Отдельные краевые задачи сопряжения для аналитических, обобщенных аналитических гармонических функций и некоторые приближенные способы их решения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ ТАДОМКИСТАН ТАДШСКИЯ ГОСУДАРСТВЕННаЙ УНИВЕРСИТЕТ

ргр ОД

1 2 СЁ11 Специализированный совет К 065.01.02

• На правах рукописи

УДК 517.956

МУМИШВ АБДУРМЩ

ОТДЕЛЬНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧ!-! СОПРЯЖЕНИЯ ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ, ОБОБЩЕННЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ, ГАРМОНИЧЕСКИХ 5УЭДЙ И НЕКОТОРОЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ СПОСОБЬ ИХ РЕШЕНИЯ

01.01.02 - Дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Душанбе - 1994

Работа выполнена в Институте математики Академии наук Республики Таджикистан и Таджикском высшей военном колледже Министерства обороны Республики Таджикистан.

Научные руководители: академик АН Республики Таджикистан, доктор физико-математических наук, профессор Л.Г.Михайлов и кандидат физико-математических наук, доцент Н.У.Усманов

Официальные оппоненты:

Член-корреспондент АН Ресцублики Таджикистан, доктор физико-математических наук, профессор Э.Ы.Мухаыадиев

Кандидат физико-математических наук, доцент К.С.Болтаев

Ведущее учреждение - Самаркандский государственный университет км. А. Невой

Защита состоится " г. в 13.30 на

заседании специализированного совета К 0b5.0I.02 в Таджикском государственном университете (734025,г. Душанбе,пр. Рудаки, 17. Зал заседания ученого совета).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Таджикского государственного университета.

Автореферат разослан СЛЛьО^1994 г.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат физико-математических наук, доцент

^^Й^О^ра. Хосабеко!

Общея характеристика работы

Обзор работ. Из двух основных краевых задач теории аналитических функций (а.ф.) наша работа в наибольшей степени будет связана с первой из них, которую называют задачей сопряжения:

(п ф^-еч-н заъ ъ^и.

Решение задачи (I) в замкнутой .форме впервые было дано Ф.Д.Гаховым в 1937г. Затем последовало много различных обобщений и разработок, особенно в школах О. Д.Гахова [I] к Н.11. МусхелишЕили [3] . Одним из таких направлений, начатых самим Ф.Д.Гаховым, является исследование особых (или сингулярных) случаев, когда ^уСЬ) допускает нули или полюсы целого порядка.

Новое направление открылось, начиная с работы И.Н.оекуа за 13э2г.в Математическом сборнике, в ней была рассмотрена обобщенная система Коши-Римана (или обобщенное уравнение Коши-Римана)____

(2) А в (£№■-V №)

где £=0;+ Ц} , З^^Ь^^у,

Дяя уравнения (2) в конечной области и при

И.Н.Зекуа получил первую и вторую основные формулы представления решений через аналитические функции (или формулы представления первого и Еторого рода) к исследовал вторую основную краевую задачу (задачу Гильберта). 3 1954-1956гг. Л.Г.Михайлов дополнил теорию Л.Н.Векуа рассмотрением (2) на всей плоскости, а также постановкой и решением для. (2) задачи сопряжения (I).

За решениями (2) закрепилось название "Обобщенные аналитические функши", когда в 195Эг. вышла под зим названием монография л.Н.оекуа £2]] . ¿3 ней были развернуты такке приложения теории (2) (или теории о. а. ф.) в геометрии и механике. Еыло показано, что вопросы о бесконечно малых изгибаниях вкг.уклых поверхностей сводятся к уравнениям тиг^ (2), а вопросы об изгибании поверхностей, склеенных из двух вызук-

лых кусков, приводят к задачам сопряжения решений (2) вместе с их производными и комплексно-сопряженными значениями. Такой задаче была посвящена статья Л.Г.Михайлова *

Постепенно выяснилось, что в центре этого круга проблем находится ранее не изученная обцая линейная задача сопряжения аналитических функций

(А) ^ а(Ш~СЬ>-г ФТчй -v сШ.

После постановки задачи (А), в статье А.к.;Ларкушевича за 1946г. Н.П.Векуа в 1952г. привел её к системе сингулярных интегральных уравнений и получил' теоремы типа Нетера. Первые точные результаты для (А) при условии |<X("fc)|>](aCk)j найдена Б.3.Боярским в 1559г.

Гораздо более полное исследование задачи (А) при|(Х.|>1€| (эллиптический случай), а при |<Х)=Цв| (параболический случай) - вообще первое исследование принадлежит Ji. Г'. Пихай лову. Наряду с тем, что задача изучена для любой многосвязной области v. при самых широких предположениях относительно коэффициентов: CXOt-) непрерывна, 6>C"fc) ограничена и измерима, CCt)£/£, p>i- Не менее ценным надо считать и то, что были разработаны два различию: метода исследования, названных непосредственным и общим, которые, с одной стороны, могут быть применены к другим классам краевых задач, а с другой -могут служить основой для построения алгоритмов и приближенных методов. .

Особые случаи задачи (А), а такие задачи с производной, рассматривались в работах Н.Н.Юханонова и-Н.Уеманова.

Теория И.Н.Бекуа неприменима к (2), если

где 0.(0)'^Ь. О , ^(О) '=$=■ О и точка —О лежит внутри или ла границе области. Эта точка и коэффициенты'-: были названы сингулярными, когда в 1957г. Л.Г.Михайлов начал их изучение. На конкретных примерах (2),(3) было показано, что .,югут нарушаться как теорема Лиувилля, так и характер разрешимости основные краевых задач.Л.Г.Михайлов RJ показал, что в сингулярных классах функций Yfc(¿Щ . где

С^М шл *если АЛЯ неко,1сРэго

выполнено условие малости на (£[)] либо

(в случае непрерывности в точке I то

имеет место вторая формула представления и распространяются все другие результаты теории М.Н.Векуа.

3 1959г. I.Г.Михайловым было проведено также изучение

уравнений второго порядка

где ЭС-СОС^.-.^У,),

Классическим методом потенциалов уравнение (4) сводится к новому классу особых интегральных уравнений с ядрами:

Рассматривались также уравнения на веек пространстве и уравнение Шредичгера.

Все эти проблемы, идеи, методы и результаты были изложены в монографии Л.Г.Михайлова , которая была затем переведена в С&А на английский язык и издана в 1970г. в Голландии и Германии.

Целый ряд дальнейших исследований, посвященных уравнениям типа (2),(3),(4), а также уравнениям с сингулярными линиями, был опубликован затем учениками Л.Г.Михайлова: А.И.Ачильдие-вкм, З.Д.Усмановым, Н.Раджабовкм, Д.Муртазаезым, М.Турсуновым, А.Мухеиноьым, а если подключить сюда краевые задачи а.ф. и .о.а.ф. и интегральные уравнения упомянутого нового типа, то также Б.М.Бильканом, Г.Джангибексвьм, Т.Д.Абакумовым, Н.Н.Юха-юновым.Н.Усмановьм.

В работах З.Д.Усманова для (2),(3) развивается метод вычитания ДСО) 5 В СО) л обращения модельной части; одному случаю, когда особая точка лежит на границе области, посвящена работа А.Д.Джураева. Уравнение Бельтрами

(5) ""Ъ^ТлГ- <\ о

при условии равномерной эллиптичности о

достаточно полно изучено в работах МЛ.Векуа и Б.3.Боярского, см.такке [V] (стр.31-36). Случаи, когда условие'эллиптичности нарушается на некотором подмножестве (где ^(¡2)1=^ )> изучались в работах Б.В.Боярского, А.Д.Дяураева, З.Д.Усманова, А.Лбдулукурова, У.А.Джаборова.

Обобщенное уравнение Бельтрами

(6) ^ллг- Шм

в некоторых случаям рассматривалось в работах Л.Д.Д?кураева, З.Д.Усманова, Д.Муртазаева, А.Тунгатэрова, А.Мухсинова и др.

В 1580г. Л.Г.Михайлов впервые поставил и исследовал задачу сопряжения гаромпничесних функций £5] и аналогичную задачу для общего эллиптического уравнения второго порядка [10] *.

на плоскости в гроизвольной односвязной области с гра-

ницей Ляпунова

(8) о1к к к^

и с условием на бесконечности О^х)^ ® , где все

~ заданные функции точек контура. . Что касается приближенных методов решения'краезых задач сопряжения и связанных с ними сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши, то следует отметить давние работы А.Ь.Баты-рева, Г.'5.'!андхавидзе и монографию В.З.Иванова £П"] , в которой можно, найти более подробный обзор, а также работы Л.С. Клабуковой (краевые задачи для о.а.ф.), Б.Г.Габдулхаева, М.И. Алексидзе, Н.Н.Юханоюта и др.

Актуальность темы. Б диссертации рассматривается краевяя задача сопряжения с производной для аналитических функций,когда главный коэффициент имеет нули и полюсы целого порядка (т.е в особом, или сингулярном случае), а также задача Дирихле для уравнения (6) при А(2)= =Я/

Рассмотрены краевые задачи сопряжения -гармон игеских функций в случаях односв/тзной области (и её сингулярный случай) и полуплоскости, а такке приближенное решение задачи сопряжения для обобщенных аналитических функций и интегральных уравнений с ядрами, однородными степени-1 с переменным пределом интегрирования.

Методика исследование. Б работе использованы общие методы теории краевых задач сопряжения для аналитических, обобщенных аналитических и гармонических функций, а также теории аппроксимации.

Научная новизна. Для задачи сопряжения с производной, когда главный коэффициент имеет нули и полюсы целого порядка, в неко торых случаях наедены точные утверждения о разрешимости, а в некоторых -других решения в явном виде. ■

Найдены в явном виде решения однородной и неоднородной задач Дирихле в кр!ге для обобщенного уравнения Бельтрами (6)

комплексные постоянные), причем при выполнении условия эллиптичности ' и п?и его нарушении ¿.у^ф- .

Для задачи сопряжения гармонических функций в односвязной области (§3) и для полуплоскости (§4) подсчитаны (_ - число решений однородной задачи и р число условий разрешимости неоднородной.

Получено приближенное решение задачи сопряжения (I) для обобщенного уравнения Коши-Римана (2) при ^({3)~ О •

С заранее заданной точностью дано приближенное решение интегрально го уравнения с ядром, однородным степени-Г. В обоих случаях приближенные решения получены в элементарных функциях и данг оценки погрепности в равномерной метрике.

Практическая и теоретическая значимость. Полученные в работе результаты могут быть использованы прк исследовании краевых задач теории функций (аналитических, обобщенных аналитических и гармонических) и интегральных уравнений и непосредственно для их численного решения.

Агпробация работа.Материалы диссертации докладывались на республиканской конференции молодых ученых Таджикистана(19?7), на научной конференции Математического института с ВЦ АН Тад-

жикской ССР (1981г); на Украинской республиканской научно-технической конференции,"Интегральные уравнения в прикладном моделировании"(Киев,1983); неоднократно докладывались на постоянно действующем научном семинаре отдела уравнений математической физики Института математики АН РТ, возглавляемом академиком Л.Г.Михайловым (1970-1594), а также на семинаре кафедры функционального анализа Самаркандского госунизерситета руководимом доктором физико-математических наук, профессором Лакае-вым С.Н.(январь 1994г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано восемь научных статей, список которых приведен в конце автореферата, причем три из них совместно со вторым научным руководителем - Н.Усма-новым |б-8] и одна с к.ф.-ы.н. А.Мухсиновым {б].

Личный вклад. Основные результаты, включенные в диссертацию, получены соискателем самостоятельно, а постановка задач и некоторые идеи доказательств принадлежат научным руководителям.

Объем н структура работы. Диссертационная работа изложена в 82 страницах машинописного текста, состоит из введения, шести параграфов и списка цитированной литературы, включающего 43 наименований.

Краткое содержание диссертации.

Во введении обосновывается актуальность рассматриваемых в ; диссертационной работе задач, приводится обзор литературных источников, формулируется цель исследования, кратко излагается основное содержание работы.

В §1 рассматривается задача сопряжения

где Я.)? -некоторые

точки контура, причем о^т^З^? Мии Р* ~ целые положительные числа; |/>„ - Целое число, ^¿(бЗ^^О ~ Функция» удовлетворяющая условию Гельдера. Точки ©4г ~ НУЛИ> а ~ полюсы главного коэффициента. Решение задачи (9) в некотррых случаях найдено в явном виде,'а в некоторых других-получены точ-

ные утверждения о её разрешимости. (3 одном неособом случае явное решение (9) ранее было найдено Н.Усмановым).

Теорема 1.1. Пусть функции , д ,

а кроме того, в окрестности точек *Ь=,<^-К имеет

производные порядка УУТ.^—, удовлегс зрящие условию Гельдера. Тогда при <Э^+Ц-р^О^оДн0Р°Дная задача в классе функций, ограниченных на контуре, имеет Р) линейно

независимых решений, а неоднородная задача безусловно разрешима, при этом реление задачи (9) дается йормулой: ¿

ри сЙгЬVI-Р — О задача имеет и притом единственное рехе-ние, нулевое для однородной. При /I— Р^-О однородная задача не имеет решений, отличных от нулевого, а для разрешимости неоднородной задачи необходимо и достаточно выполнение

Р} вещественных или 1324"VI"" Р1 комплексных условий разрешимости.

Результаты этого параграфа опубликованы в ¡Ъ^ . В § 2 рассматривается задача Дирихле в круге £) для уравнения

,10,

из класса С^ (Х})/^ О)' краевом условии

гдГ I ~ 'йсИ'с^-ВД-

Задача .(10)-(II) при — О изучалась в работах Л.Г. Михайлова и З.Д.Усманова, а при вещественном ^ и О^к^/^Ж ^осматривалась А.Тунгатаровым.

Теорема 2.1. Пусть отлично от вещественных от-

рицательных чисел. Тогда решение краевой задачи (Ю)-(П) существует единственно и дается формулой:

_ 4 1-Я:.)

" I кСНО-ЗД^Р^ известная функция.

9Т о _

Для вещественных значений *"]/) О » и при

однородная задача имеет точно-, одно нетривиальное решение

СС^ V , а для существования решения неоднородной краевой задачи необходимо и достаточно выполнение условия

при неоднородная задача не иуеет решений ни при

каком , а соответствующая однородная задача имеет беско-

. нечное множество линейно независимых решений.: ^

где АцэВу^ - вещественные постоянные, О,оЬ?* ^ • Б §2 рассматриЕается, кроме того, краевая задача П, т.е. та не задача (Ю)-(П), но для искомой функции допускается полюс целого порядка VI- I показано, что при выполнении уело- :

вия в решение однородной задачи входят

- определяется через УХ ) произвольных постоянных, а при нарушении эллиптичности, когда , число линейно независимых решений одно-родной задачи бесконечно.

Результаты §2 излагаются по совместной с А.Мухсиновым -работе [б], которая велась под руководством академика Л.Г.Михайлова в отделе уравнений математической физики Института математики . АН РТ.

Б §43,4 рассмотрены некоторые частные случаи задачи сопряжения гармонических функций. В §3 !в односвязной области) рассматривается задача:

(12) о1к Ц^^кЦу +^ > ста^о.

Полагая ^дЦ^^Сз)» (12) сводится к параболическому случаю задачи Ш, рассмотренному Л.Г.Михайловым :

А Ш АШ^СЧ АШ-АС-ЬЩ),

где АС-ь) V? н=) выражаются через коэффициенты из (12).

Если Зе^'Зкс^Л . а А • то.в

теореме 3.1 доказано: ^

1) если 7с^0 , то

2) если /ЫО ; то £=4- , рНЯЫ .

Рассмотрен также сингулярный случай, когда в (12), сЦо^К и ^^ имеет полюсы целого порядка. В § 4 для полуплоскости рассмотрена задача:

>на сводится к задаче (А) и для эллиптического случая получается теорема 4.1:

п при эг^о . , р=с ;

2) при С , О и для разрешимости неоднородной

задачи необходимо и достаточно выполнение ЗЦЭ?. ] условий виДа 00 -К — ос

- некоторый линейный оператор. Результаты §§ 3,4 изложены соответственно в статьях т и

й-

5 5 посвящен гриблияенному решению задачи сопряжения для эдной обобщенной системы Коши-Римана, определяемой на всей плоскости уравнением

до при 0<г>03

Для решений (14) рассматригается задача сопряжения

с 15) Уу^ш« ©«жт-^ф > < м > м>о

1 окружности — . Пусть С^.!^- О И

•^ГС"^) -Аппроксимируются: функция 0-с(&) полиномом ^^О^^^^СС^*^ . и коэффициент Д(5й) -па-

и нома ми

УИ

0М(М —'кг2%""^вне области. Тогда приближенное регаенке (14)-(15) дается формулами

- некоторые известные полиномы) с оценкой погрешности в равномерной метрике

где 'З'ъ ^

— вполне определенные константы, не зависящее от номеров VI,УЦ* ОЛТ^^А^СЛ-.р X. "" П0Каза,ге-ли класса Гельдера^кроме того,

Настоящий параграф написан по статьям [2] и £з] .

В § 6 дается приближенное реизние интегрального уравнения Л"

■.где ядро 0 (ДГ? удовлетворяет условиям однородности

и суммируемостк^

В уравнении (16)°вводя функции » рС

и полагая Ц.ЗС , приходим к уравнению

1а

о

В Ш] указаны более простые методы приближенного решения уравнения (16). Следуя [8] , в настоящем параграфе подробно разрабатываются приемы приближенного решения в окрестности сингулярной точки О с последующим приведением к

обычному интегральному уравнению Вольтерра вне окрестности, и даются оценки погрешности в равномерной метрике. На конкретных примерах анализируются достоинства того или иного способа

И Й- ^

I, Если а (I?) РС^ЛР^ И

к.=о

то за приближенное решение (IV) можно принять частную сумму

ФПСЗС). Ряда [I] А

£

с оценкой погрешности

I фи- м^т^)

2. Предполагая, что решение (I?) существует и единственно в [8] доказано, что если рОх) «сС^ > то " Тогда приближенное решение (17) дается формулой

с оценкой погрешности

.достаточно взять

Пусть в (IV) p^DC)^ , Задавая погрешность, вы-

берем столь мальм, чтобы на ^hU¡0

Получив решение на £0 ^ , придем к обычному уравнению •

Вольтерра на £ ^-¿/j

Пример I. Требуется найти с точностью 0,0 приближенное решение интегрального уравнения с ядром Диксона £1]

(18)

или 4?М= Su"t(4*-ur^CuaJcUji+lal^tv-l,^

Решение. Поскольку здесь » то для Т0Р0 чт°бы

^•—OjiS- Тогда приближенное решение имеет вид:

^ ; «l-jr ^ lSSt-АД.

Разбивая отрезок [0¿ приходим к

регулярному уравнению Вольтерра на отрезке dj

Непосредственной проверкой мохно убедиться, что

<&(Х)~&__л .....30

5 iSfi-aa

будет точным реиением (18). Отклонение от точного решения на отрезке 0,^5" будет:

Фв (pe) l^oois.

Пример Z. Пусть требуется найти с точностью ^о^оо! приближенное решение уравнения J4] ,

(i9) vscajgf-^^W ¿м+ф.&нх,

О 4 п

Вводя функцию (Р-0 — (,**-) 1 после замены ^ =

имеем

(20)

Решение. Поскольку то для (20) будет

С"

Фе (*)= ОС- 0-,±9 8 Эс\о,оо90с > О ,

а для (19) имеем «л ш

с погрешностью:

Основные результаты диссертации опубликованы в следумцих статьях:

I. Муминов А.- Численное решение некоторых интегральных уравнений с ядрами, однородными стелени-1,- Докл.АН Тадж.ССР, 1973, т.16, *?3, с.14-18.

2. Муминоз А.- Приближенное решение задачи Римана для одного частного случая, обобщенной системы Коши-Римана.- Докл.АН Тадж.ССР, 1977, т.20, !ГхЗ, с.7-14.

3. Муминов А.- Приближенное решение задачи Римана для некоторых обобщенных систем Ноши-Ркмана.- Тезисы докладов республиканской конференции молодых ученых Тадж.ССР, посвященный 60-летию В.О.С.Р., Дуланбе, 1977, с.9.

4. Муминов А,- 0 приближенном решении некоторых интегральных уравнений с однородными ядрами.- Тезисы докладов республиканской научно-технической конференции "Интегральные уравнения в прикладном моделировании/'ч.К, Киев, 1983, с.156-157.

5. Мухсинов А., Муминов Задгча Дирихле для одного сингулярного дифферениизльного уравнения эллиптического типа. -

Докл.АН Тадж.ССР,1988,т.31,№Э,с.558-563.

6. Усманов Н., Муминов А.- Сингулярные случаи одной краевой задачи теории аналитических функций с производной в краевом

условии.-Деп.я НГИЦентр,1993,B.U.,ii77(866}!,TA93,4e.

7. Усманов Н., Муминов А.- Об одной краевой задаче сопряжения гармонических функпий и её сингулярный случай.- Докл.АН РТ,

1994, т. 3?, М, с. 5-8.

8. Усманов К., Муминов А.- Задача сопряжения гармонических • функпий для полуплоскости,- Деп.в гШКцентр, 1993,в.Н,!Р76(865) ТА92, 5с.

Пользуясь случаем, приношу глубокую благодарность моим научным руководителям, академику АН РТ, доктору физико-математических наук, профессору Л.Г.Михайлову па предложенную тему и научное руководство, доценту Н.Усмашву'за постоянное внимание и неоднократное обсуждение результатов.

Литература

1. Гахов З.Д.- Нраевые задачи.- М.:£изматгиз,1963,640с.

2. Векуа H.H.- Обобщенные аналитические функции.- М.:Наука,1988, 510с.

3. Мусхелшвиля H.H.- Сингулярные интегральные уравнения.- М.: Наука,1968,511с.

4. Михайлов Л.Г.- Об:дея краевая задача о бесконечно малых изгибаниях скленннх поверхностей.- Известия Вузов, Математика, i960, т.18,155,с.99-109.

5. Михайлов Л.Г.- Новый класс особых интегральных уравнений и его применения /к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами.- Душанбе, Изд.АЛ Тадж.ССР, 1963, 184с.

6. Михайлов Л.Г.- Интегральные уравнения с ядром, однородным стэпени-I.- Душанбе, Дониш, 1966, 50с.

7. Михайлов Л.Г.- Некоторые переопределенные системы уравнений в частных производных с двумя неизвестными функциями.- Душанбе, Дониш, 1986,115с.

8. Михайлов Л.Г.- О приближенном решении некоторых интегральных уравнений с однородными ядрами.- Докл.АН ТаджССР,1972, т.15, Ю, с.3-6.

9. Михайлов Л.Г.- 0 задачах сопряжения гармонических функпий. - Докл.АН ТедкССР,1980,т.23,^4,с.171-174. '