Явное решение некоторых задач сопряжения аналитических, гармонических и обобщенных аналитических функций в особых случаях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ШНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН Р ЗДРЩСЖЙЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ШЩАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени К. ДОРдаА.

На правах рукописи

НОРОВ КУРБАНБАИ

ЯВНОЕ РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ СОПРЯЖЕНИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ, ГАРМОНИЧЕСЖИХ И ОБОБЩЕННЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ОСОШХ СЛУЧАЯХ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

ДЛ С СВР Т4 ЦК Я

шисканш ученой степени кандидата физико-математических наук

академик АН Республики Таджикистан, доктор физико-математиче с-ких наук,профессор ШЕАЙЛОВ Л.Г. кандидат физике- математических наук» профессор УСЖНОВ Н.

Душанбе - 1999 г.

С О Д1 ВЖ1Ж Ш Ж Введение.,......».......................................3

1. Случай явной разрешимости общей граничной задачи линейного сопряжения для аналитических и гармонических функций в круге.....................19

1.1.0 случаях явной разрешимости общей граничной задачи линейного сопряжения аналитических функций.....19

1.2. Об одной краевой задаче сопряжения гармонических

функций.----------------------------------..............25

2. О задачах сопряжения гармошческих функций, разрешаемых в зашщутой форме . ....................32

2.1. Задача сопряжения гармонических фрщщй и её особый случай.....................................33

2.2. Случай разрывных коэффициентов в задаче сопряжения гармонических функций..................38

^.Задача соЕршшш^^ функций

для полуплоскости.................................46

4. Об одной краевой задаче теории аналитических функций с сингулярным граничным условием..........52

5. Случай, когда коэффициенты задачи (А0) имеют особенности различных типов.......................57

6. Особые случай краевой задачи сопряжения для

одаого случая обобщенных аналитических функций----63

Цитжрованнаялитература..................................71

ВВЩЩШ 0.1. ОБОЗШЧШШ ш ошштшшш.

Будут рассматриваться комплекснозначные функции точек плоскости (х,у) или z=x+ly, обозначаемые не только как f(x,y), но и как í(z).

Пусть D* - односвязная ограниченная область (в частности это круг) с границей Ляпунова L, D~ - внешняя по отно-

ffWB» » Т. nrt^or»«»»!. «р а Д^ттолнение TIO TJroft TTimnKOCÍfPí.'

• * * у '

2. ф^ (t) — предельные значения на I» аналитических в Б*- : функций, причем для ф~(г) требуется, чтобы <р~(оо) = 0.

3. 1 - число линейнонезависимых надполемвещественных чисел решений однородной задачи, р - число условий разрешимости неодаородней.

4. - класс функций удовлетворяющих условию Гель-дера: [id,) - f(t2)| < Kf|t1-t2|^,для всех/Ц, t? € Ь, причем О < X < 1-у

5. Sp(SH) - норма в Ь^Н^Ь)) сингулярного оператора:

< Г p.(t)

SM- J t - 2 dt, t €

L

Отметим, что для окружности S2 = 1.

6. А(В) - класс функций, аналитических по комплексной перемерюй в области D.

0.2. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

Новый расцвет теория краевых задач и сингулярных интегральных уравнений получила лишь в середине тридцатых годов. В течение короткого промежутка времени, и особенно в последные годы, вышло большое количество работ, посвященных краевым задачам аналитических функций. Большую роль, здесь сыграли работы Н. И.Мусхелишвили £183 по теории упругости и задачи теории упругости приводятся к краевым задачам теории функций комплексного переменного, а последние при помощи интегралов типа Коши к сингулярным интегральным уравнениям.

От вышеуказанных краевых задач естественно надо было перейти к постановке и решению общего случая основной краевой задачи, что и сделано в работах Ф.Д.Гахова С53.

Наряду с работаш по теории упругости большую роль сыграли также работы Лаврентьева М.А., Келдыша М.В., Седова ж др. да щщюдиншшке^

При решении практических задач здесь попутно ставились и решались частншш методами некоторые краевие задачи и сингулярные интегральные уравнения специального вида.

Труда перечислить все работы опубликованные за послед-ныв года* связанные так или иначе с нашей тематикой. Такая подробная библиография имеется в монографиях Н.И.Мусхелиш-Вши Г181 и Ф.Д.Гахова Е5Ь

За последные десятилетия широкое распространение получили общие линейные краевые задачи сопряжения аналитических функций, центральное место среди которых занимает задача: (А0) =

m реже в односвязной области в замкнутой форме впервые было найдено ф.Д.Гаховым в 1936 году, а для многосвязной Б.В.Хведелидзе в 1941 г. Затем последовало много различных обобщений, разработок и применений, особенно в школах Ф.Д.Гахова [53 и Н.Й.Мусхелишвили [183. Одним из таких направлений, начатых самим Ф.Д.Гаховым, является исследование особых (или сингулярных) случаев, когда для G(t) на контуре допускаются нули или полюсы целого порядка.

Общим методом исследования задачи типа (AQ), а также ряда других, является метод сингулярных интегральных уравнений, теория которых разработана втрудах H.И.Myсхелишвили £183, й.Н.Векуа [33, Н.П.Векуа £43 и др.

Далее стало ясным, что более общей линейной задачей сопряжения аналитических функций является задача : (A) <p+(t) = a(t)*<p~(t) + b(t).<p"(t) + c(t),

После постановки задачи (А) в статье А.й.Маркушевича за 1946 г. Н.П.Векуа 133 в 1952 г. привёл её к системе СИУ и получил теоремы типа Штера. Первые точные результаты для задачи (А) при условии |а(t)| > {Ъ(t)| и с(t)sQ для односвязной области были найдены Б.В. Боярским С13 в 1959 г.

Гораздо более полное исследование задачи (А) при . випол-нения неравенство Ja(t)j>{b(t)| (эллиптический случай) и при самых широких предположениях относительно коэффициентов: a<t) непрерывна, b(t) ограничена и измерима, c(t) £ ьР,р > 1 и при Ja(t)J s |b(t)| (параболический случай) -вообще первое исследование принадлежит Л.'Г. Михайлову [133 -им задача изучена для любой многосвязной области. И. X.Сабитов [203 исследовал задачу (А) на единичной окружности,без требования условия

эллиптичности и параболичности, но требуя, чтобы коэффициенты a(t), b(t), c(t) удовлетворяли условию Гельдера и ait) £ О, получил теорему о разрешимости.

Особые случаи задачи (А) при некоторых предположениях относительно коэффициентов рассматривались в работах Н.Н.Юха-нонова и Н.Усманова.

Что касается задач сопряжения для уравнений в частнщ производных, отличающихся от системы Коши-Ршана, то работ здесь гораздо меньше.

В замечательных работах И.Н.Векуа [2], разработан ряд методов исследования краевых задач типа Гильберта для систем уравнений в частных производных первого порядка и для уравнений второго порядка эллиптического типа.

В 1956 г. Л.Г.Михайловым была дана постановка и решение задачи (А0) в классе обобщенных аналитических функций, а затем в связи с этим и задачи (А), что позволило рассмотреть задачи сопряжения для некоторых тшов уравнений в частных производных второго порядка.

В монографии Л.Г.Михайлова £133 дано обобщение краевой задачи (А) на случай, когда в краевом условии допускаются члены, содержащие производные, а также их комплексные сопряжения.

А именно, рассматриваются следующие краевые задачи сопряжения с производной от искомой функции для аналитических и гармонических фуншдай:

(А1) 4 ЬШ-Ц-+ р(1;)ф~(1;) + q<t)<p'<t)+c<t),

ф (оо) = О.

<А3) аки^ + + 7ки+ = УА + ^у + и + к=1» 2-

где все а{г),Ь(г),с(г),р(г),д(г),ак,рк...заданные фуишк, точек контура.

Актуальность работы. В диссертации рассматривается краевая задача сопряжения аналитических функций (А), в круге, когда коэффициент !>(%) имеет полюс целого порядка, и в том же круге рассматривается одна задача сопряжения гармонических функций. Рассмотрены краевые задачи сопряжения гармонических функций и аналитических функций с производной в краевом условии. Кроме того изучаются задачи с разрывными коэф--фициентами и их-..сингулярные случаи, задачи для полуплоскости, задача сопряжения типа (А0) для одной обобщенной системы Коши-Римана, когда главный коэффициент имеет нули и полюсы целого порядка.

Цель работы. В диссертации делается попытка исследования и поиска тех случаев задач (А1), (А^, (А^), когда решение может быть найдено в явном виде.

тоды теории краевых задач сопряшния для аналитических, гар-

исследования. В работе использованы общие ме

моничееких и обобщенных аналитических фрпатий.

Научная новизна. В круге единичного радиуса впервые найдено в явном виде решение общей задачи линейного сопряжения аналитических функций для некоторых частных случаев; и в явном виде дано также решение одной задачи сопряжения гармонических функций. Путем сведения к задаче сопряжения аналитических фушсций впервые получены в явном виде решение одной задачи сопряжения гармонических функций,а также для некоторых особых случаев и для случая разрывных коэффициентов. Для указанных некоторых случаев краевой задачи сопряжения гармонических функций в полуплоскости получено решение в квадратурах.

Для одной задачи сопряжения аналитических функций с производной и с сингулярностью в краевом условии получена формула точного решения.

Для одного случая обобщенной системы Коши-Римана получено решение задачи сопряжения (типа задачи (А0)) в особом случае.

Практическая и теоретическая значимость. Полуденные в работе результаты могут быть использованы при исследовании краевых задач теории функций (аналитических, гармонических и обобщенных аналитических), а также интегральных уравнений; Из математической физики, гидродинамики, теории упругости, геофизики и т.п. известно, что аналитические функции - и тем более гармонические имеют многочисленные применения. В этом плане особую важность имеет задача (А).

Апробация работы. Материалы диссертации неоднократно

обсуждались на семинаре кафедры математического анализа Таджикского государственного педуниверситета им. К.Ш.Джураева (1995-1999 гг.), научной конференции "Дифференциальные уравнения с частными производными и их приложения" (Курган-тю-бинский госуниверситет им. Н.Хусрава, 18-20 ноября 1997г.), на постоянно действующем научном семинаре отдела уравнений математической физики Института математики АН Республики Таджикистан,возглавляемом академиком Л;Г.Михайлощм (октябрь -ноябрь 1998г.), на совместном семинаре кафедр математического анализа и теории функций, дифференциальных уравнений и функционального анализа и высшей математики Таджикского. государственного национального университета (апрель 1999г.), на научном семинаре кафедры высшей математики Института Предпринимательства и сервиса Республики Таджикистан под ру~

. . • - . ........../ .................... . . V, . . .. : .... •,.

ководством профессоров М.Мсматова и Ф.Комилова (апрель 1999г)

Публикации. По теме диссертации опубликованы пять научных статьей.

Личный вклад. Основные результаты включенные в диссертацию, получены соискателем самостоятельно, а постановка задач и некоторые идеи доказательств принадлежат научным,руко- .

водителям.

На защиту выносятся.

1) явное решение общей задачи линейного сопряжения аналитических функций в круге единичного радиуса, когда один из коэффициентов имеет полюс, и в явном виде дано.

ческих; функщй* 2) явнные-решения- задачи сопряжения гармошческих функций

одной задачи сопряжения гармони-

сведенные к задаче сопряжения аналитических функций в особом случае и с разрывными коэффициентами;

3) явная формула для решении краевой задачи сопряжения ,. мозаических функций в полуплоскости;

4) формула, для точного решения одной задачи сопряжения аналитических функций с производной и с сингулщюсз'ьюх.

5) точные результаты для задачи сопряжения ашалщщ&тщ. А функций, когда коэффициенты задачи имеют ,особенности . различных типов;

6) решение задачи сопряжения (типа задачи, (А0)) в особом случае для одной неоднородной обобщенной, системы. Коши-Римана

Объём и структура работы. Диссертационная работа изложена на 75 страницах машинописного текста, состоит из введения* шести параграфов, и списка цитированной литературы, включающего 42. наименований.

0.3. ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДЙССЕРТАДЩ.

Диссертационная работа состоит из введения и шести параграфов. В первом пункте первого параграфа- рассматривается следующая задача: пусть д+< = {z:\zl < 1} - круг единичного радиуса с центром в начале координат, Ь = |й| = 1> -;его граница, В~ = {.z:\zl > 1} - внешность этого круга. Требуется найти пару функций Ф*(г) и Ф~(г), аналитических соответственно в В*и если на контуре Ь их предельные, значения удовлетворяют следующему краевому условию:

(А) 'Ф+чю = аш.Ф'т + ь(г).Ф~(г) + с(ю,, Ф"(<») = о*

где a(t), b(t) и с it) - .заданные функции точек контура Ъ, удовлетворяйте условию Гёльдера, и кроме того, a(t) ф О всюду на Ь, и ае = JhdjMt). В том случае, когда в задаче (А) коэффициент b(t.) имеет вид (полюс целого порядка): .

bfm

f

<* - V

г«1 ,

где (г = 1, 2, ...,Н') - некоторые точки контура, к^, целые положительные числа, т.е. для задачи:

^ - b+(t)

(В) Ф (t) = a(t) *Ф (t) +---Ф (t) + c(t)

Г-

f 1 (t - Vr>

r=!

сведением к задаче (AQ), получен следующий результат: Теорема 1.1. В случае эе-NV ^ 0 неоднородная задача (В) разрешима при любом свободном члене и её общее решение даётся

(В^

Г к

^1(2 - г]г) сф+(2) + р^, (е)] + ^ (2)+

' ■ г=1 . ■" ■ 7

к

Ф (г) = X (2)|" - Т]г) ^ г ^Сф Р^ЛЙ)] 2 € Б"

Если ж - 1Г = -1 то неоднородная задача (В) также.разщ-, шима, притомимеет единственное решение. При ае - М* < -1 неоднородная задача (В), вообще говоря неразрешима. Для того, чтобы она бша разрешимой, необходимо и достаточно, чтобы

свободный член задачи удовлетворял (ае-И * -11 комплексным условиям разрешимости, при выполнении которых единственное решение задачи. (В) дабтся•формулой (В1), где нужно положить

^ае-ГГ ^ = О-

В пункте 1.2 надо найти пару функций: и+(х,у),

гармоническую в области В+ и и~(х,у), гармоническую в. области Б~, удовлетворяющих на.контуре Ь линейным соотношениям: (С) = Рк,иу + тк'к=1'2.

где а^, функции точек контура Ь, удовлетворящие

условию Гель дера, причем ^ нигде не обращаются в нуль., Показано, что задача (С) сводится к задаче для аналитических функций с индексом эе = О, поэтому задача имеет единственное решение, которое даётся с помощью формул: .

и+<х,у) * С0 + | ЕР+(г)сй -ь (х0,у0)

и~(х,у) = с0 + | ЕР~Са)<12 + (х0,у0)

где

Ь(т)'[ф (т) - уст)] + тК*) . йт

"аТО т - а*

и с0 - произвольная вещественная постоянная;.

Во втором параграфе рассматривается задача:

которая сводится к задаче <AQ) которая в явном виде решается в двух случаях: а) если её коэф^щиент имеет особенность (п.2.1 ); б> если коэффициент разрывен (п. 2.2).

Для задачи (D) доказана Теорема 2.1. Пусть в задаче сопряжения гармонических функций (D) % € Н(Ь), эе = JMjGCt ), где

Щ - рр

(*) G(t) = laj _ ^ , 1оц - а2 Ф 0. Если зе ^ 0, то однородная задача (D) имеет 2ае линейно независимых над полем вещественных чисел решения, а неоднородная задача разрешима при любом свободам члене.

-"Если m < 0, то однородная задача неразрешима. При эе = -1 неоднородная задача разрешима единственнш образом. .

В случае зе < -1 неоднородная задача вообще говоря неразрешима . Для того чтобы она была разрешимой, необходимо и достаточно, чтобы свободный член задачи удовлетворял . (~2зе) вещественным или (- эе) комплексным условиям разрешимости.

Во всех случаях решение задачи записывается в явном

виде.

Далее щюводится исследование задачи (В) в случае, когда коэф^тщенты о^., |3-к. шею? j jn». конечном числе точек, т.е. такие разрывы, когда „у > левые ж правые пределы v . т-гля^ос., л<> не равш между собой.

Рассматр- •■><•»( >- . • im m *, вшють до контура всюду

кроме точек разрыва кооффагищоНхов.

В точках разрыва коэффициентов допускается обращение в бесконечность интегрируемого порядка, т.е. порядка меньше

едащцы.

Таким образом, если коэффициент G(t) из формул (*) имеет нуль, то краевая задача сводится к такой же регулярной задаче, причем требуются допольнителыше условия дифферен-цируемости свободного члена.

Если коэффициент задачи (Ад) имеет полюс, то никаких дополнительных условий на свободный член не требуется^

В теории задачи (А0) для тех случаев, когда нарушается нормальная разрешимость задачи, обычно что-то нарушается из регулярного, то надо было брать свободный член из одного, (более узкого) класса, а решение из другого - более широкого. В : данном случае удалось избежать этого,. рассматривая решение и свободный член принадлежапнми одному и тому же классу.

В третьем параграфе рассматривается задача (D) когда контур L;есть действительная ось. Доказано, что задача (D) для полуплоскости, сводится к задаче типа (ÂQ) в полуплоскости для которой получена следующая

Щ - Ро

Теорема 3.1. При зе = Ind-^ _ £ > 0, однородная и неоднородная задачи (D) безусловно разрешимы и это решение зависит от (эе+1 ) произвольных вещественных постоянных:

Р (z )

<p+(z) = X+(z>.[t|>+(z) + —призера;

L (z+i) -»'

Ф~(г) = X~(z)•|ф~(2) + с J при эе < О, где X (z ) -известная каноническая функция, аф ( z ) - интеграл типа Каши плотность которого состоит из коэффициентов исходной задачи. При зе<0, однородная задача (D) неразрешима, а неоднородная задача (D) разрешима однозначно, при ае=-1.

А при эе<-1 при выполнении--.(-»-1 ) условий разрешимости вида 00 7(т) '

—------$$—г = О (к=1,2,... ,-эе)

2 X (т)(ia,j (т) - а2{%)) (т + 1)к .

—00

В четвёртом параграфе рассматривается краевая задача следующего вида:

Ф* (t)- (t ~ + (t " b(t)^~(t) + c(t).

(t - ai (t -

Для него найдено явное решение:

- (в-чх)" [ Vp-1 <z) +

+ ф+(г)], z € D+;

-ï<T(z№ ç ç ¡(Г(z№ _ n

ф (z) = e ! c0+ e X (z)(z—£3) ♦

' [ pae-p-i (z) + ] > 2 € D~

Резюмируя сказанное , , можно сделать следующие выводы относительно разрешимости задачи:

наличие нулей ait), b(t) на контуре не меняет число линейно-независимых решений задачи, последняя имеет столько сколько их имеется в случае отсутствия нулей.