Автомодельные и бегущие волны в одномерном нестационарном течении вязкого газа с учетом действия силы тяжести тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Макарова Лия Алексеевна

АВТОМОДЕЛЬНЫЕ И БЕГУЩИЕ ВОЛНЫ В ОДНОМЕРНОМ НЕСТАЦИОНАРНОМ ТЕЧЕНИИ ВЯЗКОГО ГАЗА С УЧЕТОМ ДЕЙСТВИЯ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ

Специальность 01.02.05 —Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

□ОЗ172398

Казань 2008

003172398

Работа выполнена на кафедре аэрогидродинамики государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Казанский государственный технический университет им А Н Туполева»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Кусюмов Александр Николаевич

Официальные оппоненты:

1. Доктор физико-математических наук, профессор Егоров Андрей Геннадьевич

2. Доктор технических наук, профессор Крюков Виктор Георгиевич

Ведущая организация: Исследовательский центр проблем

энергетики КазНЦ «РАН»

Защита состоится «_»_2008г в _часов на заседании

диссертационного совета Д 212 079 02 при Казанском государственном техническом университете им АН Туполева (КАИ) по адресу 420111, г Казань, ул К Маркса, 10, КГТУ.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке КГТУ им А Н Туполева

Автореферат разослал «_»_2008г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат технических наук, доцент А.Г Каримова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Математические модели подавляющего большинства процессов, происходящих в природе, являются нелинейными, и поэте:,;} дсстаючпо ючные в количественном отношении характеристики изучаемых процессов можно получать лишь с помощью вычислительного эксперимента Примерно такие же соображения справедливы для процессов, происходящих в различных технических устройствах Добыча и транспорт природного газа представляют собой целый комплекс технологий, который реализуется за счет использования различных технических устройств

Для количественного описания процессов добычи и транспортировки природного газа из земных недр необходимо знать законы его движения Использование законов сохранения массы и энергии приводит к системе нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, являющейся математической моделью течения газа

В наиболее общей постановке течение моделируется при помощи уравнений Навье-Стокса для ламинарного режима течения и уравнений Рейнольдса для турбулентного Известно достаточно небольшое количество решений аналитического характера для уравнений Навье-Стокса, а для уравнений Рейнольдса их практически нет Поэтому для решения указанных выше уравнений в основном используются численные методы Однако, непосредственное интегрирование уравнений движения для трубопроводных систем большой протяженности предъявляет высокие требования к ресурсам вычислительной техники, что, в некоторых случаях, делает решение задачи моделирования практически невозможным В этих условиях весьма целесообразным является подход, использующий более простые модели движения жидкости и газа, и, в частности, моделирование в рамках одномерных нестационарных течений Используя данную модель можно строить не только численные, но и аналитические решения, проводя параметрические исследования влияния различных режимов течения и параметров системы на характеристики трубопровода Именно такая задача.

рассматривается в диссертационной работе и поэтому работа является актуальной

Целыо диссертационной работы является разработка модели течения одномерного нестационарного сжимаемого вязкого газа для различных режимов, построение алгоритмов интегрирования уравнений модели при изучении бегущих и автомодельных волн

Задачи исследований

- разработка модели одномерного нестационарного течения вязкого газа с учетом действия силы тяжести и сжимаемости газового потока, получение различных моделей течения вязкого газа в зависимости от числа Рейнольдса,

- проведение параметрических расчетов для различных режимов течения газа с учетом влияния вязкости, силы тяжести, числа Рейнольдса, характерного числа Маха (получение точных решений и построение приближенных решений на основе приближенного группового анализа),

- построение и проведение анализа особых решений, возникающих при интегрировании фактор - систем обыкновенных дифференциальных уравнений одномерного нестационарного течения вязкого газа с учетом действия силы тяжести,

- применение метода одноволнового приближения при упрощении уравнений Навье-Стокса для одномерного нестационарного течения вязкого сжимаемого газа, исследование полученной модели как численно, так и аналитически

Научная новизна состоит в следующем

- разработана модель одномерного нестационарного течения вязкого газа с учетом действия силы тяжести и проницаемости трубопровода В математическую модель включены параметры характеристическое число Маха, коэффициент Буссинеска Кроме того, математическая модель записана таким образом, что учет вязкости при турбулентном режиме

течения осуществляется при помощи различных эмпирических зависимостей, учитывающих влияние числа Рейнольдса

- доказана теорема, в рамках которой определяется характерная длина трубопровода, лля которой изменение плошоош газа становится существенным

предложен метод построения особых решений уравнений одномерной нестационарной газовой динамики

- предложен уточненный подход к редукции исходной системы уравнений Навье - Стокса для одномерного нестационарного течения на основе использования одноволнового приближения В результате получено уравнение, которое отличается от обычно получаемого с использованием данного подхода уравнения Бюргерса

Метод исследования

В диссертации в качестве метода исследования математических моделей применяется метод непрерывных групп преобразований, приближенный групповой анализ, с помощью которых исходные системы уравнений в частных производных сводятся к системам обыкновенных дифференциальных уравнений

Для численного интегрирования дифференциальных уравнений использован математический пакет МАРЬЕ

В пятой главе используется иной подход к упрощению системы Навье-Стокса метод одноволнового приближения

Обоснованность н достоверность результатов Обеспечиваются строгостью постановок физических и математических моделей, строгостью выполнения математических выкладок и преобразований (символьные преобразования проводились с использованием вычислительной техники), проведением сравнения некоторых, сравнение результатов, полученных аналитически и с помощью численного ин!егрирования

Научная и практическая значимость

Результаты параметрических расчетов распространения бегущих и автомодельных волн в трубопроводах могут быть использованы при проведении качественного и количественного анализа характеристик течения газа в магистральных трубопроводных системах

Предложенный метод построения особых решений уравнений одномерной нестационарной газовой динамики может быть распространен на более общий класс задач

Полученное в рамках одноволнового приближения уравнение распространения акустических возмущений, наряду с уравнением Бюргерса позволяет проводить качественное моделирование течений с распределением скорости разрывного характера

Личный вклад автора в работу

Результаты работы, полученные лично автором, являются определяющими Автором разработаны математические модели, получены аналитические решения, выполнено численное интегрирование уравнений и проведен анализ результатов Апробация работы

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на XVII

Всероссийской межвузовской научно-технической конференции

«Электромеханические и внутрикамерные процессы в энергетических

установках, струйная акустика и диагностика, приборы и методы контроля

природной среды, веществ, материалов и изделий» 2005г Казань,

всероссийской молодежной научной конференции с международным

участием «VIII Королевские чтения». 2005г Самара, XVIII международной

научной конференции «Математические методы в технике и технологиях»

Казань 2005, второй Всероссийской научной конференции «Математическое

моделирование и краевые задачи» 2005г Самара, Международной

молодежной научной конференции, посвященной 1000-летию города Казани

«Туполевские чтения» Казань, 2005г, V Школе - семинаре молодых ученых

4

и специалистов академика РАН В Е Алемасова «Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении» Казань, Россия, 2006г, международном конгрессе «Нелинейный динамический анализ - 2007», Санкг-Петербург, 2ÜÜ7, международной молодежной научной конференции, «XV Туполевские чтения» Казань, 2007г Публикации

Основное содержание диссертации отражено в 12 публикациях, из них 2 в перечне журналов, утвержденных ВАК Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы из 101 наименования Основной текст изложен на 136 страницах

Автор выражает благодарность доктору технических наук, профессору Павлову Валентину Гавриловичу, который являлся научным руководителем при написании дипломной работы и неоднократно консультировал по вопросам диссертационной работы

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, формулируются цель, научная новизна, практическая значимость, дается краткий обзор литературы, касающейся темы диссертации, а также излагается содержание работы по главам

Первая глава является вводной, дается постановка задачи, выводятся уравнения нестационарной газовой динамики с помощью осреднения по площади поперечного сечения канала

Особенностью полученной в работе записи системы уравнений является то, что в нее как параметр входит характерное число Маха, определенное по начальным параметрам течения газа В наиболее полной постановке математическая модель движения газа определяется системой уравнений

д(р<о) д(рау) _ . дг + дх '

О 1)

1(рш) + 1 + ^ Эг М/ дх дх ах 2 сЬс й 11

Здесь (, х - соответственно, временная и пространственная координаты, у(<,х) - средняя по сечению величина скорости, р(г,х) - плотность газа, (оЦ,:с) - площадь поперечного сечения, т'((,х) - распределенный приюк массы через боковую поверхность на единицу времени, v*(t,x) - скорость присоединяющихся частиц, £> - диаметр трубы, у{х) - высота некоторого сечения трубы, отсчитываемая от фиксированной горизонтальной плоскости При получении системы использовалось уравнение состояния баротропного процесса вида р = /(р){р - давление газа в трубе) Конкретный вид функции /(р) определяет характер термодинамического процесса Кроме того,

м! = (у„в-')2 = р'-М] = р'-" -М1, (12)

п

где А/02 = у г - квадрат характерного числа Маха

Теорема Для стационарного и квазистационарного режимов при малых числах Маха Мп характерный линейный масштаб определяется величиной

^/^г, для которой изменение плотности газа становится существенным

Из данного утверждения следует, что величина М[ является критерием подобия (числом), определяющим безразмерную дисшнцию переноса потока При малых значениях переменной М„2 «1

относительная дистанция переноса мала и параметры потока изменяются незначительно Существенное влияние дистанции переноса на характеристики течения будет проявляться для относительных Мгп ^ к 1, то

есть, при х « /^р . когда изменение плотности газа значительно

Математическая модель (1 1) содержит слагаемое учитывающие вязкие свойства газа Данное слагаемое принимает различный вид, в зависимости от исследуемого режима течения Так, для чисел Рейнольдса 2300<Re<105, можно воспользоваться формулой Блазиуса Другая модель применяется в том случае, если сопротивление не зависит от числа Рейнольдса Кроме того, в работе получена степенная зависимость для больших чисел Рейнольдса на основе аппроксимации графических данных Таким образом, в работе используются следующие зависимости, учитывающие вязкие свойства газа

I Невязкий газ

А = 0 (13)

II Ламинарный режим течения

A = 32Re;',s = l (14)

III Турбулентный режим течения

1 2300 <Re

А = Л0, s = 0 (15)

2 2300 < Re < 10!

Л = 0 1582Re;"\ i = (16)

3 105 < Re < 107

=.-"6 С - 1/

Л = 0 063Re;"6, 5 = ^ (17)

Во второй главе производятся параметрические расчеты для автомодельных волн Системы уравнений в частных производных сводятся к системам обыкновенных дифференциальных уравнений. Расчеты приводятся для различных значений наклона трубопровода, числа Рейнольдса, характерного числа Маха

Структура параметрических расчетов для автомодельных волн

Рис 1

В частности, рассматривается неустановившееся одномерное изотермическое течение вязкого газа в непроницаемом трубопроводе постоянного диаметра (О=сопз1, о^сопб!) с учетом действия силы тяжести (в диссертационной работе данный пример соответствует выражению (2 3 1)) В изотермическом процессе показатель политропы п = 1, тогда выражение (1 2) примет вид М/ = М1 Для модели (1 5) исходная система уравнений (1 1) примет вид

Э/ Эх

Э(ру) | 1 Эр | ару2 _ Пк ^

Э/ А/р дх дх х Уравнения (2 1) не допускают точного решения в виде автомодельной

волны Автомодельное решение возможно найти, если использовать

приближенный групповой анализ Примем р = р*+ер2, у = у*+£у2 (где р*

и у* являются решениями системы уравнений, описывающих

изотермическое течение невязкого газа) Линеаризуя систему уравнений

(2 1), получим

дРг [ д(Р*у2) | д(Р,у*)_0> Эг дх дх

д(р*у2) [ д(р2у*) | 1 др2 | 8(2у*у2р*) , | * , р* = (

6/ й М0г Эх Эх Эх 2 х

Эр* | Э(р*у*) _ в Ы дх Э(р*у*)| 1 Эр* [ Э(р*у*2) _

(Я М20 дх дх х

(2 2)

При принятых условиях полученная система допускает однопараметрическую группу растяжений по временной и пространственной координатам Это позволяет привести систему (2 2) к системе четырех обыкновенных дифференциальных уравнений

* V д д д д

Оператор группы преобразовании имеет вид X = / — + х— + у2--I- р2 ——

Эг дх Эу2 Эр2

Данной группе преобразований соответствуют инварианты

I = -, 5(/) = ^, 0(7) = ~, отсюда у2 = да, р2 = б(/)'

Система обыкновенных дифференциальных уравнений, записанная в инвариантах группы, примет вид

dl dl dl dl dl dl dl dl dl

1 dQ(l)

,dQ(I)

Mi dl

dl

d/

. öfv* dl

dv* dl

+(v*)

dl

-k + v*2 p* = 0,

.c/V

¿p* ¿p* .

-/ -i— + —t— v * +p * -dl dl dl

dp* dv*

-v*l —---/p*-+ v

dl dl

t2 dp* dv

* —+ --

dl dl

*2

dp*

I Mi dl

(2.3)

На рис. 2.1-а и 2.1-6 приводятся решения системы (2.3) в различные моменты времени t при значении характерного числа Маха М0= 0.05 .

1 12 — I -I -ei) rho

1.08 1.04 -1 -0.96

О

Рис. 2.1-а

Рис. 2.1-6

Рис. 2.1. Распределение скорости V = v* (2.1-а) и плотности

р = р*+Л0р2 (2.1-6) по длине трубопровода при М„=0.05, к = - 0.1.

Система уравнений (2.3) при М0=0.05 интегрируется на интервале [0.1..20]. Видно, что при больших значениях параметра t скорость и плотность в зависимости от продольной координаты изменяются более существенно, нежели при меньших значениях Л Скорость в зависимости от продольной координаты при различных Г монотонно растет, плотность -падает.

Аналогичным образом проводятся параметрические расчеты для всех случаев течения газа, приведенных в структурной схеме 1

Во третьей главе производятся параметрические расчеты для бегущих волн Системы уравнений в частных прснзпсдпых сводятся к Сиисмам обыкновенных дифференциальных уравнений Расчеты приводятся для различных значении наклона трубопровода, чисел Рейнольдса, характерного числа Маха

Структура параметрических расчетов для бегущих волн

Рис.2

Рассмотрим неустановившееся одномерное изоэтропическое течение невязкого газа (Л =0) в трубе постоянного диаметра (/З-сопэ!, ¿у=сопб1) с учетом действия силы тяжести (в диссертационной работе пример соответствует (3 2 1)) Примем показатель политропы п-у, где у -показатель адиабаты газа Будем также полагать, что трубопровод непроницаем Система уравнений (1 1) в этом случае примет вид-

dp | d(pv) = Q dt dx djpv) | Pr-' eP | g(Pv2) dt Ml dx dx

= -p к

При принятых условиях полученная система (3 1) допускает однопараметрическую группу переносов по временной и пространственной

v d d

координатам Оператор группы переносов X = а,— + аг —, где а, = const,

dx dt

а, = const Решение уравнения Х{])= 0 определяет функцию I = alx-alt, которая является инвариантом группы Фактор-система в данном случае

-а, — + а,----

1 dl 1 dl

= 0,

. 4pvJ+a^ dp + dj^ 1 dl Ml dl dl K

(3 2)

Первое уравнение системы (3 2) имеет первый интеграл Тогда из второго уравнения имеем

a, dp or, dp d ' a, dl Ml dl 1 dl

P

p'—pk

или

d_ dl

a, a, p' аг M0 r

(3 3)

На рисунке 3.1 приводятся численные решения системы (3 2) при М0=0 05, а,=1, а, = 2 Решения приводятся при различных значениях наклона трубопровода

У 1 08

к 0001

гЬо

1 7 -Т

0 96

1 04

0 92

08

0

40000 80000

О

40000 80000

рис 3 1-а

рис 3 1-6

Рис 3 1 Распределение скорости у (3 1-а) и плотности р (3 1-6) в зависимости от автомодельной переменной I

Решения системы (3 2) представлены на интервале [0 1 100000] для трубопровода достаточно большой длины Наклон трубопровода оказывает существенное влияние на решения системы При к= - 0 001 (отрицательный наклон трубопровода) скорость течения газа падает, плотность газа растет, при положительном наклоне - наоборот (скорость течения газа растет, плотность газа падает) В связи с тем, что в данном примере не учитываются вязкие свойства газа, то при отсутствии наклона трубопровода и скорость, и плотность I аза величины постоянные

В данной главе приводятся все параметрические расчеты в соответствии со структурной схемой 2

Четвертая глава посвящена исследованию фактор - систем обыкновенных дифференциальных уравнений, получающихся при изучении автомодельных волн Исследуемые в работе системы обыкновенных дифференциальных уравнений относятся к классу систем, которые могут иметь неединственное решение В разрешенной (относительно производных) форме правые части этих уравнений представляются в виде дроби, а, следовательно, уравнения могут иметь сингулярный характер Наличие

сингулярности при определенных краевых условиях приводит к появлению неединственности решений

Структура параметрических расчетов при анализе особых решений для автомодельных волн

Рис 3

Рассмотрим неустановившееся одномерное изоэнтропическое течение невязкого газа в трубе постоянного диаметра с учетом действия силы тяжести Будем также полагать, что трубопровод непроницаем (в диссертационной работе пример соответствует (4 3 1))

Фактор - система обыкновенных дифференциальных уравнений, записанная в инвариантах группы, имеет вид

Здесь инвариантная переменная I =

х

t

Будем обозначать решение системы (4 1) при к = О через р0(/) и v0(7) Отметим, что при к = 0 уравнения (4 1) при определенных краевых условиях обладают неединственностью В частности, тривиальное решение системы имеет вид р0 = ри = const и v0 = v!{ = const

Покажем, что для некоторых краевых условий можно найти другое решение системы (4 1) Для этого запишем систему уравнений в разрешенном виде

При определенных условиях система (4 2) помимо тривиального

dv =_(/ - v)M]k_

dl ~ (-2IvMl + v2Ml - ypr" + I2Ml)I'

dp

pMlk

dl (-2IvMl + v2M02 - yp'-' +12Ml )I Для к = 0 разрешенная система принимает вид

-£{-21v0Ml+v\Ml -Yp?+IlMl)I = О, ^(-2ivX + v\M] -урГ +1гМУ = О

(4 2)

решения

Ро = p//=const, v0 = vH = const

(4 3)

имеет другое решение

-1

(4 4)

Здесь с0 = л/ypj"1 - скорость распространения звука Выражения (4 4) определяют условия, при которых система (4 2) имеет неединственное решение

Наличие неединственности решения системы (41) при к = О порождает определенные сложности с точки зрения численного моделирования В частности, для начальных условий, соответствующих решению системы (4 2), стандартный математический пакет Maple V позволяет получить только тривиальное решение (4 3)

Аналогичные сложности возникают и при интегрировании системы (4 1) для произвольного значения к

Для получения особых решений системы (4 1) и других систем уравнений (в соответствии со структурной схемой главы 4) в работе предложен метод интегрирования с использованием опорных решений Решение системы (4 1) представим в виде

у(/) = v0(/) + V, (/), р(/) = р0 (/) + р, (/), (4 5)

где vj(/), pi(7) новые искомые функции После подстановки в (4 1) получаем систему

dp, / г \ dv., . dva do. .

- 'v, + v¡ + 2v0v, + vi + ~У(Р»Г'Т(Р,)") + dl M0

+ +2v0v, +v,2 +-LY(p,y-')+ (4 6)

dl M0

dv

+~dl'(-~IPo _/p' +2РЛ + 2V°Pl +2v,p|) +

+ ~ (~/p, + 2Pov, + 2Pov, + 2p,v0 + 2v,p,) + у (p0 + p,) = 0 dl I

0.4 I | I | I | i | i | i

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 ..........т

I 0 0.4 0.8 1.2 1.6 2

Рис. 4.1-a Рис. 4.1-6

Рис. 4.1. Зависимости скорости v(I) и плотности р(1) при различных значениях Л/0

На рисунке 4.1 представлены решения (4.6) при различных значениях М0. В качестве опорного решения v0(/) и р0(/) в выражениях (4.5) и системе (4.6) использовано нетривиальное решение (4.4). Из рисунков видно, что изменение числа М0 влияет на начальное значение скорости, На характер изменения скорости (в зависимости от продольной координаты) число М0 значительного влияния не оказывает. Что касается поведения плотности газа, то, чем больше значение М0, тем сильнее падение плотности.

На рисунке 4.2 представлены решения системы (4.6), но в качестве опорного решения используется тривиальное решение p0(/)=const и v0(/)=const. Из рисунков видно, что только при относительно большом значении характеристического числа Маха М0= 0.5 скорость и плотность газа существенно зависят от автомодельной переменной /. В остальных случаях и скорость и плотность газа практически на всем интервале интегрирования не изменяют своего значения, то есть p0(I) »const, v0(/) ¡«const.

Рис. 4.2-а Рис. 4.2-6

Рис, 4.2. Зависимости скорости у(7) и плотности р{1) при различных значениях М0

В работе приводятся расчеты для всех случаев течения газа, представленных на схеме 3.

В пятой главе используется несколько иной подход к упрощению системы Навье-Стокса: параметры течения зависят только от одной пространственной координаты. Метод исследования заключается в упрощении уравнений газовой динамики на основании так называемого одноволнового приближения при построении решения в виде малого возмущения некоторого равновесного (стационарного) состояния. В этом случае система уравнений газовой динамики сводится к одному уравнению в частных производных, порядок которого зависит от вида слагаемого, учитывающего вязкие свойства газа. Вид уравнения, получаемого в результате упрощений, может зависеть также от способа учета нелинейных слагаемых, входящих в систему уравнений газовой динамики. Подобным образом, в частности, можно получить хорошо известное в акустике уравнение Бюргерса.

В настоящей работе методика упрощения уравнений газовой динамики используется для вывода уравнения, определяющего распространение малых возмущений в сжимаемом вязком газе. При этом, получено уравнение

ди ди г,д2и

"дР + К^д?'

где Г = 4/311еДГ-1)~\

На рисунках 5л, 5.2 приводится решение уравнения (5.1).

ГТ^ТТ-! I I I | I |

-1.2 -0.8 -0.4 0 0.4 0.8 1.2 х

I I I I П I I I I И

-1.2 -0.8 -0.4 0 0.4 0.8 1.2 х

Рис.5.1 Зависимости и(Х) при и2=0.001, «,=0.002, и (0.001)= щ, «(-0.001)= «2

Рис.5.2 Зависимости и(Х) при «2=0.002, к, =0.001,

«(0.0001)= щ, «(-0.0001)= «2 Уравнение (5.1) позволяет строить решения в виде гладкого «скачка вверх» (вместо гладкого скачка вниз для уравнения Бюргерса»),

Кроме того, полученное уравнение позволяет строить решения разрывного типа: при «, > и2 - мгновенное опрокидывание волны, и, <и, -«растягивание» волны, что противоположно поведению разрывных решений для уравнения Бюргерса.

В заключении содержатся основные результаты диссертационной

работы:

1. Получены математические модели различных режимов течения газа, которые отличаются способом учета вязкости течения, числа Рейнольдса и характером термодинамического процесса.

2. Для стационарного и квазистационарного режимов при малых числах Маха Мп характерная длина трубопровода определяется величиной

2 (£> - диаметр трубопровода), для которой изменение плотности газа существенно

3 Предложена безразмерная форма уравнений одномерного нестационарного течения вязкого газа с учетом характеристического числа Маха А/0 и коэффициента Буссинеска

4 Ряд рассматриваемых моделей течения газа позволил получить точные решения в виде автомодельных волн и бегущих волн В тех случаях, где получить точные решения не представлялось возможным, применялся приближенный групповой анализ

5 Проведены параметрические расчеты, в ходе которых получены зависимости изменения скорости и плотности газа от временной и пространственной координат при различных значениях наклона трубопровода, характерного числа Маха, числа Рейнольдса

6 Показано, что наличие конечного интервала существования решении уравнений одномерной нестационарной газовой динамики связано с сингулярностью (наличием особенности) уравнений

7 Предложен метод построения особых решений уравнений одномерной нестационарной газовой динамики, который может быть распространен на более широкий класс задач Получены решения на различных опорных решениях при изоэнтропическом течении вязкого сжимаемого газа Показано, что результаты интегрирования, полученные на нетривиальных решениях, отличаются от результатов, построенных на тривиальных решениях

8 Уточнен подход редукции исходной системы уравнений Навье -Стокса для одномерного нестационарного течения сжимаемого газа к одному уравнению на основе использования одноволнового приближения В результате уточненной процедуры редукции получено уравнение, которое отличается от обычно получаемого с использованием данного подхода уравнения Бюргерса

20

9 Полученное уравнение позволяет строить решения разрывного типа либо с мгновенным опрокидыванием волны, либо с - «растягиванием» волны Данные решения аналогичны разрывным решениям для уравнения Бюргерса, ко получаются для краевых условии иного типа Основные результаты работы опубликованы

1 Макарова Л А О некоторых решениях уравнений одномерного нестационарного течения сжимаемого газа с учетом действия силы тяжести / Кусюмов А Н, Павлов В Г // Вестник КПУ им АН Туполева -2007 - N2 -с45-49

2 Макарова Л А Одномерное неустановившееся течение газа с учетом градиента давления / Кусюмов АН// Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования Герценовские чтения - 2006// Материалы научной конференции -СПб ,2006-251с

3 Макарова Л А Об одной форме записи уравнения Бернулли для течения вязкой несжимаемой жидкости в гладкой трубе / Кусюмов А Н, Романова ЕВ // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-18 Сб трудов XVIII международной научной конференции В Ют Т9 Секция 11/ Под общ Ред Балакирева -Казань изд-во гос технол ун-та, 2005 - 244 с

4 Макарова Л А Одномерное неустановившееся течение вязкого газа с учетом действия силы тяжести / Кусюмов АН // Математическое моделирование и краевые задачи Труды второй Всероссийской научной конференции - Самара - 2005г

5 Макарова Л А Одномерное неустановившееся изотермическое течение газа с учетом градиента давления / Кусюмов АН // Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении. V Школа - семинар молодых ученых и специалистов академика РАН В Е. Алемасова 3-9 сентября 2006г • Материалы докладов/ Под ред Ю Г

Назмеева, В Н. Шляпникова - Казань. Иссл центр пробл энерг КазНЦ РАН,-2006 -426 с 6 Макарова ЛА Об автомодельной волне для уравнений одномерного нестационарного адиабатного течения вязкого газа / Кусюмов АН// Нелинейный динамический анализ - 2007 Тезисы докладов международного конгресса, Санкт-Петербург, 4-8 июня 2007 г. - СПб Санкт-Петербургский государственный университет, 2007 - 402 с 7. Макарова JIA Об одноволновом приближении для одномерной акустической бегущей волны в вязком газе / Кусюмов АН// Известия вузов Авиационная техника-2007 -N 2-с19-22

8 Макарова Л А Одномерное неустановившееся течение идеальной жидкости с учетом действия силы тяжести// Сборник материалов XVII Всероссийской межвузовской научно-технической конференции «Электромеханические и внутрикамерные процессы в энергетических установках, струйная акустика и диагностика, приборы и методы контроля природной среды, веществ, материалов и изделий» - Казань -2005

9 Макарова Л А Об одной задаче моделирования течения газа в трубопроводе// Сборник трудов Всероссийской молодежной научной конференции с международным участием «VIII Королевские чтения» -Самара - 2005

Ю.Макарова Л А Одномерное неустановившееся течение идеальной

жидкости с учетом проницаемости стенки трубы и действии силы

тяжести// Туполевские чтения Международная молодежная научная

конференция, посвященная 1000-летию города Казани, 10-11 ноября

2005 года Материалы конференции Том I Казань Изд-во Казан гос

техн. ун-та 2005 252 с

11 Макарова Л А Об особенности решений уравнений одномерного

нестационарного течения сжимаемого газа// XIV Туполевские чтения

Международная молодежная научная конференция, 10-11 ноября 2006

22

года Материалы конференции Том I Казань Изд-во Казан гос. техн ун-та 2006 246 с

12 Макарова JIА Одномерная бегущая волна в вязком газе// XV Tvrrn прягк-ир wTt'w u и ^/^р-укдунаподн2Я молодежная научная конференция, 9-10 ноября 2007 года Материалы конференции Том I Казань Изд-во Казан гос техн ун-та 2007 245 с

Формат 60x84 1/8 Бумага офсетная Печать офсетная Печ л 1,5 Уел печ л 1,39 Уел кр-оп 1,39 Уч изд л 1,17 Тираж 100 Заказ Л102 Типо! рафия Иушельсгва Казанского государственного технического унивсрсшета 420111, Казань, К Маркса, 10

Введение.

Глава

Уравнения движения вязкого газа в трубопроводах.

Глава

Автомодельные волны.

2.1 Одномерное неустановившееся изотермическое течение идеальной жидкости с учетом действия силы тяжести.

2.2 Одномерное неустановившееся изоэнтропическое течение идеальной жидкости с учетом действия силы тяжести.

2.3 Одномерное неустановившееся изотермическое течение вязкого газа с учетом действия силы тяжести.

2.4 Одномерное неустановившееся изоэнтропическое течение вязкого газа с учетом действия силы тяжести.

2.5 Изоэнтропический процесс с учетом зависимости вязкости от температуры.

Глава

Бегущие волны.

3.1 Одномерное неустановившееся изотермическое течение идеальной жидкости с учетом действия силы тяжести.

3.2 Одномерное неустановившееся изоэнтропическое течение идеальной жидкости с учетом действия силы тяжести.

3.3 Одномерное неустановившееся изотермическое течение вязкого газа с учетом действия силы тяжести.

3.4 Одномерное неустановившееся изоэнтропическое течение вязкого газа с учетом действия силы тяжести.

3.5 Приближенная оценка времени опрокидывания фронта бегущей волны.

Глава

Особые решения уравнений одномерного нестационарного течения сжимаемого газа с учетом действия силы тяжести.

4.1 Изотермическое течение идеального газа с учетом действия силы тяжести.

4.2 Изотермическое течение вязкого газа с учетом действия силы тяжести.

4.3 Изоэнтропическое течение идеального газа с учетом действия силы тяжести.

4.4 Изоэнтропическое течение вязкого газа с учетом действия силы тяжести.

Глава

Об одномерной акустической бегущей волне в вязком газе.

Математические модели подавляющего большинства процессов, происходящих в природе, являются нелинейными, и поэтому достаточно точные в количественном отношении характеристики изучаемых процессов можно получать лишь с помощью вычислительного эксперимента. Примерно такие же соображения будут справедливы для процессов, происходящих в различных технических устройствах [47]. Добыча и транспорт природного газа представляет собой целый комплекс технологий, который реализуется за счет использования различных технических устройств. При объективном подходе к решению возникающих при этом практических задач требуется построить математическую модель исследуемого процесса и указать алгоритм решения соответствующей математической задачи [9,10,14,47].

Для количественного описания добычи природного газа из земных недр необходимо знать законы его движения. Использование эмпирических законов сохранения массы и энергии приводит к системе нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, являющейся математической моделью течения газа [76,77].

Течение моделируется при помощи уравнений Навье-Стокса для ламинарного режима течения и уравнений Рейнольдса для турбулентного.

Известно достаточно небольшое количество решений аналитического характера для уравнений Навье-Стокса, а для уравнений Рейнольдса их практически нет.

Однако, аналитические решения имеют достаточно важное значение, так как позволяют выявлять физические закономерности достаточно общего характера, которые трудно выявить анализируя численные решения. Один из подходов получения аналитических решений уравнений Навье-Стокса и уравнений Рейнольдса - это использование упрощенных уравнений течения, которые получаются на основании уравнений Навье-Стокса (Рейнольдса) на основании применения тех или иных допущений.

Такой упрощенной моделью в частности является одномерная модель течения в стационарной или нестационарной постановке. Большинство известных закономерностей, имеющих место в механике жидкости и газа, получено именно на основании использования одномерной модели течения, причем, как правило, в нестационарной постановке. Так, например, уравнения Бернулли, Гюгонио (для сопла Лаваля) получены именно исходя из указанного подхода.

Предположение об одномерном характере движения является привлекательным и полезным по ряду причин. Прежде всего, оно приближенно оправдывается для многих случаев реальных движений газа. Даже если некоторое движение в целом и не одномерно, отдельные его пространственно-временные подобласти часто могут быть описаны в рамках одномерного движения. Таковы движения в трубах, при взрывах и ударах и т.д. Далее, уравнения и задачи этой модели являются сравнительно доступными для качественного анализа и численного расчета благодаря тому, что здесь основные величины зависят лишь от двух независимых переменных. При этом не последнюю роль играет также и возможность предельно наглядного изображения различных газодинамических ситуаций на плоскости событий. Многие выявленные в рамках одномерного приближения особенности движения оказываются качественно присущими и более сложным движениям, позволяя изучать последние на основе оправданной аналогии [53,54].

Усложнением модели одномерной модели течения жидкости и газа является использование нестационарной модели. Несмотря на свою простоту по сравнению с уравнениями Навье-Стокса (Рейнольдса) эти уравнения одномерного нестационарного течения достаточно сложны с математической точки зрения, и получение их точных или приближенных аналитических решений при произвольных краевых условиях затруднено.

Отметим, также, что при расчетах магистральных трубопроводов, длина трубы составляет десятки тысяч калибров. В этих условиях практически невозможно использовать точные уравнения, моделирующие движение жидкости или газа (уравнения Навье-Стокса, уравнения Рейнольдса). Поэтому необходимо использовать несколько иные модели, одной из которых является модель, примененная в настоящей работе.

Существуют различные аналитические подходы исследования одномерной газовой динамики, например, метод расщепления, обобщенный метод расщепления, метод малого параметра, теория непрерывных групп преобразований и т.д. При этом, наибольшую известность и интерес среди решений, получаемых данными методами, являются решения волнового типа в виде бегущих или автомодельных волн. Отметим, что основная черта волнового процесса заключается в том, что некоторое характерное возмущение движется с конечной скоростью. Для гиперболических уравнений это явление связано с характеристиками. Каждая характеристика в (х,/) - пространстве описывает некоторую волну в л; - пространстве, а поведение решения на характеристике соответствует идее переноса этой волновой информации [78]. Рассмотрим кратко основные характеристики бегущих и автомодельных волн

Бегущие волны

Решения типа бегущей волны определяются зависимостью основных характеристик течения (V - скорость, р - плотность и т.д.) от переменной записанной в безразмерном виде) 7 = х - а • /. Здесь / = ^'у^ - безразмерное время (? - временная координата, v,, - начальная скорость движения газа, (Л -диаметр трубы), х = ^ - безразмерная пространственная координата (х пространственная координата), а = а/ - некая постоянная величина (а постоянная величина, определяющая скорость движения волны). Для упрощения записи в дальнейшем над безразмерными величинами черточки опущены. Количественное значение величины а определяет степень нестационарности процесса распределения бегущей волны и, в конечном итоге, скорость распространения волны.

Волновая интерпретация решений рассматриваемого вида возникает следующим образом. Зафиксируем значение переменной / = Const. Тогда можно определить кривую в пространстве t, х, вдоль которой параметры течения сохраняют постоянное значение. Уравнение этой кривой имеет вид / = х — a -t (уравнение прямой).

Таким образом, если исходная система уравнений одномерной нестационарной газовой динамики допускает решения, зависящие от переменной I = х-a-t (инвариант группы переноса в теоретико-групповой интерпретации), то в любой произвольный момент времени t имеется такая координата х, в которой параметры течения сохраняют постоянные значения. Именно такое поведение решений уравнений динамики движения жидкой среды понимается как движение волнового типа. at

Семейство прямых в пространстве определяющих положение волны, представлено на рис.1 для различных значений переменной /(/0,/р/2) и двух значений скорости перемещения волны (апа2). t

Рис.1

Можно выделить несколько характерных значений а. I.

Ь ь х

Скорость перемещения волны ос=0. В этом случае получаем стационарную задачу, когда характеристики бегущей волны определяются только пространственной координатой л; . Ь

Рис.2

Скорость движения волны а —» оо. Бегущая волна распространяется в пространстве мгновенно и решение не зависит от пространственной координаты х. h h k Ь к j. Рис.3

III. Волна распространяется со скоростью a = aQ, где а0 - характерная скорость звука в среде. В этом случае движение бегущей волны близко к движению звуковой волны.

Автомодельные волны

Для автомодельных волн параметры течения зависят от переменной / = . фиксируя, I = const получаем семейство прямых в пространстве t, х, вдоль которых параметры течения сохраняют постоянное значение.

Семейство прямых в пространстве t, х, определяющих положение автомодельной волны, представлено на h t рис.4 для различных значений некоторой безразмерной

Рис.4 скорости волны / (/„,/, ,/2). Вдоль этих линий для фактор - системы параметры течения постоянны.

Рассмотрим несколько характерных значений /.

I. Пусть скорость волны 1=0. Данный случай может иметь место при: a) t = оо - окончание процесса, б) л: = 0 - вход потока в трубу.

II. Пусть скорость волны имеет значение I = со. Тогда данное условие выполняется при а) конец бесконечно длинной трубы (х —» оо), б) начальный момент времени {t —» 0 ).

III. В случае 1=1 скорость волны и скорость движения газа одинаковы.

IV. / = у^ - движение автомодельной волны близко к движению звуковой волны

И бегущие, и автомодельные волны объединяет то, что в оба вида решения входит скорость перемещения волны: для автомодельных волн - I, для бегущих - а. Вид волны зависит от начальных условий.

В целом, о решениях указанного класса можно сказать, что при определенных начальных и краевых условиях существуют линии в пространстве время — пространственная координата, вдоль которых некоторые параметры течения остаются постоянными величинами. Фактически, это означает, что вдоль этих линий возмущения передаются с постоянной скоростью.

Изучению волн посвящены работы многих авторов. Так, например, в книге Виноградовой М.Б., Руденко О.В., Сухорукова А. П. «Теория волн» [12] изложены общие вопросы теории волн различной физической природы (звуковых, электромагнитных и т.д.). Рассмотрены закономерности распространения волн в линейных и нелинейных средах. Большое внимание уделено изложению различных математических методов анализа волновых уравнений. В работе Островского Л.А., Потапова А.И. «Введение в теорию модулированных волн» [59] рассматриваются линейные и нелинейные волны. Обсуждаются примеры волновых процессов в физике плазмы, электродинамике, акустике, гидродинамике и теории упругости.

Как уже было отмечено, в настоящей работе рассматриваются волновые процессы, возникающие при одномерном нестационарном течении вязкого сжимаемого газа. Один из методов анализа уравнений, определяющих структуру и характеристики течения жидкости и газа -групповой анализ дифференциальных уравнений [51,52,57,66].

Понятие группы ценно для механики жидкости и газа в трех отношениях. Во-первых, это понятие помогает математически обосновать моделирование с помощью инспекционного анализа, который более соответствует сути дела, чем обычно применяемый анализ размерностей.

Во-вторых, с помощью понятия группы можно проверить справедливость математических теорий механики жидкости и газа даже в тех случаях, когда невозможно проинтегрировать, теоретически выведенные, уравнения в частных производных. Здесь теория групп позволяет провести качественный анализ возможных решений. В-третьих, теория групп дает алгоритм упрощения математической постановки задачи. Следует отметить, что теория непрерывных групп преобразований теснейшим образом связана с вопросом интегрирования дифференциальных уравнений изначально с момента ее создания. На эту связь впервые указал норвежский математик С. Ли. В работах С. Ли, его учеников и последующих работах была сформулирована и разработана теория, позволяющая ввести понятие группы, допускаемой системой дифференциальных уравнений, т.е. были заложены основы поиска, так называемых, инвариантных решений уравнений.

В настоящее время направление исследований, связанное с использованием аппарата теории групп Ли, для анализа структуры множества решений дифференциальных уравнений и их классификация, при наличии произвольных непрерывных функций в уравнениях, получило название группового анализа дифференциальных уравнений.

Методы группового анализа получили широкое распространение в задачах механики жидкости и газа. Работы Л.В. Овсянникова и его последователей, например [25] и другие показали перспективность этих исследований и их большое прикладное значение. Одни из первых работ по исследованию групповых свойств систем уравнений механики жидкости и газа в нашей стране были выполнены Ю.Н. Павловским [63], Пухначевым В.В. [1], C.B. Хабировым [82]. В г. Казани В.Г. Павловым [60-62], а также К.Г. Гараевым [15], А.Н. Кусюмовым [27,28].

Одним из важных результатов приложения группового анализа к системам уравнений в частных производных является возможность сведения исходной системы уравнений к фактор - системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Во многих случаях численное интегрирование системы обыкновенных дифференциальных уравнений не представляет трудностей и решение фактор — системы может быть получено с высокой точностью в заданном интервале интегрирования. Считается, что решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений можно считать точным решением. Однако, в некоторых случаях интегрирование фактор - системы обыкновенных дифференциальных уравнений может быть связано с определенными трудностями, обусловленными наличием, так называемых, особых решений. Поясним указанные обстоятельства, используя материал, изложенный в [18] на примере [13].

Система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка представляет собой соотношение между зависимыми переменными и их производными. Она имеет вид 1=1,.,п. (1)

Здесь в качестве ^ выбираются алгебраические функции с а {С",С"), ? является независимой переменной, точка обозначает производную по времени. Решением такого уравнения в одно связной области 1)(=С"хС при заданных начальных условиях (х0, } еО, которая удовлетворяет соотношению (1) и начальному условию х((а) = х(). Если матрица Якоби J{x,x) = дiF регулярна (то есть якобиан не обращается в нуль) в области Д. а С", то, используя теорему о неявной функции, система обыкновенных дифференциальных уравнений может быть локально записана в виде: х = в(х^) (2)

Пусть {jc0,/0} - точка в области D<zDxxC, в которой G аналитична. Тогда, по теореме Коши, существует единственное аналитическое решение х = x(t) в области D'aD.

Можно учесть п начальных условий х0 с помощью произвольных постоянных интегрирования и определить общее решение обыкновенных дифференциальных уравнений в области D'à D( в которой G аналитична) как решение с п произвольными постоянными интегрирования. В противоположность этому, частное решение — это любое решение, полученное при заданном значении, по крайней мере, одной произвольной постоянной. В точках, в которых якобиан является сингулярным или G не является голоморфной, могут существовать другие типы решений, называемые особыми решениями. Особое решение (1) удовлетворяет условию det(J(x,д;)) = 0. Особые не являются частными решениями, так как они не могут быть получены из общего решения с помощью подстановки значений произвольных постоянных.

Пример

Рассмотрим дифференциальное уравнение

3) ах

2/

Правая часть этого уравнения Зу/3 = f(x,y) = / (у) - непрерывная функция переменных (х, у) на всей плоскости, следовательно, выполнено условие (I)

I. функция /(х,у){то есть правая часть уравнения — = /(х,у)) dx непрерывно зависит от х,у,(х,у) е G.

Производная по у правой части (3)

Oll = 2уУг ду обращается в оо при у = О и, следовательно, не является непрерывной функцией на оси х. Покажем, что если начальная точка (х0,у0) лежит на оси л: , то есть

УЫ = О = Уо (4) то для начальной задачи (3), (4) нарушается свойство единственности ее решения.

Действительно, легко проверить, что решением задачи (3), (4) является кубическая парабола.

У = (х~х0У (5)

Им

В самом деле, - = 3(х-х0)2, а правая часть уравнения (3) равна сЬс

2/

3[(л;-л;0)3] . Следовательно, функция (5) удовлетворяет уравнению (3) и начальному условию (4): Х^о) = ОС другой стороны, прямая

У = 0 также удовлетворяет уравнению (3) и начальному условию (4). Таким образом, через любую начальную точку (л~0,0) проходят по крайней мере два решения у - (х-х0)3 = 0 и у = 0 уравнения (3). Мы видим, что вторая часть теоремы о единственности не имеет места для уравнения (3).

Другое направление развития теории непрерывных групп преобразований, применительно к дифференциальным уравнениям, - теория приближенных групп преобразований. Приближенные группы преобразований [6,24] • были введены в рассмотрение Н.Х. Ибрагимовым, В.А. Байковым, Р.К. Газизовым по аналогии с понятием приближенного решения для систем уравнений, содержащих малый параметр е. На основе аналога теоремы Ли для приближенных групп в [94-96] было развито инфинитезимальное описание приближенных одно-параметрических групп преобразований и выведены определяющие уравнения для построения приближенных симметрий уравнений с малым параметром.

Близкое к приближенному групповому анализу направление исследования дифференциальных уравнений с малым параметром рассматривалось также в работах В.И. Фущича и его коллег [80,81]. В этих работах под приближенной симметрией уравнений с малым параметром понималась точечная симметрия системы уравнений, полученной разложением зависимой по малому параметру.

Как уже было отмечено, в настоящей работе рассматриваются решения двух видов: бегущие и автомодельные. Хорошо известно, что этот класс решений является очень важным для газовой динамики, ему посвящены многие статьи и монографии, например [53,54]. При этом, как правило, исследуется газовая динамика невязких течений. В уравнение движения входят три зависимые переменные: р,\\ р и для замыкания системы уравнений вводится уравнение термодинамического процесса. В настоящей работе исследуются течения как невязкого, так и вязкого газа с учетом действия силы тяжести. Рассматриваются два вида термодинамических процессов: изотермический и изоэнтропический.

Целью данной работы является

- получение безразмерной модели одномерного нестационарного течения вязкого газа с учетом действия силы тяжести и сжимаемости газового потока (введение в математическую модель характеристического числа Маха); получение различных моделей течения вязкого газа в зависимости от числа Рейнольдса;

- проведение параметрических расчетов для различных режимов течения газа с учетом влияния вязкости, силы тяжести, числа Рейнольдса, характеристического числа Маха (получение точных решений, проведение приближенного группового анализа);

- построение и проведение анализа особых решений, возникающих при интегрировании уравнений одномерного нестационарного течения вязкого газа с учетом действия силы тяжести;

- применение метода одноволнового приближения для упрощения уравнений Навье-Стокса для одномерного нестационарного течения вязкого сжимаемого газа; исследование полученной модели как численно, так и аналитически.

Краткое содержание диссертации

Первая глава является вводной, дается постановка задачи, выводятся уравнения нестационарной газовой динамики с помощью осреднения по площади поперечного сечения канала.

Особенностью полученной в работе записи системы уравнений является то, что в нее как параметр входит характеристическое число Маха, определенное по начальным параметрам течения газа. Такая форма записи, позволяет доказать теорему о характерной дистанции распространения течения в трубе, при которой необходимо учитывать сжимаемость газового потока. Кроме того, математическая модель содержит слагаемое учитывающие вязкие свойства газа. Данное слагаемое принимает различный вид, в зависимости от исследуемого режима течения. Так, для чисел Рейнольдса 2300<Ке<10, можно воспользоваться формулой Блазиуса. Другая модель применяется в том случае, если сопротивление не зависит от числа Рейнольдса. И, кроме того, в работе получена степенная зависимость для больших чисел Рейнольдса на основе аппроксимации графических данных.

Во второй и третьей главах производятся параметрические расчеты для автомодельных и бегущих волн. Системы уравнений в частных производных при помощи группового анализа сводятся к системам обыкновенных дифференциальных уравнений. Следует отметить, что там, где невозможно получить точные аналитические решения, применяется метод приближенного группового анализа, а именно метод Фучища. Добавим, что расчеты приводятся для различных значений наклона трубопровода, числа Рейнольдса, характеристического числа Маха [30,32,33,41,42,43,].

Четвертая глава посвящена исследованию фактор - систем ОДУ, получающихся при изучении автомодельных волн. Исследуемые в работе системы обыкновенных дифференциальных уравнений относятся к классу систем, которые могут иметь неединственное решение. В разрешенной (относительно производных) форме правые части этих уравнений представляются в виде дроби, а, следовательно, уравнения могут иметь сингулярный характер. Наличие сингулярности при определенных краевых условиях приводит к появлению неединственности решений фактор - систем ОДУ. В литературе не уделяется достаточное внимание построению особых решений газовой динамики. Известен пример [38], где подобное решение построено для системы уравнений газовой динамики. В настоящей работе данный вопрос рассматривается в более полной постановке. Отметим, что более известна задача о существовании неединственных решений для однородных дифференциальных уравнений с нулевыми краевыми условиями (для уравнений второго порядка эта проблема известна как задача Штурма -Лиувилля). Данный вид неединственности решений системы дифференциальных уравнений известен как задача на собственные числа и собственные функции. В данной работе рассматривается другой вид неединственности, связанный с наличием сингулярности [29,33,34,44].

В пятой главе используется иной подход к упрощению системы Навье-Стокса: все параметры течения зависят только от одной пространственной координаты. При этом уравнения сводятся сначала к системе из двух уравнений, а далее с использованием одноволнового приближения к одному дифференциальному уравнению в частных производных второго порядка. Одним из примеров, иллюстрирующих существование скачков уплотнения, является широко известное в акустике уравнение Бюргерса, которое позволяет моделировать гладкие скачки вниз. При исследовании волновых процессов хорошо известны волновые явления, при которых имеет место увеличение основных параметров состояния среды (давления, плотности, температуры). Наиболее известными волновыми процессами подобного типа являются, так называемые, скачки уплотнения или ударные волны. Ударные волны возникают при взаимодействии сверхзвукового потока с обтекаемыми поверхностями. Резкий рост параметров состояния газовой среды объясняется значительным падением кинетической энергии потока. В то же время из литературы известны примеры волновых процессов, которые являются, в определенном смысле, обратными к скачкам уплотнения — волны разряжения. Они возникают, например, в случае подвижной трещины [77]. При движении трещины кроме первой волны разрежения, возникающей в начальный момент разрушения газопровода, в последующем будут непрерывно возникать новые волны. Так как в окрестности движущейся трещины скорость течения газа близка к скорости звука, скорость распространения этих волн может быть меньше скорости самой трещины и, по крайней мере, меньше скорости первой волны разрежения.

В заключении приводятся краткие итоги диссертационной работы и список используемой научной литературы.

Объем диссертации составляет 136 страниц.

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в работах [29,30,33,34,35].

Материалы диссертации докладывались и обсуждались:

1. На XVII Всероссийской межвузовской научно-технической конференции «Электромеханические и внутрикамерные процессы в энергетических установках, струйная акустика и диагностика, приборы и методы контроля природной среды, веществ, материалов и изделий». 2005г. Казань.

2. На всероссийской молодежной научной конференции с международным участием «VIII Королевские чтения». 2005г. Самара.

3. На XVIII международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях». Казань 2005.

4. На второй Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». 2005г. Самара.

5. На Международной молодежной научной конференции, посвященной 1000-летию города Казани «Туполевские чтения». Казань, 2005г.

6. На V Школе — семинаре молодых ученых и специалистов академика РАН В.Е. Алимасова «Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении». Казань, Россия, 2006 г.

7. На международном конгрессе «Нелинейный динамический анализ -2007», Санкт-Петербург, 2007.

8. На международной молодежной научной конференции, «XV Туполевские чтения». Казань, 2007г.

Выводы к главе:

1. Уточнен подход редукции исходной системы уравнений Навье — Стокса к одному уравнению на основе использования одноволнового приближения. В результате получено уравнение, которое отличается от обычно получаемого с использованием данного подхода уравнения Бюргерса.

2. Данное уравнение позволяет строить решения разрывного типа: при их>и2 - мгновенное опрокидывание волны, их<и2 -«растягивание» волны, что противоположно поведению разрывных решений для уравнения Бюргерса.

3. Полученное уравнение позволяет моделировать гладкие скачки вверх.

4. Приводятся результаты численного интегрирования. Показано, что для полученного уравнения восходящий и ниспадающий фронт волны движутся с более высокой скоростью. Кроме того, нисходящая часть волны с увеличением времени становится более крутой.

Заключение

В заключении содержатся основные результаты выполненной работы.

1. Получены математические модели различных режимов течения газа, которые отличаются способом учета вязкости течения, числа Рейнольдса и характером термодинамического процесса.

2. Для стационарного и квазистационарного режимов при малых числах Маха М0 характерная длина трубопровода определяется величиной

2 (£> - диаметр трубопровода), для которой изменение плотности газа существенно.

3. Предложена безразмерная форма уравнений одномерного нестационарного течения вязкого газа с учетом характеристического числа Маха М0 и коэффициента Буссинеска .

4. Ряд рассматриваемых моделей течения газа позволил получить точные решения в виде автомодельных волн и бегущих волн. В тех случаях, где получить точные решения не представлялось возможным, применялся приближенный групповой анализ, а именно метод Фущича.

5. Проведены параметрические расчеты, в ходе которых получены зависимости изменения скорости и плотности газа от временной и пространственной координат при различных значениях наклона трубопровода, характеристического числа Маха, числа Рейнольдса.

6. Предложен метод построения особых решений уравнений одномерной нестационарной газовой динамики, который может быть распространен на широкий класс задач.

7. Показано, что при некоторых краевых условиях существует неединственность решений уравнений рассматриваемого класса. Получены решения систем на различных опорных решениях при изоэнтропическом течении вязкого сжимаемого газа. Показано, что о результаты интегрирования, полученные на нетривиальных решениях отличаются от результатов, построенных на тривиальных решениях.

8. Показано, что наличие конечного интервала существования решений уравнений одномерной нестационарной газовой динамики связано с сингулярностью (наличием особенности) уравнений.

9. Уточнен подход редукции исходной системы уравнений Навье -Стокса для одномерного нестационарного течения к одному уравнению на основе использования одноволнового приближения. В результате получено уравнение, которое отличается от обычно получаемого с использованием данного подхода уравнения Бюргерса. Приведены как аналитические, так и численные решения обоих уравнений.

10. Полученное на основании одноволнового приближения уравнение позволяет строить решения разрывного типа: либо с мгновенным опрокидыванием волны, либо с - «растягиванием» волны. Данные решения аналогичны разрывным решениям для уравнения Бюргерса, но получаются для краевых условий иного типа.

1. Андреев В.К., Капцов О.В., Пухначев В.В., Родионов A.A. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике. - Новосибирск: ВО Наука, 1994.-319с.

2. Аржанников Н.С., Мальцев В.Н. Аэродинамика. — М.: Оборонгиз, 1952. -480 с.

3. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1979.-432 с.

4. Байков В.А., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Приближенные симметрии уравнений с малым параметром. Препринт / Институт прикладной математики АН СССР. -М., 1987. -N 150. -28 с.

5. Байков В.А., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Приближенные симметрии // Матеем. Сборник. 1988. - Т. 136, вып. 4. - С. 435 - 450.

6. Байков В.А., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Приближенные группы преобразований // Дифференциальные уравнения. 1993. - Т.29, TV 10. - С.1712 - 1732.

7. Биркгоф Г. Гидродинамика. М.: Изд-во иностр.лит.1954. - 184 с.

8. Бирхгоф Г. Гидродинамика. М., ИЛ., 1963. 226 с.

9. Бондарев Э.А., Красовицкий Б.А. Температурный режим нефтяных и газовых скважин. Новосибирск: Наука, 1974. — 88 с.

10. Ю.Введение в аэрогидродинамику контейнерного трубопроводного транспорта. М.: Наука, 1986. - 232 с.11 .Вейль Г. Классические группы, их инварианты и представления. М., ИЛ.,1947.

11. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. М.: Наука.Главная редакция физико-математической литературы, 1979. -384 с.

12. Вишик М.И. Поля направлений и им соответствующие траектории // Соросовский образовательный журнал. — 1996. №2, С. 111-116.

13. Воеводин А.Ф. Газотермический расчет потоков в простых и сложных трубопроводах // Изв. СО АН СССР. Сер.техн. 1969. - №8, вып.2. -С.45-55.

14. Гараев К.Г. Группы Ли и теория Нетер в проблеме управления с приложениями к оптимальным задачам пограничного слоя. Казань: Изд-во Казан.гос.техн.ун-та, 1994 - 240 с.

15. Гинзбург И.П. Прикладная гидродинамика. JL: Изд-во ЛГУ, 1958. -338 с.

16. П.Говорухин В., Цибулин В. Введение в Maple. М., Мир, 1997 655 с.

17. Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. — М.: Физматгиз, 1963.-632 с.

18. Ибрагимов Н.Х. Инвариантные вариационные задачи и их законы сохранения// Теорет. и мат.физика. 1969. - Т.1, N3. - с.350 - 359.

19. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. — М.: Наука, 1983. 280с.

20. Кузин Ф.А. Кандидатская диссертация. Методика написания, правила оформления и порядок защиты: Практическое пособие для аспирантов и соискателей ученой степени. 6-е изд., доп. - М.: Ось-89, 2004. - 224 с.

21. Кусюмов А.Н, О голономных связях и некоторых точных решениях уравнений одномерного нестационарного течения газа// Прикладная математика и механика. 2001.- Т.65, N 3. - с.449-455.

22. Кусюмов А.Н. Симметрии внешних дифференциальных уравнений и инвариантные связи с приложением к некоторым задачам механики жидкости и газа. Казань: Изд-во КГТУ им. А.Н. Туполева. - 2003. -140 с.

23. Кусюмов А.Н., Павлов В.Г., Макарова Л.А. О некоторых решениях уравнений одномерного нестационарного течения сжимаемого газа с учетом действия силы тяжести// Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. -2007. N2,- с.45-49.

24. Кусюмов А.Н., Макарова Л.А. Одномерное неустановившееся течение вязкого газа с учетом действия силы тяжести// Математическое моделирование и краевые задачи: Труды второй Всероссийской научной конференции. Самара - 2005г.

25. Кусюмов А.Н., Макарова JI.A. Об одноволновом приближении для одномерной акустической бегущей волны в вязком газе// Известия вузов. Авиационная техника. -2007. N 2 -с. 19 - 22.

26. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. -736 с.

27. Лапин Ю.Ф., Стрелец М.Х. Внутренние течения газовых смесей. М.: Наука. Гл.ред. физ.-мат. Лит., 1989. - 368 с.

28. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М.,Л.: Гос.изд. технико-теоретической литературы, 1950. - 676 с.

29. Ландау Л.Д., Е.М. Лифшиц. Механика сплошных сред. Гостехиздат, 1958.

30. Липаев A.A., Хисамов P.C., Чугунов В.А. теплофизика горных пород нефтяных месторождений. М.: ООО «Недра-Бизнесцентр», 2003. -304 с.

31. Макарова Л.А. Одномерное неустановившееся течение идеальной жидкости с учетом действия силы тяжести// Сборник материалов XVII Всероссийской межвузовской научно-технической конференции

32. Электромеханические и внутрикамерные процессы в энергетических установках, струйная акустика и диагностика, приборы и методы контроля природной среды, веществ, материалов и изделий» Казань -2005.

33. Макарова JI.A. Об одной задаче моделирования течения газа в трубопроводе// Сборник трудов Всероссийской молодежной научной конференции с международным участием «VIII Королевские чтения». -Самара 2005.

34. Макарова JT.A. Одномерная бегущая волна в вязком газе// XV Туполевские чтения: Международная молодежная научная конференция, 9-10 ноября 2007 года: Материалы конференции. Том I. Казань: Изд-во Казан, гос. техн. ун-та. 2007. 245 с.

35. Мхитарян A.M. Аэродинамика. М.: Машиностроение. - 1976. - 448 с.

36. Неизотермическое течение газа в трубах/Васильев О.Ф., Бондарев Э.А., Воеводин А.Ф., Каниболотский М.А. Новосибирск: Наука, 1978. -128 с.

37. Некрасов Б.Б. Гидравлика и ее применение на летательных аппаратах. М.: Машиностроение. - 1967. - 366 с.

38. Нелинейные волны. Сб.статей: Пер. с англ./Под ред. A.B. Гапонова и JI.A Островского. - М.: Мир, 1977.

39. Нелинейная теория распространения волн. Сб.статей: Пер. с англ./Под ред. Баренблата. - М.: Мир, 1970.

40. Овсянников JI.B. Групповые свойства дифференциальных уравнений. — Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962. 240с.

41. Овсянников JT.B. Групповой анализ дифференциальных уравнений. -М.: Наука, 1978.-399с.

42. Овсянников J1.B. Программа «ПОДМОДЕЛИ». Газовая динамика// Прикладная математика и механика. 1994. - Т.58, - N4 — с.30 - 55.

43. Овсянников Л.В. Некоторые итоги выполнения программы «ПОДМОДЕЛИ» для уравнений газовой динамики/ЯТрикладная математика и механика. 1999. - Т.63, - N 3 — с.62 - 72.

44. Овсянников Л. В. Группы и инвариантно- групповые решения дифференциальных уравнений. ДАН СССР, т. 118, № 3,1958.

45. Павлов В.Г., Чепрасов В.П. Инвариантно-групповые свойства нелинейного оптимального процесса с распределенными параметрами// Прикладная математика и механика. 1968.- Т.32, N3.

46. Павлов В.Г. Об инвариантности оптимального процесса с распределенными параметрами// Прикладная математика и механика. — 1970 Т.34, iV4 — с.741.

47. Павлов В. Г. Исследование групповых свойств уравнений адиабатических сжимаемых взаиопроникающих двух сред. Труды, вып. 97, Математика и механика, 1968.

48. Павловский Ю.Н. Исследование некоторых инвариантных решений уравнений пограничного слоя//Ж. вычисл.мат и мат.физ. 1961 - N 2.

49. Пасконов В.М., Полежаев В. И., Чудов JI.A. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена. М.: Наука, 1984. - 286 с.

50. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М., 1964.

51. Понтрягин Л. Непрерывные группы. М., ГИТТЛ, 1954.

52. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 1961.

53. Промышленное газовое оборудование. Справочник / Е.А. Карякин, В.В. Тарасов, O.E. Парменов и др.; 340 Ред. Евгений Александрович Карякин,. Саратов: НИЦ ПГО «Газовик», 2003. - 624 с.

54. Пыхачев Г. Б., Исаев Р.Г. Подземная гидравлика. М.: Недра*. 1973. -360 с.

55. Рахматуллин Х.А., Сагомонян А. Я. Газовая динамика. М.:. Высшая школа. - 1965. - 722 с.

56. Рожденственский Б. Л., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука, 1978. -688 с.

57. Самарский A.A., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: Едиториал УРСС, 2004. 424с.

58. Седов Л. Методы подобия и размерности в механике. М., Гостехиздат, 1957.

59. Серрин Дж. Математические основы классической механики жидкости. -М.:ИЛ, 1963.

60. Справочник по теплопроводности жидкостей и газов. М.: Энергоатомиздат, 1990. - 348с. - (I. Варгафтик, Натан Борисович и др.).

61. Станюкович К.П. Неустановившееся движение сплошной среды. М.: Наука, 1971.-854 с.

62. Термогидродинамика систем добычи и транспорта газа/ Бондарев Э.А., Васильев В.И., Воеводин А.Ф. и др. Новосибирск: Наука. 1988. - 272 с.

63. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны/ Пер. с англ. под ред. А.Б. Шабата. М.: Мир, 1977. 365с.

64. Фабер Т.Е. Гидроаэромеханика. М.: Постмаркет, 2001. - 560 с.

65. Фущич В.И. О новом методе исследования групповых свойств уравнений математической физики // Докл. АН СССР. 1979. - Т. 246, N4. -С. 846-850.

66. Фущич В.И., Штелень В.М. О приближенной симметрии и решениях нелинейного волнового уравнения с малым параметром // Докл. АН УССР. Сер. А. 1989. -N8.C. 18-21.

67. Хабиров C.B. Одно инвариантное решение уравнений мелкой воды//Сб. «Динамика сплошной среды», Новосибирск. 1969. Вып.З. -С.82-90.

68. Христанович С. А. Движение газа с большими дозвувковыми скоростями. Труды ЦАГИ, 1935.

69. Чарный И.А. Подземная гидрогазодинамика. М.:Гостоптехиздт, 1963. -396 с.

70. Чарный И.А. Неустановившееся движение реальной жидкости в трубах. М.: Недра, 1975. 296 с.

71. Штеренлихт Д.В. Гидравлика: Учеб. для вузов. В 2-х кн.: Кн.1. - 2-е изд., перераб. и доп. -М.: Энергоатомиздат, 1991. - 351с.

72. Яненко H.H. Бегущие волны системы квазилинейных уравнений// Докл. АН СССР, 1956. T.109.N 1.С. 44-47.

73. Arnovsky J.S., Jenkins R. Unsteady flow of gas through porous media, one-dimensional case // Proc. First U. S. Math. Congr. Appl. Mech. Engrs. -N.Y.,1952. P. 763-771.

74. Bruce J.H., Rachford H.H. Calculation of unsteady-state gas flow through porous media//trans. SPE of AIME. 1953. - V.198. - P.79-92. \

75. CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations, Ed. N.H. \ Ibragimov, CRC Press, Boca Raton, Florida, USA.// Vol. 1: Symmetries, ^ Exact Solutions and Conservations Laws, 1994.

76. CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations, Ed. N.H. Ibragimov, CRC Press, Boca Raton, Florida, USA.// Vol. 2: Applications in Engineering and Physical Sciences, 1995.

77. CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations, Ed. N.H. Ibragimov, CRC Press, Boca Raton, Florida, USA.// Vol.3: New Trends in theoretical Development and Computation Methods, 1996.

78. Dukler A. E. Characterization, effects and modeling of the wave gas-liquid interface // Heat and mass transfer, Haifa, 1971. Vol. 6. P.207 234.

79. Gazizov R.K. Lie algebras of approximate symmetries// Nonlinear Mathematical Physics. 1996. - Vol.3, N 1-2. - P. 96 - 101.