Приближенные методы решения уравнений электромагнитной газовой динамики тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

с г г од

2 2 MAP VI.

НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК КЫРГЫЗСКОЙ РЕСПУБЛИКИ

ИНСТИТУТ ФИЗИКИ И МЕХАНИКИ ГОРНЫХ ПОРОД

На правах рукописи УДК 533.9

КАЗЫБАЕВ АБДУКААР

Приближенные методы решения уравнений электромагнитной газовой динамики

специальность 01.02.05 - механика жидкости, raía и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

оишкек - 1996

Работа выполнена в Кыргызском ордена "Знак Почета" сельскохозяйственном институте им.К.И.Скрябина Научные руководители: чл- корр.HAH Кыргызской Республики,

Заслуженный деятель науки Кыргызской Республики", доктор физико-математических наук, профессор И.Б. Бийбосунов,

академик Инженерной академииРеспублики Казахстан, доктор физико-математических, наук, профессор Ш.С. Смагулов

Официальные оппоненты: чл-корр. HAH Кыргызской Республики, доктор физико-математических наук, профессор А.Ж. Жайнаков, доктор физико-математических наук, профессор Г.Б. Шерьязданов Ведущая организация: Академия гражданской авиации Республики - Казахстан

Защита состоится г. в часов на

заседании специализированного Совета Д 01.95.38 при Институте физики и механики горных пород HAH Кыргызской Республики по адресу:

е

720815, г.Бишкек, ул.Медерова 98.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке HAH Кыргызской Республики (720071, г. Бишкек-71, пр. Чуй 265/а)

Автореферат разослан & j 995 r

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат физико-математических наук f /С , В.В.Долгин

Общая характеристика работы.

Диссертация посвящена к приближенно-численным методам решения уравнений электромагнитной газовой динамики.

Актуальность темы. За последние годы большое развитие получили такие разделы механики жидкостей и газа, как динамика вязкой жидкое;и, магнитная гидро-газодинамика и теория пограничного слоя. Особенно они бурно развивались благодаря с ростом производительности современной вычислительно/! техники и численных методов решения задачи механики. Таким образом, появление качественно новой вычислительной техники и совершенствование методов вычислительной математики приводили и постоянно приводят к новым возможностям в решении задач механики, сплошных сред, в частности, это относится к магнито-газодинамическим течениям вязкой теплопроводящен жидкости. Разработка приближенно-численных методов решения уравнений Навье-Стокса, описывающих процесс движения вязкого теплопроводящего газа в магнитном или электрическом поле, имеет важное практическое значение. Исследования движений электропроводящих жидкостей и газов в электромагнитном поле необходимы в связи с изучением ряда известных проблем физики и техники, таких, как исследование управляемых термоядерных реакции, задач астрофизнки.ггофизики, проблем превращения энергии, радиосвязи и. т. д.

Основная трудность в решении этих задач связана со сложностью дифференциальных уравнений, описывающих процессы газодинамики. Эти задачи, как правило, являются нелинейными, решаются в многомерной области. Нахождение точных аналитических решений таких задач представляет большую трудность и получить их удается в редких случаях.

В связи с этим возникает проблема эффективного численного решения, т. е. возникает необходимость индивидуального подхода к каждой конкретной задаче.

Цель диссертационной работы. Разработка и математическое обоснование приближенно-численных методов решения систем уравнений одномерного течения вязкой жидкости в электромагнитном поле, в частности, исследование устойчивости и сходимости разностных схем, аппроксимирующих системы уравнений одномерного движения электромагнитной газовой динамики .В рамках поставленной цели решались следующие задачи:

- провести нелинейный анализ устойчивости и сходимости разностных схем для одномерной модели магитной газовой динамики в баротропном и изотермическом случаях;

- исследовать качественные свойства разностного метода решения уравнения движения баротропного газа в электрическом поле с учетом теплопроводности и без учета ее;

- провести вычислительный эксперимент с целью исследования сходимости разностных схем для изучаемых моделей магнитной газовой динамики.

Методика исследования. Для решения поставленных задач были использованы теория уравнений в частных производных, основные законы механики, метод сеток, теория нелинейных уравнений газовой динамики, разностные и итерационные методы, разностные теоремы вложения и априорные оценки. Реализация численного алгоритма проводилась с помощью ПЭВМ на тестовых задачах. .

Научная новизна диссертационной работы.

- Впервые получена оценка решения классических разностных схем малом по времени для модели магнитной газовой динамики в

баротропном случае;

- с помощью этой оценки доказаны устойчивость и сходимость разностных схем;

- дано математическое обоснование устойчивости и сходимости разностной схемы для одномерной модели магнитной газовой динамики с учетом теплопроводности;

- предложена конечно-разностная схема, апроксимирующая движения вязкого баротропного газа в электрическом поле;

- получены априорные оценки разностного решения для уравнения движения теплопроводного газа в электрическом поле.

Теоретическая и практическая значимость результатов. Исследование носит теоретический характер, результаты исследования способствуют дальнейшему развитию теории конечно - разностных схем. Предложенные конечно-разностные схемы могут быть использованы для численного моделирования широкого класса задач магнитной газовой динамики, при проведении теоретических расчетов и конструктировании МГД-генераюров. плазменных и лазерных установок, тепловых печей и.т.д.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на:

- научных семинарах по "краевым задачам механики сплошных сред" под руководством академика ИА РК , д. ф.-м.н., профессора Ш.С.С.магулова (КазГУ, Алма-Ата. 1991-1995);

- научном семинаре по "прикладному анализу" под руководством чл.-корр. НАН РК, д. ф.-м.н., профессора М.О.Отелбаева (Алматы, 1995),

- научно-технической конференции КСХИ им.- К.И. Скрябина (Бишкек, 1995). .»

- городском научном семинаре по механике сплошных сред под руководством чл.-корр. НАН КР, д.ф.-м.н., профессора И.Б.Бийбосунова.

- международной научно-практической конференции "Проблемы механики и прикладной математики", посвященной памяти доктора физико-математических и технических наук, профессора Ф.И. Франкля (Бишкек, 1995).

Публикация. Результаты диссертации опубликованы в 5 научных

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, девяти параграфов, заключения и списка литературы, включающего 50 наименований.

Во введении обосновывается актуальность проблемы, научная но-Й1зна, дан краткий обзор литературы по теме диссертации и излагаются основные результаты работы и ее структура .

В первом параграфе первой главы рассматривается система уравнений магнитной газовой динамики в Эйлеровых и Лагранжевых переменных. Указывается связь между Эйлеровых и Лагранжевых переменных и даются некоторые, часто используемые в работе вспомогательные утверждения и обозначения.

Во втором параграфе исследуется разностная схема, аппроксимирующая уравнения движения вязкого баротропного газа с учетом магнитного поля. С этой целью приводится система уравнений магнитной газовой динамики в переменных Лагранжа:

статьях.

Содержание работы.

(1)

с начально - краевыми условиями

НЦ н\=± и./2= о, о<т.4Г.(*>*м><~,

где 1С - скорость газа, 1Г - ¿/-удельный объем газа, // -

напряженность магнитного поля,уи/ /И^ - коэффициенты вязкости, магнитной проницаемости.

Система уравнений (1) с условиями (2) аппроксимируется следующей разностной схемой:

,,/ ) _

л* Л

!Г.*Г' - /Г*-

и**'0*

-——--- ~т "-¿а.

di

и"-'

ntSL

с условиями , о

U- = Ual-2i), ¿f-4 = iro(X;_lU )7 Hi = Н. (OU), (4)

Доказаны следующие теоремы (нумерация приведена в соответствии с диссертацией):

Теорема 1.2.1. Пусть выполнены условия

о<<* гох)} К*М,xjijdjti)

Тогда существует интервал (о, ~ГЬ) Те <~Г независящей от ¿Ь} к.

такой, что для решения задачи (3) - (4) справедливы оценки

(И 1С-и % IIО % МП t х (J^ fi:

moot oi/tt&iiTt<T

»n*-).! (5)

'+mt£iH)Ai 4ль**»,

0< m? < Mt<<*> , при mdiiTc<T

Пусть для начальных данных

U/fe), irjx;) ttkl UjXL), irj-li) соответствуют разностные решения

Ни j ¡¿¿с , (fit Ни i ^il > VlT-i/j,.

Тогда имеет место следующая теорема

Теорема 1.2.2 (устойчивость по начальным данным). Пусть выполнены все условия теоремы 1.2.1. Тогда решение задачи (3)- (4) устойчиво по начальным данным и имеют место оценки

(№-к:Н'+/МГ-Н?Цг+111ГГ- 1Гг»Ц+21(¡1 "Г* -

osmiiTotr . oi/nti<T0<T

-« cGfuf-uitli (б)

Теорема 1.2.3 (сходимость). Пусть решение задачи (1) -'(2) обладает гладкостью 6 f . ¿Г6 , P(v) £ С3 Тогда

решение задачи (3) - (4) сходится к решению задач (1) - (5) со

a*« (//ur-tclll+IIHltft+liir'4- ir^t).

6fltiiiTa

скоростью

в<тИТв

оьпНйТо

В третьем параграфе этой же главы исследуется устойчивость и

сходимость разностной схемы для модели магнитной газовой динамики в изотермическом случае . При этом, рассматривается начально - краевая задача для модели магнитной газовой динамики в Лагранжевых перемен-

7Х.

-¡г^и^] эх.

Ь (8) 1

с начально - краевыми условиями

(9)

О < т0 ± 1/~о < Мо < 1 О < * &о « ^ ^ ^

(Ю)

Задача (8) - (10) аппроксимируется явной разностной схемой:

а*"-Дл л"-^ в ^ /-I ^ г

^А /х-//")

с условиями

Справедлива следующая теорема Теорема 1.3.1. Пусть выполнены условия

о<т0 $ и~0(х^)$М0< о*, о<ео

¿»и р 03)

- ¡¿(Щ)

Тогда существует интервал С О, Те) То < Т и вЪем дня решения задачи (11) - (12) имеют место оценки

»о* (пи^^а^ьи^ын^!. (иии+

04)

0 <1711 $ 1Г. ™ < /И при достаточном малом А~1 Далее методом априорных оценок доказывается теорема устойчивости

по начальным данным.

Пусть начальным данным Щд (х), Н^), я /Л^ Ц(х)

соответствуют решения

>

VI (х), Нг(*)> и^х) ^ '¿,(4

10

Тогда верна следующая теорема

Теорема 1.3.2. Пусть для функции (Г.д ? 9[а, ¡¿¿л и, для шага А i/'к- выполнены все условия теоремы 1.3.1. Тогда имеют

место оценки

ЕШ I

ига) *

Oi/lт¿t £ ¿^ .

Сходимость приближенного решения к решению исходной задачи дается следующей теоремой.

Теорема 1.3.3. Пусть решение задачи (8) - (10) обладает гладкостью С^х. и выполнены все условии теоремы 1.3.1. Тогда решение задачи (8) - '(10) сходится к решению задач (11) - (12) со скоростью

ГПйХ. о^лбЬ^Т

(т г Г**

В параграфе 1 главы 2 рассматривается система дифференциальных уравнений баротропного движения вязкого газа в электрическом поле

Л я*"-иГ'ы ^^'

При этом функция ¿¿/^•¿■/-скорость движение газа, ^ -плотность газа, £ - напряженность электрического поля в котором происходит

I

процесс. Функция^ считается заданной, она представляет плотность источников электрического поля. Дополним эти уравнения следующими

начальными

Еко)^Е°(х)

та краевыми условиями

ИМ =и<>[г1 щ^з^и^ь),

Предположим, что:

(18)

(19)

1) Задача (17)-(19) имеет единственное решение;

2) решение краевой задачи (17) - (19) выражаются функциями обладающими следующими свойствами

Ее СЪт)п С%)

ложительная постоянная.

При этом система уравнений (17) - (19) аппроксимируется конечно - разностной /схемой

■яй; * = ^

с условиями

к///' //¿.

А* - % [(М*.^«*)^*'

=^ 14? - /и/

ловиями

(22)

(23)

(24)

где сеточные функции ^ И, ~ аппроксимируют в узлах сетки значения функций Ю } у>, £ соответственно. (20)-(22) на п+1 (верхном) временном слое является системой нелинейных алгебраических уравнений относительно значений искомых сеточных функций. Однако, при последовательном решении (в записанном порядке) она распадается на три системы линейных трехточечных алгебраических уравнений {( 20), (24 )}, {21},{(22), (24 )} которые могут бьпъ решены применением стандартной процедуры прогонки.

В § 2 каждая система трехточечных алгебраических уравнений приводятся к практичному для вычислений. виду и доказывается невырожденность матрицы каждой системы.

В § 3 проверяется сходимость разностных схем (20) - (24) на тестовых примерах.

Третья глава посвящена исследованию разностной схемы для модели движения вязкого теплопроводного газа; в электрическом поле. В начале главы рассматривается система уравнений:

-О

It tx. '

?t~ 7X. ^f ткгчх)**1- fx-' (25)

w. +хг ¡i ъ. )+d/i* turF к

Р=яе/1Г

где £ эс > fi- ' положительные величины, соответственно коэффициент вязкости, диэлектрическая проницаемость, теплопро -водность,газовая постоянная, ^/¡»рУ^-скорость,//^^- напряженность электрического поля, температура, ¿'»^удельный объем газа с

начально-краевыми условиями:

*/, = V = о, Et -о 2£l = }J- I = о

гсl^^frj, tr/^ cr(x)j ej=oejx}j Ej^ F^l (26)

о <m < ($0 (at))</и < ^ xe [0, Задача (25)-(26) аппроксимируется разностной схемой

"i-Vt . f * , . ' (27)

с условиями z

(28)

0<fl(, C/^ ) ¿M<<*>

При этом доказывается следующая теорема Теорема 3.2.1. Если Ост < (l[.°/t ,

К Е°Е Wjj, (J?h), (Г° в °6 И/А • . то для

разностного решения задачи (25) - (26) имеют место оценки

t ff ШчХНСс'*

г Q«., Ц-Л+, £ -¿рхг(Сг JE uu-tiCff

№ (29>

L ~f

Ь ftr-o £*i

В конце главы для реализации разностной схемы (27) - (28) на ЭВМ предлагается метод Ньютона. Сходимость разностной схемы проверяется на специальном наборе тестовых примеров.

В заключении сформулированы основные выводы и результаты, которые сводятся к следующему:

I. Проведено исследование устойчивости и сходимости конечно -разностной схемы для модели одномерного движения магнитной газовой динамики, как в баротропном так и в изотермическом случаях.

II. Для уравнения движения баротропного газа в электрическом

поле:

. - предложена конечно - разностная схема и исследованы качественные свойства решений этих разностных схем:

- доказано существование и единственность разностных решении:

- с помощью численных экспериментов исследована сходимость раз- -ностной схемы. .

III. Для уравнения движения теплопроводного газа в электрическом поле:

- получена оценка разностного решения:

-проведена численный анализ для исследования сходимости разностной схемы.

Автор выражает глубокую благодарность член-корр. HAH KP. д.ф,-м.н., профессору Бийбосунову И.Б., академику НА PK, д.ф.-м.н.. профессору Смагулову Ш.С., а также к.ф.-м.н.. доц. Даирбаевон Л.М. за неоценимую помощь при выполнении настоящей работы. Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах: ;

1. Казыбаев А. Исследование дивергентной разностной схемы для системы уравнений газовой динамики // Некоторые вопросы вычисл. и прикл. матем, - Алматы: Каз.ГНУ, 1993. -С. 40- 45.

2. Казыбаев А., Смагулов Ш. С. Численное моделирование движения баротропного газа в электрическом поле // Мат-лы междунар. научно - практич. конф. " Проблемы мех. и прикл. матем.". поев, памяти профессора Ф. И. Франкля, Бишкек, нояб. 1995г. -Бишкек:Республ.высш.колледж, 1995. -Т.1: Мех.-С.46 - 48 .

3. Казыбаев А. О сходимости разностной схемы для уравнения баротропного газа ß электрическом поле И Там же. - С.

4. Бийбосунов И. Б., Каз^баев А. Решение уравнения нестационар- " ного течения жидкости конечно - разностным методом // Пути совер-, шенствования. средств гидроавтоматики в мелиорации. Сб. научн. тр. - Бишкек: КСХИ, 1995. - С. 197 - 202 .

5. Казыбаев А. Разностная схема для модели движения вязкого теплопроводного газа в электрическом поле //Там же,-С.203-212.

А. Казыбаев

Электромагниттик газодинамиканын тендемелерин чыгаруунун жакындаштырылган методдору.

Жылуулук откоруучулук эсепке алынган жана алынбаган учурларда магниттик газодинамиканын модели учун анырмалуу схеманын турумдуулук жана жыйналуучулук теоремалары далилденди. Электр талаасындагы илешкээк газдын кыймылынын сандык моделдерн баротроптук жана "изотермикалык учурларда изилденди. Айырмалуу чыгарылыштар учун априордук чектоолор алынды.

The theorems are proved about stability and convergence of the (difference schemes for the magnitogasdynamics model both either taking the heat conduction into consideration or not. Numerical models of a viscons gas motion in an electric field is investigated both in a barotropic and an isothermal cases. Apriori estimates are derived for solutions of difference equations. ' ^

„ 1

A. Kazybaev

Approximation methods to solve the equations of electromagnetic gas

dynamics.