Краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными с постоянными коэффициентами в полуплоскости в классах обобщенных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ РЕГУЛЯРНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ С НАРУШЕНИЕМ УСЛОВИЯ Я. Б. ЛОПАТИНСКОГО В КЛАССЕ

§ I. Некоторые вспомогательные предложения

§ 2. Общая граничная задача для дифференциального уравнения в частных производных в классе S

§ 3. Общие краевые задачи для системы дифференциальных уравнений в частных производных в классе 3.

§4. Примеры.

ГЛАВА П. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ В КЛАССЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ.

ПРИ НАЛИЧИИ НЕРЕГУЛЯРНЫХ ТОЧЕК.

§ I. Исследование задачи типа Коши.

§ 2. Общая, граничная задача в классе

§ 3. П р и м е р ы.

1°. Многие задачи математической физики сводятся к краевым задачам для дифференциальных уравнений. Теория обобщенных функций и преобразование Фурье служат удобным средством для исследования линейных краевых задач математической физики в обобщенной и классической постановках. Краевые задачи для дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами в полуплоскости при помощи преобразования Фурье приводятся к обыкновенным дифференциальным уравнениям в классе обобщенных функций [I].

Одним из вопросов этой теории является исследование краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами в полуплоскости в классе обобщенных функций полиномиального роста при нарушении условия Лопатинского.

Пусть S - пространство бесконечно дифференцируемых быстро убывающих функций одной переменной, а X - класс линейных непрерывных функционалов на S (в S рассматривается слабая топология) .

Рассмотрим следующее дифференциальное уравнение ")// я я"-' где [> (х)j /Э СXX . ■ ■, у£, W заданные полиномы действительной переменной X . Под решением понимается функционал LLCt), зависящий от t как от параметра и принадлежащий при каждом фиксированном I > 0 пространству S • Производная по t функционала ¿l(i) понимается в слабом смысле, а производная по X - в обобщенном смысле, то есть да cLiiMtm tdufi) ) / j где (lllfyV)- значение функционала Ш1) на функции Усх) е S .

Определение I. Будем говорить, что решение Lité) уравнения г /

0.1) принадлежит классу J , если для него существуют постоянная £ , натуральные числа К- , /} J такие, .что имеет место оценка y)¡ ¿ cu+t )sug, [«'/*/>%.,/va)/] (0-2) для любой функции Ч>(Х)<^ S, ОJ /= о, /,., /«-/. Если функционально зависит от t , то имеем два определения принадлежности этого функционала классу Sно согласно теореме Шварца flj эти определения эквивалентны.

Определение 2. Считаем решение U(t) уравнения. (0.1) принадс / , лежащим классу jj , если оценка (0.2) имеет место при J-Ja •

Будем говорить, что Ufé) е , если FufíJ^S.' ( Futt)

-/ j' и F l¿(t) - преобразование Фурье и обратное преобразование Фурье функционала по переменной X ).

Делая преобразование Фурье в уравнении (0.1) по переменной X , получим обыкновенное дифференциальное уравнение, имеющее где V(t)= FUÍÍ).

Если U-fS , то V(é) также принадлежит классу S ' и наоборот. Рассмотрим характеристическое уравнение, соответствующее уравнению (0.3) г=/

Пусть Jf (X) ^ J¿ Ш,., (Ю корни уравнения (0.4)

AsJx(x) ¿ . ЛеАт(х). (0.5)

Определение 3. Точка Xa называется регулярной для уравнения (0.1), если в некоторой окрестности этой точки число корней характеристического уравнения (0.4) с ¡le)\é.O остается постоянным. В противном случае она называется нерегулярной. В дальнейшем в высказывании "точка X регулярная или нерегулярная" подразумевается регулярность или нерегулярность этой точки для того уравнения, которое рассматривается в данном случае.

Определение 4. Уравнение С0.1) называется регулярным с показателем регулярности Ъ , если число корней характеристического уравнения (0.4) с ЛгЛ^ О остается постоянным почти при всех X , равным 2 .

В работе рассматриваются краевые задачи для регулярных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в полуплоскости в классах S' и Г 1

Рассмотрим общую граничную задачу для уравнения (0.1) в предположении, что все точки xe/l' являются регулярными дня уравнения (0.1). Показатель регулярности уравнения (O.I) обозначим через % .

Задача А. Найти решение ШЬ) уравнения (0.1) в классе 5 , удовлетворяющее граничному условию.

ГQ^^w^-L , (0.6) j=0 л- J где QK, (X) - полиномы, - линейные непрерывные функционалы

В Г,

Если / =0 у то задачу # назовем однородной. Рассмотрим следующую систему уравнений: ж-'^ъс)"-' t>0> (°-7> где ii(t(¿4 Ш> ••• > - искомое решение, компоненты которого являются функционалами из J¡(*)- квадратная матрица порядка tri , элементы которой полиномы. В дальнейшем U(¿) будем называть функционалом и значение U(í) на Wx) из S обох. значим через (Mi), Ч).

Пусть Е - единичная пг - мерная матрица, X 00, Х^М) - корни характеристического уравнения cht {ЕЖ*)) = 0. (0.8)

Корень берется столько раз, какова его кратность. Предполагаем, что fu А (X) ±о, l = г, (CL9)

Hl М Щ>0, ¿ = (оло) при-00 ¿х^ 00 , 1 - целое постоянное число, независящее от X .

Задача В. Найти решение уравнения (0.7), принадлежащее классу S' и удовлетворяющее граничному условию

В(1^)Ш0)= (O.II) где В (X) - матрица размерности Тх/п~ , элементы которой полиномы, а J~-(J1f ., f ) ~~ зад8®1™ линейный непрерывный функционал из S .

Предварительно рассмотрим следующие вспомогательные задачи: Задача Aj. Найти решение уравнения в кяассе обычных функций, растущих по i вместе с производными до Щ - j - го порядка не быстрее полинома, удовлетворяющее граничному условию. ^ (0.13) где ßq (X) - полиномы, входящие в условие (0.6).

Здесь и в дальнейшем рост по t не быстрее полинома понимается при t °о ; в уравнение (0.12) и начальное условие (0.13) переменная X входит как параметр.

Задача Bj. Найти решение уравнения

0.14) в классе обычных функций, растущих по ^ не быстрее полинома, удовлетворяющее условию 8сх)у ¿7 где у (х, Ь) - ГХ, t)J ух(хЛ),— > (х< - искомое решение.

Определение 5. Будем говорить, что задача А (В) удовлетворяет в точке Х0 условию Лопатинского, если задача А^(В^) при Х=Ха имеет только нулевое решение.

В работах Я.Б.Лопатинского [2] получено условие на коэффициенты эллиптического дифференциального уравнения и граничного оператора (условие Лопатинского или условие дополнительности), которое дает возможность свести краевую задачу к системе Фредголь-мовых интегральных уравнений. Как показали дальнейшие исследования [Ъ-Ъ] А.В.Бицадзе, И.Н.Векуа, И.И.Данилюка, это условие играет основополагающую роль в вопросах существования, единственности, нетеровасти граничных задач и получения априорных оценок.

В монографии С.Агмон, А.Дуглис, Л.Ниренберг /"бУ рассмотрена задача Дирихле для однородного эллиптического уравнения -го порядка: т

К. 7) /У т* =0, (0-15) к=о кч

0.16) где Ам - комплексные постоянные.

Предполагается, что уравнение (0.15) правильно эллиптическое, то есть характеристическое уравнение имеет корней с Яе А ? О ж И- корней с А¿0. В работе получено решение с помощью явно выписанных ядер Пуассона. Из этих формул получено обобщение принципа максимума, известного для эллиптических операторов второго порядка, которое состоит в следующем: еслиС и /'"/У (]= 4Л,--ч /I) ограничены, то в классе С существует единственное решение задачи (0.15), (0.16), удовлетворяющее условию причем это решение удовлетворяет неравенству дк'д^-'-ч * Со ^Л ц. ф ь >о, о, П.-4, где С и С0 - положительные постоянные.

В этой же работе рассмотрена общая граничная задача для уравнения (0.1), когда условие Лопатинекого выполняется всюду, кроме точки Х= 0 , а граничные данные принадлежат классу с и растут не быстрее полинома и доказано существование решения полиномиального роста.

Вышеуказанные результаты монографии [ для неоднородных правильно эллиптических дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами обобщены в работе С.Г.Рубановича [1] .

В работе Э.П.Меликсетяна [Ъ] доказано существование и единственность решения задачи Дирихле для однородных слабо связанных эллиптических систем дифференциальных уравнений второго порядка в полуплоскости, когда граничные условия, принадлежат классу£ и ограничены, а решение ищется в классе ограниченных функций. В работе /97 рассматривается эта же задача и в случае, когда граничные данные принадлежат классу ¿/^ » а решение ищется в классе функций, для которых где С. - постоянная, независящая от £ . Доказано существование и единственность решения рассматриваемой задачи.

В работе Е.И.Оболошвшш [10] строятся в явном виде решения ряда граничных задач двумерной и пространственной теории упру -гости в полуплоскости и полупространстве. Предполагается, что граничные данные и искомое решение по пространственным переменным X принадлежат классу L1 •

Вопросы существования и единственности решения задачи Коши в полупространстве для уравнения с постоянными коэффициентами в классе обобщенных функций 0 и в классе функций CJ исследованы в монографии Л.Хермандера [II] .

Основным условием существования, и единственности решения задачи Коши является условие гиперболичности уравнения (0.1) в направлении нормали к границе области.

Общая постановка, проблемы об описании корректных краевых задач для уравнения и ее решение даны в работах Г.В.Дикополова [12] , В.П.Паломодова [13] , Г.Е.Шилова [14] . В этих работах решения уравнения (0.1) разыскивались в классе обобщенных функций и(х, t), которые при каждом принадлежат пространству Ж , состоящему из квадратично интегрируемых во всем пространстве /£i обычных функций и их обобщенных производных любого порядка, и возрастают в Ж при не быстрее некоторой степени t вместе с производными по / до порядка ttt-4. Так, в работе [12] было доказано следующее утверждение.

Если обозначить через - множество точек Х<? ft. *9 для которых fit (X) ( И-4, Z,., /п) и на множестве GH задать функции I/¿((Г) продолжаемые до функций из пространства РЖ , где А= F - преобразование Фурье, то уравнение (0.1) имеет единственное решение U(i) , удовлетворяющее условиям и принадлежащее описанному выше классу. Решение непрерывно зависит в топологии Ж от заданных функций ((У) .

В работе /"137 были рассмотрены более общие краевые задачи в пространстве ж.

Если условие (0.6) имеет вид д'иаО) , . ;=0// гЧ то задача (0.1), (0.6) называется задачей типа Коши для уравнения (0.1).

Г.В.Дикополов в работе/157 рассмотрел вопросы единственности и существования решения задачи типа Коши для регулярного уравнения (0.1) в пространстве $ . Он доказал теорему о том, что преобразование Фурье всякого решения однородной задачи типа Коши при каждом сосредоточено на множестве . В этой же работе доказана теорема существования и единственности решения задачи типа Коши ъ S , ъ случае, когда все точки регулярные. Вопросы единственности и существования решения задачи Л- в пространстве аь, (более широком, чем пространство

Ж) рассмотрены в работе А.Л.Павлова /"167 , где приведены алгебраические условия на уравнение (0.1) и граничные операторы в (0.6) (условия дополнительности), достаточные для корректности задачи Л в этом пространстве. Эти условия равносильны тому, что условие Лопатинского для уравнения (0.1) выполняется всюду.

В той же работе рассматривается задача типа Коши в пространстве показана ее корректность для случая, когда все точки Xе Я^ являются регулярными. При наличии нерегулярных точек исследование задач в рассматриваемых пространствах существенно усложняется.

При решении поставленных задач в пространствах, рассматриваемых в работах ¿12] [15] в случае выполнения условия Лопатинского имеет место единственность и разрешимость, а при нарушении этого условия на множестве меры нуль единственность есть, но существование возможно не для любых начальных данных и требуются дополнительные исследования, что, в свою очередь, составляет определенные трудности.

Если для уравнения (0.1) существуют нерегулярные точки, то, как будет показано ниже, однородная задача типа Коши и однородная задача^ в классе $ имеют бесконечное число линейно независимых решений, поэтому естественно рассматривать эти задачи в классе ГХ .

2°. Актуальность теш и цель работы

Настоящая работа посвящена исследованию краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных при нарушении г / ^ / условия Лопатинского в классах 0 ж И ду

Как видно из вышеизложенного, эта тематика является актуальной и активно разрабатываемой. Целью работы является: I) исследование в классе 5' общей граничной задачи для уравнений в частных производных и систем уравнений при нарушении условия Лопатинского в конечном числе регулярных точек;.2) получение алгеб -раических условий на коэффициенты матрицы системы уравнений и на коэффициенты граничного условия, при которых общая, граничная задача для системы становится корректной; 3) исследование задачи у л / типа Коши и общей граничнои задачи в классе г , если существуют нерегулярные точки; 4) выявление дополнительных начальных условий, обеспечивающих корректность рассматриваемых задач.

3°. 0 практической и теоретической ценности результатов.

Полученные результаты представляют теоретический и практический интерес , поскольку получены формулы числа линейно независимых решений однородных задач и указаны методы построения решений однородных и неоднородных задач в рассматриваемых классах. Указаны дополнительные начальные условия., обеспечивающие корректность этих задач. Полученные результаты могут быть использованы при исследовании вопроса корректности граничных задач для уравнений в частных производных (регулярных и нерегулярных) с постоянными коэффициентами в полупространстве при нарушении условия Лопатинского как в классе обобщенных функций, так и обычных функций полиномиального роста.

4°. Перейдем теперь к изложению основных результатов диссертации.

Предлагаемая работа состоит из введения и двух глав.

В первой главе исследуются краевые задачи для. дифференциальных уравнений и систем уравнении в классе У при нарушении условия Я.Б.Лопатинского в конечном числе регулярных точек.

В § I рассматриваются некоторые вспомогательные предложения, . необходимые для исследования поставленных задач.

В § 2 рассматривается общая, граничная задача в классе ^ С задача Л ). Она приводится к решению системы линейных алгебраических уравнений относительно вектор-функционала 1л/= ( £ ШО).

-Л-/ у л /

Н0*1"'' классе ^ » и доказано, что при нарушении условия Лопатинского в конечном числе точек однородная задача имеет конечное число линейно независимых решений, а неоднородная задача всегда разрешима. В этом параграфе указаны дополнительные начальные условия, при которых задача Д- становится корректной.

В § 3 рассматривается общая граничная, задача для системы (задача В ). Она также приводится к эквивалентной задаче - решению систем линейных алгебраических уравнений в классе 5' . В этом параграфе доказываются следующие утверждения. Для того чтобы однородная задача В имела конечное число линейно независимых решений , необходимо и достаточно, чтобы условие Лопатинского выполнялось всюду, кроме конечного числа точек. Если условие Лопатинского выполняется всюду, кроме конечного числа точек, то неоднородная задача # в классе А45; при + имеет решение, где Л - некоторое целое неотрицательное число, определяемое через коэффициенты уравнения и граничного условия, уо - порядок сингулярности функционала С функционалу из условия С 0.11), f ) • В этом параграфе получена формула числа линейно независимых решений однородной задачи В и указан метод решения неоднородной задачи.

Во второй главе рассматриваются краевые задачи для дифференциальных уравнений в частных производных в классе обобщенных функцийА при наличии нерегулярных точек.

В § I исследуется задача типа Коши и доказывается, что однородная задача имеет конечное число линейно независимых решений, которое с ростом j стремится к бесконечности, а неоднородная задача всегда разрешима. Указываются дополнительные начальные условия, обеспечивающие корректность рассматриваемой задачи в этом классе.

В § 2 исследуется общая граничная задача в классе для уравнений в частных производных Сзадача /V) и доказываются следующие утверждения. Для того чтобы однородная задачаМ в классе Р имела, конечное число линейно независимых решений, необходимо и достаточно, чтобы условие Лопатинского выполнялось всюду, кроме конечного числа точек.

Если условие Лопатинского выполняется всюду, кроме конечного числа точек, то неоднородная задача в классе р имеет решение. Получена формула числа линейно независимых решений однородной задачи и указан метод решения неоднородной задачи.

Каждая глава поясняется примерами.

5°. Остановимся вкратце на характеристике новизны предлагаемых результатов.

В диссертационной работе показано, что однородная общая граничная задача для одного уравнения в частных производных и для. системы уравнений в случае, когда все точки регулярные и условие Лопатинского нарушается в конечном числе точек, имеет конечное число линейно независимых решений, а неоднородная задача всегда разрешима. Аналогичное утверждение доказано в классе для одного уравнения в частных производных при наличии нерегулярных точек. В работе получены формулы числа линейно независимых решении однородных задач и указаны методы построения решений однородных и неоднородных задач в классах Т7" и . Указаны дополнительные начальные условия, обеспечивающие корректность рас -сматриваемых задач.

6°. Относительно методики отметим следующее. В работе ис -пользуется теория обобщенных функций, преобразование Фурье в классе обобщенных функций, решение обыкновенных дифференциальных уравнений и систем линейных алгебраических уравнений в классе обобщенных функций, а также оценки решений для, обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в классе функций, растущих вместе с производными не быстрее полинома.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

Ш - /247 .

1. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1981. - 512 с.

2. Лопатинский Я.Б. Об одном способе приведения граничных задач для системы дифференциальных уравнений эллиптического типа к регулярным интегральным уравнениям. Украинский математический журнал, 1953, т.5, № 2, с.123-151.

3. Бицадзе A.B. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М.: Наука, 1966, с.203.

4. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Физматиз, 1959, С.628.

5. Данилюк И.И. Исследования по теории краевых задач для эллиптических уравнений, докторская диссертация, СО АН СССР, 1962.

6. Агмон С., Дуглис С., Ниренберг А. Оценки решений эллиптических уравнений вблизи границы. М.: Издательство иностранной литературы, 1962.

7. Рубанович С.Г. Классические решения задачи Дирихле для систем дифференциальных уравнений в полупространстве. Сборник докладов УП Советско-Чехословацкогб семинара, издательство Ереванского университета, Ереван, 1982.

8. Меликсетян Э.П. Задача Дирихле для эллиптических систем дифференциальных уравнений второго порядка в верхней полуплоскости. Изв. АН Арм.ССР, математика, 1979, т.ИУ, № 5.

9. Меликсетян Э.П. Задача Дирихле для эллиптических систем дифференциальных уравнений второго порядка в классе суммируемых функций. Изв.АН Арм.ССР, математика, 1979, т.Х1У,1Ю

10. Оболошвили Е.И. Преобразование Фурье и его применение в теории упругости. Мецниереба, Тбилиси, 1979.

11. Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. М., Мир, 1965.

12. Дикополов Г.В., Шилов Г.Е. О корректных краевых задачах для уравнений в частных производных в полупространстве. -Изв. АН ССОР, математика, i960, т.24, с.369-380.

13. Паломодов В.П. О корректных краевых "задачах для уравнений в частных производных в полупространстве. Изв.АН СССР, математика, i960, т.24, с.381-386.

14. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. М.: Наука, 1965, с.327.

15. Дикополов Г.В. О краевых задачах для дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в полупространстве. Мат.сб., 1962, т.59 (101), №2, с. 215-228.

16. Павлов А.Л. Об общих краевых задачах для дифференциальных уравнений с постоянными коэффициента?,® в полупространстве. Мат.сб., 1977, т.103 (145), №3 (7),t с. 367-391.

17. Товмасян Н.Е. Задача Коши для дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в полупространстве в классе обобщенных функций. Дифф.уравнения, 1982, т.УШ, № I, с.132-138.

18. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решения дифференциальных уравнений в Банаховом пространстве. М.: Наука, 1970, с.1-534.

19. Van der Warden В. Einfuhrung in die Algebraische Geometrie. Berlin, 1939.

20. Кошелева Т.М. Общая граничная задача для линейного дифференциального уравнения т- го порядка в полупрямой, Диф.ур., 1981, т.17, № 8, с.1495 - 1497.

21. Кошелева. Т.М. Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений в классе обобщенных функций. ДАН Арм.ССР 1981, т. ОХИ, № 4, с.238-243.

22. Кошелева Т.М. Граничная задача для обыкновенного дифференциального уравнения т то порядка в классе обобщенных функций. - Изв.АН Арм.ССР, математика, 1982, т.ХУЛ, № 6с. 464 472.

23. Кошелева Т.М. Некоторые граничные задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений т. го порядка, в классе обобщенных функций. - Изв. ВУЗов, математика., 1983, I 3 (250) с. 52-58.

24. Кошелева Т.М. Общая граничная задача для обыкновенных дифференциальных уравнений пь то порядка в классе обобщенных функций, Диф.ур., 1984, т.20, В 3,с. 392-398.