Прямые и обратные контактные задачи для неупругих тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

[ б п ъ ci 5

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАШ ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ ШХАНИНИ

На правах рукописи

КУЗЫашО Василий Иванович

ПРЯ&Е И ОБРАТНЫЕ КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕУПЕУГИХ ТЕЛ

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание'ученой степени доктора физико-шатематических наук

Москва - 1992

Работа-выполнена; в Днепропетровском металлургическом институте

.Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор КРАВЧУК A.C. доктор.технические наук, профессор ТРОЯНОШШ И.Е. доктор физико-математических наук ЦВЕЛОДУБ И.Ю.

Ведущая организация - Харьковский политехнический институт

СУУО&М 1992 г. в ii

Зашита состоится "¿Г" С1992 г. в 11 часов на заседании специализированного совета Д 002.87.01 в Институте проблем механики РАК ( II7526 г.Ыосква, просп. Вернадского,101)

'С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем механики РАН

Автореферат разослан ' со « ûam?ûM' 1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета,

кандвдат физико-математических наук ЫЕНЯЛЛ03 А.И.

7/ùj-

■ »'.'Л.'

ОЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБОТЫ

Актуальность габоты. Развитие теории контактных задач для неупругкх тел связано с разработкой и анализом перспективных технологий обработки давлением металлов и полимеров. Теоретические исследования технологических проблем проводились, как правило, в рамках так называемого инженерного подхода. Однако совре!.'екнь:е требования к точности размеров изделий и уровню эксплуатационных свойств материалов обнаружили ограниченность возможностей инженерного подхода и подчеркнули актуальность' решения задач взаимодействия заготовки и инструмента в полной и строгой постановке.

¡Пирокое распространение получают технологии поверхностного пластического деформирования, позволяющие улучшить качество поверхности и повысить износостойкость изделий. Возникающие технологические проблемы не могут быть решены элементарными средствами и требуют исследования в уточненной постановке.

Ключевой проблемой пси разработке технологий формообразования является решение задачи калибровки - определения формы . инструмента, при которой поверхность тела после деформирования и разгрузки принимает заданные очертания. Такая проблема порождает класс задач, обратных по отношению к задачам определения напряженно-деформированного состояния. Однако какие-либо подходы к строгому анализу обратных контактных задач отсутствуют.

Принципиальные трудности решения контактных задач для неупругих тел обусловлены нелинейностью определяющих соотношений, зависимостью решения от истории нагружения, неопределенностью площадок фактического контакта и площадок сцепления и сколькения. Преодоление этих трудностей в рамках аналитических методов решения сказывается невозможным без существенных упрощающих предположений. Поз то 1.7 центральным направлением развития контактных задач для .неупругих сред является разработка методов 'меленного решения. Построение и обоснование современных численных методов в механике сплошной среды базируются, как правило, на обобщенных постановках задач. Полученные в последние годы обобщенные постановки контактных задач для

неупру гих уел имеют локальный характер и относятся только к , некоторому моменту процесса деформирования, хотя очевидно, что вводу зависимости решения от истории деформирования обобщенные . постановки должны относиться к процессу деформирования в целом. "В связи-с этим отсутствуют обоснование корректности постановки контактных задач для неупругих тел, доказательство сходимости итерационных процессов численного решения. Полученные численные решения прямых задач относятся к сравнительно простым задачам вдавливания штампов, а какие-либо решения обратных задач указанного класса отсутствуют.

Актуальность работы определяется, с одной стороны, потребностью в тебретическом исследовании перспективных технологических процессов, и, с другой стороны, отсутствием цельной трактовки контактных задач для неупругих тел как единого класса задач механики деформируемого твердого тела, основанного на общем подходе к постановке, обоснованию и численному решению.

Работа выполнена в рамках общесоюзной научно-технической программы 0.72.06. "Создание и внедрение новых технологических процессов и оборудования для получения и обработки материалов высоким давлением", Постановление ГКНТ 555 от 30.10.1985 г.

Целью работы является:

- формулировка и развитие общего подхода к постановке, исследования существования и единственности решения, построению и обоснованию методов численного решения прямых контактных задач теории пластичности и ползучести;

-"формулировка, исследование корректности, построение и обоснование метода решения одного класса обратных контактных задач для упругопластических тел;

- разработка комплексов программ для ЭВМ; численное решение и анализ двумерных и трехмерных контактных задач в условиях сложного нагружения.

Научная новизна заключается в следующем:

- впервые получена и обоснована обобщенная формулировка прямых контактных задач для непругих тел в виде квазивариационного неравенства;

установлены условия существования и единственности решения контактных задач для.неупругих тел при произвольном нагру-¿ении;

- сформулирован новый класс обратных контактных задач; получена постановка обратных задач в виде функционального

уравнения; исследована корректность постановки, предложен и обоснован метод численного решения; впервые получены решения конкретных обратных задач;

- с использованием алгоритма декомпозиции впервые получены решения трехмерных контактных задач для упругопластических-слоистых тел конечных размеров;

- получены ,новые решения контактных задач для неупругих • тел при существенно сложном нагружении и исследовано влиянии истории нагружения;

- получены новые решения задач о качении цилиндра -по поверхности упругопластической полосы с шкронеровностями.

Практическая значимость. Методы и алгоритмы численного репения, комплексы программ на ЭЗМ рекомендуется использовать в научно-исследовательских организациях и на предприятиях машиностроения, металлургии и строительства для анализа технологических процессов обработки материалов и для исследования поведения-машин, конструкций и сооружений, элементы которых испытывают неупругое деформирование.

Результаты работы могут найти применение при исследовании-начального этапа таких технологических процессов обработки материалов как прокатка, волочение, прессование, штамповка, а также для изучения процессов листовой прокатки и дрессировки, в которых пластические деформации соизмеримы с упругими.

Использование методов и результатов теории контактных задач позволит оценить глубину упрочненного слоя, характер упрочнения по глубине, подобрать необходимые технологические параметры в процессах поверхностного пластического деформирования.

При разработке технологий диффузионной сварки результаты работы могут быть использованы для оценки контактных напряжений между соединяемыми деталями; распределение таких напряжений существенно влияет на прочность соединения.

Повышение требований к точности формы изделий требует учета упругого восстановления. Для решения проблемы соответствующей калибровки инструмента рекомендуется использовать алгоритмы и комплексы программ решения обратных контактных задач.

Результаты численного решения контактных задач для системы тел могут быть использованы при оценке напряженно-деформированного состояния многослойных оснований, испытывающих неупругое, в том числе зависящее от времени деформирование.

Использование результатов работы:

• - комплекс программ решения контактных задач в условиях гидростатического давления используется во Всесоюзном научно-исследовательском,. проектно-конструкторском и технологическом, институте трубной промышленности для анализа процесса прошивки с гидростатическим подпором при изготовлении трубных заготовок; . - алгоритмы и комплексы программ решения контактных задач для упругопластических и жесткопластических тел используются в Днепропетровском металлургическом институте для анализа напря-■. женно-деформированного состояния в технологических процессах гвдропрессования труб, изготовления трубных заготовок и выглаживания поверхности труб.

Апробация "работы. (Материалы работы докладывались: на Всесоюзной юколе-семинаре по методу конечных элементов (Кишинев, •1977), на УН Всесоюзной конференции по прочности и пластичности (Горький, 1978), на II Республиканской конференции молодых ученых по механике (Киев, 1979), на II (Днепропетровск, 1981) и 1У ' (Одесса, 1989) Всесоюзных конференциях по смешанным задачам механики деформируемого тела, на II Всесоюзной конференции "Ползучесть в конструкциях" (Новосибирск, 1984), на 1У Всесоюзной конференции "Гидростатическая обработка материалов" (Донецк, 1985), на XI Международной конференции "Высокие давления в науке и технике? (Киев, 1987), на II Всесоюзной конференции по механике неоднородных структур (Львов, 1987), на Всесоюзной конференции "Получение и обработка материалов высоким давлением" ' (Минск, 1987), на 1У Всесоюзной конференции "Теоретические проб-.ломы прокатного производства" (Днепропетровск, 1988), на Респуб-' ликанской конференции "Эффективные численные методы решения кра-' евых задач механики деформируемого твердого тела (Харьков, 1989), "на выездном заседании секций "Математические модели в трибологии" и "Механика контактного взаимодействия" Научного совета по трибологии (Днепропетровск, 1989), на Всесоюзно:.; совещании "Трибо-логические проблемы в процессах обработки материалов" (Киев, 1989), а также на научных семинарах в Днепропетровском государственном университете, Днепропетровском металлургическом институте, Московском государственном университете, Пермском политехническом институте, Московском институте электронного машиностро-

ния. Бакинском государственном университете, Московском институте приборостроения, Иституте проблем механики АН СССР.

Публикации. Основные научные результаты, включенные в дис-' сертацизо, опубликованы в 2 монографиях, учебном пособии и в 39 статьях и тезисах докладов. • .

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, б глав, заключения, списка литературы из 208 наименований и приложений. Работа содержит 247 страниц малшнописного текста, 89 рисунков и 4 таблицы.

ССДЕШШИЕ РАБОТЫ • '..

• Во введения обоснованы актуальность и практическая значи-л мость работы, проанализировано современное состояние исследова- • ний по теории контактных задач для неуп^угих тел, сформулированы цель работы и основные результата.

В первой главе выполнена исходная (дифференциальная) поста-.-новка контактных задач для неупругих тел, получена обобщенная формулировка в виде квазивариационного неравенства и установлена связь между исходной и обобщенной постановками.

.Рассматриваются квазистатические пгоцессы деформирования неупругого тела, занимающего область л? , ограниченную поверхностью Г . Через X - (Э-1, &3 ) обозначаются лагранжевы координаты точки тела, через £ с СО Т]- монотонно возрастающий параметр, связанный с процессом деформирования и называемый в дальнейшем временем. Под Ц([Х,{), ¿.¿у{£,Ь)г понимаются компоненты Еектора малых перемещений, тензора малых деформаций и тензора напряжений в точке X в момент времени ¿. Точка сверху используется для указания операции материального дифференцирования по времени.

Поверхность тела мокет состоять из трех частей .

На заданы перемещения , на ~ усилия

(X, 6) • Псве-гностъ /2 находится под действием движущегося штампа. Для' характеристики взаимного положения тела и штампа вводится функция 0)(СС, £) , значение которой равны расстоянию от точки ДГе^ до поверхности штампа,в момент времени

Ь ; расстояние измеряется вдоль направления нормали ~\>(Х). функция может принимать и отрицательные значения, что

соответствует внедрению штампа в поверхность тела..Для описания трения используется закон Амонтона - Цулона.

»

Взаимодействие тела и штампа характеризуется условиями

Ч(г,Ь)[и9[х,¿)-ф(х,УЫ)* £*[<№-,

причем '

если и„(х,1)<ф[х,1);

Ь$(Х,к)=0, если

ла/х,£) С-Т(а:,1)

уесли

\0Ш)\ |(У(Х,1)\

■. I

Низшие .индексы V и Т .обозначают нормальные и касательные компоненты векторов; под ¿Пр понимается скорость относительного скольжения поверхностей, тела и штампа, через обозначен

коэффициент трения в точке

.' Предлагаемые методы исследования контактных задач для неупру-'гих сред по своему существу не зависят от .конкретного выбора .определяющих соотношений. Поэтому целесообразно привести определяющие соотношения различных теорий неупругого деформирования к унифицированному виду и разрабатывать методы решения в рамках унифицированных соотношений. В дальнейшем используются унифицированные соотношения вида

(3)

Коэффициенты Аукт и Ьу в каждый момент времени определяются историей предшествующего деформирования в данной точке тела. Конкретные выражения для А у ¡ОТ) и &у зависят от выбора определенной теории неупругого деформирования. Коэффициенты Аукт

•

могут быть однородными функциями нулевой степени от б^л • что позволяет рассматривать дифференциально-нелинейные определяющие соотношения и учитывать разгрузку.

Задача в исходной постановке состоит в определении функций ¿¿¿, ОЬ в области Х2 * [О, Т] , удовлетворяющих .

соотношениям (I) - (3), уравнениям равновесия, соотношениям Коки, условиям на и £ , а также нулевым начальным условиям.

Особенностью сформулированной задачи является наличие условий в виде неравенств. Эффективным аппаратом исследования таких, задач в теории упругости служит метод вариационных неравенств, в перемещениях. Поскольку соотношения (3) в общем случае неинтегри- • руекы по времени, то аналогичная постановка для неупругих, сред возможна только в скоростях. Однако условия (I) и (2), содержащие неравенства, не могут быть записаны в скоростях. Поэтому переход от исходной к обобщенной постановке не столь очевиден, . как в теории упругости.

Для определения класса допустимых скоростей перемещений ис- $ пользуется гильбертово пространство Т', Н) , где//={\^'/£2)1 ~ пространство С.Л.Соболева. В ¡^(ОуТ* Н) вцяеляется множество- К допустимых скоростей перемещений ^(ОС, й)» удовлетворяющих условиям на £ и условиям, налагаемым на нормальные перемещения в точках :

' /Г= {1_ЧО,Г;Н)\¿)*ЩгЛ Ш)еГи«ГО,Т]; О

При формулировке квазивариационного неравенства испояьзуютСа вспомогательные функции и ^ , определенные следующим образом:

{0>у=0' т-к'

-со, У*0, 1 О, у*0.

причем Ф!(у)2-0) !р2О пси Z=0 независимо от у.

Пусть ц-г £.¿7, .удовлетворяют всем соотношениям задачи

з исходной постановке. Полученнея обобщенная постановка задача' формулируется следующим образом: для всех у € 1?(0Г7}Н)и

. . - Несоответствующих ^/¿(й г+ Ь¿) выполнено квазивариационное неравенство. •/ У

Г

Я . Г

ь ■ С 4>

#

Доказано также обратное утверждение: функция ¿¿/С2Г, удовлетворяющая квазивариационному неравенству (4) и обладающая вторыми частными производными по пространственны!.! переменным, удовлетворяет всем.соотношениям задачи в исходной постановке.

При решении задач неупругого деформирования часто используются конечные соотношения связи напряжений и деформаций, которые мс,гут быть записаны в унифицированном виде

<6>

С целью полноты приводятся также обобщенные формулировки контактных задач в случае использования соотношений (5).

Результаты, полученные для задач контакта одного тела и штампа, распространены на задачи контактного взаимодействия системы де^орыирумых тел. Показано такяе, как видоизменяются обобщенные формулировки при усложненных условиях контакта, включающих

контактное взаимодействие в среде высокого гидростатического давления и учитывающих смятие микронеровностей.

Вторая глава содержит результаты исследования вопросов су- • чествования и единственности решения квазиваривцконного неравенства р

О -'ь

- ] ОЛ ~ 14

а е

Аь^^-и^г^щ уд*к. се) гс

Неравенство (6) является обобщенной формулировкой контактных, задач при отсутствии трения. Следует отметить, что даже для контактных задач теории упругости с трением доказательство существования выполнено только в формулировке "для достаточно малых коэфт фициентов трения".

Доказательство существования решения основано на предвари- ' тельной полудискретизации неравенства (б) по времени. Отрезок [О, Т~\ разбисается на П промежутков, и для каждого фиксированного

допустимые скорости 6 К аппроксимируются кусочно-линейными функциями времени.' В результате такой полудискретизации вместо задачи решения квазивариационного неравенства (6) возникает последовательность задач решения вариационных неравенств вида

\lhijkm 4/77 % - ч]) - - %)](& -

я.

- 1 Щ (7)

Я ■ , £

причем каждому узлу. £ соответствуют, вообще говоря, два неравенства эцда (7) для моментов времени —О и +О • В ка-кдом случае формируются ^соответствующие множества допустимых-функций -О) и ¡7(сс, +0) . Показано, что существу-

ет единственное решение вариационных неравенств вида (7). Далее доказывается, что последовательность является слабо схо-

дящейся при п оо , и предел такой последовательности

удовлетворяет квазивариационному неравенству (б). % При доказательстве существования требуется, чтобы коэффициенте Аукт и Ву удовлетворяли условиям:существуют оЦ >0,

рь^О, не зависящие от истории деформирования и такие, Зто в каздый момент процесса деформирования выполнены неравенства

* * «¡¡¿¡/¿д.

Кроме того, требуется, чтобы заданные усилия и С^ удовлетворяли, условии Синьорини, и выполнялись определенные условия.гладкости,'налагаемые на форму области и заданные функции.

Под единственностью решения контактных задач для неупругих тел.понимается единственность процесса изменения напряженно-деформированного состояния на всем отрезке времени [.О, Т1 . Обычно единственность решения в теории неупругих тел трактуется как единственность решения краевой задачи в скоростях. Однако единственность скоростей в данный момент времени *" еще не означает единственности продолжения процесса при 2Нарушение единственности может быть связано с неединственностью старших производных по времени, т.е. с бифуркацией процесса высших портиков. Во второй главе установлены условия, при которых доцущение о возможности бифуркации решения квазивариационного неравенства (6) любого порядка приводит к противоречию. ..' • • Третья глава посвящена изложению и обоснованию методов численного решения вариационных и кваэивариационных неравенств, •сформулированных в первой главе.

Решение вариационных неравенств, возникавшее при дискретизации по времени квазивариационного неравенства, основано на переходе к эквивалентной формулировке в вцпе экстремальной задачи. Такой же подход используется при решении вариационных неравенств, соответствующих деформационным теориям неупругого деформирования. Метод конечных элементов трактуется как метод аппроксимации экстремальной задачи, в результате применения которого возникает задана нелинейного программирования высокой размерности. Решение такой задачи производится при помощи метода последовательной верхней релаксации» модифицированного с учетом ограничений в виде неравенств. Показана сходимость конечноэлементной аппрокси-

мации, а также сходимость итерационного процесса, основанного на предложенной модификации метода верхней релаксации.

При решении квазивариационного неравенства (4) используется тот же метод аппроксимации по времени, что и при доказательстве существования решения в главе 2. Поскольку решение вариацирнных неравенств на к гидом временном слое производится приближенно, то показана сильная сходимость последовательность ^ | ' к.

решению квазивариационного неравенства при Н-*Ог П -» ©о* , где Ь '- параметр, характеризующий погрешность дискретизации по ' пространственным переменным. •

Решение контактных задач с учетом трения отличается тем, что вариационному неравенству, возникающему в узловые моменты • времени, нельзя поставить в соответствие эквивалентную экстре- •. мальную задачу. Поэтому методика численного, решения дополняется" итерационным процессом, на каждом шаге которого скорости нормальных контактных напряжений считаются известными. В таком случае можно сформулировать соответствующую экстремальную задачу. Однако такая задача содержит недифференцируемый функционал вида

Гс Г .

Чтобы избежать возможности "заедания" алгоритма минимизации, функция | ¿V | аппроксимируется дифференцируемой функцией вида

<и Оду|).=

£ Т

Изложенный подход, основанный на конечноэлементной аппроксимации с последующим применением метода верхней релаксации, моасет быть эффективно использован в задачах плоской и осесимметричной деформации. Однако в трехмерных задачах количество дискретных параметров оказывается настолько большим, что прямое решение задачи нелинейного программирования не может быть эффективно реализовано. Один из возможных путей преодоления возникающих трудностей состоит в разложении (декомпозиции) исходной задачи на последовательность более простых, допускающих эффективное решение задач.

Используемый метод декомпозиции применим к контактным зада^-чам для слоя или системы слоев конечных размеров. Пусть начало системы координат находится на нижней грани слоя, а оси ОиС/

.и 0JC¿ в плоскости этой грани.. Допустимые перемещения V¿ (или скорости ) аппроксимируются следующим образом

У,аа{(хиXj)z - OL¿í¿C„22)(f-zf+

L '

v¿(xftx2,^) - fi,(Zf,22)z- h(xt> ¿гХ'-zA

+ +Z, Vt(xh22)cos¿TLZ,

i-i

x2, x3) s w,(Xi,X2)i+W2tehX2)(i-z)+ L

i-l^tyfa.tysinfaz,

где

X3/h, h'

- толщина слоя.

«t>*¿,A/,fi¿, Ц, w» w2,

определены в. двумерной- области - проекции слоя на плоскость

0{E¡JE¿ . Значения W¿t W¿~ имеют смысл нормальных перемещений точек нижней и верхней граней слоя, а уЗ/ и oi¿ , fi¿ можно интерпретировать как углы поворота в направлении координатных осей ОХ/ 'и OX¿ на каждой из граней слоя.

Введенные функции Двух переменных разбивается на групп

s^{w„w2}, S2*{«t,az,?hp2h, S¿ = {UDfY0},

jf -\Ц, Ц, tyh •"> Калдой группе функ-

ций. ставится в соответствие двумерная вариационная задача, состоящая в минимизации функционала относительно функций этой группы при фиксированных функциях остальных групп. Предварительно с помощью метода упругих решений исходный функционал аппроксимируется квадратичным функционалом, что дает возмолсность использовать свойство ортогональности тригонометрических функций. При условиях, обеспечивающих существование решения, обоснована

сходимость в норме Н итерационного процесса, получаемого'при декомпозиции.

Четвертая глава содержит результаты численного решения и \ анализа двумерных и трехмерных задач поступательного вдавливания жестких штампов в однослойные и многослойные тела. Исполь- • зуются соотношения теории малых упругопластических деформаций. Описываются возможности программной реализации алгоритмов, • принципы построения и возможности комплексов программ для ЕС ЭВМ по решению задач плоского, осесимметричного и трехмерного деформирования. Анализ достоверности численного решения включает оценку .практической сходимости в зависимости от количества .. конечных элементов, погрешности методов упругих решений и. верхней релаксации; сравнение решения с известными экспериментами по вдавливанию шара; сравнение с численными решениями других авторов.

На основе полученного решения задачи плоской деформации о •' сжатии полосы двумя пологими штампами выполнен анализ влияния кривизны штампов на локализацию и развитие областей пластического деформирования. Пластические деформации возникают в глубине -полосы, что может приводить к внутренним разрывам без выхода трещин на поверхность. ;

Решение задачи плоской деформации о вдавливании штампа с плоским основанием в пятислойный пакет выполнено с учетом возможного отставания слоев. Оценено влияние соотношения механических характеристик слоев на процесс развития зон пластических деформаций, на размеры участков отставания слоев и на распределение контактных напряжений.

Холодная обработка без разрушения ряда малопластичных материалов 'возможно только в среде высокого гидростатического давления. На примерз решения задачи о сжатии цилиндрического образца двумя выпуклыми штампами в жидкости под высоким давлением пока-' зало, что при достаточном уровне давления в образце возникают только снимающие нормальные напряжения.

Получено эффективное решение трехмерных контактных задач для трехслойного упругопластического пакета со слоями, квадратными в плане. Слои имеют•одинаковые механические свойства и могут отставать один от другого. Рассмотрены два варианта: сжатие двумя квадратными в плане штампами с плоским основанием и

. и сжатие- двумя параболоидами. Численное решение выполнялось при помощи .метода декомпозиции, изложенного в третьей главе. При аппроксимации перемещений в виде (8) было взято восемь гармоник • ( Ь =8 ) для Каждого слоя. После конечноэлементной аппроксимации 1 двумерных вариационных, задач общее количество дискретных параметров составили 42336. Установлено, что при сжатии плоскими штампами пластическое деформирование начинает развиваться от углов штампа, а при сжатии параболоидами пластические деформациив воз-.'никают вначале в центре среднего слоя. В обоих случаях под штам-. пами существуют области упругих деформаций, сохраняющиеся даже при значительном сжатии пакета.

Влияние реономных свойств материала на процесс контактного взаимодействия исследованы на примере задачи о вдавливании выпуклого штампа в двухслойный пакет, верхний слой которого является упругим, а материал нижнего слоя обладает реономныаи свойствами и описывается соотношениями теории старения. Рассмотрены особенности протекания двух процессов: а) штамп погружен на заданную глубину и зафиксирован в этом положении (процесс релаксации); б) штамп находится под действием заданной нагрузки (процесс ползучести), Показано, что с течением времени происходит сглаживание пиковых значений нормальных контактных напряжений и касательных напряжений на "линии раздела слоев. Отмечается, что хотя свойства материала верхнего слоя не зависят от времени, тем не менее вследствие взаимодействия с реономныы слоем в упругом слое с ' -течением времени происходит существенные изменения напряженного состояния.

В заключение третьей- главы рассмотрены контактные задачи для жесткопластических сред. Определяющие соотношения для таких сред ■не могут быть представлены в виде (3) или (5), однако существует формальная аналогия между задачами жесткопластического течения и упругопластического деформирования, которая позволяет отождествить экстремальные формулировки таких задач. Приведены результаты численного решения технологических задач о напряженно-деформированном состоянии при гидропрессовании труб. Исследованы особенности течения металла и выполнен анализ контактных напряжений на поверхности матрицы.

В пятой главе рассмотрены контактные задачи плоской деформации полоса при сложных законах движения штампов. Используются

различные соотношения вида (3), которые в случае плоской деформации могут быть записаны следующим образом:

с>22= Аеи + А2е22 + С2£/2-Ц2, сэ>

= + С2&г2 + с ¿/2 -Л

Коэффициенты А/ , А2,А , С2,С, В/г1)2,Ъ' в рамках конкретных моделей неупругих тел полностью определяются историей '' предшествующего деформирования и могут быть также однородными нулевой степени функциями £.{1 , , £(2 • "

Решение задач производится на основе постановки в виде квазивариационного неравенства (4) при помощи комплекса программ' для ЕС ЭК.1. Для указания формы и закона движения штампа, а также усилий и перемещений разработан входной язык описания граничных условий. В состав комплекса входит генератор программ, позволяющий интерпретировать предложения входного языка и фор- ' мировать программу численного решения.конкретной задачи. Комплекс программ содержит библиотеку коэффициентов соотношений (9). Каждый элемент такой библиотеки соответствует конкретной модели неупругого тела. Такой подход обеспечивает значительную гибкость и универсальность комплекса программ.

Практическая сходимость численного решения исследована на примере задачи о вдавливании с поворотом штампа параболической формы. В рамках теории процессов средней кривизны показана практическая сходимость значений главного вектора и главного момента контактных напряжений, а также траекторий деформирования в характерных точках при уменьшении погрешности дискретизации по времени и по пространственным переменным. -

Для оценки влияния истории нагружения выполнен анализ кон -., тактной задачи деформирования полосы под действием штампа с плоским основанием. Штамп сцеплен с полосой и может перемещаться в вертикальном и горизонтальном направлениях без поворотов, т.е. сложное движение штампа можно задать траекторией в плоскости горизонтальных и вертикальных перемещений и и Г • При

«явление» анализе рассмотрена 7 траекторий в плоскости иУ . Э том. числе прямолинейная траектория, траектории б виде дуг окружности к двуэвенных ломаных. Все траектории приводят при к одноцу и тому же окончательному пололгнив штампа. Решение для кодов траектории производилось с использованием 5 различных теорий пластичности. Сопоставление работы, затрачиваемой на деформирование при различных траекториях движения штампа, позволило &аышчить, что для всех траекторий, за исключением двух заведомо невыгодных, работа деформации различается незначительно. Ори заданной траектории движения штампа минимальное значение работы соответствует теории малых упругояластических деформаций, а максимальное — теории течения с изотропным упрочнением. Анализ развития" зон пластических деформаций и аон разгрузки показал,

. что хоте эти зоны при различных траекториях движения штампа супрственно различаются, тем не менее при 6ШТ область, занятая материалом, ранее лодвергавшимся необратимому деформированию, незначительно зависит от траектории движения штампа.

Следующий пример посвящен анализу процессов деформирования полосы под действием двух симметрично расположенных штампов с . неплоским основанием при двух законах движения штампов: а) оба штампа синхронно вдавливаются на одинаковую глубину ¿¡0 ; б) вначале один из штампов' вдавливается на глубину Др и фиксируется в этом положении, а затем производится внедрение второго штампа на ту же глубину. Решение получено с использованием теории Е.И.Кадашевича, В.В.Новожилова. Установлено, что с началом вдав-

• ливания второго штампа под первым штампом происходит разгрузка. • Эффект взаимодействия двух штампов проявляется в том, что область пластического деформирования при совместном действии штампов больше, чем объединение таких областей при раздельно:.;

• вдавливании.

Анализ влияния трения на процесс упругопластичзского деформирования производится на примере задачи о действии выпуклого штампа ври различных коэффициентах трения. Показано, что распределение нормальных контактных напряжений несущественно зависит от величины коэффициента трения, однако характер распределения касательных напряжений, размеры участков сцепления и скольжения, формоизменение боковых поверхностей полосы в значительной мере определяются величиной коэффициента трения.

Подробно рассмотрен класс контактных задач качения цшшндра по поверхности упругопластической полосы. Процесс деформирования вызывается поступательным погружением цилиндра на заданную глуби* ну и последующим качением при постоянной глубине погружения. Свойства материала описываются соотношениями теории А.Ю.Ишлинско» го - В.Прагера.

Анализируется изменение прижимающей нагрузки в течение пере* ходного процесса от начала вдавливания цилиндра до установившегося качения. Полученное распределение нормальных контактных, напряжений оказалось несимметричным относительно линии« проходя-* щей через центр цилиндра. Такая асимметрия объясняется различны» характером протекания процессов активного деформирования и разгрузки. Вследствие этого для осуществления качения требуется приложения некоторого момента даже при отсутствии трения скольжения. На основе численного решения оценивается глубина упрочненно- _ го слоя, возникающего при качении цилиндра и отмечается, что максимальное упрочнение достигается не у поверхности, а на некоторой глубине приповерхностного слоя.

Для анализа сглаживания микронеровностей рассмотрена задача о качении цилиндра по поверхности полосы, содержащей единичный '. выступ. Установлено, что при прохождении цилиндра через выступ увеличивается глубина упрочненного слоя, и сделан вывод о том, что однократная обкатка не устраняет микронеровность, а только изменяет ее форму и высоту.

Влияние скорости нагружения на процесс деформирования реоном-ных сред оценивается на примере задачи о действии штампа на упру-говязкопластическую полосу. Поведение материала описывается соотношениями теории П.Пзжины. Установлено, что при достаточно р больших'скоростях движения штампа полученное решение практически совпадает с решением аналогичной задачи для упругой полосы, а для достаточно малых скоростей - с решением для упругопластичес-' кой полосы. Определен интервал скоростей штампа, при которых следует пользоваться соотношениями теории упруговязкопластического тела. ' ^

В шестой главе изложена постановка, исследование корректное-? ти и методы численного решения класса обратных контактных задач -определения формы штампа, обеспечивающей заданное остаточное формоизменение упругопластического тела.

Цредварительно рассмотрены особенности постановки и реше-. ния. контактных задач для процесса разгрузки. Приводится обобщение теоремы о разгрузке на задачи с переменной площадкой контакта и формулируется соответствующая постановка в виде вариационного неравенства. Поскольку при разгрузке связь между приращениями напряжений и приращениями деформаций является линейной, то существует возможность построения аналитического решения некоторых задач об изменении контактных напряжений в процессе разгрузки. Приводятся решения в квадратурах задач о процессе разгрузки при действии штампов на полуплоскость и полупространство.

Исследуемый класс обратных контактных задач формулируется следующш образом. В'течение времени I* происходит вдавливание штампа по заданному закону, а начиная с момента ¿*~ осуществляется освобождение штампа от нагрузки. Принимается, что при £ >6*~ во всех точках тела происходит разгрузка. Связь между скоростями изменения напряжений и деформаций описывается соотношениями (3) при Зу ~0 . При разгрузке прира-. щения напряжений и деформаций связаны соотношениями

(Ю)

Требуемая форма части поверхности в остаточном состоянии описывается функцией (X) , значения которой равны расстоянию от точки ¿С. исходной недефоршрованной поверхности до поверхности в остаточном состоянии. Расстояние измеряется вдоль направления нормали к в исходном состоянии. Искомая форма штампа характеризуется функцией

У (ОС.) . значения которой равны расстоянию от точки СС до поверхности штампа "в момент времени Ь . Обратная контактная задача (ОКЗ) заключается в построении функции

таким образом, чтобы в результате упругопластического деформирования и разгрузки форма поверхности в остаточ-

ном состоянии описывалась функцией .

Исследование корректности постановки и разработка метода численного решения основаны на формулировке ОКЗ в виде функционального уравнения. При построении функционального уравнения используются две вспомогательные прямые задачи. Задача I заключается в определении нормальных напряжений 0(31) на

поверхности 'при заданных в точках этой поверхности нормальных перемещениях (р(СС) и нулевых касательных напряжениях; свойства материала соотношениями теории'пластичности. Задача 2 ' является задачей линейной теории упругости, в которой по заданным напряжениям и нулевым касательным напряжениям на определяются нормальные перемещения .

Непосредственно при формулировке функционального уравнения • ОКЗ используются операторы Ор и Ор* , определенные следующим образом. Вводятся банаховы пространства {/т § функций у О&С) 0 соответствующими энергетическими нормами." • Оператор <3р ' ¿7" —* § каждой функции £/ ставит в соответствие нормальные напряжения > полученные в результате решения задачи I, а оператор § каждой функции ф (£ § ставит в соответствие нормальные перемещения (р € V как решение задачи 2.

При заданном законе движения штампа существует однозначное соответствие между.формой штампа (}(£) и нормальными перемещениями <р(Х) поверхности в момент начала разгрузки Тогда ОКЗ может быть сформулирована как задача решения функционального уравнения

Р[(р]=д0+о;%1ч>1. (Ш

В качестве аппарата исследования и численного решения функционального уравнения (II) используется принцип сжимающих отображений. Доказательство существования и единственности решения уравнения (II) состоит в доказательстве утверздения, что оператор Р является сжимающим. В предположении, что прямые задачи I и 2 имеют единственное решение, а коэффициенты Аук777 в точках множества ненулевой меры Я1р С удовлетворяют условию

Аукт 5 ¿£дс/ект,

показано, что существует множество ¿^С такое, что

вир\\р'{(р)\\

(реИд

где Р '((р) - производная Ореше оператора Р .в точке (р .

В одномерном случае условие (12) означает, что касательный модуль должен йыть меньше упругого. Рассматривая V как метрическое пространство с расстоянием^/^, В и используя формулу .

конечных приращений, показано, что оператор Р - сжимающий, т.е. ' цри сделанных допущениях функциональное уравнение (II) имеет единственное решение.

Реализация оператора Р сводится к решению прямых задач для упругих и упругопластических тел. Решение таких задач в большинстве .случаев может быть получено только численными методами, . и, следовательно, вместо уравнения (II) фактически рассматривается уравнение

%£</>&)], (13)

Где параметр Ь характеризует совокупную погрешность решения задач I и 2. Доказано, что если для решения задач I и 2 используются методы, изложенные в третьей главе, и выполнены условия .сильной сходимости соответствующих итерационных процессов, то решение функционального уравнения (13) непрерывно зависит от параметра Л цри Н —О.

Для решения функционального уравнения (II) используется итерационный процесс, основанный на рекуррентной формуле

<РЛНШ = Р[(Р„(Х)1, 0,1,2,... (М)

.' Сходимость такого процесса обоснована одновременно с доказательством существования решения. Разработан комплекс программ решения ОКЗ для упругопластической полосы в условиях плоской деформации. Рассмотрены примеры решения задач определения формы -штампов, образующих на поверхности выступы и впадины заданного очертания. Кроме формы штампов, определены также требуемая глубина погружения, контактные напряжения в момент начала разгрузки и требуемое усилие вдавливания. Для нахождения формы штампа со среднеквадратичной погрешностью, не превышающей 0,001X50-/& С С - высота полосы) требуется от 4 до 10 итераций по формуле (14). Отмечается, что отклонение формы остаточного отпечатка от формы штампа в рассмотренных задачах достигает 19,7%, т.е. учет упругого восстановления формы является существенным.

ОСНОВНЫЕ вывода И РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Предложены и обоснованы обобщенные формулировки'задач о , квазистатическом процессе контактного взаимодействия неупругих тел. Формулировки имеют вид кьазивариациснных неравенств и выполнены с учетом сил трения при переменных площадках контакта " с использованием унифицированных определяющих соотношений, связывающих скорости изменения напряжений и скорости деформаций.

2. Сформулированы и доказаны теоремы существования и единственности решения контактных задач для неупругих тел.

3. Предложена и обоснована методика численного решения кон-' тактных задач для неупругих тел, включающая дискретизацию квази-вариацконного неравенства и решение задач нелинейного программирования.

4. Построен и обоснован эффективный алгоритм решения трехмерных контактных задач для упругопластических слоистых пакетов, использующий декомпозицию трехмерной задачи на последовательность двумерных вариационных задач.

5. Разработаны комплексы программ решения контактных задач плоского, осесимметричного и трехмерного деформирования неупругих тел конечных размеров, выполнена оценка достоверности численного решения.

- 6. Получены численные решения и выполнен анализ изменения налряненно-деформированного состояния неупругих тел в процессах поступательного и сложного движения штампов в условиях плоской, осесимыетричной и трехмерной деформации с использованием различных определяющих соотношений.

7. Сформулирована обратная задача о форме штампа, обеспечивающей заданную остаточную форму поверхности упругопластического тела, предложена постановка обратной контактной задачи как задачи решения функционального уравнения, определены условия существования и единственности, разработан метод численного решения обратных задач и выполнен анализ прикладных задач.

Основное содержание диссертации опубликовано в книгах и учебном, посрбии:

1. Кузьменко В.И., Балакин В.5. Решение на ЭВМ задач пластического деформирования. - Киев: Тэхника, 1990. - 136 с.

2. Гвдропрессование труб/ В.4.Балакин, Г.А.йень, В.И.Кузьмен-ко и др. - Киев: Тэхника, 1986. - 136 с.

'3. Кузьменко В.И., Балакин В.й. Решение на ЭВМ технологических задач теории пластичности. - Киев: У1.1К ВО при Ыинвузе УССР, 1988. - 79 с. .ив статьях:

4. Кузьменко В.И. 0 вариационном подходе в теории контактных задач для нелийейно-упругих тел//Прикл. математика и механика. -1979; - Т."43, вып. 5. - С. 893-901.

5. Кузьменко В.И. К вариационной постановке контактных задач для упругопластических тел//Устойчивость и прочность элементов конструкций..- Днепропетровск: Днепропетр. ун-т, 1980. -С. 18-24.

6. Кузьменко В.И. 0 контактных задачах теории пластичности при сложном нагружении//Лрикл. математика и механика. - 1984. -Т.'48, вып. 3. - С. 473-461.

7. Кузьменко В.И. Трехмерные контактных задачи для многослойного упругопластического пакета//йзв. АН СССР. Механика твердого тела."- 1984. - }? 4. - С. 105-112.

8. %зьменко В.И. 0 процессе разгрузки при контактном взаико-действии//Прикл. математика-и механика. - 1985. - Т. 49, вып. 3. -0. 445-4о2.

9. Кузьменко В.И. Контактные задачи для упругопластической полосы при сложном нагружении//Изв. АН СССР. Механика твердого ■тела. - 1985. - № 6. - С. 128-135.

- 10. 1фзьменко В.И. О характере упругопластического деформирования и разрушения при действии пологих штампов//Дроблемы прочности. - 1986. - № 2. - С. 45-49.

_ II. Кузькенко В.И. К обратным контактным задачам теории пластичности//Прикл. математика и механика. - 1986. - Т. 50, вып. 3. - С. 475-483.

12. Кузьменко В.И. Контактное взаимодействие системы тел в условиях ползучести материала//Дрикл. механика. - 1986. - Т. 22, № 10. - С. 81-66.

13. Кузы.:енко В.И. Контактные задачи теории пластичности с учетом трения на контактной поверхности//Грение и износ. - 1987.Т. 8, J? I. - С. 45-52. •"•

14. Дузьиенко B.Ji. моделирование на 3BÜ операций упруго-пластического деформирования полых заготовок//Кзв. ВУЗов. Машиностроение. 1507. - },« 3. - C.I3S-I4I.

15. Цузькенко В.И. О единственности решения контактных задач теории пластичности//Вопросы прочности и пластичности. -Днепропетровск: Днепропетр. ун-т, 1937. - G. 13-17.

16. пузьменко В.И. Анализ упругопластического деформирования и кесткопластического течения на основе единого подхода//Изв. ВУЗов, ¡¿адинострсение. - 1987. - 1? 8. - С. IC5-IC8.

17. ^узьменко В.И. О качении цилиэдра по поверхности упруго-пластического тела//Изв. АН СССР. Ыеханика твердого тела. -1987. - № 6. - С. 121-127.

18. лузьменко З.И. Нелинейные обратные задачи теории упру--' гости//Изв. АН СССР, механика твердого тела. - 1989. - К> 6. -

С. 90-97.

19. 1\узы,-енко В.И. 0 реализации оптимального давления при выполнении клеевых и диффузионных соединений//Изв. ВУЗов. Машиностроение. - 1589. - .¥> II. - С. 132-134;

20. Кузьменко В.И. К теории контактных задач для реономных сред//Гидроаэрокеханика «теория упругости. Нелинейные задачи механики идеальных, вязкоупругих и упругопластических сред. -Днепропетровск: Днепропетр. ун-т, 1990. - С. 79-84.

21. IfyabweHKO В.И., Балакин В.Ф., Корж А.П. Контактное взаимодействие деформируемого тела и инструмента в условиях высокого давления//^изика и техника высоких давлений. - Киев: Наумова думка, 1987. - Вып. 26. - С. 69-74.

22. Кузьменко З.И., Бондаренко В.М. Исследование на ЭВМ процессов поверхностного пластического деформирования//Иэв. ВУЗов. Машиностроение. - 1986. - № 10. - C.I2I-I23.

23. Кузьменко В.И., Начамкин A.A. 0 взаимодействии штампа

с полуплоскостью в процессе разгрузки//Вспрося прочности и пластичности. - Днепропетровск: Днепропетр. ун-т, 1987. - С. 18-21.

24. фзьменко З.И., $ень Г.А. Алгоритмы декомпозиции в трехмерных контактных задачах для слоистого пакета/Дстойчивосгь и прочность элементов конструкций. - Днепропетровск: Днепропетр. ун-т, 1979. - С. 3-10.

25. Чузьыенко В.1., 5ень Г.О. Алгоритм I пакет програм для розрахунку методом ск1нченних елекент1в багатошарозих основ до-рокнХх конструкц1й//Автомоб1льн1 дороги I дорожне буд1вництво. -Киев: Будивэльник, 198С. - Вып. 26.- С.81-87.

26. Цузьменко В.И., Чернецкий С.А. К решению задач нелинейного программирования, возникающих при численном исследовании контактного взаимодействия деформируемых тел//УстойчиЕОсть и прочность элементов конструкций. - Днепропетровск: Дчепропетр. ун-т, 1979. ■- С; 10-17. '

27. Бласенко Й.Е., дузьменко В.И., уень Г.А. Контактная задача для упругопластического ьмогослойкого пакета с учетом отставания слоев//Изв. АН СССР. Механика твердого тела. - 1976. -

» 5. - С. 67-73.

28. Фень Г.А., Кузь:.:енко В.К. Контактная упругогиастичеккая задача для многослойного пакета//Лрикл. механика. - 1976. - Т. 14, № 12. - С. 81-87.

29. Напряженно-деформированное состояние пси гидгопресссЕании труб/В.й.Балакин. В.й.фзьменкс, Г.А.^екь и др.//Изе. ВУЗое. Черная металлургия. - 1986. - II. - С. 75-7".

Подписано х печати 20.01,1992.

Формат 60x84/16. Бумага типогр, Х> 2. Печать офестеая. физ.пл 1,5. Уч^иэдл 0,96. Усл.г,.л. 1,39. Ткраж 100 зкз. Заказ 24. Бесплатно.

Днепропетровский металлургпчесхий институт, 330635. Днепропетровск, пр. Гагарина, 4

ОЗ ДМвтИ. 320005, Лоцманское шоссе, 3-С.