иг

Коэффициенты С1АЗ 4 зависят от промежуточных главных касательных напряжений.

Таким образом, для упруговязкопластической среды в предположении малой вязкости удалось получить новые явные соотношения, связывающие компоненты

тензора скоростей пластической деформации и тензора напряжений для случая сложного трехмерного напряженного состояния. Эти выражения сходны с соотношениями классической упруговязкопластической модели, однако имеют отличия. Поверхность текучести отвечает условию Треска. Показатель степени в функции релаксации принимает различные значения: 2, 7/4, 3/2 в зависимости от типа напряженного состояния, в то время как в классической теории он считается постоянным.

Третья глава посвящена построению упругопластической модели деформируемого твердого тела на основе теории скольжения для классических условий скольжения [15,16,18,21]. При определенных предположениях удается выполнить интегрирование для произвольного трехмерного напряженного состояния и получить замкнутый вариант упругопластической модели, который оказывается новым вариантом теории пластического течения. Показано, что при этом выполняется ассоциированный закон течения, найдена функция течения полученной модели. Предложенный метод интегрирования можно использовать для установления связн между локальными условиями и уравнениями макроскопической модели и для некоторых других условий скольжения.

Как и в предыдущем случае примем гипотезу о том, что в каждой точке рассматриваемой среды скольжение (пластический сдвиг) может происходить вдоль любой плоскости с нормалью п, проходящей через эту точку. В декартовой системе координат дг,,*;,^ напряженное состояние в этой точке задается тензором напряжений а. Вектор скольжения (пластического сдвига) у теперь равен относительному смещению [и] вдоль выбранной плоскости. Вектор касательного напряжения т на этой плоскости равен т = в • п - (п • о • п)п. Процесс нагружеиия будем характеризовать параметром нагружеиия £, и производную по параметру нагружения будем обозначать

верхней точкой, так что, например, ¿1 = ч<Н;. Основные допущения о характере скольжения на единичной площадке совпадают с принятыми в работах А.Н. Мохеля, Р.Л. Салганнка, С.А. Христиановича (1976, 1983) и заключаются в следующем. Скольжение (пластический сдвиг) происходит при выполнении критического условия |т|гг0, или, при нормировании напряжений на г0: |т|^1, а также при выполнении

условия «локального нагружения» [т| > 0. В противном случае пластический сдвиг

прекращается. Направление вектора у совпадает с направлением вектора т, модуль приращения сдвига пропорционален приращению модуля касательного напряжения. В дальнейшем вместо модуля касательного напряжения будем использовать значение квадрата модуля. Рассмотрим условие скольжения на единичной площадке, удовлетворяющее принятым гипотезам, следующего вида:

где с0 - некоторый коэффициент, являющийся параметром модели. В соответствии с

представлениями теории скольжения вклад приращения сдвига = вдоль

площадки с нормалью п в приращение тензора пластической деформации вё** равен:

у~с„гг тН(т2-\)Н(т2)

(10)

е = (п®у+у®п,)/2

(П)

Производная тензора пластической деформации по параметру нагружения на плоскости скольжения с учетом (10) равна:

e-Ci,(ii®T + T®n)rJtf(r2-l)#(Y2)/2 (12)

Как и ранее, введем сферическую систему координат R, 8, <р, связанную с главными осями тензора напряжений такую, что главные значения тензора напряжений удовлетворяют неравенствам <т, > ст, > <г,.

Интегральные компоненты тензора е, полученные интегрированием по всевозможным площадкам скольжения с нормалями, лежащими внутри телесного угла dCl = sin 9d8d<p, имеют вид:

en = Cq Цн(т2 -l)fí(z2)r2O, - <r0) sin2 >9eos2 <pún&d9dip

£23 = c0 jj#(r2 -l)#(r2)rz(£72 -<x0)sin2 ásin2 <»sin (13)

¡>,9

£j> = C0 ||я(тг - 1)Я(г2) r2(<x3 - cr0) cos2 ^sinWA/p

где <т0 = cr, sin2 i9cos2 sin2 & sin2 <p+cr2 eos2 &.

Касательное напряжение в плоскости скольжения можно представить в виде:

т2 = (A2 cos2 i9+52)sin2i9,

где сохранены обозначения предыдущей главы для переменных А, В и обозначения для главных касательных напряжений. Условия для определения пределов интегрирования

по 5 и <р в (13) имеют вид: т2-1>0, г2>0. Условие rJ-1 >0подробно исследовано в предыдущей главе. В результате получено, что пределы интегрирования по & имеют вид:

max[0,У2]<cos2S<Y2, Y2 = cos2 ^={а2 - В2 ± J(A2+ B2)2-4A2 j/(2A2).

Область допустимых значений для 9 в плоскости А, В имеет вид, показанный на рис.1 и представляет собой внешность заштрихованной области Z, причем при 52>1 предел интегрирования y j < 0 и должен быть заменен на 0. Контур г

интегрирования по <р представляет собой часть окружности (А — 53)2 + В2 =5,2, расположенную в разрешенной (незаштрихованной) области в плоскости А,В ( Рис.1 ). Из соображений симметрии при определении пределов и контуров интегрирования в дальнейшем будем рассматривать только первую четверть плоскости А, В (А >0,5 > 0).

Условие х2 > 0 накладывает дополнительные ограничения на допустимые значения углов Э, <р ■ При Sn * 0 и * 0 оно может быть записано в следующем виде:

г2 = 2sin2 &[А(А - 4,)cos2 3+B2]s\Js]2 > 0

где =2(51э¿п-Яп^и)/^!! ' дополнительный комбинированный параметр,

характеризующий процесс нагружения материальной частицы наряду с независимыми • •

производными и 5|3 .

Рассмотрим невырожденный случай 5,, * 0, * 0, Введем обозначение: У02 = В2/[А(АС - А)], 0<А<Ас. Интегрирование по <р должно производиться по контуру Г в «разрешенной» части плоскости А, В (Рис.1), но при этом необходимо учитывать, что на различных участках этого контура в зависимости от соотношения величин У0(<р) и У±((в) пределы интегрирования по 9 будут различны.

Определим в плоскости А, В области, в которых выполнены условия У0>У^, У_ <У0<У^, < К . Обозначим эти области Д., £>„ и Д. соответственно. Для определения этих областей необходимо решить неравенства:

5'/[Ж4> - - В1 ±\1(А2 + В7)1 -4 А1 ]/(2Л2) при О <А<А0.

При Ло ^ 2 в «разрешенной» (незаштрихованной) части плоскости А, В (Рис.1) всегда выполнено условие У_ <У0 <У^. При Д, > 2 расположение областей , £>0 и Д показано на Рис.4. Область Д0 описывается следующим образом

(А/2-^А2/4-А/А0'1(А0-А)<В2<(А/2+^А2/4-Л/А0')(4,-А), 4/А0<А<Ас.

Она касается «запрещенной» области Z в плоскости А, В в единственной точке

а = Л /(Л -1), в1 = 4(4 -2)/н -1):.

Обозначим часть контура Г, принадлежащую области Д. через Г+, Г+ :ГпД; Г0 - часть контура Г, принадлежащую области Д„; Г. - часть контура Г, принадлежащую области Д. (Рис.4). На различных участках Га, Г+, Г. контура

Г в зависимости от соотношения величин Уа(<р), У±(<р) и знака 5ц пределы интегрирования по 9 будут различны.

В

При Su > 0 и > 2 на Г. допустимых значений 3 нет, на Г0

max [О, У_2] < cos2 & < Y<?, на Г+ max[0, Г2] < cos2 Э < Y?; при Sn > 0 и < 2 на Г

max[0, Y} ] < cos2 & < Y*; при Sn < 0 и 4, > 2 на Г тах[0, У2] < cos2 & < Y?, на Г0

У02 < cos2 £ < У+2, на допустимых значений & нет; при St2 <0 и Ас<2 на Г допустимых значений & нет.

Таким образом, в общем случае определены интервалы интегрирования по 9 и <р в формулах для приращений компонент тензора пластической деформации (13). Интегрирование по Э в этих формулах производится элементарно, однако проинтегрировать по <р для произвольного расположения контура Г, по-видимому, невозможно.

Рассмотрим случай, когда максимальное касательное напряжение Su ненамного превосходит предельное значение г„ (равное 1 в безразмерном варианте), iS„ = 1 + в, б «1 - малый параметр, а остальные главные касательные напряжения меньше единицы, 0<SJ2<1, 0<<1. Введем параметры к и ß: к = Sn/(\-S,2), /? = (Д,-2)/(2е) или Л =2(1 +А)-

Значениям параметра к> 1 соответствуют значения главного касательного напряжения

j > 1 / 2 . Значению параметра ß-k соответствует прямая 5n = (\-k)(Sti-l)Sn/Sn ,

• •

а значению ß = 1 - прямая Su = О на плоскости переменных Sn и Su. В этом случае можно определить значения углов <pt, соответствующие точкам пересечения контура Г с границей области Ц> - граничным точкам контура Г0. Если этих точек пересечения не существует, это значит, что весь контур Г лежит либо в области Dy, либо в области D_, либо в области D0.

Показано, что в рассматриваемом приближении е «1 длина контура _Г0 мала по сравнению с длинами Г_ и , и интегралом по нему в определенных условиях можно пренебречь, а область D0 заменить ее срединной линией С0, задаваемой уравнением В1 = (А0-А)А/2. Поэтому для дальнейшего анализа важно определить возможные ситуации взаимного расположения контуров С0 и Г. Напомним, что контур Г задан уравнением В2 = 522 - (А - S2).

Взаимное расположение контуров зависит от значения параметра к > 1 или к< 1. В случае к > 1 контур Г целиком лежит под контуром С0 при ^ > 2(1 +ке), контур Г пересекает контур С0 при 2(1 + s) < Д, < 2(1 + ks), контур Г целиком лежит над контуром С0 при 2 < Д, < 2(1 + s) .В случае к < 1 контур Г целиком лежит под контуром С„ при Aq>2(1 + £), контур Г пересекает контур С0 при 2(1+fa) < Л,, <2(1 +s), контур Г целиком лежит над контуром С0 при

2<4, <2(1 +ks).

Точки пересечения контуров Г и С0 для соответствующих случаев задаются приближенной формулой tp0 - ^k(ß-l)/(k-l)sfs /sn. Также найден угол <р,,

соответствующий точке пересечения контура интегрирования г с границей «запрещенной»области: <р, ~4к4б/Зп .

Таким образом, в приближении £«1 определены интервалы интегрирования по и <р в формулах для приращений компонент тензора пластической деформации при различных значениях параметров нагружения.

Примем следующие определения напряженно-деформированных состояний материальной точки, сходные с теми, что были приняты в работах С. А. Христиановича (1974), А.Н. Мохеля, Р.Л. Салганика, С.А. Христиановича (1983): если на всех

плопщдхах, где превышен предел текучести г5 -1 > 0, идет процесс нагружения г' > 0, то это состояние «активного нагружения»; если на всех площадках при тг -1>0

выполнено условие г2 5 0, то это состояние «разгрузки»; если же на части площадок с

превышенным пределом текучести т2 -1>0 идет нагружсние с условием г2 > 0, а на

части площадок идет разгрузка т2 5 0, то это состояние «частичной нагрузки».

Расположение зон «активного нагружения», «частичного нагружения» и

• •

«разгрузки» на плоскости переменных 5"и и йз можно описать следующим образом: зона «частичного нагружения» располагается между прямыми

5,з =(!-*)(5,5-1)5,з/£,2 и ¿и =0, зона «активного нагружения» расположена выше

нее, а зона «разгрузки» - ниже.

Интегрирование формул (13) в рассматриваемом приближении с известными пределами приводит к следующим результатам. В зоне «активного нагружения»

'в=с^АО-адЛз V* О4)

В зоне «частичного нагружения» <*!! = С0 (1 - ) 5,3 + ^ / 2

4 = СоАО-^МзОп 4/2 (15)

• • ♦

Здесь коэффициенты Е13,Еп,0{} равны:

а коэффициенты ¿п,с1п зависят от значений £!п,к,р, 0<<1п,(1и<я/2. Таким образом, формулы (14-15) описывают основные определяющие макроскопические соотношения полученной упругопластической модели.

Рассмотрим вырожденный случай 5|2 = 0, 512 2 0. Пределы интегрирования по Э и <р вычисляются значительно проще, чем в случае сложного напряженного

состояния (512 Условие г2 -] >0 выполняется для значений 19, для которых

выполнено условие бш2 2$ > УЗ,2 . Условие г2 > 0 при 5,3/£12>1 выполняется при любых р для всех допустимых значений >9 (состояние «активного нагружения»), при

0 <5,з/5,2 ¿1 выполняется при значениях <р таких, что зт2 <р < /¿п (состояние «частичного нагружения»), при ¿¡з ^ 0 происходит разгрузка. Вычисление интегралов (3.4) в приближении 513 =1 + £, е«1 дает следующий результат для состояния «активного нагружения»:

¿11=С0я-£',1(4-4/4)/2, ¿33=С0^3(4-4/2)/2, ^=-(¿,,+¿3,) (16)

где Еи = -1/^5,3 (5,3+1) , Еп = -2^,.

Полученные соотношения (14) макроскопической модели представляют собой новый вариант теории течения для упругопластаческого тела. Условие текучести ) = 0 в рассматриваемом случае совпало с условием текучести Треска ( 5,3 -1 = 0 ).

Полученные соотношения не являются уравнениями теории течения идеально-пластического тела, так как допускают выход напряжений за предел текучести ПсГц) > 0. Однако они не являются и уравнениями теории упругопластического течения с упрочнением, так как в них явно не описан механизм изменения функции текучести в зависимости от параметра упрочнения х: - 0 • Это объясняется

тем, что и в исходное условие скольжения (10) механизм изменения («упрочнения») локального предела текучести г0 не заложен. Однако, если ввести функцию текучести

= —— и ее же принять за пластический потенциал, а также ввести функцию кр =с0я{8н -1), то нетрудно проверить, что уравнения пластического течения (14) выражают при этом ассоциированный закон пластического течения с упрочнением: ¿и = кр дР/дсг„ дЕ/даи аи, 5^/5сги &и > 0, > 0.

Формулы (16), относящиеся к случаю = 0, описывают течение материала вблизи угловой точки поверхности текучести Треска, где неприменимы формулы (14). Можно отметить, что производные компонентов тензора пластической деформации имеют более низкий порядок по малому параметру -Л = -1 (коэффициенты £,,, £3}), чем в регулярном случае (14), где коэффициент Еп при 1?13 имеет порядок в = 5,3 -1, а коэффициент Еп при 5,2 имеет порядок е2 — (5,3 -1)2. Это обстоятельство указывает на существенную зависимость приращений пластической деформации от структуры напряженного состояния при переходе с одной грани пирамиды Треска на другую через угловую точку.

В заключение отметим, что в рамках теории скольжения для конкретного условия скольжения (10) в явной форме определены значения углов, задающих ориентацию нормалей к площадкам, где реализуются пластические сдвиги. В предположении, что максимальное касательное напряжение мало превышает предел текучести, проинтегрированы классические соотношения теории скольжения для приращений тензора пластической деформации в случае трехмерного неравнокомпонентного напряженного состояния материальной частицы. Получены уравнения макроскопической теории пластического течения, соответствующие выбранному локальному условию скольжения

Четвертая глава посвящена построению континуальных динамических моделей деформирования слоистой и блочной сред с учетом проскальзывания, трения и отслоения на контактных границах слоев или блоков. Эти модели основаны на представлениях теории скольжения в ее дискретном варианте [4-7,12,20].

Предполагается, что в слоистой среде упругие слои в прижатом состоянии могут проскальзывать относительно друг друга с трением, а растягивающих напряжений контактные границы не выдерживают - происходит отслоение.

Под блочной средой понимается регулярная структура, состоящая из равномерно уложенных упругих «кубиков» («параллелепипедов»), подверженных воздействию поверхностных или объемных нагрузок. На контактных границах также возможно проскальзывание с трением или отслоение. Таким образом, блочная среда трактуется как среда, обладающая тремя взаимно перпендикулярными плоскостями возможного скольжения-отслоения с заданными локальными контактными условиями на каждой из них.

Также рассматриваются структуры типа «кирпичной кладки» или «паркета». Их отличие от рассматриваемой регулярной блочной среды в том, что одна (или все) из плоскостей скольжения-отслоения является плоскостью только возможного отслоения (скольжение на ней невозможно из-за структурного нахлеста «кубиков» - «кирпичей»).

Основное условие, которое позволяет построить континуальные модели рассматриваемых дискретных структур, состоит в том, что размер слоя или блока е должен быть много меньше пространственного размера £ рассматриваемой слоистой или блочной структуры (или массива), £ <г I.

Для построения континуальных моделей сформулируем локальные условия взаимодействия на контактных границах. В декартовой прямоугольной системе координат х,,х2,х3 рассмотрим безграничную упругую среду с ориентированной системой периодически повторяющихся параллельных плоскостей скольжения, Ориентацию этой системы зададим единичной нормалью п. Расстояние между плоскостями скольжения постоянно и равно е. Плотность материала р, а также модули упругости Ламе Ли/; считаются заданными константами. Напряженное состояние описывается тензором напряжений о. Вектор касательного напряжения на плоскости скольжения равен т = <т - п - (п ■ о • п)п, нормальное напряжение равно ав = п • в • п. Введем векторы скоростей сдвига у и отрыва т = ат, определяемые скачками касательной [V,] и нормальной [У„] скоростей на контактных границах: у = [ V, ] /«, (о = \у„У е. Условия контактного взаимодействия имеют следующий вид.

Скольжение с трением имеет место при ая < 0:

Т = ?Н(?/М+'п) при а> = 0

у = 0 при |т|<?|сгл|, 0) = О

Отслоение происходит при П £ 0: т = <гп=0. Здесь О = [«„]/£ - нормированный скачок нормальных смещений на контактной границе, определяемый уравнением

О = ¡и, где д - коэффициент сухого трения, г\ - коэффициент вязкого трения.

Контактную плоскость с указанными условиями взаимодействия будем называть плоскостью скольжения-отслоения.

Рассматриваемые условия скольжения представляют собой нелинейные условия сухого трения с добавкой вязкого трения, которая предполагается малой и играет, в

основном, роль регуляризатора. В этом случае условие скольжения можно явно разрешить относительно скорости сдвига у. у = (|т |/(? |о"„ |) -1) |т|).

Сформулируем модель слоистой среды. В среде, состоящей из упругих слоев, имеется единственная система плоскостей скольжения-отслоения с нормалью п, ее структура схематически в двумерном варианте показана на Рис.5-а. На границах слоев выполняются выбранные контактные условия.

Рнс.5-а Рис.5-Ь Рис.5-с Рис.5-ё

Для того чтобы перейти к континуальной модели слоистой среды, будем рассматривать у и со как непрерывные функции координат и времени, имеющие смысл распределенных скоростей скольжений и отслоений, и воспользуемся соотношениями теории скольжения в ее дискретном варианте. Эти соотношения позволяют учитывать вклад скоростей скольжений у и отслоений о> в тензоры скоростей неупругой деформации е' и е" соответственно: ег =(п<8)у+у®п)/2, е" =(п®(о+со®п)/2 = ал1®11

Полный тензор скоростей деформации е получается сложением всех упругих и неупругих составляющих и равен:

е = е' +ег+е®, е = (Уу+Ууг)/2

где V - «макроскопическая» скорость частиц среды, е" - тензор скоростей упругой деформации, который связан с тензором напряжений законом Гука:

о = Д.(е'; 1)1 + 2/л"

Сквозные условия для у и (о, соответствующие локальным контактным условиям, имеют вид:

у = {|т|/(д\а„\)-1) т/(77|т|), да = 0 при ал < О т = <т„ = 0 при £2 О .

Система замыкается уравнениями движения: р V = V • о

Полученную систему уравнений необходимо дополнить условиями на границе Г области, занимаемой средой: в -п|г = {г или у|г = уг, а также начальными условиями для искомых функций при 7 = 0: о = V = П = 0.

Эту систему можно написать в покомпонентном виде:

Я =М„(?кл-е»)+р[уи +vJJ -2<дау)у -(Щ+ЪГ,)] (17)

/НН/^КИМ^М), ® = 0 при а, < О т = <т, = 0 при П к О

где сг„ = <ти"4П/, = - (т^щп,, V, и - компоненты вектора скорости и тензора напряжений.

Если направление нормали к плоскости скольжения-отслоения совпадает с направлением оси х2 принятой системы координат, то для нормали будет справедливо соотношение - 5], где - символ Кронекера. Используя ступенчатые функции Н(х) = 1 -Я(-х), Н(х) = 0 при х<,0 и Н(х) = 1 при х> 0, систему уравнений (3.1)-(3.2) можно записать в более наглядном виде, явно выделяя уравнения для каждой искомой функции:

= Ом +

У) =(М/(вка|)-1)о-у/(»7|т|)^(-ч7в)+(»у +у,,2)Я(а22)Я(П) а = (Дуц + 2 ^у„)/(Я+2//) Ща!г)Н(С1) П = а>, I,/ = 1,2,3,

В режиме скольжения при <та <0 эта система является полулинейной гиперболической системой уравнений с малым параметром в знаменателе свободного члена, которая описывает анизотропную упруговязкопластическую среду. Эта система, как и классические упруговязкопластические модели, имеет характеристические упругие скорости распространения волн а = ^¡(Я + 2р)/р и Ъ = \JmZp ■

В общем случае расположение слоев (и, соответственно, направление нормали к слоям) может быть переменным по пространству. Поэтому подчеркнем, что система уравнений (18) записана в локальной декартовой системе координат, ось х2 которой направлена по нормали к слоям, образующим рассматриваемую слоистую среду.

На основе аналогичных представлений сформулируем модель блочной среды. Предполагается, что блочная среда образована равномерно уложенными упругими кубиками с тремя возможными плоскостями скольжения-отслоения, ориентированными взаимно-перпендикулярными единичными нормалями п('1),

я = 1,2,3. Схематически ее двумерный вариант показан на Рис.5-Ь. Вектор скорости скольжения и отслоения на плоскости с нормалью п(/) обозначим и со'*1. Тахже обозначим компоненту у"' в направлении п(,\ через у{'К Будем также называть

плоскость с нормалью п(1) 5-плоскостью. Картина возможных скольжений на контактных поверхностях описывается следующим образом.

Если происходит скольжение на л -плоскости и при этом # 0, у^р * 0, / * ], то регулярность блочной структуры нарушается, из-за нахлестов / -я У -плоскости перестают быть плоскостями возможного скольжения, а становятся только плоскостями отслоения с контактными условиями следующего вида:

у<'> = 0 , (0м = 0 при о-?' < О <7„м=0, ;-,(" = 0 при Л(,)2 0

Единственной плоскостью скольжения-отслоения становится .г -плоскость. Таким образом, предполагается, что из трех возможных плоскостей скольжения-отслоения в зависимости от типа напряженного состояния реализуется только одна. Остальные две становятся плоскостями отслоения. Соответствующие этим условиям уравнения континуальной модели блочной среды получаются суммированием скольжений уми отслоений а>(')по трем $ -плоскостям, $ = 1,2,3, и имеют вид:

Л

На плоскости скольжения-отслоения:

Г^^М^ИК'/йКФ' ¿"=0 при а«<0

о-«=тМ=0 при П(,)2;0 (19)

На плоскостях отслоения: у™ = 0 , й){,) = 0 при 0

<г<"=0 , у^ = 0 при Пс" £ 0

где о-'" = сг^'Ч', г<*> = - V.

Если сориентировать три нормали к возможным плоскостям скольжения-отслоения по координатным осям принятой системы координат, то для нормалей будет справедливо соотношение: и((,) = <5/, где д' - символ Кронекера.

Как и в случае слоистой среды, систему уравнений для блочной среды можно написать в удобном для применения виде, разрешенном относительно производных по времени от искомых функций. Для этого предположим, что номер плоскости скольжения-отслоения равен ] = . Тогда получим:

Р^Оц.,

О» + 2^ -я2>(" I = М(?и + • 1 * и • '* 1 (20)

а/л = + -Х^а>{,)) ИХ+2М)Щсгм)Н(.П(»)

Используя введенные понятия плоскости скольжения-отслоения и плоскости отслоения, сформулируем специфическую модель блочной среды типа «кирпичной кладки». В этом случае предполагается, что изначально имеет место относительный сдвиг «кубиков»-«кирпичей» для определенности в 2-плоскости в направлении п(,), так что 1-плоскость перестает быть плоскостью скольжения-отслоения и остается только плоскостью отслоения: = 0. В двумерном случае структура такой среды показана на Рис. 5-с.

Ответ на вопрос о том, какая из 2- или 3-плоскостей реализуется в качестве плоскости скольжения-отслоения зависит от конкретного процесса натр ужения, но в отличие от правильной блочной структуры, это заведомо не может быть 1 -плоскость. С учетом этих обстоятельств система уравнений для рассматриваемой структуры аналогична системе для блочной среды (19), но с изначальным запретом на скольжение в 1-плоскости, ], ф1, г{1> =0,

На основании введенного понятия о плоскости отслоения можно также сформулировать определяющие соотношения для периодической структуры из упругих элементов, которую, в соответствии с ее плоским аналогом, можно назвать «паркетной укладкой» или, для краткости, просто «паркетом» (Рис,5-с)). В этом случае изначальные относительные смещения структурных элементов относительно трех взаимно-перпендикулярных плоскостей не оставляют возможности скольжения ни на одной из них, *1,2,3. Все три плоскости исходно будут являться плоскостями отслоения, поведение среды будет описываться уравнениями (19) с условиями на дополнительные функции у\г) = 0 при £ -1,2,3 .

Также отметим, что все сформулированные модели относятся к случаю, когда отсутствуют начальные сцепления на отрыв и сдвиг на контактных границах. Для более реалистичного описания поведения слоистых и блочных сред следует ввести пределы прочности на отрыв ста и сдвиг гег, В этом случае предполагается, что в исходном состоянии контактные границы «склеены» и не проявляют себя до тех пор, пока не нарушаются условия 5 асг или |т(,>|^гог. После этого межслойные или

межблочные связи на .г-ой контактной плоскости считаются разорванными, прочность на отрыв и сдвиг становится равной нулю и среда начинает описываться одной из сформулированных выше моделей.

Полученные реологические соотношения похожи на соотношения анизотропной теории упруговязкопластичности. Линейный дифференциальный оператор этих соотношений совпадает с оператором теории упругости, а нелинейные эффекты трения

(сухого и вязкого) учтены в недифференциальных членах с малым параметром в знаменателе, аналогичных членам вязкопластической деформации.

Введение вязкости в условия контактного взаимодействия позволяет избежать математических трудностей, связанных с рассмотрением нелинейных систем с сухим трением. Полученная система относится к классу полулинейных гиперболических, ее численное решение можно построить с помощью различных явных схем. Однако в режиме скольжения включается нелинейный свободный член с малым параметром вязкости в знаменателе. Система становится жесткой, и обычные явные схемы будут неустойчивыми. Для того, чтобы обойти эти затруднения, предлагается явно-неявный метод [6,7,20]. Неявная аппроксимация применяется только для тех уравнений, которые содержат малый параметр в знаменателе свободного члена, остальные уравнения аппроксимируются явно. Решение неявного разностного уравнения получается аналитически и используется как корректор явного «упругого» шага.

Опишем этот метод на примере уравнения для а у в режиме скольжения при а у < 0 для слоистой или блочной среды в системе координат, связанной с нормалью п01 к плоскости скольжения-отслоения:

Неявная аппроксимация первого порядка точности по времени имеет вид:

Здесь индексами л+1 и и помечены значения искомых величин на верхнем и нижнем слоях разбиения по времени, АГ - шаг по времени. Предполагается, что значения у"+1 и сг"/ уже определены из явной аппроксимации уравнений движения и уравнений для

нормальных компонент тензора напряжений, не содержащих малых параметров вязкости в знаменателе свободных членов. Эту нелинейную разностную систему уравнений удается решить аналитически.

Для компонент касательных напряжений на ] - плоскости имеем:

Здесь 5 = Г] !(/Л1), = <т"ц + «упругие» напряжения, полученные в

результате разностного шага, соответствующего «упругому» дифференциальному оператору. При малых 5 < 1 эта формула принимает вид:

о-^^^/Й+ОЮ (21)

Полученные формулы имеют наглядный смысл корректировки «упругих» напряжений на «конус трения». Аналогичным методом можно получить целый класс корректирующих формул для расчета классических соотношений упругопластичности при различных условиях текучести, в частности формулу Уилкинса для расчета идеальноупругопластических течений [6,9,13]. Эти же формулы пригодны для расчета касательных напряжений на плоскостях скольжения в блочных средах, поскольку в принятых моделях, в зависимости от напряженного состояния, реализуется только одна

из трех (регулярная блочная среда) или двух («кирпичная кладка») возможных плоскостей скольжения.

Уравнения моделей, ке содержащие малых параметров в знаменателе можно решать численно одним из известных методов конечных элементов или конечных объемов. В данной работе используется метод конечных объемов на четырехугольных (непрямоугольных) сетках для аппроксимации пространственных производных н с двухшаговой аппроксимацией по времени предиктор-корректор, которая на примере уравнений движения выглядит следующим образом: р (К"1 - v," )/д/ = o*VJ - предиктор,

p(v;+,-(C+v;)/2)/(0.5aO = z;:; - корректор

В этих формулах V"*' и Zf - значения компонент скорости и тензора напряжений на промежуточном шаге расчета по времени. Одновременно по этой же схеме аппроксимируются определяющие соотношения для напряжений с упругим дифференциальным оператором, После нахождения упругого решения происходит пересчет компонент тензора напряжений в систему координат, ориентированную по нормалям к межслойным или межблочным границам. Далее, происходит идентификация самих плоскостей как плоскостей скольжения-отслоения или только отслоения. При < 0 на соответствующей плоскости, корректируются касательные напряжения по формуле (21) и определяются скольжения у^ в первом случае или зануляются скольжения во втором. При > 0 зануляются нормальные и^ и касательные напряжения t,w в первом случае или нормальные напряжения и скольжения во втором. После этого из уравнений (18,20) вычисляются функции а/0 и а также новые компоненты тензора напряжений в исходной системе координат.

В качестве примеров численного моделирования процессов деформирования слоистых или блочных массивов приведем решения трех различных задач в двумерной, геометрически линейной постановке для случаев плоского деформированного состояния («з =0) или плоского напряженного состояния (<т33 = 0 ).

Первая задача моделирует эксперимент с массивом кирпичной кладки, описанный в работе Bicanic N., Stirling С., Реагсе C.J. (2002). Параллелепипед толщиной в один кирпич (это позволяет принять при расчетах гипотезу плоского напряженного состояния) уложен на платформу, основание которой допускает регулируемые вертикальные смещения. Боковая поверхность - прямоугольник со

сторонами, параллельными осям координат и х,. Центральная часть платформы шириной 21, / = 0.6а вертикально смещается вниз, и под действием силы тяжести происходит деформация массива с относительными подвижками блоков-кирпичей и образованием узких пустот за счет вертикальных отслоений. Эти зоны имеют направленность от границ подвижной части основания к центру массива (Рнс.б-а). Численное решение этой задачи строилось на основе системы уравнений (20) для случая массива, уложенного «кирпичной кладкой», методом установления квазистационарного режима. Граничные условия для прямоугольной области (в двумерной постановке для случая плоского напряженного состояния) заключаются в отсутствии нормальных и касательных напряжений на всех сторонах, за исключением нижней горизонтальной, где задаются условия на значения скоростей.

Задача решалась в два этапа. На первом при нулевых начальных условиях и нулевых скоростях на нижней границе «включалось» действие силы тяжести g вплоть до установления квазистатического напряженного состояния. На втором в момент времени с, менялось 1раничное условие при х2 - -Ь на вертикальную скорость: у2 =0

при | > /, v2 = у2 (г) при | £ I. Форма функции у2 (Г) выбиралась в виде треугольника со временем нарастания /0, общей длиной 2/0 и амплитудой -л>а; у2(0в0 при г > . На Рис.б-Ь показаны зоны вертикальных отслоений П2 для установившегося состояния при г = ^ »> . Величина и направленность этих зон имеет вид, сходный с наблюдаемым в эксперименте (Рис.б-а). Можно сделать вывод о пригодности предложенных континуальных моделей для качественного и количественного предсказания возникновения зон разрушений (скольжений и отслоений) в блочных массивах.

Рис.б-а Рис.б-Ь

Вторая задача основана на моделировании расчетного варианта деформируемого блочного массива, приведенного в работе Асагу V., Jean M. (1998). В этом случае параллелепипед |х,]<а,|х3| <Ь,|х3|<с кирпичной кладки деформировался под воздействием вертикального смещения левой половины основания и силы тяжести. И в этом случае в массиве наблюдалось развитие узкой зоны относительных вертикальных смещений, идущей от границы подвижной части основания. Результаты этого решения представлены на Рис.7-а. В рассматриваемом случае эта задача для континуальной модели решалась в двумерной постановке (плоское деформ1фованное состояние) также в два этапа: воздействие силы тяжести и более позднее включение на фоне установившегося напряженно-деформированного состояния граничного условия v2 = v2 (/) при -а < х, < 0, Результаты расчетов показаны на Рис.7-Ь, где

изображены зоны ненулевых вертикальных отслоений П2 для установившегося состояния при / = t3 » f,. Сравнение Рис.7-а и Рис.7-Ь показывает сходство зон разрушения блочного массива в рассматриваемом случае.

Рис.7-а Рис.7-Ь

Также рассматривается классическая задача прохождения плоской продольной упругой волны через свободную цилиндрическую полость. Амплитуда нормального напряжения в волне равна сгп = ра, полость расположена в блочной среде, уложенной по принципу кирпичной кладки при угле ориентации блоков а = 0. До подхода к полости при заданном угле ориентации волна не вызывает скольжений и отслоений в окружающей среде. При прохождении полости происходит развитие зон скольжения и отслоения в ее окрестности. Результаты численного моделирования этого процесса показаны на Рис.8. На Рис.8а-8с показаны изолинии нормальных напряжений егя, горизонтальных скольжений у,, вертикальных отслоений С12 в момент завершения процесса формирования зон разрушения. Отметим, что при заданной ориентации слоев характер относительных скольжений и отслоений в рассматриваемой среде таков же, как и в слоистой с горизонтальной ориентацией слоев.

гк

ШШ ]

у

Рис. 8-1

Данные примеры иллюстрируют возможность континуального моделирования динамических и квазистатических процессов в периодических структурах из упругих элементов - слоев или блоков, различным образом уложенных и ориентированных, с учетом внутренних скольжений и отслоений, вплоть до потери нормальных и касательных связей этих элементов друг с другом.

Пятая глава. Реализация явных схем интегрирования уравнений динамики упруговязкопластической среды сопряжена с известными вычислительными трудностями из-за наличия малого параметра времени релаксации (или параметра динамической вязкости) в знаменателе вязких членов. Малая величина времени релаксации по сравнению с обычным курантовским шагом по времени делает уравнения жесткими и приводит к неприемлемым дополнительным ограничениям расчетного шага по времени. Это затруднение преодолевается обычно применением схем интегрирования определяющих соотношений по времени типа предиктор-корректор (Бураго Н.Г., Кукуджанов В.Н. (1973)), (Ширко И.В., Якушев В.Л. (1973)) или с помощью неявных схем аппроксимации вязких членов в определяющих уравнениях (Пейре Р., Тейлор Т.Д. (1986)).

В пятой главе описаны новые конечно-объемные явно-неявные схемы [6,13] для задач динамики упруго(вязко)пластических сред. В этих схемах упомянутые выше трудности преодолены путем введения новых неявных аппроксимаций определяющих соотношений, которые удалось аналитически разрешить с помощью метода возмущений. Эффективность схем подтверждена проверками на примерах известных задач. Схемы применены к расчетам процессов сварки взрывом и процессов воздействия ударных волн на подземные сооружения.

ц

Ш

Рис. 8-Ь

Рис. 8-с

Уравнения динамики упруговязкопластической среды имеют вид:

аи = Р&и +-1)' V

Здесь V, - компоненты вектора скорости, сгу- компоненты тензора напряжений, ст. = <7М / 3 - среднее напряжение, ^ = ау-<тл8у - компоненты девиатора напряжений, J1 = 5^/2 - второй инвариант девиатора напряжений, г0 - статический предел текучести, /7- вязкость при динамическом нагружении, к - показатель степени в выражении для функции релаксации напряжений.

Как уже было сказано, при численном решении системы уравнений (5.1) по явной разностной схеме с шагом д/ при соблюдении условия Куранта параметр 8 = т\1(цьЛ) все равно остается малым (<У<*с1) из-за малости динамической вязкости 7. Этот малый параметр находится в знаменателе вязкого члена, поэтому интегрирование определяющих уравнений по явной разностной схеме с курантовским шагом по времени приводит к неустойчивости.

Положим, что значения компонент вектора скорости на и+1-м временном слое уже найдены из уравнений движения. Неявная схема первого порядка для определяющих соотношений имеет вид:

При *г = 1 эта система нелинейных разностных уравнений может быть решена точно. Выражение для девиатора напряжений на новом временном слое принимает вид

С = ¡0 " ¿)/2+?! 4а (24)

Здесь введено обозначение з' которое можно истолковать как

вспомогательный "упругий" шаг расчета, А = .IV /(2.

Для произвольного значения к эту разностную нелинейную систему (23) можно решить приближенно для малых значений 8 <« 1, Значение девиатора напряжений на новом временном слое при этом равно:

В полученных формулах можно явно перейти к пределу 8 —» 0, что соответствует переходу от упруговязкопластической к упругопластической модели, и получить известную корректировочную формулу Уилкинса «посадки на круг текучести».

Для численного решения определяющих соотношений (22) можно применить неявную аппроксимацию второго порядка точности по времени и получить более точную корректировочную формулу для девиаторов напряжений.

Неявная схема второго порядка по времени получается при использовании средних значений девиатора напряжений + / 2 в правой части уравнений (22):

Как и для аппроксимации первого порядка, систему (25) можно решить точно при *г = 1:

Здесь введены обозначения:

Л = ^О.5.(^+<)/2-«+<)/2/г0, 1=[ф + ЩЛ-1)/(1 + 2^ -1](1+2<У)/2

Для остальных значений к можно получить решение при 6 «*: 1, используя для решения системы уравнений (25) метод разложения по малому параметру. Окончательная формула для компонент девиатора напряжений на новом временном слое принимает вид:

г1 =[*; - (Л /(1+(2(* -ад'") -1) ]/[л /о+(2(Л - ад1")]

В этой формуле также можно положить <?=О и получить корректировку, соответствующую упругопластическому решению («посадка на круг текучести»):

(5* +*")/2

= 2-7=- " < т _ у (26)

На основе полученных формул предложен новый вариант метода конечных объемов для расчета высокоскоростных взаимодействий упругопластических и упруговязкопластических тел, и даются примеры применения метода к расчету прикладных задач о сварке взрывом и о действии ударных волн на подземные полости и сооружения.

Задачи решаются в пространственно двумерной постановке (плоская деформация или осевая симметрия). Математическая постановка задачи в рамках модифицированной с учетом возможных больших деформаций упруговязкопластической модели материала (22) включает систему уравнений движения, неразрывности, сдвигового деформирования и объемного деформирования. Выпишем ее в общей тензорной форме:

ру = У-о р+ рУ•V = О

8я =Р(УУ+УУг)-А(>'»:»/2 Д0 -1}%/? (27)

Здесь я = о - сги1 - девиатор тензора напряжений, ая = в: I / 3 - среднее напряжение,

8Л =з+з-Уу + Ууг,8 - временная производная Ривлина. Граничные условия вне зоны контакта заданы в напряжениях. На внешней поверхности наружной оболочки

(пластаны): <тм =сг0(г-и01), стт = 0. Остальные участки поверхности вне зоны контакта свободны от нагрузок: <гт = 0, ат = 0. Здесь индексы пи и пт обозначают нормальное и касательное напряжения к деформированной границе соударяющихся тел, сг0(г) - форма импульса нагружения в детонационной волне, и0 - ее скорость. На контактной границе непрерывны нормальные составляющие скоростей и нормальные напряжения, а касательные подчиняются условию трения:

[у,] = 0 при ст„ <т„ +?|«г)я| - условие сцепления, (28)

ат = (т^ + ]| - условие проскальзывания.

где т№- коэффициент сцепления контактных поверхностей, квадратными скобками выделены скачки искомых функций на контактной границе.

Основное предположение рассматриваемой модели контактного взаимодействия [9] состоит в том, что сцепление наступает при достаточно высоком уровне пластических деформаций в зоне контакта, тогда коэффициент сцепления будет сильно зависеть от величины интенсивности пластических деформаций у:

у = |Л/е'': е'Л. Это предположение формулируется следующим образом: -> 0 при

У<У„, г„ ->«> при

Для численного решения системы уравнений (27) использовалась уже рассмотренная ранее новая явно-неявная двухшаговая конечно-объемная схема второго порядка точности по времени с процедурой корректировки ("посадки на поверхность текучести") компонент девиатора (24) или (26). Задача решалась на лагранжевой сетке.

Был разработан новый контактный алгоритм расчета взаимодействия соударяющихся тел, основанный на геометрическом подходе, предложенном в работе Бураго Н.Г., Кукуджанова В.Н. (1988). Расчет шага по времени проводился в два этапа. На первом этапе рассчитывались предварительные значения искомых функций на новом временном слое и предварительное новое положение лагранжевой сетки без учета контактных усилий. Контактные усилия учитывались на втором этапе. Для этого определялась зона контакта путем перебора всевозможных граничных пар «чужой граничный узел — свой граничный отрезок» для взаимодействующих тел и проверки геометрического условия непроникания. Если это условие для некоторой граничной пары нарушено, то она принадлежит зоне контакта и для нее определялись и учитывались контактные усилия, которые обеспечивали взаимное непроникание тел и выполнение контактных условий (28).

На Рис.9-а,Ъ,с представлены результаты расчета высокоскоростного соударения титанового (внешнего) и стального (внутреннего) трубчатых образцов под действием детонационной волны. Волна распространяется по заряду взрывчатого вещества (ВВ) по внешней поверхности труб. Для наглядной иллюстрации процесса выбран режим с большим пиковым давлением в детонационной волне, что привело к сильным пластическим деформациям заготовок, особенно внешней титановой, в концевой зоне.

Рис. 9-а Изолинии Рис. 9-Ь Изолинии етп Рис.9-с Функция

На Рис.9-а,Ь представлены изолинии компонент напряжений и сг^. О качестве сварки можно судить по функции (Рис.9-с), которая определена на контактной границе двух тел и принимает значения 5У = 1 в зоне контакта со сваркой, 5„ = 0.5 в зоне контакта без сварки, = 0 вне зоны контакта. Функция 5, показывает, что качество сварки рассмотренных образцов является хорошим всюду за исключением небольшой концевой зоны, что часто наблюдается в эксперименте.

На основе предложенного явно-неявного метода конечных объемов решена двумерная задача (плоская деформация) о прохождении продольной волны через цилиндрическую полость в упруговязкопластической среде [2]). Эта задача представляет интерес в связи с воздействием ударных волн на подземные полости и сооружения. Продольная волна формируется от нормальной динамической нагрузки амплитудой р0, действующей на полупространство с полостью радиуса К, расположенной на глубине Я . Граница полости свободна от напряжений. Поведение среды описывается системой уравнений (27). Задача решалась в двух вариантах: на неподвижной сетке, и на лагранжевой сетке, узлы которой движутся вместе с частицами среды.

На Рис.10 представлены результаты упругопластического расчета (¿> = 0) взаимодействия волны с полостью для случая, когда нагрузка значительно, до 10 раз превышает статический предел текучести, р0 =0.01. Представлены изолинии компонент напряжений <тн. Ось 2 направлена по нормали к границе полупространства. Концентрация напряжений характеризуется значениями ап в боковых частях полости и сильно убывает с понижением предела текучести с ал =2.4 для упругого расчета до 0-22= 1.8, 1.5, 1.0 для упругопластического при т0= 0.007, 0.005, 0.001. Отметим также факт смещения точки максимальной концентрации напряжений с границы полости во внутреннюю боковую зону.

«СЮ»»- »'¿а™

4ЛМ N -4ШМ ' _

Рис.10 Упругопластический расчет (г0 =0.007, т0 =0.005, г0 =0.001)

В последнем случае картина напоминает обтекание гидродинамического препятствия (сильно развитое пластическое течение). Влияние нелинейной вязкости (параметра <5=0.,1.,2.), т.е. собственно упруговязкопластичности, на динамический процесс показано на Рис.11-а,Ъ,с для случая развитой пластичности г0 =0.001. Оно описывается коэффициентом динамичности ¿ = ггшх(У2)/т0, который характеризует превышение достигнутого значения второго инварианта девиатора над статическим пределом текучести. Корректировка напряжений проводилась по формуле (24). В данном случае этот коэффициент имеет значения £=1.21 при ¿ = 1., и ¿=1.37 при 3=2. Таким образом, динамический предел текучести оказался больше статического почти на 40 %. В случае более высоких значений статического предела текучести коэффициент динамичности значительно уменьшается.

Рис.!1-а <У = 0.к=1

Рис.11-Ь <У = 1.к=1.21 Рис.11-е 8=2. к=1.37

Данные примеры иллюстрируют возможности разработанного явно-неявного алгоритма для расчета нестационарных процессов деформирования упруговязкопластических сред при интенсивных динамических нагрузках.

ОСНОВНЫЕ НАУЧНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ.

В диссертации получено решение крупной научно-технической проблемы разработки определяющих соотношений и методов расчета процессов деформации и разрушения упруговязколластических, слоимых и блочных сред на основе теории скольжения, Новые научные результаты диссертации состоят в следующем.

1. Впервые аналитически проинтегрированы соотношения теории скольжения в случае сложного трехмерного напряженного состояния, Для случая малой вязкости получены замкнутые соотношения упруговязкопластяческой модели с условием пластичности Треска и нелинейной функцией релаксации, содержащей степенные показатели нелинейности. Для случая малого превышения предела текучести максимальным главным касательным напряжением получены замкнутые соотношения упругоппастической теории течения с условием текучести Треска. В отличие от классических теорий выведенные определяющие соотношения существенно зависят от структуры напряженного состояния.

2. На основе представлений теории скольжения в ее дискретном варианте построены континуальные модели слоистой и блочной сред, включающие в качестве новых зависимых переменных распределенные скорости скольжений и отслоений. Локальные условия проскальзывания выбраны в виде условий сухого трения с малой добавкой вязкого трения, что позволило сохранить упругий дифференциальный оператор определяющих соотношений для анизотропных упруговязкопластических сред, Получены определяющие соотношения континуальных моделей для структурно-периодических блочных сред типа «кирпичной кладки» и «паркета». Учтена начальная прочность на сдвиг и отрыв на контактных границах.

3. Для решения полученных систем уравнений предложен явно-неявный метод конечных объемов с полностью неявной аппроксимацией определяющих соотношений. Полученные нелинейные алгебраические уравнения явно-неявного метода разрешены аналитически методом возмущений.

4. Решен ряд новых динамических и квазистатических задач о сейсмических и техногенных воздействиях на полости и сооружения в упруго(вязко)пластических, слоистых и блочных средах, с учетом развития зон проскальзывания и отслоения.

ЛИТЕРАТУРА.

1. Никитин И.С. Задача о подвижной нагрузке на границе упругого полупространства с цилиндрической полостью.// Изв. АН СССР. МТТ, 1984. №3. С.93-99.

2. Никитин И.С. Задача о нагрузке, приложенной к неупругому полупространству с цилиндрической полостью.// Изв. АН СССР. МТТ. 1985. №5. С. 184-187.

3. Глушко А.И., Никитин И.С. Об одном методе расчета волны хрупкого разрушения.//Изв. АН СССР. МТТ. 1986. №3. С. 129-134.

4. Никитин И.С. Оередненные уравнения олоистой среды с нелинейными условиями взаимодействия на контактных границах.// Изв. АН СССР. МТТ. 1987. №5. С.80-86.

5. Никитин И,С. Оередненные уравнения блочной среды с нелинейными условиями взаимодействия на контактных границах//Изв. АН СССР. МТТ. 1988. №2. С.70-76.

6. Никитин И.С. Динамика слоистых и блочных сред с проскальзыванием и трением. Препринт №366 М.: Изд-с ИПМех АН СССР, 1989.42с.

7. Никитин И.С. О распространении волн в слоистых и блочных средах с трением на контактных границах.// Изв. АН СССР. Физика Земли. 1989. №7. С.3-11.

8. Korobov S.A., Oulbin V.N., Nikitin I.S. Stressed-strained state analysis of material under high-speed deformation conditions. Journal de Physique TV. Colloque C3. 1991.Vol.1, pp.235-240.

9. Гульбин B.H., Никитин И.С. Методика расчета параметров режима сварки взрывом разнородных металлов.// Сварочное производство. 1995. №1. С.18-25.

10. Кобеяев А.Г., Гульбин В.Н., Никитин И. С., Колесников Ф.В. Исследование напряженно-деформированного состояния при сварке взрывом слоистых биметаллов.// Сварка взрывом и свойства сварных соединений; Межвузовский сборник научных трудов/ ВолгГТУ. Волгоград. 2000. с.30-43.

11. Никитин И.С. Упруговязкопластическая модель и теория скольжения. Препринт № 784. М.: Изд-е ИПМех РАН. 2005. 32с.

12. Никитин И.С. Теория деформирования слоистых и блочных горных массивов с учетом трения. Материалы XIV Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным системам (ВМСППС-2005). М.: Вузовская книга. 2005. С.348.

13. Никитин И.С. Численный метод решения «жестких» полулинейных гиперболических систем. Тезисы докладов Ш Всероссийской конференции « Актуальные проблемы прикладной математики и механики». Екатеринбург: УрО РАН. 2006. С.87-88.

14. Никитин И.С. Упруговязкопластическая модель и теория скольжения. Труды IX Всероссийского съезда по теоретической и прикладной механике. Нижний Новгород. 22-28 августа 2006. С. 159.

15. Никитин И.С. Интегрируемые варианты трехмерной теории скольжения для упруговязкопластических и упругопластических материалов. Материалы XV Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным системам (ВМСППС-2007). М.: Вузовская книга. 2007. С.395-396.

16. Nikitin I. The Integrable variants of the 3D slip theory for elastoviscoplastlc and elastoplastic models. EMMC-10 Conference "Multi-phases and multi-components materials under dynamic loading" 11-14.06.2007.Kazimierz Dolny. Poland.

17. Никитин И.С. Определяющие соотношения упруговязкопластической модели и теория скольжения. // Изв. РАН, МТТ. 2007. №2. С. 110-122.

18. Никитин И.С. Построение упруговязкопластической и упругопластической моделей на основе теории скольжения. «XVIII сессия Международной школы по моделям механики сплошной среды». Саратов. 2007.

19. Nikitin I. Elastoviscoplastic model and concept of slip.// Multidiscipline Modeling in Mat. And Str. 2007. Vol. 3. №1. pp.91-106.

20. Никитин И.С. Динамические модели слоистых и блочных сред с проскальзыванием, трением и отслоением. //Изв. РАН. МТТ. 2008. №4. С.154-165.

21. Nikitin I. The Integrable Variant of the Theory of Slip.// Multidiscipline Modeling in Mat. And Str. 2008 .Vol. 4. №2, pp. 163-178.

«ТЕОРИЯ НЕУПРУГИХ СЛОИСТЫХ И БЛОЧНЫХ СРЕД»

АВТОРЕФЕРАТ Диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

И. С. Никитин

Подписано к печати 21.08.2008 Заказ № 28-2008 Тираж - 85 экз.

Отпечатано на ризографе Института проблем механики РАН 119526, Москва, пр-т Вернадского 101, к.1

9453

яуО

\у / ч"

2007oi»o

2007519311

Введение.

Глава 1. Обзор методов построения моделей и численного решения задач механики неупругих сред с периодической структурой.

1.1. Обзор континуальных моделей слоистых и блочных сред.

1.2. Обзор классических вариантов теории скольжения для упруго пластических сред.

1.3. Численные методы решения гиперболических систем для упруговязкопластических моделей механики сплошных сред.

Глава 2. Построение модели упруговязкопластической среды на основе теории скольжения для трехмерного напряженного состояния.

2.1. Условие скольжения с учетом локального критерия текучести и нелинейной вязкости.

2.2. Графо-аналитическое исследование определяющего интеграла теории скольжения по локальному критерию текучести.

2.3. Интегрирование определяющих соотношений теории скольжения в случае малой вязкости для трехмерного напряженного состояния

2.4. Обсуждение результатов.

2.5. Тензор скоростей деформации вязкой жидкости, тензор деформации упругого тела и теория скольжения.

Глава 3. Построение модели упругопластической среды на основе теории скольжения для трехмерного напряженного состояния.

3.1. Условие скольжения с учетом локального критерия текучести и критерия нагружения.

3.2. Графо-аналитическое исследование определяющего интеграла теории скольжения по локальному критерию текучести.

3.3. Графо-аналитическое исследование определяющего интеграла теории скольжения по локальному критерию нагружения.

3.4. Интегрирование определяющих соотношений теории скольжения в случае малого превышения локального предела текучести максимальным касательным напряжением для трехмерного напряженного состояния

3.5. Определение состояний активного, частичного нагружения и разгрузки.

3.6. Результаты интегрирования и определяющие соотношения полученной теории течения.

3.7. Интегрирование вырожденных случаев.

3.8. Сопоставление с классической теорией течения.

Глава 4. Определяющие соотношения для слоистых и блочных сред с учетом проскальзывания и отслоения. Алгоритм расчета полученных систем уравнений.

4.1. Нелинейные условия взаимодействия контактных границ структурных элементов.

4.2. Построение континуальной модели слоистой среды на основе дискретного варианта теории скольжения.

4.3. Построение континуальной модели блочной среды на основе дискретного варианта теории скольжения. Понятие плоскости скольжения-отслоения и плоскости отслоения.

4.4. Построение континуальной модели среды типа «кирпичной кладки» на основе дискретного варианта теории скольжения.

4.5. Построение континуальной модели среды типа «паркета» на основе дискретного варианта теории скольжения.

4.6. Численный метод решения полученных гиперболических систем. Аппроксимация по пространству и времени. Неявная аппроксимация полулинейных определяющих соотношений.

4.7. Примеры расчетов. Квазистатические задачи о проседании массива «кирпичной кладки». Сравнение с экспериментом.

4.8. Примеры расчетов. Динамическая задача о прохождении упругой продольной волны через полость в слоистой и блочной среде.

4.9. Примеры расчетов. Задача о горизонтальных и вертикальных колебаниях основания «стены с окном».

Глава 5. Явно-неявный метод расчета системы уравнений упруго вязкопластической среды.

5.1. Неявная аппроксимация первого порядка полулинейных уравнений системы для упруговязкопластической модели.

5.2. Неявная аппроксимация второго порядка полулинейных уравнений системы для упруговязкопластической модели.

5.3. Примеры расчетов. Высокоскоростное наклонное соударение пластин и трубчатых образцов (сварка взрывом). Алгоритм расчета контактного взаимодействия. Критерий сварки.

5.4. Примеры расчетов. Прохождение продольной волны через полость в упруговязкопластической среде. Малые и большие деформации.

В диссертации получено решение важной научно-технической проблемы - создания континуальных моделей слоистых и блочных сред с учетом проскальзывания и отслоения на контактных границах на основе теории скольжения и разработки эффективных численных методов для решения систем уравнений, описывающих поведение таких сред.

В первой главе дан обзор работ по теории скольжения, применяемой для построения изотропных упругопластических моделей. Также проведен анализ работ, посвященных континуальным моделям слоистых и блочных сред с учетом возможного проскальзывания на контактных границах. Дано описание основных численных методов, применяемых для решения нестационарных систем уравнений, описывающих поведение классических упругопластических и упруговязкопластических сред.

Во второй главе, для условия скольжения с учетом вязкости и локального критерия текучести, проинтегрированы соотношения теории скольжения в случае сложного трехмерного напряженного состояния. Для случая малой вязкости аналитически получены замкнутые соотношения упруговязкопластической модели.

В третьей главе, для условия скольжения с учетом локального критерия текучести и локального критерия нагружения, проинтегрированы соотношения теории скольжения в случае сложного трехмерного напряженного состояния. Для случая малого превышения предела текучести максимальным главным касательным напряжением получены замкнутые соотношения упругопластической теории течения.

В четвертой главе на основе представлений теории скольжения в ее дискретном варианте построены континуальные модели слоистой и блочной сред, включающие в качестве новых зависимых переменных распределенные скорости скольжений и отслоений. Для решения полученных систем уравнений предложен явно-неявный численный метод, основанный на методе конечных объемов и неявной аппроксимации полулинейных определяющих уравнений модели, содержащих малый параметр вязкости в знаменателе свободного члена. Приведены примеры решения ряда динамических и квазистатических задач.

В пятой главе явно-неявный численный метод обобщен на случай классической системы уравнений для упруговязкопластической среды. Приведены примеры численных решений динамических задач.

Выводы и перечень основных результатов диссертации, выносимых на защиту, приведен в Заключении.

По содержанию диссертации сделано более двадцати публикаций, из которых половину составляют доклады на конференциях, другую половину составляют статьи по отдельным вопросам работы. Часть результатов отражена в отчетах по различным проектам.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих изданиях:

1. Никитин И.С. Задача о подвижной нагрузке на границе упругого полупространства с цилиндрической полостью.// Изв. АН СССР. МТТ.

1984. №3. С.93-99.

2. Никитин И.С. Задача о нагрузке, приложенной к неупругому полупространству с цилиндрической полостью.// Изв. АН СССР. МТТ.

1985. №5. С.184-187.

3. Глушко А.И., Никитин И.С. Об одном методе расчета волны хрупкого разрушения.// Изв. АН СССР. МТТ. 1986. №3. С. 129-134.

4. Никитин И.С. Осредненные уравнения слоистой среды с нелинейными условиями взаимодействия на контактных границах.// Изв. АН СССР. МТТ. 1987. №5. С.80-86.

5. Никитин И.С. Осредненные уравнения блочной среды с нелинейными условиями взаимодействия на контактных границах//Изв. АН СССР. МТТ. 1988. №2. С.70-76.

6. Никитин И.С. Динамика слоистых и блочных сред с проскальзыванием и трением. Препринт №366 М.: Изд-е ИПМех АН СССР, 1989.42с.

7. Никитин И.С. О распространении волн в слоистых и блочных средах с трением на контактных границах.// Изв. АН СССР. Физика Земли. 1989. №7. С.3-11.

8. Korobov S.A., Gulbin V.N., Nikitin I.S. Stressed-strained state analysis of material under high-speed deformation conditions. Journal de Physique IV. Colloque C3. 1991. Vol.1, pp.235-240.

9. Гульбин В.H., Никитин И.С. Методика расчета параметров режима сварки взрывом разнородных металлов.// Сварочное производство. 1995. №1. С. 18-25.

10. Кобелев А.Г., Гульбин В.Н., Никитин И.С., Колесников Ф.В. Исследование напряженно-деформированного состояния при сварке взрывом слоистых биметаллов.// Сварка взрывом и свойства сварных соединений: Межвузовский сборник научных трудов/ ВолгГТУ. Волгоград. 2000. с.30-43.

11. Никитин И.С. Упруговязкопластическая модель и теория скольжения. Препринт № 784. М.: Изд-е ИПМех РАН. 2005. 32с.

12. Никитин И.С. Теория деформирования слоистых и блочных горных массивов с учетом трения. Материалы XIV Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным системам (ВМСППС-2005). М.: Вузовская книга. 2005. С.348.

13. Никитин И.С. Численный метод решения «жестких» полулинейных гиперболических систем. Тезисы докладов III Всероссийской конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и механики». Екатеринбург: УрО РАН. 2006. С.87-88.

14. Никитин И.С. Упруговязкопластическая модель и теория скольжения. Труды IX Всероссийского съезда по теоретической и прикладной механике. Нижний Новгород. 22-28 августа 2006. С. 159.

15. Никитин И.С. Интегрируемые варианты трехмерной теории скольжения для упруговязкопластических и упругопластических материалов. Материалы XV Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным системам (ВМСППС-2007). М.: Вузовская книга. 2007. С.395-396.

16. Nikitin I. The Integrable variants of the 3D slip theory for elastoviscoplastic and elastoplastic models. EMMC-10 Conference "Multiphases and multi-components materials under dynamic loading" 11-14.06.2007.Kazimierz Dolny, Poland.

17. Никитин И.С. Определяющие соотношения упруговязкопластической модели и теория скольжения. // Изв. РАН. МТТ. 2007. №2. С. 110-122.

18. Никитин И.С. Построение упруговязкопластической и упругопластической моделей на основе теории скольжения. «XVIII сессия Международной школы по моделям механики сплошной среды» Саратов. 2007.

19. Nikitin I. Elastoviscoplastic model and concept of slip.// Multidiscipline Modeling in Mat. And Struct. 2007. Vol. 3. №1. pp.91-106.

20. Никитин И.С. Динамические модели слоистых и блочных сред с проскальзыванием, трением и отслоением. //Изв. РАН. МТТ. 2008. №4. С.154-165.

21. Nikitin I. The Integrable Variant of the Theory of Slip.// Multidiscipline Modeling in Mat. And Struct. 2008 .Vol. 4. №2. pp. 163-178.

Заключение.

В диссертации получен вариант решения важной научно-технической проблемы развития теории и методов расчета неупругих слоистых и блочных сред с проскальзыванием и отслоением на контактных границах.

Ниже приводится перечень основных положений, выносимых на защиту.

1. Предложен новый метод аналитического интегрирования локальных соотношений теории скольжения для общего случая трехмерного напряженного состояния.

2. В общем случае трехмерного напряженного состояния аналитически проинтегрированы локальные условия теории скольжения и получены новые определяющие соотношения:

A) упруговязкопластической модели (для малой вязкости);

Б) упругопластической модели (для малого превышения предела текучести);

B) модели слоистой среды со скольжением и отлипанием слоев. Г) ряда моделей блочных сред различной структуры.

Важным для практического применения является тот факт, что задачи для построенных моделей сред можно решать с помощью обычных алгоритмов динамической теории пластичности.

3. Для реализации предложенных моделей неупругих слоистых и блочных сред предложен новый уточненный явно-неявный численный метод, основанный на конечно-разностном методе конечных объемов и на точных решениях неявно аппроксимированных определяющих уравнений.

4. Метод реализован в виде пакета прикладных программ для персональных ЭВМ и использован для решения ряда новых

197 квазистатических и динамических задач о деформировании неупругих слоистых и блочных сред с полостями и о развитии в них разрушений в виде зон проскальзывания и отслоения. Решения моделируют сейсмические и техногенные воздействия на элементы зданий и сооружений. Проведено сравнение численных решений с известными экспериментальными данными. Сравнение показало хорошее качественное согласование теории и эксперимента.

Автор выражает глубокую признательность научному консультанту д.ф.-м.н., профессору Н.Г.Бураго за многолетнюю неоценимую поддержку, многочисленные беседы и обсуждения вопросов, рассмотренных в данной работе.

1. Аннин Б.Д., Садовская О.В., Садовский В.М. Численное моделирование косого соударения пластин в упругопластической постановке.// Физ. мезомеханика. 2000. Т.З. №4. С. 23-28.

2. Батдорф С.Б., Будянский Б. Математическая теория пластичности, основанная на концепции скольжения.// Механика. Период, сб. перев. иностр. статей. 1962. N1. С. 135-155.

3. Бахвалов Н.С. Осреднение дифференциальных уравнений с частными производными с быстро осциллирующими коэффициентами.// ДАН СССР. 1975. 221. №3. С. 516-519.

4. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.СПб.: Физматлит. 2002. 630с.

5. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука. 1984. 352с.

6. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука. 1973. 502с.

7. Бураго Н.Г., Кукуджанов В.Н. Распространение упруговязкопластических волн в средах с запаздыванием текучести. // Вкн. "Распространение упругих и упругопластических волн". Труды 5-го Всесоюзного симпозиума. Алма-Ата: Наука. 1973. С. 101-107.

8. Бураго Н.Г., Кукуджанов В.Н. Решение упругопластических задач методом конечных элементов. Препринт №326. М.: Изд-е ИПМ АН СССР. 1988. 63с.

9. Бураго Н.Г., Глушко А.И., Ковшов А.Н. Термодинамический метод получения определяющих уравнений для моделей сплошных сред.// Изв. РАН. МТТ. 2000. №6. С. 4-15.

10. Бураго Н.Г., Ковшов А.Н. Модель дилатирующей разрушающейся среды.// Изв. РАН. МТТ. 2001. №5, С. 112-117.

11. Бураго Н.Г., Кукуджанов В.Н. Обзор контактных алгоритмов.// Изв. РАН. МТТ. 2005. № 1. С. 44-85.

12. Бураго Н.Г., Кукуджанов В.Н. Численное решение задач континуального разрушения. Препринт №746. М.: Изд-е ИПМ РАН . 2004. 40с.

13. Васин P.A., Ленский B.C., Ленский Э.В. Динамические зависимости между напряжениями и деформациями.// Проблемы динамики упругопластических сред. Новое в зарубежной науке: Механика. М: Мир. 1973. №5. С. 7-38.

14. Глушко А.И., Никитин И.С. Об одном методе расчета волны хрупкого разрушения.// Изв. АН СССР. МТТ. 1986. №3. С. 129-134.

15. Глушко А.И., Нещеретов И.И. О кинетическом подходе к разрушению горных пород. //Изв. АН СССР. МТТ. 1986. N6. С. 140-146.

16. Глушко А.И. Об одном подходе к разрушению горных пород. //Изв. АН СССР. МТТ. 1988. N3. С. 130-135.

17. Глушко А.И., Нещеретов И.И. О континуальных моделях разрушения твердых тел. 4.1.//Изв. РАН. МТТ. 1999. N1. С. 124-138. 4.2.//Изв. РАН. МТТ. 1999. N2. С. 125-138.

18. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1977. 439с.

19. Годунов С.К. Элементы механики сплошной среды. М.: Наука. 1978. 303с.

20. Годунов С.К., Забродин A.B., Иванов М.Я., Крайко А.Н., Прокопов Г.П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука. 1976. 400с.

21. Гулидов А.И., Фомин В.М. Модификация метода Уилкинса для решения задач соударения тел.// Препринт ИТПМ СО АН СССР. Новосибирск. 1980.

22. Гулидов А.И., Фомин В.М. Численное моделирование отскока осесимметричных стержней от твердой преграды.// ЖПМТФ. 1980. №3. С. 126-132.

23. Гульбин В.Н., Никитин И.С. Методика расчета параметров режима сварки взрывом разнородных металлов.// Сварочное производство. 1995. №1. С. 18-25.

24. Дерибас A.A. Физика упрочнения и сварки взрывом. Новосибирск. 1972. 188с.

25. Ефремов В.В. О косых соударениях металлических пластин в упругой постановке.// Ж. прикл. мех. и тех. физики. 1975. №5. С. 167-172.

26. Жуков A.M. Сложное нагружение и теория пластичности изотропных металлов.// Изв. АН СССР. ОТН. 1955. №8. С. 81-92.

27. Жуков A.M. О пластических деформациях изотропного металла при сложном нагружении. // Изв. АН СССР. ОТН. 1956. №12. С. 72-87.

28. Жуков A.M., Работнов Ю.Н. Исследование пластических деформаций стали при сложном нагружении.// Инж. сб. 1954. Т. 18. С. 105112.

29. Заппаров К.И., Кукуджанов В.Н. Математическое моделирование задач импульсного взаимодействия и разрушения упругопластических тел. Препринт №280. М.: Изд-е ИПМ АН СССР. 1986. 67с.

30. Захаренко И.Д. Сварка металлов взрывом. Новосибирск: Наука и техника. 1990. 205с.

31. Зволинский Н.В., Шхинек К.Н. Континуальная модель слоистой среды. // Изв. АН СССР. МТТ. 1984. N1. С.5-14.

32. Качанов JIM. Основы механики разрушения. М.: Наука. 1974. 311с.

33. Ильюшин A.A. Механика сплошной среды. М.: Изд-во МГУ. 1990. 310с.

34. Киселев А.Б. Развитие метода Уилкинса для решения трехмерных задач соударения деформируемых тел.// Взаимодействие волн в деформируемых средах. М.: МГУ. 1984. С.87-100.

35. Клифтон Р.Дж. Разностный метод в плоских задачах динамической упругости. В сб. «Механика». 1968. №1. С. 103-122.

36. Клюшников В.Д. О законах пластичности материала с упрочнением.//ПММ. 1958. Т.22. Вып.1. С. 97-118.

37. Клюшников В.Д. Теория пластичности: современное состояние и перспективы.// Изв. РАН. МТТ. 1993. №2. С. 102-116.

38. Кнетс И.В. Основные современные направления в математическойтеории пластичности, Рига: Зинатне. 1971. 147с.202

39. Коларов Д., Балтов А., Бончева Н. Механика пластических сред. М.: Мир. 1979.302с.

40. Койтер В.Т. Соотношения между напряжениями и деформациями, вариационные теоремы и теорема единственности для упругопластических материалов с сингулярной поверхностью текучести// В сб.: Механика. Период, сб. перев. иностр. статей. 1960. №2. С. 117-129.

41. Кондауров В.И. О законах сохранения упруговязко-пластической среды с конечными деформациями.// Изв. АН СССР. МТТ. 1982. №6. С. 100-111.

42. Кондауров В.И. Об уравнениях упруговязкопластической среды с конечными деформациями.// Ж. прикл. мех. и тех. физики. 1982. №4. С. 133-139.

43. Кондауров В.И., Петров И.Б., Холодов A.C. Численное моделирование процесса внедрения жесткого тела вращения в упругопластическую преграду.// Ж. прикл. мех. и тех. физики. 1984. №4. С. 760-764.

44. Кондауров В.И., Мухамедиев Ш.А., Никитин JI.B., Рыжак Е.И. Механика разрушения горных пород. М.: Наука. 1987. 218с.

45. Кондауров В.И., Никитин Л.В. Модель континуального разрушения вязкоупругих тел.// Изв. АН СССР. МТТ. 1989. №3. С. 131-139.

46. Кондауров В.И. Тензорная модель континуального разрушения и длительной прочности упругих тел.// Изв. РАН. МТТ. 2001. № 5. С.134-151.

47. Кондауров В.И., Фортов В.Е. Основы термодинамики конденсированной среды. М.: МФТИ. 2002. 336с.

48. Кондауров В.И. Механика и термодинамика насыщенной пористой среды. М.: МФТИ. 2007. 310 с.

49. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. М.: Мир. 1972. 334с.

50. Крупин A.B. Деформация металлов взрывом. М.: Металлургия. 1975.416с.

51. Кукуджанов В.Н. Распространение упругопластических волн в стержне с учетом влияния скорости деформации. М.: ВЦ АН СССР. 1967. 48с.

52. Кукуджанов В.Н., Кондауров В.И. Численное решение неодномерных задач динамики твердого деформируемого тела.// Проблемы динамики упругопластических сред. Новое в зарубежной науке: Механика. М: Мир. 1973. №5. С. 39-84.

53. Кукуджанов В.Н. Численное моделирование динамических процессов деформирования и разрушения упругопластических сред.// Успехи механики. 1985. Т.8. Вып.4. С. 21-65.

54. Кукуджанов В.Н. Численные методы решения задач механики деформируемого твердого тела. М.: МФТИ. 1990. 95с.

55. Кукуджанов В.Н. Микроскопическая модель разрушениянеупругого материала и ее применение к исследованию локализациидеформаций. // Изв. РАН. МТТ. 1999. №5. с. 72-87.204

56. Кукуджанов В.Н. Распространение волн в упруговязкопластических материалах с диаграммой общего вида.// Изв. РАН. МТТ. 2001. №5. С. 96-111.

57. Кукуджанов В.Н. Метод расщепления упругопластических уравнений. // Изв. РАН. МТТ. 2004. №1. С. 98-108.

58. Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. М.: Физматлит. 2001. 600с.

59. Леонов М.Я., Швайко Н.Ю. Сложная плоская деформация.// ДАН СССР. 1964. Т. 159. №5. С. 1007-1010.

60. Линь Т.Г. Физическая теория пластичности.// Проблемы теории пластичности. Новое в зарубежной науке: Механика. М: Мир. 1976. №7. С. 7-68.

61. Магомедов K.M., Холодов A.C. О построении разностных схем для уравнений гиперболического типа на основе характеристических соотношений.// Ж. выч. матем. и матем. физики. 1969. Т.9. №2. С.373-386.

62. Магомедов K.M., Холодов A.C. Сеточно-характеристические методы. М.: Наука. 1988. 290с.

63. Майнчен Дж., Сак С. Метод расчета «Тензор». В сб. «Вычислительные методы в гидродинамике». М.: Мир. 1967. С. 185-211.

64. Малмейстер А.К. Основы теории локальности деформаций.// Механика полимеров. 1965. №4. с. 12-27.

65. Молотков Л.А., Хило А.Е. Эффективные модели слоистых сред с линейными контактами общего вида.// Зап. научн. семинаров ЛОМИ. 1986. Т.156. С. 148-157.

66. Мохель А.Н., Салганик P.JI. К теории пластического деформирования упрочняющихся материалов.// Изв. АН СССР. МТТ. 1976. N5. С. 98-111.

67. Мохель А.Н., Салганик P.JL, Христианович С.А. О пластическом деформировании упрочняющихся металлов и сплавов. Определяющие уравнения и расчеты по ним.//Изв. АН СССР. МТТ. 1983. N4. С. 119-141.

68. Найфэ А. Введение в методы возмущений. М.: Мир. 1984. 535с.

69. Никитин И.С. Задача о подвижной нагрузке на границе упругого полупространства с цилиндрической полостью.// Изв. АН СССР. МТТ.1984. №3. С. 93-99.

70. Никитин И.С. Задача о нагрузке, приложенной к неупругому полупространству с цилиндрической полостью.// Изв. АН СССР. МТТ.1985. №5. С.184-187.

71. Никитин И.С. Осредненные уравнения слоистой среды с нелинейными условиями взаимодействия на контактных границах.// Изв. АН СССР. МТТ. 1987. №5. С. 80-86.

72. Никитин И.С. Осредненные уравнения блочной среды с нелинейными условиями взаимодействия на контактных границах.// Изв. АН СССР. МТТ. 1988. №2. С. 70-76.

73. Никитин И.С. Динамика слоистых и блочных сред с проскальзыванием и трением. Препринт №366 М.: Изд-е ИПМ АН СССР, 1989. 42с.

74. Никитин И.С. О распространении волн в слоистых и блочных средах с трением на контактных границах.// Изв. АН СССР. Физика Земли. 1989. №7. С.3-11.

75. Никитин И.С. Упруговязкопластическая модель и теория скольжения. Препринт № 784 М.: Изд-е ИПМех РАН. 2005. 32с.

76. Никитин И.С. Теория деформирования слоистых и блочных горных массивов с учетом трения. Материалы XIV Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным системам (ВМСППС-2005). М.: Вузовская книга. 2005. С.348.

77. Никитин И.С. Численный метод решения «жестких» полулинейных гиперболических систем. Тезисы докладов III Всероссийской конференции « Актуальные проблемы прикладной математики и механики». Екатеринбург: УрО РАН. 2006. С. 87-88.

78. Никитин И.С. Определяющие соотношения упруговязкопластической модели и теория скольжения. // Изв. РАН. МТТ. 2007. №2. С. 110-122.

79. Никитин И.С. Построение упруговязкопластической и упругопластической моделей на основе теории скольжения. Сб. докладов Международной конференции «XVIII сессия Международной школы по моделям механики сплошной среды» Саратов. 27.08-01.09. 2007г.

80. Никитин И.С. Упруговязкопластическая модель и теория скольжения. Труды IX Всероссийского съезда по теоретической иприкладной механике. Нижний Новгород. 22-28 августа 2006. С. 159.207

81. Никитин И.С. Динамические модели слоистых и блочных сред с проскальзыванием, трением и отслоением. //Изв. РАН. МТТ. 2008. №4.

82. Никифоровский B.C., Шемякин Е.И. Динамическое разрушение твердых тел. Новосибирск. Наука. 1979. 272с.

83. Новацкий В.К. Волновые задачи теории пластичности. М.: Мир. 1978.310с.

84. Пейре Р., Тейлор Т.Д. Вычислительные методы в задачах механики жидкости. JL: Гидрометеоиздат. 1986. 351с.

85. Петров И.Б., Холодов A.C. Численное исследование динамических задач механики деформируемого твердого тела сеточно-характеристическим методом.// Ж. выч. матем. и матем. физики. 1984. Т.24. С. 722-739.

86. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: Изд-во МГУ. 1981. 344с.

87. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во МГУ. 1984. 336с.

88. Поздеев A.A., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругопластические деформации. М.: Наука. 1986. 232с.

89. Пэжина П. Основные вопросы вязкопластичности. М.: Мир. 1968. 176с.

90. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука. 1979. 744с.

91. Рихтмайер Р.Д., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир. 1972. 418с.

92. Рождественский Б.Л., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений. М.: Наука. 1978. 688с.

93. Русинко К.Н., Калатинец А.Е., Древаль С.С. Вопросы концепции скольжения в теории пластичности.// Прикл. механ. 1974. Т. 10. Вып.1. С. 3-19.

94. Садовский В.М. Алгоритмы «корректировки» решения в задачах динамического деформирования упругопластических тел.// Моделирование в механике сплошных сред. Красноярск: Изд-во Красноярского ун-та. 1992. С. 29-39.

95. Садовский В.М. Разрывные решения в задачах динамики упругопластических сред. М.: Наука. Физматлит. 1997. 208с.

96. Сажин В.В. Численное решение задачи о наклонном соударении упругопластических прямоугольников под малым углом. Препринт №289. М.: Изд-е ИПМ АН СССР. 1986. 86с.

97. Сажин В.В., Симонов И.В. Соударение упругих и упругопластических прямоугольников под малым углом. Препринт №300. М.: Изд-е ИПМ АН СССР. 1987. 57с.

98. Сажин В.В., Симонов И.В. Наклонное соударение упругой и акустической полос в дозвуковом режиме.// Изв. АН СССР. МТТ. 1987. №5. С.109-114.

99. Сажин В.В. Наклонное соударение двух разнородных упругих полос в дозвуковом режиме.// Изв. АН СССР. МТТ. 1988. №5. С. 85-90.

100. Салганик P.JI. Приближение сплошной среды для описания деформирования слоистого массива.// Изв. АН СССР. МТТ. 1987. №3. С.48-56.

101. Салганик P.JI. Смешанные статические граничные задачи для многослойных упругих структур, образованных работающими на изгибслоями (континуальное приближение).// Изв. РАН. МТТ. 2004. №1. С.88-97.

102. Салганик P.JI. Термо- и пороупругое деформирование многослойной структуры, слои которой работают на изгиб (континуальное приближение ).// Изв. РАН. МТТ. 2005. №3. С.60-65.

103. Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. М.: Мир. 1982. 472с.

104. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука. Физматлит. 1976. 576с.

105. Соколовский В.В. Распространение упруго-вязко-пластических волн в стержнях.// ПММ. 1948. 12. С. 3-11.

106. Соколовский В.В Одномерные нестационарные движения вязко-пластической среды.// ПММ. 1949. 13. С. 623-632.

107. Степанов Г.В. Влияние скорости деформации на характеристики упругопластического деформирования металлических материалов.// Ж. прикл. мех. и тех. физики. 1982. №1. С. 150-156.

108. Угодчиков А.Г., Баженов В.Г., Рузанов А.И. О численных методах и результатах решения нестационарных задач теории упругости и пластичности.// Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск. ИТПМ СО АН СССР. 1985. Т. 16. №4. С. 129-149.

109. Уилкинс М.Л. Расчет упругопластических течений. В сб. «Вычислительные методы в гидродинамике». М.: Мир. 1967. С. 21-263.

110. Фомин В.М., Гулидов А.И., Сапожников Г.А. и др. Высокоскоростное взаимодействие тел. Новосибирск. Изд-во СО РАН. 1999. 600с.

111. Христианович С.А. Деформация упрочняющегося пластического материала.//Изв. АН СССР. МТТ. 1974. N2. С. 148-174.

112. Швайко Н.Ю. К теории пластичности, основанной на концепции скольжения.// Прикл. механика. 1976. Т.12. № 11. С. 12-24.

113. Швайко Н.Ю. К теории пластичности с гладкой поверхностью нагружения.// Физ.-хим. мех. матер. 1997. Т. 33. №6. С. 63-70.

114. Ширко И.В., Якушев В.Л. Физически и геометрически нелинейные деформации оболочек вращения.// Изв. АН СССР. 1975. N6. С.103-109.

115. Якушев В.Л. Нелинейные деформации и устойчивость тонких оболочек. М.: Наука. 2004. 276 с.

116. Acary V., Jean М. Numerical simulation of monuments by the contacts dynamics method.// Monument-98.Workshop on Seismic Performance of Monuments.Lisboa. Portugal. 1998. p.69-78.

117. Anthoine A. Homogenisation of periodic masonry: plane strain, generalized plane strain or three-dimensional modeling.// Commun. Numer. Methods Engng. 1997. Vol. 13. pp.319-326.

118. Asteris P.G., Tzamtzis A.D. On the use of a regular yield surface for the analysis of unreinforced masonry walls.// Electronic Journal of Structural Engineering. 2003. Vol. 3. pp. 23-42.

119. Bakulin A. Intrinsic and layer-induced vertical transverse isotropy.// Geophysics. 2003. Vol. 68. pp. 1708-1713.

120. Bakulin A. and Grechka V. Effective anisotropy of layered media.// Geophysics. 2003. Vol. 68. pp. 1817-1821.

121. Bazant Z.P., Gambarova P.G. Crack shear in concrete: crack band microplane model.// J. Struct. Engng. ASCE. 1984. Vol. 110. pp. 2015-2036.

122. Bazant Z.P., Oh B.H. Microplane model for progressive fracture of concrete and rock.// J. Engng. Mech.1985. Vol. 111. pp. 559-582.

123. Bazant Z.P., Prat P. Microplane model for brittle plastic material. Part I Theory, Part II - Verification.// J. Engng. Mech. 1988. Vol. 114. pp. 16721702.

124. Brasile S., Casciaro R., Formica G. Multilevel approach for brick masonry walls Part II: On the use of equivalent continua. // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2007. Vol. 196. 49-52. pp. 4801-4810.

125. Briccoli S., Ranocchiai G ., Rovero L. A micromechanical model for linear homogenization of brick masonry.//Materials and Structures. 1999. Vol.32. 1. pp.22-30.

126. Bekaert A., Maghous S. Three-dimensional yield strength properties of jointed rock mass as a homogenized medium.// Mechanics of Cohesive-frictional Materials. 1996. Vol. 1.1. pp. 1-24

127. Berto L., Saetta A., Scotta R., Vitaliani R. An orthotopic damage model for masonry structures.// Int. J. Numer. Methods Engng. 2002. Vol. 55. pp 127-157.

128. Bicanic N., Stirling C., Pearce C.J. Discontinuous modelling of structural masonry//WCCM V. 5th World Congr. Comput. Mech. Vienna, Austria, 2002. p.217-226. //Eds.: H.A.Mang etc.

129. Budiansky B., Wu T.Y. Theoretical prediction of plastic strains of polycrystals.// Proc. 4th U.S.Nat.Congr. Appl. Mech. 1962. p.l 175.

130. Carol I., Bazant Z.P. Damage and plasticity in microplane theory.// Int. J. Solids Struct. 1997. Vol. 34. pp.3807-3835.

131. Carol I., Bazant Z.P., Prat P. Geometric damage tensor based on microplane model.// J. Engng. Mech. 1991. Vol. 117. pp. 2429-2448.

132. Carol I., Jirasek M., Bazant Z.P. A thermodynamically consistent approach to microplane theory. Part I: Free energy and consistent microplane stresses.// Int. J. Solids Struct. 2000. Vol. 38. pp. 2921-2931.

133. Cho T. F., Plesha M.E., Haimson B.C. Continuum modelling of jointed porous rock.// Int. J. for Numer.l and Analyt. Methods in Geomechanics. 1991. Vol. 15. 5. pp. 333-353.

134. Christensen R.M. Wave propagation in layered elastic media.// J. Appl. Mech. 1975. Vol .42. p.153.

135. Clifton R.J. A difference methods for plane problems in dynamic elasticity.// Quart. Appl. 1967. Vol. 25,№1.

136. Gambarotta L., Lagomarsino S. Damage model for the seismic response of brick masonry shear walls. Part I: The mortar joint model and its applications.// Earthquake Engineering & Structural Dynamics. 1997. Vol. 26. 4. pp. 423 439.

137. Gambarotta L., Lagomarsino S. Damage model for the seismic response of brick masonry shear walls. Part II: The continuum model and its applications. // Earthquake Engineering & Structural Dynamics. 1997. Vol. 26. 4. pp. 441 -462.

138. Giambanco G., Fileccia Scimemi G. Mixed mode failure analysis of bonded joints with rate-dependent interface models.// Int. J. Numer. Methods Engng. 2006. Vol. 67. 8. pp. 1160-1192.

139. Hegemeier G., Nayfeh A.N. A continuum theory for wave propagation in laminated composites. Case I: Propagation normal to the laminates.// J. Appl. Mech. 1973. Vol. 40. p.503.

140. Hutchinson J.W. Elastic-plastic behavior of polycrystalline metals and composites.//Proc. Roy. Soc. 1970. A319. pp.247-272.

141. Kamil Tanrikulu A., Meng Y., McNiven H.D. The non-linear response of unreinforced masonry buildings to earthquake excitations.// Earthquake Engineering & Structural Dynamics. 1992. Vol. 21. 11. pp. 965-985.

142. Kawamoto T., Ichikawa Y., Kyoya T. Deformation and fracturing behavior of discontinuous rock mass and damage mechanics theory.// Int. J. for Numer. and Analyt. Methods in Geomechanics. 1988. Vol. 12. 1. pp. 1-30.

143. Kawamoto T., Aydan O. A review of numerical analysis of tunnels in discontinuous rock masses.// Int. J.l for Numer. and Analyt. Methods in Geomechanics. 1999. Vol. 23. 13. pp. 1377-1391.

144. Korobov S.A., Gulbin V.N., Nikitin I.S. Stressed-strained state analysis of material under high-speed deformation conditions.// Journal de Physique IV. Colloque C3. 1991. Vol.1, pp. 235-240.

145. Kuhl E., Steinmann P., Carol I. A thermodynamically consistent approach to microplane theory. Part II: Dissipation and inelastic constitutive modeling.// Int. J. Solids Struct. 2001. Vol. 38. pp. 2933-2951.

146. Lau D.T., Noruziaan B., Razaqpur A.G. Modelling of contraction joint and shear sliding effects on earthquake response of arch dams.// Earthquake Engineering & Structural Dynamics. 1998. Vol. 27. 10. pp. 1013-1029.

147. Lehmann Th. Some thermodynamic considerations of phenomenological theory of non-isothermal elastic-plastic deformations.// Arch. Mech.1972. Vol. 24. pp.975-989.

148. Lourenco P. A matrix formulation for the elastoplastic homogenization of layered materials.// Mechanics of Cohesive-frictional Materials. 1996. Vol. 1.3. pp. 273-294.

149. Lourenco P., de Borst R., Rots J. A plane stress softening plasticity model for masonry structures.// Int. J. Numer. Methods Engng. 1997. Vol. 40. p. 4033-4057.

150. Lourenco P., Rots J. Multisurface interface model for analysis of masonry structures.// J. Engng. Mech. 1997. Vol. 123. №7.

151. Lourenco P., Zucchini A. Mechanics of masonry in compression: Results from a homogenisation approach.// Computers and Structures. 2007. Vol. 85. 3-4. pp. 193-204.

152. MacCormack R.W. The effect of viscosity in hypervelocity impact cratering. // AIAA Paper. 1969. pp.63-354.

153. Maenchen J., Sack S. Method "Tensor". // Comput. Methods in Hydrodynamics. Older B., Fernbach S., Rotenberg M. Editors. 1964.

154. Magenes G., Calvi G.M. In-plane seismic response of brick masonry walls. // Earthquake Engineering & Structural Dynamics. 1997. Vol. 26. 11. pp. 1091-1112.

155. Maghous S., de Buhan P., Bekaert A. Failure design of jointed rock structures by means of a homogenization approach. // Mechanics of Cohesive-frictional Materials. 1998. Vol. 3. 3. pp. 207-228.

156. Malvern L.E. The propagation of longitudinal waves of plastic deformation in a bar of material exhibiting a strain rate effect.// J. Appl. Mech. 1951. Vol. 18. pp.203-208.

157. Malvern L.E. Plastic wave propagation in a bar of material exhibiting a strain rate effect.// Quart. Appl. Marh. 1951. Vol. 8. pp.405-411.

158. Malvern L.E. Introduction to the mechanics of a continuum medium. Prentice Hall. Englewood Clifs. NJ. 1969.

159. Massart T.J., Peerlings R.H.J., Geers M.H.D., Gottsheiner S. Mesoscopic modeling of failure in brick masonry accounting for three-dimensional effects.// Engineering fracture mechanics. 2005. Vol. 72. 12381253.

160. Massart T.J., Peerlings R.H.J., Geers M.H.D. Mesoscopic modeling of failure and damage-induced anisotropy in brick masonry.// Eur. J. Mech. And Solids. 2004. Vol. 23. 719-735.

161. Massart T.J., Peerlings R.H.J., Geers M.H.D. An enhanced multi-scale approach for masonry wall computations with localization of damage.// Int. J. Numer Methods Engning. 2007. Vol.69. 5. pp. 1022-1059.

162. Molotkov L.A., Bakulin A.V. An effective model of a fractured medium with fractures modeled by the surfaces of discontinuity of displacements.// Journal of Mathematical Sciences. 1997. Vol . 86. N. 3. pp. 2735-2746.

163. Morland L.W. Continuum model of regularly jointed medium.// J. Geoph. Research. 1974. Vol.79. №3. pp.357-362.

164. Nikitin I. Elastoviscoplastic model and concept of slip.// Multidiscipline Modeling in Materials And Struct. 2007. Vol.3. № 1. pp.91-106.

165. Nikitin I. The Integrable variants of the 3D slip theory for elastoviscoplastic and elastoplastic models. EMMC-10 Conference "Multi-phases and multi-components materials under dynamic loading" 11-14.06.2007. Kazimierz Dolny, Poland.

166. Nikitin I. The Integrable Variant of the Theory of Slip.// Multidiscipline Modeling in and Struct. 2008 .Vol. 4. № 2. pp. 163-178.

167. Ozbolt J., Bazant Z.P. Microplane model for cyclic triaxial behavior concrete.// J. Engng. Mech. Vol. 118. pp. 1365-1386.

168. Papa E. A unilateral damage model for masonry based on a homogenisation procedure.// Mechanics of Cohesive-frictional Materials. 1996. Vol. 1.4. pp. 349-366.

169. Perzyna P. The constitutive equations for the rate sensitive plastic materials.// Quart. Appl. Math. 1963. Vol. 20. №4.

170. Perzyna P., Wojno W. On the constitutive equations for the rate sensitive plastic materials of finite strain.// Arch. Mech. Stoc. 1968. Vol. 20. №5.

171. Perzyna P. Thermodynamic theory of viscoplasticity.// Advances in

172. Applied Mechanics. 1971. Vol. 11. pp.313-3 54.217

173. Plesha M.E. Constitutive models for rock discontinuities with dilatancy and surface degradation.// International Journal for Numerical and Analytical methods in Geomechanics. 1987. Vol. 11.4. pp. 345-362

174. Singh B. Continuum characterization of jointed rock masses : Part I— The constitutive equations. // Int. J. of Rock Mechanics and Mining Science & Geomechanics . 1973. Vol. 10. 4. pp. 311-335.

175. Sun C.T., Achenbach J.D., Hermann G. Continuum theory for a laminated medium. // J. Appl. Mech. 1968. Vol. 35. p.467.

176. Tomashevich M., Klemenc I. Seismic behavior of confined masonry walls.// Earthquake Engineering & Structural Dynamics. 1997. Vol. 26. 10. pp. 1059-1071.

177. Tsai S.W., Wu E.M. A general failure criterion for anisotropic materials.// Journal of Composite Materials. 1971. Vol. 5. pp. 58-80.

178. Wilkins M.L. Calculation of elastic-plastic flow. // Comput. Methods in Hydrodynamics. Older B., Fernbach S., Rotenberg M. Editors. 1964.

179. Wilkins M.L. Computer simulation of dynamic phenomena. SpringerVerlag. Berlin-Heidelberg-New-York. 1999. p.264.

180. Zienkiewicz O.C., Pande G.N. Time-dependent multilaminate model of rocks a numerical study of deformation and failure of rock masses.// Int. J. Numer. and Analyt. Methods in Geomechanics. 1977. Vol. 1. 3. pp. 219-247.

181. Zhuge, Y., Thambiratnam D. P., and Corderoy J. Nonlinear Dynamic Analysis of Unreinforced Masonry. // Journal of Structural Engineering. 1998. Vol. 124. No.3. pp.270-277.

182. Zucchini A., Lourenco P.B. A micro-mechanical model for the homogenisation of masonry.// Int. J. Solids Struct. 2002. Vol. 39. pp. 32333255.

183. Zucchini A., Lourenco P.B. A coupled homogenisation-damage model for masonry cracking.// Int. J. Solids Struct. 2002. Vol. 39. pp. 3233-3255.