Неоднородные краевые задачи для уравнений Навье-Стокса вязкого газа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ, ВЫСШЕЙ ШКОЛ» И ТЕХНИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛШЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Вайгант Владим1ф Андреевич

НЕОДНОРОДНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИИ НАВЬЕ-СТОКСА ВЯЗКОГО ГАЗА

01.01.02, - дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

Новосибирск - 1993

Работа выполнена в Алтайском государственном университете

Научный руководитель: доктор физ ико-матоматиче ских наук,

профессор Кашхов A.B.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Белоносов B.C.

кандидат физико-ыатоыатических наук, доцент Кучер H.A.

Ведущая организация: Институт теоретической и прикладной

механики Cü PAII

Защита состоится * 3 * г. в часов

на заседании специализированного совета К 063.38.04 в Новосибирской государственном университета по адресу: 630U90, Новосибирск - 90, Университетский проспект, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного университета.

1П*ЛППГГ|ЛПП« ппплл впп •• .3-/ •• aP.iCaJfnJi tüq<9 ~

Учений секретарь специализированного совета доктор физико-математических наук

€

Б.В.Капитонов

I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИСПУТ АНИОННОЙ РАБОТЫ

Актуальность темы» Актуальность математического исследования уравнений Навье-Стокса вязкого газа, как и уравнений механики вообще, обусловлена их широким применением в решения важное практических задач. Кроме того, задачи, связанные с этими уравнениями, представляют и самостоятельный практический интерес, который в последнее время стицулируется развитием численных методов решения начально-краевых задач на основе ЭВМ.

Цель работы. Целью данной работы является исследование математической корректности начально-краевых задач для уравнений Навьэ-Стокса вязкого газа. В случае начально-краевых задач рассматриваются такче свойства решений как продолжимость на любой коночный интервал временя, стабилизация к решению стационарной задачи вязкого газа и некоторые другие свойства.

Методика исследования. Доказательство теорем существования н единственности в "целом* решений начально-краевых задач проводится методом продолжения локального по времени решения с помощью глобальных априорных оценок на весь промежуток времени» При построении примера несуществования решения в "целом" используется конкретный вид функций, входящих в систему уравнений, и проверяются все необходимые условия. При обосновании и выводе научных положений в диссертация применяются известные оценки решений линейных параболических уравнений в используются методы теории нелинейных краевых задач, развитые л работах О.А.Ла-„ыжэнской, D.A. Солонникова, A.B. Кажнхова, Я.И. Канеля я др.

Состояние вопроса. Начало изучению математических вопросов для общей трехмзрной модели вязкой сжимаемой яидкости положили работы Серрина (Sewln ,1959) и Нэша (TZasß, 1962). Серрии установил единственность решений основных начально-краевых задач в классе гладких решений. Нэа доказал локальную то-ерэну существования и единственности гладкого решения задачи Кошт. Результат Нэша бил затеи повторен и обобщен о применением других методов в работах Итая (JZiaya, 1970), А.И. Вольперта и С.И. Худяова (1972). Для смешанных задач разрешимость в маломв случае баротропной яадтости доказана В.А. Солошшковым (1976), а в случае теплопроводного газа - Тани (<3ani, 1977).

Существование решений в целом для трехмерной модели установлено только при дополнительных условиях г Мащмура и Нишвда ( Maisumu-icijTZistiiiia, i960) доказали, что задача Кош разрешима на любом промежутке времени, если начальные задачи "цало" отличаются от постоянного вектора. Наиболее полно изучены вопросы о разрешимости задач для уравнений вязкого газа в одномерном случав. Основные результаты этого направления, предшествовавшие данной работе, еледующие: Я.И. Канель (1968) доказал теорему существования в задаче Коши для модели баротропной жадности; для обобщенной системы Бюргерса Итая (1974) рассмотрел задачу Коши, а Тани (1974) - смешанную задачу; начально-краевые задачи для уравнений вязкого газа исследовал A.B. Каяихов (1975, 1976), который рассмотрел полную модель в одномерном случае. В работах С.Я. Белова(1961, 1982) показана разрешимость задачи о протекании вязкого газа сквозь фиксированную область. В случав полной системы вязкого теплопроводного газа требовалось дополнительно, чтобы коэффициент теплопроводности имел квадратичный рост по температуре и температура принимала на границе области одинаковые значения. При исследовании этой задачи осуществлялся переход к массовым лагранхевым координатам, при котором область определения искомого решения становится существенно неудобной. Кроме теорем о существовании решений были получены также результаты об асимптотике решений по времени. Я.И. Канель в своей упомянутой выше работе исследовал стабилизацию решения задачи Кош для модели баротропной жидкости, а в 1979 году, в предположении малости начальных данных, получил тот же результат и для модели совершенно теплопроводного газа. A.B. Какихов (1979) доказал стабилизацию в смешанной задаче для модели баротропной жидкости и для модели вязкого совершенного теплопроводного газа без условий малости на начальные данные.

Научная иовизна. В диссертации получены следующие основные результаты:

- установлена однозначная разрешимость неоднородной начально-краевой задачи в "целом" по времени, решение которой описывает одномерное течение вязкого теплопроводного газа а областях о проницаемыми границами;

- доказан факт стабилизации решения неоднородной начально-краевой задачи, решение которой описывает одномерное течение вязкого теплопроводного газа в областях с проницаемыми границами, к решению стационарной задачи;

- установлена разрешимлсть в "целом" задачи Коши для системы уравнений вязкого баротрошюго газа в различных функциональных пространствах;

- установлена разрешимость в "целом" задачи Коши для системы уравнений вязкого баротрошюго газа, в которой коэффициент вязкости является функцией плотности;

- построен пример о несуществовании в "целом" по времени решения уравнений Навьс -Стокса сжимаемой вязкой баротропной жидкости.

Все результаты являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты носят теоретический характер. Они могут быть использованы для обоснования и конструирования численных методов решения задач о протекший жидкости и газа.

Апробация работа. Основние результаты диссертации докладывались на УП - ой Всесоюзной школе по качественной теории дифференциальных уравнений гидродинамики ( г. Барнаул, IS89 г.), на кафедре дифференциальных уравнений Алтайского государственного университета (г.Барнаул, т991 г.), на семинаре по математическим моделям сплошной срода в Институте гидродинамики СО РАН под руководством члена-корреспондента РАН В.Н. Монахова,, на семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений в Институте математики СО РАН под руководством профессора Т.И. Золеняка.

Публикации. Основные материалы диссертации опубликованы в работах CI3 - Сб].

Структура и обгем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, включающего 46 наименований, и изложена на 115 страницах машинописного текста.

П. ССДЕРЗАЛИЕ РАБОТЫ

Во введении дал краткий обзор литературы по теме диссертации, излокены основные результаты работы и указана их взаимосвязь с работами других авторов.

В первой главе излокои основной результат диссертации, который состоит в доказательстве существования и единственности неоднородно!! задачи, которая учитывает: задачу о протекании вязкого газа сквозь фиксированную область; задачу, когда на обеих границах происходит откачивание газа из области; задачу, когда на обоих границах происходит втекание газа в область течения. Постановка этой задачи следующая. Одномерное нестационарное движение вязкого теплопроводного газа в эйлеровых координатах описывается системой уравнений:

j> (ut *иих.у- (j*ил)t - Рх ,

J>t » (у>и)Л ^о , (I)

. с, p(et* uOt) - (х еЛ.)Л -Pu*

Здесь u.f.O- соответственно скорость, плотность и абсолютная температура среды, которые необходимо определить; t -времл, х - эйлерова пространственная координата; P*RfÛ -

VnиПНПИЧЛ Л АЛ«1Л<Т11'4Л V »п плКпл Ю • О _ ПППЛПЛГГ nnnaiy\ni>l«n<* • -

j iiuviiuiiitu wwt ишкм» ■ tu I lt — i UUVVWI UVWIVAUIUUI | —

co/nt>0 , ХЦ6) = Л ,^-conitiO , A,с, aconit >û ,

SP = 1 Xi et I О < Л. < / J , ÛT«S?« (от) . T>0 .

В начальный моыинт времени язвостны:

и Î о /,.. * (*) . Р I, „ ' M .

0(x,i) lt,v - 0. (*> ,

На границах x-ot x-i задан тепловой речим и скорость течения газа:

-- е,и>, иш)\£.в • и,et) .

(3)

- влШ, и> a), tcco.T)

Для плотности на границах х.о, x-t известно:

(j>(*>t)lx,t - (O *0 , t* (o;r) > (4)

где Ut (O • rriû i- ( и '(t),o) j u'¿ a) • -//u/i (UidKo) .

Считаем, что на границах происходит только втека-

ние или вытекание газа, т.е. д|йГвсех t*(o/r)

а) либо u¡(t)*m>o , либо , ^

б) ЛИбО UÎU)*'n>0 , либо и; ít)=o .

Получен следующий результат. Пусть данные задачи удовлетворяют условиям гладкости:

С д, в. ) е W¿ (Я) , e,,b\)c Wj ( О, Т)

и условиям согласования: в,ш • а со, * вс сi) , р, (о) * f„ (о), рг а) • д (О, и,(о), Ui(o), UtlO* tt.ii>. Если функции f., 6С строго положительны, то существует единственное обобщенное решение задачи (1)-(5), причем функции р, 9 строго положительны а ограничены. Если, крою того,

б С*'* (Я) ; f.c C,Ml(s?>, (и,, и*, в6, . j>t. pô с- С 1о,т] , Je (о,0 и выполнены условия согласования первого порядка данных задачи, то существует единственное классическое решение задачи и

(u.Q)í- С*"1' CQr) j i»с- С""'"* С Qr)

Существование решений доказывается методом продоляення локального решения с помощью глобальных априорных оценок. Центральными являются оценки для плотности и температуры. Локальная разрешимость следует из работ В.А. Солонникова (1976), A.'Juni (1977), G Lu.kaiew¿c$ (1981). Получение априорных оценок осуществляется непосредственно в эйлеровых координатах. Схема получения необходим« оценок иная, чем в работах по тематике краевых задач вязкого газа.

Во второй главо для задачи (1)-(5), в которой для простоты изложения принято J*-. - ccnsi >q , б, (í) » 6гШ - ê , UiCt) • иги) = cl , где и, è~cc/isi-o, ê'û и выполнено следующее: I) есля а>о, то f(*,i) |t,e » с< , с,-c¿>usi >о ;

2) если й<0, ТО = Сг , С2=со>11{ >О ;

3) если а--о, то условий нар не требуется; установлен факт стабилизации.

Показано, что решение задачи (1)-(5) стабилизируется к решении стационарной задачи, решением которой является набор постоянных и*а , 6-ё , где

¡с, при а >0 , 1 г.(*>с1х при а»о , Сг при а*о , то есть установлено, что

* 1 1 I

о I С 1 • с

■» ] (р-с/Л* + I </* О при

е О

В § I главы 3 рассматривается задача Коши в пространствах Гельдера. Одномерное движение вязкого баротропного газа в массовых лагранжевых переменных описывается системой уравнений:

и.1 = ( - ^ ,

иу -О . 16)

П иопп »а »«л»«л»ш »>*_<»»«.»»;»* И*ыйЛтиЛ

« *«и имимши шинюш 0±ПЭР/ИЭН1й 114Ши1ли

и <ы) и.о - и'С у) , />(у,0 ' , <7> где я и°(у) непрерывные функции на С-»,»®) и для всех

(-«>, .оО выполнены условия

о < т * * м * + <*> , I и"сн) I * м . (8) Функции \>Сл> и Р(р) удовлетворяют условиям а) , Р(р)>0 и принадлежат классу Сг(о,*а>) ;

б) 5 «> при р-*»;

при ;

(9)

Установлено, что если W(у)с- НчЛ)* С'* (П),

ue(o,t) г ( ор^о)) , R! * ío,T] , Т>0 , то существует едкнствен-ное классическое решение задачи (6)-(9)j

fb/.t) * С''*(Л) , u(y,i) е С( п) ,

О < ГП, i J>(V,t) < M¡ ,

В § 2 главы 3 рассмотрена предыдущая задача с <J(í)*consl>o, кроме (9), в том случае, когда существуют предельные значения для скорости и плотности на бесконечности.

В '§ 3 главы 3 рассмотрена задача Коши (6), (7), (8) в пространствах С.Л. Соболева, когда функции ^ >?(?) и Р* Р(?) имеют зависимости Р- г' , Р*"" н &т ?'(*)* I . Установлено, что если til ,XíJ-íO, ( р"- (, и")t WÍ <-'£.';*,«) л W'e ,.в>шч< , то в полосе п - (-<*>,.») * (от) с произвольной конечной высотой Т , 0<Т<>«> существует единственное обобщенное решение задачи, причем j>(y,0 строго положительная и ограниченная функция и

fi-t * La* ( о,T¡ V/ (-*>,*>*>)) ; (ft,u*)eL*ÍP) , С Í^'V*,") 6 <о,т; w; П La WÍ í-о,^«.)) .

В § 4 главы Э построен пример о несуществовании в "целом" по времени решения уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой баротропной жидкости. Рассматривается начально-краевая задача j> (ut +(й-*)й)- Jdáü- v(di>ü) + *P* pf ,

J>t *div (fü)'0J P- ñp*, H'Conti »0, f'Cvnst>0 3 (10)

filt.o * J>, (*/.-. *») . & ,*«),« la'O , В которой ИСКОМЫМИ функциями ЯВЛЯЮТСЯ ПЛОТНОСТЬ J>¡xí.. .1x.jé) И вектор скорости й(хж.....вязкой сжимаемой жадности, заполняющей. ограниченную область G?,SP^g*. «»у , с границей S, принадлежащей классу С*- гладкости, к»2 . В начальный момент времени значения скорости и. и плотности & предполагаются известными,

причем 0<т < р„ (л.....,í,)tM<+оо дай всех at*)е

Обозначим '(Ojt) ,0<t<T t где T-censt>o . Предполагается,

что вектор массовых си* ?(x,...t n, t) есть заданная функция. Коэффициенты,/' и Л - недото^ые положительные постоянные.

В.А. Солонников показал следующий результат для задачи (10): Пусть Se Сг , Vn , U Ц, (Ог), иае («) , «. |s - о ,

0*т* р.(х,...,*„)* м<, ер,с /л(, (С?) . Тогда существует (о,г) такое, что в С?Тс решение задачи существует и единственно в классе функций . и< . 5>« V/,';!. (От.) , о Кроме того, из результатов работ В.А. Солонникова (1965, 1У76) имеем: пусть 5«С", ко, (¡.еС^Ф) ,/>,е С"*(<й) , С^Свг), , о</ч »/>„(*,. .,*„.)» ««•■«> и выполнены условия согласования

Тогда существует т; с (о,г) такое, что в решение задачи существует и единственно в классе функций

С б О , с""1'"* (б,.) ,

С < т, * < < «5

Построен пример задачи (10), который показывает следующий результат: если я*я , *о , то существуют начальные дан-

ные, удовлетворяющие условиям работы В.А. Солонникова (1976), даже более гладкие, такие, при которых локальное

решение непродолхаемо на любой конечный промежуток времени; если л*г , (- & >х г о , то существуют достаточно гладкие начальные данные, 0<т 4 р. Х«)4М«*® , с С'^г) » такие, при которых локальное классическое решение непродолхаемо на любой конечный промежуток времени.

ЛИТЕРАТУРА ^

1. Вайгант В.А. Неоднородные граничные задачи для уравнений вязкого теплопроводного газа. - В кн.: ^тематические проблемы механики сплошных сред. Новосибирск, изд. Ин-та гидродинамики СО АН СССР, 1990, с. 21 (Динамика сплошной среда ,

вып. 97).

2. Вайгант В.А. Стабилизация решений задачи протекания - истечения дай системы уравнений вязкого баротропного газа. -

В кн.: Тезисы докладов 711 Всесовзной школы по качественной теория дифф. уравнений гидродинамики. Барнаул, 1989, с. 28 - 23.

3. Байгант D.A. Стабилизация решений неоднородной краевой задачи для уравнений вязкого теплопроводного газа. - В кн.: Задачи механики сплошной среди со свободными границами. Новосибирск, изд. 11н-та гидродинамики СО АН СССР, 19Э1, с. 19. (Динамика сплошной среды, вып. 101).

4. Байгант Б.А. О задаче Коми для системы уравнений вязкого газа. - В кн.: Математические модели фильтрационных процессов. Новосибирск, изд. Ин-та гидродинамики со АН СССР, 1992, с. 10. (Динамика сплошной среды, вип. 102).

Ь. Байгант В.А., Папин A.A. Разрешимость начально-краевой задачи для уравнений баротрогаюго газа с вязкостью, зависящей от плотности. - В кн.: Математическое моделирование механики сплошных сред. Новосибирск, изд. Ин-та гидродинамики СО АН СССР, 1987, с.9. (Динамика сплошной среды, вып. 79).

6. Байгант В.А., Папин A.A. Глобальная разрешимость задачи Коши для уравнений баротролного газа с вязкостью, зависящей от плотности. / Ред. "Сиб. мат. журн," - Новосибирск, 1989,15 с. - Деп. в ВИНИТИ, » 8267.

- II -

Подписало в печать 30.12.1992 г. Формат 60 90/16. Бумага для множительных аппаратов*. Печать офсотная. Уол.-печ.л. 0,70, Тира» НО экз. Заказ /ОУ£

Алтайский госуниворситот. Лаборатория множительной техники Алтайского госунивсрситета: 656099, Барнаул, ул.Димитрова, 66.