Об автомодельных решениях интегральных уравнений теории конвекции над точечным источником тепла тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ
|
Бородин, Олег Олегович
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2000
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.03
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
г-о
2 о г,оп
Бородин Олег Олегович
Об автомодельных решениях интегральных уравнений теории конвекции над точечным источником тепла
Специальность 01.01.03 - Математическая физика
Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
МОСКВА 2000
Работа выполнена на кафедре математического анализа Московского государственного института электроники и математики (технического университета).
Научный руководитель
Официальные оппоненты
Кандидат физико-математических наук, доцент А. Н. Вульфсон Доктор физико-математических наук, профессор Г. А. Омельянов Кандидат физико-математических наук, доцент В. А. Черкашин
Ведущая организация
Московский государственный авиационный институт (технический университет), кафедра физики
Защита диссертации состоится 19 декабря в 16 часов на заседании Диссертационного Совета К 063.68.05 в Московском государственном институте электроники и математики (техническом университете) по адресу: 109028, г. Москва, Б. Трехсвятительский переулок, д. 3/12, Зал Ученого Совета.
С диссертацией можно ознакомится в библиотеке МГИЭМ
Автореферат разослан ЛЬ Н 03$ р Я 2000 года Ученый секретарь
Диссертационного Совета К 063.68.05
кандидат физико-математических наук
Шнурков П. В.
Общая характеристика работы
Актуальность темы
Настоящее исследование связано с построением точных автомодельных решений интегральных уравнений теории конвекции Буссинеска, соответствующих струйным конвективным течениям над точечным источником тепла в нейтральной и устойчиво стратифицированной среде. Рассмотренная задача представляет прикладной интерес как для расчета распространения примесей, сопутствующих развитию конвективной струи, так и для независимого определения мощности источника тепла по внешним наблюдениям распространения струи в атмосфере.
В естественно-природных условиях конвективные струи наблюдаются кате в атмосфере — над каменистыми участками пустыни, асфальтированными дорогами и при извержении вулканов, так и в водной среде - при таянии льда в пресной и океанической воде. Конвективные струи над источниками тепла возникают в ситуациях, когда подстилающая поверхность носит существенно неоднородный характер. При этом определенные участки земли нагреваются значительно сильнее своего окружения, порождая над собой восходящие струйные движения. Существенно, что конвективные струи черпают энергию из внешнего источника тепла, поэтому поток тепла в них при приближении к подстилающей поверхности стремится к некоторому положительному значению. Подобные струи наблюдаются над каменистыми участками пустыни, асфальтированными дорогами, проложенными по степи, и т. д.
Конвективные струи в водной и воздушной среде могут иметь не только естественное, но и искусственное происхождение. Известно, что некоторые типы повреждений подводных газопроводов сопровождаются дозвуковыми утечками природного газа. Существенно, что в окрестности
повреждений образуется облако, состоящее из множества мелких пузырьков, подъем которых на поверхность определяется действием архимедовых сил. Поэтому описание «пузырькового режима» утечки газоконденсата может быть реализовано в рамках теории нестационарных конвективных струй. Другим примером реализации плавучей струи в водной среде служит локальный выброс на поверхность водоема более тяжелой жидкости. «Вынужденные» искусственные струи в атмосфере как правило связаны с промышленными тепловыми источниками, типа коллекторов сгорания, и часто сопровождаются выбросами пассивных примесей, позволяющих визуализировать струю.
В свете всего вышеизложенного ясно, что построение гидродинамической модели конвективной струи представляет собой достаточно важную практическую задачу.
Цель работы
1. Исследовать распространение верхней границы струи в зависимости от мощности точечного теплового источника в устойчивой и нейтрально стратифицированной атмосфере на основе системы уравнений конвекции Буссинеска в рамках интегрального приближения пограничного слоя.
2. Найти классы точных решений, соответствующих автомодельным режимам развития конвективной струи над точечными источниками тепла, мощность которых изменяется во времени по заданным законам.
Научная новизна
• Рассмотрена новая интегральная модель нестационарной вертикальной конвективной струи, включающая универсальное уравнение распространения верхней границы конвективного фронта, распространяется в устойчиво и нейтрально стратифицированной среде.
• Для нейтрально-стратифицированной среды построен класс автомодельных решений, соответствующих точечным источникам тепла, мощность которых изменяется мгновенно, а также по степенному и экспоненциальному законам, и выполнено их сопоставление с экспериментами.
• Для устойчиво стратифицированной среды построено стационарное автомодельное решение, соответствующее точечному источнику тепла постоянной мощности, и выполнено его сопоставление с экспериментом.
Научное и практическое значение
• Выполненные исследования позволяют выделить два асимптотических режима развития конвективной струи над точечным стационирую-щим источником тепла в устойчиво стратифицированной среде. Асимптотический режим на малых временах соответствует развитию нестационарной конвективной струи в нейтрально стратифицированной атмосфере. Асимптотический режим на больших временах соответствует развитию стационарной конвективной струи в устойчиво стратифицированной атмосфере.
• Результаты расчетов по нестационарной конвективной модели в нейтральной атмосфере позволяют однозначно определить высоту струи в зависимости от интегральной мощности теплового источника.
• Показано, что предложенная нестационарная модель содержит класс автомодельных решений, соответствующих источникам тепла, мощность которых изменяется во времени мгновенно, а также по степенному и экспоненциальному закону.
• Результаты расчетов по стационарной конвективной модели в устойчиво-стратифицированной атмосфере однозначно определяют высоту струи в зависимости от мощности теплового источника и атмосферной стратификации. Приведенные соотношения позволяют вычислить мощ-
ность теплового источника по значениям температуры на заданном расстоянии от промышленного объекта.
• Численно получены универсальные автомодельные профили вертикальной скорости и температуры вдоль оси стационарной струи, а также аналитически построена их асимптотика. Представленные результаты весьма существенны при практическом исследовании температурных техногенных выбросов.
Апробация работы
Основные результаты диссертации были доложены на конференциях молодых ученых МГИЭМ (1996-1999 г.г.), семинарах Института проблем нефти и газа РАН (2000 г.) и Института водных проблем РАН (2000 г.), а также на международной конференции «Физика атмосферного аэрозоля» (Москва, апрель 1999 г.).
Структура и объем работы
Диссертация состоит из введения, двух глав и заключения. Она содержит 83 страницы машинописного текста, 15 рисунков и 1 таблицу. Список литературы содержит 99 наименований.
Содержание диссертационной работы
Во введении обосновывается актуальность выбранной темы и приводится обзор литературы, связанной с теоретическим и экспериментальным исследованием проникающей конвекции.
В первой главе предложена интегральная модель нестационарной конвективной струи в однородной среде, включающая универсальное уравнение распространения верхней границы конвективного фронта в зависимости от мощности точечного теплового источника. Рассмотрен класс автомодельных решений, соответствующих точечным источникам тепла,
мощность которых изменяется во времени мгновенно, по степенному и экспоненциальному законам. Выполнено сопоставление с известными экспериментальными данными о профилях вертикальной скорости и температуры на оси струи.
Пусть t - время; г, ср, z -цилиндрическая система координат, ось z которой противоположна ускорению свободного падения g. Для описания конвективной струи использовалась система уравнений конвекции Бусси-неска для идеального газа. Пусть 0а = const - фоновое статическое значение потенциальной температуры сухого воздуха, 0 - локальная потенциальная температура воздуха. В соответствии с уравнениями теории конвекции введем 9 — локальную безразмерную потенциальную температуру1
а
-те- о
Для построения приближенного решения системы уравнений Бусси-неска в однородной среде используется интегральный метод Кармана— Полыаузена. В рамках этого подхода предполагается, что неизвестные функции скорости IV, и и безразмерной потенциальной температуры 0 для осесимметричной струи можно аппроксимировать соотношениями с разделяющимися переменными:
и{г,х,1) = • -)г - /„(г/Л) • ¿г, (2)
дг г'0
0(г,.г,О = в(г,О-/в(г/Л).
1 Потенциальная температура идеального газа 9 связана с его энтропией з соотношением $ = ср 1пв, гае ср -теплоемкость идеального газа при постоянном давлении. С приемлемой точностью можно считать, что 0 есть безразмерна* пульсация температуры воздуха, т.е. 8 = \Т-Т,}1Т,, где Т- локальная температура воздуха; 7^(2) - фоновое статическое значение температуры сухого воздуха, удовдетво-
2
вяющее соотношению —- = ——.
<Ь с.
Здесь $(2,1), в(г^) - амплитуды вертикальной скорости и безразмерной потенциальной температуры на оси струи, и /6 - заданные функции.
Для возможности сопоставления с уже существующими моделями используем соответствующие экспоненциальные аппроксимации горизонтальных профилей в соответствии с известными экспериментальными данными:
|/8(Е) = ехр(-^2),
где А,„, - заданные коэффициенты.
Подставляя (2) в систему уравнений Буссинеска, упрощенную с помощью приближения вертикального пограничного слоя, и усредняя по площади исходные уравнения с учетом (3), получим систему амплитудных уравнений в однородной среде
(3)
8t 2 дг
JLsdz.
-' UiV 8t
1
1 + a g8z
■ rrt/Ji — u,
(4)
где - постоянный коэффициент.
Соответствующие краевые условия для системы (4) имеют вид Кт[тг/гг(2,0] = 0,
151....., а. (5)
J пк1 1 + а„
где S0( t)>0, мощность точечного источника тепла .
Для замыкания системы уравнений (4), (5) использовано следующее уравнение радиуса струи:
Rz при 0 <z<,h(t), при h(t) й z £ оо,
где ая - коэффициент углового расширения струи, величина которого варьируется в диапазоне 0.1 - 0.2; И(1) - высота верхней границы конической поверхности струи, соответствующая конвективному фронту.
В качестве соотношения, описывающего распространение конвективного фронта в однородной среде, принято уравнение
Учитывая наличие особенности решения в начале координат, связанной с воздействием точечного источника тепла, целесообразно описать асимптотическое решение задачи о конвективной струе вблизи источника.
Пусть 2. - г/ки) - безразмерный параметр. Можно показать, что квззистацнонарное решение, уравнений (4) — (б) имеет вид
. , .. ай .. .
"„О, 0 = —и-Дг,), си
(8)
Здесь безразмерные функции м>', 9* и Д. определяются аналитическими соотношениями
[Л J
■ 1-а а„^.21 , (9)
. (i+O '
где S'0(t) = ±-^KgSoit)/
- нормированная мощность потока
тепла.
Далее для сопоставления с экспериментальными данными общее решение нестационарной задачи нормировано на квазистационарное решение (8), (9).
Автомодельные режимы распространения конвективного фронта были получены, как частные решения (7). При этом из уравнения (7) следует, что:
для источника тепла, мощность которого изменяется во времени мгновенно,
гв=о, 0, О,=сош=>
й(0=
/ 2 V'2
vAoy
(gO,)"'"2;
для источника тепла, мощность которого изменяется во времени по степенному закону,
t0 = 0, S0(t) = Qq-q-f-\q>^ Qq= const =>
so, ai)
Kt)=<
V^oy
,(?«) I
(ff/2 + 1 У
для источника тепла, мощность которого изменяется во времени по экспоненциальному закону
^0 = -°°. S0(t) = QB-q-exp(qt), Qa = const =>
-.1 л11*
^ - 1 (12)
• h(t) = .
У
-ехр(9/)
Форма (12) не была получена ранее и является автомодельным соотношением второго рода, т.к. не может быть построена только из соображений теории размерности. Соотношение (12) следует интерпретировать
как «огибающую» семейства степенных решений (11) при /0-*-оо и <7_>н-оо.
На основании выделенных режимов (10) - (12) автомодельные решения системы (4) - (6) определяются в виде
(г.),
си
(13)
где №',0*, Я. - безразмерные функции только одного аргумента г..
Подстановка (13) в систему (4) приводит при 0 < г, < 1 к системе обыкновенных дифференциальных уравнений
м/
'Д.2 - г. —(м,'Л2)+-—мГ^Я2 = аЛ2, <к.х >2 (к. *
\ ¿г ) \ & ) ск.х ' 1 + а2 (к.
Яаяг„
Подстановка (13) в систему (5) приводит к краевым условиям, вы раженным через нормированный поток :
К ' а „к I Vа()
чз\
(15)
В случае степенных источников тепла (11) система автомодельных уравнений (14) примет вид
Соответствующие граничные условия для степенных источников тепла записываются в виде
2.-М I >
(17)
Аналогичные соотношения построены как для мгновенного, так и для экспоненциального источника тепла. При этом коэффициенты в соответствующих уравнениях (14), и краевых условиях (15) могут быть получены предельным переходом при О и д ->°о соответственно. В случае мгновенного источника тепла краевые условия (17) должны быть дополнены условием мгновенного тепловыделения
При этом соответствующие уравнения (16) - (18) допускают аналитическое решение.
Заметим, что в области достаточно больших показателей степени источников 20<<7<со коэффициенты в (14), (15) можно считать практически постоянными. Таким образом, все автомодельные струи с достаточно большими показателями степени источников имеют практически идентичные профили скорости и температуры, соответствующие экспоненциальному источнику.
Рассмотрено численное решение автомодельных уравнений (16), (17) в случаях д=3 и д=4. Для представления результатов были использованы безразмерные функции <р„ и фв, зависящие от аргумента г.
■.¡¡в-га'г±=а0.
(18)
о о
у, м>.
00 • (19)
. ао
Результаты расчетов нормированной скорости и потенциальной температуры по предложенной модели сопоставлены с известными экспериментальными данными.
Во второй главе предложено списание распространения конвективной турбулентной струи над точечным источником тепла в устойчиво-стратифицированной атмосфере с помощью интегральной гидротермоди-памической модели и методов теории подобия и размерности.
Выполненные для устойчиво-стратифицированной среды исследования позволяют выделить два асимптотических режима развитая конвективной струи над точечным стационирующим источником тепла:
а) асимптотический режим на малых временах соответствующий развитию нестационарной конвективной струи в нейтрально стратифицированной среде;
б) асимптотический режим на больших временах соответствующий развитию стационарной конвективной струи в устойчиво стратифицированной среде.
В рамках стационарной численной модели получены универсальные автомодельные профили вертикальной скорости и температуры вдоль оси струи, а также аналитически построена их асимптотика.
Показано, что атмосферная стратификация
практически не оказывает влияния на динамические параметры нижней части струи и существенно влияет на динамику распространения верхней части струи. Кроме того, установлено алгебраическое соотношение, связывающее вертикальную
протяженность струи в зависимости от мощности источника тепла и стратификации.
В качестве исходной системы примем уравнения конвекции Бусине-ска в стратифицированной среде. Пусть 0 - фоновое статическое значение потенциальной температуры сухого воздуха, © - локальная потенциальная температура воздуха. Введем 0 — локальную безразмерную потенциальную температуру и Г - параметр стратификации:
о-Т5- ' в«
© 0 си
Для построения приближенного решения системы уравнений Бус-синеска используем интегральный метод Кармана-Польгаузена. В рамках этого подхода предполагается, что неизвестные функции скорости м>, и, безразмерной потенциальной температуры 8 можно аппроксимировать соотношениями с разделяющимися переменными (2). В качестве аппроксимации горизонтальных профилей /„ и /в примем соотношение (3).
Подставляя (2) в систему уравнений Буссинеска, упрощенных с помощью приближения вертикального пограничного слоя, и усредняя по площади исходные уравнения с учетом (3), получим систему амплитудных уравнений в устойчиво стратифицированной среде
я 1 я 1 (21)
£-вя2+_£ аёл2=—
1 + а^Зг а?
где аг = - постоянный коэффициент.
Соответствующие краевые условия для системы (21) примут вид
(22)
Цт№(г,о]=¿^я А(0-
г-Ю I-
Далее будет предполагаться, что зависимость от времени мощности точечного источника тепла Б0(имеет следующие асимпотики:
[50(со) при Г »1.
Для замыкания системы уравнений (21), (22) использовано уравнение для радиуса струи, аналогичное (6):
й(2,ОЧ42 ПРИ (24)
[О при А(0<г<«о.
Очевидно, что в общем случае высота струи непременно зависит от потока плавучести и частоты Брента-Весселя ^Г^12. Поэтому без ограничения общности можно считать что
= 0. (25)
^ ш а / )
В общем случае вид функции ^ неизвестен. Поэтому далее рассмотрены только асимптотические режимы на малых и больших временах, т.е. при 1 «1 и />>1, позволяющие конкретно определить вид соотношения (25).
Очевидно, что на малых высотах эффекты стратификации малы, поэтому на малых временах при ? «1 в уравнениях (21) следует пренебречь атмосферной стратификацией Г и использовать вместо (25) уравнение распространения конвективного фронта (7).
При стационирующих краевых условиях (22) турбулентное трение в полных уравнениях конвекции обеспечивает существование стационарного решения. Так как на больших временах при 1 »1 мощность потока тепла стационарна, то соответствующие амплитудные уравнения (21) примут вид
1+аг& аг
Уравнения (26) при г»1 следует-дополнить евдцшнарньшис, краевыми условиями:-
1т[йй>Д2(;т)]==0,
г-*>1. -> к к 1+а„
(27)
г
При этом для радиуса струи справедливо соотношение
й(г,0 = аяг при 0<г^А, • (28)
где А -стационарная высота струи.
В устойчивой атмосфере высота стационарной струи А не зависит от времени и конечна, т.к. по мере подъема струи сила плавучести постоянно убывает, а затем становится отрицательной. Высоту струи А в этих условиях можно определить из соображений теории подобия. Пусть Л - уровень на котором вертикальная скорость струи обращается в ноль #(А) = 0. Учитывая, что вертикальная протяженность стационарной струи полностью определяется потоком плавучести gSй и частотой Брента-Весселя
, на основании теории размерности можно утверждать, что
А = (29)
л
где с„ - некоторая числовая постоянная, фиксированная в диапазоне изменения параметров теплового источника и стратификации реальной атмосферы.
Учитывая наличие особенности решения в начале координат, свя-
занной с воздействием точечного источника тепла, целесообразно описать асимптотическое решение задачи о конвективной струе вблизи источника,
т.е. при Г=0. Соответствующие уравнения (26)-{28) при Г=0 допускают аналитическое решение
3
—с 2
3 я, Я - _ (30)
6.(2)»^!«,^'а?. А
Л(г) = айг.
Пусть г, = г!\. Для представления результатов использованы методы теории подобия и размерности, аналогичные принятым в первой главе. Решение стационарной задачи (26)-{28) в устойчиво стратифицированной атмосфере нормировано на аналититическое стационарное решение стационарной струи в нейтральной среде (30).
— -=Ф„(г.), Ь'тт (2,) = 1,
Г.-+0
(31)
0(2)
Пт %(?,)=!,
10-«
где ф„,ф(,- универсальные безразмерные функции.
Подстановка (31) в уравнения (26) позволяет построить систему обыкновенных дифференциальных уравнений для функций <р„ и срв. Расчеты выполнялись по двухслойной конечно-разностной схеме Рунге-Кутга. В результате вычислений построены универсальные профили и Фе вертикальной скорости и температуры конвективной струи. Численные эксперименты показывают, что в области 0< г/А <1/3, значения скорости, температуры в струе практически идентичны соответствующим параметрам струи, распространяющейся в нейтральной атмосфере, т.е. не зависят от атмосферной стратификации. Таким образом, стратификация среды существенно влияет на динамику распространения верхней часта струи.
Аналитический вид универсальных функций (р„ и <р8 представлен также разложениями в ряды по степеням безразмерной высоты
|ф«.(г») = 1-0-1720г! - 0.4440x7 -... '
|фв(г.)=1-1.0322^] - 4.291-.. . Приемлемое соответствие численных расчетов с экспериментальными данными указывает на адекватность предложенной гидродинамической модели.
В заключении кратко сформулированы основные результаты диссертации.
В результате выполнения работы была создана нестационарная интегральная гидродинамическая модель распространения конвективной струи над точечным источником тепла в нейтрально и устойчиво стратифицированной среде. Выполненные для устойчиво-стратифицированной среды исследования позволяют выделить два асимптотических режима развития конвективной струи над точечным стационирующим источником тепла:
а) асимптотический режим на малых временах соответствующий развитию нестационарной конвективной струи в нейтрально стратифицированной среде;
б) асимптотический режим на больших временах соответствующий развитию стационарной конвективной струи в устойчиво стратифицированной среде.
Кроме того, разработаны конечно — разностные методы решения соответствующих асимптотических режимов.
Основными результатами настоящей работы являются: • Для нейтрально стратифицированной среды предложена новая интегральная модель нестационарной вертикальной конвективной
струи, включающая универсальное уравнение распространения верхней границы конвективного фронта. Предложенная модель содержит класс известных автомодельных решений, соответствующих степенным источникам тепла. Кроме того, аналитические результаты работы позволяют расширить класс автомодельных решений на случай экспоненциальных и мгновенных точечных источников тепла. Выполненные численные расчеты обеспечивают вполне приемлемое соответствие с известными экспериментальными данными о профилях вертикальной скорости и температуры на оси струи. • Для устойчиво стратифицированной среды в условиях стационирующего источника предложена интегральная модель стационарной вертикальной конвективной струи. Результаты расчетов по стационарной конвективной модели однозначно определяют высоту струи в зависимости от мощности теплового источника и стратификации среды. Полученные соотношения позволяют вычислить мощность теплового источника по значениям температуры на заданном расстоянии от промышленного объекта. Показано, что развитие стационарной конвективной струи в устойчиво стратифицированной среде носит автомодельный характер. Численно получены универсальные автомодельные профили вертикальной скорости и температуры вдоль оси струи, а также аналитически построена их асимптотика.
Приведенные результаты весьма существенны при практическом исследовании высокотемпературных техногенных выбросов в водную и воздушную среду.
Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах: 1. Вульфсон А.Н., Бородин О.О. - К автомодельной теории распространения стационарной конвективной струи в устойчиво-
стратифицированной атмосфере над точечным источником тепла и пассивной примеси. //Метеорология и гидрология. 1999. №4. С.60-
2. Бородин О. О. - Распространение аэрозоля или пассивной примеси, связанное с развитием искусственной конвективной струи. Труды международной конференции «Физика атмосферного аэрозоля» (к 85-летию со дня рождения профессора Г.В.Розенберга) Россия. Москва. 12-17 апреля 1999 г.
3. О. О. Бородин, А. Н. Вульфсон - Автомодельные решения интегральных уравнений конвекции над точечными источниками тепла в однородной среде //М. МГИЭМ. 2000. 31 с.
68
Введение.
Глава 1. Конвективная струя в нейтрально стратифицированной атмосфере над точечным источником тепла.
Введение.
§1 Задача о конвективной струе над точечным источником тепла.
§2 Интегральные уравнения вертикального пограничного слоя и понятие конвективного фронта.
§3 Экспериментальные данные о скорости и температуре конвективной струи.
§4 Интегральная модель конвективной струи над точечным источником тепла.
§5 Универсальное уравнение распространения конвективного фронта.
§6 Квазистационарные уравнения, как асимптотика решения вблизи источника.
§7 Уравнения распространения конвективной струи в нормированной по высоте переменной.
§8 Автомодельные режимы распространения конвективного фронта.
§9 Класс автомодельных решений нестационарной интегральной модели конвективной струи над точечным источником тепла.
§10 Автомодельные уравнения для случая степенного и экспоненциального источника тепла.
§11 Автомодельные уравнения для случая мгновенного источника тепла.
§ 12 Преобразование уравнений для численного решения автомодельных уравнений развития конвективной струи.
§ 13 Конечно-разностная схема.
§14 Результаты расчетов и сопоставление их с экспериментальными данными.
Выводы.
Глава 2. Конвективная струя в устойчиво стратифицированной атмосфере над точечным источником тепла.
Введение.
§ 1 Задача о турбулентной струе над точечным источником тепла.
§2 Интегральная модель конвективной струи над точечным источником тепла.
§3 Асимптотика решения на малых временах.
§4 Асимптотика решения на больших временах.
§5 Стационарная струя в нейтрально стратифицированной атмосфере.
§6 Конечно-разностный метод описания автомодельного режима развития конвективной струи в устойчивой атмосфере.
§7 Результаты расчетов стационарной струи в устойчиво стратифицированной атмосфере.
§8 Аналитический метод решения амплитудных уравнений стационарной струи в устойчивой атмосфере.
Выводы.
Настоящее исследование связано с построением точных автомодельных решений интегральных уравнений теории конвекции Буссинеска, соответствующих струйным конвективным течениям над точечным источником тепла в нейтральной и устойчиво стратифицированной среде. Рассмотренная задача представляет прикладной интерес, как для расчета распространения примесей, сопутствующих развитию конвективной струи, так и для независимого определения мощности источника тепла по наблюдениям в атмосфере.
В естественно-природных условиях конвективные струи наблюдаются как в атмосфере - над каменистыми участками пустыни, асфальтированными дорогами и при извержении вулканов, так и в водной среде - при таянии льда в пресной и океанической воде. Конвективные струи в атмосфере, имеющие естественное происхождение, подразделяют на «спонтанные» и «вынужденные», см. Гутман Л. Н. (1969). «Спонтанные» конвективные струи зарождаются в неустойчивом однородном приземном слое атмосферы при нагревании подстилающей поверхности солнечными лучами. Существенно, что, "спонтанные" струи черпают энергию из неустойчивого приземного слоя, поэтому поток тепла в них стремится к нулю при приближении к подстилающей поверхности. «Вынужденные» конвективные струи возникают в ситуациях, когда подстилающая поверхность носит существенно неоднородный характер. При этом определенные участки земли нагреваются значительно сильнее своего окружения, порождая над собой восходящие струйные движения. Существенно, что "вынужденные" конвективные струи черпают энергию из внешнего источника тепла, поэтому поток тепла в них при приближении к подстилающей поверхности стремится к некоторому положительному значению. Подобные струи наблюдаются над каменистыми участками пустыни, асфальтированными дорогами, проложенными по степи и т.д.
Вынужденные» конвективные струи в водной и воздушной среде могут иметь не только естественное, но и искусственное происхождение. Известно, что некоторые типы повреждений подводных газопроводов сопровождаются дозвуковыми утечками природного газа Чисхолм Д. (1986); Сафонов B.C., Одишария Г. Э., Швыряев А. А. (1996). Существенно, что в окрестности повреждений образуется облако, состоящее из множества мелких пузырьков, подъем которых на поверхность определяется действием архимедовых сил. Поэтому описание «пузырькового режима» утечки газоконденсата может быть реализовано в рамках теории нестационарных конвективных струй. Другим примером реализации плавучей струи в водной среде служит локальный выброс на поверхность водоема более тяжелой жидкости. «Вынужденные» искусственные струи в атмосфере, как правило, связаны с промышленными тепловыми источниками, типа коллекторов сгорания, и часто сопровождаются выбросами пассивных примесей, позволяющих визуализировать струю.
Гидродинамическое описание струйных течений в атмосфере может быть реализовано в рамках общих уравнений газовой динамики. Однако, полная система уравнений газовой динамики применима для описания очень широкого класса физических явлений. В частности, эти уравнения позволяют рассчитывать звуковые волны. Очевидно, что вклад звуковых волн в сравнительно медленное движение конвективной тепловой струи ничтожно мал, поэтому фильтрация звуковых волн кажется физически естественной.
В теоретических работах по динамическому распространению струйных течений традиционно используются приближенные уравнения, практически идентичные системе уравнений Буссинеска Boussinesq J.K. (1903). Эти уравнения были предложены для описания конвективных движений в несжимаемых жидкостях. Однако термодинамические свойства газа и жидкости существенно различны, поэтому вопрос о применимости системы уравнений Буссинеска для конвективных процессов в идеальном газе, т.е. классической модели атмосферного воздуха, требовал дополнительного обоснования. Эти исследования были проведены в работах Spiegel Е. A., Veronis G. А. {I960), Ogura Y., Phillips N.А. (1962), Asai, Naka-sujil (1970).
Система уравнений Буссинеска рассматривает движение, происходящее на фоне покоящегося слоя атмосферы, с произвольным профилем фоновой температуры. Эта система уравнений не содержит звуковых волн, при соответствующих граничных условиях обладает интегралами сохранения импульса, вихря, энтропии, энергии и квадратичной энергии, но применима только к тонкому слою атмосферы толщиной порядка 2 км.
Для описания движений в более мощных слоях атмосферы порядка 10 км в работах Batchellor G. К. (1953), Ogura Y, Phillips N.A. (1962), Dut-ton J., Fitchl G. (1969), Gough D. O. (1969), Wilhelmson R. В., Ogura Y. (1972), были предложены несколько вариантов систем уравнений, учитывающих фоновую сжимаемость воздуха, каждая из которых фильтрует акустические волны, а в тонком слое атмосферы либо идентична системе уравнений Буссинеска, см. работы Button J., Fitchl G. (1969), Gough D. O. (1969), Wilhelmson R. В., Ogura Y. (1972), Вулъфсон A. H. (1981), либо сводится к ней с помощью замены переменных, подробнее см. работы Batchellor G. К. (1953), Ogura Y., Phillips N.A. (1962). Системы уравнений глубокой конвекции нашли широкое применение при описании высокотемпературных конвективных струй.
Аналитические методы исследования нелинейных уравнений конвекции используются в задачах со специально заданными начальными и граничными условиями. Частные решения различных задач проникающей конвекции рассмотрено в работах Малъбахов В.М. (1972), Кио Н. L., San W.J. (1976), Овсянников J1.B. (1979) Малъбахов В.М., Гимелъштейн С. Ф. (1989).
Мощным практическим инструментом исследования уравнений конвекции являются численные методы. Особо следует упомянуть ставшие классическими работы Ogura Y., Charney J. G. (1960); Lax P.; WendroffB. (1960); ПрессманД. Я. (1965); Марчук Г. И. (1967, 1982), Lilly D.K. (1964, 1969); Рихтмайер Р., Мортон К. (1972); Годунов С.К., Рябенький B.C. (1972).
Современные экономичные схемы решения уравнений Буссинеска изложены в работах Ogura Y, Takahashy Т. (1973), Пастушков Р. С. (1973), Пушистое П. Ю. (1980), Пушистое П. Ю. и др. (1980, 1988), Киселъникова В.З., Пекелис Е. М., ПрессманД. Я. (1981); Ogura Y. (1985), Гостинцев Ю. А., Солодовник А. Ф. (1987); Махвиладзе Г.М., Якуш С. Е. (1990); Андру-щенко В. А., Шевелев Ю. Д. (1997 а, б).
Современное численное моделирование невозможно без сопоставления с лабораторными и натурными экспериментами. Сопоставления такого рода были выполнены в работах Васкевич Л. А., Пушистое П. И. (1988), Кононеко С.М., Малъбахов В.М. (1986); Гостинцев Ю. А., Солодовник А. Ф. (1987); Махвиладзе Г.М., Мелихов О. М., Якуш С. Е: (1989).
Экспериментальные методы исследования проникающей конвекции обстоятельно изложены в лабораторных экспериментах Тарасов В. Ф. , Якушев В. И. (1974), Oshima Y. Asaka S. (1977), Заславский Б. И (1982); Заславский Б. И., Юрьев Б. В. (1987); Заславский Б. И., Щербаков И. С., Юрьев Б. В. (1997).
Влияние проникающей конвекции на крупномасштабные атмосферные процессы пограничного слоя атмосферы и средней тропосферы исследовалось в работах Кононеко С.М., Малъбахов В.М. (1978); Пушистое П. Ю., Малъбахов В.М., Кононенко С.М. (1984); Пушистое П. Ю., Малъбахов В.М., Васкевич Л. А. (1988); Малъбахов ВМ., Леженин A.A. (1988); Малъбахов В.М., Перое В.Л. (1993).
Следует также упомянуть работы, связанные с изучением турбулентности, сопутствующей восходящим потокам проникающей конвекции, см. например Онуфриев А. Т. (1967), Онуфриев А. Т., Христианович С. А. (1976); Конюхов А. В., Мещеряков М. В., Утюжников С. В. (1994, 1995).
Проблемы распространения примеси, связанные с задачами проникающей конвекции исследовались в работах Луговцов Б. А. (1970), Берлянд М. Е. (1974); Вызова Н. Л. (1974); Пушистое П. Ю., Малъбахов В.М., Кононеко С.М. (1982), Махеиладзе Г.М., Якуш С. Е. (1990), Самарская Е. А., Сузан Д. В., Тишкин В. Ф. (1997), Бородин О.О. (1999), Колдоба А. В., По-вещенко Ю. А., Самарская Е. А., Тишкин В. Ф. (2000).
Многие задачи техногенного характера описываются уравнениями теории конвекции над тепловым источником, сравнительно малых геометрических размеров, который можно стилизовать как точечный. Классическим гидродинамическим упрощением уравнений теории конвекции над точечным источником служит приближение вертикального пограничного слоя, см. работы Schlichting Н. (1955), Гутман Л. Н. (1969).
Приближенным методом решения уравнения вертикального пограничного слоя в практике инженерных расчетов является интегральный метод Кармана-Польгаузена, см., например, Schlichting Н. (1955), позволяющий строить интегральные модели конвективных струй. Этот метод допускает построение амплитудных уравнений для вертикальной скорости и температуры на оси струи. Сравнительная легкость численной реализации и хорошее соответствие с экспериментальными данными позволили интегральным моделям струй получить широкое распространение в практике научно-технических расчетов.
Интегральная теория стационарных плавучих турбулентных струй, основанная на системе уравнений конвекции Буссинеска, была заложена в работах Morton B.R., Taylor G.I., Turner J.S. (1956), Schmidt F.H. (1957), Priestly C.H.B. (1964).
Более сложные интегральные модели стационарных высокотемпературных струй были разработаны в Morton B.R. (1965), Smith R.K. (1967), Murgai М.Р., Emmons H.W. (1960), Varma R.K.,Murgai M.P.,Childyal C.D. (1970), Шипилов О.И. (1974), Вулъфсон H.H., Левин JI.M. (1981). Эти модели эффективно использовались при описании тепловых конвективных струй значительной вертикальной протяженности, возникающих при лесных и нефтяных пожарах Morton B.R. (1965), Smith RK. (1967), Murgai M.P., Emmons H.W. (1960), Varma R.K.,Murgai M.P.,Childyal C.D. (1970). Соответствие результатов моделей и натурного эксперимента наблюдалось при расчете мощных напорных конвективных струй специальных установок - метеотронов, способных оказывать локальное воздействие на погоду и климат Шипилов О.И. (1974), Вулъфсон НИ., Левин Л.М. (1981). Существенно, что форма уравнений высокотемпературных конвективных струй в ряде ситуаций оказывается идентичной форме уравнений глубокой конвекции, см., например, Murgai М.Р., Emmons H.W. (1960).
Интегральные модели развития нестационарной конвективной струи в нейтральной атмосфере, над точечным источником тепла, были построены сравнительно недавно, см. работы ВеНсксйзШ М.А. (1979) и Нощ-1ещ Уи. (1990). Эти модели основывались на уравнениях Буссинеска, причем для замыкания системы уравнений использовалось эвристическое дифференциальное уравнение переноса для радиуса струи. В моделях ВеИскМ-5705 М.А. (1979) и Hong-Zeng Уи. (1990) для источников тепла, мощность которых изменяется во времени по степенным законам, показано существование класса автомодельных решений. Проведенные Hong-Zeng Уи. (1990) эксперименты над коллекторами сгорания для струй показывают довольно хорошее согласие полученных автомодельных решений и экспериментальных данных.
В настоящей работе предложена несколько иная интегральная гидродинамическая модель развития нестационарной конвективной струи в нейтральной и устойчиво стратифицированной атмосфере, над точечным источником тепла. Форма струи предполагается конической, для основания конуса, соответствующего плоской верхней границе струи, выводится универсальное уравнение распространения конвективного фронта, подобное приведенному в статьях Вулъфсон А.Н. (1998, 2000). Это уравнение связывает интегральную временную зависимость мощности точечного источника плавучести с переменной высотой струи. Выполненные для устойчиво-стратифицированной среды исследования позволяют выделить два асимптотических режима развития конвективной струи над точечным стационирующим источником тепла: а) асимптотический режим на малых временах, соответствующий развитию нестационарной конвективной струи в нейтрально стратифицированной атмосфере, Бородин О.О., Вулъфсон А.Н. (2000); и б) асимптотический режим на больших временах, соответствующий развитию стационарной конвективной струи в устойчиво стратифицированной атмосфере Вулъфсон А.Н., Бородин О.О. (1999), Бородин О.О. (1999).
Показано, что предложенная новая интегральная модель нестационарной вертикальной конвективной струи, включающая универсальное уравнение распространения верхней границы конвективного фронта, содержит класс известных автомодельных решений, соответствующих мгновенным и степенным источникам тепла. Кроме того, аналитические результаты работы позволяют расширить класс автомодельных решений на случай экспоненциальных и мгновенных источников тепла. Построены аналитическое и численное решения автомодельных уравнений. Выполнено сопоставление численных расчетов с известными экспериментальными данными о профилях вертикальной скорости и температуры на оси струи.
Выводы
Выполненные исследования в устойчиво-стратифицированной среде позволяют выделить два асимптотических режима развития конвективной струи над точечным стационирующим источником тепла. Асимптотический режим на малых временах соответствует развитию нестационарной конвективной струи в нейтрально стратифицированной атмосфере. Асимптотический режим на больших временах соответствует развитию стационарной конвективной струи в устойчиво стратифицированной атмосфере.
Результаты расчетов по стационарной конвективной модели в устойчивой среде позволяют однозначно определить высоту струи в зависимости от мощности теплового источника и атмосферной стратификации. Показано, что развитие стационарной конвективной струи в устойчиво стратифицированной атмосфере характеризуется универсальными функциями, зависящими от безразмерной высоты струи, и не зависящими ни от атмосферной стратификации ни от мощности теплового источника. Численно получены универсальные автомодельные профили вертикальной скорости и температуры вдоль оси струи, а также аналитически построена их асимптотика. Приведенные результаты весьма существенны при практическом исследовании температурных техногенных выбросов. Полученные соотношения позволяют вычислить мощность теплового источника по значениям температуры на заданном расстоянии от промышленного объекта.
Заключение
Настоящая диссертация была выполнена в соответствии с рабочим планом кафедры математического анализа Московского государственного института электроники и математики. В результате выполнения работы была создана нестационарная интегральная гидродинамическая модель распространения конвективной струи над точечным источником тепла в нейтрально и устойчиво стратифицированной атмосфере. Выполненные исследования позволяют выделить два асимптотических режима развития конвективной струи над точечным стационирующим источником тепла: а) асимптотический режим на малых временах, соответствующий развитию нестационарной конвективной струи в нейтрально стратифицированной атмосфере; б) асимптотический режим на больших временах, соответствующий развитию стационарной конвективной струи в устойчиво стратифицированной атмосфере.
Кроме того, разработаны конечно разностные методы решения соответствующих асимптотических режимов.
Сформулируем основные результаты настоящей работы: • Для нейтрально стратифицированной среды предложена новая интегральная модель нестационарной вертикальной конвективной струи, включающая универсальное уравнение распространения верхней границы конвективного фронта, содержащая класс известных автомодельных решений, соответствующих мгновенным и степенным источникам тепла. Кроме того, аналитические результаты работы позволяют расширить класс автомодельных решений на случай экспоненциальных и мгновенных точечных источников тепла. Выполненные численные расчеты обеспечивают вполне приемлемое
72 соответствие с известными экспериментальными данными о профилях вертикальной скорости и температуры на оси струи.
• Для устойчиво стратифицированной среды в условиях стационирующе-го источника предложена интегральная модель стационарной вертикальной конвективной струи. Результаты расчетов по стационарной конвективной модели однозначно определяют высоту струи в зависимости от мощности теплового источника и стратификации среды. Полученные соотношения позволяют вычислить мощность теплового источника по значениям температуры на заданном расстоянии от промышленного объекта. Показано, что развитие стационарной конвективной струи в устойчиво стратифицированной среде носит автомодельный характер. Численно получены универсальные автомодельные профили вертикальной скорости и температуры вдоль оси струи, а также аналитически построена их асимптотика. Приведенные результаты весьма существенны при практическом исследовании высокотемпературных техногенных выбросов в водную и воздушную среду.
