Устойчивость осесимметричных термокапиллярных течений в условиях внешней задачи тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ



од

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. А. М. ГОРЬКОГО

^Удмскш ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ

На правах рукописи

Макаров Сергей Олегович

УСТОЙЧИВОСТЬ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ТЕШОКАШЛЛЯРНЫХ ТЕЧЕНИИ В УСЛОВИЯХ ВНЕШНЕЙ ЗАДАЧИ

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Пермь - 1993

Работа выполнена на кафедре общей физики Пермского ордена Трудового Красного Знамени государственного университета им. A.M. Горького.

Научный руководитель: - кандидат физико-математических наук, профессор Ю.К. Братухин.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Л.Н.Маурик (Ивановский государственный университет)

кандидат физико-математических наук, доцент Р.В.Бирих (Пермский государственный педагогический институт)

Ведущая организация - Институт механики сплошных сред Уральского отделения РАН (г. Пермь).

Защита ооотоится_ttl&H&s_ 1993 г_

в /З" часов на заседании регионального специализированного совета К 0S3.59.06 по присуждению ученой степени кандидата наук в Пермском ордена Трудового Красного Знамени гооударотвенном университете им. A.M. Горького (г.Пермь, ГСП, 614600, ул. Букирева, 16).

0 диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Пермского государственного университета.

Автореферат разоолан_MQAs_ 1993 г.

Ученый секретарь

регионального специализированного совета, кандидат физико-математических наук, дсцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблема исследования обусловлена малой изученностью данного клесса тер.ткапилляркых течений и необходимости их учета при решении прикладных задач. В условиях, близких к незеоомости, а такве в системах со свободным;! л'раницами при определенном наборе параметров, осоСкй интерес представляют негравитационныв типы течений, в частности, конвекция Марангони. Исключительно ванное значение теркокапиллярзые эффекта приобретают в космическом производстве (выращивание монокристаллов, зонная плавка и т.д.), где термокапиллярные силы становятся доминирующей причиной двиаения. Их детальное изучение !.!ог:эт способствовать развитии методов управления течениями гидкостей и тепло-каосоперзнооом в процессах, проводимых на космических аппаратах. В земных условиях (при наличии поля тяпести) капиллярные эффекты существенно влияют на интенсивность многих процессов тэпломассопереноса через поверхность раздела гетерогенных веществ, используег.-ых в биотехнологии, химической, нефтяной, гэталлургической и друппс отраслях промышленности.

Цельз работы является:

- изучение термокапиллярной конвекции от шарового источника тепла, помещенного па свободную поверхность пягкой гядкости, заполнящей полупространство;

- исследование линейной устойчивости стационарна терт г-кашллярих течений от сосредоточенных источников теп,~.„ в условиях внешнзй задаст и определение характера ветвления зторгчных рэЕзя.'.ов в закритической области;

- изучение влияния физических свойств нагретого тела на условия возникновения неустойчивости.

Научная новизна результатов. Впервые для класса трехмерных задач теркокапиллярной конвекции найдено точное решение линейной задачи устойчивости осе chvms трнчиого термокапаллярного течегаш от точечного источника тепла по отношении к пвриоддчэскшл по азикуту Еоггиущеапям. Определена граница устойчивости, получена точные аналитические пыр'жепгя для критических возмущений, исследован характер ветшппна

вторичных течений, возникающее после потери устойчивости основного режима.

Аналитически решена задача о возникновении термокапиллярного ооесимметричного течения от шарового источника тепла, исследована устойчивость этого течения.

Найдено аналитическое решение задачи о термокапиллярной конвекции от пористого нагретого шара для внутренней и внешней областей, исследована его устойчивость. Показано, что при определенных значениях параметров задачи осесимкетричное течение отановитоя абсолютно неустойчивым по отношению к периодическим по азимуту (вихревым) возмущениям.

Проведено аналитическое исследование . устойчивости течений, относящихся к классу пространственных конических автомодельных решений. На основании предложенной методики сделан вывод об абсолютной неустойчивости течений данного типа относительно рассматриваемых возмущений.

Автор защищает:

- результаты точного рзаэния линейной задачи устойчивости ооесимметричного термокапиллярного течения от точечного источника тепла относительно малых монотонных возмущений;

- результаты исследования термокапиллярной конвекции и ее устойчивости от шарового источника тепла;

- результаты аналитического решения задачи о термокапиллярной конвекции от пористого нагретого шара;

- доказательство того, что для источника тепла конечных размеров при определенных параметрах задачи минимальная критическая мощность, при которой основное течение становится неустойчивым, равна нулю.

- результаты иссладования характера ветвления вторичных течений в закритической области;

- результаты исследования общих свойств спектра нормальных возмущений термокапиллярной конвекц;л от шарового источника тепла;

- доказательство абсолютной неустойчивости пространственных осесимлетричных дивергентных течений относительно малых вихревых монотонных возмущений.

Научно-практическая ценнооть работы состоит в получении закономерностей развития конвективных термокапиллярных

течений гидкоотп, потери имя устойчивости и возникновения вторгшнх конвективных реяимов. Полученные результата и метода решения могут быть пргменены как для анализа устойчивости дивергентных автомодельных двивенпй ¡жидкости (чисто гидродинамических, свободноконвехтивных и др. точс:пй), ток и для нэовтомэдолышх двигешй различного класса.

Работа выполнялась в райках следующих тем, разрабаткваегяис кафедрой общей физики Пермского университета: "Конвекция и геплообиея в ламинарном, переходном и турбулентном решагах; влияние сслосяящих факторов на конвективную и гидродинамическую устойчивость" (N ГР 0186Q031295) и "Течение и тепломассопервноо при ламинарной и турбулентной конвекции; проблемы устойчивости равновесия к течений". Исследования являются таккэ составной частью иевдународкого научно - технического проекта "Конвективные явления н процесса теплокассопереноса в условиях невесомости и кякрогравитации", кесвузовской прогрияя* "Университета России" и научно - исследовательской тема по космической технологи!, вшолнякаейся в соответствии с Репеияем Правительства от 20.03.1987 г. N 133.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Мехзузовской конференции молодых ученых (Перга, 1991г.), на Мяадународком симпозиуме по гидромеханике и телломаосоовмену в условиях невесомости (Пера - Москва, 1991г.), на XVIII Международном конгрессе теоретической и прикладной механики (Хайфа, 1592г.), на IX Международной школе - семинаре "Нелинейные задачи теория гидродинамической устойчивости" (Москва, 1993г.), а такзе на Пермском гидродинамическом семинаре под руководством профессоров Г.З.Гершуни и Е.М.Нуховицкого.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах 1-7.

Структура и объем. Диссертация состоит из четырех глав, заключения, приложения и списка цитируемой литературы; первая глава представляет собой введение. Иллюстративный материал включает 13 рисунков и таблицу; список литературы содержит 96 наименований; общий объем диссертации составляет 137 страниц.

- б -

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава оодераит общую характеристику проблемы устойчивости терюкашллярных течений в условиях внешней задачи (п. 1.1), обзор литературы (п. 1.2), а также краткое содержание диссертации (п. 1.3).

Вторая глава посвящена исследованию осесишетричных невозмущекных термокапиллярнкх течений от сосредоточенных источников тепла. В п. 2.1 приводится общая постановка задачи, в которой предполагается, что на поверхности вязкой видкооти, заполнящей полупространство, находится источник тепла постоянной мощности Q в виде шара радиуса а, погруженный до вкватора в жидкость. Материал пара считается идеально теплопроводным, а краевой угол смачивания - прял^гм. Верхнее полупространство заполнено н&тбшшпроводным невязкмм газом иочезапце налой плотности. Предполагается, что жидкость неокимаемая и термически недеформируемая, а коеффщиент паверхноотного натяжения о линейно зависит от температура: о(Г) » + ~ т0)- Считается. что при

мощностях источника теркокапилляраое движение стационарно и акоиально-сшЕлетрично, а пола скоростей и и температур Г по больших расстояниях г от шара обратно пропорционально г. В систему уравнений Навье-Стокса, теплопроводности к непрерывности

д(Ц7)и . _ ур + ди; ти - 0; д Рг Ц7Т « ДТ (1)

входят два безразмерных параметра - мощность источника д -а^/гтгщ (аналог числа Марангони) и число пргкдтля Рг - у/%, (а и % - теплопроводность и температуропроводность, V и т) -кинематическая и динамическая вязкости кидкости). Граничные услокня на поверхности твердого пара г - 1 и на свободной поверхности жидкости -в - тс/2 предполагаются следущими:

дТ

г = 1: U = 0; — = - 1; (2)

О г

тс öT 1 dû вТ

■Q - -: - 0; — - 0;--- » — . (3)

2 9 M г ör

Граничное услоние для нормальных напрягений отсутствует в соответствии с принятым предположением о горизонтальности поверхности квдсости. На бесконечности (г -> и) задается требование исчезновения всех функций.

В п. 2.2 рассматривается поведение функций скорости и темперзтуры при г » 1. а этой "далекой" области влияние граничных условий прилипания на поверхности шара не должно сказыззться на решекгпг, и последнее уравнение в (2) заменяется интегральным условием постоянства теплопотока через полусферу произвольного радиуса, окруаащую источник:

гп т/г

Jdcp j q Рг UrT - jr^sin -ô й8 = Z%. (4)

о о

Сформулированная задача (1) - (4) для "далекой" области тождественна задаче о термокапвллярной конвекции от точечного источника тепла, решение которой найдено ранее (Братухиэ O.K., Маурян Л.Н., 19S7).

Параграф 2.3 посвящен исследовании терлокапиллярноЯ конвекции для всего полупространства 1 < г < ю. Решение задачи (1 ) - (4) представляется в виде рядов по полиномам Лекандра ?г и "сшивается" с функция?,и "близкой" области. В отличие от ■ "далекой", где конвективные и вяакне слагаете в уравнении Навье-Стокса одного порядка, в "близкой" области из-за условий прилипания нелинейные члены в уравнениях малы по сравнении с линейки,ai. IIoэтелу даяе при конечных q основной вклад в реиение долены внести только правые частя уравнений Навье-Стокса и теплопроводности. Это дает возмояность трактовать следующие за 1/г члены разложения пс степеням обратного радиуса как решения линеаризованных равнений (1). В рамках описанного приближения, на основе катода сращиваемых асимптотических разложений, строится

равномерно пригодное во всей области г решение:

СО ^ 00

<?и = £ [*Уг)Р1эг + Сг(г)г7Рг]; ЧТ = - + £ ЯгРг; (5)

г=г Г 1=2

В. (2 7 + 1 7-1-1 В. П + 1 1 "1

В, Г2 (7 - 2) (7 + 1 ) 7(7 - 1 )

С, = -5- - +

27(7 + 1 )|г Г1 гиг

Коэффициенты В: и Дг зависят от мощности . источника и определяются численно для каждого 7.

Исгпчник тепла в виде пористого шара рассматривается в п. 2.4. Кроме уравнений для внешней области г > 1, решаются уравнения Дарси и непрерывности внутри шара (0 < г < 1):

77р{ + и = 0; ти = 0. (6)

Нелинейные члены в уравнении Дарси игнорируются, поскольку скорость фильтрации предполагается малой. Граничные условия на поверхности пористого шара имеют вид:

дТ

г = 1: — = -1; иг = и,; р - р{ - Шг; Ут = о (?)

Феноменологический параметр Ъ связывает скачок давления на границе с радиальной составляющей скорости. На касательную составляющую скорости фильтрации никаких ограничений не накладывается. В центре вяра задается условие обращения в нуль всех функций. Решение задачи (1), (3), (6), (7) находится двумя способами. Первый применяется для случая малых мощностей ц источнике и представляет собой разложение по целым степеням д. Возникающие при этом системы уравнений последовательных, приближений решаются аналитически. В параграфе приводится точное решение для двух таких систем. Кроме этого, показано, что сформулированную задачу мокно решить и методом, примененным в п. 2.3. В этом случае рятача имеет решение вида (5).

(8)

В третьей главе анализируется устойчивость найденных выше осесимметричных решений по отношении к монотонным, периодическим по азимуту (вихреЕым) возмущениям.

В п. 3.1 исследуется устойчивость точного решения нелинейных уравнений для термокапиллярной конвекции от точечного источника. Система уравнений для возмущений выглядит следуицкм образом:

+ (v'v)uj = - vp' + дт';

vv' = О; g,Pr[ü7l" + v'vrj = дг;

тс ОТ 1 flu' ОТ' dv' вг

•О--: v¿ = 0; — = 0;--= = —; —£ = — ,

2 etf г м дг въ бф

2ft я/2

Jfip jjq„Pr(Z7r2" + vr'T) - — |r2aln -9 с» = 0.

о о

Предполагается, что при некотором qB от осесимметричного ответвляется другое решение, периодическое по азимуту, т.е. пропорциональное cos гер (и = 0,1,2,...). Решение уравнена (8) ищется в виде разложения по сферическим гармоникам у :

к п со П

Г=У У \f У+ е + g г?У+ + h г к vy- ]; D' =. У" У р у4 ;

/ . / .1* nr. тот. г °nm гш. n.m n.mj г rnm rm

1 1Ъ=0 n= 1 т=0

r=f У т У4 ; У* = РГт;(я?п . (9)

L-i i—, nrL пт пп п ism Щ)

ii= 1 т=0

где f , я , h , р и х - функции, зависящие от г, Pín;

" • пп' unm' nai" rnn пт п

- присоединенные полиномы Леяандра, ег - радиальный орт. При подстановка разлокекия (9) в систему уравнений (8) моено, исключив функции, зависящие от углов, свести задачу к обыгаовенным дифференциальным уравнениям. Показано, что эти уравнения имеют для данной задач:! точные замкнутые решения. Каадая мода удовлетворяет уравнениям Навье-Стоксз,

теплопроводности и непрерывности, а также воем граничным условиям при д„ = 0. Отсюда следует, что осемаметричное движение абсолютно неустойчиво и должно сменяться вихревым со случайными значениями .чисел тип, которые определяют соответственно порядок аксиальной симметрии возмущений (~соз тер) и скорость убыв-г^я возмущений с расстоянием (~г"п). Число -узлов функций по меридиональному углу определяется также числом п.

Среди решений имеются два класса возмущений, срывающих основное движение - вихревые и осасимметричные. К вихревым относятся возмущения с азимутальным числом и > 1. Кроме того, основное течение может быть неустойчиво и к осесимметричным модам с т. = 0, но с более сильной, чем у .основного, зависимостью от радиуса, -г~п. И те, и другие возмущения подразделяются не гидродинамические (п + п четное) и тепловые (п + т. нечетное). Для гидродинамических мод, связанных только с неустойчивостью встречных гидродинамических потоков, характерно отсутствие возмущений температуры. Тепловые возмущения инициируются флуктуациями температуры на поверхности жидкости и сопровоздаются движением жидкости в соответствии с граничными условиями для. касательных напряжений на поверхности. Здесь же приводятся аналитические выражения для нескольких гидродинамических и тепловых мод. Отмечается, что некоторым значениям пар чисел пит для гидродинамических мод соответствует не одно, а несколько возмущений скорости; так, для п = 3, ж = 1 вырождение становится трехкратным. Найденные моды составляют набор базисных функций, которые мокно использовать при решении сходных задач метода.! Галеркина. Приводится сравнение с экспериментом.

В п. 3.2 по стандартное методике исследуется устойчивость осесимметричного термокапиллярного течения от непроницаемого для жидкости нагретого шара. Показано, что для источника конечных размеров критические значения мощности будут, вообще говоря, отличны от нуля. В ходе вычислений используется система ортогональных базисных функций задачи о термокапиллярной конвекции от точечного источника тепла. В п. 3.1 было показано, что возмущения делятся на два типа -

тепловые и гидродинамические. Здесь исследуется устойчивость основного течения по отношении к последним, которые, в свои очередь, подразделять: на "векторные" (п + п четно) и "поевдовзкторные" (п + т нечетно). Задача решается методом Галеркяна с одной базисной функцией. Определены критические значения мощности qt для нескольких первых крупномасштабных Еозмущений. Из численных расчетов следует, что минимальное критическое число для векторных возмущений соответствует коде с гг » п - 1 и равно 44. Анализ спектра полученных критических чисел показывает, что для фиксированного нечетного п минимальные соответствуют г,годам с п - 1. Выявить кехую-либо закономерность для четных п в рамках примененного приближения не удается.

В параграф 3.3 приведен анал.з влияния параметров пористого нагретого шара на границу устойчивости основного течения. Показано, что система линейных уравнений и граничных условий для возмущений имеет при определенном соотношении значений параметров задачи (числом п, коэффициентом проннцаемооти и феноменологическим параметром, определяющим скачок ДЕ^-.гния на границе порисгого шара) точное решение с q% » 0. Констатируется, что абсолютная неустойчивость связана иэ о р-:мэрамп тела, а с определенны?! "выроздением" граничных условий.

В п. 3.4 рассмотрены обдие овойства спектра нормальных зозмуцзний для задачи устойчивости о термокапиллярной конвекции от непроницаемого сера. Доказываетет, что для всех q > д„ декремент К < 0. что снздетельствует о неустойчивости основного течения. С помощью вариационного метода показано, что в системе, креме исследуемой монотонней, возможно развитие и колебательной неустойчивости.

В четвертой глаае представлены ре-ультвты аналитического исследования интенсивности вторичных течений для ?ермокапиллярной конвекции от точечного источника тепла, возниквещчх пооле потери устойчивости основного реяима. Кроме того, п. 4.1 посЕящен выяснению физического смысла мод, срываниях устойчивость этого движения. Анали их показывает, что абсолютную неустойчивость основного осесимметричнот,о движения от точечного источника тепла кояно трактовать как

следствие обязательного существования таких конкретных физических источников с заданной структурой, для которых минимальная критическая мощность равна нули.

Характер ветвления вторичных течений изучается на основа полных нелинейных уравнений в п. 4.2. Поскольку в задаче о термокапиллярном течении ъг точечного источника тепла критическое значение мощности - 0, для анализа рехима вторичных течений оказалось возмогошм применить аппарат теории возмущений. Находятся точные решения для трех систем последовательных приближений. Полученный результат показывает, что б околокритической области амплитуда нелинейных возмущений растут по корневому закону ("мягкая неустойчивость").

Параграф 4.3 посвящен исследованию устойчивости пространственных осесимметричных дивергентных движений вязкой несжимаемой жидкости. Констатируется, что линейные задачи устойчивости автомодельных решений Сквайра-Ванга, а тагше тепловой конЕекции от точечных квадруполя и монопэля могут быть рассмотрены как частные случаи задачи об устойчивости конвекции Марангони от точечного источника тслла.

В заклачешш перечислены основные результаты исследований, изложенные в диссертации.

В приложении представлены результаты решения трех задач о конвективной устойчивости равновесия неравномерно нагретой кидкости в шаровых полостях, на примере которых изучено Елияние различных форм "свободы" поверхности на величины критических чисел Рэлея Данное исследование было

предпринято с целью продемонстрировать, что абсолютная неустойчивость ооновного течения в случае термокапиллярной конвекции от точечного источника тепла связана не с размером тела, а с определенной постановкой краевой задачи. Рассмотрены три вида внешних границ полости: свободная, но недеформируемая поверхность, несвободная деформируемая поверхность и твердая незакрепленная оболочка. .Проведенный анализ показал, что величина Иа^ во многом определяется "степенью свободы" поверхности и при определенных условиях равняется нулю.

- та -

ШВОЕУ

1. Методом сращиваемых а сиягто тич е ских разлогатшЗ получено аналитическое решение стационарной задачи о термокашллярной конвекции от шарового источника тепла, по.чзщенного на свободную поверхность вязкой падкости, заполшшцей полупространство. Найдено репение двнеой задачи для случая пористого нагретого шара. Получены аналитические выражения доя скоростей, как для внешней ш отношении к источнику тепле области, тан п для скоростей фзльтращш в пара. Результаты исследования показывает, что на расстояниях, кного превосходящих размер шара, поля скоростей, давлений п теетхератур описываются точны?! репеяием нелинейных уравнвнгЗ задачи о термокашллярной конвекция от точечного псточшгса тепла.

2. Найдено точноэ решение трехмзрпой линейной еадачп устойчивости осесгакзтрачного дшгеаия от точечного источника тепла по отнепгпшэ к награни кэеотошшм пейтрэп-ЕП воз;^уцэнютл. В этом случае основное течение оказывается абсолютно поустсйчпги! и при сколь угодно малой гащпостя срывается вихрены;.!, функции скорости и температуры которого периодичны по азиату. Выявлен совершенно оообыЭ характер нормальных возмущений, срывающих основное течение. В отлична от абсолютной и конвективной неустойчивостей критаческяз возмущения в этой задаче. оказываются локалнзоапнншя в ограниченной области пространства, что позволяет говорить об их солитонном характере. Развэзагцгеся зозмуаения (кро:.:э одного) не портят структуры осноеного течения на бользях расстояниях и, в конечном счете, только уменьшают температуру источника, интенсивно перемешивая идаость вблизи его поверхности. Найденные точные аналитические взразенпя для возмущений характеризуются двумя "квеитовнл" чяапа.«а -пи а. Первое определяет скорость убывания сотаущон^З с расстоянием (~г"п) и число узлов функции то керздюшу, втсроз указывает на поря*лк аксиальной сшяазтрпа вогауг^гигЗ (~соз щ). Выявлены два класса возмущений, срыпащих осногное днинение. К первому относятся гидродинамические вокгуценпя (п + п - четно), связанные о неустойчивостьв встречных гидродинамических потоков. Ко второму классу принадлежат

гидродинамических потоков. Ко Еторому классу принадлежат тепловые возмущения (п + т нечетно), которые инициируются флуктуацикми температуры на поверхности жидкости.

3. Изучена линейная устойчивость термокапиллярной конвекции ог шарового источника тепла по отношению к вихрсшм гидродинамическим возмущениях!. Показано, что критические мощности, при которых происходит срыв основного движения, для источника конечных размеров не равны нулю и зависят от параметров задачи. Так, в случае твердых, непроницаекых для хавдсости границ шара, на поверхности которого задан постоянный теплопоток, минимальное критическое число соответствует возмущению с п = т = 1 и раЕно 44.

4. На примере пористого шара исследовано влияние конкретных физических параметров источника на граккцу устойчивости осесимметричного течения. Оказалось, что при определенных значениях параметров задачи основное решение является абсолютно неустойчивым по отношению к монотонны:,! возмущениям.

Б. Проведенный анализ свойств спектра нормальных возмущений для задачи о шаровом источнике показал, что в закритической области осесимметричное течение неустойчиво по отношению к малым монотонным возмущениям солитонного типа. Поведение колебательных возмущений не изучалось. Однако несамосопрякенность уравнений термокапиллярной конвекции позволяет сделать вывод о том, что в системе еозможны такге и колебательные Еозмущения.

6. С помощью теории возмущений для задачи о точечном источнике аналитически исследован характер вэтвлршя вторичных режимов. Показано, что в околокритической области амплитуда нелинейных возмущений растут по корневому закону ("мягкея неустойчивость").

7. На примере течения Сквайра-Ванга, а тшсже термогравитационных конвективных течений от точечных квадруполя и монополя, исследована устойчивость осемкмэтрич-ных дивергентных движений вязкой несжимаемой кидкости по отношению к монотонным вихревым возмущениям гидродинашчес-кого типа. Констатируется абсолютная неустойчивость основных рекжов.

ПУБЛИКАЦИИ

1. Макаров С.О. К вопросу о гидродинамических "частицах" // Меквузовская конференция молодых ученых. Секция ?стествекных наук. Пермь. Тез. докл. - 1991. - С. 41.

2. Макаров С.О. О вторичных термокапиллярных движениях в замкнутой системе // Менвузовская конференция молодых ученых. Секция естественных наук. Пермь. Тез. докл. - 1991. - С. 41 -42.

3. Макаров С.О. Спектр нормальных возмущений тзрмокапиллярной конвекции в полупространстве // Пермь. -1991. - Деп. в ВИНИТИ, N 1929 - В91. - 7 с.

4. Bratukhin Yu.K., Makarov S.O. On secondary thermo-capillary Hows under low gravity // Abstracts of Int. symp. on hydromechanics and heat/mass transfer in microgravity, Perm - Moscow. - 1991. - P. 110.

5. Братухин O.K., Макаров С.О. О конвективной устойчивости жидкости в шаровой полости // Изв. РАН, сер. Мех. кидкости и газа. - 1992. - N 3. - С. 24 - 23.

S. Братухин Ю.К., Макаров С.О. О вторичных термокапиллярных движениях солитонного типа // Изв. РАН, сер. Мех. жидкости и газа. - 1992. - N 4. - С. 20 - 27.

7, Bratukhin Yu.K., Makarov S.O. On thermocapillary movements of solitonlc type // Abstracts of XVIII Int. Congress of theoretical and applied mechanics, Haifa, Israel. - 1992. - ?. 28.

Подписано в печать 20.03АЪ. Формат 60x84 1/16. Печать офсетная. Усл. печ. л. Тираж «Ю экз. Заказ2|8>.

614600, г.Пермь, ул.Букиреве, 15. Типография ЛГУ.