Задачи протекания для вязкого теплопроводного газа в нецилиндрических убывающих по времени областях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

ПОДКУЙКО МАКСИМ СЕРГЕЕВИЧ

Задачи протекания для вязкого теплопроводного газа в нецилиндрических убывающих по времени областях

01.01.02 - дифференциальные уравнения

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

АВТОРЕФЕРАТ

Стерлитамак -- 2006

Работа выполнена на кафедре математического анализа Стерлитамак-ской государственной педагогической академии и в лаборатории дифференциальных уравнений Стерлитамакского филиала АН РБ

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Калиев И.А.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Кожанов А.И. кандидат физико-математических наук, Кульсарина (Хисамутдинова) H.A.

Ведущая организация: Институт гидродинамики

им. М.А. Лаврентьева СО РАН

Защита состоится 24 ноября 2006 г. в 14 часов 00 минут на заседании диссертационного совета К 212.315.01 при Стерлитамакской государственной педагогической академии по адресу: г. Стерлитамак, пр. Ленина, 37, ауд. 312.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Стерлитамакской государственной педагогической академии.

Автореферат разослан « » октября 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор физ.-мат. наук, профессор

Кризский В.Н.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В работе рассматриваются начально-краевые задачи для полной системы уравнений движения вязкого газа, или системы уравнений Навье-Стокса.

Изучение вопросов единственности начально-краевых задач для системы уравнений Навье-Стокса началось с работ Д. Граффи и Дж. Серри-на (1953, 1959 гг.). Первые результаты по разрешимости для уравнений Навье-Стокса получили Дж. Нэш, Н. Итая, А.И. Вольперт и С,И. Худяев. Для начально-краевых задач локальные по времени теоремы существования и единственности установлены В.А. Солонниковым и А. Тани.

Первый результат по однозначной разрешимости «в целом» по времени и по данным был установлен в 1968 г. Я.И. Канелем в случае задачи Коши для уравнений одномерного движения вязкого баротропного газа. Для модели Бюргерса разрешимость задачи Коши и начально-краевых задач была доказана в работах Н. Итая и А. Тани.

В 1976 г. A.B. Кажихов впервые получил результат о глобальной разрешимости для уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа. В дальнейшем цикл работ A.B. Кажихова, В.В. Шелухина позволил построить довольно полную теорию по глобальной разрешимости основных начально-краевых задач и задачи Коши для уравнений одномерного движения вязкого газа.

Данные исследования легли в основу монографии С.Н. Антонцева, A.B. Кажихова, В.Н. Монахова, в которой изложены результаты о существовании «в целом» и единственности регулярных обобщенных решений начально-краевых задач для уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа при начальных данных из W^f (fi). В работах A.A. Амосова и A.A. Злотника получено существование «в целом» (слабых) обобщенных решений указанных задач при начальных данных из Lq(Q).

Проблеме глобальной разрешимости задач протекания для систем уравнений одномерного движения вязкого газа (баротропного или теплопроводного) посвящены работы С.Я. Белова, В.А. Вайганта, К.О. Ка-зёнкина.

В работах ИА. Калиева, A.B. Кажихова исследованы вопросы од-

з

нозначной разрешимости задачи со свободной границей, моделирующей процесс фазового перехода между вязким газом и твердым телом. При этом возникает вспомогательная задача, описывающая движение вязкого теплопроводного газа в "криволинейной области, доказывается единственность "и существование ее локального решения.

Как правило, область, в которой доказывается существование решения «в целом» по времени, является либо полосой {(£,£)! — оо < х < оо, 0 < t < Т}, либо цилиндром {(:r,t)| а < х < b, 0 < i < Т}, где а, Ь, Т ~ заданные постоянные.

В нашем исследовании для полной системы уравнений одномерного нестационарного движения вязкого теплопроводного газа устанавливается однозначная глобальная разрешимость начально-краевых задач в. нецилиндрических убывающих по времени областях Пт = {(as,i)l 0 < х < s(t), 0 < t < Т}, где х = s(t) - заданная гладкая невозрастающая функция.

Целью работы является: 1) доказательство существования решений начально-краевых задач для системы

(ди ди\ д2и д-р _ Л ,п'

(дв дв\ Э20 (ди\г ди

«в малом» по времени; 2) доказательство существования и единственности глобального обобщенного и классического решений начально-краевых задач в нецилиндрических областях.

Методы исследования. При доказательстве существования локального классического решения основных начально-краевых задач применяется теорема Тихонова-Шаудера. Единственность решения устанавливается интегральными методами. Доказательство существования глобального решения поставленных задач в классах Соболева и Гёльдера основывается на получении априорных оценок. Основными инструментами

получения априорных оценок являются принцип максимума и метод до-множения уравнения на линейные комбинации неизвестных функций и последующего интегрирования по частям.

Научная новизна.

1. Исследованы задачи для системы (1) - (3) с условиями «прилипания», истечения и протекания газа через границы области. Доказано существование классических решений в «малом» по времени начально-краевых задач, описывающих движение вязкого теплопроводного газа в криволинейных областях.

2. Доказана единственность решений поставленных задач для системы (1) - (3) в нецилиндрических областях.

3. Установлены глобальные априорные оценки в пространствах Соболева и доказано существование глобального обобщенного решения перечисленных начально-краевых задач в области Qt-

4. Показано существование глобального решения задач для системы (1) - (3) в нецилиндрических областях в пространствах Гёльдера.

Практическая и теоретическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты и методы исследования представляют научный интерес и могут быть использованы для дальнейшей разработки общей теории краевых задач для систем уравнений.

Апробация работы. Результаты, приведенные в диссертации, докладывались автором и обсуждались на научных семинарах кафедры математического анализа (научные руководители - профессора К,Б. Сабитов, Ф.Х. Мукминов, И.А. Калиев, 2003 - 2006 гг.), кафедры прикладной математики и механики (научный руководитель - профессор В.Ш. Шагапов, 2006 г.), кафедры теоретической физики (научный руководитель - профессор А.И. Филиппов, 2006 г.) Стерлитамакской государственной педагогической академии, на научном семинаре Института механики УНЦ РАН (научные руководители - профессора C.B. Хабиров, P.C. Сакс, г. Уфа, 2006 г.), а также на следующих научных конференциях: «Студенческая наука - в действии» (г. Стерлитамак, 2003 г.), «Современные проблемы физики и математики» (г. Стерлитамак, 2004 г.), «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и ин-

форматики» (г. Нальчик, 2004 г.), «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике» (г. Новосибирск, 2005 г.), «Дифференциальные уравнения и их приложения» (г. Самара, 2005 г.), «Региональная школа-конференция молодых ученых» (г. Стерлитамак, 2006 г.), «Tikhonov and Contemporary Mathematics» (г. Москва, 2006 г.), «Современные проблемы дифференциальных уравнений, теории операторов и космических технологий» (Казахстан, г. Алматы, 2006 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ, список которых приведен в конце автореферата. В работах [2], [4], [6], [9] - [11] постановка задач и идея доказательства принадлежат научному руководителю И.А. Калиеву.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разделенных на 9 параграфов, списка литературы. Объем диссертации составляет 110 страниц. Библиография - 70 наименований.

Основное содержание работы

Во введении приведен краткий обзор литературы по теме диссертации, излагается краткое содержание работы, сформулированы основные результаты, которые выносятся на защиту.

Объектом изучения диссертационной работы является полная система уравнений (модель Навье-Стокса) (1) - (3), описывающая движение совершенного политропного газа в нецилиндрической области С1т = {(a;,t)j0 < х < s(t), 0 < t < Т}. Область Qy занята вязким теплопроводным газом, и х = s(t) - известная гладкая функция. Изучается случай, когда область сужается со временем, то есть ds{t)/dt < 0. Здесь р{х, t), и(х, £), р(х, t) и в(х> t) - плотность, скорость, давление и абсолютная температура газа; R, х - положительные константы: вязкость, газовая постоянная и коэффициент теплопроводности газа соответственно.

В области О-т для системы (1) - (3) ставятся следующие начально-краевые задачи.

Задача Go. Найти функции p(x,t),u{x,t),e{x,t)} удовлетворяющие системе уравнений (1) - (3), если в начальный момент и на границах выполняются условия

p(=c,t)|t=o = Po(z)> w(x,t)|t=0 = 0OM)|t=o = 6q{x), x € [0,s0], (4)

' 0OM)U=o = 0i(O. 0(x,t)\x=sm=e2(t)- t G [0,T], (5)

«OM)U=e(t) = o, í€[o,rj, (6)

w(x,í)|I=0 = 0, ¿€[0,Tj. (7)

Здесь и впоследствии sо = s(O). Под условием (7) понимается, что газ «прилипает» к границе х = 0.

Приведем условия согласования нулевого и первого порядков в точках (0,0), (so, 0) для задачи Go:

tí0(0) = 0, <u0(s0) = 0, (8)

во(0) = ^(О), e0(s0) = 02(О), (9)

¡¿и0хх(0) - Яа>*(О)0о(О) - Rpo(0)e0x(0) = 0, (10)

+ —-про»(во)^о(5о) —-RpoW^oxW = 0, (11)

ас

Po(so) (въ(0) - =

= ивоххЫ + l¿Uox(so) - Rpo(so)0o(so)uox(so), (12)

Á)(0)^ií(0) = xdoUo) + /«4(0) - Rpo(0)(O)wox(0). (13)

Задача G1( Найти функции p(x,t),u(x,t)y9(x,t), удовлетворяющие системе уравнений (1) - (3), если в начальный момент и на границах выполняются условия (4) - (6) и

ti(s,t)U-o = ui(0<0, t € [0,Т]. (14)

Условие (14) означает, что газ может вытекать из области через границу х - 0.

t

Для задачи Gi предполагается выполнение условий согласования: (9), (11), (12) и

w0(0) =гд(0), u0(s0) = 0, (15)

Ро(.0)(ии(0)+и0(0)щх(0)) = p.u0xx(0)-Rpox{0)8o{0)-Rpo(0)9ox{0), (16) Ро(0)(&и(0) -huo(0)&ox(0)) = >с9охх(0) + ^и20х(0) - Rpo(0)9Q(0)щх(0). (17)

Задача G2. Найти функции p(x,t),u(x,t),ô(x,t), удовлетворяющие системе уравнений (1) - (3), если в начальный момент и на границах выполняются условия (4) - (б) и

u(:M)U=o = ui(t) > О, te [0,Т], (18)

pOM)U=o = Pi(t), t € [0,Т]. (19)

Условия (18) и (19) означают, что газ втекает в область через границу i = 0c заданной плотностью pi(t).

Условия согласования нулевого и первого порядков в точках (0,0), (5о,0) для задачи G2: (9), (11), (12), (15) - (17) и

Ро(0) = pi (0), plt{ 0) + yOox(0)uo(0) + ро(0)ггох(0) = 0. (20)

Предполагается, что для всех х € [0,so] и t 6 [0, Т] выполняются неравенства:

0 < m < р0{х), 0о(х)> di(t), 62{t) < M < +00, (21)

d<i

s(t)> 0, -M<~{t)< 0, (22)

—M < ui(i) < 0, (в случае задачи Gi), (23)

0 < m < ui(t), pi(t) < M < +00, (в случае задачи G2), (24)

где m, M ~ некоторые положительные константы.

Во всех рассматриваемых задачах u(s(t)}t) = 0, ds(t)/dt < 0, т. е. u(s(t),t) — ds(t)/dt > 0, и газ может вытекать через границу области х — s(t). В итоге мы исследуем задачи протекания через области с подвижными границами. Исследование проводится в эйлеровых переменных.

В главе 1 установлены: существование решений поставленных задач для системы (1) - (3) «в малом» по времени и единственность решений поставленных задач в области Cl?.

В §1.1 для системы (1) - (3) в области Qт приведены постановки задач Go - G2. Введены обозначения норм, используемые в работе: | • _ норма в пространстве непрерывных в Q функций C(Q)] | • ^ - норма в пространстве CQ(Q), т. е. совокупности функций, непрерывных по Гёль-деру с показателем а, 0 < а < 1; | • _ норма в пространстве

функций, которые по переменным х имеют производные до порядка г, по времени до порядка j, причем эти производные непрерывны по Гёльдеру по I с показателем a, 0<a<l,anoi-c показателем ß, 0 < ß < 1.

В §1.2 доказаны следующие теоремы существования локальных решений поставленных задач в классах Гёльдера.

Теорема 1. Пусть начальные и краевые данные задачи Gq принадлежат пространствам Гёльдера

р0(х) ecl+«([0,s0}), щ(х), 90(х) е С2+а([0,50]),

^(t), Ö2(i) е С<2+«^2([0,Т]), ^ }

0 < a — const < 1; выполнены условия (8) - (13), (21), (22). Тогда задача Gq имеет классическое решение «в малом» по времени, т. е. существует t+ > 0, что

p(x,t) е C1+û(Ôf.), u(x,t), 0(x,t) € C2+^2+^2(Uu), (26)

причем p(x,t) > 0, 6(x,t) > 0 в fitm.

Теорема 2. Пусть начальные и краевые данные задачи Gi принадлежат пространствам Гёльдера

р0(х) е C1+û([0,50]), uo(rr), в0(х) € C2+«([0,s0]), . ,

s(t), ^(¿), ô2(t) е С(2+а)/2([о,Т]), 1 ;

О < а = const < 1; выполнены условия (21) - (23) и условия согласования (9), (11), (12), (15) - (17). Тогда задача G\ имеет классическое решение «в малом» по времени, т. е. существует i* > 0, что выполнены (26), причем p(x,t), ö(x,i) - строго положительные функции в

а,-

Теорема 3. Пусть начальные и краевые данные задачи С?2 принадлежат пространствам Гёльдера

ро(х) € С1+а([0,5о]), щ(х), во(х) е С2+«([0,5о]), ,2 ,

S(t), Ul(t), Ô!(0, e2{t), Pl(t) e c^2([0,T}), 1 ;

0 < a — const < 1; выполнены условия (21), (22), (24) и условия согласования (9), (11), (12), (15) - (17), (20). Тогда задача Gi имеет классическое решение «в малом» по времени. Кроме того, справедливы (26) и p{xyt) > 0, ô(x,t) > 0 в Qt,.

В §1.3 получены теоремы единственности решений поставленных задач в области Qt-

Теорема 4. Каждое решение задач Gq - G2, описанное в теоремах 1 - 3. единственно.

Метод доказательства теоремы 4 позволяет говорить о единственности классических решений задач Go - G2 не только для малых ¿*, но и для всей области, где они существуют, а также о единственности обобщенных решений задач Go - G2.

Глава 2 посвящена доказательству глобального существования и единственности обобщенного в 0,т решений задач Go - G2 для системы

(1) ~ (з).

Основную роль при доказательствах теорем играют глобальные априорные оценки, причем центральными из них являются оценки ограниченности плотности и температуры. Вывод этих оценок базируется на вспомогательных соотношениях и леммах. В заключительной части доказываются оценки для производных от искомых функций.

При получении оценок на функции p(x,t), u(a:,£), 9(x,t) в области, занятой вязким газом, используются методы, разработанные В.А. Вайгантом.1 Заметим, что у В.А. Вайганта область, занятая газом, является прямоугольником (0,1) х (0,Т), а в данной диссертационной работе область, занятая газом, является криволинейной трапецией Пг = {(х, ¿)| О < х < s(i), О < t < Т}, где х '= s(t) - заданная невозрастающая функция.

Следующие утверждения доказаны для задач Go - G2.

Лемма 1. Существуют постоянные mi > О, М\ > 0, зависящие от начальных, граничных данных и Т, такие, что

min р{хЛ) > шк max p(x,t) < Mi. (®,t)enr {x,t)enT ~

Лемма 2. Существуют постоянные гпъ > О, > 0, зависящие от начальных, граничных данных и Т, такие, что

min в(хЛ) > 77i2) max в(хЛ) < (x,t)enT v J ~ (z,t)€fiT

1 См. Влйгант В.А. Неоднородные граничные задачи для уравнений вязкого теплопроводного газа // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-г гидродинамики. - 1990. - Вып. 97. - С. 3 - 21.

Лемма 3. Существуют постоянные Ci, С2, ¡Сз, зависящие от Т, начальных и граничных данных, такие, что для любых t 6 [О, Т] справедливы следующие оценки:

s{t) t s(r) t s(r)

J uz(x,t) dx + J J v%(x,t) dxdr + J J u*x{x,t) dxdr < C\t

0 00 00.

s(t) s{t)

J p\{x,t) dx + J Pt(x,t) dx < C2,

0

s(t) t s(t) t s{T)

J el(x,t) dx + J J 62T{x,r) dxdr + J J 6îx(x>T) dxdr ^ Сз-

0 00 00

Определение 1. Обобщенным решением задач Go - G2 называется совокупность функций (р, и, 9),

(щв) е Loo(0,r;W2l(0,5(i)))nL2(0,T;^22(0)s(i))),

(ut,ût) € L2(Qt), р е 1/оо(0,Т; wj(0,5(i))), Pt 6 L2{Qt),

удовлетворяющих уравнениям (1) - (3) почти всюду в Q-x и принимающие заданные начальные ù граничные значения в смысле следов функций из указанных классов.

В §2.1 приведено доказательство теоремы существования и единственности глобального обобщенного решения задачи Go для системы (1) - (3) в области Qt-

Теорема 5. Пусть данные задачи Gq удовлетворяют условиям гладкости

(щ,Ро,во) е и2(0,во), (01,02) е W}{0,Т) и условиям согласования

'«о(0) = 0, и0(зо)=0,' 0o(O) = 0i(O), воЫ = 02(О).

Если выполнены условия (21), (22), то существует единственное обобщенное решение задачи Gq, причем p(x,t) и 6{x,t) -- строго положительные и ограниченные функции.

Существование обобщенного решения поставленных задач Go - G2 «в малом» по времени строится как предел уже существующих гладких

il

решений. Доказательство целом» по времени связано с получением априорных оценок.

В §2.2 установлена теорема существования и единственности обобщенного решения задачи Сх «в целом» по времени в области Пу.

Теорема 6. Пусть начальные и граничные данные задачи С?1 удовлетворяют условиям гладкости

К, Ро, во) € И2(0, во), («ь 01,02) € Т) и условиям согласования

«о(0) = гл(0), щ(з0) = О, в0(0) = 01(0), 90(з0) = 02(О).

Если выполнены условия (21) - (23), то существует единственное обобщенное решение задачи Са, причем р(х, £) и 9{х,Ь) - строго положительные и ограниченные функции.

В §2.3 доказана однозначная глобальная разрешимость задачи вг для системы (1) - (3) в области С1т в пространствах Соболева.

Теорема 7. Пусть данные задачи С?2 удовлетворяют условиям гладкости

(ио,ро,0о) 6 \У}{0,80), ЫриО 1,02) е \viio,Т) и условиям согласования «о(о) = 111(0), ио(5о) = 0, ро(0) = Рх(0), 00(0) = 01(0), 0о(зо) = 02(0).

Если выполнены условия (21), (22) и (24), то существует единственное обобщенное решение задачи (?2, причем р(х, £) и 6(х, £) - строго положительные и ограниченные функции.

В главе 3 установлены априорные оценки в классах Гёльдера, и на их основе доказаны теоремы существования и единственности классических решений задач Со - Сг в области От- Следующие априорные оценки получены для всех поставленных задач.

Лемма 4. Если выполнены условия теоремы 1 (2 или 3), то справедливы оценки

1<+аД+а/2) < Сь I0jg^1+e/2)<ñ, |<+а'а)<й,

др

dt

<С4,

Пг

где Си Сч, Сз, С4 - константы, зависящие от Т и норм начальных, граничных данных: M[¿QoP |0о!Кр Ьо|[о2р |Цо2гГ)/2> N[JÍ5°/2;

(¡^¡[от^2 6 случае задачи Сп; |и1|[ог)*^2> 1[от^^2 в случае задачи Сг).

В §3.1 приведено доказательство теоремы существования и единственности классического решения задачи Со «в целом» по времени в области 0,-г в классах Гёльдера.

Теорема 8. Пусть начальные и краевые данные задачи Со принадлежат пространствам Гёльдера (25), выполнены условия (8) - (13), (21), (22). Тогда задача С?о имеет единственное классическое решение, обладающее свойствами

" р(х,*)€С1+а(Пг), иОМ), в(х^) €

о < ггц < р{х,г) <Мг< +оо, (29)

О < т2 < 8{х, ¿) < М2 < + оо, (гс, £) € Пт,

где тх, Мх, гаг, Мг - некоторые положительные константы.

В §3.2 показана однозначная глобальная разрешимость задачи 01 для системы (1) - (3) в области в классах Гёльдера.

Теорема 9. Пусть начальные и краевые данные задачи С?1 принадлежат пространствам Гёльдера (27), выполнены условия (21) - (23) и условия согласования (9), (11), (12), (15) - (17). Тогда задача имеет единственное классическое решение, обладающее свойствами (29).

В §3.3 установлена теорема глобального существования и единственности классического решения задачи Ог для системы (1) - (3) в области

От.

Теорема 10. Пусть начальные и краевые данные задачи С?2 принадлежат пространствам Гёльдера (28), выполнены условия (21), (22), (24) и условия согласования (9), (11), (12), (15) ~ (17), (20). Тогда задача С?2 имеет единственное классическое решение, обладающее свойствами (29).

Автор выражает глубокую признательность и благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Ка-лиеву Ибрагиму Адиетовичу за предложенную тематику исследования, ценные советы, постоянное внимание к работе.

Диссертация выполнена при финансовой поддержке Федерального агентства по образованию РФ по тематическим планам НИР СГПА (2005,2006 гг.).

Публикации по теме диссертации

1.. Подкуйко, М. С. Однофазная задача.фазового перехода типа твердое тело - сжимаемая жидкость / М. С. Подкуйко // Сб. материалов 43-й науч. студ. конф. «Студенческая наука - в действии». - Стерлитамак : СГПИ, 2003. - С. 239 - 240.

2. Калиев, И. А. Движение газа в нецилиндрических областях / И. А. Калиев, М. С. Подкуйко // Материалы Международного российско-казахского симпозиума «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики». - Нальчик-Эльбрус, 2004. - С. 220 ~ 223.

3. Подкуйко, М. С. Одномерное нестационарное движение вязкого теплопроводного газа в нецилиндрических убывающих со временем областях / М. С. Подкуйко // Труды Всероссийской научной конференции «Современные проблемы физики и математики». / Стерлитамак. СФ АН РБ, СГПИ. - Уфа : Гилем, 2004. - Т. 1. - С. 75 - 80,

4. Калиев, И. А. Граничные задачи для уравнения вязкого теплопроводного газа в нецилиндрических убывающих со временем областях / И. А. Калиев, М. С. Подкуйко // Тезисы докладов Международной научной конференции «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике». - Новосибирск, 2005. - С. 53 - 55.

5. Подкуйко, М. С. Задача протекания вязкого теплопроводного газа в нецилиндрических убывающих со временем областях / М. С. Подкуйко // Тезисы докладов Всероссийской научной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения». - Самара, 2005. -- С. 59 - 61.

Б. Kaliev, I. A. The initial-boundary value problem for viscous heat-conducting gas in time-decreasing noncylindrical domains in case of homogeneous boundary conditions for velocity / I. A. Kaliev, M. S. Podkuiko // Abstracts of International conference «Tikhonov and Contemporary Mathematics»; session «Functional analiysis and differential equations». - Moscow, 2006. - P. 107 - 108.

7. Подкуйко, M. С. Движение газа в нецилиндрических убывающих по времени областях / М. С. Подкуйко // Региональная школа-конференция молодых ученых: тезисы докладов. - Уфа: Гилем, 2006. - С. 18 - 20.

8. Подкуйко, М. С. Глобальная разрешимость системы уравнений вязкого теплопроводного газа в нецилиндрических убывающих по времени областях / М. С. Подкуйко // Труды Стерлитамакского филиала Академии наук Республики Башкортостан. Серия «Физико-математические и технические науки». Выпуск 3. / Отв. ред. К.Б. Сабитов. - Уфа : Гилем, 2006. - С. 144 - 156.

9. Калиев, И. А. Движение вязкого теплопроводного газа в нецилиндрических возрастающих по времени областях / И. А. Калиев, М. С. Подкуйко // Тезисы Международной научной конференции «Современные проблемы дифференциальных уравнений, теории операторов и космических технологий». - Алматы, 2006. - С. 198 - 199.

10. Калиев, И. А. Истечение вязкого теплопроводного газа из нецилиндрических убывающих по времени областей / И. А. Калиев, М. С. Подкуйко // Докл. РАН. - 2006. - Т. 408, № 2. - С. 165 -167.

11. Калиев, И. А. Об одной граничной задаче для уравнений вязкого теплопроводного газа в нецилиндрических убывающих со временем областях / И. А. Калиев, М. С. Подкуйко // Дифференц. уравнения. - 2006. - Т. 42, № 10. - С. 1356 - 1374.

Подкуйко Максим Сергеевич

Задачи протекания для вязкого теплопроводного газа в нецилиндрических убывающих по времени областях

АВТОРЕФЕРАТ

Подписано в печать 18.10.2006. Формат 60 х 84i/ie. Гарнитура «Times». Печать оперативная. Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз. Захаз JSfi 274/06.

Отпечатано в типографии Стерлитамакской государственной педагогической академии: 453103, г. Стерлитамах, пр. Ленина, 49.

Введение

Глава 1. Существование «в малом» по времени и единственность решений краевых задач для уравнений одномерного вязкого газа

§1.1. Постановка задач.

§1.2. Теоремы существования решения задач «в малом» по времени

§1.3. Теоремы единственности.

Глава 2. Априорные оценки и разрешимость «в целом» по времени в пространствах Соболева

§2.1. Краевая задача с однородными граничными условиями для скорости

§2.2. Задача истечения газа из области

§2.3. Задача протекания газа через область.

Глава 3. Существование «в целом» по времени задач для системы уравнений Навье-Стокса в пространствах Гёльдера

§3.1. Глобальная разрешимость краевой задачи с однородными граничными условиями для скорости.

§3.2. Глобальная разрешимость задачи истечения газа из области

§3.3. Глобальная разрешимость задачи протекания газа через область

Полная система уравнений движения вязкого теплопроводного газа или система уравнений Навье-Стокса представляет собой интересный и важный класс систем дифференциальных уравнений в частных производных [7], [33]. В теории таких систем одной из центральных является проблема однозначной разрешимости «в целом» как по времени, так и по данным (без каких-либо требований их малости).

Изучение вопросов единственности начально-краевых задач для системы уравнений Навье-Стокса началось в 1959 году с работы Дж. Серрина [56]. В ней были сформулированы постановки основных краевых задач и доказаны теоремы единственности в классе гладких решений. Отметим также более раннюю статью Д. Граффи [42] о единственности классических решений для баротропного газа.

Первый результат по разрешимости для уравнений Навье-Стокса получил в 1962 г. Дж. Нэш [53]. Он доказал существование классического решения задачи Коши «в малом» по времени. Этот результат несколько иными методами был повторен и обобщен в работах Н. Итая [43], А.И. Вольперта и С.И. Худя-ева [17].

Для начально-краевых задач локальные по времени теоремы существования и единственности установлены В.А. Солонниковым [34] и А. Тани [58].

Разрешимость задачи Коши для уравнений Навье-Стокса «в целом» по времени, но при условии, что начальные данные близки к состоянию покоя, т. е. «в малом» по данным, была установлена А. Матсумурой и Т. Нишидой [51], [52].

Первый результат по однозначной разрешимости «в целом» по времени и по данным был установлен в 1968 г. Я.И. Канелем [28] в случае задачи Коши для уравнений одномерного движения вязкого баротропного газа (р = Rp1). Для модели Бюргерса (р = const) разрешимость задачи Коши и начально-краевых задач была доказана в работах Н. Итая [44], [45] и А. Тани [59].

В 1976 г. А.В. Кажихов [21] впервые получил результат о глобальной разрешимости для уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа. В дальнейшем цикл работ А.В. Кажихова [22] - [26], [49], В.В. Шелухина [26], [35] - [37], [49] позволил построить довольно полную теорию по глобальной разрешимости основных начально-краевых задач и задачи Коши для уравнений одномерного движения вязкого газа.

Данные исследования легли в основу монографии [7, гл. 2], в которой изложены результаты о существовании «в целом» и единственности регулярных обобщенных решений начально-краевых задач для уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа при начальных данных из W2L(f2). Теорема об устойчивости таких решений в сильной норме содержится в работе А.А. Амосова [1].

В работах А.А. Амосова и А.А. Злотника получено существование «в целом» (слабых) обобщенных решений указанных задач при начальных данных из Lq(Q,) с некоторыми q [3], [4]. При несколько более жестких условиях на начальные данные в [3] установлена единственность и устойчивость обобщенных решений. Более ранний результат об устойчивости имеется в работе М. Паду-лы [54].

Необходимо отметить также работы А.А. Амосова и А.А. Злотника для уравнений движения вязкого баротропного газа в случае негладких начальных данных [5], [6]. Для вязкого теплопроводного газа в случае разрывных начальных данных отметим работы этих же авторов [18], [19], X. Фуджиты Яшимы, А. Новотны, М. Падулы [46] и Г.-К. Чена, Д. Хоффа, К. Тривисы [40]. В работе [2] А.А. Амосовым получен результат о существовании глобальных обобщенных решений для вязкого реального газа при весьма произвольных больших разрывных начальных данных специальным полудискретным методом.

Известны работы В.А. Вайганта, А.В. Кажихова [14] - [16], Е.В. Луки-ной [31], М. Падулы [55], Д. Хоффа [47], Г.-К. Чена, М. Кратки [41] по локальной и глобальной разрешимости задач для уравнений многомерного движения вязкого газа.

Проблеме глобальной разрешимости задач протекания для систем уравнений одномерного движения вязкого газа (баротропного или теплопроводного) посвящены работы С.Я. Белова [8] - [10] и В.А. Вайганта [11].

Как правило, в описанных выше работах область, в которой доказывается существование решения «в целом» по времени, является либо полосой {(x,t)| - сю < х < оо, 0 < t < Г}, либо цилиндром {(z,t)| а < х < Ь, 0 < t < Т}, где а, 6, Т - заданные постоянные.

Для вязкого газа известны результаты по глобальной разрешимости задачи со свободной границей об истечении газа в вакуум [7], [21], [50] и задачи о поршне, который двигается по заданному закону [7]. В обеих этих задачах скорость движения границы s(t) области, занятой газом, совпадает со скоростью движения материальной точки с координатой s(t), т. е. u(s(t),t) = ds(t)/dt, 0 < t < Т. Другими словами, газ через границу s(t) не течет, и этот факт играет решающую роль при доказательстве теорем существования, поскольку область определения решения в лагранжевых координатах становится фиксированным цилиндром.

В нашей работе для полной системы уравнений одномерного нестационарного движения вязкого теплопроводного газа доказывается однозначная глобальная разрешимость начально-краевых задач в нецилиндрических убывающих по времени областях {{x,t)\ 0 < х < s(£), 0 < t < Г}, где х = s(t) -заданная гладкая невозрастающая функция.

В статьях С.Я. Белова [39] и К.О. Казёнкина [20] рассматриваются задачи протекания вязкого баротропного газа через канал фиксированной длины. В [20] устанавливается только существование глобального обобщенного решения и по сравнению с [39] расширен класс начальных данных. Здесь исследование проводится в лагранжевых массовых координатах с применением метода приближенных решений.

В работах И.А. Калиева, А.В. Кажихова [25], [48] исследованы вопросы однозначной разрешимости задачи со свободной границей, моделирующей процесс фазового перехода между вязким газом и твердым телом. При этом возникает вспомогательная задача, описывающая движение вязкого теплопроводного газа в криволинейной области, доказывается единственность и существование ее локального решения. В статье И.А. Калиева [27] сделаны дополнительные предположения для упрощения одномерной задачи из [25], [48], а именно, в уравнении баланса энергии для газовой фазы пренебрегли слагаемыми, содержащими скорость, и доказана теорема существования и единственности глобального классического решения.

В настоящей работе рассматривается полная система уравнений (модель Навье-Стокса), описывающая движение совершенного политропного газа

7, с. 16], [33, с. 161]:

P[Yt+Ud: дв дв ди di о.з)

0.1)

0.2) в нецилиндрической области Оу = {(ж,£)|0 < х < s(t), 0 < t < Т}. Область Пу занята вязким теплопроводным газом и х = s{t) - известная гладкая функция. Изучается случай, когда область сужается со временем, то есть ds(t)/dt < 0. Здесь p(x,t), u(x,t), p{x,t) и 9(x,t) - плотность, скорость, давление и абсолютная температура газа; /2, R, к - положительные константы: вязкость, газовая постоянная и коэффициент теплопроводности газа соответственно.

Уравнения (0.1) - (0.3) представляют собой весьма сложную систему дифференциальных уравнений в частных производных: уравнения импульса (0.2) и энергии (0.3) являются параболическими относительно искомых функций и(х, t) и в(х, t), а уравнение неразрывности (0.1) можно трактовать как уравнение первого порядка относительно плотности р(х, t).

В области йт для системы (0.1) - (0.3) ставятся следующие краевые задачи.

Задача Go- Найти функции p(x,t),u(x,t),9(x,t), удовлетворяющие системе 'уравнений (0.1) - (0.3), если в начальный момент и на границах выполняются условия р{х, t)\t=0 = ро(х), и(х, *)|<=0 = и0(х), в{х, t)lt=0 = в0{х), х G [0, s0], (0-4) u{x,t) |I=s(t) = 0, te[0,T],

0.5)

0.6)

0.7)

Здесь и впоследствии So = s(0). Под условием (0.7) понимается, что газ «прилипает» к границе х = 0.

Приведем условия согласования нулевого и первого порядков в точках (0,0), (s0,0) для задачи Go: uo(0) = 0, u0(s0) = 0, (0.8)

6>o(O) = 0i(O), = (0.9)

0) - Rp0x{О)0о(О) - Rp0{0)e0x{0) = 0, (0.10) ds( 0)

РоЫЩхЫ-у- + риоххЫ - Rpox(so)90{s0) - Rpo(so)6ox(so) = О, (0.11)

РоЫ (е*(0) - вогЫ?^ = хооххы + №охы - rpo(so)oo{sq)uox{so)1 (0.12) po(0)elt(0) = явохх(0) + iml(0) - Rpo(0)90(0)uqx(Q). (0.13)

Задача Gi. Найти функции p(x,t),u(x,t),e(x,t), удовлетворяющие системе уравнений (0.1) - (0.3), если в начальный момент и на границах выполняются условия (0.4) - (0.6) и и{х^)\х=о = щ{1)<0, te[0,T}. (0.14)

Условие (0.14) означает, что газ может вытекать из области через границу х = 0.

Для задачи Gi предполагается выполнение условий согласования: (0.9), (0.11), (0.12) и uo(0) = «i(0), «о(*о) = 0, (0-15) ро(0)ы(0) + ^(0)^(0)) = !1щхх{0) - Rpox(0)9o(0) - Дро(О)МО), (0.16)

МОХМО) + «o(O)WO)) = ^о,х(0) + ^0,(0) - Rpo(0)dQ(0)uQx(0). (0.17)

Задача G2. Найти функции p(x,t),u(x,t),9(x,t), удовлетворяющие системе уравнений (0.1) - (0.3), если в начальный момент и на границах выполняются условия (0.4) - (0.6) и u(x,t)\x=Q = ui(t)>0, te[ 0,Т], (0.18) p{x,t)\x=o — pi{t), te[o,T}. (0.19)

Условия (0.18) и (0.19) означают, что газ втекает в область через границу х = 0 с заданной плотностью р\ (t).

Условия согласования нулевого и первого порядков в точках (0,0),(s0,0) для задачи G2: (0.9), (0.11), (0.12), (0.15) - (0.17) и р0(0) = pi(0), ри(0) + Ы0Ы0) + Po(0)uo*(0) = 0. (0.20)

Предполагается, что для всех х £ [0, so] и t Е [0,Т] выполняются неравенства:

0 < т < р0{х), в0{х), вг(t), 02{t) < М < +оо, (0.21) ds s(t) >0, -М < ~{t) < 0, (0.22) ujv

М < ui(t) < 0, (в случае задачи Gi), (0.23)

0 < т < Ui(t), pi(t) < М < -t-oo, (в случае задачи G2), (0.24) где т, М - некоторые положительные константы.

Во всех рассматриваемых задачах u(s(t), t) = 0, ds(t)/dt < 0, т. е. u(s(t), t) — ds(t)/dt > 0, и газ может вытекать через границу области х = s(t). В итоге мы исследуем задачи протекания через области с подвижными границами. Исследование проводится в эйлеровых переменных. Целью данной работы является:

1) доказательство существования решения задач Go - G2 для системы (0.1) -(0.3) в «малом» по времени, т. е. для достаточно малого U в области Q,tt = {{x,t)\0<x<s(t),0<t<U}]

2) доказательство единственности решения задач Go - G2 для системы (0.1) -(0.3) в области йт]

3) вывод глобальных априорных оценок в пространствах Соболева и доказательство глобального обобщенного решения задач Go - G2;

4) доказательство существования глобального решения задач G0 - G2 для системы (0.1) - (0.3) в области Оу в пространствах Гёльдера.

Перейдем к изложению основного содержания диссертации, которая состоит из трех глав. В пределах каждой главы принята сквозная нумерация параграфов и формул.

В главе 1 установлены: существование решений поставленных задач для системы (0.1) - (0.3) «в малом» по времени и единственность решений поставленных задач в области Пт- Для доказательства существования локальных решений задач Go - G2 применяется теорема Тихонова-Шаудера.

В §1.1 для системы (0.1) - (0.3) в области Оу приведены постановки задач Go - G2. Введены следующие обозначения, используемые в работе: ■ - норма в пространстве непрерывных в Q функций C(Q); ■ \ - норма в пространстве Ca(Q), т. е. совокупности функций, непрерывных по Гёльдеру с показателем а, 0 < а < 1; |(i+a,j+p) НОрма в пространстве функций, которые по переменным х имеют производные до порядка г, по времени до порядка j, причем эти производные непрерывны по Гёльдеру по £ с показателем а, 0 < а < 1, а по t -с показателем ft, 0 < (3 < 1.

В §1.2 доказаны следующие теоремы существования локальных решений поставленных задач в классах Гёльдера.

Теорема 0.1. Пусть начальные и краевые данные задачи Gq принадлежат пространствам Гёлъдера ф) е О1+а'([0, s0]), щ(х) е C2+Q([0, s0]), 0о(ж) G C2+q([0, s0]), s(t), 01 w, 02(i) e C(2+a)/2([0,T]),

О < a = const < 1; выполнены условия (0.8) - (0.13), (0.21), (0.22). Тогда задача Gq имеет классическое решение «в малом» по времени, т. е. существует t* > 07 что p(x,t) £ C1+a(OJ, u(x,t), 9(x,t) G (0.26) причем p(x,t) > 0, 6(x,t) > 0 в 0^.

Теорема 0.2. Пусть начальные и краевые данные задачи G\ принадлежат пространствам Гёлъдера

Ро(х) в C1+Q([0, so]), щ(х) е С2+а([0, so]), 00w G С2+а([0, So]), s(t), гххй, 0!Й, 02й Е С^2+а^2([0,Г]), О < а = const < 1; выполнены условия (0.21) - (0.23) и условия согласования (0.9), (0.11); (0.12), (0.15) - (0.17). Тогда задача Gi имеет, классическое решение «в малом» по времени, т. е. существует t* > 0, что выполнены (0.26), причем p(x,t), 6(x,t) - строго положительные функции в 0^.

Теорема 0.3. Пусть начальные и краевые данные задачи G2 принадлежат пространствам Гёльдера

Ро(х) е с1+а([0, so]), щ(х) е С2+а([0, so]), 0о(ж) е С2+«([0, s0]), 2 s(t), Ul(t), 0!Й, 02Й, pl(t) € ^(2+а)/2([0,Т]), О < а = const < 1; выполнены условия (0.21), (0.22), (0.24) и условия согласования (0.9), (0.11), (0.12), (0.15) - (0.17), (0.20). Тогда задача G2 имеет, классическое решение «в малом» по времени. Кроме того, справедливы (0.26) и p(x,t) > 0, 9(x,t) > 0 в В §1.3 получены теоремы единственности решений поставленных задач в области От.

Теорема 0.4. Классическое решение задачи Go, описанное в теореме 0.1, единственно.

Теорема 0.5. Классическое решение задачи G\, описанное в теореме 0.2, единственно.

Теорема 0.6. Классическое решение задачи G2, описанное в теореме 0.3, единственно.

Метод доказательства теорем 0.4-0.6 позволяет говорить о единственности классических решений задач Go - G2 не только для малых it*, но и для всей области, где они существуют, а также о единственности обобщенных решений задач Go - G2.

Глава 2 посвящена доказательству глобального существования и единственности обобщенного в От решений задач Go - G2 для системы (0.1) -(0.3). Единственность обобщенных решений поставленных задач следует из метода доказательства теорем 0.4 - 0.6 из главы 1.

Основную роль при доказательствах теорем играют глобальные априорные оценки, причем центральными из них являются оценки ограниченности плотности и температуры. Вывод этих оценок базируется на вспомогательных соотношениях и леммах. В заключительной части доказываются оценки для производных от искомых функций.

При получении оценок на функции p(x,t), u(x,t), 9(x,t) в области, занятой вязким газом, используем методы, разработанные В.А. Вайгантом [11]. Заметим, что в [11] область, занятая газом, является прямоугольником (0,1) х (0, Т), а в данной диссертационной работе область, занятая газом, является криволинейной трапецией CtT = {(ж, t)\ 0 < х < s(t), 0 < t < Т), где х = s(t) -заданная невозрастающая функция.

Следующие утверждения доказаны для задач G0 - G2.

Лемма 0.1. Существуют постоянные т\ > О, М\ > 0, зависящие от начальных, граничных данных и Т, такие, что min p(x,t) > тi, max р(хЛ) < Мл.

Mefir ~ (x,t)enT v ' ~

Лемма 0.2. Существуют постоянные т2 > О, > О, зависящие от данных задачи и Т, такие, что min 9{хЛ) > mo, max 9(хЛ) < Мо. x,t)enT ~ {x,t)£Or v 1 ~

Лемма 0.3. Существуют постоянные Сз, зависящие от Т, начальных и краевых данных, такие, что для любых t € [0,Т] справедливы следующие оценки: s{t) t s(r) t s(t)

J ul(x,t) dx + J j u2t{x,t) dxdr + J J ulx(x,r) dxdr < Ci,

0 00 00 s(t) s(t)

J p2x(x,t)dx + J Pt(x,t) dx < C2, о 0 s{t) t s(T) t s{t)

J Ol(x,t) dx + J J 92t{x,t) dxdrJ J 92х{х)т) dxdr < C3.

0 00 00

Определение 0.1. Обобщенным решением задач Gq - G2 называется совокупность функций (р, и, 9), щ в) € I/oo(О, Г; s(t))) П L2(0, Т; W22(0, s(t))),

М)еЫПт), р G ioo(0,T; Wj^o.sW)), PteL2{nT), удовлетворяющих уравнениям (0.1) - (0.3) почти всюду в Пу и принимающих заданные начальные и граничные значения в смысле следов функций из указанны,х классов.

В §2.1 приведено доказательство теоремы глобального существования и единственности обобщенного решения задачи Go для системы (0.1) - (0.3) области Птв

Теорема 0.7. Пусть данные задачи Gq удовлетворяют условиям гладкости

КроА) G so), (М2) G w}(0,t) и условиям, согласования щ( 0) = 0, щ{з0) = 0, 0o(O) = 0i(O), 0o(So) = 02(O).

Если выполнены условия (0.21), (0.22); то существует единственное обобщенное решение задачи Gq, причем p(x,t) и 9(x,t) - строго положительные и ограниченные функции.

Так как в главе 1 доказаны теоремы 0.1 - 0.3 существования локальных классических решений, то существование обобщенных решений поставленных задач Go - G2 «в малом» по времени строится как предел уже существующих гладких решений. Доказательство «в целом» по времени связано с получением априорных оценок, постоянные в которых зависят только от начальных и граничных данных задачи и величины интервала времени Т, но не зависят от промежутка существования локального решения.

В §2.2 доказана теорема существования и единственности обобщенного решения задачи Gi «в целом» по времени в области От

Теорема 0.8. Пусть начальные и граничные данные задачи G\ удовлетворяют условиям гладкости

КроА) е W^CU), (uhehe2) е w}(o,t) и условиям согласования щ{0) = ui(0), u0(s0) = 0, 0о(О) = 0i(O), 90(s0) = 02(0).

Если выполнены условия (0.21) - (0.23), то существует единственное обобщенное решение задачи Gh причем p(x,t) и 0(x,t) - строго положительные и ограниченные функции.

В §2.3 установлена однозначная глобальная разрешимость задачи G2 для системы (0.1) - (0.3) в области в пространствах Соболева.

Теоремк 0.9. Пусть данные задачи G2 удовлетворяют условиям гладкости

КЛ)Д) € wjftso), (ubPhehe2) е W}(0,T) и условиям согласования щ(0) = и1(0), «о(5о) = о, A)(0) = pi(0), 0о(О) = #М #оЫ = Ш

Если выполнены условия (0.21), (0.22) и (0.24), то существует единственное обобщенное решение задачи G2, причем р(х, t) и 9(х} t) - строго положительные и ограниченные функции.

В главе 3 установлены априорные оценки в классах Гёльдера, и на их основе доказаны теоремы существования и единственности решений задач Go -G2 в области VLt

Следующие априорные оценки получены для всех поставленных задач.

Лемма 0.4. Если выполнены условия теоремы 0.1 (0.2 или 0.3), то справедливы, оценки др

M+Q/2)<Cb |<аД+а/2)<С2, |<a'Q)<C3 с4,

VLt dt где Ci, С2, О3, С4 - константы, зависящие отТ и норм начальных, границ-низанных: Ы>+«, j^Jf2, И<2«>/2, (H^Jf <'2 в случае задачи Gi; («il^y"^2, 6 слУчае задачи G2).

В §3.1 приведено доказательство теоремы существования и единственности классического решения задачи Go «в целом» по времени в области Qt в классах Гёльдера.

Теорема 0.10. Пусть начальные и краевые данные задачи Gq принадлежат пространствам Гёльдера (0.25), выполнены условия (0.8) - (0.13),

0.21), (0.22). Тогда задача Gq имеет единственное классическое решение, обладающее свойствами p(x,t) G С1+а(ед, u(x,t), e(x,t) € С2+а'(2+а)/2(Пт),

0 < mi < t) < Mi < +00, (0.29)

О < m2 < 0(ж, £) < М2 < +оо, (ж, i) € гс?е mi, Mi, m2, М2 - некоторые положительные константы.

В §3.2 доказана глобальная разрешимость задачи Gi для системы (0.1) -(0.3) в области йт в классах Гёльдера.

Теорема 0.11. Пусть начальные и краевые данные задачи G\ принадлежат, пространствам Гёльдера (0.27), выполнены условия (0.21) - (0.23) и условия согласования (0.9), (0.11), (0.12), (0.15) - (0.17). Тогда задача G\ имеет единственное классическое решение, обладающее свойствами (0.29).

В §3.3 установлена теорема глобального существования и единственности классического решения задачи G2 для системы (0.1) - (0.3) в области Qt в пространствах Гёльдера.

Теорема 0.12. Пусть начальные и краевые данные задачи (?2 принадлежат пространствам Гёльдера (0.28), выполнены условия (0.21), (0.22), (0.24) и условия согласования (0.9), (0.11), (0.12), (0.15) - (0.17), (0.20). Тогда задача С2 имеет единственное классическое решение, обладающее свойствами (0.29).

Основные результаты по теме диссертации опубликованы в работах [60] -[70]. В работах [60] - [65] соавтору и научному руководителю И.А. Калиеву принадлежат постановки задач и основные идеи доказательств.

J- JI й В cl 1. Существование «в малом» по времени и единственность решений краевых задач для уравнений одномерного вязкого газа п.1. Краевая задача с однородными граничными условиями для скорости. Пусть нецилиндрическая область 0.т = {(х, i)|0 < х < s(t), О < t < Т}, где х = s(t) - известная гладкая функция, занята вязким теплопроводным газом. Изучается случай, когда область сужается со временем, то есть ds(t)/dt < 0.

Одномерное нестационарное движение вязкого теплопроводного газа в области 0,т описывается системой уравнений [7, с. 16], [33, с. 161]:

Здесь p(x,t), u(x,t), p(x,t) и 0{x^t) - плотность, скорость, давление и абсолютная температура газа; /2,Л,я- положительные константы: вязкость, газовая постоянная и коэффициент теплопроводности газа соответственно. В начальный момент времени задаются 6(x,t):

§1.1. Постановка задач

1.1) p{x,t)\t=o = Ро{х), u{x,t)\t=o = Uo(x), O{x,t)\t=0 = e0{x), ж G [0,s0],

1.4) где so = s(O). На границах х = 0 и х = s(t) задаются условия:

0(x,t)\x=o = 0(s,i)Ue(t, = 02Щ, i G [0,Т], (1.5)

1.6) u(x,t)U=o = о, t G [0,Т]. (1.7)

Задача G0. Найти функции p(x,t),u(x,t),6(x,t), удовлетворяющие системе уравнений (1.1) - (1.3), если в начальный момент и на границах выполняются условия (1.4) - (1.7).

Приведем условия согласования нулевого и первого порядков в точках (0, 0), (sq, 0) для задачи Go: ио(0) = 0, mo(SO) = 0, (1.8)

0o(O) = 0i(O), 0оЫ = 02(О), (1.9) RpOxfiMO) - RpoWoxfi) = (L1°) ds( 0)

Pq{sq)u0x{sq+ ^oxx(so) - Rpox(so)0o{so) - Rp0(sQ)e0x(sq) = 0, (1.11) роы ^a(0)- = x0oxx(so) + pu20x(s0) - Rpo{s0)9o(so)uox(so), (1.12)

Po{0)elt(Q) = xtfozz(O) + pul(0) - flpo(O)0o(O)uto(O). (1.13) п.2. Задача истечения газа из убывающей области. Рассматривается система уравнений (1.1) - (1.3). В начальный момент времени и на границах х = 0 и х = s(t) задаются (1.4) - (1.6) и uMls=o = ui(*)<0, *е[0,Г]. (1.14)

Условие (1.14) означает, что газ может вытекать из области через границу х = 0.

Задача Gi. Найти функции p(x,t),u(x,t),6(x,t), удовлетворяющие системе уравнений (1.1) - (1.3), если в начальный момент и на границах выполняются условия (1.4) - (1.6) и (1.14).

Для задачи Gi предполагается выполнение условий согласования: (1.9), (1.11), (1.12) и uo(0) = ui(0), uo(sq) = 0, (1.15)

Ро(О)ЫО) + uo(0)«te(0)) - рщхх{0) - Rp0x{0Щ0) - Rpo{0)eQx{0), (1.16)

ШЫО) + Ы<Ш0)) = яв0хх{0) + риЦ0) - Rp0{0)90{0)u0x(0). (1.17) п.З. Задача протекания газа через убывающую область. Рассматривается система уравнений (1.1) - (1-3). В начальный момент времени и на границах х — 0 и х = s(t) задаются (1.4) - (1.6) и u(M)|s=o = ui(*)>0, te[0,T}. (1.18)

На границе х — 0 надо дополнительно задавать плотность в виде: p(x,t)\x=Q = p1{t), t£[0,T}. (1.19)

Условия (1.18) и (1.19) означают, что газ втекает в область через границу х = 0 с заданной плотностью pi(t).

Задача G2. Найти функции p(x,t),u(x,t),6(x,t), удовлетворяющие системе уравнений (1.1) - (1.3), если в начальный момент и на границах выполняются условия (1.4) - (1.6) и (1.18), (1.19).

Условия согласования нулевого и первого порядков в точках (0, 0),(so,0) для задачи G2: (1.9), (1.11), (1.12), (1.15) - (1.17) и

Ро(0) - pi(0), pit(0) + Ate(0)uo(0) + Ро{0)щх{0) = 0. (1.20)

Предполагается, что для всех х £ [0,s0] и t £ [0,Т] выполняются неравенства:

0 < т < р0{х), eQ(x), ft(t), 02(t), < М < +оо, (1.21) s(t) >0, -M< —(£) < 0, (1.22)

Lib

M<ui(t)<0, (в случае задачи Gi), (1.23)

0 < т < ui(t), p\(t) < М < +оо, (в случае задачи G2), (1-24) где m, М - некоторые положительные константы. п.4. Введем следующие обозначения норм пространств, используемые в дальнейшем: • - норма в пространстве непрерывных в Q функций C(Q)\ | • \q-^ - норма в пространстве Ca(Q), т. е. совокупности функций, непрерывных по Гёльдеру с показателем а, 0 < а < 1; |(H-aj+/3) НОрМа в пространстве функций, которые по переменным х имеют производные до порядка i, по времени до порядка j, причем эти производные непрерывны по Гёльдеру по х с показателем а, 0 < а < 1, а по £ -с показателем (3, 0 < /3 < 1.

1. Амосов, А. А. Корректность «в целом» начально-краевых задач для системы уравнений динамики вязкого излучающего газа / А. А. Амосов // Докл. АН СССР. - 1985. - Т. 280, № 6. - С. 1326 - 1329.

2. Амосов, А. А. Существование глобальных обобщенных решений уравнений одномерного движения вязкого реального газа с разрывными данными / А. А. Амосов // Дифференц. уравнения. 2000. - Т. 36, № 4. -С. 486 - 499.

3. Амосов, А. А. Обобщенные решения «в целом» уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа / А. А. Амосов, А. А. Злотник // Докл. АН СССР. 1988. - Т. 301, № 1. - С. 521 - 534.

4. Амосов, А. А. Разрешимость «в целом» системы уравнений одномерного движения неоднородного вязкого теплопроводного газа / А. А. Амосов, А. А. Злотник // Матем. заметки. 1992. - Т. 52, № 2. - С. 3 - 16.

5. Амосов, А. А. Разрешимость «в целом» одного класса квазилинейных систем уравнений составного типа с негладкими данными / А. А. Амосов, А. А. Злотник // Дифференц. уравнения. 1994. - Т. 30, № 4. - С. 596 -609.

6. Амосов, А. А. Единственность и устойчивость обобщенных решений одного класса квазилинейных систем уравнений составного типа / А. А.Амосов, А. А. Злотник // Матем. заметки. 1994. - Т. 55, № 6. - С. 13 -31.

7. Антонцев, С. Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей / С. Н. Антонцев, А. В. Кажихов, В. Н. Монахов. Новосибирск : Наука, 1983. - 319 с.

8. Белов, С. Я. Разрешимость «в целом» задачи протекания для уравнений Бюргерса сжимаемой жидкости / С. Я. Белов // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. -1981. Вып. 50. - С. 3 - 14.

9. Белов, С. Я. О задачах протекания для системы уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа / С. Я. Белов // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1982. - Вып. 56. - С. 22 - 42.

10. Белов, С. Я. Задача о заполнении вакуума вязким теплопроводным газом / С. Я. Белов // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1983. - Вып. 59. - С. 23 - 38.

11. Вайгант, В. А. Неоднородные граничные задачи для уравнений вязкого теплопроводного газа / В. А. Вайгант // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1990. - Вып. 97. - С. 3 - 21.

12. Вайгант, В. А. Неоднородные краевые задачи для уравнений Навье-Стокса вязкого газа : дис. . канд. физ.-мат. наук : 01.01.02 / Вайгант Владимир Андреевич. Барнаул, 1992. - 115 с.

13. Вайгант, В. А. Проблема существования глобальных решений уравнений Навье-Стокса сжимаемых сплошных сред : дис. . докт. физ.-мат. наук : 01.01.02 / Вайгант Владимир Андреевич. Барнаул, 1998. - 234 с.

14. Вайгант, В. А. Глобальные решения уравнений потенциальных течений сжимаемой вязкой жидкости при малых числах Рейнольдса / В. А. Вайгант, А. В. Кажихов // Дифференц. уравнения. 1994. - Т. 30, № 6. -С. 1010 - 1022.

15. Вайгант, В. А. О существовании глобальных решений двумерных уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой жидкости / В. А. Вайгант, А. В. Кажихов // Сиб. мат. журн. 1995. - Т. 36, № 6. - С. 1283 - 1316.

16. Вайгант, В. А. О существовании глобальных решений двумерных уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой жидкости / В. А. Вайгант, А. В. Кажихов // Докл. РАН. 1997. - Т. 357, № 4. - С. 445 - 448.

17. Вольперт, А. И. О задаче Коши для составных систем нелинейных дифференциальных уравнений / А. И. Вольперт, С. И. Худяев // Мат. сборник. 1972. - Т. 87, № 4. - С. 504 - 528.

18. Злотник, А. А. Об устойчивости обобщенных решений уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа / А. А. Злотник, А. А. Амосов // Сиб. мат. журн. 1997. - Т. 38, № 4. - С. 767 - 789.

19. Злотник, А. А. Устойчивость обобщенных решений уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа / А. А. Злотник, А. А. Амосов // Матем. заметки. 1998. - Т. 63, № 6. - С. 835 - 846.

20. Казёнкин, К. О. Существование глобального обобщенного решения одномерной задачи о протекании вязкого баротропного газа / К. О. Казёнкин // Фундаментальная и прикладная мат. 2002. - Т. 8, № 4. - С. 993 -1007.

21. Кажихов, А. В. О глобальной разрешимости одномерных краевых задач для уравнений вязкого теплопроводного газа / А. В. Кажихов // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1976. - Вып. 24. - С. 45-61.

22. Кажихов, А. В. Некоторые вопросы теории уравнений Навье-Стокса сжимаемой жидкости / А. В. Кажихов // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1979. -Вып. 38. - С. 33 - 47.

23. Кажихов, А. В. К теории краевых задач для уравнений одномерного нестационарного движения вязкого теплопроводного газа / А. В. Кажихов // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1981. - Вып. 50. - С. 37 - 62.

24. Кажихов, А. В. О задаче Коши для уравнений вязкого газа / А. В. Кажихов // Сиб. мат. журн. 1982. - Т. 23, № 1. - С. 60 - 64.

25. Кажихов, А. В. Корректность одной модели фазового перехода газ -твердое тело / А. В. Кажихов, И. А. Калиев. Новосибирск, 1999. -32 с. (Препр. / Мин. ОПО РФ. НГУ, НИИ Дискретной математики и информатики. № 43).

26. Кажихов, А. В. Однозначная разрешимость «в целом» по времени начально-краевых задач для одномерных уравнений вязкого газа / А. В. Кажихов, В. В. Шелухин // Прикл. математика и механика. 1977. -Т. 41, № 2. - С. 282 - 291.

27. Калиев, И. А. Однофазная задача фазового перехода типа твердое тело сжимаемая жидкость / И. А. Калиев // Сиб. журн. индустриальной мат. - 2000. - Т. III, № 2. - С. 97 - 114.

28. Кане ль, Я. И. Об одной модельной системе уравнений одномерного движения газа / Я. И. Канель // Дифференц. уравнения. 1968. - Т. 4, № 4. -С. 721 - 734.

29. Ладыженская, О. А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа / О. А. Ладыженская, В. А. Солонников, Н. Н. Уральцева. -М. : Наука, 1967. 736 с.

30. Лионе, Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Ж.-Л. Лионе. М. : Мир, 1972. - 588 с.

31. Лукина, Е. В. Разрешимость нестационарной краевой задачи для модельной системы динамики баротропного газа / Е. В. Лукина // Дальневосточный матем. жур. 2001. - Т. 2, № 1. - С. 37 - 51.

32. Овсянников, Л. В. Введение в механику сплошных сред. 4.2 / Л. В. Овсянников. Новосибирск: Наука, 1983. - 319 с.

33. Рождественский, Б. Л. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике / Б. Л. Рождественский, Н. Н. Яненко. -М. : Наука, 1978. - 687 с.

34. Шелухин, В. В. Периодические течения вязкого газа / В. В. Шелухин // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1979. - Вып. 42. - С. 80 - 102.

35. Шелухин, В. В. Существование периодических решений обобщенной системы Вюргерса / В. В. Шелухин // Прикл. математика и механика. -1979. Т. 43, Вып. 6. - С. 992 - 997.

36. Шелухин, В. В. Ограниченные, почти периодические решения уравнений вязкого газа / В. В. Шелухин // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / API СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1980. - Вып. 44. - С. 147 - 162.

37. Эдварде, Р. Е. Функциональный анализ. Теория и приложения / Р. Е. Эдварде. М. : Мир, 1969. - 1071 с.

38. Belov, S. Ya. On the initial-boundary value problems for barotropic motions of a viscous gas in a region with permeable boundaries / S. Ya. Belov // J. Math. Kyoto Univ. 1994. - V. 34, No. 2. - P. 369 - 389.

39. Chen, G.-Q. Global solutions of the compressible Navier-Stokes equations with large discontinuous initial data / G.-Q. Chen, D. Hoff, K. Trivisa // Commun. Partial Diff. Equations. 2000. - V. 25. - P. 2233 - 2257.

40. Chen, G.-Q. Global solutions to the Navier-Stokes equations for compressible heat-conducting flow with symmetry and free boundary / G.-Q. Chen, M. Kratka // Commun. Partial Diff. Equations. 2002. - V. 27. -P. 907 - 943.

41. Graffi, D. II teorema di unicita nella dinamica dei fluidi compressibli / D. Graffi // J. Rat. Mech. Anal. 1953. - V. 2. - P. 99 - 106.

42. Itaya, N. The existence and uniqueness of the solution of the equations describing compressible viscous fluid flow / N. Itaya // Proc. Japan Acad. -1970. V. 46, No. 4. - P. 379 - 382.

43. Itaya, N. On the temporally global problem of the generalized Burgers equation / N. Itaya // J. Math. Kyoto Univ. 1974. - V. 14, No. 1. - P. 129 -177.

44. Itaya, N. A servey on the generalized Burger's equation with a pressure model term / N. Itaya // J. Math. Kyoto Univ. 1976. - V. 16, No. 1. -P. 223 - 240.

45. Fujita Yashima, H. Existence of global solutions to one-dimentional flow of a compressible heat-conductiong fluid having general initial densities / H. Fujita Yashima, A. Novotny, M. Padula // Ricerche Mat. 1993. - No. 42. -P. 199 - 248.

46. Hoff, D. Global solutions of the Navier-Stokes equations for the multidimensional compressible flow with discontiuous initial data / D. Hoff // J. Diff. Equations. 1995. - No. 120. - P. 215 - 254.

47. Kaliev, I. A. Well-posedness of a gas-solid phase transition problem / I. A. Kaliev, A. V. Kazhikhov // J. Math. Fluid Mech. 1999. - V. 1, No. 3. -P. 282 - 308.

48. Kazhikhov, A. V. Unique global solution with respect to time of initial-boundary-value problems for one-dimensional equations of a viscous gas / A. V. Kazhikhov, V. V. Shelukhin // J. Appl. Math. Mech. 1977. -No. 41. - P. 273 - 282.

49. Lions, P.-L. Mathematical topics in fluid mechanics. Vol. 2: Compressible models / P.-L. Lions. Oxford: Clarendon, 1998. - XIV, 348 p.

50. Matsumura, A. The initial value problem for the equations of motions of viscous and heat-conductive gases / A. Matsumura, T. Nishida // J. Math. Kyoto Univ. 1980. - V. 20, No. 1. - P. 67 - 104.

51. Matsumura, A. Initial boundary value problems for the equations of motions of compressible viscous and heat-conductive fluids / A. Matsumura, T. Nishida // Comm. Math. Phys. 1983. - V. 89. - P. 445 - 464.

52. Nash, J. Le probleme de Cauchy pour les equations differentielles d'un fluide general / J. Nash // Bull. Soc. Math. France. 1962. - V. 90. - P. 487 - 497.

53. Padula, M. Existence and continuous dependence for solutions to the equations of a one-dimentional model in gas-dinamics / M. Padula // Meccanica J. of the A.I.ME.T.A. 1981. - No. 17. - P. 128.

54. Padula, M. Existence of global for two-dimensional viscous compressible flows / M. Padula // J. Func. Anal. 1986. - V. 69, No. 1. - P. 1 - 20.

55. Serrin, J. On the uniqueness of compressible fluid motion / J. Serrin // Arch. Rational Mech. Anal. 1959. - V. 3, No. 3. - P. 271 - 288.

56. Solonnikov, V. A. Existence theorems for the equations of motion of a compressible viscous fluid / V. A. Solonnikov, A. V. Kazhikhov // Ann. Rev. of Fluid Mech. 1981. - V. 13. - P. 79 - 95.

57. Tani, A. On the first initial-boundary value problem of compressible viscous fluid motion / A. Tani // Publ. Res. Inst. Math. Sci. Kyoto Univ. 1977. -V. 13, No. 1. - P. 193 - 253.

58. Tani, A. On the first initial-boundary value problem of the generalized Burgers equation / A. Tani // Publ. Res. Inst. Math. Sci. Kyoto Univ. -1974. V. 10, No. 1. - P. 209 - 233.

59. Калиев, И. А. Истечение вязкого теплопроводного газа из нецилиндрических убывающих по времени областей / И. А. Калиев, М. С. Подкуйко // Докл. РАН. 2006. - Т. 408, № 2. - С. 165 - 167.

60. Калиев, И. А. Об одной граничной задаче для уравнений вязкого теплопроводного газа в нецилиндрических убывающих со временем областях / И. А. Калиев, М. С. Подкуйко // Дифференц. уравнения. 2006. - Т. 42, № 10. - С. 1356 - 1374.

61. Подкуйко, M. С. Однофазная задача фазового перехода типа твердое тело сжимаемая жидкость / М. С. Подкуйко // Сб. материалов 43-й науч. студ. конф. «Студенческая наука - в действии». - Стерлитамак : СГПИ, 2003. - С. 239 - 240.

62. Подкуйко, М. С. Движение газа в нецилиндрических убывающих по времени областях / М. С. Подкуйко // Региональная школа-конференция молодых ученых: тезисы докладов. Уфа : Гилем, 2006. - С. 18 - 20.