Численное решение прямых динамических задач для неупругих сред тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.12 ВАК РФ

В в е д ен и е

Глава I . ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ЛЭМБА ДЛЯ НЕОДНОРОДНЫХ НЕУПРУГИХ СРВД БОЛЪЦМАНА С УПРУГИМ ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ.

§ I. Постановка задач. II

§ 2. Алгоритм решения задачи Лэмба в случае экспоненциальных функций последействия.

§ 3. Конечные интегральные преобразования по времени в задачах распространения неупругих волн.

§ 4. Применение конечных интегральных преобразований по временной и пространственной переменны^ в задаче Лэмба для сред

Больцмана с произвольными функциями последействия

§ 5. Численный метод решения краевых задач, полученных после отделения переменных.

§ 6. Полуаналитический метод расчета нестационарных волновых полей для слоисто-однородных неупругих моделей сред.

§ 7. Решение задачи Лэмба для неоднородного неупрутого шара

§ 8. Спектральные характеристики параметров поглощения для некоторых моделей неупругих сред.

§ 9. Сходимость метода и некоторые оценки точности

Глава П . ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ СЕЙСМИЧЕСКИХ ВОЛН ДЛЯ НЕКОТОРЫХ МОДЕЛЕЙ НЕОДНОРОДНЫХ НЕУПРУГИХ СРЕЩ БОЛЬЦМАНА

§ I. Задача Лэмба для неупругого однородного полупространства

§ 2. Некоторые физические явления в случае плоских границ

раздела неупругих сред

3 а к л ю ч е н и е

Л и т е р а т у р а

Решение прямых динамических задач - важная и актуальная проблема сейсмики. Её актуальность в практическом смысле определяется прежце всего недостаточной степенью разработки обратной динамической задачи - задачи определения свойств среды по наблвдаемому волновому полю. Интерпретация сейсмических наблюдений производится методом подбора модели, для которой расчетное волновое поле в целом или его характерные признаки согласуются с экспериментальными данными, что приводит к необходимости дальнейшего развития физических основ сейсмических методов, к учету многообразия и сложности реальных сред.

При изучении законов распространения сейсмических волн фундаментальное значение имеет выбор модели, описывающей основные сейсмические явления. Широкое распространение в сейсмологии и сейсморазведке получила модель упругих сред, математическим описанием которой является система динамических уравнений теории упругости. Эта физическая идеализация оправдана во многих случаях при описании сейсмических волновых процессов, но требует усовершенствования при качественном и количественном изучении таких важных динамических особенностей волновой картины в реальных средах, как изменение спектрального состава колебаний в процессе распространения, различия формы, спектрального состава и затухания колебаний в различных типах волн. В реальных средах часть упругой энергии переходит в тепловую - происходит диссипация. Среда, в которой учитывается явление поглощения, - не идеально-упругая.

В последние годы явление непругого затухания сейсмических волн широко изучалось экспериментально и теоретически. Параметры поглощения в последнее время привлекли особое внимание исследователей при решении литологических задач, так как они более чувствительны в некоторых случаях к изменению свойств среды, чем скорости. Если скорости волн в сейсмической среде варьируются в пределах одного порядка, то дифференциация коэффициентов поглощения гораздо больше (два порядка). Ярким примером этого, в частности, служит обнаружение повышенного поглощения сейсмических волн в газонефтенасыщенных пластах[il,t2l ; проведенные на этой основе исследования по прямым поискам позволили обнаружить и подтвердить наличие залежей нефти и газа в районах Прибалтики и Тюмени 3 .

Для исследования неупругих свойств реальных сред очень важен вопрос о механизме поглощения сейсмической энергии. Строгая теория позволила бы объяснить характер поглощения на различных глубинах Земли для разных регионов и зависимость поглощения от частотного состава сейсмических колебаний. Однако в настоящее время нет единого мнения о точной природе физического механизма поглощения и соответствующей математической модели [41. Немногочисленные экспериментальные исследования характеристик поглощающих свойств среды [53—181. приводят, в основном, к независимости декремента поглощения от частоты и линейности коэффициента поглощения в широком диапазоне частот. Эти два факта взяты в основу при исследовании динамики волн в неупругих средах В настоящей работе в качестве модельной при изучении затухания взята модель среды Больщана с упругим последействием [91, дающая наиболее общую линейно-неупругую среду. Напряжение здесь связано с деформацией не только в данный момент времени, но и во все предыдущие, которые строятся по типу упругой среды. Закон Гука заменяется следующими соотношениями: х - А(ех + еу + ег) + тех,

Lxy ®ху

Аналогично для <бу , 6г , стхг , ятуг .

Л и М - здесь интегральные операторы следующего вида:

•t оо -fc

Ax(i) = A x(-t)-Л jx(qr)g(-t-cr)dcL .

-co

Зцесь A, ju - упругие константы Лямэ, X\ у! - параметры неидеальности, характеризующие уровень поглощения энергии, fi(-fc), cj(t) функции последействия, характеризующие спектральный состав поглощения.

Данная модель при различных конкретных функциях последействия дает разнообразные уравнения состояния с различными сложными спектральными характеристиками поглощающих свойств среды [4], [101. В частности, например, широко распространеннная в геофизике модель 1уревича [11,1 входит в класс линейно-неупругих сред с довольно сложными функциями последействия [ 121. Широко используется модель Больцмана в механике. Там оказалось удобным рассматривать слабосингулярные функции последействия (с интегрируемой особенностью в нуле) Г13] . Однако, при всей своей общности, как уже отмечалось, линейно-неупругая среда Больцмана все же не дает универсальной модели поглощения, адекватной современным геофизическим представлениям. Поэтому при динамическом исследовании волновых полей параметры неупругости выбирались таким образом, чтобы обеспечить практически постоянное значение декремента поглощения и линейность коэффициентов затухания различных типов волн в пределах полосы поглощения, включающей заданные сейсмические частоты (см. § 8).

Математическое моделирование распространения волн в неупругих средах Больцмана с последействием сводится к решению ин-тегро-дифференциальных уравнений, которые получаются из уравнений теории упругости заменой постоянных Лямэ А и р интегральными операторами А и М .

Данные задачи настолько сложны с математической точки зрения, что даже простейшие задачи о распространении волн в линейной вязкоупругой среде решены аналитически только для частных видов функций последействия.

Методы решения таких задач являются обобщением классических методов теории упругости, таких как метод неполного разделения переменных, асимптотический, лучевой, численные методы. Наиболее часто для решения задачи применяется принцип соответствия [14], [15], [16]. Суть его в том, что после применения преобразования Лапласа по временной переменной получается краевая задача стационарной теории упругости, в которой постоянные модули упругости заменены на модули, зависящие от параметра преобразования Лапласа. Далее она решается методами теории упругости, к трудоемкости которых добавляется сложность обращения преобразования Лапласа, что заставляет прибегать к значительным упрощениям; задачи решаются либо для частных видов функций последействия, либо при существенных ограничениях на строение среды (реальная среда заменяется простой с небольшим числом параметров) [17-20] .

Ряд интересных физических выводов о протекании процессов в линейной вязкоупругой среде получен асимптотическими методами [21-23] . Успешно, как у нас, так и за рубежом, развивается метод вычисления интенсивности волновых полей в вязко-упругих средах [24l-[25].

Обобщением принципа соответствия является метод расчета волновых полей в однородных (слоисто-однородных) средах, предложенный Е.И.Шемякиным [9], [26]. Для расчета волновых полей в тонкослоистых поглощающих средах эффективно используется комбинирование лучевого метода и метода синтетических сейсмограмм [27].

Наиболее универсальными методами решения задач математической физики являются численные методы.

Из-за описанных выше трудностей, возникающих при решении вязкоулрутих задач, часто рассматриваются постановки для элементарных моделей вязкоупругости. В этом случае постановки задач являются дифференциальными, что облегчает построение численных методов.

В работах [28]-[31] построен ряд алгоритмов численного решения разностными методами вязкоупругих задач в основном в дифференциальной постановке.

Сейсмические задачи имеют свою специфику. Для исследования динамических характеристик сейсмических волн требуется рассматривать волновые поля на больших удалениях от источника и для больших времен распространения, так как вычисление полей в ближней зоне не позволяет разделить суммарное интерференционное колебание на отдельные волны, что затрудняет динамический анализ. А это предъявляет к ресурсам современных ЭВМ непомерно большие требования. Поэтому для изучения динамики волн в неоднородных поглощающих средах необходимо создавать алгоритмы расчета полного волнового поля, приспособленные к специфике сейсмических задач.

Цель и задачи тэаботы. Целью диссертации является разработка эффективных алгоритмов решения задачи Лэмба для неоднородных неупругих полупространства и шара и проведение на их основе численного исследования динамических характеристик сейсмических волн в неоднородных неупругих средах с целью дальнейшего развития теории интерпретации в сейсморазведке и сейсмологии.

В соответствии с этим в диссертации рассматриваются следующие задачи.

1. Пространственная задача Лэмба для вертикально-неоднородного полупространства, заполненного средой Больцмана с экспоненциальными и произвольными функциями последействия для различных типов поверхностных и заглубленных источников (вертикальное воздействие, горизонтальная сила, диполь, центр давления, центр вращения, источники конечных размеров).

2. Задачи распространения сейсмических волн в произвольной радиально-неоднородной модели Земли, заполненной средой Больцмана с произвольными функциями последействия, для различных типов точечных источников, моделирующих землетрясения.

На основе разработанных численных алгоритмов составлен комплекс программ для ЭВМ БЭСМ-6 и проведено исследование физики распространения волн в неоднородных неупругих средах. Основные результаты диссертации опубликованы в работах Г 321-[36]и приведены в отчете ВЦ СО АН СССР [371.

Научная новизна работы. В диссертации предложен и реализован численно-аналитический алгоритм решения задачи Лэмба для неоднородных неупругих сред Больцмана с широким классом функций последействия, основанный на отделении пространственной и временной переменных и численном решении двупараметрического семейства краевых задач для одномерных дифференциальных уравнений.

На основе данного подхода проведено численное моделирование для некоторых типичных сейсмологических моделей неоднородных неупругих сред.

Разработанные алгоритмы и программы решения задачи Лэмба для неоднородных неупругих сред Больцмана чистично внедрены в Горьковском научно-исследовательском радиофизическом институте АН СССР.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Всесоюзном совещании "Численные методы обработки сейсмических наблюдений" (сентябрь 1979г., Новосибирск), Международной школе "Численные методы интерпретации сейсмических данных" (октябрь 1980г., Суздаль), Международном семинаре "Точные асимптотические и стохастические методы в геофизике" (март 1981г., Ленинград), на семинарах Вычислительного центра СО АН СССР, ИГГ СО АН СССР, ИФЗ АН СССР.

Основные результаты численного моделирования кратко можно сформулировать следующим образом:

I. Исследованы нестационарные волновые поля, возбуждаемые различными типами поверхностных (вертикальная сила, горизонтальнал сила) и заглубленных (центр давления) источников для неупругого полупространства, дня различных моделей поглощения (Гуревича, Максвелла, Дерягина), а также для моделей сред с внутренней границей раздела и тонким слоем.

2. Исследована корреляционная зависимость доминирующих частот поперечных и продольных волн в зависимости от декрементов поглощения этих волн. Показано, в частности, что при д&/др> I доминирующие частоты поперечных волн ниже, чем у продольных.

3. Исследованы нелучевые явления, связанные со свободной поверхностью и границей раздела двух неупругих сред. При этом было обнаружено, что как в упругой, так и неупругой средах спектр нелучевой волны S* монотонно сдвигается в сторону низких частот при удалении источника от свободной поверхности или границы раздела двух сред.

4. Рассчитаны теоретические сейсмограммы для классической модели Земли (Буллена) и сложной неоднородной неупрутой модели среды, характерной для Восточной Сибири.

Заключение

1. Сэвит К.Г., Мейтекер Э. Применение сейсморазведки для определения литологической характеристики пород. - В кн.: Интерпретация данных сейсмической разведки математическими методами, 1971, с. 46-52.

2. Галаган Е.А., Епинатьева A.M., Патрикеев Н.Д. Решение лито-логическиХ задач сейсмическими методами разведки.

3. Рапопорт М.Б. Корреляционная методика оценки поглощения и результаты ее применения. В кн.: Прямые поиски залежей нефти и газа. Ивано-Франковск, 1974, 153 с.

4. Коган С.Я. Краткий обзор теории поглощения сейсмических волн. Изв. АН СССР, 1966, № II, серия Физика Земли, с. I-I6.

5. Attewell Р.В., Ramana J.V. Ware Attenuation and Internal Friction as Functions of Frequency in Rocks, Geophysics, 51, 1049 (1966).

6. Knopoff L. Rev, Geophysics, 2, № 4 (1964).

7. Пасечник И.П. Характеристики сейсмических волн при ядерных взрывах и землетрясениях. М., Наука, 1970, 192 с.

8. Берзон И.С., Пасечник И.П., Поликарпов A.M. Определение параметров затухания Р волн в мантии Земли. Изв. АН СССР, Физика Земли, № 2, 1975.

9. Шемякин Е.И. Динамические задачи теории упругости и пластичности. Курс лекций для студентов. - Н1У, Новосибирск, Б.И., 1968, -336 с.

10. Акопян С.П., Жарков В.Н., Любимов В.М. Изв. АН СССР, Физика Земли, 1978, № 8, с. 3-II.

11. Гуревич Г.И. Деформируемость сред и распространение сейсмических волн. М., Наука, 1974, -483 с.

12. Добринский В.И. Метод определения одномерных характеристик сред по динамике сейсмических волн. Новосибирск, 1977, -28 (Препринт ВЦ СО АН СССР; 2).

13. Розовский М.И. Радиальные колебания полого: шара с сингулярным ядром упругого последействия. Дан СССР, 105 (1955),4, с. 672-675.

14. Филиппов И.Г., Егорычев О.А. Нестационарные колебания и дифракция волн в акустических и упругих средах. М., Машиностроение, 1977, -303 с.

15. Кристенсен P.M. Введение в теорию вязкоупругости. М., Мир, 1974, -340 с.

16. Mukhopadhyay A. Disturbances produced in a viscoelastic medium by impulsive torsional body forces. Gerlands Beitr. Geophys., 19&7, 76, № 2, 117-126.

17. Clark George В., Rupert Gerald В., Plane and spherical waves in a voigt medium. J. Geophys. Res., 1966, 71» № 8, 2047-2053.

18. Biswas Arabinda. The transmission of waves through a layered voigt solid sandwiched between isotropic homogeneous elastic media of same nature. Pure and Appl. Geophys., 1967, № 1, 25-29.

19. Штивельман В.И. Волны Лява в упруго-вязком слое. Геология и геофизика, 1974, № 10, 122-128.

20. Николаев Б.Г. О распространении нестационарных возмущений в неидеально-упругих средах. Сб.: Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн, В. 3, изд.ЛГУ, 1959.

21. Брук С.З. Задача Лэмба для вязкоупругой полуплоскости. Механика твердого тела, 1972, № 3, с. 56-63.

22. Блитштейн Ю.М., Мешков С.И., Чебан В.Г., Чигарев А.В. Распространение волн в вязкоупругих средах. Кишинев: Штиинца, 1977, -206 с.

23. Нарбут М.А. Лучевой метод вычисления интенсивности волновых полей в вязкоупругих средах. В сб.: Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. Вып. 12, Л., Наука, 1974, с. 13-19.

24. Krebes E.S., Hron F. Ray-synthetic seismogramms for SH waves in inelastic media. Bull. Seismol. Soc. Amer., 1980, 70, № 1, p. 29-46.

25. Шемякин Е.И. Задача Лэмба для среды с упругим последействием. Докл. АН СССР, 1955, т. 104, № 2, с. 193-196.

26. Гогоненков Г.Н., Захаров Е.Т. Теоретические сейсмограммы в тон ко-слоистых поглощающих средах. Изв. АН СССР, Физика Земли, 1971, № 2.

27. Годунов С.К. Элементы механики сплошной среды. М., Наука, 1978, -304 с.

28. Коновалов А.Н. О решении вязкоупругих задач в напряжениях. Численные методы решения задач теории упругости и пластичности (Материалы У Всесоюзной конференции), ч. I, Новосибирск, 1978, с. 104-109.

29. Победря Б.Е. Численный метод решения связанных задач теориивязкоупругоети. Изв. АН СССР, Механика твердого тела, 1974, № 3, с. 88-93.

30. Прокопов Г.П., Чебан В.Г. Исследование устойчивости явной разностной схемы для вязкоупругой динамической задачи на прямоугольнике. Изв. АН МССР, серия физ.-техн., мат. наук, 1977, № I, с. 21-28.

31. Фатьянов А.Г., Михайленко Б.Г. Численное решение задачи Лэмба для неоднородной среды Больцмана с упругим последействием.-В кн.: Математические методы интерпретации геофизических наблюдений. Новосибирск, 1979, с. I15-160.

32. Фатьянов А.Г. Численное решение задачи Лэмба для неупругого неоднородного полупространства. В кн.: Численные методы в интерпретации геофизических наблюдений. Новосибирск, 1980, с. 144-156.

33. Фатьянов А.Г. Численное моделирование волновых полей в неоднородном неупругом шаре. Новосибирск, 1981, -22 (Препринт ВЦ СО АН СССР; 337).

34. Михайленко Б.Г., Фатьянов А.Г. Полуаналитический метод расчета нестационарных волновых полей для слоисто-однородных моделей сред. В кн.: Математические методы решения прямых и обратных задач геофизики. Новосибирск, 1981, с. 92-104.

35. Фатьянов А.Г. Численное решение задачи Лэмба для вязкоупру-гого полупространства. В кн.: Численные методы в сейсмических исследованиях. Новосибирск, Наука, 1983, с. 60-68.

36. Программы для решения уравнения распространения " ^Н " волн в неоднородных анизотропных и неупругих средах. Отчет

37. ВЦ СО АН СССР, руков. темы А.С.Алексеев, Б.Г.Михайленко; исполнители В.Н.Мартынов, А.Г.Фатьянов; № г.p. 7605I94I,инв. № Б 953268, Новосибирск, 1980, 56 с.

38. Петрашень Г.И. Распространение упругих волн в слоисто-изотропных средах, разделенных параллельными плоскостями. Уч.зап. ЛГУ, 1952, № 162, вып. 25, с. 3-189.

39. Алексеев А.С. Некоторые законы распространения волн в неодно-нородной среде. ДАН СССР, 1955, т. 103, № 6, с. 989-992.

40. Левшин А.Л. Поверхностные и каналовые сейсмические волны. М., Наука, 1973, 176 с.

41. Алексеев А.С., Михайленко Б.Г. Метод вычисления теоретических сейсмограмм для сложно-построенных моделей сред. ДАН СССР,т. 240, № 5, 1978, с. 1062-1065.

42. Снеддон И. Преобразование Фурье. ИЛ, М., 1955.

43. Самарский А.А. Теория разностных схем. М., Наука, 1977, 656 с

44. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М., Мир, 1972, 420 с.

45. Воеводин В.В. Вычислительные методы линейной алгебры. М., Наука, 1977, 303 с.

46. Толстов Г.П. Ряды Фурье. Изд. Наука, М., 1980, 381 с.

47. Шилов Г.Е. Математический анализ, ч. 3, М., Наука, 1970, 352с

48. Михайленко Б.Г. Решение задачи Лэмба для неоднородного полупространства с внутренними источниками. Сб.: Математические проблемы геофизики, вып. 5, ч. I, Новосибирск, 1974, с.187--194.

49. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М., ГОНТИ1. НКТП, 1938, 375 с.

50. Кошляков Н.С. Уравнения в частных производных математической физики. М., Высшая школа, 1970, 712 с.

51. Петрашень Г.И. Общая количественная теория отраженных и головных волн, возбуждающихся в слоистых средах с плоско-параллельными границами раздела. В кн.: Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн, I. Л., 1957, с.70-164.

52. Молотков Л.А. О распространении упругих волн в средах, содержащих тонкие плоскопараллельные слои.- В кн.: Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. Л., 1961, с. 240-280.

53. Fuchs К., Miiller G. Computation of synthetic seismograms with the reflectivity method and comparison with observations.

54. Geophys. J.R. Astr. Soc., 1979, 23, 4-17-433.

55. Алексеев А.С., Михайленко Б.Г. Численное моделирование распространения сейсмических волн в радиально-неоднородной модели Земли. Докл. АН СССР, 1977, т. 235, № I, с. 46-49.

56. Галицин А.С., Жуковский А.Н. Интегральные преобразования и специальные функции в задачах теплопроводности. Киев, Наукова думка, 1976, -282 с.

57. Alterman Z., Abramovich. P. Propagation of a P-pulse in a solid sphere. Bull.Seism.Soc.Am., M° 55, p. 821-861, 1965.

58. Мартынов B.H., Михайленко Б.Г. Численное моделирование распространения упругих волн в анизотропных неоднородных средах (случай полупространства сферы). В сб.: Математические методы интерпретации геофизических наблюдений. Новосибирск, 1979, с. 85-113.

59. Буллен К.Е. Плотность Земли. М., Мир, 1978, 437 с.

60. Гольдин С.В. Линейные преобразования сейсмических сигналов. М.,, Наука, 1974.

61. Дерягин Б.В. Журнал геофизики, № 1-2, 207 (1931).

62. Бахвалов H.G. Численные методы. М., Наука, 1975, 631 с.63. 5erveny V., Molotkov I.A., Psencik I. Ray method in seismology. Prague, 1977, 214 p.

63. Пузырев H.H. Интерпретация данных сейсморазведки методом отраженных волн, М., Гостоптехиздат, 1959, 434 с.

64. Пузырев Н.Н., Худобина Л.Н. Обзор экспериментальных исследований и некоторые теоретические положения по изучению поперечных и обменных волн. Сб.: Экспериментальные исследования поперечных и объемных волн. Изд-во СО АН СССР, 1962.

65. Левшин АХ, Ратникова Л.И., Сакс М.В. 0 дисперсии и поглощении упругих волн в горных породах. Вычислительная сейсмология. М., 1981, № 13, с. 134-142.

66. Николаев А.В. Сейсмические свойства грунтов. М., Наука, 1965, 120 с.

67. Саваренский Е.Ф. Сейсмические волны. М., Недра, 1972, 296 с.

68. Гурвич И.И. Сейсмическая разведка. М., Недра, 1970, 552 с.

69. Шемякин Е.И., Файнншмидт В.Л. Распространение волн в упругом полупространстве, возбужденном поверхностной касательной силой. -Учен. зап. Л1У, 1954, № 177, вып. 28, с. 148-179.

70. Огурцов К.И., Успенский Й.Н., Ермилова Н.И. Некоторые количественные исследования по распределению волн в простейших упругих средах. В сб.: Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн, т. I, Л., Гостоптехиздат, 1957, с. 296- 365.

71. Hron Е., Mikhailenko B.G. Numerical modelling of nongeometrical effects by the Alekseev-Mikhailenko method. Bulletin of the Sei-smological Society of America, vol. 71, № 4, 1981, p.1011-1029

72. Коган С.Я. Сейсмическая энергия и методы ее определения. Изд."Наука", М., 1975, 152 с.

73. Алексеев А.С., Михайленко Б.Г. "Нелучевые" эффекты в теории распространения сейсмических волн. Докл. АН СССР, 1982, т. 267, № 5, с. 1079-1084.