Построение упругопластических моделей для анизотропных сред тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ЕФИМЕНКО Лариса Леонидовна

ПОСТРОЕНИЕ УПРУГО ПЛАСТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДЛЯ АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ООЗ 15еТ54

Новосибирск -2007

Работа выполнена в Институте горного дела СО РАН и Новосибирском Технологическом Институте Московского Государственного Университета Дизайна и Технологии (филиал)

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук Чанышев Анвар Исмагилович

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук Шваб Альберт Александрович

доктор физико-математических наук, профессор Зуев Лев Борисович

Горный институт УрО РАН, г. Пермь

Защита состоится «29» октября 2007 г, в 13 часов па заседании диссертационного совета Д 003.054.02 в Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН по адресу: 630090, г. Новосибирск, пр-т академика Лаврентьева, 15.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН

Автореферат разослан сентября 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета д. т.н.

Леган М.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Массивы горных пород являются объектами, сложенными из контактирующих друг с другом блоков (частиц) Деформация таких объектов происходит за счет сдвигов с преодолением сил трения между блоками, и за счет изменения межблокового пространства при простых удлинениях

Блочные структуры изучались в работах академиков С А Христиано-вича и Е И Шемякина Они относились к первоначально изотропным средам и возникали в пластическом состоянии (полная и неполная пластичность) Иерархия структурных уровней блочной структуры определена академиком М А Садовским и его учениками Вместе с тем проблема описания поведения блочных материалов остается актуальной до сих пор Не ясны уравнения деформирования имеющейся блочной структуры (первоначально заданной) в упругости, в пластичности и при разрушении Открытыми остаются вопросы о критериях пластичности и разрушения, о влиянии параметров слоистой структуры на напряженное состояние массива пород, например, вокруг выработки, и о влиянии этих параметров на значения предельных нагрузок при разрушении массива пород штампом Эти проблемы исследовались ранее, но требуют дальнейшего углубленного изучения

Для описания первоначально анизотропных сред на самом деле имеются феноменологические уравнения упругости и пластичности В упругости -это обобщенный закон Гука, но в нем нет структурных параметров, в пластичности - это деформационная теория пластичности и теория пластического течения, основанные на условии пластичности для анизотропных сред Мизеса или Хилла

¡/га у Ы

где Аф - это константы, характеризующие начало пластических деформаций при том или ином виде нагружения и образующие тензор 4-го ранга Здесь также нет связи со структурой, поскольку параметры пластичности определяются экспериментально при различных видах нагружений Вместе с тем большинство горных пород являются первоначально анизотропными по природе Требуется построить для такой среды соотношения упругости и пластичности, отражающие ее основные структурные особенности

Целью работы является построение математических моделей упругого и неупругого деформирования блочных массивов горных пород и исследование влияния структурных параметров этих моделей на предельные нагрузки с целью определения безопасного ведения горных работ и более эффективного извлечения полезных ископаемых

Идея работы заключается в определении блочной структуры горных пород и формулировке уравнений, характеризующих поведение этой структуры предполагается, что при нагружении по нормалям к контактным площадкам блоков происходят деформации простых удлинений (причем упруго), а вдоль контактов - простые сдвиги, которые могут быть и упругими, и необратимыми Зависимость касательных усилий на площадке от простых сдвигов есть не что иное, как изменение предельной силы трения с ростом этих сдвигов В данном виде указанное определение нашло отражение в работах Чанышева А И

Задачи исследований

Построение уравнений упругости и пластичности, параметры которых определяются структурой среды, условиями на контактах блоков, анизотропией шероховатости на контактных площадках

Исследование устойчивости слоистых бортов карьеров

Исследование упруго — пластического состояния слоистого материала (крепи) вокруг цилиндрической выработки

Решение задач о вдавливании жесткого штампа в слоистый массив горных пород Определение влияния структурных параметров на значения предельных нагрузок

Методы исследований: аналитические, численные, экспериментальные методы механики сплошной среды, пакеты прикладных программ

Основные научные положения, защищаемые автором:

1 Существует зависимость между поведением материалов в упругости и поведением материалов в неупругости, исходящая из независимости структуры материала от вида нагружения

2 Существует условие пластичности первоначально анизотропной среды в виде параллелепипеда, уравнения граней которого характеризуют достижение либо нормальным к контактным площадкам блоков - частиц напряжением, либо касательным своего критического значения, причем смещение центра параллелепипеда относительно начала координат соответствует введению анизотропии шероховатости контактных площадок

3 Существует решение задачи о потере устойчивости слоистого откоса, отражающее два механизма его разрушения - за счет сдвига одних слоев относительно других и за счет необратимого сжатия самих слоев и определяющее зависимость максимальной глубины карьера от угла наклона откоса

4 Существует решение задачи о крепи (цилиндрическая выработка), в котором напряжения зависят от структурных параметров крепи так, что за счет регулирования структуры крепи возможно добиться повышения ее несущей способности

5 Существует решение задачи о вдавливании штампа в слоистую среду, в котором предельные нагрузки зависят от характера блочной структуры, позволяющее оптимизировать процесс разрушения массива пород

Достоверность научных результатов обеспечена применением апробированных аналитических методов механики сплошной среды, совпадением предельных случаев полученных решений с известными решениями

Новизна научных положений:

Сформулированные научные положения обладают достаточной новизной

1 Традиционно упругие и неупругие деформации складывались при определении полной деформации На самом деле'между ними существует более тесная связь, чем просто сложение Эта связь обуславливается одной и той же структурой материала, не зависящей от вида деформации этой структуры

2 Традиционно условия пластичности воспринимались в пространстве напряжений как цилиндры, конусы, пирамиды с днищами и без них Здесь же показано на простейших примерах, что условие пластичности может иметь вид п - мерного параллелепипеда (и<6), причем уравнения граней характеризуют достижения напряжениями своих критических значений

3 Показано, что существует сечение слоистого откоса, на котором давление из-за веса вышележащих слоев максимально Новой является также сама зависимость максимальной глубины карьера от угла наклона борта, отражающей два механизма разрушения борта карьера - за счет сдвигов и за счет сжатия

4 При исследовании крепления отверстий (выработок) получено решение, отличающееся от ранее выполненных тем, что в нем рассмотрен полный набор возможных структур крепи и среди них определены такие, которые приводят к значительному повышению ее несущей способности

Личный вклад автора состоит в разработке'математических моделей упругости и пластичности анизотропных сред, в решении задач о напряженно - деформированном состоянии массива горных пород, в том числе о потере устойчивости слоистого откоса, в определении влияния параметров структуры на распределение напряжений в слоистом массиве

Практическая ценность работы. Полученные модели можно использовать для определения предельных нагрузок на массив пород, выбора способа упрочнения горных пород и расчета несущей способности, размера ограждающих устройств породных массивов при последующих экспериментальных исследованиях и решениях задач геомеханики, обеспечивающих безопасность ведения горных работ

Апробация работы. Основные научные положения и результаты работы докладывались на Международной научно-практической конференции «ТРАНСИБ - 99» / Новосибирск, 1999, «ИНПРИМ - 2000» / Новосибирск, 2000, VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике / Пермь, 2001, Всероссийской школе - семинаре по современным проблемам

механики деформируемого твердого тела / Новосибирск, 2003, конференции с участием иностранных ученых «Фундаментальные проблемы формирования техногенной геосреды» / Новосибирск, 2006., межкафедральном научно-методическом семинаре Новосибирского технологического института Московского государственного университета дизайна и технологии (филиал) / Новосибирск, 2007, научном семинаре по геомеханике Института горного дела / Новосибирск, 2007, семинаре отдела механики деформируемого твердого тела Института гидродинамики им М А Лаврентьева СО РАН / Новосибирск, 2007

Публикации. Основное содержание диссертации изложено в восьми печатных работах, в том числе в журналах из списка ВАК

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 4 разделов, выводов, списка литературы Общий объем работы составляет 140 страниц, в том числе 33 рисунка Список литературы содержит 114 источников

Во введении дано обоснование актуальности темы диссертации, указана цель и основные задачи исследований

В первой главе дан краткий анализ развития теории пластичности первоначально анизотропных сред Основные задачи теории пластичности -определение условий или критериев пластичности для тех или иных видов материалов, построение определяющих соотношений в форме связей между напряжениями и деформациями или приращениями напряжений с приращениями деформаций (теория пластического течения), разработка методов решения упругопластических задач и решение этих задач Следует отметить, что условия пластичности необходимы для указания точек в конструкции или ее элементах, в которых в зависимости от условий нагружения впервые начнутся пластические деформации Роль определяющих соотношений сводится к тому, что они дают общее решение задачи о произвольном однородном нагружении пластически деформируемого тела Для отыскания однородных нагружений необходимо воспользоваться уравнениями равновесия, условиями совместности деформаций и определяющими соотношениями пластичности Для этого в теории пластичности разрабатываются методы решения упругопластических задач, которые реализуются затем в решениях конкретных задач

Вторая глава посвящена построению математической модели упругого и неупругого деформирования слоистой среды, составленной из параллельных слоев под углом а к оси горизонта

Рассмотрим тело, состоящее из параллельных слоев (рис 1)

У

2Х

/

1

о

Рис 1 Простейшая модель массива горных пород, составленного из параллельных слоев - нормальные сжимающие

нагрузки

Здесь хОуг - исходная прямоугольная декартова система координат, слои перпендикулярны плоскости рисунка, наклонены под некоторым углом а к плоскости Охг и имеют одну и ту же шероховатость В естественном состоянии, когда к телу еще не приложены никакие нагрузки, оно уже находится под действием некоторых сжимающих сил, притягивающих слои друг к другу Нагружаем блочную модель массива (рис 1) дополнительными силами ах, ау, т^ — нормальные и касательное напряжения, вызванные этими силами и приложенные к граням изображенного на рисунке 1 прямоугольника, г,, елу - деформации Если ввести в рассмотрение локальную систему координат 1,2- ось 1 направив вдоль плоскостей напластования, ось 2 -поперек, то при приложении усилий вдоль этих осей получаем следующую картину деформирования Вдоль оси 2 есть усилие, есть жесткие блоки и есть мягкая прослойка между блоками, которая деформируется В направлении 1 нет поперечной деформации Имеем, таким образом, деформацию простого сдвига, которую вызывают касательные напряжения, и простого удлинения (рисунок 2)

Эти деформации выделяют блочную структуру В системе 1, 2 уравнения упругости имеют вид

£1 - V"!' е2~Н<72' £21 _/?21т21

(1)

-Н

. I '

* * ь

а)

б)

Рис. 2 Два вида деформации а) простой сдвиг, б) простое удлинение

Записав соотношения (1) в системе координат х, у с помощью формул тензорного проектирования, получаем соотношения закона Гука, куда входят четыре структурных параметра (угол между слоями и осью ОХ, податливости вдоль слоев и по нормали к ним, податливость вдоль плоскостей скольжения)

£х = ах хах + а12сгу +аптху,

£у = а^ 2<ух +й22аУ +а23тху> (2)

2еху =апах + а23<ту+а33гху

Закон упругости (2) отражает поведение некоторой блочной модели массива пород

Условие пластичности для данной модели массива пород в отличие от существующих имеет в тензорном пространстве вид трехмерного параллелепипеда, достижение граней или ребер которого соответствует пластическому деформированию по двум, четырем или шести системам контактных площадок. Представим две ситуации Угол а наклонен к оси ОХ под углом 45 На тело действует вертикальная нагрузка. Касательные напряжения могут быть таковы, что пойдут сдвиги по плоскостям напластования Другая ситуация, слои расположены горизонтально или вертикально Здесь сдвиги могут не достичь предельных значений Необратимая деформация может развиваться за счет деформирования самих слоев, за счет растяжения или сжатия При этом не исключается одновременное скольжение слоев и их неупругое деформирование Эти два эффекта лежат в основе построения уравнений пластичности

Эти представления как бы обобщают то, что было предложено академиками С А Христиановичем и Е И Шемякиным для описания состояний полной и неполной пластичности в случае первоначально изотропного тела

Возможные варианты соотношений пластичности

если |г12) = ^12 и гг1|<^1' £Г2 <^2'т0 £1 е2=^'2ст2'

если Ц2|<*12'Ы = *1' Ы<Л2'тог12=Я12ст12' £2=Я2а2' если |г12| = и |°г2|<*'2'то Е2~^2а2'

если |т|2| = ^12' = =

В качестве приложения этой модели решена задача о потере устойчивости откоса или борта карьера, имеющего слоистую структуру. Потеря устойчивости исследовалась в работах В В Соколовского, Г Л Фисенко, В Е Боликова, С А Константинова

Исходные положения таковы имеется откос или борт карьера, его сечение изображено на рис 3

У в С

У

N А/ К

аз /ь/ Р Е

о х

Рис 3 Сечение карьера Я-глубина, а - угол, определяющий наклон борта карьера, р - угол, задающий направление слоистости пород, 1,2- локальная система координат, связанная с плоскостями напластования пород, к - высота, на которой расположено «опасное» сечение

Точки А и В лежат в борту карьера, О - на плоскости напластования, которая проходит через точку О, принадлежащую одновременно и основанию карьера, и его борту, С находится на дневной поверхности, образуя с £> вертикальный отрезок Требуется установить зависимость максимально допустимой глубины карьера Я от параметров материала, когда откос еще остается в устойчивом состоянии

Чтобы решить задачу необходимо определить за счет чего происходит потеря устойчивости откоса и что является критерием потери устойчивости

Для ответа на первый вопрос исходили из того, что потеря устойчивости откоса происходит, прежде всего, за счет веса, лежащих выше слоев

Площадь трапеции АВСО является функцией глубины к - высоты сечения АО над основанием карьера (вес вышележащих слоев над слоем АО пропорционален площади трапеции АВСО)

5 = Ш^Щи 5т(а ~ ^ - (я - к)с18а

2

втаэт Р

Высота, на которой расположено «опасное» сечение ЛД зависит от углов а и р, глубины карьера Н и определяется формулой

■ = Я.<—^

При а = яг/2 наиболее нагруженное сечение расположено в основании карьера (к = 0), давление будет максимальным внизу Если угол а стремится по значению к углу ¡5 (а —» /9 + 0), то условия нагружения среды вдоль этого канала различны Данный факт проявляется в том, что максимальным давление получается в верхней части канала, т е. при И = Н Что касается других значений к, то можно сказать, что все они находятся в промежутке от к до Н Давление, оказываемое вышележащими слоями на «опасное» сечение, определяется формулой

ггк-л/2к — 1 Р = к-1

где к = -Щ-, р - плотность материала, кг/м3, % - ускорение свободного паде-

^Р

ния, м/с2

Для ответа на второй вопрос рассматривалась жесткопластическая схема деформирования. В такой постановке потеря устойчивости связана с выходом пластических областей на обнажение карьера

При решении задачи рассматривалось 2 случая потеря устойчивости происходит за счет сдвига и за счет сжатия слоев Найдена предельная нагрузка рКр, при превышении которой все, что расположено под отрезком АО

(или под штампом), в определенный момент начнет сдвигаться вниз по плоскостям напластования

аГУ\АО=~ ьтрьт.(а~ Р)

Приравнивая два давления, одно из которых соответствует опасному сечению, другое пластическому решению, находим зависимость максимальной глубины карьера от углов а, р и от пределов упругости материала

Если угол а совпадает или близок к углу естественного откоса р, то массив будет устойчив при любой глубине

В третьей главе развивались представления о блочном характере массива пород Они связаны с введением эффекта поперечной деформации блоков при их растяжении и сжатии, что ранее не учитывалось. Закон Гука имеет более сложный вид Здесь уже 5 параметров Добавился угол р, выраженный через коэффициент Пуассона, который отражает ромбовидную структуру Этот момент позволил по-новому проанализировать механизм деформирования среды, определить в ней направления плоскостей скольжений Условие пластичности опять имеет вид параллелепипеда, и все состояния, которые были ранее, сохраняются С помощью этих уравнений пластичности рассматривалась задача о крепи цилиндрической выработки или о напряженно-деформированном состоянии массива горных пород в окрестности цилиндрической выработки В массиве пород существует блочная структура, образованная цилиндрическими поверхностями вида

где г - полярный радиус, <р - полярный угол, положительные значения которого отсчитываются в направлении по часовой стрелке, а — радиус выработки, (р^ - произвольная постоянная, а - угол, задающий наклон слоев относительно тангенциального направления

Для решения задачи имели уравнение равновесия и соотношения Ко-ши, связывающие деформации с перемещениями Решение полученных дифференциальных уравнений определялось по известным правилам. Общее решение неоднородного уравнения есть сумма общего решения однородного уравнения и частного решения Рассматривалось два сценария когда пластичность развивается за счет сдвигов и когда происходит необратимое сжатие слоев. Естественным образом вводят в рассмотрение ортонормированный

+ г|2 - + гт^Р- т^Уе

(Иг .

—— = Хва или га<р

тензорный базис ти Тг, Г3 с компонентами г,'2, (/=1,2,3) соответственно

19 9 1

= сое а со%Р+ею asw.fi, ~зт а соэ «(соб р - эш /?),

19 9 9 9 9

¿22 = ЯШ' а соб ¡3 + сое а эш = -сов^ аэт [3 + бш а сое Д

9 9 9 9

~ -зтасоза(созр + вт/?), ~-ят аът/3 + сое асоэр,

/А, =-^р-соз2 а, = —^Р-зт2а,

11 2 12 2 '22 2

и скалярным произведением симметрических тензоров второго ранга, определяемых выражением (Та,Т£) = ау£у С учетом этих обозначений получены напряжения и смещения в виде

На +(22

1+у

а<Р=~Л

+122

1 + ^22^1

1+у

«¡,)2-(42)2 ''и&'п+'У

+ Сгг,

1\\+{22

где Г = 42Аи ' ^ " постоянная материала, А и В - постоянные интегрирования, вычисляемые посредством задания смещений иг, иф при г = а

На рис 4 представлена зависимость напряжений от радиуса при различных значениях угла а При малых углах а, когда наклон слоев совпадает с контуром выработки, для того, чтобы заработала- пластичность, надо приложить большую нагрузку На рис 5 показана зависимость аг, сг^ от угла

Р при фиксированном а = к! 18 Чем больше материал слоев отличается от изотропного в сторону возрастания р (Р = -п1$\ тем больше напряжения Чтобы материал деформировался пластически надо приложить большую нагрузку

-10 -

в?

-10 -

-20 -30 --40

8?

Рис 4 Графики изменения безразмерных напряжений Я® и (Уф! от радиуса г ¡а 1 - значение а = 0°, 2 - а = 10°, 3- а =20°

Р, рад

-1,5

-0,5

— Р. рад

-1

- -1,5

- -2 -2,5

- -3

Рис 5 Зависимости оу/Ц0 и «т^/^0 от угла Р при фиксированных значениях угла а = ж/18 и радиуса г/а = 1,2

В четвертой главе при построении моделей упругого и упругопласти-ческого деформирования массива горных пород, учтено, что блоки могут быть образованы пересечением не ортогональных друг к другу плоскостей ослабления.

Для построения математической модели исследуемого объекта необходимо было ввести тензорный базис Тензора

Г2=2

Г3 =

9 9

соьрсоь(а + р)-$т р%т (а + р) зт(а + р)со$(а + /?)(соз/?+зт (3)

ч зт(а + Р)соа(а + р){со$р +втр) соБ^т^а + р) — вШ/бСОБ (а+ р) + Р) со%2 {а + РУ соэ 2 (а + р) бш 2 (а + Р))

9 9

ов^вт (« + ДНвт/гсов (« + /?) -8т(а+р)сск(а + [})(со$р Д)

зт(а+Р) со$(а + р){соар - эт р) сое Дсоэ2 (а+р)+эт /Зет2 (а + /?)

(7*2 = Г, х Г,), образуют новый базис, полученный поворотом старого базиса вокруг оси на угол р Чтобы перейти к более общей ситуации (когда все площадки скольжения не ортогональны друг другу) преобразовали базис г,, Тг, Г, Оставив неизменным орт-тензор Г13 повернули два других Тг, Тъ вокруг Г, на угол у так, как показано на рис 6

Все тензоры стали разосными Представив тензор напряжений Та и тензор деформаций Т£ в базисе Т,, т'2, Т'}, имеем

— $11 ^ + Б2Т2 ■ , ^ о = Т^ -+• 12 ^ Э3Г3 ,

где ,э; - координаты тензоров Та,Те, определяемые посредством

соотношений 5, ^Т^,Т,),8'2 =(ТСТ,Т^), ,Э'2 = (Т£,Т^)

Рис 6 Преобразование базиса Ть Т2, Т3

Обозначая модули податливости соответственно как Я^ > Л^, Я^, получаем, что должны иметь место следующие тензорные равенства

ЗТ — 2 С Т 7-»/ _ т' с*' Ф' о' т' _ 1' п/ 'г'

—ДцЗ^д^ 2 2 —^¿2 2' 3 3 —^3 3 3

Так как в эти соотношения входят шесть параметров среды - углы а, ¡5,у, постоянные Л,, /Ц, /Ц, то это, по существу, закон Гука для плоского деформированного состояния в самом общем случае анизотропии

Все три модели применялись к задаче связанной с внедрением в слоистый массив горных пород жесткого штампа К дневной поверхности прикладывается разрушающий элемент в виде штампа, движущийся вниз с начальной скоростью У0 Требовалось в жестко пластической постановке определить силу сопротивления массива пород внедрению штампа, а также глубину погружения последнего Для первой модели рассматривался случай, когда слои ориентированы параллельно дневной поверхности Для того чтобы штамп вместе с материалом начал двигаться вниз, необходимо преодоление сопротивления материала на срез Далее начинают деформироваться прослойки материала под штампом Условие пластичности этих прослоек с; - - кг Это сжатие вызывает дальнейшее преодоление сопротивления сдвига в углах сдвигаемого слоя материалов Процесс повторяется

Картина плоскостей скольжений под штампом для третьей модели представлена на рисунке 7

Рис 7 - Картина деформирования

Под штампом блоки скользят друг по другу по системе плоскостей скольжений Для решения задачи были выписаны уравнения характеристик и соотношения на них В треугольнике ABE предполагалось

Y

D

X

Е

Sj - егх4 + 2Тхуг\у + Vyty ~

Кроме того, должны быть выполнены уравнения равновесия

Эта система гиперболического типа Определяя характеристики этой системы, находим, после обозначения dy/dx = ju, что ¡л удовлетворяет урав-9 1 1 1

нению fi ty+2/jtXy+tx = 0 с дискриминантом, равным sin2/3/2 Для его положительности необходимо, чтобы лк< р< я¡2 + як, где к - целое число В силу того, что t\ it у -ф--1 характеристики получаются не ортогональными друг к другу

Вычисляя соотношения на характеристиках, устанавливаем, что вдоль них должны иметь место равенства

Тху - у //(Т у = const

Получены зависимости напряжений от углов а, Д у (рисунок 8)

б)

в?

о

о

-5"

-5 "

-10

У. рад

-10

1 у, рад

0 0,2 0,4 0,6 0,8

О 0,2 0,4 0,6

0,8

В)

Рис 8 Графики изменения безразмерных напряжений ег„/ г„ /5°

а) - от угла р при фиксированных значениях а = п / 4, г = 0,1,

б) - от угла а при фиксированных р = я!4, / = 0,1,

в) - от угла у при фиксированных р = я1Ь,а = п14 Кривые 1 -3 получены при отношениях 5°/5,", равных соответственно 0 1,1 и 3

Выявлено, что а = я74 - особая точка, в окрестностях которой имеют место разные напряжения, при ¡3 = яг/10 напряжение по абсолютной величине достигают максимального значения, существует особое значение у «0,7, при котором нагрузка неограниченно возрастает

Основные научные результаты диссертационной работы заключаются в следующем

1 Построены уравнения упругости и пластичности для плоского деформированного состояния в самом общем случае анизотропии, в которых условие пластичности первоначально анизотропной среды имеет вид параллелепипеда

2 Решена задача о потере устойчивости слоистого откоса Рассмотрено два механизма его разрушения - за счет сдвига одних слоев относительно других и за счет необратимого сжатия самих слоев Определена зависимость максимальной глубины карьера от угла наклона откоса и других его свойств

3 Решена задача о крепи цилиндрической выработки Показано, что регулируя структуру крепи, можно добиться повышения ее несущей способности

4. Решена задача о вдавливании штампа в слоистую среду Показано, что предельные нагрузки зависят от характера блочной среды, что позволяет оптимизировать процесс разрешения массива пород.

ВЫВОДЫ

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах

1 Ефименко Л Л Определение предельных нагрузок в задаче о внедрении штампа в жесткопластическую анизотропную полуплоскость / JIЛ Ефименко // Региональная научно-практическая конференция «ТРАНССИБ - 99» Тезисы докладов - Новосибирск СГУПС, 1999 -С 215

2 Чанышев А И О зависимости упругого модуля сдвига от глубины / А.И Чанышев, Л Л Ефименко II Международная конференция «ИНПРИМ - 2000» Сборник докладов - Новосибирск ИГД СО РАН, 2000 -С 301-302

3 Ефименко Л Л О внедрении штампа в жесткопластическую анизотропную среду / Л Л Ефименко // Международная конференция «ИНПРИМ - 2000» Сборник докладов - Новосибирск ИГД СО РАН, 2000 -С 400

4 Чанышев А И Математические модели блочных сред в задачах геомеханики Ч. 1 / А И Чанышев, Л Л Ефименко IIФТРПИ - № 3 - 2003 -С 73-84

5 Чанышев А И Математические модели блочных сред в задачах геомеханики Ч 2 / А И Чанышев, Л Л Ефименко II ФТРПИ - № 6 - 2003 -С 21-32

6 Чанышев А И О вдавливании штампа в жесткопластическую анизотропную среду / А.И Чанышев, Л Л Ефименко // Всероссийская школа-семинар по современным проблемам механики деформируемого твердого тела Сборник докладов - Новосибирск НГТУ, 2003 - С 86-90

7 Чанышев А И Математические модели блочных сред в задачах геомеханики. Ч. 3 / А И Чанышев, Л Л Ефименко // ФТРПИ - № 6 - 2004 -С 31-48

8 Чанышев А И. Напряженно-деформированное состояние рулонирован-ных материалов / А И Чанышев, Л Л Ефименко II Международная научно-практическая конференция «Геомеханика Геофизика земли» Сборник докладов -Новосибирск ИГД СО РАН, 2005 -С 192-194

Подписано к печати 24.09 2007г. Формат 60ХВ4/16 Печ. Л. 1. Тираж L00 энз. Заказ № 35 Институт горного дела СО РАН Красный проспект, 54, 630091, Новосибирск

• ВВЕДЕНИЕ

1 О ПЛАСТИЧНОСТИ АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД.

1.1 Обзор подходов по описанию пластического деформирования первоначально 9 анизотропных сред.

1.2 Структурные представления в теории упругости и пластичности.

2 ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ УПРУГОГО И НЕУПРУГОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ СЛОИСТОЙ СРЕДЫ. АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ.

2.1 Определяющие соотношения слоистых сред.

2.2 Построение соотношений пластичности для модели массива пород, состоящего из параллельных слоев.

2.3 Применение уравнений к решению задач.

2.3.1 Задача о потере устойчивости откоса или борта карьера, имеющего слоистую структуру.

2.3.2 Задача об определении напряженно-деформированного состояния массива горных пород в окрестности цилиндрической выработки со слоистой структурой.

2.3.3 Упругопластическая задача.

2.3.4 Задача о внедрении в слоистый массив горных пород жесткого штампа.

2.4 Выводы.

3 УЧЕТ ПОПЕРЕЧНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ БЛОКОВ.

3.1 Построение соотношений пластичности для модели пород с учетом поперечных деформаций блоков.

3.2 Построение соотношений пластичности для моделей массива пород.

3.3 Применение уравнений к решению задач.

3.3.1 Задача о напряженно-деформированном состоянии массива горных пород со слоистой структурой вокруг цилиндрической выработки.

3.3.2 Задача о вдавливании жесткого штампа в слоистый массив горных пород.

3.4 Выводы.

4 БЛОКИ НЕПРАВИЛЬНОЙ ФОРМЫ.

4.1 Модели деформирования массива горных пород.

4.2 Характеристика блочной модели материала.

4.3 Математическая модель объекта.

4.4 Определение соотношений упругости и пластичности.

4.5 Применение полученных соотношений к решению задач.

4.5.1 Задача о нагружении массива пород с цилиндрической выработкой.

4.5.2 Задача о вдавливании жесткого штампа в массив горных пород.

4.6 Выводы.

Большой вклад в развитие теории упругости и теории пластичности первоначально анизотропных сред внесли исследователи Коши, Навье, Пуассон, Сен-Венан и другие ученые.

Навье начал построение теории упругости, Коши ввел понятие о напряженном состоянии (в современном понимании). Важное значение для основ теории упругости имели работы Грина. Стоке впервые охарактеризовал, по современной терминологии, собственные модули и собственные состояния. В другой терминологии для анизотропных материалов собственные модули и состояния были предложены лордом Кельвином.

В 20-30-ые годы XX века появились оригинальные работы П.В. Бехтерева. Им получены различные соотношения между модулями упругости, изучалась задача определения наитеснейших границ модулей упругости и коэффициентов податливости.

Благодаря работам Седова И.И., Новожилова В.В., Черных К.Ф. были определены такие важные понятия как тензорный базис, ортонормированный тензорный базис.

Я. Рыхлевский ввел термин «собственное упругое состояние» и предложил некоторую классификацию анизотропных материалов, получил явные формулы для объемного модуля, модулей Юнга, коэффициентов Пуассона, модулей сдвига, выраженные через собственные модули и состояния. Работы Я. Рыхлевского получили известность в нашей стране, но нужно отметить, что примерно в одно время с ними появились публикации А.И. Чанышева и Н.И. Остросаблина. В них развивались представления о собственных состояниях упругости и пластичности, которые подразумевают существование тензорного базиса, разложение закона Гука на ряд собственных состояний упругости.

Понятие собственных упругих состояний нашло применение для построений уравнений теории пластичности. Понятие блочных структур проистекает из работ С.А. Христиановича, Е.И. Шемякина, М.А. Садовского. В трудах Хри-стиановича С.А. и Шемякина Е.И. предполагалось, что блоки нарезаются в первоначально анизотропном теле площадками действия главных касательных напряжений. В состоянии неполной пластичности имеем блочную структуру, составленную из призм, боковые грани которой параллельны одной из главных осей тензора напряжений и равнонаклонных двум другим осям. В состоянии полной пластичности к этой системе плоскостей ослабления материала добавляется другая система с теми же свойствами относительно других главных осей тензора напряжений.

В работах А.Ф. Ревуженко блоки также образуются в пластическом состоянии. Для отыскания их границ используется решение статически определимой задачи.

Итак, массивы горных пород являются объектами, сложенными из отдельных блоков, в которых наблюдается иерархия структурных уровней: крупные частицы представляют собой совокупность частиц меньших размеров и т.д. Деформация массива пород происходит, главным образом, за счет относительных смещений блоков, которые предполагаются либо жесткими, либо упругими. В экспериментальных исследованиях значительное внимание уделяется изучению свойств межблоковых промежутков с целью прогнозирования значений коэффициента трения при возможных их подвижках, вызывающих необратимые деформации массива.

Наряду с определением физико-механических свойств отдельных элементов и того, что их связывает, для описания процесса деформирования необходимо установить также статическое либо динамическое равновесие системы блоков при каком-то заданном виде нагружения. Поскольку на контактах блоков действует сухое трение, то одним из обязательных условий является учет порядка приложения нагрузок (догрузок) не только в каждой граничной точке множества блоков, но и внутри него. Все это является следствием не потенциальности сил трения, поскольку для таких сил от пути нагружения (догружения) зависят не только перемещение точки, ее деформация, работа, но и движение системы блоков в целом. Траектория нагружения системы блоков может быть зарегистрирована только на внешних, но не на внутренних межблочных границах.

Вместе с тем, блочные массивы существуют, и их необходимо изучать: надо построить математические модели поведения блочных сред при упругом и пластическом деформировании; исследовать напряженно-деформированное состояние массива пород, состоящего из блоков, вокруг цилиндрической выработки; решить задачу о разрушении массива пород жестким штампом в случае плоской деформации.

Целью данной работы является построение математических моделей упругого и неупругого деформирования блочных массивов горных пород и исследование влияния структурных параметров этих моделей на предельные нагрузки с целью определения безопасного ведения горных работ и более эффективного извлечения полезных ископаемых.

В связи с этим необходимо решить следующие задачи: построить уравнения упругости и пластичности, параметры которых определяются структурой среды, условиями на контактах блоков, анизотропией шероховатости на контактных площадках; исследовать устойчивости слоистых бортов карьеров, исследовать упруго-пластическое состояние слоистого материала (крепи) вокруг цилиндрической выработки. решить задачи о вдавливании жесткого штампа в слоистый массив горных пород, определить влияние структурных параметров на значения предельных нагрузок.

В первой главе дан краткий анализ развития теории упругости и теории пластичности первоначально анизотропных сред.

Во второй главе построена математическая модель упругого и упругопла-стического деформирования массива горных пород, составленного из параллельных слоев. Решены пластические задачи: об устойчивости откоса, о выработке в блочном массиве, о вдавливании жесткого штампа с различными вариантами условий пластичности. Показано, что главным звеном модели являются силы, прижимающие блоки друг к другу в нетронутом состоянии. Определены напряженно-деформированное состояние и предельные нагрузки при внедрении жесткого штампа в зависимости от ориентации слоев.

В третьей главе основное внимание уделяется определению механизмов деформирования самих слоев. Введен эффект поперечной деформации блоков при их растяжении и сжатии, что ранее не учитывалось. По-новому проанализирован механизм деформирования среды, в ней и в блоках определены направления плоскостей скольжений, установлены соответствующие им критерии пластичности (прочности), образующие эффекты проиллюстрированы на примерах решения задач о выработке в блочном массиве и о вдавливании жесткого штампа.

В четвертой главе построены математическая и механическая модели упругого и упругопластического деформирования массива горных пород, состоящего из блоков, в которых учтено то, что блоки могут быть образованы пересечением не ортогональных друг к другу плоскостей ослабления. Учтены конструктивные особенности блочной структуры - ориентация контактных площадок, упругопластические свойства самих блоков. Решены задачи о нагружении массива пород с цилиндрической выработкой, о вдавливании в блочный массив жесткого штампа. Исследовано влияние параметров блочной модели среды на значения предельных нагрузок.

Основные положения работы были доложены, обсуждены и одобрены на Международной научно - практической конференции «ТРАНСИБ - 99»/г. Новосибирск, 1999; Международной конференции «ИНПРИМ - 2000»/г. Новосибирск, 2000; VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике/г. Пермь, 2001; Всероссийской школе - семинар по современным проблемам механики деформируемого твердого тела/г. Новосибирск, 2003; конференции с участием иностранных ученых «Фундаментальные проблемы формирования техногенной геосреды» / Новосибирск, 2006; семинаре «Геомеханика и геофизика»/ Институт нефтегазовой геологии и геофизики СО РАН, Новосибирск, 2007; межкафедральный научно-методический семинар Новосибирского технологического института Московского государственного университета дизайна и технологии (филиал) / Новосибирск, 2007; научный семинар по геомеханике Института горного дела СО РАН / Новосибирск, 2007; научный семинар Института гидродинамики / Новосибирск, 2007.

4.6 Выводы

Построена механическая и математическая модели упругого и пластического поведения массива пород, состоящего из блоков неправильной формы. Учтены конструктивные особенности блочной структуры - ориентация контактных площадок, упрогопластические свойства самих блоков.

Решены задачи о нагружении массива пород с цилиндрической выработкой, о вдавливании в блочный массив жесткого штампа. Исследовано влияние параметров блочной модели среды на значения предельных нагрузок.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Как иллюстрация единства собственных состояний упругости и пластичности построены модели массива пород, состоящего из блоков разной формы. Сформулированы определяющие соотношения упругости и пластичности, параметры которых связаны со структурой. Введено новое понятие - форма, согласованная с содержанием. Учтены конструктивные особенности блочной структуры - ориентация контактных площадок, упрошпластические свойства самих блоков. Показано, что существует условие пластичности первоначально анизотропной среды в виде параллелепипеда.

Предложено решение задачи о потере устойчивости откоса, отражающее два механизма его разрушения - за счет сдвига одних слоев относительно других и за счет необратимого сжатия самих слоев. Определена зависимость максимальной глубины карьера от угла наклона.

Исследовано влияние структурных параметров на устойчивость максимальной глубины откоса.

Решена задача о распределении упругопластических напряжений и смещений вокруг цилиндрической выработки в случае, когда окружающий ее материал (массив) имеет слоистую структуру, найдено выражение для упругопласти-ческой границы. Показано, что возможно добиться повышения несущей способности крепи.

Показано, что для отыскания предельных нагрузок необходимо использовать условия равновесия на границах раздела областей с разными законами деформирования.

Исследовано влияние параметров блочной модели среды на значения предельных нагрузок.

1. Mises R. Mechanic der plastischen Formänderung von Kristallen // Zeitschrift fur angewandte Matematik und Mechanic: Band 8. Heft 3. - 1928. - P. 161-185.

2. Хилл Р. Математическая теория пластичности / Р. Хилл. М.: ГИТА, 1956.-406 с.

3. Diaconita V. Sur la fluoric de la plasticité des corps orthotropes coissolidables // Comptes Rendus, 1969. -1. 269. Serie A. - P. 802 - 804.

4. Chacrabarty Y. A hypothesis of strain hardening in anisotropic plasticity // International journal of mechanical sciences, 1970.-Vol. 12.-№2.-P. 169-176.

5. Sachs G.Z. Ver Deut Ingr // 72 (1928). P. 734-736.

6. Dehlinger V.Z. Matallk // 35 (1943). P. 182-184.

7. Olszak W., Urbanowski. Arch. Mechanics // Stosowanej, 1956. P. 671-694.

8. Sobotka Z. In «Stavebnicky Casopis» // Bratislawa: Sav. 14, 1966. P. 195196.

9. Геогджаев B.O. Некоторые вопросы теории упругопластической деформации анизотропных материалов / B.O. Геогджаев. Оборонгиз, 1958. - 218 с.

10. Геогджаев B.O. Осокин А.Е., Пермин П.И. Об одном подходе к решению задач упругопластического деформирования анизотропной среды // ДАН СССР. -1981.-Т. 261.-№ 5.-С. 1082-1085.

11. Мансуров P.M. Об упругопластическом поведении анизотропных сред // Упругость и неупругость. 1971. - Вып. I. - С. 163-171.

12. Косарчук B.B., Ковальчук Б.И., Лебедев A.A. Теория пластического течения анизотропных сред // Проблемы прочности. 1986. - № 4. - С. 50-57.

13. Греков М.А. Пластичность анизотропного тела // ДАН СССР. 1985. -Т. 278.-№5.-С. 1082-1084.

14. Кравчук A.C. О теории пластичности анизотропных материалов // Расчет на прочность. 1986. -№ 27. - С. 21-29.

15. Ильюшин A.A. Изоморфизм упругопластических свойств анизотропных тел // VI Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике: Аннотация докладов. Ташкент, 1986. - С. 312.

16. Чанышев А.И. О форме и содержании элемента деформируемой среды // Сборник аналитических и численных исследований в механике горных пород: Материалы Всероссийской конференции. ИГД СО РАН. Новосибирск, 1986. -С. 122-125.

17. Чанышев А.И. Об одной модели пластического деформирования материалов при сложном нагружении // Материалы VI Казахстанской межвузовской конференции по математике и механике: Тезисы докладов. Алма-Ата, 1977. - С. 57.

18. Чанышев А.И. О потере устойчивости крепей цилиндрической формы капитальных горных выработок // Физ. техн. проблемы разработки полезных ископаемых.- 1978.- №3.- С. 12-19.

19. Чанышев А.И. Об одной модели пластической деформации материалов при сложном нагружении // Сборник материалов VII Всесоюзной конференции по прочности и пластичности: Тезисы докладов. Горький, 1978. - С. 23.

20. Чанышев А.И. Деформация упрочняющегося пластического материала при сложном нагружении // В сб.: Динамика сплошной среды ИГ СО АН СССР. -Новосибирск, 1978. в. 34. - С. 41-53.

21. Чанышев А.И. О пластической деформации материалов при сложном нагружении // ПМТФ. 1979. -№ 4. - С. 141-145.

22. Чанышев А.И. О пластичности анизотропных сред // ПМТФ. 1984. - № 2. - С. 149-151.

23. Чанышев А.И. К решению задач о предельных нагрузках для жесткопла-стического анизотропного тела//ПМТФ. 1984. -№ 5. - С. 151-154.

24. Чанышев А.И. Об одной модели пластического деформирования горных пород при сложном нагружении (пространственный случай) // Физ. техн. пробл. разработки полезн. ископаемых. 1985. - № 1. - С. 27-34.

25. Чанышев А.И. О соотношениях упругости для горных пород. Деформационная теория пластичности // Физ. техн. пробл. разработки полезн. ископаемых. 1986. -№ 1. - С. 3-12.

26. Чанышев А.И. О соотношениях упругости горных пород. Деформационная теория пластичности // Материалы Всесоюзного совещания по физическим свойствам горных пород при высоких давлениях и температурах: Тезисы докладов. Ереван, 1985. - С 122.

27. Чанышев А.И. Пластичность анизотропных сред // Пятый национальный конгресс по теоретической и прикладной механике: Тезисы докладов. Варна, 1985.-С. 186.

28. Бастуй В.Н., Черняк Н.И. О применимости некоторых условий пластичности для анизотропной стали // Прикладная механика. 1966. - Т. 2. - Вып. II. -С. 92-98.

29. Справочник по анизотропии конструкционных материалов / Е.К. Ашке-нази, Э.В. Ганов. Л.: Машиностроение, 1980. - 247 с.

30. Kolayashi S., Caddell R.M. Hosford W.F. Исследование последнего условия текучести Хилла с использованием экспериментальных данных для различных анизотропных листовых металлов // Int. Y. Mech. Sei. 1985. - № 27, 7-8. - P. 509-517.

31. Vial Christian,., Caddell Robert M. Поверхности текучести анизотропных листовых металлов // Int. Journ. Mech. Sei. 1983. -25. - № 12. - P. 899-915.

32. Hosford W.F. Об анизотропных критериях текучести // Int. Journ. Mech. Sei. 1985. - № 7 - 8. - P. 423-427.

33. Цой Д.H. Технология машиностроения / Д.Н. Цой. Алма-Ата, 1980.-215 с.

34. Лебедев A.A., Косарчук В.В., Ковальчук Б.И. Исследование скалярных и векторных свойств анизотропных материалов в условиях сложного напряженного состояния. Сообщения 1 // Проблемы прочности. 1982. - № 3. - С. 25-31.

35. Лебедев A.A., Косарчук В.В., Ковальчук Б.И. Исследование скалярных и векторных свойств анизотропных материалов в условиях сложного напряженного состояния. Сообщения 2 // Проблемы прочности. 1982. - № 8. - С. 114-121.

36. Колокольчиков В.В. Механика деформирования сред / В.В. Колокольчиков. Куйбышев. - 1981. - 154 с.

37. Рыбакина О.Г. Критерий текучести анизотропного материала, обладающего эффектом SD // Исследования по упругости и пластичности. 1982. - № 14. -С. 132-142.

38. Ikegami К. Анизотропия металлов в экспериментах по пластичности // Collog. Int. CNRS. 1982. - № 295. (Comportement mec Solides anisotropies. Collog. Euromech. 115, Villard de-Lans, 19-22 juin, 1979), P. 201-242.

39. Огибалов П.М., Кузнецов B.H., Саввов П.М., Алифанов A.B. Экспериментальное исследование пластичности начально-анизотропного материала при простом деформировании // Упругость и неупругость. 1987. - С. 136-146.

40. Ренне И.Л. Технология машиностроения / И.Л. Ренне, В.В. Шевелев, С.П. Яковлев. Тула: Приокское кн. изд., 1967. - 178 с.

41. Христианович С.А., Шемякин Е.И. К теории идеальной пластичности // Инж. Ж. МТТ. 1967. - № II. - С. 86-97.

42. Христианович С.А. Деформация упрочняющегося пластического материала//МТТ.-1974.-№2.-С. 148-174.

43. Шемякин Е.И. Анизотропия пластического состояния // ЧММСС. 1973. -Т. 4.-С. 150-162.

44. Батдорф С.Б., Будянский Б. Математическая теория пластичности, основанная на концепции скольжения // Механика. Периодический сб. перев. иностр. статей. - 1962.-№ 1.-С. 134-155.

45. Леонов М.Я., Швайко Н.Ю. О зависимости между напряжениями и деформациями в окрестности угловой точки траектории нагружения // ДАН СССР. 1966. -Т. 171. - № 2. - С. 306-309.

46. Леонов М.Я. Элементы аналитической теории пластичности // ДАН СССР, 1972. Т. 205. - № 2. - С. 303-306.

47. Леонов М.Я., Салиев А.Б., Нисневич Е.Б. Дискретная модель твердого тела // Проблемы прочности. 1982. - № 2. - С. 36-39.

48. Леонов М.Я., Панев В.А., Русинко К.Н. Зависимость между деформациями напряжениями для полухрупких тел // Инж. ж. МТТ. 1967. - № 6. - С. 2632.

49. Ревуженко А.Ф., Стажевский С.Б., Шемякин Е.И. О механизме деформирования сыпучего материала при больших сдвигах // Физ. техн. проблемы разраб. полезных ископаемых. 1974. -№ 3. - С. 130-133.

50. Ревуженко А.Ф., Стажевский С.Б., Шемякин Е.И. Об эффекте поперечных деформаций в механике сплошных сред // ПМТФ. 1974. - № 1. - С. 153158.

51. Шемякин Е.И. Анизотропия пластического состояния // ЧММСС. 1973. -Т4.-№4.-С.150-162.

52. Ревуженко А.Ф., Шемякин Е.И. Некоторые постановки краевых задач L-пластичности // ПМТФ. 1979. - № 2. - С. 128-136.

53. Бабаков В.А. Модель пластического тела с внутренним трением и дила-токсией // Физ. техн. проблемы разраб. полезных ископаемых. 1987. - № 3. - С. 12-20.

54. Бабаков В.А., Коврижных A.M., Шемякин Е.И., Чанышев А.И. Анизотропия пластического состояния // VI Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике: Аннотация докладов. Ташкент, 1986. - С. 65-66.

55. Жигалкин В.М. Анизотропия пластических сред / В.М. Жигалкин, А.И. Чанышев // В сб.: Прочность и сейсмостойкость энергетического оборудования. Тез. докл. Корд. Совета. Фрунзе. - 1986. - С. 67.

56. Жигалкин В.M. Деформационное упрочнение конструкционных материалов при сложном погружении на основе анализа анизотропии пластического состояния. Автореферат дисс. д.ф-м.н. М., 2000. - 44 с.

57. Коврижных A.M. Пластическое деформирование упрочняющихся материалов при сложном погружении // MIT. 1986. -№ 4. - С. 140-146.

58. Ревуженко А.Ф. Актуальные проблемы вычислительной математики и математического моделирования / А.Ф. Ревуженко, Е.И. Шемякин, А.И. Чаны-шев. Новосибирск: Наука, 1986. - С. 162.

59. Мохель А.Н., Салганик P.JL, Христианович С.А. О пластическом деформировании упрочняющихся металлов и сплавов. Определяющие уравнения и расчеты по ним // МТТ. 1983. -№ 4. - С. 19-141.

60. Жигалкин В.М, Чанышев А.И. Анизотропия пластических сред // В сб.: Прочность и сейсмостойкость энергетического оборудования: Тезисы докладов Корд. Совещ. Фрунзе, 1986. - С. 67.

61. Садовский М.А. Естественная кусковатость горной породы // Докл. СССР. 1979. - Т. 247. - № 4. - С.78-79.

62. Садовский М.А. О свойстве дискретности горных пород // Физика Земли. 1982.-№ 12.-С. 54-56.

63. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Н.И. Мусхелишвили. М., 1949 - 158 с.

64. Чанышев А.И. Блочная феноменологическая механическая модель элемента деформации среды. Часть 1 : Определение, основные свойства // ФТПРПИ. -1998.-№4.-С. 29-30.

65. Ревуженко А.Ф., Шемякин Е.И. О плоском деформировании упрочняющихся и разупрочняющихся пластических материалов // ПМТФ. 1977. - № 3 -С. 59-62.

66. Кочарян Г.Г., Кулюкин A.M. Исследование закономерностей обрушения подземных выработок в горном массиве блочной структуры при динамическом воздействии. Часть II: О механических свойствах межблоковых промежутков // ФТПРПИ. 1994. - № 5. - С. 45-48.

67. Никитин Л.В. Статика и динамика твердых тел с внешним сухим трением. М.: Московский лицей, 1998. - 98 с.

68. Goodman R.E., Taylor and Т. Brekke. A Model for the Mechanics of Jointed // Rock. Y. Soil Mech. Found. Dir. 1994 (1968). - SM 3.

69. Леонтьев A.B., Назаров П.А., Назарова Л.А. Методика подготовки данных для решения трехмерных геомеханических задач // ФТПРПИ. 1997. -№ 3. -С. 16-20.

70. Леонтьев A.B., Назаров П.А., Назарова Л.А. Модельные представления полей региональных напряжений при Алтае-Саянской горной области // ФТПРПИ. 1996. - № 4. - С. 5-8.

71. Чанышев А.И. О влиянии порядка приложения нагрузок в механике горных пород // ФТПРПИ. 2000. - № 4. - С. 34-35.

72. Стрелков С.П. Механика / С.П. Стрелков. М.: Наука, 1975. - 353 с.

73. Мизес Р., Русск. Пер.: Механика твердых тел в пластически-деформированном состоянии // В кн.: Теория пластичности. М., ИЛ. - 1948. - С. 57.

74. Поль Б. Макроскопические критерии пластического течения и хрупкого разрушения // В кн. "Разрушение". — М.: Мир, 1975. — Т. 2.

75. Качанов Л.М. Основы теории пластичности / Л.М. Качанов. М.: Наука, 1969.-420 с.

76. Соколовский В.В. Построение полей напряжений и скоростей в задачах пластического течения // Инж. Ж 1961. - Т. 1. - С. 35.

77. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М., 1973.

78. Фисенко Г.Л. Устойчивость бортов угольных карьеров / Г.Л. Фисенко. -Углетехиздат, 1956.-230 с.

79. Фисенко Г.Л. Устойчивость бортов карьеров и отвалов / Г.Л. Фисенко. М.: Недра, 1965.-378 с.

80. Фисенко Г.Л. Предельные состояния горных пород вокруг выработок / Г.Л. Фисенко. -М.: Недра, 1971. -415 с.

81. Боликов В.Е., Константинова С.А. Прогноз и обеспечение устойчивости капитальных горных выработок. Екатеринбург: УРО РАН, 2003.

82. Михлин С.Г. Об одной основной задаче теории горного давления. ДАН СССР, т. 49, 1945, №9.

83. Соколовский В.В. Статика сыпучей среды. M.: Физматгиз, 1960.

84. Соколовский В.В. Теория пластичности. -М.: Высшая школа, 1969.

85. Бобряков А.П., Ревуженко А.Ф. Некоторые закономерности пластического деформирования сыпучих материалов. // ФТПРПИ. 1988. - № 4.

86. Герман А.П. Свод равновесия и оседания поверхности над гонными выработками. Изв. АН СССР, ОТН, № 6, 1952.

87. Христианович С.А., Шемякин Е.И. К теории идеальной пластичности // ИЖ. Механика твердого тела. - 1967. -№ 4. - С 11-15.

88. Некоторые вопросы механики горных пород / К.В. Руппенейт. Угле-техиздат, 1954. - 152 с.

89. Лавриков C.B., Ревуженко А.Ф. О деформировании блочной среды вокруг выработки // ФТПРПИ. 1990. -№ 6. - С. 171-172.

90. Лавриков C.B., Ревуженко А.Ф. Об устойчивости деформирования блочного массива вокруг выработки // ФТПРПИ. 1991. - № 1. - С. 37-38.

91. Ревуженко А.Ф., Лавриков C.B. Пластические модели в задачах упругого деформирования рулонированных оболочек // ПМТФ. 1988. -№ 3. - С. 26-28.

92. Фрейденталь А. Математические теории неупругой сплошной среды / А. Фрейденталь, X. Гейрингер. Физматгиз, 1962. - 240 с.

93. Работнов Ю.Н. Механика деформированного твердого тела / Ю.Н. Ра-ботнов. М.: Наука, 1988. - 712 с.

94. Бушманова О.П., Ревуженко А.Ф. Напряженное состояние породного массива вокруг выработки при локализации деформаций сдвига // ФТПРПИ. -2002.-№2.-С. 17-21.

95. Кузьменко В.А. Новые схемы деформирования твердых тел.

96. Динник А.И. Распределение напряжения вокруг подземных горных выработок / А.И. Динник, А.Б. Моргаевский, Г.И. Савин. // Тр. Совещания по управлению горным давлением. Академиздат, 1938.

97. Инхлин С.Г. Об обоснованной задаче теории горного давления / С.Г. Инхлин. // ДАН СССР. 1945. - т.49. - № 9. - С. 52-63.

98. Протодьяконов И.М. Давление горных пород и рудничных креплений / И.М. Протодьяконов. // Государственное научно-техническое горное издательство.-Часть 1.- 1933.

99. Герман А.П. Свод равновесия и оседания поверхности над горными выработками. / А.П. Герман. Изд-во АН СССР. - ОТН. - 1952. - № 6.

100. Лавриков C.B. О возможном способе повышения несущей способности горного массива вокруг выработки // ФТПРПИ. 2003. - № 5. - С. 31-38.

101. Ревуженко А.Ф., Шемякин Е.И. К вопросу о плоском деформировании упрочняющихся и разупрочняющихся пластических материалов // ПМТФ. 1970. -№ 3.

102. Ревуженко А.Ф., Шемякин Е.И. Об эффекте поперечных деформаций в механике сыпучих сред. ПМТФ. - 1974. - № 1. - С. 20-22.

103. Чанышев А.И., Ефименко J1.JI. Математические модели блочных сред // ФТПРПИ. 2003.-№3.-С. 12-16.

104. Лавриков C.B. О возможном способе повышения несущей способности горного массива вокруг выработки // ФТПРПИ. 2003. - № 5.

105. Новожилов В.В. О формах связи между напряжениями и деформациями в первоначально изотропных неупругих телах (геометрическая сторона вопроса) // ПММ. 1963. - Т. 27.

106. Батугин С.А., Ниренберг Р.К. Приближенная зависимость между упругими константами горных пород и параметры анизотропии // ФТПРПИ. 1972. -№ 1.

107. Чанышев А.И. Блочная феноменологическая механическая модель элемента деформируемой среды. Ч. 3: Первоначально анизотропные среды // ФТПРПИ. 1999. - № 4. - С. 38 - 49

108. Чанышев А.И., Ефименко JI.JT. Математические модели блочных сред 4.2 // ФТПРПИ. 2003. - № 6. - С. 14 - 32

109. Чанышев А.И., Ефименко JI.JI. Математические модели блочных сред Ч.З // ФТПРПИ. 2004. - № 6. - С. 31 - 48

110. Чанышев А.И., Ефименко Л.Л.Напряженно деформированное состояние рулонированных материалов/Международная научно-практическая конференция «Геомеханика. Геофизика земли»: Сборник докладов. - Новосибирск: ИГД СО РАН, 2005. С. 192 - 194.