Краевые задачи теории аналитических и обобщенных аналитических функций с нагруженными свободными членами и с дополнительными заданиями граничных моментов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ
|
Акбаров, Рахмат
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Куляб
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2009
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.01
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
АКБАРОВ РАХМАТ
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ И ОБОБЩЕННЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ С НАГРУЖЕННЫМИ СВОБОДНЫМИ ЧЛЕНАМИ И С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ ЗАДАНИЯМИ ГРАНИЧНЫХ МОМЕНТОВ
01. 01. 01. - математический анализ
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Душанбе-2009
003468075
Работа выполнена на кафедре математического анализа Кулябского государственного университета
Научный консультант:
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук, академик АН РТ, профессор Михайлов Леонид Григорьевич
доктор физико-математических наук, профессор Антонцев Станислав Николаевич
Ведущая организация:
доктор физико-математических наук, профессор УсмановНурулло
доктор физико-математических наук, профессор Сатаров Абдуманон Сатгарович
Московский государственный университет
им. М.В. Ломоносова, факультет вычислительной
математики и кибернетики
Защита состоится « 3 » июня 2009г. в 11 часов на заседании диссертационного совета ДМ 047.007.01 при Институте математики Академии наук Республики Таджикистан по адресу: 734063, г. Душанбе, ул. Айни 299/1.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики Академии наук Республики Таджикистан
Автореферат разослан « Л » 0 V г.
И.о. ученого секретаря ^;
диссертационного совета Мустафокулов Р.
I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.
1. Актуальность темы. В теории краевых задач аналитических функций (а.ф.) и теории обобщенных аналитических функций (о.а.ф.), а также в теории сингулярных интегральных уравнений (с.и.у.), быЛо рассмотрено немало различных обобщений и дополнений(11, (2)'(3).
С другой стороны, еще с 19-го века, после создания теории интегральных уравнений Фредгольма, в работах Кнезера и Лихтенштейна в качестве обобщения была построена теория нагруженных интегральных уравнений(4).
В данной работе впервые ставятся и изучаются нагруженные с.и.у. с ядром Коши, либо Гильберта, но также изучаются необходимые для этого, нагруженные краевые задачи Римана (сопряжения) и Гильберта. Все это дополняется еще заданиями граничных моментов искомых функций: Кроме того, добавляются граничные задачи в классах функций, допускающих изолированные особые точки, но с наперед заданными главными частями<5). Актуальными надо считать также исследованные в работе краевые задачи теории о.а.ф. с нагруженными свободными членами и с дополнительными заданиями граничных моментов.
Задачи с нагруженными свободными членами и с дополнительными заданиями граничных моментов от искомых функций могут1 возникать, кроме того, еще в тех или иных других ситуациях, как это было, например, в фундаментальных исследованиях Л.Г. Михайлова (6>,(7\
11 * Гахов Ф.Д. - Краевые задачи. - М., Физматгиз, 1977, 640 с.
<2> Мусхелишвили Н.И. - Сингулярные интегральные уравнения. - М„ Наука,
1968,511 с.
<3) Векуа И.Н. - Обобщенные аналитические функции. - М. Наука. 1959.628 с. 141 Смирнов В.И. - Курс высшей математики, т. 1У-М, Наука, 1974, 336 с. <5> Акбаров Р. - Краевые задачи теории аналитических функций с заданными главными частями и им соответствующие особые интегральные уравнения, Душанбе, Дониш, 2006,245 с.
<6) Михайлов Л.Г. - Новый класс особых интегральных уравнений и их применение к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами, Душанбе: АН Тадж. ССР, 1963, 184 с. (7) Михайлов Л.Г. - ДАН СССР, Т. 256, №2,1981, С. 276-281.
2. Методика исследования. В диссертационной работе применяются: метод аналитического продолжения, принципы симметрии (т.е. зеркального отражения, либо инверсии), метод интегральных уравнений.
3. Цель работы. Изучить новые классы краевых задач и сингулярных интегральных уравнений (с нагруженными свободными членами и с дополнительными заданиями граничных моментов). Более подробно:
1) Нахождение необходимых и достаточных условий существования решений;
2) Вывод формул для общих решений и условий разрешимости;
Особое внимание при этом уделяется анализу вкладов в общее решение, происходящих от нагруженных свободных членов и заданных главных частей, разложенных в ряд Лорана.
4. Научная новизна.
1) Получены решения в замкнутой форме нагруженной краевой задачи сопряжения и ей соответствующего характеристического с.и.у. в новой и притом обобщенной постановке;
2) Изучена общая задача линейного сопряжения с нагруженными свободными членами и с дополнительными заданиями граничных моментов;
3) Исследованы в новой и притом обобщенной постановке и решены в замкнутой форме нагруженная краевая задача Гильберта с дополнительными заданиями граничных моментов и ей соответствующее характеристическое с.и.у. с ядром Гильберта.
4) Дана постановка смешанной краевой задачи в классе а.ф. и для неё также изучается задача с нагруженными свободными членами и с дополнительными заданиями граничных моментов, а также соответствующее характеристическое с.и.у.
5) Изучена нагруженная краевая задача сопряжения с дополнительным заданием граничных моментов в классе о.а.ф.
5. Теоретическая (научная) и практическая значимость. В работе впервые были поставлены и изучены совершенно новые (ранее никем не изучавшиеся) обобщения краевых задач теорий а.ф. и о.а.ф., а именно:
1) Краевые задачи с нагруженными свободными членами и с дополнительными заданиями граничных моментов;
2) Характеристическое с.и.у. с нагруженными свободными членами и с дополнительными заданиями граничных моментов;
3) Для всех указанных в п. 1 и в п. 2 обобщения 2-х основных краевых задач и обобщенного характеристического с.и.у. -решения получены в замкнутой форме;
4) Общая линейная задача сопряжения с нагруженными свободными членами и с дополнительными заданиями граничных моментов изучена в классах а.ф. и о.а.ф.
Указанные выше новые научные результаты могут и должны найти широкое применение в целом ряде краевых задач математической физики, в теории упругости, в гидродинамике, в теориях фильтрации и дифракции.
б. Аппробация работы. Основные результаты, содержащиеся в диссертации, обсуждались в отделе дифференциальных уравнений Института математики АН РТ (руководитель профессор Михайлов Л.Г.); на кафедре теории функций Белорусского государственного университета (19751980 - руководитель профессор Зверович Э.И.); на кафедре теории функций и математического анализа Таджикского национального университета (1979 - руководитель академик АН РТ, профессор Раджабов Н.); на кафедре математического анализа Кулябского государственного университета (1980-1984 г.г. руководитель профессор Сафаров Д.Х.); на ежегодных научных конференциях Кулябского государственного университета (1978-2008гг.), на республиканской конференции по уравнениям математической физики (Душанбе, 1983), на всесоюзной конференции по теории функциональных уравнений (Душанбе, 1987), на республиканской научной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения», (Куляб, 1991), на международной научной конференции «Дифференциальные уравнения с сингулярными коэффициентами» (Душанбе, 1996), на международной конференции «Аналитические методы анализа» (Минск, 1999), на международной научной конференции «Дифференциальные и интегральные уравнения и смежные вопросы анализа» (Душанбе, 2005).
7. Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах (1)-(42). Если говорить о важнейших публикациях в центральной печати, то, прежде всего, надо указать на работы 1980-1987 г.г. (10)-(15), (18) (Сибирский математический журнал). Но, кроме того, необходимо, конечно, особо отметить публикацию монографии (34), а также совсем недавней статьи в одном из самых престижных научных журналов мира, в докладах АН России (42), Т. 423, №2 за 2009г., в которой отражена важнейшая часть диссертации.
8. Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из оглавления, введения, трех глав, списка литературы из 84 наименований. Работа изложена на 368 страницах.
И. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.
Во введении изложена актуальность избранной темы исследования, цель и научная новизна работы, даны методика исследования и краткое содержание работы.
Первая глава посвящена нагруженным краевым задачам теории а.ф. с дополнительным заданием- граничных моментов и состоит из 4-х параграфов.
В § 1, рассматривается нагруженная задача сопряжения а.ф. Дается постановка задачи для сложного контура. Затем выписывается известное решение как однородной задачи без нагрузки, так и однородной задачи с нагрузкой, а затем с дополнительными заданиями граничных моментов. Затем исследуется нагруженная неоднородная задача с дополнительными заданиями граничных моментов, причем исследуемая нагруженная краевая задача сводится к линейным алгебраическим системам. В п.8 дается решение нагруженной неоднородной задачи с дополнительными заданиями граничных моментов и с учетом заданных главных частей.
Пусть на (С задан сложный кусочно-гладкий контур Ь, т.е. объединение конечного числа простых гладких кривых (замкнутых или разомкнутых), имеющих конечное число общих
точек. Ввиду сложности контура Ь, дополнение (Г \ Ь может
быть как связным, так и состоять из любого конечного числа связных компонентов.
Пусть Л = - множество точек контура Ь,
содержащее все концы, кратные точки, точки нарушения гладкости, а также конечное число других точек контура. Будем считать, что множество Ь \ Л распадается на конечное число
связных компонентов Ь,,Ь2.....(«кривых контура Ь»), каждая
из которых есть гладкая кривая, гомеоморфная интервалу (0,1) числовой оси. Фиксируя произвольно ориентацию на каждой кривой Ц, зададим тем самым ориентацию на контуре Ь. Пусть на каждой кривой Ь, заданы две Н - непрерывные функции бДО и (1), причем в; (0 Ф 0 и Н непрерывно продолжима на начальную и концевую точки кривой Получающиеся при этом предельные значения будем считать конечными и отличными от нуля. Через С 0) и 0) обозначим функции, определяемые равенствами: в (1) = 0$) и g (0 = gj (1) при I е Ц
(7 = 1,^). Зададим дивизор I = //' ./2'г... /„'" порядка
л
т = огсИ = ^ .Д, , составленный из точек множества А, взятых
с произвольными целыми кратностямн(8>. Рассмотрим следующую краевую задачу:
Найти все функции Ф(г), ограниченные на бесконечности,
аналитические на (С\Ь, Н — непрерывно продолжимые слева и справа на Ь \ Л, где должно выполняться краевое условие:
Ф+(0 = С{<) Ф'(0+£(0+2>А(0 (1.1.1)
где ОСг<У-1.....С/:1 - некоторые комплексные постоянные,
остающиеся произвольными либо подлежащими определению также, кака. ф. Ф+(г)мФ~(г), а под знаком суммы из (1.1.1)
Зверович Э.И. Краевые задачи теории аналитических функций в гельдеровских классах на римановых поверхностях. УМН. т.26, вып.1 (157). 1971,113-179 с.
называемой нагрузкой ..,$„(/) -заданные линейно -
независимые комплексные функции, удовлетворяющие условию
Кроме того, требуется подобрать а,,ОГ2,...,ап, так,-чтобы
существовало многообразие решений (1.1.1), из которых затем надо выделить решения, удовлетворяющие дополнительным заданиям граничных моментов
|Л//)Ф+(0dt=Pj, ]=\Х...Щ\ ¡hj(t)<t>-(t)dt=Pj, (1.1.2)
j = ml +1,..., тх + тг = т\
где hj(t) - заданные комплексные функции класса Н, a Pj -
заданные комплексные постоянные.
Сформулируем некоторые результаты
Теорема 1.14. Нагруженная неоднородная задача (1.1.1) с дополнительными заданиями граничных моментов (1.1.2) сводится к л. а. с. (1.1.39+), состоящей из mi комплексных уравнений с п + т + ге + 1 неизвестными комплексными постоянными сй,с1,...,сХАгт и ttva2,...,OCn. Пусть аг + т + 1 > О, тогда
1) Если mt < п + т + ге + 1, то задача (1.1.1) - (1.1.2) безусловно, разрешима и её общее решение, задаваемое формулой
2т i y {т) т-z
содержит п + т - /и/ + эг + 1 произвольных комплексных постоянных;
2) Если т/ = п + /и + ж + 1 и определитель системы (1.1.39 ) отличен от нуля, то задача (1.1.1) - (1.1.2) имеет и при том единственное решение; '
3) Если /и/ > п + т + а; + 1, то для разрешимости задачи (1.1.1) - (1.1.2) необходимо и достаточно, чтобы были равны ранги расширенной матрицы из (1.1.39 ) и основной матрицы
Н.
L
L
(1.1.35)
из (1.1.39 ) обозначаемые через г. Тогда общее решение задачи содержит п + т+ ае + 1 - г произвольных постоянных.
Пусть £>+- конечная (/и-Н) связная область с простой
гладкой Ь состоящей из кривой Ьй, охватывающей остальные
кривые Ц,12,...,1т [1]. Обозначим £>~=<Г\£)+. Для этой конфигурации рассмотрим задачи (1.1.1) с учетом заданных главных частей /00 = /+00+/-00 > где /(7)=£'(г)+|2(2) +
Здесь через /+(г) и /_(г) обозначена сумма главных частей неизвестной функции по всем особым точкам, лежащим в £>+ и £Г соответственно. Функции /+(г) и аналитичны
всюду вне соответствующих особых точек, в частности /+(г)
аналитичнав£Г,а /Л2) в .
Следствия 1.3. Если главные части неизвестной функции Ф±(г) заданы в виде пары функций /+(г) и
аналитических соответственно на (Г \ ^ ы <£\Р_, то условие разрешгшости задачи (1.1.1) можно представить в виде
Их (*) х {1)\
и при их выполнении, общее решение задачи (1.1.1) дается формулой
Ф(2)=/(2) + *(2)
2т {
т т
т-г
(1.1.57)
2т [х\т) т-г 2т £ к[ХЧг) т-г
где Рх (г) = 0, а в случае выполнения условий (А) и (В) формулами:
Ф+(2)=/+(2)+С(2)/_(2)+Ф;(2)+Ф;(2)+Ф;(2), Ф"(2) = Ш+0-\г)/+(2)+Ф0"(2)+Ф-(Г)+Ф;(г), и
где
(1.1.6
2Щ '^{хЧ*) х-2
В § 2 исследуется нагруженная общая задача линейного сопряжения с дополнительными заданиями граничных моментов. Выписываются различные формы записи, условия разрешимости задачи. Здесь обобщаются результаты Л.Г. Михайлова.
Теорема 2. 7. Для разрешимости нагруженной общей задачи линейного сопряжения (1.2.1) с учетом заданных главных частей и с дополнительными условиями на искомую фунщию необходимо и достаточно, чтобы для каждой V = 1,2,..., п выполнячись условия разрешимости
= 5>
да*
У = 1
ди;
(1.2.21)
для любого решения 1//^(т) {] = 1,2,..., (!) сопряженной задачи (1.2.Г). Условия разрешимости (1.2.21) равносильна
записи
Ле| [ = Яе^, у = 1,2,.../.
(1.2.22)
где
I. э и; эи;
Тогда справедлива
Теорема 2.8. Условия разрешимости нагруженной общей задами линейного сопряжения (1.2.1) с учетом заданных главных частей сводится к л. а. с. (1.2.22), состоящей из I вещественных уравнений с п неизвестными вещественными произвольными постоянными а,, <Х2,...,ССП,
1) Если £'<п, то задача (1.2.1) разрешима и ее общее решение содержит п — 1' произвольных вещественных постоянных;
2) Если £' = п и сЫЦа^Ц ^ 0, то задача (1.2.1) имеет и
притом единственное решение;
3) Если (,'>п, то для разрешимости задачи (1.2.1) необходимо, чтобы были равны ранги расширенной матрицы из (1.2.22) и основной матрицы из (1.2.22). Тогда общее решение задачи содержит п — г произвольных вещественных
постоянных, где г = гаи^Цс^ |.
В § 3 изучается внутренняя нагруженная задача Гильберта с дополнительными заданиями граничных моментов на искомую функцию для односвязной области по следующему плану. Сначала дается постановка задачи и приводятся некоторые вспомогательные формулы и с их помощью дается как решение нагруженной однородной задачи, так и нагруженной неоднородной задачи с дополнительными заданиями граничных моментов для единичного круга и полуплоскости.
Теорема 3.6. Нагруженная однородная задача Гильберта
с-3-29)
[а + Л] П
с дополнительными заданиями граничных моментов
Яе||АДт)0(г)Л| = ^, у = 1,2,..., р (1.3.2)
сводится к л. а. с. (1.3.38') - (1.3.36), в совокупности состоящей из р + 2|зз| — 1 вещественных уравнений с п неизвестными вещественными произвольными постоянными а,,а2,..., а„. Пусть X = ,1пс1(а + ¡Ь) < 0, тогда:
1) Если р + 2|аг| -1 < п, то задача (1.3.29) - (1.3.2) разрешима и ее общее решение задаваемое формулой
Ф(Г) = г"е'*'>2>, (1.3.35)
*.1 2л- ^ е -г
содержит п-р-2|ае|+1 произвольных вещественных постоянных;
2) Если р + 2|аг| — 1 = п и определитель системы
объединяющей (1.3.38') - (1.3.2) отличен от пуля, то задача (1.3.29).....(1.3.2) имеет и притом единственное решение;
3) Если р + 2|ге| — 1 > п, то для разрешимости задачи
(1.3.29) — (1.3.2) необходимо и достаточно равенство ранга (обозначаемое через г) основной матрицы объединяющей
(1.3.38) ...... (1.3.36) рангу расширенной матрицы из (1.3.38') —
(1.3.36); тогда общее решение задачи содержит п-г произвольных постоянных.
§ 4 посвящается исследованию нагруженной смешанной краевой задачи для круга с дополнительными заданиями граничных моментов. На единичной окружности задается краевое условие задачи Гильберта с нагруженными свободными членами, а на сложном контуре, лежащем внутри круга, -краевое условие задачи Римана. Общий план исследования такой же, как и в предыдущих параграфах. Различие заключается в том, что здесь метод введения дополнительных контуров комбинируется с методом симметрии и задача исследуется с учетом заданных главных частей.
Теорема 4.3'. Нагруженная смешанная задача (1.4.2) - (1.4.3) с дополнительными заданиями граничных моментов (1.4.4) с
учетом заданных главных частей сводится к л. а. с. (1.4.37') -(1.4.3 7"), состоящей из р — 2аг — /и -1 комплексных уравнений с íñ неизвестными комплексными произвольными постоянными ОГ,,а,,...,ал. Пусть эе, + 2эг, + 2т < 0. тогда:
1) Еслир - 2ae - т -1 < т, то задача (1.4.2) - (1.4.4) разрешима и её общее решение, задаваемое формулой (1.4.36), где P{z) -- 0, содержит т — р + 2аг + т +1 произвольных комплексных постоянных;
2) Если р — 2эг — т — \ = ñí и определитель системы, объединяющей (1.4.37') - (1.4.37") отличен от нуля, то задача (1.4.2) — (1.4.4) имеет и притом единственное решение;
3) Еслир-2х-т-\>т, то для разрешимости задачи (1.4.2) - (1.4.4) необходимо и достаточно равенство ранга обозначаемое через г, расширенной матрицы из (1.4.37') -(1.4.37") рангу основной .матрицы из (1.4.37') - (1.4.37"). Тогда общее решение задачи содержит т — г произвольных комплексных постоянных.
Вторая глава посвящена исследованию нагруженных сингулярных интегральных уравнений с дополнительным заданием граничных моментов. Она состоит из 5 параграфов.
В § 1 исследуется характеристическое с.и.у. с дополнительным заданием граничных моментов.
Теорема 1.1. Если а¡>0, то нагруженное х. с. и. у.
К°<р{i) = a(t)(?{t) + Wl\&-dT = c(t) + X aßk (/) (2.1.1) m {x-t tí
разрешима при любой правой части, а её общее решение содержит ж + п произвольных комплексных постоянных и даётся формулой
п
<р,(о=% (о+<р, (о+X ад (о=
т J, z(т) т -1
(2.1 л)
П ™ П /. ^(т) Т -1
Если х < 0, то нагруженное х. с. и. у. (2.1.1) разрешимо тогда и только тогда, когда его правая часть удовлетворяет
эе + п условиям разрешимости:
J
y/j(T)dr = (Щ = 1,2,...,|аф (2.1.18)
где у/j (t) - любое решение союзного уравнения
K°y/(t) = a(t)y/(t) - - f Ь(ГdT = 0 (2.1.10')
m\ x-t
При выполнении условий (2.1.18), общее решение х. с. и. у. (2.1.1) даётся формулой (2.1.17), где РхЛ (/) = 0.
Следствие 1.1. Условия разрешимости (2.1.18) при ае < 0 приводятся к л. а. с.
j = 1,2,.. (2.1.18')
*=i
состоящей из |ае| комплексных уравнений с п неизвестными
комплексными произвольными постоянными, которая разрешима в следующих случаях.
1) Если |аг| < и, то как л. а. с. (2.1.18') так и х. с. и. у. (2.1.1) разрешимы и их общее решение задаваемой формулой (2.1.17), где PsA (/) = 0, содержит п — |ге| произвольных комплексных постоянных;
2) Если |ае | = п, Л = detail * 0, тол. а. с. (2.1.18') и
вместе с ней х. с. и. у. (2.1.1) имеют и притом единственное решение;
3) Если |аг| > п, то л. а. с. (2.1.18') ив месте с ней х. с. и. у.
(2.1.1) разрешима тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы из (2.1.18') равен рангу основной матрицы из (2.1.18').
В § 2 исследуется нагруженная х.с.и.у. соответствующего з.с.а.ф. с дополнительными заданиями граничных моментов с учетом заданных главных частей.
Теорема 2.6. Нагруженная х. с. и. у. (2.1.1) с дополнительными заданиями граничных моментов
{/;,(/)<?( 1)Л = др у = 1,2,...,/я, (2.1.2)
и с учетом заданных главных частей сводится к л. а. с. (2.2.27), состоящей из т комплексных уравнений с п + ге неизвестными с0,с1,...,сге_1 и а1,а2,—,СС„. Пусть ач > О, тогда
1) Если т<п + ге, то задача (2.1.1) - (2.1.2)разрешима и её общее решение задаваемое формулой
7й }г(т) X —/ П Ь(гвЛг) ¿т ,,ч/чп ,.
«(0-6(0 «(0 + 6(0"
Ь№0 г/А?)[Ф)~Ь(Т)}-/МФ)+Ь(?)} ат (2 218)
содержит п + аг - т произвольных комплексных постоянных;
2) Если т = п + & а определитель системы (2.2.27) не равен нулю, то задача (2.1.1) - (2.1.2) имеет и притом единственное решение; ^
3) Если т >и + эе, то для разрешимости задачи (2.1.1) -(2.1.2) ндрбходимо и достаточно равенство рангов основной матрицы из (2.1.27) и расширенной матрицы из (2.1.27) обозначаемых через г. Тогда общее решение уравнения содержит п + аг - г произвольных комплексных постоянных.
В § 3 исследуется х.с.и.у., соответствующее краевой задаче Гильберта с дополнительными заданиями граничных моментов.
Теорема 3.8. Нагруженное неоднородное х. с. и. у. b(s)2г , , т-s
a(s)u(s)-J£¿ fu(T)c/g—ídT = c(s) + 2iatet(s), (2-3.1) i 2 M с дополнительными заданиями граничных моментов
In
Jtt(T)fty(T)í/T = ^, j = l,2,...,p, (2.3.2)
о
сводится к л. а. с. (2.3.44) и 2|ге| условий разрешимости (2.3.40), (2.3.43)
^tiPjkak J = 12,...,т (2.3.44)
*=i
aikak=d'j, y =l,2,...,|ae|-l (2.3.40)
*=i 2it2n
J Jc( т)£(т)еч(г| sin ae(r - s)dsdr +
o
„ lain
a, J jek (т)$(т)ещ(Т) sin зе(т -s)dsdr = 0
o o
„ 2л2к
*=I o 0
состоящее из /и+2|ае| вещественных уравнений с п неизвестными вещественными постоянными OCl,OC2,...,Ctn. Пусть ге< 0, тогда:
1) Если т + 2|эе| < п, то нагруженное неоднородное х. с.
и. у. (2.3.1) - (2.3.2) разрешимо и её общее решение задаваемое формулой
1 1ж — 2л J0 2
+ YJakr]{s)e^)ek{s)-
k=1
- É <*¿ ís)]е^вк (T )ctg ^ di (2.3.41)
k=\ o -
при дополнительном условии (2.3.40), (2.3.43), содержит п - ш — 2|аг| произвольных вещественных постоянных;
2) Если т + 2|аг| = п и определитель системы
объединяющей (2.3.40), (2.3.43), (2.3.44) отличен от нуля, то х. с. и. у. (2.3.1) - (2.3.2) имеет и притом единственное решение;
3) Если т + 2|ае| > п, то для разрешимости х. с. и. у. (2.3.1)
- (2.3.2) необходимо и достаточно равенство рангов расширенной матрицы объединяющей (2.3.40), (2.3.43), (2.3.44) и основной матрицы (2.3.40), (2.3.43), (2.3.44) (обозначаемые через г). Тогда обгцее решение содержит п — г произвольных вещественных постоянных.
В § 4 исследуется нагруженное неоднородное х.с.и.у. с ядром Гильберта с учетом заданных главных частей и с дополнительными заданиями граничных моментов
Теорема 4.9. Нагруженное неоднородное х.с.и.у. (2.3.1) с учетом заданных главных частей /(г) — Ке /(г) + \Jmfiz) и с дополнительными заданиями граничных моментов (2.3.2) сводится к л.а.с. (2.4.45'): ^
] = 1,2,..., р, (2.4.45')
*=1
и 2|ге] вещественным условиям разрешимости (2.4.44):
т
^а1,[ак V =0,1,2,..., И-1»
¿-=1 (2.4.44)
в совокупности состоящее из /? + 2|аг| вещественных уравнений с /7 неизвестными произвольными вещественными постоянными а],а2,...Мп. Пусть ге < 0, тогда:
1) Если /? + 2|ае| </7, то задача (2.3.1) - (2.3.2) с учетом
заданных главных частей разрешима и ее общее решение задаваемое формулой
1 2л <т—
+ тК$)
п
*=1 2яг
Г'^-с^^у^ст; (2.4.39)
с(ст) + £аД(с7)
ирм дополнительном условии (2.4.40) содержит п — р — 2[аг| произвольных вещественных постоянных;
2) Если р + 2|эг| = и и определитель системы
объединяющей (2.4.45') - (2.4.44) отличен от нуля, то задача
(2.3.1) - (2.3.2) имеет и притом единственное решение;
3) Если р + 2|аг| > п, то для разрешимости задачи (2.3.1) -
(2.3.2) с учетом заданных главных частей необходимо и достаточно равенство ранга (обозначаемого через г), основной матрицы объединяющей (2.4.45') - (2.4.44) рангу расширенной матрицы из (2.4.45') - (2.4.44). Тогда общее решение х.с.и.у. содержит п- г произвольных вещественных постоянных.
Третья глава посвящена исследованию нагруженной задачи сопряжения обобщенных аналитических функций (з.с.о.а.ф.) с дополнительными заданиями граничных моментов и состоит из трех параграфов. Результаты этой главы обобщают результаты Л. Г. Михайлова19'.
В § 1 приводятся основные сведения из теории о.а.ф., такие, как: обобщенная неоднородная система уравнений Коши-Римана, интегрирование некоторых дифференциальных уравнений, интегральные представления решения уравнения, взаимно-однозначные соответствия между кусочно-регулярными решениями и кусочно-голоморфными функциями и обращение основной формулы.
<9> Михайлов Л. Г. - Краевая задача типа задачи Римана для систем дифференциальных уравнений первого порядка эллиптического типа и некоторые интегральные уравнения. - Ученые записки Тадж. госуниверситета, Сталинабад, 1957. с. 32-78
§ 2 посвящен построению аналогов а.ф. В § 3 изучается нагруженная краевая задача Римана о.а.ф. с дополнительными заданиями граничных моментов. Дается постановка задачи, а затем решение как нагруженной однородной задачи Римана, так и нагруженной неоднородной задачи Римана для однородного уравнения с дополнительными заданиями граничных моментов. В п. 10 дается решение нагруженной неоднородной задачи сопряжения для неоднородного уравнения с дополнительными заданиями граничных моментов.
Теорема 3.12. Нагруженная неоднородная задача сопряжения о.а.ф.
W\t) = G(t)W'(t) + g(t) + (/), (3.3.2)
Л=1
для однородного уравнения
= (3.1.22)
oz
с первым из дополнительных условий типа моментов
]hj{t)W+(t)dt = Pj, j = 1,2,..., mt; (3.3.3)
л
сводится кл.а.с.
=di> j = lA-'Wp (3.3.53)
состоящей из mi комплексных уравнений с ai.+ п неизвестными комплексными (или 2<е. вещественными) обобщенными постоянными А0,А1,...,А2ж и ах,а2,...,ап. Пусть гс > 0, тогда: 1) Если от, <х + п, то задача (3.3.2) - (3.1.22) - (3.3.3) безусловно разрешима и ее общее решение, задаваемое формулой
W(z) = Х(Ф„(2) + wa(z) + Урж1 (z) J (3.3.49)
где
2х-|
У^ ((г) = (г) - аналог многочлена, (3.3.24)
к=0
содержит аг + п - т1 произвольных комплексных обобщенных постоянных;
2) Если тх = аг + п и определитель системы (3.3.53) отличен от нуля, то задача (3.3.2) - (3.1.22) - (3.3.3) имеет и притом единственное решение;
3) Если т] > ае + п, то для разрешимости задачи (3.3.2) -(3.1.22) — (3.3.3) необходимо и достаточно, чтобы были равны ранги основной матрицы из (3.3.53) рангу расширенной матрицы из (3.3.53) обозначаемые через г. Тогда общее решение задачи содержит п - г произвольных комплексных обобщенных постоянных.
Теорема 3.13. Нагруженная неоднородная задача сопряжения о.а.ф. (3.3.2) для однородного уравнения (3.1.22) с первым из дополнительных заданий граничных моментов (3.3.3) сводится кл.а.с. (3.3.54) - (3.3.52):
У = 1Д,-..,/и„ (3.3.54)
к=0
= 0,1,...,|аг|-1, (3.3.52)
состоящей из /я;; + |аг| комплексных уравнений с п неизвестными комплексными обобщенными постоянными ах,аг,...,а„. Пусть ге < 0, тогда:
1) Если /и, + |аг| < и, то задача (3.3.2) - (3.1.22) - (3.3.3) разрешима и ее общее решение, задаваемое формулой (3.3.49), где Ур ! (г) = 0, содержит п — т1— |эг| произвольных комплексных обобщенных постоянных;
2) Если тх + |эг| = п и определитель системы объединяющей (3.3.54) - (3.3.52) отличен от нуля, то задача
(3.3.2) - (3.1.22) - (3.3.3) имеет и притом единственное решение;
3) Если /и, + |ж| > п, то для разрешимости задачи (3.3.2) -
(3.1.22) - (3.3.3) необходимо и достаточно, чтобы были равны ранги основной матрицы объединяющей (3.3.54) - (3.3.52) (обозначаемые через г) рангу расширенной матрицы объединяющей (3.3.54) - (3.3.52). Тогда общее решение задачи содержит п - г произвольных комплексных обобщенных постоянных.
Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:
1. Акбаров Р. О краевой задаче Римана с заданными главными частями. ДАН Тадж. ССР, т. 21, № 3,1978, с. 3-6.
2. Акбаров Р. Задача Гильберта с заданными главными частями. Рукопись депонирована в НИНИТИ 4 апреля 1978 через журнал «Вестник», Белорусского ун-та, № 1155-78 ДЕП.
3. Акбаров Р. Задача Гильберта кусочно-аналитической функции с заданными главными частями. ДАН БССР, т. 22, №7, 1978, с. 588-591.
4. Акбаров Р. Задача линейного сопряжения с заданными главными частями для векторов. ДАН Тадж. ССР, т. XXI , 1978, с. 3-6.
5. Акбаров Р. О задаче Римана для аналитических функций с особенностями. «Вестник» Белорусского ун-та, серия 1,
№ 1, 1979, с. 67-69.
6. Акбаров Р. Задача Римана для кусочно-мероморфных функций с заданными главными частями на римановых поверхностях. «Вестник. Белорусского университета», серия 1, № 1, 1979, с. 46-49. (Зверович Э. И.-соавтор)
7. Акбаров Р. Однородная краевая задача Римана с заданными главными частями, Известия АН. Тадж. ССР, №3,73, 1979, с. 76-79.
8. Акбаров Р. Об общей задаче линейного сопряжения с особенностями. «Вестник. Белорусского университета», серия 1,№ 2, 1979, с. 75-78.
9. Акбаров Р. Линейные краевые задачи теории аналитических функций с заданными главными частями. Автореферат канд. дис. Минск 1980, с. 3-15.
10. Акбаров Р. О краевых задачах теории аналитических функций с заданными главными частями на плоскости. Сибирский матем. журнал, т. 21, № 4, 1980, с. 227 .
11. Акбаров Р. Задача Римана с заданными главными частями, Известия АН Тадж. ССР, № 4 (78), 1980, с. 3-7.
12. Акбаров Р. Смешанная краевая задача Гильберта для односвязной области с заданными главными частями, ДАН Тадж. ССР, т. 24, № 3, 1981. с. 3-6.
13. Акбаров Р. О краевой задаче Римана с заданными главными частями на замкнутой римановой поверхности. ДАН Тадж. ССР. т. XXV, № 6, 1982, с. 315-319.
14. Акбаров Р. О краевой задаче Римана с заданными главными частями для векторов. Тезисы республиканской конференции по уравнениям математической физики. Душанбе, 1983, с. 101-102.
15. Акбаров Р. Смешанная векторно-матричная задача Римана-Гильберта с заданными главными частями для односвязной ' области. Сибирский математический журнал, t.XXV, № 2, 1984, с. 13-20.
16. Акбаров Р. О векторно-матричной задаче линейного сопряжения с заданными главными частями. ДАН Тадж. ССР. т. XXVIII, № 9, 1985, с. 489-492.
17. Акбаров Р. О смешанной векторно-матричной задаче Римана-Гильберта с заданными главными частями. Тезисы Всесоюзной конференции по теории функциональных уравнений. Душанбе, 1987, с. 18-19.
18. Акбаров Р. О смешанной задаче Римана-Гильберта с заданными главными частями на римановой поверхности. Сибирский математический журнал, т. XXVIII, 1987, с. 3-6.
19. Акбаров Р. О решении особого интегрального уравнения, соответствующего краевой задаче Римана с заданными главными частями. Тезисы докладов Республиканской конференции «Дифференциальные уравнения и ~их приложения». Куляб, 1991, с. 10-12.
20. Акбаров Р. Задача Римана с мультипликативными заданными главными частями. Рукопись депонирована в ВИНИТИ через журнал Известия АН Тадж. ССР, № 337691 ДЕП.
21. Акбаров Р. О краевой задаче Римана с бесконечным числом заданных главных частей. ДАН Тадж. ССР, т. XXXV, № 1,
1992, с. 3-5.
22. Акбаров Р. Решение особого интегрального уравнения, соответствующего краевой задаче Римана. ДАН Тадж. ССР, № 12, с. 3-5.
23. Акбаров Р. О краевой задаче Римана с заданными главными частями. Тезисы научной конференции КГУ,
1993, с. 170-171.
24. Акбаров Р. О краевой задаче Римана с заданными главными частями. Известия АН Тадж. ССР, № 1, 1993,
с. 3-6.
25. Акбаров Р. Решение особого интегрального уравнения, соответствующего краевой задаче Римана с заданными главными частями. Международная конф. Дифференциальные уравнения с сингулярными коэффициентами. Душанбе. 17-19 ноября 1996, с. 18.
26. Акбаров Р. Решение особого интегрального уравнения, соответствующего краевой задаче Римана с заданными главными частями. Сборник научных трудов КГУ, серия «Математика», выпуск 1. Куляб, 1996, с. 3 -10.
27. Акбаров Р. О краевой задаче Римана с заданными главными частями. Сборник научных трудов КГУ, серия «Математика», выпуск 1. Куляб, 1996, с. 11-13.
28. Акбаров Р. Решение характеристической системы сингулярных уравнений, соответствующих векторно-матричной задаче сопряжения с заданными главными частями. Сборник научных трудов КГУ, серия «Математика», выпуск 2. Куляб, 1999, с. 37- 46.
29. Акбаров Р. Особые случаи задачи Римана с заданными главными частями. Сборник научных трудов КГУ, серия «Математика», выпуск 2. Куляб, 1999, с. 47- 59.
30. Акбаров Р. О решении характеристической системы сингулярных уравнений, соответствующих векторно-матричной задаче сопряжения с заданными главными частями. ДАН РТ, т. 42, 1999, с. 3- 6.
31. Акбаров Р. О решении характеристической системы сингулярных уравнений, соответствующих векторно-матричной задаче сопряжения с заданными главными частями, тезисы докладов международной конференции, 14-18 сентября 1999 года, «Аналитические методы анализа», Минск, Беларусь, с. 21-22.
32. Акбаров Р. Решение характеристического уравнения, соответствующего краевой задаче Римана с заданными главными частями в исключительных случаях, ДАН РТ, т. Хин, №4, 2000, с. 64-69.
33. Акбаров Р. О задаче Римана с заданными главными частями для дифференциалов на римановых поверхностях.
Материалы международной научной конференции 8-10 ноября 2005 года. «Дифференциальные и интегральные уравнения и смежные вопросы анализа». Душанбе, с. 18-21.
34. Акбаров Р. Краевые задачи теории аналитических функций с заданными главными частями и им соответствующие особые интегральные уравнения. Душанбе, 2006, с. 245.
35. Акбаров Р. Задачи сопряжения аналитических функций с дополнительными членами в правых частях и с дополнительными условиями на решения. ДАН, РТ, № 2, 2006, с. 124-126. (Михайлов Л. Г. - соавтор)
36. Акбаров Р. О характеристическом сингулярном интегральном уравнении с дополнительными членами в правой части и с дополнительными условиями на решения. ДАН РТ, № 5 т. 49, 2006, с. 409- 411.
37. Акбаров Р. Однородная краевая задача Римана для обобщенных аналитических функций с дополнительными условиями на искомые функции, ДАН РТ, т. 49, № 10-12, 2006, с. 908-913.
38. Акбаров Р. Нагруженное характеристическое сингулярное интегральное уравнение с ядром Гильберта с дополнительными заданиями граничных моментов. ДАН РТ. Т. 51, № 8, 2008, с. 568 - 571
39. Акбаров Р. Нагруженная краевая задача сопряжения обобщенных аналитических функций с дополнительными заданиями граничных моментов. ДАН РТ, Т. 51. № 9, 2008, с. 633 - 637 .
40. Акбаров Р. Характеристическое сингулярное интегральное уравнение с ядром Гильберта с дополнительными заданиями граничных моментов смешанной задачи ДАН РТ, т. 51. № 10, 2008, с. 715-721.
41. Акбаров Р. Нагруженная смешанная краевая задача с дополнительными заданиями граничных моментов. ДАН РТ, т. 51. № 11, 2008, с. 797- 802.
42. Акбаров Р. Краевые задачи теории аналитических функций с нагруженными свободными членами и с дополнительными заданиями граничных моментов, ДАН РФ, т. 423, № 2,2009. (Л. Г. Михайлов - соавтор).
Сдано в 02.04.09 г. Подписано в печать /1.04.09 г. Формат 60x84. Гарнитура литературная. Тираж 100 экз.Цена договорная
Отпечатано в типографии ООО «Ховарон» ул.Дж.расулов 6/1
Введение стр.
ГЛАВА
Нагруженные краевые задачи теории аналитических функций с дополнительными заданиями граничных моментов. стр.
§ 1. Нагруженная краевая задача сопряжения стр.
1. Постановка задачи стр.
2. Решение однородной задачи без нагрузки стр.
3. Решение нагруженной однородной задачи стр.
4. Решение однородной задачи с дополнительными заданиями граничных моментов стр.
5. Решение нагруженной однородной задачи с дополнительными заданиями граничных моментов стр.
6. Решение неоднородной и нагруженной неоднородной задачи стр.
7. Решение неоднородной и нагруженной неоднородной задачи с дополнительными заданиями граничных моментов стр.
8. Решение нагруженной неоднородной задачи с дополнительными заданиями граничных моментов и с учетом заданных главных частей. Определение неизвестных коэффициентов стр.
§ 2. Общая линейная краевая задача сопряжения с нагруженным свобод --ным членом и с дополнительными заданиями граничных моментов стр.
1. Постановка задачи стр.
2. Основные сведения из общей теории задачи А. стр.
3. Исследование общей нагруженной задачи А с дополнительными заданиями граничных моментов и с учетом заданных главных частей. стр.
4. Исследование общей нагруженной задачи линейного сопряжения в параболическом случае. стр.
§ 3. Нагруженная задача Гильберта с дополнительными заданиями граничных моментов стр.
1. Постановка задачи стр.
2. Вспомогательные формулы стр.
3. Решение однородной задачи Гильберта с дополнительными заданиями граничных моментов стр.
4. Решение нагруженной однородной задачи Гильберта с дополнительными заданиями граничных моментов стр.
5. Решение неоднородной задачи Гильберта с дополнительными заданиями граничных моментов стр.
6. Решение нагруженной неоднородной задачи Гильберта с дополнительными заданиями граничных моментов стр.
7. Решение нагруженной неоднородной задачи Гильберта с учетом заданных главных частей и с дополнительными заданиями граничных моментов стр.
§ 4. Нагруженная смешанная краевая задача с дополнительными заданиями граничных моментов стр.
1. Постановка задачи стр.
2. Решение смешанной нагруженной задачи без учета заданных главных частей стр.
3. Решение смешанной нагруженной задачи с учетом заданных главных частей стр.
4. Случай аналитической продолжимости заданных главных частей и определение неизвестных коэффициентов стр.
5. Исследование частных случаев нагруженной смешанной задачи стр.
ГЛАВА
Нагруженные особые интегральные уравнения с дополнительными заданиями граничных моментов. стр.
§ 1. Нагруженное характеристическое сингулярное интегральное уравнение соответствующее задаче сопряжения с дополнительными заданиями граничных моментов стр.
1. Постановка задачи стр.
2. Решение характеристического и нагруженного характеристическогонгулярного интегрального уравнения (х. и. у.) (2.2.1)р.
3. Решение нагруженного однородного х. и. у.дополнительными заданиями граничных моментов стр.
4. Решение нагруженного неоднородного х. и. у.дополнительными заданиями граничных моментов стр.
§ 2. Нагруженное характеристическое сингулярное интегральное уравнение соответствующее задаче сопряжения с дополнительными / ? заданиями граничных моментов и с учетом заданных главных частей ^ стр.
1. Сведение х. и. у. к нагруженной з. а. ф.учетом заданных главных частей стр.
2. Решение нагруженного х. и. у. (2.1.1)учетом заданных главных частей,. стр.
3. Исследование частных случаев с стр.
4. Решение однородного х. и. у. без нагрузки и определение неизвестных коэффициентовр.
§ 3. Нагруженное характеристическое сингулярное интегральное уравнение соответствующее краевой задаче Гильберта с дополнительными заданиями граничных моментов стр.
1. Постановка задачи стр.
2. Связь нагруженного х. и. у.нагруженной краевой задачей Гильберта стр.
3. Решение однородного и нагруженного однородного х. и. у.дополнительными заданиями граничных моментовр.
4. Решение неоднородного нагруженного х. и. у. с дополнительными заданиями граничных моментов стр.
§ 4. Исследование нагруженного неоднородного х. и. у.ядром Гильбертаучетом заданных главных частей идополнительными заданиями граничных моментовр.
1. Постановка задачи стр.
2. Связь х. и. у.нагруженной краевой задачей Гильберта и решение однородного х. и. у.р.
3. Решение неоднородного нагруженного х. и. у.учетом заданных главных частей и определение неизвестных коэффициентовр.
§ 5. Исследование характеристического сингулярного интегрального уравнения с ядром Гильберта, соответствующего нагруженной смешанной краевой задаче для круга с учетом заданных главных частей и с дополнительными заданиями граничных моментов в классе симметричных функций стр.
1. Постановка задачи стр.
2. Связь х. и. у.нагруженнойешанной краевой задачей с учетом заданных главных частей . стр.
3. Решение задачи (2.5.9') с учетом заданных главных частей в случае четного и нечетного индекса стр.
4. Решение неоднородного нагруженного х. и. у.р.
5. Решение однородного х. и. у. без нагрузкиучетом заданных главных частей стр.
6. Определение неизвестных коэффициентов стр.
ГЛАВА
Нагруженная краевая задача сопряжения обобщенных аналитических функций с дополнительными заданиями граничных моментов. стр.
§ 1. Основные сведения из теории обобщенных аналитических функций стр.
1. Обобщенная неоднородная система уравнений Коши-Римана стр.
2. Функции класса (Г- стр.
3. Нормальная форма системы и интегрирование некоторых дифференциальных уравнений стр.
4. Одно вспомогательное представление решений и следствия из него стр.
5. Интегральное представление решений и взаимно-однозначное соответствие между кусочно-регулярными решениями и кусочно-голоморфными функциями стр.
§ 2. Построение аналогов аналитических функций стр.
1. Аналог интеграла типа Коши стр.
2. Аналог формулы Коши стр.
3. Аналог степеней стр.
4. Аналог многочлена стр.
§ 3. Нагруженная краевая задача сопряжения о. а. ф. с дополнительными заданиями граничных моментов стр.
1. Постановка задачи стр.
2. Определение кусочно-регулярного решения по условию непрерывности и задача о скачке стр.
3. Однородная задача сопряжения без нагрузки для однородного уравнения стр.
4. Нагруженная однородная задача сопряжения стр.
5. Нагруженная однородная задача сопряжения с дополнительными заданиями граничных моментов стр.
6. Решение неоднородной задачи сопряжения для однородного уравнения стр.
7. Решение неоднородной задачи сопряжения для однородного уравнения с дополнительными заданиями граничных моментов стр.
8. Решение нагруженной неоднородной задачи сопряжения для однородного уравнения стр.
9. Решение нагруженной неоднородной задачи сопряжения для однородного уравнения с дополнительными заданиями граничных моментов стр.
10. Решение нагруженной неоднородной задачи сопряжения для неоднородного уравнения с дополнительными заданиями граничных моментов стр. 347 Литература стр.
Большую известность и актуальность в теории краевых задач аналитических, обобщенных аналитических функций и сингулярных интегральных уравнений сыграли монографии И. Н. Векуа [3], Ф. Д. Гахова [5], Н. И. Мусхелишвили [16] и Л. Г. Михайлова [17]; что касается их дальнейших продвижений, то прежде всего следует указать на сыгравшую важную роль в построении теории обобщенных систем Коши-Римана (О. С. К. Р) статью Л. Г. Михайлова [20]. Здесь было дано полное исследование и эффективное решение задачи сопряжения и решений О. С. К. Р.; достаточно четкая ссылка на [20], имеется также в завершающей монографии И. Н. Векуа 1959 г. [3].
К настоящему времени наибольшего развития достигла теория краевых задач для аналитических, обобщенных аналитических функции и соответствующие им особые интегральные уравнения. Это развитие обеспечено в основном трудами всемирно-известных математиков Н. И. Мусхелишвили, Ф. Д. Гахова, И. Н. Векуа, Л. Г. Михайлова, В. Н. Монахова, С. Н. Антонцева, Э. И. Зверовича, С. М. Никольского, В. А. Ильина, Н. Р. Раджабова, 3. Д. Усманова и их учеников. В подавляющем большинстве исследований искомые функции являются либо аналитическими всюду, кроме линии разрыва, либо мероморфными. Например, часто ищутся функции, допускающие определенный конечный порядок на бесконечности.
В краевых задачах теории аналитических функций (а. ф.) и обобщенных аналитических функций (о. а. ф.) центральное положение занимают две основные краевые задачи; это задача Римана (или задача сопряжения) [5], а также задача Гильберта [3], [5]. К ним примыкает теория сингулярных интегральных уравнений с ядрами Коши и Гильберта. За многие годы развития теории краевых задач а.ф. и о.а.ф. было изучено немалое количество различных обобщений, задачи Римана и Гильберта и соответствующие им сингулярные интегральные уравнения. С другой стороны еще с 19го - века была известна теория интегральных уравнений Фредгольма, а также её обобщения на так называемые нагруженные интегральные уравнения изучавшиеся в работах А. Кнезера ([31], стр.156), Лихтенштейна [14], Гюнтера Н. М. [2]. В силу этого вполне естественным будет рассмотреть нагруженные краевые задачи.
В настоящей диссертации будут рассмотрены следующие три типа обобщений указанных краевых задач в классе а.ф. и два типа обобщений в классе о.а.ф.
1) Свободный член краевых условий нагружается новыми членами, состоящими из линейной комбинации заданных линейно-независимых функций 6}(1),02(1),.,0п(1) с п коэффициентами а,,а2,.,ссп, которые наряду с искомой функцией ф(г) считаются неизвестными, либо остающиеся произвольными;
2) Из всего многообразия решений задачи, коэффициенты а,,а2,.,ап следует подобрать так, чтобы они удовлетворяли дополнительны^ заданиям^ граничных моментов (1.1.2) от искомых функций.
Задачи с нагруженными свободными членами и с дополнительными заданиями граничных моментов от искомых функций могут возникать в тех или иных ситуациях, как это было, например, в фундаментальных исследованиях Л. Г. Михайлова [18 - 21] в котором для общего линейного уравнения в частных производных второго порядка с лапласианом в главной части было получено интегральное представление многообразия всех решений через одну а.ф. комплексного переменного (это, во первых), а во вторых с его помощью пару вещественных условий сопряжения первых производных от решения удалось редуцировать к задаче сопряжения а.ф. (1.1.1) с дополнительными условиями типа моментов (1.1.2).
3) На искомую функцию ф(г) налагаются следующие дополнительные условия: кроме нагруженных краевых условий задается конечное множество точек Г = Г+ иГ = расположенных в областях о
2)+ и и в проколотой окрестности и(Рк) каждой точки Рк задается Н — непрерывная функция (г). Считается, что неизвестная функция ф(г) имеет в окрестности точки ¥к заданную главную часть (г), если она о непрерывно продолжима через границу окрестностей д и(Гк), а разность о ф(г) - 4к (г) для каждой к = 1,2,.,п аналитична в окрестности и(Рк). Наиболее важный частный случай краевых задач с учетом заданных главных частей мы получим, если предполагать, что каждая функция аналитична в соответствующей проколотой окрестности о и(Гк) точки
Первые исследования по краевым задачам теории а.ф. с учетом заданных главных частей и соответствующие им особые интегральные уравнения за рубежом были проведены румынскими математиками Якобом Каюсом (7соЬ КашБ) [32-36] и Сорином Гогонеа (Бопп Gogonea) [37 - 43] в связи с приложением к механике, а в отечественной литературе - автором [44 - 79].
Краевые задачи с учетом заданных главных частей и соответствующие им особые интегральные уравнения недостаточно еще исследованы. Основной причиной является на наш взгляд, сложившееся мнение, согласно которому условия нахождения функций аналитических в данной области, кроме дискретного множества точек, в которых заданы главные части Лорановского разложения искомых функций (первая проблема Кузена [15]) содержатся в качестве частных случаев в неоднородности который несёт свободный член краевого условия задачи. Однако с этим полностью согласиться нельзя, так как свободный член краевого условия всегда задается на линиях, а условия типа первой проблемы Кузена носят локальный характер, т.е. задаются в окрестностях отдельных точек.
Ввиду выше указанных различий 1) - 3), мы считаем, что проблема исследования нагруженных краевых задач с дополнительными условиями типа моментов на искомые функции является самостоятельной и более того актуальной и исследуется в настоящей диссертации для некоторых наиболее важных краевых задач в классе а.ф. и о.а.ф.
Эти три перечисленные дополнительные условия отличают исследуемые задачи от классических [3], [5], [16], [17], [28], [31].
Основными методами, применяемыми в диссертации являются:
1. Метод аналитического продолжения;
2. Метод интегральных уравнений;
3. Метод симметрии;
4. Метод введения дополнительных контуров (ВДК).
Ввиду важности, изложим кратко идею метода ВДК. Вводится о дополнительный контур, состоящий из границ дИ(¥к) окрестностей о и(Гк). Рассматривается новая неизвестная функция, которая совпадает со о старой вне окрестностей и(Гк) и равна ф(г)-£к (г) внутри окрестности о и(Рк). Относительно новой функции получается краевая задача без учета заданных главных частей (классическая постановка) на новом контуре. Из решения этой последней задачи можно получить решение исходной задачи в случае РфФ. Метод ВДК хорошо известен в теории краевых задач. Например, с его помощью краевые задачи на разомкнутых кривых сводились к краевым задачам на замкнутых кривых с разрывными коэффициентами [5], [16]. Однако для исследования нагруженных краевых задач с дополнительными заданиями граничных моментов на искомой функции, впервые этот метод применяется нами в диссертации.
При исследовании краевой задачи методом ВДК обычно возникает краевая задача без учета заданных главных частей, имеющая тот же индекс коэффициента, что и исходная задача и вообще, остаются без изменения, все параметры, от которых зависят дефектные числа задачи (т.е. число произвольных постоянных входящих в общее решение, и число условий разрешимости неоднородной задачи).
Основной целью является исследование нагруженных краевых задач с дополнительными заданиями граничных моментов на искомые функции в классе а.ф. и о.а.ф. При этом основные вопросы, исследуемые в диссертации являются:
1. Нахождение необходимых и достаточных условий существования решений нагруженных краевых задач и соответствующие им особые интегральные уравнения с дополнительными условиями типа граничных моментов на искомые функции;
2. Вывод формул для общих решений и условий разрешимости нагруженных краевых задач и им соответствующие особые интегральные уравнения с дополнительными заданиями граничных моментов на искомые функции, причем особое внимание уделяется вычислению вкладов в общие решения, происходящих от нагруженных свободных членов и заданных главных частей;
3. Нахождение условий разрешимости и общих решений в тех частных случаях, когда предполагается аналитическая продолжимость заданных главных частей в некоторые области.
Научная новизна работы состоит в следующим:
1) Нагруженная краевая задача сопряжения и его соответствующее характеристическое сингулярное интегральное уравнение (х.с.и.у.) с дополнительными заданиями граничных моментов на искомые функции решено в замкнутой форме;
2) Нагруженная общая задача линейного сопряжения и ряд других задач (Римана, Гильберта) с дополнительными заданиями граничных на искомую функцию исследована в новой постановке;
3) К исследованию нагруженных краевых задач с дополнительными заданиями граничных моментов на искомые функции, впервые применен метод введения дополнительных контуров (ВДК);
4) Решена нагруженная краевая задача Гильберта с дополнительными заданиями граничных моментов на искомую функцию и его соответствующее х.с.и.у.;
5) Получены новые формы решения и условия разрешимости нагруженных краевых задач Римана и Гильберта с дополнительными заданиями граничных моментов на искомые функции и соответствующие им х.с.и.у. более удобные с практической точки зрения;
6) В замкнутой форме решена нагруженная смешанная краевая задача Римана-Гилберта для круга с дополнительными заданиями типа моментов на искомую функцию в более общей постановке;
7) В замкнутой форме решена х.с.и.у. с ядром Гильберта, соответствующего нагруженной краевой задаче Римана-Гильберта для круга с дополнительными заданиями граничных моментов на искомую функцию в классе симметричных функций;
8) Решена нагруженная краевая задача Римана с дополнительными заданиями граничных моментов в классе о.а.ф.;
9) Определены способы нахождения неизвестных коэффициентов. Полученные в работе результаты являются новыми и носят теоретический и практический характер. Нагруженные краевые задачи с дополнительными заданиями граничных моментов на искомые функции и им соответствующие особые интегральные уравнения имеют приложения к механике, теории упругости, гидродинамике, электродинамике, фильтрации, дифракции и других задач математической физики. Методы разработанные в диссертации с успехом можно применять к исследованию многоэлементных краевых задач.
Остановимся кратко на содержании диссертации. Работа состоит из введения и трех глав, изложена на 367 страницах. Библиография включает 84 наименований.
1. Боярский Б. В. Некоторые граничные задачи для эллиптической системы с двумя независимыми переменными, канд. дис., МГУ, 1955.
2. Берс Л. (Bers L.), Remarks on an application of pseudo "Iflytic function. American Journal Mathematic, 1956, 78, № 3.
3. Векуа И. H. Обобщенные аналитические функций; хНаука», 1959.
4. Векуа Н. П. Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные задачи. М., «Наука», 1970.
5. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М., «Наука», 1977.
6. Гаврилов С. К."^^иссертация «Исследования по смешанным двухэлементным краевым задачам теории аналитических функций». Одесса, 1974.
7. Hoseman С., Anwendung der Thtorie intgralgleicil -unden auf ewiige Rand wertaufgaben, Gottinger, 1907.
8. Гюнтер H. M.,étudia mathematica, t. IV, 1932.
9. Джураев A. Д. Метод сингулярных интегральных уравнений. М., «Наука», 1988.
10. Зверович Э. И. Краевые задачи теории аналитических функций в гельдеровских классах на римановых поверхностях. УМН, т.26, вып. 1(157), 1971, 113-179.
11. Carleman T., Surjja thorie des equations integralts et sec applications, Verhane. des internat. Mathem. Kondr., 1, Znrich, 1932.
12. Кваселава Д. А. Решение одной граничной задачи'^функций, ДАН СССР 53,8(1946), 683-686.
13. Кваселава Д. А. Некоторые граничные задачи теории функций, труды матем. инст-та Груз.ССР 16 (1948), 38-80.
14. ЛихтенштейнЙшйа МаШетайса, г. III, 1931.
15. Лоран Шварц. Анализ, II., м., «Мир», 1972.
16. Мусхелишвили Н. И., Сингулярные интегральные уравнения. М., «Наука», 1968.
17. Михайлов Л. Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применение к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами. Душанбе, 1963, 195 стр.
18. Михайлов Л. Г. О задаче сопряжения решений уравнения в частных производных второго порядка на плоскости, ДАН СССР, т.256, №2, 1981, стр. 276-281.
19. Михайлов Л. Г. Задача линейного сопряжения решений системы дифференциальных уравнений первого порядка эллиптического типа с аналитическими функциями. Уч.записки Тадж.госунверситета,т.Х,1957. с7(>.3-31.
20. Михайлов Л. Г. Краевая задача типа задачи Римана для системы дифференциальных уравнений первого порядка эллиптического типа и некоторые интегральные уравнения. Уч.записки Тадж.госунверситета, Сталинабад, т.Х, 1957, стр. 32-79.
21. Михайлов Л. Г. Точные теоремы о разрешимости задач сопряжения с производными. Исследования по краевым задачам теории функций и дифференциальных уравнений. Душанбе, 1964, стр. 7-26.
22. Михайлов Л. Г. О задаче сопряжения гармонических функций. ДАН, Тадж.ССР, 1980, т.ХХШ, №4, стр. 276-281.
23. Михайлов Л. Г. О представлении решений уравнений в частныхпроизводных второго порядка на плоскости через голоморфные функции. ДАН, Тадж.ССР, 1980, т.ХХШ, №7.
24. Михайлов Л. Г. Об одной граничной задаче линейного сопряжения. ДАН, 1961, т. 139, №2, стр. 294-297.
25. Михайлов Л. Г., Акбаров Р. Задачи сопряжения аналитических функций с дополнительными членами в правых частях и с дополнительными условиями на их решения. ДАН, РТ, №2, 2006, стр. 124-126.
26. Монахов В. Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений, «Наука», Сибирское отделение, Новосибирск, 1977.
27. Чикин Л. А. Особые случаи краевой задачи Римана и сингулярных интегральных уравнений. Уч.зап. Казанского университета, т 1, 113, кн. 10, 1952.
28. Чибрикова Л. И. Основние граничные задачи для аналитических функций, изд-во Казанского университета, 1977.
29. Рогожина И. С. Задача Гильберта дЗкля кусочно-аналитической функции. Уч.Зап. Кабардино-Балкарск. Университета, выпуск 19. 1969, 259-269.
30. Симоненко И. Б. Краевая задача Римана с измеримым коэффициентом, ДАН, 135, №3, 1960, стр. 538-541.
31. Смирнов В. И. Курс высшей математики, t.IV, часть первая, «Наука», М., 1974.
32. Якоб Каюс. О решениях задач Римана и Гильберта с заданными особенностями, «Revue math. Purees et аре» (RPR), T. 5, №1, 1960, стр. 5-19.
33. Jacob С. Sirr le problème de Dirichlet a singular, donntts, "Jonrnae de math. Pures et appl"., serie 9, т.40 № 6, 1961, 157-188.
34. Jacob C. Sur la resolution explicite du problème plan de Dirichlet pour certains domains canoniques, "Bulletin mathématique", T. 10 (58), nr. 1-2, 1966, 13-26.
35. Jacob C. Sur ^uel^ues nouvells extension du theoreme du cercle, "Annali di matematuca pura ed applecata, T. LXXXIV, 1970, 263-278
36. Jacob C. The V^ltera problem with prescribed singularités and some of its appl to fluid mechanics, "Fluid Dunamic Transuctions, vol. 6, part 11, 1971, 317-332.
37. Gogonea S. Sur le problèmes dede Riemaun et de Hilbert a' singular. Donnes et a' coeffic discontinues, "Revue de math. Pures at appl"., (RPR), T. 14, № 1969, 999-1015.
38. Gogonea S. Sur un problème de Riemann a' Singularités donnes' "Atti délia Accad. Nationale dei lincei, Rend. Classe di seienze fisiche, matemat c naturali» vol. XL VI, 1969, 526-529.
39. Gogonea S. Sur le problème de Dirichlet a' singularités donees pour le plan mini de coupures rectilignes alignées, "Atti délia Accad. Nationale dei luncei, Rend. Classe de Sci ente fisiche, matemft c naturali", vol. XL VII, 1969, 151-156.
40. Gogonea S. Sur un problème mixte a' singularités donees. Pour le plan mini des coupures rectilignes alignées. "Atti délia Accad. Nationale dei luncei, Rend. Classe di Sciente fisiche, matemft e naturali", vol CCCLXVIII, 1970, 33-38.
41. Gogonea S. Sur le problème de Dirichlet a' singularités donees pour le plan mini de coupures le longd'une circonfeerence, "Revue de math. Pures et appe" T. XV, №6, 1970, 825-835.
42. Gogonea S. Un probl mixte pour le plan mini de connpares le loud dine circonfeerence, "Revue de math. Pures et appe" T. 16, №6, 1971, 849-864.
43. Gogonea S. Sur guclgues problèmes aux limites pour le plan muni de coupureset leurs applications ala theo-rie de la filtration, "Bull. math, de la Soc. Sce. Math de la R.S. de Roumanie, T. 18 (66), №1974, 103-116.
44. Акбаров Р. О краевой задаче Римана с заданными главными частями. ДАН Тадж.ССР, т.21, №3, 1978, стр. 3-6.
45. Акбаров Р. Задача Гильберта с заданными главными частями. Рукопись депонирована в НИНИТИ 4 апреля 1978 через журнал «Вестник», Белорусского ун-та, №1155-78 ДЕП.
46. Акбаров Р. Задача Гильберта кусочно-аналитической функции с заданными главными частями. ДАН БССР, т.22, №7, 19787 стр. 588591.
47. Акбаров Р. задача линейного сопряжения с заданными главными частями для векторов. ДАН Тадж.ССР, т. XXI, 1978, ст.3-6.
48. Акбаров Р. О задаче Римана для аналитических функций с особенностями. «Вестник» Белорусского ун-та, серия 1, №1, 1979, стр. 67-69.
49. Акбаров Р., Зверович Э. И. Задача Римана для кусочно-мероморфных функций с заданными главными частями на римановых поверхностях. «Вестник. Белорусского университета», серия 1, №1, 1979, стр. 46-49.
50. Акбаров Р. Однородная краевая задача Римана с заданными главными частями, известия АН Тадж.ССР, №3, 73, 1979, стр. 76-79.
51. Акбаров Р. Об общей задаче линейного сопряжения с особенностями. «Вестник. Белорусского университета», серия 1, №2, 1979, стр. 75-78.
52. Акбаров Р. О краевых задачах теории аналитических функций с заданными главными частями на плоскости. Сибирский матем. журнал, т.21, №4, 1980.
53. Акбаров Р. Линейные краевые задачи теории аналитических функций с заданными главными частями. Автореферат канд.дис. Минск 1980, стр. 3-15.
54. Акбаров Р. Задача Римана с заданными главными частями, Известия АН Тадж.ССР, №4 (78), 1980, стр. 3-7.
55. Акбаров Р. Смешанная краевая задача Гильберта для односвязной области с заданными главными частями, ДАН Тадж.ССР, т.24, №3,1981. стр. 3-6.
56. Акбаров Р. О краевой задаче Римана с заданными главными частями на замкнутой римановой поверхности. ДАН Тадж.ССР. t.XXV, №6,1982, стр. 315-319.
57. Акбаров Р. О краевой задаче Римана с заданными главными частями для векторов. Тезисы республиканской конференции по уравнениям математической физики. Душанбе, 1983, стр. 101-102.
58. Акбаров Р. Смешанная векторно-матричная задача Римана-Гильберта с заданными главными частями для односвязной области. Сибирский математический журнал, т.ХХУ, №2, 1984, стр. 13-20.
59. Акбаров Р. О векторно-матричной задаче линейного сопряжения с заданными главными частями. ДАН Тадж.ССР. т.ХХУШ, №9, 1985, стр. 489-492. 4
60. Акбаров Р. О смешанной векторно-матричной задаче Римана-Гильберта с заданными главными частями. Тезисы Всесоюзной конференции по теории функциональных уравнений. г.Душанбе, 1987, стр. 18-19.
61. Акбаров Р. О смешанной задаче Римана-Гильберта с заданными главными частями на римановой поверхности. Сибирский математический журнал, т.ХХУШ, 1987, стр. 3-6.
62. Акбаров Р. О решении особого интегрального уравнения, соответствующего краевой задаче Римана с заданными главными частями. Тезисы докл. Респ. конф. «Дифференциальные уравнения и их приложения». Куляб, 1991, стр. 10-12.
63. Акбаров Р. Задача Римана с мультипликативными заданными главнымиГРукопись депонирована в ВИНИТИ через журнал Известия АН Тадж.ССР, №3376-91 ДЕП.
64. Акбаров Р. Шилин ¡Я. П. О краевой задаче Римана с бесконечным числом заданных главных частей. ДАН Тадж.ССР, т.ХХХУ, №1, 1992, стр. 3-5.
65. Акбаров Р. Решение особого интегрального уравнения, соответствующего краевой задаче Римана. ДАН Тадж.ССР, №12, стр. 3-5.
66. Акбаров Р. О краевой задаче Римана с заданными главными частями. Тезисы науч.конференц. ЮГУ, 1993, стр. 170-171.
67. Акбаров Р. О краевой задаче Римана с заданными главными частями. Известия АН Тадж.ССР, №1, 1993, стр. 3-6.
68. Акбаров Р. Решение особого интегрального уравнения, соответствующего краевой задаче Римана с заданными главными частями, международ, конф. диффер. Уравнении с сингул. коэффициент. Душанбе. 17-19 ноября 1996, стр. 18.
69. Акбаров Р. Решение особого интегрального уравнения, соответствующего краевой задаче Римана с заданными главными частями. Сборник научных трудов КГУ, серия «Математика», выпуск 1. Куляб, 1996, стр.3-10.
70. Акбаров Р. О краевой задаче Римана с заданными главными частями. Сборник научных трудов КГУ, серия «Математика», выпуск 1. Куляб, 1996, стр.11-13.
71. Акбаров Р. Решение характеристической системы сингулярных уравнений, соответствующих векторно-матричной задаче сопряжения с заданными главными частями. Сборник научных трудов КГУ, серия «Математика», выпуск 2. Куляб, 1999, стр.37-46.
72. Акбаров Р. Особые случаи задачи Римана с заданными главными частями. Сборник научных трудов КГУ, серия «Математика», выпуск 2. Куляб, 1999, стр. 47-59.
73. Акбаров Р. О решении характеристической системы сингулярных уравнений, соответствующих векторно-матричной задаче сопряжения с заданными главными частями. ДАН РТ, т.42, 1999, стр. 3-6.
74. Акбаров Р. Решение характеристического уравнения, соответствующего краевой задаче Римана с заданными главными частями в исключительных случаях, ДАН РТ, и.ХЫП, №4, 2000, стр. 64-69.
75. Акбаров Р. Краевые задачи теории аналитических функций с заданными главными частями и им соответствующие особые интегральные уравнения. Душанбе, 2006, стр. 245.
76. Акбаров Р. О характеристическом сингулярном интегральном уравнении с дополнительными членами в правой части и с дополнительными условиями на решение. ДАН РТ, т.49, №5, 2006, стр. 409-411.
77. Акбаров Р. Однородная краевая задача Римана для обобщенных аналитических функций с дополнительными условиями на искомые функции, ДАНРТ, т.49, №10-12, 2006, стр. 908-913.
78. Акбаров Р. Нагруженное характеристическое сингулярное интегральное уравнение с ядром Гильберта с дополнительными заданиями граничных моментов. ДАН РТ т.51., № 8, 2008. стр. 568 -571
79. Акбаров Р. Нагруженная краевая задача сопряжения обобщенных аналитических функций с дополнительными заданиями граничных моментов. ДАН РТ т.51№ 9, 2008. стр. 633 637
80. Акбаров Р. Нагруженная смешанная краевая задача с дополнительными заданиями граничных моментов. ДАН РТ т.51., №11',
81. Акбаров Р. Характеристическое сингулярное уравнение с ядром Гильберта с дополнительными заданиями граничных моментов смешанной задачи. ДАН РТ т.51№ 10, 2008, ет?. у 5- К1.
82. Михайлов Л. Г., Акбаров Р. Краевые задачи теории аналитических функций с нагруженными свободными членами и с дополнительными заданиями граничных моментов. ДАН России, т!#Г, №5, 2009 , 1-5.
