Математическое моделирование течений в мелководных эстуариях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Р Г Б О Д На правах рукописи

- 8 Ш 1:93

БАБКИН Ярослав Владимирович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЙ В МЕЛКОВОДНЫХ ЭСТУАРИЯХ

(01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы)

Научный руководитель -член-корр. РАН, проф. С. С. Григорян

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

БАБКИН Ярослав Владимирович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЙ В МЕЛКОВОДНЫХ ЭСТУАРИЯХ

(01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы)

Научный руководитель -член-корр. РАН, проф. С. С. Григорян

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Работа выполнена в отделе 204 Института механики

МГУ

Научный руководитель -член-корреспондент РАН

профессор С. С. Григорян

Официальные оппоненты -доктор физико-математических

наук, профессор Ю. Л. Якимов

-кандидат физико-математических наук, доцент М. Э. Эглит

Ведущая организация -Математический институт им.

В.А.Стеклова РАН

Защита диссертации состоится 19 июня 1998г. в & часов на заседании Диссертационного совета по механике Д 053.05.02 в МГУ по адресу 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 1998 года.

Ученый секретарь Диссертационного совета профессор

В. П. Карликов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В подавляющем большинстве случаев течения в эстуариях представляют собой сложные трехмерные турбулентные потоки. Как известно, в последнее время очень сильно возрос поток публикаций по проблеме замыкания уравнений Рейнольдса, по прямому численному моделированию турбулентных потоков, а также по проблеме устойчивости течений. Поэтому тема настоящей работы, посвященной новой модели описания турбулентных течений, представляется актуальной.

Целью работы является изучение границ применимости модели, предложенной С. С. Григоряном, и решение на ее основе конкретных задач, связанных с турбулентным течением жидкости в эстуариях.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ НАУЧНАЯ НОВИЗНА

1. На основе сформулированных в явном виде предположений и оценок порядков входящих в уравнения Рейнольдса членов выведены уравнения Сен-Венана. В частности показано, что предположения о малости глубины потока по отношению к его характерному горизонтальному линейному размеру недостаточно для применимости получаемых уравнений. Показано, что в случае относительной малости инерционных членов уравнения Сен-Венана могут быть подвергнуты дальнейшим упрощениям, в результате которых получена модель движения жидкости, управляемого балансом градиента давления, вызванного силой тяжести, и силой трения о дно. Для одномерного случая в предположении, что уровень свободной поверхности несильно отклоняется от неко-

торой средней величины (по сравнению с глубиной потока), получено стационарное решение.

2. Построенная модель турбулентного течения жидкости была применена для изучения распространения жидкости из точечного источника по плоской поверхности в одномерном (плоском и, .осесимметричном) случае. Найдены временные интервалы, когда вклад инерционных членов является незначительным. Построены автомодельные решения полученных в рамках модели уравнений для различных величин степенной зависимости объема потока от времени. Для случая постоянного объема найдено точное решение.

3. Показано, как с помощью формализма плоскости автомодельных переменных для уравнений полученной модели найти все автомодельные решения.

3.1. Получены две системы обыкновенных дифференциальных уравнений и условие, определяющее, какая из двух систем описывает течение на конкретном участке потока.

3.2. Поскольку изучение одной из двух систем сводится к изучению другой, то исследование расположения и типа особых точек проведено только для одной системы. Для некоторых характерных случаев параметра автомодельности численными методами построены картины интегральных кривых. Вблизи особых точек для интегральных кривых получены асимптотические формулы.

3.3. Показано, что в полученной модели не существует разрывных автомодельных решений.

4. В рамках полученной модели для одномерного (плоского и осесимметричного) случая рассмотрены конкретные задачи.

4.1. С помощью формализма плоскости автомодельных переменных описан алгоритм решения следующих задач: Коши, о разрушении дамбы, о течении жидкости, объем которой меняется во времени по степенному закону, о стекании жидкости с пластины конечной длины, о течении жидкости с фиксированным фронтом, о схлопывании осесимметрично сходящегося потока. Для некоторых задач найдены точные решения.

4.2. Для полученных упрощенных уравнений в аналитическом виде найдены стационарные решения и решения типа прогрессивной волны.

4.3. Найден точный вид формы свободной поверхности жидкости в стационарном случае при течении по дну с постоянным уклоном.

5. В рамках построенной модели с целью выяснения возможного влияния препятствий, расположенных далеко от устья, на распределение плановых скоростей проведено численное исследование трехмерного растекания жидкости в призматическом эстуарии.

5.1. Описан алгоритм решения задачи в том числе и с итеративным способом вычисления коэффициента Шези.

5.2. Для различных вариантов расчетов указан близкий к максимальному шаг по времени, при котором разностная схема сходится, и при этом не происходит дисперсионных осцилляций.

5.3. Результаты расчетов показывают, что при достаточно больших значениях времени течение стремится к стационарному, распределение скоростей и глубины потока вдали от устья пере-

стает зависеть от поперечной координаты (стремится к одномерному), продольный профиль потока становится похожим на профиль потока в одномерном стационарном случае, который был получен ранее как точное решение.

5.4. Показано, что если коэффициент Шези положить в расчетной области константе, то это приводит к относительно небольшому завышению силы трения в центре потока и ее сильному занижению у берегов.

5.5. Показано, что сколько-нибудь заметное уменьшение продольной компоненты скорости происходит лишь вблизи препятствий.

5.6. Показано, что рассматриваемая модель адекватно описывает возникающее течение. Найдены области, где относительная величина отброшенных при построении модели членов уравнения относительно оставшихся максимальна. Установлено, что применяемый при решении задачи численный алгоритм корректен.

Обоснованность. Аналитические результаты работы получены на базе общей теории автомодельных решений, численные -с помощью известной в литературе схемы предиктор-корректор Мак-Кормака и строго обоснованы.

Практическая ценность. В диссертации впервые достаточно для широкого класса одномерных потоков проведен полный анализ автомодельных решений турбулентных гравитационных течений. Используемый в работе алгоритм численного расчета можно без изменений переносить на исследование любого конкретного эстуария, удовлетворяющего сформулированным предположениям.

Основные результаты опубликованы в статьях [1,2], Еще одна работа - в печати.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, изложенных на 49 страницах, содержит 27 рисунков, список литературы из 32 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, дается краткий обзор работ, посвященных гравитационным течениям, поскольку именно гравитационные течения характерны для эстуариев. Исследование гравитационных течений имеет большое прикладное значение, например при анализе экологической ситуации в Невской губе Финского залива. Здесь же изложен общий план диссертации.

В первой главе излагаются известные результаты теории ламинарных гравитационных течений. Силы инерции в этих течениях считаются пренебрежимо малыми. Использование формализма плоскости автомодельных переменных позволяет найти все множество автомодельных решений. Для подтверждения теоретических результатов приводятся данные соответствующих экспериментов.

В разд. 1 главы 1 на примере одномерного растекания жидкости по горизонтальной плоскости из точечного источника приведены оценки отношения сил инерции и вязкости в зависимости от времени. В разд. 2 главы 1 для этой задачи в плоском и осесим-метричном случаях получены автомодельные решения.

Вторая глава диссертации является основной. В ней излагаются результаты самостоятельных исследований автора. Тече-

ние. несжимаемой жидкости предполагается турбулентным. В явном виде сформулированы предположения и оценки, при которых можно пользоваться уравнениями Сен-Венана. Далее, если в этих уравнениях пренебречь силами инерции, то получается двумерная модель трехмерного турбулентного течения, в которой силы давления, вызванные действием силы тяжести, уравновешиваются силами турбулентного трения. В рамках этой модели решено несколько задач.

В разд. 1 главы 2 предполагая отсутствие резких изменений компонент градиента вектора скорости, отсутствие вертикальных быстропеременных процессов, малость числа Фруда, зависимость коэффициента трения только от характера дна, малость глубины потока относительно характерных линейных размеров получены известные уравнения Сен-Венана:

ди аГ ди + и — дх ди + V— = ду дН дх X 1 о 2 --иуи +и , Ь. (1)

до ВЬ ди + и — дх + v-= ду дН ду -^-v^|u2 + V2 , п (2)

р(х, у, г, г) = р0 + рд(н(х, у, г) - г), (3)

8Н д , , V д , , V п (4)

— + —(ик) + —[иМ = 0, т дхк ' дуv '

где и = и(х, у, ^ , V = у, <) - проекции вектора осредненной по глубине горизонтальной скорости на горизонтальные оси х, у соответственно, ось 2 направлена вертикально вверх по направлению силы тяжести, д - ускорение силы тяжести, р - плотность жидкости, р - давление, р0 - давление на свободной поверхности, /г = Ь(х, у, () - глубина потока, Я = Н(х, у, -уравнение свободной

поверхности, X = "к(х, у) - коэффициент трения, который заранее

неизвестен, и поэтому должен быть получен из дополнительных соображений. Если пренебречь инерционными членами, то, согласно С. С. Григоряну, из (1)-(4) имеем

„ = -СКчг —\gradHl^, V = -СЬ.1/2 — ^тайЩ^ дх ду

р(х, у, z, t) = pB+ pg(H(x, у, t) - г),

(6) (7)

где \gradH\= ^ВН/дх)2 + {дН/5у)2 , С = -Jg/X - коэффициент трения Шези. Таким образом, задача нахождения поля плановых скоростей свелась к решению нелинейного уравнения (7). Зная уровень свободной поверхности Н = Н(х, у, i), поле плановых скоростей можно найти по формулам (5). Таким образом получается двумерная модель трехмерного турбулентного течения, в которой силы давления, вызванные действием силы тяжести, уравновешиваются силами турбулентного трения.

В разд. 2.1 главы 2 аналогично тому, как это проделано для ламинарных течений в разд. 1 главы 1, проведена оценка отношения сил инерции и вязкости в зависимости от трения в случае истечения жидкости из точечного источника при турбулентном режиме для С = const, 2. = const. Как оказалось, если объем потока

пропорционален Q0 • ta , то имеются некоторые критические значения а = ас: ас = 4 для плоского течения, ас = 6 для осесиммет-ричного течения. Для а < ас силы инерции пренебрежимо ма-

лы по сравнению с силами трения для t» tiT. Для а = ас и силы инерции, и силы трения возрастают во времени, и их отношение остается постоянным. Для а > ас силами инерции можно пренебречь только при t «ttT. Если истечение жидкости происходит в атмосферу, то силы инерции и трения одного порядка в момент

времени ttT, при этом £tr ~ (Q0/(g2^3))'/' в плоском случае,

ttr ~ (Q0/(g3X4 j)17 в осесимметричном. Далее, в разделе 2.2 для этой задачи найдены автомодельные решения вида h = Atnf(Bxt~mS), А, В,п,т- const [1].

Для поиска всего набора автомодельных решений в рамках модели, описываемой уравнениями (5)—(7), для одномерного (плоского и осесимметричного) случая при С = const, z. = const применяется метод плоскости автомодельных переменных [2]. В данном случае ими являются Z = C2hzt2x'3, V = utx'1, для которых эти уравнения записываются в виде

dV Z[2(l + n)V + (38 - 2)] + 2(8 - V)V2

dZ = 2Z(3Z + 2V2) ' (8)

dz(ln|^ = ~3Z + 2V2 ' 0)

если (¿;Z' + 3Z) < 0 и

dV Z[2(l + n)V + (38 - 2)] - 2(8 - V)V2

dZ~ 2Z(3Z-2V2) ' (10)

d '(In = - 1

dZv 3Z-2V2 (11)

в противном случае. Здесь С, = хДы8) - переменная автомодельно-сти, а штрих обозначает производную по £. Заметим, что для системы (8), (9) должно выполняться еще неравенство и > 0, а для системы (10), (11) - неравенство и<0. Система (10), (11) переходит в систему (8), (9) заменой V, = V, ¿^ = -С,, что в физических переменных эквивалентно замене х1 = -х, ti = t, к1 = к, и1 = -и.

В зависимости от знака величины (^Z'+ЗZ) область течения может быть разбита на два типа подобластей, на каждом из которых течение описывается либо системой (8), (9), либо системой (10), (11). Решение автомодельной задачи сводится к интегрированию автономного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка (8) (или (10)). Когда У(2) известно, уравнение (9) (или (11)) может быть проинтегрировано, и по найденной С,{7а) обращением найдется , а тем самым и У(С).

Уравнение (8) имеет шесть особых точек в случае, когда 5 > 0 и пять особых точек при 5=0. В п. 2.3.2 проведено исследование всех особых точек, получены асимптотические решения уравнения (8) в окрестности каждой из них. В качестве примеров автомодельных решений в п. 2.4 описан алгоритм решения ряда частных задач.

В разд. 3 главы 2 на основе рассматриваемой упрощенной модели проведено численное исследование трехмерного растекания жидкости в призматическом эстуарии (материал содержится в статье, находящейся в печати). Коэффициент трения к либо полагался всюду равным константе 0,0026, либо вычислялся по формуле Зегжды. На неподвижных границах выставлялось усло-

вие непротекания, в устье задавался расход жидкости, на границе эстуария, где к = оо, скорость принималась равной нулю. Для решения задачи использовалась разностная схема предиктор-корректор Мак-Кормака - явная схема второго порядка точности. Численный алгоритм использует метод "размазывания" скачка по сетке. Для устойчивости схемы применительно к сформулированной задаче достаточно выполнения условий |ы| А^Ах < 1, |и| АЬ/Ау < 1, где Ах, Ду, - шаги разбиения вдоль

соответствующих осей.

Численный алгоритм тестировался на задаче, для которой в разд. 2 главы 2 диссертации было получено автомодельное решение.

В Заключении приведены основные результаты диссертационной работы.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Григорян С. С., Бабкин Я. В. Автомодельные решения уравнений мелководных течений в крупных акваториях. Докл. РАН. 1997. Т. 355. №5. С. 626-627.

2. Григорян С. С., Бабкин Я. В. Об автомодельных решениях уравнений мелководных течений в крупных акваториях. Докл. РАН. 1998. Т. 360. №5. С. 1-5.