Оптимальное граничное управление колебаниями струны с нелокальными граничными условиями типа Бицадзе-Самарского тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова факультет Вычислительной математики и кибернетики

Оптимальное граничное управление колебаниями струны с нелокальными граничными условиями типа Бицадзе-Самарского

01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и

На правах рукописи

Холомеева Анна Андреевна

оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 9 МАЙ 2011

Москва - 2011

4846739

Работа выполнена на кафедре функционального анализа и его применений факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук,

академик РАН,

профессор,

Моисеев Евгений Иванович

доктор физико-математических наук,

профессор,

Потапов Михаил Михайлович доктор физико-математических наук, профессор,

Гольдман Михаил Львович

Орловский государственный

университет

Защита состоится

2011 г. в

Ж

30

часов на заседании

диссертационного советаД.501.001.43 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова, расположенном по адресу: 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, МГУ, д. 1, стр. 52, 2-й учебный корпус, факультет ВМК, ауд. 685

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан » 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук,

профессор Захаров Е.В.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Большой класс физических процессов, связанных с колебательными системами, моделируется волновым уравнением, при этом на практике часто возникают задачи граничного управления, когда нужно сгенерировать колебания нужной частоты, уменьшить амплитуду колебаний, стабилизировать колебания или полностью успокоить систему.

Первые результаты в теории граничного управления распределенными системами были получены Ж.-JI. Лионсом. В частности, он был одним из первых, кто исследовал задачи об управлении колебаниями в форме смешанных начально-краевых задач. В работе Ж.-Л. Лионса1 для одномерного волнового уравнения в терминах обобщенного решения исследовалась задача о переводе колеблющейся струны из некоторого начального состояния в нулевое с помощью граничного управления смещением, была доказана разрешимость такой задачи, а так же неединственность решения при больших промежутках времени рассмотрения колебаний. Позже в работах Ж.-Л. Лионса2 были исследованы задачи оптимизации управления системами, описываемыми уравнениями с частными производными эллиптического, параболического и гиперболического типа. Одним из важнейших результатов Ж.-Л. Лионса является метод решения задачи точной управляемости для системы, описываемой гиперболическим уравнением второго порядка, который заключается в сведении исходной задачи к задаче о точной наблюдаемости для сопряженного уравнения. Этот метод получил название гильбертов метод единственности.

Большое число технологических процессов, приводящих к задачам уп-

1 Lions J.-L. Exact Controllability, Stabilization and Perturbations for Distributed Systems // SIAM Rev. 1988. V. 30. № 2. P. 1-68.

2 Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.:Мир. 1972. 414 с.

равления рассмотрено в книге А. Г. Бутковского3, предложены различные методы решения задач оптимального управления, например, метод моментов, метод Фурье, метод гармоник. В частности, показано, как можно свести задачу оптимального управления колебаниями в некоторой распределенной упругой среде к соответствующей проблеме моментов. Говоря о методах, разработанных для решения задач оптимального граничного управления, отметим метод падающих и отраженных волн, разработанный А.И. Егоровым4.

К ранним работам по теории оптимального управления можно также отнести работу М.М. Потапова5, в которой метод разностной апроксимации применен для приближения решения задачи оптимального граничного управления решениями начально-краевой задачи для системы Гурса-Дарбу.

В цикле работ Ф.П. Васильева, В.А. Куржанского, М.М. Потапова6 задачи оптимального граничного управления исследуются исходя из концепции теории двойственности для линейных систем управления. В этих работах гильбертов метод единственности формулируется в форме, позволяющей применить его к широкому классу задач управления распределенными системами. Кроме того, были разработаны численные методы решения задач управления и наблюдения, основанные на конечномерных аппроксимациях рассматриваемых динамических систем. В книге Ф.П. Васильева, А.З. Ишмуха-

3 Бутковский А.Г. Теория оптимального граничного управления системами с распределенными параметрами. М.:Наука. 1965. 474 с.

4 Егоров А.И. Оптимальные процессы в системах с распределенными параметрами и некоторые задачи теории инвариантности // Изв. АН СССР. Серия Математика. 1965. Т. 29, № 6. С. 1205-1256.

5 Потапов М.М. Разностная аппроксимация и регуляризация задач оптимального управления системами Гурса-Дарбу // Вестн. Московск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн., 1978. № 2. С. 17-26.

8 Васильев Ф.П. О двойственности в линейных задачах управления и наблюдения // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31. № 11. С. 1893-1900. Васильев Ф.П., Куржанский М.А., Потапов М.М. Метод прямых в задачах граничного управления и наблюдения дня уравнения колебаний струны // Вестн. Московск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн., 1993. № 3, С. 8-15.

метова, М.М. Потапова7 был развит предложенный ранее метод моментов. В работе М.М. Потапова8 строится устойчивый вычислительный метод построения приближенных решений для задач управления и наблюдения, которая применима и для волнового уравнения.

Отметим работы А.Н. Зарубина9, в которых исследовались задачи граничного наблюдения для уравнения смешанного типа и был указан явный рекуррентный метод нахождения решения.

Начиная с 1999 года В.А. Ильиным был исчерпывающим образом исследован ряд задач оптимального граничного управления процессами, описываемыми гиперболическими уравнениями и, в первую очередь, волновым уравнением

ии{х, - и„{х, ¿) = 0 в От = [0 < х < /] X [0 < t < Г]. (1) '

Задача состоит в переводе струны из начального состояния, которое характеризуется начальным смещением и(х,0) = ср(х) и скоростью = 1р(х), в финальное состояние и(х,Т) = ф{х), щ{х,Т) = щх). Рассматривались задачи управления смещением и(0, £) — ц(Ь) или силой ггж(0, ¿) = на одном конце струны при условии закрепления и(1,1) = 0 на втором конце или когда второй конец свободен их(1,1) = 0. Кроме перечисленных были изучены задачи, когда управление осуществляется на обоих концах струны (одного вида или разных). В первых же работах10 В.А. Ильиным был введен специальный класс функций Ш^С^т), в котором ищется обобщенное реше-

7 Васильев Ф.П., Ишмухаметов А.З., Потапов М.М. Обобщенный метод моментов в задачах оптимального управления. М.:Изд-во Московск. ун-та. 1989. 142 с.

8 Потапов М.М. Устойчивый метод решения линейных уравнений с неравномерно возмущенным оператором // Докл. РАН. 1999. Т. 365. № 5. С. 596-598.

9 Зарубин А.Н. Задача граничного наблюдения за упругими колебаниями с последействием. // Мат. межд. конф. "Современные проблемы вычислительной математики и математической физики". Москва, МГУ. 2009. С. 174-175.

10 Ильин В.А. Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах за произвольный промежуток времени // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35. № 11. С. 1517-1534. Ильин В.А. Граничное

ние. Рассмотрение всех задач граничного управления проводится в терминах обобщенного решения смешанной задачи для волнового уравнения (1) с заданными начальными условиями и такими граничными условиями на концах х = 0 и х = которые обеспечивают выполнение в финальный момент времени Ь = Т заданных финальных условий.

Принадлежность обобщенного решения и(х, классу И^СЗг) позволяет точно указать требования гладкости, которым должны удовлетворять функции начальных, финальных и граничных условий.

В первых работах В.А. Ильина по этой тематике задача состояла в нахождении минимального времени, за которое систему можно перевести из произвольного начального состояния в произвольное финальное без существенных дополнительных ограничений на функции начальных, финальных и граничных условий. Такой промежуток времени был назван критическим. Было установлено, что в случае управления на одном конце ТКр = 21, а при управлении на двух концах Ткр — I. В работе В.А. Ильина и В.В. Тихомирова11 исследовался случай, когда Т < ТКр в терминах решения из (<5т) (этот класс аналогичен И^фг) с той разницей, что на функции из него накладываются повышенные требования гладкости), были найдены необходимые и достаточные условия на начальные и финальные функции, обеспечивающие существование допустимых управлений, далее при выполнении найденных условий искомые управления были предъявлены в явном аналитическом виде.

В работах В.А. Ильина и Е.И. Моисеева 2004-2005 годов исследовался случай больших промежутков времени (Т > ТКр). В этом случае существует бесконечное множество решений задачи граничного управления, поэто-

управление процессом колебаний на двух концах в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36. № 11. С. 1513 - 1528.

11 Ильин В.А., Тихомиров В.В. Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах и задача о полном успокоении колебательного процесса // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35. № 5. С. 692 - 704.

му логично было поставить задачу оптимизации. Для каждого Г ищется управление, которое не только переводит струну из заданного начального состояния в финальное, но и доставляет минимум интегралу граничной энергии при наличии условий связи, вытекающих из заданных начальных и финальных условий. Сначала оптимальное граничное управление находилось в предположении, что промежуток времени Т кратен 21 при граничных условиях на двух концах одного рода и кратен 41 при граничных условиях на двух концах разных родов, это позволило записать итоговые выражения для оптимального управления в лаконичном виде. Далее в цикле работ 2005-2008 годов была развита техника для изучения поставленных задач при произвольных Т, а также был исследован случай обобщенного решения из пространства WplQx)' Было показано, что для некоторых задач (когда есть условие закрепления на одном из концов) оптимальное управление имеет один и тот же вид сразу для всех р > 1, для остальных задач это верно тогда и только тогда, когда выполнены дополнительные условия на начальные и финальные функции. В статье Е.И. Моисеева12 исследуется задача управления смещением при свободном конце и показано, что при р ф 2 оптимальное управление может нелинейно зависеть от начальных и финальных условий.

В 2008 году В.А. Ильин исследовал ряд задач граничного управления с модельными нелокальными граничными условиями типа Бицадзе - Самарского

u(l, t) = -и(х, t), u(l, t) = и(х, t),

о о

ux(l,t) ~ -ux(x,t), ux(l,t) = ux(x,t). Условия такого вида впервые возникли в известной работе A.B. Бицадзе и A.A. Самарского13 при исследовании задачи для равномерно- эллиптического

12 Моисеев Е.И. Оптимальное граничное управление смещением в струной со свободным концом // Дифферент, уравнения. 2008. Т. 44. № 5. С. 709-711.

13 Бицадае A.B., Самарский A.A. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач // Докл. АН СССР. 1969. Т. 185. № 4. С. 739-740.

уравнения. Отличие этой задачи от исследованных ранее состояло в том, что граничные значения искомого решения повторялись во внутренних точках области, где искомая функция должна удовлетворять уравнению.

В работах В.А. Ильина14 были исследованы задачи управления смещением и силой при наличии одного из условий (2), при этом либо начальные либо финальные условия полагались равными нулю (т.е. ставились задачи о возбуждении колебаний струны и об успокоении колебаний). Основным результатом указанных работ было доказательство того, что при наличии одного из нелокальных граничных условий (2) рассматриваемые задачи для любого сколь угодно большого промежутка времени Т являются только условно управляемыми. В работах найдены условия, которым должны удовлетворять финальные функции, чтобы струну можно было перевести из нулевого начального состояния в заданное финальное, и аналогичные условия на начальные функции, чтобы струну из начального состояния можно было перевести в нулевое. Далее при выполнении найденных условий решается задача оптимизации посредством сведения каждой из рассматриваемых нелокальных задач к изученным ранее локальным. Кроме этого, в одной из работ15 доказана единственность обобщенных решений смешанных задач с более общими нелокальными граничными условиями.

Говоря о задачах граничного управления с нелокальными граничными условиями, отметим статью A.A. Кулешова16, в которой исследовались на-

14 Ильин В.А. Аналитический вид оптимального граничного управления смещением на одном конце струны с модельным нелокальным условием одного из четырех типов // Докл. РАН. 2008. Т. 420. № 3.

С. 309-313. Ильин В.А. Оптимизация граничного управления упругой силой на одном конце струны с модельным нелокальным граничным условием одного из четырех типов // Докл. РАН. 2008. Т. 420. № 4. С. 442-446.

16 Ильин В.А. Теоремы о единственности обобщенных решений четырех смешанных задач для вол-

нового уравнения с нелокальными граничными условиями // Докл. РАН. 2008. Т. 420. № 2. С. 309-313.

18 Кулешов A.A. О четырех смешанных задачах для уравнения колебаний струны с граничными и нелокальными условиями первого и второго родов // Докл. РАН. 2009. Т. 426. № 3. С. 307-309.

чально - краевые задачи с нелокальными граничными условиями более общего вида, нежели (2), а также работу автора 17, где нелокальным было само управление (¡i(t) = ux(l,t) — uz(0, t)).

Цель диссертационной работы. Диссертационная работа посвящена изучению задач оптимального граничного управления колебаниями струны при наличии модельных нелокальных граничных условий типа Бицадзе - Самарского четырех видов и произвольных начальных и финальных условий. Цель работы — получить необходимые и достаточные условия управляемости системы, а далее при выполнении этих условий найти оптимальное граничное управление.

Научная новизна. В диссертации впервые получены следующие основные результаты

• Для каждой задачи граничного управления с нелокальными граничными условиями найдены в явном виде условия на начальные и финальные функции, которые являются необходимыми и достаточными условиями управляемости струны. Наличие таких условий иллюстрирует тот факт, что задачи граничного управления с нелокальными граничными условиями и произвольными начальными и финальными данными, вообще говоря невозможно свести к суперпозиции двух задач: об успокоении колебаний струны и о возбуждении колебаний струны.

• При выполнении найденных условий решается задача оптимизации. Оптимальное граничное управление предъявляется в явном аналитическом виде для каждой из восьми задач.

• Во второй главе решаются возникающие попутно, ранее не изучавшиеся

17 Холомеева A.A. Оптимизация нелокального грани иного управления колебаниями струны с закрепленным концом за произвольный кратный 21 промежуток времени // Дифференц. уравнения. 2008. Т. 44. № 5. С. 696-700.

задачи оптимального граничного управления колебаниями струны на одном конце при наличии на другом конце заданного режима смещения или силы.

Практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер, однако ее результаты можно использовать для моделирования различных колебательных процессов в задачах математической физики.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на научном семинаре кафедры оптимального управления ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством профессора Ф.П. Васильева, на конференциях

• научная конференция Тихоновские чтения, факультет ВМК Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова, Москва, октябрь 2010 г.;

• международная конференция Дородницын-100, Вычислительный центр имени A.A. Дородницына РАН, Москва, декабрь 2010 г.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 3 статьях в изданиях, рекомендованных ВАК.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, обзора литературы, 3 глав и библиографии. Общий объем диссертации 114 страниц. Библиография включает 45 наименований на 6 страницах.

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.

В первой главе исследуются задачи граничного управления с нелокальным граничным условием одного из четырех типов

Каждая из задач рассматривается в регулярном смысле, т.е. будем полагать и(х, Ь) £ С2(С2т), тогда функции начальных, финальных и граничных условий будут принадлежать классам:

Главным предметом изучения первой главы являлся вопрос управляемости. Для каждого из четырех нелокальных граничных условий была сформулирована теорема, задающая необходимые условия разрешимости задачи граничного управления (3). Показано, что если положить нулевыми начальные или финальные условия (т.е. рассмотреть задачи о возбуждении колебаний струны и об успокоении соответственно), указанные в теоремах условия перейдут

иа(х, ¿) - ихх(х, ¿) = 0 в £?г = [0 < х < /] х [0 < г < Т), и(х,0) = ф(х), щ(х, 0) = <ф{х), и(х,Т) = ф(:г), щ(х,Т) = ф(х), и(0,£) = или их(0^) = ¿¿(г),

= -и(х^) или и(1,г) = и(х,Ь) или их{1,г) = -их(х,г) или их(1= щ{х,ь).

(3)

(4)

в условия управляемости из соответствующих работ В.А. Ильина. Позже, в третьей главе, мы вернемся к исследованию вопроса управляемости струны в случае обобщенного решения и покажем, что найденные в первой главе условия будут иметь тот же вид и будут не только необходимыми, но и достаточными.

Нелокальное условие нечетности 1го рода. В разделе рассмотрена задача

щ(х, ¿) - ихх(х, ¿) ~ 0 в и{х,0) = <р(х), щ(х, 0) = ф(х), и{х,Т) = ф{х), щ{х,Т) = ${х), (5)

и(0, г) = или их(0, ¿) = и(1= —и(х,1).

Функции берутся в соответствии с (4), кроме этого мы требуем выполнения условий (р{х) + 1р(1) = 0, -ф{х) + ф(1) — 0, у/'{х) + <р"{1) = 0и аналогичных для финальных функций.

Теорема 1. Для того, чтобы задача граничного управления (5) была разрешима за промежуток времени

Т = 2т(1- х) + 5, где т = 0,1,..., 0 < 6 < 2(1- х),

необходимо, чтобы выполнялись условия

\(

<р(х) + (р(х +2 Ф(х + ¿) + Ф(x-¿) + Ф(£)

х-6

ф(х) + ф(х +1 - X) =-(Ф'(® + 6) - Ф'(Х - 6))+

а

+ ^(Ф(® + б) + Ф(о;-г))

(6)

для любого х 6 [х,1], где Ф(х) = (р(х) + ¡р(1+ х —х) при х< х < I, далее функция продолжается нечетно через точку х = I на отрезок I < х <

21— х, а далее периодически с периодом 2(1— х) па всю числовую прямую. Функция Ф(х-) строится аналогичным образом через функцию ф(х).

Попутно при доказательстве теоремы был выявлен важный факт: значение

о

и(х,£) в точке Ь — ~ при любом t может быть найдено в явном виде, используя вспомогательные Ф(х) и Ф(я):

Ь+1

Ф(Ь + г) +

(7)

Нелокальное условие четности 1го рода. В разделе рассмотрена задача

- ИгхОМ) = 0 В СЭТ, и(х, 0) = ср(х), щ(х, 0) = ф(х), и{х,Т) = ф(х), щ{х,Т) = $(х), (8)

м(0, = или их(0, = fj.lt),

Функции берутся в соответствии с (4), кроме этого мы требуем выполнения условий ф1х) - ¡р(1) = 0, "ф(х) — ф(1) = 0, $'(х) - <р"(1) = 0 и аналогичных для финальных функций.

Теорема 2. Для того, чтобы задача граничного управления (8) была разрешима за промежуток времени

Т = т(/- х) + 5, где т = 0,1,..., 0 < 5 < I- х,

необходимо, чтобы выполнялись условия

!р{х) - ф(х +1 - х) | Ф(® + 6) + Ф(® -6) +

-

х—Ь

${х) - ф{х +1 - х) =-(Ф'(х + 5)- Ф'(х - 5))+

а

+ ^{Щх + 8) + Щх-$)) 13

для любого х € [х, 2], где Ф(х) = ip(x) — tp(l+ х —х) при х< х < I, далее функция продолжается периодически с периодом I— х на всю числовую прямую. Функция Ф(:г) строится аналогичным образом через функцию ■ф{х).

Попутно при доказательстве теоремы было показано, что значение производ-

. о

ной их(х, t) в точке L = при любом t может быть найдено в явном виде с помощью вспомогательных Ф(х) и Ф(ж):

ux(L,t) = ±(4>'(L + t) + y(L + t)). (10)

Нелокальное условие нечетности 2го рода. В разделе рассмотрена задача uti{x,t) - uxx(x,t) - 0 в QT, и(х,0) = tp(x), щ(х,0) = ф(х), < и{х,Т) = ${х), щ(х,Т) = ф{х), (11)

u(0,t) — fi(t) или ux(0,t) = fx(t), ux(l,t) = -ux(x,t).

Функции берутся в соответствии с (4), кроме этого мы требуем выполнения условий ip'{x) — (p'(í) = 0, i¡/(x) — ф'(1) = 0 и аналогичных для финальных функций.

Теорема 3. Для того, чтобы задача граничного управления (11) была разрешима за промежуток времени

Т = 2m(l- х) + 8, где тп = 0,1,..., 0 < 5 < 2(/- х),

необходимо, чтобы выполнялись условия (9) из теоремы 2 для любого х € [£,/], где Ф(х) = tp(x) — ip(l+ х -х) при х< х < I, далее функция продол-

О

жается нечетно через точку х = I на отрезок I < х < 21— х, а далее периодически с периодом 2(1— х) на всю числовую прямую. Функция Ф(х') строится аналогичным образом через функцию ф(х).

Здесь, как и в случае четного граничного условия 1го рода, значение и(х, ¿) в точке Ь = ^ при любом Ь задается явно формулой (10).

Нелокальное условие четности 2го рода. В разделе рассмотрена задача

ии(х, I) - ихх(х, <) = 0 в и(х, 0) = ф(х), щ(х, 0) = "ф{х), и{х,Т) = (р(х), щ{х,Т)=ф{х), (12)

и(0,£) = ц(Ь) или их(0, = /¿(¿), их(1)£) = их{х^).

Функции берутся в соответствии с (4), кроме этого мы требуем выполнения условий (р'(х) — ср'(1) = 0, 1р'(х) - ф'(1) = 0 и аналогичных для финальных функций.

Теорема 4. Для того, чтобы задача граничного управления (12) была разрешима за промеокуток времени

Т = тп{1— х) + <5, где т = 0,1,..., 0 < 5 < I- х,

необходимо, чтобы выполнялись условия

ф(х) + ф(х +1 - х) (Ф(ж + 5) + Ф(х - 6)) +

1

+ 2

( I

х+5

4т

\

ф(0 ^

х-5

(13)

ф{х) + ф{х +1 - х) =\ (Ф'(х + 6) - Ф'(ж - 5)) +

и

+ ^ (ф(я + 5) + - 5)) ¿1

для любого х £ [х,/], гдеФ(х) = (р(х)+<р(1+ х -х), Ф(х) = ,ф(х)+'ф(1+ х -х)

О О

при х< х <1, далее функции продолжаются периодически с периодом I— х на всю числовую прямую.

В этом случае, как и при нечетном граничном условии первого рода, значение

о

и(х, ¿) в точке Ь = задается формулой (7).

Вторая глава посвящена исследованию задач оптимального граничного управления колебаниями струны на одном конце при наличии заданного режима смещения или силы на другом конце. Ранее такие задачи не рассматривались, однако в настоящей диссертационной работе понятие задач граничного управления с заданным режимом возникает естественным образом: в предыдущей главе было показано, что в некоторой внутренней точке струны ее поведение не зависит от управления на левом конце.

Во второй главе изучаются колебания упругой струны длины!/ в течение достаточно большого промежутка времени Т, которые описываются волновым уравнением ии(х, ¿) — ихх{х,£) — 0 в прямоугольнике <2г = [0 < х < Ц х [0 < £ < Т]. На левом конце струны осуществляется управление смещением

и(0,<)=М«) (14)

или силой

их( о,о = МО- (15)

На правом конце задается некоторый известный заранее режим смещения, который мы также будем называть режимом первого рода,

и(,М) = 1/(0 (16)

или режим силы, который мы аналогично будем называть режимом второго рода,

их(Ь,Ь) = и(1). (17)

Задача состоит в том, чтобы, учитывая заданный граничный режим, найти управление ц{Ь), которое перевело бы струну из произвольного начального

состояния и(х, 0) = <р[х), щ(х, 0) = ф(х) в произвольное финальное состояние и(х,Т) = Ф(х), щ(х,Т) = ф{х). Таким образом мы имеем 4 задачи граничного управления с различными комбинациями управлений смещением или силой на левом конце и различными комбинациями заданного режима смещения или силы на правом конце.

Рассмотрим смешанные начально-краевые задачи, соответствующие исходным задачам граничного управления,

ии{х,Ь) - =0 в фу,

и(х, 0) = <р(х), щ(х, 0) = ф(х),

(18)

и(0, =/л(£) или их{0,4) = /х(4), и(Ь,1) — или их(Ь,£) = и(1).

Задачи граничного управления мы будем решать в терминах обобщенного решения из класса И^1 {Я'т) соответствующих смешанных начально- краевых задач. При этом обобщенное решение каждой начально-краевой задачи мы будем понимать в смысле интегрального тождества в соответствии со следующим определением.

Определение 1. Обобщенным решением из класса И^Йт) смешанной задачи (18) будем называть функцию и(х,Ь) 6 И^Ог), удовлетворяющую интегральному тождеству

ЬТ £ I.

||и(1,/) (Ф,((х,() - Ф„(г,4)) ¿хИ + |^(а)Ф((1.0)<гг - =

0 0 0 0

т

^/¿(^ФхСО,*) - 1/(<)Фа;(Д£)) Л при управлении смещением (14) и режиме (16),

о

г

|(д(4)Фх(0,() + 1/(/)Ф(1.,4)) Л при управлении смещением (14) и режиме (17), - • ° т (19)

_ | + "(О®*^')) пРи управлении силой (15) и режиме (16),

о т

— | (мМ*(0,4) — <)) Л при управлении силой (15) и режиме (17)

о

(20)

для произвольных функций Ф(ж,¿) € 2т); удовлетворяющих условиям

Ф(х,Т) ~ 0, Ф¿(х,Т) = 0, 0 < х < Ь и для любого Ь е [О, Т]

Ф(0, ¿) = О, Ф(£/, ¿) = 0 при управлении (14) и режиме (16), Ф(0,^) ~ О, ФХ(Ь,£) = 0 при управлении (14) и режиме (17), Фх(0, £) = О, Ф{ЬЛ) = 0 при управлении (15) и режиме (16), Фх(ОЛ) = О, ФХ(ЬЛ) = 0 при управлении (15) и режиме (17).

Из принадлежности решения классу IV.} {(}'{) следуют требования гладкости на функции начальных, финальных и граничных условий

ф), !р{х) € И^О,Ь], ф{х), ф{х) £ Ьз[0,Ь],

6 И^О, Т] в случае управления смещением (14), /¿(¿) € ¿2 [О, Т] в случае управления силой (15),

(21)

€ ,Т] в случае режима смещения (16), и{Ь) £ />2 [О, Т] в случае режима силы (17).

При достаточно больших промежутках времени Т у поставленных задач граничного управления существуют бесконечно много решений, поэтому мы решим задачу отыскания среди всех допустимых управлений /х(£) того, на котором будет достигаться минимум интеграла (¿/(¿))2 ¿Й в случае управления смещением (14) и /ц (ц(Ь))2<И в случае управления силой (15).

Для каждой из четырех начально-краевых задач доказана теорема существования и единственности решения. Краевые задачи такого вида уже возникали в работах В.А. Ильина и Е.И. Моисеева при исследовании задач граничного управления на двух концах струны, поэтому можно воспользоваться некоторыми результатами указанных работ и построить решения в явном аналитическом виде. Кроме того, во второй главе указаны условия

на начальные и граничные функции, при которых найденное решение будет классическим. Построенное решение позволяет найти условия связи, которые будут использованы при оптимизации. Оптимальное граничное управление для каждой задачи также предъявлено в явном виде. Если положить граничный режим нулевым, то каждая из задач оптимального граничного управления с заданным режимом перейдет в соответствующую задачу оптимального граничного управления с условием закрепления на правом конце или со свободным концом, эти задачи были досконально исследованы в статье В.А. Ильина и Е.И. Моисеева 2005 года. В этом случае полученные в этой главе результаты перейдут в соответствующие формулы указанной работы.

Оптимальное управление смещением с заданным рео/симом 1го рода. Будем исследовать смешанную начально-краевую задачу

(иа{х, ^ - ихх(х, ¿) = 0 в От,

и(х,0) = ф), щ(х,0) = ф(х), (22)

и{0,0 = /*(«). и(/,,4) = К*).

в которой функции берутся из классов (21) и выполнены ограничения //(О) = <р(0) и р(0) = <р(Ь). Решение этой задачи понимается в смысле определения 1. Для простоты дальнейших выкладок рассматриваются промежутки времени, кратные удвоенной длине струны Т = 2Ь(п + 1), п = 0,1, —

Теорема 5. Обобщенное решение задачи (22) существует и единственно.

Теорема 6. Оптимальное граничное управление смещением для задачи с заданным режимом первого рода имеет вид:

X

Л(2 кЬ + х) = </з(0) + Ьр{0) - - 11¿е+

о (23)

1 п

+ - У" М(2™ - 1)Ь + х)~ и((2т - 1 )Ь)), к = 0,1,..., п-1; п '

т-1

n-1

--¿■(i/((2m + l)L + ®)-i/((2m + l)ii)),*! = l, 2, ..., n.

m-0

Оптимальное управление смещением с заданным режимом 2го рода. Рассмотрим смешанную начально-краевую задачу

щ(х, <) - «11(1, = 0 в < ф,0) = ф), = (25)

в которой функции берутся из классов (21) и выполнено ограничение /¿(0) = !/?(0). Решение этой задачи понимается в смысле определения 1. Для простоты дальнейших выкладок рассматриваются промежутки времени, кратные длине струны, умноженной на 4, Т = 4Ь(п + 1), п — 0,1, —

Теорема 7. Обобщенное решение задачи (25) существует и единственно.

Теорема 8. Оптимальное граничное управление смещением на одном конце струны, при заданном режиме силы на другом может быть представлено в виде:

n{t) = L{t) + a{t) + p(t), (26)

где L(t) - главный линейный член, который определяется равенством

L(t)=ip(o)+-m,

(27)

a a(t) и fi(t) - периодические добавочные члены, которые для любого к

0,1,..., п и для любого х £ [О, L] задаются формулами a{2L(2k +1) - х) =--

4(п + 1)

а(2 L(2k + 1) + х) =-4(°п + 1) 1-•

а(Щк + 1) -х) = ^¡-ц ^(х) - !р(0) - jv~(i) di

(28)

/3(4*1 + x) ^ (-1)"1 J <2mL -1 + i)

m=l 0

1 2n+2 Г r

0(2L(2k + 1) - x) E (-!)" (J - L + 0 - J <2mL ~ L - О'•

1 2n+2 r r

P(2L(2k + 1) + x) =2(ir+T) E (-!)"'(- j "(2тг - L - «) + J v(-2mL +

m™1 О X

1 2n+2 Г

/J(4L(* +1) - x) = - X) J "(2mi " £ - f)

Оптимальное управление силой с заданным режимом 1го рода. Рассмотрим смешанную начально-краевую задачу

utt(x, t) - ихх(х, t) = 0 в Qt, и(х, 0) = ф), щ{х, 0) = ф(х), (30)

Ux(0,i) = u(L,t) = v(t)t

в которой функции берутся из классов (21) и выполнено ограничение г/(0) = сp(L). Решение этой задачи понимается в смысле определения 1. Для простоты дальнейших выкладок рассматриваются промежутки времени, кратные длине струны, умноженной на 4, Т — 4L(n + 1), п = 0,1,____

Теорема 9. Обобщенное решение задачи (30) существует и единственно.

Теорема 10. Оптимальное граничное управление силой на одном конце струны при заданном режиме смещения на другом конце может быть представлено в виде:

/х(2тЬ + х) = ^^ £(-1) -Ь + х)- + '#>)]>

т — 0,...,2п + 1,

— (—•Л"» 2"+1 (_

М2 тЬ -х) = 2 ЫМЫЬ + Ь-х) + Щ^Ш^) ~ 4>(*)1

т — 1,...,2п + 2, 0 <х < Ь.

(31)

Оптимального управление силой с заданным режимом 2го рода. Рассмотрим смешанную начально-краевую задачу

иа(х, £) - ихх(х^) = 0 в

< «(1,0) = ^), ^(а:,0) = ^(а:), (32)

_ их(0, £) = ¡1(ь), их(Ь, г) =

в которой функции берутся из классов (21). Решение этой задачи понимается в смысле определения 1. Для простоты дальнейших выкладок рассматриваются промежутки времени, кратные удвоенной длине струны, Т = 2Ь(п +1), п = 0,1, —

Теорема 11. Обобщенное решение задачи (32) существует и единственно.

Теорема 12. Оптимальное граничное управление силой на одном конце струны при заданном режиме силы на другом конце может быть представлено в виде:

1 П+1 1 М(2 тЬ + х) = — £ и{2кЬ -Ь + х)- + ф{х)]+

1

+ С(п - 2т), т = 0,...,п, 22

2n

- = ГТ7 E + ^ - + о7ГГТ№ -

n + 1 fc=o + ^ (33)

+ C(n - 2m + 2), m = 1,..., n + 1, 0 < x < L,

а константа С задается выражением

i

—tp(Q) + (n + 1) J>(t) + ф{т) dr + F(u) C= fn(n + l)(n + 2) ' (34)

n+1 2 mL-L n 2mL+L

ж*)) = £ f ко^+Ё

m=l ¡J m=0

f (r) dr - (n + 1)

i/(t) dr. (35)

В третьей главе мы возвращаемся к изучению задач граничного управления на одном конце струны при наличии нелокального условия типа Бицадзе - Самарского

ин(х, t) - ихх(х, t) = 0 в QT = [0 < х < I] х [0 < t < Т], и(х, 0) = ip(x), ut(x, 0) = ф(х),

(36)

и{х,Т) = ф{х), щ(х,Т) = 1р(х), и(0, t) = n{t) или ux(0,t) = fi(t), с одним из четырех нелокальных условий

u{l,t) = -м(М), u{l,t) = n(x,t), (37, 38)

Mx(U) = 0. 0 = «х(г, t). (39, 40)

Мы снова будем изучать задачи, поставленные в первой главе, но уже в смысле обобщенного решения соответствующих смешанных начально-краевых задач. В первой главе было показано, что в классическом случае (когдаи(х, t) G C2(Qt), а функции начальных, финальных и граничных условий берутся в соответствии с (4)) задача, вообще говоря, не разрешима. Были сформулированы и доказаны 4 теоремы, в которых указываются необходимые условия разрешимости, которые накладываются на начальные и финальные функции.

В третьей главе рассмотрено решение u(x,t) 6 W^iQr), выбор такого класса определяет новые требования гладкости на начальные, финальные и граничные функции

ф), ¡р(х) € W\[0, I], ф(х), ф(х) € l2[0, /], fi(t) е W^fO, Г] в случае управления смещением,

(41)

n(t) £ L2[0, Т] в случае управления силой и дополнительные ограничения

<p(Z) = -(р{1), ip{x) = -<р{1) при условии u(l,t) = —u(x,t), ip(x) = ip(l), (p[x) = tp(l) при условии u(l, t) = u(x,t). Решение задачи граничного управления мы будем понимать в смысле обобщенного решения соответствующей смешанной задачи

utt{x,t) - uxx{x,t) = 0 в QT - [0 < х < 1} х [0 < t < Т], и(х, 0) = <р(х), ut(x, 0) = ф(х),

и(0, t) = /i(t) или ux(0, f) = fi(t), (43)

u(l,t) =-u(x,t) или u(l,t) ~ u(x,t) или ux(l,t) = —ux(x,t) или ux(l,t) = ux(x,t) в смысле определения

Определение 2. Обобщенным решением из класса W^Qt) смешанной задачи (43) будем называть функцию u(x,t) £ W^Qt), удовлетворяющую для произвольных функций Ф(x,t) £ C^(Qt), таких, что

Ф(х,Т) = 0, Ф4(а?, Т) = 0, 0 < х < I, Ф(0, i) = 0, 0 <t<T при управлении смещением, Ф.т(0,£) = 0, 0 <t <Т при управлении силой, (44)

Ф(L,t) = 0, 0 < t < Т при условиях (37) или (38), $x(L,t) = 0, 0 <t<T при условиях (39) или (40). 24

(45)

интегральному тождеству

I Т II

II и(х, 4) (Ф„ (1,4) - Ф„ (I, ()) ¿х <й +1ф) Ф,(х,0) ¿х -1 ф(х) Ф(х, 0) ¿г =

оо

' г г

+ |и(х,4)Фх(М)(Й при управлении смещением и (37), о о

т т

- |«(5,()Ф1(/.4)Й4 при управлении смещением и (38), о о

г г

|/Ф)Фх(0,4)|й - |их(х,4)Ф(2,4)<24 при управлении смещением и (39),

о о

т т

Фг(0,4)й4 + |и1(1,4)Ф(/,4)гй при управлении смещением и (40), о о

т т

,¿¿^ при управлении силой и (37),

о о

т т

при управлении силой и (38),

о о

г т

при управлении силой и (39),

о о

т т

|р(4)ф(0,4)(й + |п1(5,4)Ф(;,4)й при управлении силой и (40),

. о о

Далее для каждой задачи будет доказано, что при выполнении условий, идентичных полученным в первой главе, решение задачи граничного управления существует. Поскольку при относительно больших промежутках времени решений задачи граничного управления существует бесконечно много, мы будем среди всех допустимых управлений выбирать оптимальное, которое доставляет минимум функционалу (//(¿))2<й в случае управления смещением и & в случае управления силой.

Для каждого из четырех видов нелокальных граничных условий доказано утверждение о том, что соответствующая теорема из первой главы задает не только необходимое, но и достаточное условие разрешимости для случая обобщенного решения из И^фг). Для этого для каждой из восьми смешанных начально-краевых задач доказаны лемма о существовании класси-

ческого решения и лемма о существовании и единственности обобщенного решения. При построении классического решения мы пользуемся тем, что

о

в точке Ь = наблюдается режим смещения или силы, следовательно, мы можем построить решение на укороченном прямоугольнике <3г — [0 < х < Ь] х [0 < Ь < Т], пользуясь результатами второй главы о задачах с заданным режимом, а далее продолжить решение на весь прямоугольник С}т, используя вспомогательные функции из первой главы. То, что полученное решение будет и обобщенным доказано предельным переходом: мы приближаем начальные и граничные функции функциональными последовательностями из С2 и С1 и строим последовательность классических решений.

При выполнении условий разрешимости построены оптимальные граничные управления для каждой из восьми задач (для некоторых задач оптимальные управления будут иметь один и тот же вид).

Оптимальное управление смещением с нелокальным условием четности 1го рода или нелокальным условием нечетности 2го рода

Теорема 13. При выполнении условий (6) оптимальное граничное управление смещением с условиями (37) или (40) имеет вид:

X

1л{к{1+ х) + х) = <р(0) + -<р{0) -/

к

£(*') ~ у(0) 1

п

2 п 2 п

т(1+х) )

\

Г . ° " /+ X

х 0, —— , к = 0, 1,..., п - 1 ¿1

5) - x) = ф) + ^(0) + Щ^Ш - ± jflfl «if-

о

- Ь £(ф((т+т+ °х)) ~Ф((т+1)(/+ °х) -х)+ (46)

т=0

(m+l)_(J+£)

+

(m+l)(/+i)-.i:

О,

2

, fc = 1, 2, ..., п

при рассмотрении колебаний в течение промежутка времени Т = п(1+ х), п = 1, 2, ..= - ф), ф(х) = ф(х) - ф(х).

Оптимальное граничное управление смещением с нелокальным условием нечетности 1го рода или нелокальным условием четности 2го рода

Теорема 14. При выполнении условий (9) оптимальное граничное управление смещением с условиями (38) или (39) имеет вид:

n(t) = L(t) + a(t) + ßi(t), (47)

где главный линейный член задается формулой (27), 2(1+ х)-периодический член a(t) задается формулами (28), в которых следует сделать замену

а

L = Чр, а ßi(t) - периодический добавочный член, который для любого к — 0,1,..., п и для любого х Е [0, ^jp] задается формулами

. 2п+2

ß(2k(l+ х) + х) - (_1Г (ф(т(;+ х) + х) - Ф(т(1+ х))+

* ' т=1

о

. 2п+2

/3((2к + 1)(/+ х) - х) = —— £ (-1 Г(-Ф(т(г+ х)-х)~ Ф(т(1+ 1))+

^ * т—1

¡it !±1 1 2

I Щт(1+х)+0<%- J Ф(m(l+x)-£)d£)+

+

о

(48)

- 2п+2

/?((2* + !)(«+ + х) = £ ИГ(-Ф(т(1+ х) + х)~ Ф(т(1+ 1))+

* ' т=1

+

| Ф(т(/+ £) + £)<*£- | Ф(т(/+ х) - 0 ¿0+

I о

. 2п+2

0(2(* + 1)(Й- х) - х) = -—£(_1Г(_ФН/+ х) ~ х) + Ф(т»(1+ 5))+

^ ' тп= 1

а:

+ |ф(т(1+®) + 0<*£).

о

при рассмотрении колебаний в течение промежутка времени

Т = 2{п + 1)(1+х),п = 0, 1, ....

Оптимальное граничное управление силой с нелокальным условием четности 1го рода или нелокальным условием нечетности 2го рода

Теорема 15. При выполнении условий (6) оптимальное граничное управление силой с условиями (37) или (40) имеет вид:

(_\\т 2п+2

ц(т(1+ *) + *) = £(-1 )к(Ф'((1+ °х)к + х)+

+ Ф((/+ °х)к + х)) - ^¡^Ш*) + Ф)1 т = 0, ...,2п + 1,

2п+1

ц(т{1+ х) - х) = Х>1)*(Ф'((/+ х)(к + 1) - х)+

+ Ф((|+ х)(к + 1) - х)) + - Й*)], (49)

т = 1,..., 2п + 2, 0 < х < -г-.

А

при рассмотрении колебаний в течение промежутка времени

Т = п{1+х),п = 1,2, .... 28

Оптимальное граничное управление силой с г1елокальным условием четности 1го рода или нелокальным условием нечетности 2го рода

Теорема 16. При выполнении условий (9) оптимальное граничное управление силой с условиями (38) или (39) имеет вид:

^ п+1

ц(т(1+ °х)+х) = + + Ф((/+ *)* + *))-

-[¡р\х) + 'ф(х)} + С(п-2гп), т = 0,...,п,

2(п +1)

2п

Кт(1+ х) -х) = ^^у ¿(Ф'((/+ х){к + 1) - х) + Щ(1+ х)(к + 1) - х))+

1+х

к=О

+

2 (п + 1)

[(р'(х) - ф(х)\ + С{п - 2т + 2), т = 1,..., п + 1, 0 < х <

2 ' (50)

а константа С задается выражением

-¡р{0) + (п + 1) /^(т) + 1р(т) йт + F(Ф(x)> Ф(ж))

С =

|п(п + 1)(п + 2)

(51)

. п+1

т=1

т(!+т)+

!±г

+ £

тп—0

(52)

,.,1+х . Т,/+а; Л ,

-(п + 1)

1

при рассмотрении колебаний в течение промежутка времени Г = 2(п+1)(М-я),п = 0, 1, ....

Выражаю глубокую благодарность своему научному руководителю Евгению Ивановичу Моисееву за постановку задач, а также поддержку и постоянное внимание к работе, а также Владимиру Александровичу Ильину за внимание к работе и ценное обсуждение.

Публикации автора по теме диссертации

[1] Моисеев Е.И., Холомеева A.A. Оптимальное граничное управление смещением колебаниями струны с нелокальным условием нечетности первого рода // Дифференц. уравнения. 2010. Т. 46, № И. С. 1623-1630.

[2] Моисеев Е.И., Холомеева A.A. Оптимальное граничное управление смещением колебаниями струны с нелокальным условием четности второго рода // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47, № 1. С. 127-134.

[3] Холомеева A.A. Оптимальное граничное управление колебаниями струны с модельными нелокальными условиями одного из двух типов //, Докл. РАН. 2011. Т. 437, № 2. С. 164-167.

Напечатано с готового оригинал-макета

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИД N 00510 от 01.12.99 г. Подписано в печать 20.04.2011 г. Формат 60x90 1/16. Усл.печ.л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 171. Тел. 939-3890. Тел./факс 939-3891. 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. M.B. Ломоносова, 2-й учебный корпус, 627 к.

Введение

Глава 1. Условия разрешимости задач граничного управления с нелокальными условиями типа Бицадзе-Самарского

1.1. Постановка задач.

1.2. Условия управляемости для задач с нелокальным условием нечетности 1го рода.

1.3. Условия управляемости для задач с нелокальным условием четности 1го рода.

1.4. Условия управляемости для задач с нелокальным условием нечетности 2 го рода.

1.5. Условия управляемости для задач с нелокальным условием четности 2го рода.

Глава 2. Задачи оптимального граничного управления колебаниями струны на одном конце при заданном режиме на другом конце.

2.1. Постановка задач.

2.2. Задача оптимального граничного управления смещением с заданным режимом 1го рода.

2.3. Задача оптимального граничного управления смещением с заданным режимом 2го рода.

2.4. Задача оптимального граничного управления силой с заданным режимом 1го рода.

2.5. Задача оптимального граничного управления силой с заданным режимом 2го рода.

Глава 3. Задачи оптимального граничного управления колебаниями струны на одном конце при заданных нелокальных граничных условиях типа Бицадзе-Самарского.

3.1. Постановка задач.

3.2. Оптимальное граничное управления смещением с нелокальным условием нечетности 1го рода.

3.3. Оптимальное граничное управления смещением с нелокальным условием четности 1го рода.

3.4. Оптимальное граничное управления смещением с нелокальным условием нечетности 2го рода.

3.5. Оптимальное граничное управления смещением с нелокальным условием четности 2го рода.

3.6. Оптимальное граничное управления силой с нелокальным условием нечетности 1го рода

3.7. Оптимальное граничное управления силой с нелокальным условием четности 1го рода.

3.8. Оптимальное граничное управления силой с нелокальным условием нечетности 2го рода

3.9. Оптимальное граничное управления силой с нелокальным условием четности 2го рода.

Актуальность темы. Большой класс физических процессов, связанных с колебательными системами, моделируется волновым уравнением, при этом на практике часто возникают задачи граничного управления, когда нужно сгенерировать колебания нужной частоты, уменьшить амплитуду колебаний, стабилизировать колебания или полностью успокоить систему. В любой момент времени состояние струны однозначно описывается смещением и скоростью ее точек, особый интерес представляют условия, при которых колебания струны являются управляемыми, т.е. процесс переводится из наперед заданного начального состояния в финальное.

Первые результаты в теории граничного управления распределенными системами были получены Ж.-Л.'Лионсом. В частности, он был одним из первых, кто исследовал задачи об управлении колебаниями в форме смешанных начально-краевых задач. В работе [1] для одномерного волнового уравнения в терминах обобщенного решения исследовалась задача о переводе струны из некоторого начального состояния в нулевое с помощью граничного управления смещением, была доказана разрешимость такой задачи, а так же неединственность решения при больших промежутках времени рассмотрения колебаний. Позже в работах Лионса были исследованы задачи оптимизации управления системами, описываемыми уравнениями с частными производными эллиптического, параболического и гиперболического типа (см. [2, 3]). Одним из важнейших результатов Лионса является метод решения задачи точной управляемости для системы, описываемой гиперболическим уравнением второго порядка, который заключается в сведении исходной задачи к задаче о точной наблюдаемости для сопряженного уравнения. Этот метод получил название гильбертов метод единственности и был далее развит для многомерного случая, обобщен для случая квазилинейного волнового уравнения, неавтономных систем ([4]).

Большое число технологических процессов, приводящих к задачам управления рассмотрено в книге А.Г. Бутковского [5]. В работах [5, 6] предложены различные методы решения задач оптимального управления, например, метод моментов, метод Фурье, метод гармоник. В частности, показано, как можно свести задачу оптимального управления колебаниями в некоторой распределенной упругой среде к соответствующей проблеме моментов. Говоря о методах, разработанных для решения задач оптимального граничного управления, отметим метод падающих и отраженных волн, разработанный А.И. Егоровым в [7].

К ранним работам по теории оптимального управления можно также отнести работу М.М. Потапова [8], в которой метод разностной апроксимации применен для приближения решения задачи оптимального граничного управления решениями начально-краевой задачи для системы Гурса-Дарбу.

В цикле работ Ф.П. Васильева, В.А. Куржанского, М.М. Потапова, A.B. Ра гулина [9-12] задачи оптимального граничного управления исследуются исходя из концепции теории двойственности для линейных систем управления. В этих работах гильбертов метод единственности формулируется в форме, позволяющей применить его к широкому классу задач управления распределенными системами. Кроме того, были разработаны численные методы решения задач управления и наблюдения, основанные на конечномерных аппроксимациях рассматриваемых динамических систем. В работе [12] был развит предложенный ранее метод моментов. В работе [13] М.М. Потапова строится устойчивый вычислительный метод построения приближенных решений для задач управления и наблюдения, которая применима и для волнового уравнения.

Отметим работы А.Н. Зарубина [14, 15], в которых исследовались задачи граничного наблюдения для уравнения смешанного типа и был указан явный рекуррентный метод нахождения решения.

Начиная с 1999 года В.А. Ильиным был исчерпывающим образом исследован ряд задач оптимального граничного управления процессами, описываемыми гиперболическими уравнениями и, в первую очередь, волновым уравнением ихх(х,г) = 0 в Qт = [0<x<l]x[0<t<T}. (1)

Задача состоит в переводе струны из начального состояния, которое характеризуется начальным смещением и(х, 0) = ф{х) и скоростью щ(х, 0) = Ф{%), в финальное состояние и(х,Т) = </?(#), щ(х,Т) = ф(х). Рассматривались задачи управления смещением и(0,£) = ц{Ь) или силой их(0,£) = на одном конце струны при условии закрепления и(1,Ь) = 0 на втором конце или когда второй конец свободен их(1, £) = 0. Кроме перечисленных были изучены задачи, когда управление осуществляется на обоих концах струны (одного вида или разных). В первых же работах [16, 17] В.А. Ильиным был введен специальный класс функций И^фт)} определяемый как множество функций двух переменных и(х,£), непрерывных на замкнутом прямоугольнике и имеющих в нём обе обобщенные производные их(х^), каждая из которых принадлежит не только классу -£/2(<Зт)> но и /^[О < х < 1} для всех £ е [0, Т] и классу ¿2[0 < ^ < Т] при всех х £ [0,/]. Рассмотрение всех задач граничного управления проводится в терминах обобщенного из класса И^1 (Ят) решения смешанной задачи для волнового уравнения (1) с заданными начальными условиями и такими граничными условиями на концах х = 0 и х = которые обеспечивают выполнение в финальный момент времени t = Т заданных финальных условий.

Принадлежность обобщенного решения и(х, классу И^фг) позволяет точно указать требования гладкости, которым должны удовлетворять функции начальных, финальных и граничных условий.

В первых работах В.А. Ильина по этой тематике задача состояла в нахождении минимального времени, за которое систему можно перевести из произвольного начального состояния в произвольное финальное без существенных дополнительных ограничений на функции начальных, финальных и граничных условий. Такой промежуток времени был назван критическим. Было установлено, что в случае управления на одном конце Ткр = 21, а при управлении на двух концах Ткр = В работе В. А. Ильина и В.В. Тихомирова [18] исследовался случай, когда Т < Ткр в терминах решения из И^(Ят) (этот класс аналогичен (фт) с той разницей, что на функции из него накладываются повышенные требования гладкости), были найдены необходимые и достаточные условия на начальные и финальные функции, обеспечивающие существование допустимых управлений, далее при выполнении найденных условий искомые управления были предъявлены в явном аналитическом виде.

В работах В.А. Ильина и Е.И. Моисеева [19-24] исследовался случай больших промежутков времени (Т > Ткр). В этом случае существует бесконечное множество решений задачи граничного управления, поэтому логично было поставить задачу оптимизации. Для каждого Т ищется управление, которое не только переводит струну из заданного начального состояния в финальное, но и доставляет минимум интегралу граничной энергии при наличии условий связи, вытекающих из заданных начальных и финальных условий. Сначала оптимальное граничное управление находилось в предположении, что промежуток времени Т кратен 21 при граничных условиях на двух концах одного рода и кратен 41 при граничных условиях па двух концах разных родов, это позволило записать итоговые выражения для оптимального управления в лаконичном виде. Далее в цикле работ [25-30] была развита техника для изучения поставленных задач при произвольных Т, а также был исследован случай обобщенного решения из пространства И^Дфт)- Было показано, что для некоторых задач (когда есть условие закрепления на одном из концов) оптимальное управление имеет один и тот же вид сразу для всех р > 1, для остальных задач это верно тогда и только тогда, когда выполнены дополнительные условия на начальные и финальные функции. В работе Е.И. Моисеева [31] исследуется задача управления смещением при свободном конце и показано, что при р ф 2 оптимальное управление может нелинейно зависеть от начальных и финальных условий.

В 2008 году В.А. Ильин исследовал ряд задач граничного управления с модельными нелокальными граничными условиями типа Бицадзе - Самарского ux(l,t) = —ux(x,t), ux(l,t) = ux(x,t). Условия такого вида впервые возникли в известной работе A.B. Бицадзе и A.A. Самарского [32] при исследовании задачи для равномерно- эллиптического уравнения. Отличие этой задачи от исследованных ранее состояло в том, что граничные значения искомого решения повторялись во внутренних точках области, где искомая функция должна удовлетворять уравнению. Далее граничные условия такого типа возникали и в других работах, например, [33].

В работах В.А. Ильина [34-37] были исследованы задачи управления смещением и силой при наличии одного из условий (2), при этом либо начальные либо финальные условия полагались равными нулю (т.е. ставились задачи о возбуждении колебаний струны и об успокоении колебаний). Основным результатом указанных работ было доказательство того, что при наличии одного из нелокальных граничных условий (2) рассматриваемые задачи для любого сколь угодно большого промежутка времени Т являются только условно управляемыми. В работах найдены условия, которым должны удовлетворять финальные функции, чтобы струну можно было перевести из нулевого начального состояния в заданное финальное, и аналогичные условия на начальные функции, чтобы струну из начального состояния можно было перевести в нулевое. Далее при выполнении найденных условий решается задача оптимизации посредством сведения каждой из рассматриваемых нелокальных задач к изученным ранее локальным. Кроме этого, в работе [38] доказана единственность обобщенных решений смешанных задач с более общими нелокальными граничными условиями.

Говоря о задачах граничного управления с нелокальными граничными условиями, отметим работы A.A. Кулешова [39, 40], в которых исследовались начально- краевые задачи с нелокальными граничными условиями более общего вида, нежели (2), а также работу автора [41], где нелокальным было само управление (/¿(¿) = ux{l,t) — wx(0, t)).

Цель диссертационной работы. Диссертационная работа посвящена изучению задач оптимального граничного управления колебаниями струны при наличии модельных нелокальных граничных условий типа Бицадзе - Самарского четырех видов и произвольных начальных и финальных условий. Цель работы — получить необходимые и достаточные условия управляемости системы, а далее при выполнении этих условий найти оптимальное граничное управление.

Методы исследования. Используются методы построения обобщенных решений начально-краевых задач, развиты в работах В.А. Ильина и Е.И. Моисеева, метод множителей Лагранжа для проведения оптимизации. Научная новизна. В диссертации впервые получены следующие основные результаты

• Для каждой задачи граничного управления с нелокальными граничными условиями найдены в явном виде условия на начальные и финальные функции, которые являются необходимыми и достаточными условиями управляемости струны. Наличие таких условий иллюстрирует тот факт, что задачи граничного управления с нелокальными граничными условиями и произвольными начальными и финальными данными, вообще говоря невозможно свести к суперпозиции двух задач: об успокоении колебаний струны и о возбуждении колебаний струны.

• При выполнении найденных условий решается задача оптимизации. Оптимальное граничное управление предъявляется в явном аналитическом виде для каждой из восьми задач.

• Во второй главе решаются возникающие попутно, ранее не изучавшиеся задачи оптимального граничного управления колебаниями струны на одном конце при наличии на другом конце заданного режима смещения или силы.

Практическая и теоретическая ценность работы. Диссертация носит теоретический характер, однако ее результаты можно использовать для моделирования различных колебательных процессов в задачах математической физики.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на научном семинаре кафедры оптимального управления ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством профессора Ф.П. Васильева, на конференциях

• научная конференция Тихоновские чтения, факультет ВМК Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова, Москва, октябрь 2010 г.;

• международная конференция Дородницын-100, Вычислительный центр имени A.A. Дородницына РАН, Москва, декабрь 2010 г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в трех работах [43-45] в изданиях, рекомендованных ВАК.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из оглавления, введения, трех глав, разбитых на разделы, и списка литературы. Во введении освещена актуальность задачи и краткая история основных результатов по смежным вопросам теории оптимального граничного управления, а также основные результаты диссертации. Использована двойная сквозная нумерация формул: номер главы, номер формулы. Нумерация утверждений, теорем, лемм, следствий - сквозная. Объём диссертации составляет 114 страниц.

В первой главе исследуются задачи граничного управления с нелокальным граничным условием одного из четырех типов

Каждая из задач рассматривается в регулярном смысле, т.е. будем полагать и(х, ¿) 6 С2(<Эт), тогда функции начальных, финальных и граничных условий будут принадлежать классам:

Главным предметом изучения первой главы являлся вопрос управляемости. Для каждого из четырех нелокальных граничных условий была сформулиро

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ ии(х, £) - ихх(х, г) = 0 в От = [0 < ж < I] х [0 < £ < Т] и(х, 0) = <р(х), щ(х, 0) = 1р{х), и(х, Т) = <р(х), щ(х,Т) = ф(х), и(0, £) = //(£) или их(0,Ь) = и(1, £) = —и(х, £) или и(1, £) = и(х, £) или их(1,Ь) = —их(х^) или их(1,£) = их{х^). з)

4) вана теорема, задающая необходимые условия разрешимости задачи граничного управления (3). Показано, что если положить нулевыми начальные или финальные условия (т.е. рассмотреть задачи о возбуждении колебаний струны и об успокоении соответственно), указанные в теоремах условия перейдут в условия управляемости из соответствующих работ В.А. Ильина [34-37]. Позже, в третьей главе, мы вернемся к исследованию вопроса управляемости струны в случае обобщенного решения и покажем, что найденные в первой главе условия будут иметь тот же вид и будут не только необходимыми, но и достаточными.

Сформулируем теперь постановку задач и основные результаты.

Задача граничного управления с нелокальным условием нечетности 1го рода

В разделе рассмотрена задача г ии(х, £) - ихх(х, = 0 в С}Т, и(х, 0) = </?(ж), щ(х, 0) = ф(х), < и(х,Т) = <р(х), щ(х,Т) = ф(х), (5) и(0,£) = или их{0, = гг(/,£) = —

Функции берутся в соответствии с (4), кроме этого мы требуем выполнения условий

4>{х) + (р{1) = 0, ф(х) + ф(1) = 0, р"(х) + ср"(1) = 0 (6) и аналогичных для финальных функций.

Теорема 1. Для того, чтобы задача граничного управления (5) была разрешима за промежуток времени

Т = 2тп{1- х) + 5, где т = 0,1,., 0 < 6 < 2(1- х),

12 необходимо, чтобы выполнялись условия 1 х+8 ф{х) + <р(х +1 - х) =- ( Ф(х + 6) + Ф(х -<$) + ф(х) + ф(х -И - х) =^(ф/(ж + 5) - Ф'{х - 5))+ и Z х—S для любого х € [х,1], где Ф(:с) = ср(х) + <р(1+ ос —х) при х< х < I, далее функция продолжается нечетно через точку х = I на отрезок I < х < 21— х, а далее периодически с периодом 2(1— х) на всю числовую прямую. Функция Ф(ж) строится аналогичным образом через функцию ф(х).

Попутно при доказательстве теоремы был выявлен важный факт: значе о ние и(х, £) в точке Ь = при любом £ может быть найдено в явном виде, используя вспомогательные Ф(а;) и Ф(:г): u(L,t) =

L+t

Ф(Ь + £) +

8)

Задача граничного управления с нелокальным условием четности 1го рода

В разделе рассмотрена задача и(ж, t) - ихх{х, £) = 0 в QTi и(х, 0) = <р(х), щ(х, 0) = ф(х), и(х,Т) = (р(х), щ(х, Т) = ф(х), (9) u(0,t) = n(t) или ux(0,t) = /i(£), u(l,t) = u(x,t).

Функции берутся в соответствии с (4), кроме этого мы требуем выполнения условий tp(x) - <р{1) = 0, ф(х) - ф(1) = 0, tp''(x) - iff\l) = 0 (10)

13 и аналогичных для финальных функций.

Теорема 2. Для того, чтобы задача граничного управления (9) была разрешима за промежуток времени

Т = т(1— х) + 8, где т = 0,1,., 0 < 6 < I— х, необходимо, чтобы выполнялись условия х+5 \

Ф(х + 5) + Ф(х - 6) + Ф(£) ) , х-6 /

- 1 11

•ф(х) - ф(х - х) =-{Фг(х + 6) - Ф\х - (5))+ для любого х Е [х,1], где Ф(х) = <р(х) — <£>(/-+- х —х) при х< х < I, далее функция продолжается периодически с периодом I— х на всю числовую прямую. Функция Ф(а;) строится аналогичным образом через функцию ф(х).

Попутно при доказательстве теоремы было показано, что значение про. О изводной их(х^) в точке Ь = ^ при любом Ь может быть найдено в явном виде с помощью вспомогательных Ф(ж) и Ф(х):

МЬ = \ + 0 + + *)) ■ (12)

Задача граничного управления с нелокальным условием нечетности 2го рода

В разделе рассмотрена задача

Utt(x, t) - ихх(х, t) = Ов Qt, u(x, 0) = (p(x), ut(x, 0) = ф(х), < u(x,T) = (p(x), ut(x:T) = ф(х), u(0, t) = /j,(t) или ux(0, t) = n{t), ^ ux(l,t) = —ux(x,t).

Функции берутся в соответствии с (4), кроме этого мы требуем выполнения условий и аналогичных для финальных функций.

Теорема 3. Для того, чтобы задача граничного управления (13) была разрешима за промежуток времени необходимо, чтобы выполнялись условия (11) из теоремы 2 для любого х G [х,1], где Ф(х) = <р(х) — ip(l+ х —х) при х< х < I, далее функция продолО жается нечетно через точку х = I на отрезок I < х < 21— х, а далее периодически с периодом 2(1— х) на всю числовую прямую. Функция Ф(а:) строится аналогичным образом через функцию ф(х).

Здесь, как и в случае четного граничного условия 1го рода, значение о u(x,t) в точке L = при любом t задается явно формулой (1.25). Задача граничного управления с нелокальным условием четности 2го рода ц/(х) - ср'(1) = 0, <ф'(х) - ф\1) = 0

14)

Т = 2m(l- х) + 6, где m = 0,1,., 0 < 5 < 2(1- х)

В разделе рассмотрена задача ии(х, ¿) - ихх(х, £) = 0 в <2Г,

0) = (р(х), щ{х, 0) = ф(х), и(х, Т) = щ(х, Т) = ф(х), (15) гл(0, £) = /¿(£) или их{0, = Да(^), их(1, ¿) = их(х,г).

Функции берутся в соответствии с (4), кроме этого мы требуем выполнения условий х) - = О, - ^'(0 = о (16) и аналогичных для финальных функций.

Теорема 4. Для того, чтобы задача граничного управления (15) была разрешима за промежуток времени

Т = гп(1— х) + 6, где тп = 0,1,., 0 < 6 < I— х, необходимо, чтобы выполнялись условия 1

Ф(х) + ${х +1 - х) =- (Ф(х + 6) + Ф(х - 6)) + 1 2 1 I 5 х+6 х—6

17) ф(х) + ф(х +1 - X) =- (Ф'(х + 5) - Ф'(х - 5)) + для любого х е [ж, I], где Ф(х) = ц>(х)+<р(1-Ь х —х), Ф(ж) = ф(х)+'ф(1+ х —х)

О о при х< х < I, далее функции продолжаются периодически с периодом I— х на всю числовую прямую.

В этом случае, как и при нечетном граничном условии первого рода, значение о и(х^) в точке Ь = задается формулой (8).

Вторая глава посвящена исследованию задач оптимального граничного управления колебаниями струны на одном конце при наличии заданного режима смещения или силы на другом конце. Ранее такие задачи не рассматривались, однако в настоящей диссертационной работе понятие задач граничного управления с заданным режимом возникает естественным образом: в предыдущей главе было показано, что в некоторой внутренней точке струны ее поведение не зависит от управления на левом конце.

Во второй главе изучаются колебания упругой струны длины Ь в течение достаточно большого промежутка времени Т, которые описываются волновым уравнением — ихх{х,£) = 0 в прямоугольнике (Зу = [0 < х < Ь]х[0<г< Т]. На левом конце струны осуществляется управление смещением гг(0,0 = М*) (18) или силой их{ о,*) (19)

На правом конце задается некоторый известный заранее режим смещения, который мы также будем называть режимом первого рода, и{Ь,г) = !/(*) (20) или режим силы, который мы аналогично будем называть режимом второго рода, их(Ц{) = 1/(4). (21)

Задача состоит в том, чтобы, учитывая заданный граничный режим, найти управление /х(£), которое перевело бы струну из произвольного начального состояния и(х, 0) = <р{х), щ(х,0) = ф(х) в произвольное финальное состояние гг(ж,Т) = ф{х), щ(х,Т) = ф(х). Таким образом мы имеем 4 задачи граничного управления с различными комбинациями управлений смещением или силой на левом конце и различными комбинациями заданного режима смещения или силы на правом конце.

Рассмотрим смешанные начально-краевые задачи, соответствующие исходным задачам граничного управления, ии{х,Ь) - ихх(х,г) = 0 в и(х,0) = 1р(х), щ(х,0) = ф(х),

22) и{0, £) — ¡1{Ь) или их{0, ¿) = //(£), = или их(Ь,{) =

Задачи граничного управления мы будем решать в терминах обобщенного решения из класса И^Фт) соответствующих смешанных начально- краевых задач. При этом обобщенное решение каждой начально-краевой задачи мы будем понимать в смысле интегрального тождества в соответствии со следующим определением.

Определение 1. Обобщенным решением из класса И^Фт) смешанной задачи (22) будем называть функцию и(х,Ь) Е И^СФг); удовлетворяющую интегральному тождеству ь т и{.г, ¿) (Фи{х, £) - Фхх(я, *)) <&+ о о о О

X =

Г г

ФХ(0, £) - 1/(£)Фа.(2у,£)) (И при (18) и режиме (20),

23)

ФХ(0, £) + ^(¿)Ф(Ь, £)) Л при (18) г( режиме (21), о т х(*)ф(0, + 1/(*)Фх{Ь,г)) (И при (19) и режиме (20), д(£)Ф(0,£) - ^ при (19) г/ режиме (21)

V о произвольных функций Е удовлетворяющих условиям

Ф(ж, Г) = 0, Ф4(а;,Т) = 0, 0 < ж < £ и любого £ € [О, Т]

Ф(0, £) = О, Ф(!/,£) = 0 при управлении (18) и режиме (20),

24)

Ф(0,£) = О, Фж(£,£) = 0 при управлении (18) и режиме (21), Фж(0, ¿) = О, Ф(Ь, ¿) = 0 при управлении (19) и режиме (20), Фх(0, £) = О, ФХ(Ь,£) = 0 при управлении (19) и режиме (21).

Из принадлежности решения классу И^К^т) следуют требования гладкости на функции начальных, финальных и граничных условий

При достаточно больших промежутках времени Т у поставленных задач граничного управления существуют бесконечно много решений, поэтому мы решим задачу отыскания среди всех допустимых управлений fi(t) того, на котором будет достигаться минимум интеграла т в случае управления силой (19).

Далее для каждой задачи будет исследована соответствующая начально-краевая задача и найдено решение задачи оптимального граничного управления. Для каждой из четырех начально-краевых задач доказана теорема существования и единственности решения. Краевые задачи такого вида уже возникали в работах [24, 28, 30, 42] при исследовании задач граничного управления на двух концах струны, поэтому можно воспользоваться некоторыми результатами указанных работ и построить решения в явном аналитическом виде. Кроме того, во второй главе указаны условия на начальные и граничные inf (¡j!(t)fdt

26) о в случае управления смещением (18) и т inf (/i(t)fdt

27) О функции, при которых найденное решение будет классическим. Построенное решение позволяет найти условия связи, которые будут использованы при оптимизации. Оптимальное граничное управление для каждой задачи также предъявлено в явном виде. Если положить граничный режим нулевым, то каждая из четырех задач оптимального граничного управления с заданным режимом перейдет в соответствующую задачу оптимального граничного управления с условием закрепления на правом конце или со свободным концом, эти задачи были досконально исследованы в статье В.А. Ильина и Е.И. Моисеева [24]. В этом случае полученные в этой главе результаты перейдут в соответствующие формулы указанной работы.

Задача оптимального граничного управления смещением с заданным режимом 1го рода

Будем исследовать смешанную начально-краевую задачу utt(х, t) - ихх(х, t) = 0 в <2т> < и(х, 0) = <р(х), щ(х, 0) = ф(х), (28)

U(0,t) = [i(t), u(L,t) = v(t), в которой функции берутся из классов (25) и выполнены ограничения /¿(0) = (/?(0) и г/(0) = ip(L). Решение этой задачи понимается в смысле определения 1. Для простоты дальнейших выкладок рассматриваются промежутки времени, кратные удвоенной длине струны Т = 2L(n + 1), п = 0,1,

Теорема 5. Обобщенное решение смешанной задачи (28) существует и единственно.

Теорема 6. Оптимальное граничное управление смещением для задачи с заданным режимом первого рода имеет вид: о

1 п

- Y1 M(2m - i)L+х) - K(2m -1)^))>

71 т=1 х G [О, L],fc = 0,1,. ,п—1

71 — 1

- (í/((2m + 1)L + х) - v({2т + 1)L)), т ¿eо п т=О

X е [О, L], к = 1, 2, ., п.

29)

Задача оптимального граничного управления смещением с заданным режимом 2го рода

Рассмотрим смешанную начально-краевую задачу utt(x, t) - ихх{х, t) = 0 в Qt, ж, 0) = #>(*)> = ^(я), (30) u(0,t) = aí(í), ux(L,t) = i'(t), в которой функции берутся из классов (25) и выполнено ограничение /и(0) = (р(0). Решение этой задачи понимается в смысле определения 1. Для простоты дальнейших выкладок рассматриваются промежутки времени, кратные длине струны, умноженной на 4,Т = 4L(n + 1), п = 0,1,.

Теорема 7. Обобщенное решение смешанной задачи (30) существует и единственно.

Теорема 8. Оптимальное граничное управление смещением на одном конце струны при заданном режиме силы на другом может быть представлено в виде: = Ь(*) + а(0 + /3(*), (31) где Ь(Ь) - главный линейный член, который определяется равенством

Щ = ¥>(0) +

32) а а(Ь) и ¡3({) - периодические добавочные члены, которые для любого к = 0,1,., п и для любого х Е [О, Ь] задаются формулами X а(АкЬ + х) =

4 (га + 1) ф) - (р(0) + т ^ о а(2Ь(2к+1) -х) =

Ф) - т+]>(о #+Ью #

0х

4(п + 1)

33) а{2Ь(2к + 1) + х) = а(Щк + 1) - х) =

4 (п + 1)

4(п + 1) р(х) - т фю

2п+2 »

5(4кЬ + х) ■ ]Г (-1Г - £ + О <1£,

1 2п+2 р

3(2Ь(2Л + 1) - х) Е (-1)7" (I "(2т1, " ^ + О ^ т—1 п

1 2п+2 р

3(2Ь(2£ + 1) + х) ~2?п^ГТ) ^ ^2тЬ т=1 ^

1/(2 тЬ-Ь + £)с^).

Р(Щк

1 2п+2 ^ - *) = " 2ЙГМ) ^(1Г "(2тЬ т=1 л

34)

Задача оптимального граничного управления силой с заданным режимом

1го рода

Рассмотрим смешанную начально-краевую задачу ии(х, г) - ихх{х, г) = о в

0) = 0) = ^(ж), (35) к их(0,£) = = 1/(4), в которой функции берутся из классов (25) и выполнено ограничение и(0) = ср(Ь). Решение этой задачи понимается в смысле определения 1. Для простоты дальнейших выкладок рассматриваются промежутки времени, кратные длине струны, умноженной на 4, Т = 4Ь(п + 1), п = 0,1, —

Теорема 9. Обобщенное решение смешанной задачи (35) существует и единственно.

Теорема 10. Оптимальное граничное управление силой на одном конце стру ны при заданном режиме смещения на другом конце может быть представлено в виде:

М(2тЬ + х) = £ (-1М2Ы; -£ + *)- А-!^*) + ф{х)\, т = 0,., 2п + 1, (—-п™2п+1 /1 Лт

1{2шЬ -х) = £(-1М2 кЬ + Ь-х) + - ф)},

4(п + 1) ш = 1,.,2?г + 2, 0 <х<Ь.

36)

Задача оптимального граничного управления силой с заданным режимом

2го рода

Рассмотрим смешанную начально-краевую задачу

Utt(x, t) - ихх(х, i)=0 в Qt, < и(х, 0) = ф), щ(х, 0) = ф(х), (37) ux(Q,t) = fi(t), ux(L,t) = i/(t), в которой функции берутся из классов (25). Решение этой задачи понимается в смысле определения 1. Для простоты дальнейших выкладок рассматриваются промежутки времени, кратные удвоенной длине струны, Т = 2L(n +1), п = 0,1, —

Теорема 11. Обобщенное решение смешанной задачи (37) существует и единственно.

Теорема 12. Оптимальное граничное управление силой на одном конце стру ны при заданном режиме силы на другом конце может быть представлено в виде: 71+1 1 р{2тЬ + х) = ^-¡-у ^ 1/(2кЬ -Ь + х)- + [у/(дг) + 1>{х)]+ к= 1 С(п — 2m), т = 0,., п,

2п

2mL - я) = ^ f>(2fcL + L - х) + ~

А/*— О С{п - 2т + 2), т = 1,., n + 1, 0 < ж < L, а константа С задается выражением

С =

-£(0) + (n + 1) j i(r) + ^(r) dr + F(i/) о fn(n + l)(n + 2) n+1

2mL-L

F(u(t)) = ^ „(т) dr + £ m=l n

2 ttiL+L m=0 i/(r) dr - (n + 1)

38)

39) v{t) dr. (40)

В третьей главе мы возвращаемся к изучению задач граничного управления на одном конце струны при наличии нелокального условия типа Бицадзе - Самарского utt(x, t) - ихх(х, t) = 0 в QT = [0 < х < I] х [0 < t < Г], и(х, 0) = ф), щ{х, 0) = ф(х), (41) и(х,Т) = (р(х), щ(х,Т) = ф(х) с управлением смещением на левом конце либо силой т*(0, <)=/*(«), ux(0,t) = fi(t) 26

42) и с одним из четырех нелокальных условий

45)

46)

47)

Мы снова будем изучать задачи, поставленные в первой главе, но уже в смысле обобщенного решения соответствующих смешанных начально-краевых задач. В первой главе было показано, что в классическом случае (когдап(ж, £) Е С2(Сдт), а функции начальных, финальных и граничных условий берутся в соответствии с (4)) задача, вообще говоря, не разрешима. Были сформулированы и доказаны 4 теоремы, в которых указываются необходимые условия разрешимости, которые накладываются на начальные и финальные функции.

В третьей главе рассмотрено решение и(х,Ь) £ И^фт), выбор такого класса определяет новые требования гладкости на начальные, финальные и граничные функции

Решение задачи граничного управления мы будем понимать в смысле обобф), (р{х) G ф(х), ф(х) <Е Ь2[О,/] i(t) G W^fOjT] в случае управления смещением, fj,(t) G Z/2[0,T] в случае управления силой и дополнительные ограничения ip(x) = = —ф{1) при условии u(l,t) = — и(ху{), р(х) = ip(l), (р(х) = ф{1) при условии и(1, t) = и(х, t).

48)

49) щенного решения соответствующей смешанной задачи ии(х, £) - ихх(х, £) = 0 в С}т = [0 < х < 1} х [0 < £ < Т], и(х,0) = ч>{х), щ(х, 0) = ф{х), и(о, г) = /¿(г) или их(о, £) = //(£), (50) и(1, £) = — и{х, £) или г4(/, £) = и(х, £) или их(1,1) = или их(1,Ь) = их(х,Ь) в смысле определения

Определение 2. Обобщенным решением из класса И^Фг) смешанной задачи (50) будем называть функцию п(ж,£) е И/21(<5г); удовлетворяющую для произвольных функций Ф(х,Ь) £ С(2\фт), таких, что

Ф(х,Т) = 0, Ф*(ж,Т) = 0, 0 < х < I,

Ф(0, £) = 0, 0 < £ < Т при управлении смещением,

Фх(0,£) = 0, 0 < £ < Т при управлении силой, (51)

Ф(£,£) = 0, 0 < £ < Т при условиях (44) или (45),

ФЖ(Ь,£) = 0, 0 < £ < Т при условиях (46) или (47). интегральному тождеству I т и(х,Ь) (Ф«ОМ) - Ф®®ОМ)) <1х(1Ь+ о о ф(х)Ф(х,0) <1х и(х, £)ФХ(/, ¿) <й при условиях (42), (44), о т о т и(х, Ь)ФХ(1, ¿) (Ы при условиях (42), (45), о т о т их(х, ¿)Ф(/, ¿) сИ при условиях (42), (46), о т о т

52)

Фх(0,*)сЙ + их(х, £)Ф(/, £) при условиях (42), (47), о г г)Ф(0,£) сй + и(х,Ь)Фх(1,Ь) сИ при условиях (43), (44), о г о г

Ф(0,£) сй

Фа;(/, £) (Ы при условиях (43), (45), о т о т л(г)Ф(0,£) Л их(х, ¿)Ф(/, ¿) при условиях (43), (46), о г о г их(х:Ь)Ф(1,Ь) сИ при условиях (43), (47), к О

Далее для каждой задачи будет доказано, что при выполнении условий, идентичных полученным в первой главе, решение задачи граничного управления существует. Поскольку при относительно больших промежутках времени решений задачи граничного управления существует бесконечно много, мы будем среди всех допустимых управлений выбирать оптимальное, которое доставляет минимум функционалу т

Ы о в случае управления смещением и т Ы

53)

Ш)2*Ь (54) в случае управления силой.

Для каждого из четырех видов нелокальных граничных условий доказано утверждение о том, что соответствующая теорема из первой главы задает не только необходимое, но и достаточное условие разрешимости для случая обобщенного решения из И/21((Эт)- Для этого для каждой из восьми смешанных начально-краевых задач доказаны лемма о существовании классического решения и лемма о существовании и единственности обобщенного решения. При построении классического решения мы пользуемся тем, что о в точке Ь = наблюдается режим смещения или силы, следовательно, мы можем построить решение на укороченном прямоугольнике С}'^ = [0 < х < Ь] х [0 < I < Т], пользуясь результатами второй главы о задачах с заданным режимом, а далее продолжить решение на весь прямоугольник С^т, используя вспомогательные функции из первой главы. То, что полученное решение будет и обобщенным доказано предельным переходом: мы приближаем начальные и граничные функции функциональными последовательностями из С2 и С1 и строим последовательность классических решений.

При выполнении условий разрешимости построены оптимальные граничные управления для каждой из восьми задач (для некоторых задач оптимальные управления будут иметь один и тот же вид).

Задача оптимального граничного управления смещением с нелокальным условием четности 1го рода или нелокальным условием нечетности 2го рода

Теорема 13. При выполнении условий (7) оптимальное граничное управление смещением с условиями (44) или (47) имеет вид: т1+ +*) = „(о)+к-т - М - ± о тг

771=1 т(1+х)+х

Ф(т(/+ х) + ж) - Ф(т(/+ х)) +

Ф(0 # х Е

О, о'

I+ а; т(Л-х) А; = 0, 1, ., п — 1

5) - *) = „(о) + ^(о) + М ± х

55) 0

- ^ + *)('+ - Ф«т + *) " *)+ т=О

Ф(0<ф,хе о, ж к = 1, 2, ., п при рассмотрении колебаний в течение промежутка времениТ = п(/+ гс); п = 1, 2, .= - <р(ж), ф(х) = ф(х) - тр(х).

Задача оптимального граничного управления смещением с нелокальным условием нечетности 1го рода или нелокальным условием четности 2го рода

Теорема 14. При выполнении условий (11) оптимальное граничное управление смещением с условиями (45) или (46) имеет вид:

1х{€) = Ь{1) + а (*) + &(*), (56)

31 где главный линейный член задается формулой (32), 2(1+ х)-периодический член а({) задается формулами (33), в которых следует сделать замену

1 о

Ь = а ¡3\{р) - периодический добавочный член, который для любого о к = 0,1,., п и для любого х е [0, задается формулами

Л 2п+2

3(2к(1+ х) + х) = ^ х) + х) - Ф(т(/+ £))+

4(77- ' -V 1

4 гп=1 х

1 2п+2

3((2Л + 1)(М- £) - х) = -—Г £(-1 Г(-Ф(т(г+ 5) - я) - Ф(т(М- £))+ т=1

1+Х 2

Ф(т(г+ х)-£)<%)+

57)

1 2п+2

0((2Л + 1)(г+ + х) = -7-У)(-1)т(-Ф(т(М- £) 4- ж) - Ф(тп(1+ £))+

4(71 + 1) '

4 7 т=1 х

1+х 1

1 2п+2

2(* + 1)((+ I) - х) = -47—Е(-1)т(-фК'+ *)"*) + фК'+ 5)Н т=1 при рассмотрении колебаний в течение промежутка времени Т = 2 (п + 1)(Й-£), = 1, .

Задача оптимального граничного управления силой с нелокальным условием четности 1го рода или нелокальным условием нечетности 2го рода

Теорема 15. При выполнении условий (7) оптимальное граничное управление силой с условиями (44) или (47) имеет вид:

Л\тп 2x1+2

4 (п +1) ^

I1 \т Ф((*+ Х)к + х)) - + Ф(х)}, тп = 0,., 2п + 1, т 271+1

М(т(/+ х)-х) = £ (-1)*(Ф'((И- + 1) - *)+ Ч к=о Ф((/+ £)(* + 1) - ЯГ)) + ^^[^(Х) - ?(*)], (58) О

I+ ж га = 1,., 2п + 2, 0 < ж < ——. при рассмотрении колебаний в течение промежутка времениТ = п(/+ х), п = 1, 2, .

Задача оптимального граничного управления силой с нелокальным условием четности 1го рода или нелокальным условием нечетности 2го рода

Теорема 16. При выполнении условий (11) оптимальное граничное управление силой с условиями (45) или (46) имеет вид:

1 П+1 ц{т{1+ х) + х) = . ]П(Ф'((¿+ ¿)/с + ж) + Ф((г+ ¿)/с + ж)) 1р(х)] + С(п — 2т), т = 0,., п,

2 (п + 1) ц(т(1+ х)-х) = ^—гг ¿(Ф'((/+ х)(к + 1) - *) + Ф((*+ + 1) - *))+

1 ~ 1+ X ——— [&(х) - ф(х)] + С(п - 2т + 2), т = 1,., п + 1, 0 < х <

2 (п + 1) а константа С задается выражением

2 ' (59)

-£(0) + (п + 1) ]ф(т) + ф(т) йт + Ф(х)) с = п(п-Ы)(п + 2)

60)

1 п+1 т=1

П1— + г) + + г) | <*Т+ т п

771—0

61)

-(п + 1) г) + + г) I ат. при рассмотрении колебаний в течение промежутка времени Т = 2(п + !)(/+ х), п = 0, 1, .

Выражаю глубокую благодарность своему научному руководителю Евгению Ивановичу Моисееву за постановку задач, а также поддержку и постоянное внимание к работе, а также Владимиру Александровичу Ильину за внимание к работе и ценное обсуждение.

1. Lions J.-L. Exact Controllability, Stabilization and Perturbations for Distributed Systems // S1.M Rev. 1988. V. 30. № 2. P. 1-68.

2. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.:Мир. 1972. 414 с.

3. Лионе ¿К.-Л. Управление сингулярными распределенными системами. М.:Физматлит. 1987. 368 с.

4. Komornik V. Exact controllability and stabilization // Lecture Notes in Control and Inform. 1990. V. 148. P. 149-192.

5. Бутковский А.Г. Теория оптимального граничного управления системами с распределенными параметрами. М.:Наука. 1965. 474 с.

6. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. М.:Наука. 1975. 568 с.

7. Егоров А.И. Оптимальные процессы в системах с распределенными параметрами и некоторые задачи теории инвариантности // Изв. АН СССР. Серия Математика. 1965. Т. 29, № 6. С. 1205-1256.

8. Потапов М.М. Разностная аппроксимация и регуляризация задач оптимального управления системами Гурса-Дарбу // Вестн. Московск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн., 1978. № 2. С. 17-26.

9. Васильев Ф.П. О двойственности в линейных задачах управления и наблюдения // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31. № 11. С. 1893-1900.

10. Васильев Ф.П., Куржанский М.А., Потапов М.М. Метод прямых в задачах граничного управления и наблюдения для уравнения колебанийструны // Вести. Московск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн., 1993. № 3, С. 8-15.

11. Васильев Ф.П., Куржанский М.А., Разгулин A.B. О методе Фурье для решения одной задачи управления колебаниями струны // Вестн. Московск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн., 1993. № 2, с. 3-8.

12. Васильев Ф.П., Ишмухаметов А.З., Потапов М.М. Обобщенный метод моментов в задачах оптимального управления. М.:Изд-во Московск. ун-та. 1989. 142 с.

13. Потапов М.М. Устойчивый метод решения линейных уравнений с неравномерно возмущенным оператором // Докл. РАН. 1999. Т. 365. № 5. С. 596-598.

14. Зарубин А.Н. Задача граничного наблюдения за упругими колебаниями с последействием. // Мат. межд. конф. "Современные проблемы вычислительной математики и математической физики". Москва, МГУ. 2009. С. 174-175.

15. Зарубин А.Н. Начально-краевая задача граничного наблюдения за упругими колебаниями с последействием. // Вестник науки. 2009. Вып. 8. Орел: ГОУ ВПО "ОГУ"С. 10-13.

16. Ильин В.А. Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах за произвольный промежуток времени // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35. № 11. С. 1517-1534.

17. Ильин В.А. Граничное управление процессом колебаний на двух концах в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36. № 11. С. 1513 1528.

18. Ильин В.А., Тихомиров В.В.Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах и задача о полном успокоении колебательного процесса // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35. № 5. С. 692 704.

19. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Оптимальное граничное управление смещением на одном конце при закрепленном втором конце и отвечающее ему распределение полной энергии струны // Докл. РАН. 2004. Т. 399. № 6. С. 727-731.

20. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Оптимальное граничное управление упругой силой на одном конце струны при свободном втором ее конце // Дифференц. уравнения. 2005. Т. 41. № 1. С. 105-115.

21. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Оптимальное граничное управление смещением на двух концах и отвечающее ему распределение полной энергии струны // Докл. РАН. 2005. Т. 400. № 1. С. 16-20.

22. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Оптимальное граничное управление смещением на одном конце при свободном втором конце и отвечающее ему распределение полной энергии струны // Докл. РАН. 2005. Т. 400. № 5. С. 587-591.

23. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Оптимальное граничное управление упругой силой на двух концах // Докл. РАН. 2005. Т. 402. № 2. С. 163 169.

24. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Оптимизация граничных управлений колебаниями струны // Успехи математических наук. 2005. Т. 60. № 6. С. 89-114.

25. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Оптимизация за произвольный достаточно большой промежуток времени граничного управления колебаниями струны упругой силой // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42. № 12. С. 1699-1711.

26. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Оптимальное граничное управление смещением на одном конце струны при свободном втором ее конце за любой достаточно большой промежуток времени // Дифференц. уравнения. 2007. Т. 43. № 10. С. 1369-1381.

27. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Оптимизация за произвольный достаточно большой промежуток времени граничных управлений смещениями на двух концах струны // Дифференц. уравнения. 2007. Т. 43. № 11. С. 1528-1544.

28. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Оптимальное граничное управление упругой силой на одном конце струны при свободном втором ее конце за произвольный достаточно большой промежуток времени // Дифференц. уравнения. 2007. Т. 43. № 12. С. 1655-1663.

29. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Оптимизация управления на двух концах струны упругими граничными силами за любой достаточно большой промежуток времени // Дифференц. уравнения. 2008. Т. 44. № 1. С. 89-110.

30. Моисеев Е.И. Оптимальное граничное управление смещением в струной со свободным концом // Дифференц. уравнения. 2008. Т. 44. № 5. С. 709-711.

31. Бицадзе A.B., Самарский A.A. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач // Докл. АН СССР. 1969. Т. 185. № 4. С. 739-740.

32. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Нелокальная краевая задача для оператора Штурма-Лиувилля в дифференциальной и разностной трактовках // Докл. АН СССР. 1986. Т. 291. № 3. С. 534-539.

33. Ильин В.А. Аналитический вид оптимального граничного управления смещением на одном конце струны с модельным нелокальным условием одного из четырех типов // Докл. РАН. 2008. Т. 420. № 3. С. 309-313.

34. Ильин В.А. Оптимизация граничного управления упругой силой на одном конце струны с модельным нелокальным граничным условием одного из четырех типов // Докл. РАН. 2008. Т. 420. № 4. С. 442-446.

35. Ильин В.А. Граничное управление смещением на одном конце струны при наличии нелокального граничного условия одного из четырех типов и его оптимизация // Дифференц. уравнения. 2008. Т. 44. № 11. С. 1487-1498.

36. Ильин В.А. Граничное управление силой на одном конце струны при наличии нелокального граничного условия одного из четырех типов и его оптимизация // Дифференц. уравнения. 2009. Т. 45. № 4. С. 586-596.

37. Ильин В.А. Теоремы о единственности обобщенных решений четырех смешанных задач для волнового уравнения с нелокальными граничными условиями // // Докл. РАН. 2008. Т. 420. № 2. С. 309-313.

38. Кулешов A.A. О четырех смешанных задачах для уравнения колебаний струны с граничными и нелокальными условиями первого и второго родов // Докл. РАН. 2009. Т. 426. № 3. С. 307-309.

39. Кулешов A.A. Смешанные задачи для уравнения колебаний струны с однородными граничными и неоднородными нелокальными условиями // Дифференц. уравнения. 2010. Т. 46. № 1. С. 98-104.

40. Холомеева A.A. Оптимизация нелокального граничного управления колебаниями струны с закрепленным концом за произвольный кратный 21 промежуток времени // Дифференц. уравнения. 2008. Т. 44. № 5. С. 696-700.

41. Моисеев Е.И., Холомеева A.A. Оптимальное граничное управление смещением колебаниями струны с нелокальным условием нечетности первого рода // Дифференц. уравнения. 2010. Т. 46, № 11. С. 1623-1630.

42. Моисеев Е.И., Холомеева A.A. Оптимальное граничное управление смещением колебаниями струны с нелокальным условием четности второго рода // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47, № 1. С. 127-134.

43. Холомеева A.A. Оптимальное граничное управление колебаниями струны с модельными нелокальными условиями одного из двух типов //Публикации автора по теме диссертацииДокл. РАН. 2011. Т. 437, № 2. С. 164-167.