Аналитический вид обобщенных решений смешанных задач для волнового уравнения в случае нелокальных граничных условий и разрывных коэффициентов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА

ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

АНАЛИТИЧЕСКИЙ ВИД ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ В СЛУЧАЕ НЕЛОКАЛЬНЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ И РАЗРЫВНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ

01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

005018478

На правах рукописи УДК 517.956.321

Кулешов Александр Андреевич

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 ДПР 2072

Москва - 2012

005018478

Работа выполнена на кафедре общей математики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, академик РАН, профессор Ильин Владимир Александрович доктор физико-математических наук, профессор Дубинский Юлий Андреевич доктор физико-математических наук, профессор Потапов Михаил Михайлович

Российский университет дружбы народов

Защита диссертации состоится 25 апреля 2012 г. в 15.30 на заседании Диссерта ционного совета Д 501.001.43 при Московском государственном университете им М.В.Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ им М.В.Ломоносова, второй учебный корпус, факультет ВМК, ауд. 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМК МГУ им. М.В.Ломоносова.

Автореферат диссертации разослан 24 марта 2012 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета, доктор физико-математических наук, ^ ^ профессор '

Е.В.Захаров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Открытое в XVIII веке волновое уравнение является од-ш из важнейших в математической физике и связано с именами таких ученых, к Д'Аламбер, Эйлер, Д.Бернулли, Лагранж. С его помощью, наряду с механи-скими колебаниями, могут быть описаны процессы распространения электро-агнитных, гравитационных и акустических волн в газах, жидкостях и твердых едах. Вклад в изучение классических решений смешанных или, как их еще назы-ют, начально-краевых задач для волнового уравнения внесли многие известные атематики. После выхода в свет работ Н.Винера, К.О.Фридрихса, Н.М.Гюнтера и новонолагающей работы С.Л.Соболева1 в первой половине XX в. сформировал-интерес к построению обобщенных решений начально-краевых задач. Фунда-ентальные результаты, касающиеся обобщенных решений смешанных задач для перболических уравнений, были получены О.А.Ладыженской2 и В.А.Ильиным3, ачально-краевые задачи играют ключевую роль при изучении задач управления, оторые рассматривались А.Г. Бутковским4, Ж.Л.Лионсом5'6, Ф.П.Васильевым7,8 его учениками.

1 Soboleff S. Methode nouvelle a resoudre le probleme it Cauchy pour les equations lineaires hyperbolizes normales

/Матем. сб., 1936, 1ЦЗ):1, с. 39-72. 2Ладыженская О.А. Смешанная задача для гиперболического уравнения. Гос. Издательство Технике-

еоретической Литературы, 1953. 3Ялмж В.А. О разрешимости смешанных задач для гиперболического и параболического уравнений // Успехи

штематических наук, 1960, т. 15, вып. 2 (92), с. 97 - 151-4Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука,

965.

5Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. ■ •' Мир, 1972.

6Lions J.L. Exact Controllability, Stabilization and Perturbations for Distributed Systems // SIAM Review. 1988. Vol. 30. No. 1. pp. 1-68.

7Васильев Ф.П. О двойственности в линейных задчах управления и наблюдения // Дифференциальные уравнения, 1995, т. 31, № 11, с. 1893 - 1900.

8Васильев Ф.П., Куржанский М.А., Потапов М.М., Разгулин А.В. Приближенное решение двойственных

задач управления и наблюдения. М.: Макс пресс, 2010.

В цикле работ, начатых В.А.Ильиным в 1999г. и продолженных его ученика а также Е.И.Моисеевым и его учениками, важнейшую роль при решении зад оптимального управления играют решения начально-краевых задач, найденн в явном аналитическом виде. Именно нахождению таких решений и посвяще данная работа.

В первой главе рассматриваются смешанные задачи для уравнения колебан струны на отрезке с граничными условиями первого либо второго рода на вом конце и с нелокальными условиями типа Бицадзе-Самарского9, связывающ ми значение решения или его производной по ж в двух точках: в произвольн внутренней точке отрезка и в правой граничной точке. В.А.Ильиным10'11'12 в я ном виде были найдены обобщенные решения исследуемых задач, а также пр ведена оптимизация граничного управления, в случае, когда указанные значен связаны равенством со знаком плюс либо минус. Явный вид решения в случае з крепленного правого конца и неоднородного нелокального условия, связывающе разность значений производных решения по z в граничных точках, был найд А.А.Холомеевой13. Основным результатом главы 1 является построение в явно виде обобщенных решений исследуемых задач в случае, когда неоднородное нел кальное условие задается произвольной линейной комбинацией значений решен

*Бицадзе A.B., Самарский A.A. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краев задач//ДАН СССР, 1969, т. 185, №4, с. 7S9-740.

шИльин В.А. Аналитический вид оптимального граничного управления смещением на одном конце стру с модельным нелокальным граничным условием одного из четырех типов //Доклады Академии наук, 2008, 420, /fi S, с. 309 - SIS.

11 Ильин В.А. Оптимизация граничного управления упругой силой на одном конце струны с модельным нел кальным граничным условием одного из четырех типов //Доклады Академии наук, 2008, т. 420, № 4, с. 44 446-

пИльин В.А. Оптимизация граничного управления на одном конце струны при наличии модельного келокал к ого граничного условия // Дифференциальные уравнения, 2008, т. 44, № 11, с. Ц87 - Ц98.

13Холомеева A.A. Оптимизация нелокального граничного управления колебаниями струны с закрепленнъ концом за произвольный кратный 21 промежуток времени // Дифференциальные уравнения, 2008, т. 44, № с. 696 ■ 700.

и его производной по z в указанных двух точках.

Во второй главе рассматриваются смешанные задачи для уравнения продоль-

IX колебаний неоднородного стержня и уравнения поперечных колебаний неод-

родной струны, состоящих из двух участков разной плотности и упругости. От-

тим, что В.А.Ильиным14 были найдены решения исследуемых задач в случае

вных времен прохождения волны по каждому из участков, а также проведе-

оптимизация граничного управления краевым условием первого15-16'17 и вто-

го18 рода. В случае условия равенства импедансов ранее были найдены реше-

20

я19 исследуемых смешанных задач, а также проведена оптимизация гранич-го управления. Задачи о возбуждении и успокоении колебаний неоднородного ержня с помощью граничного управления на одном конце были также рассмот-ны В.А.Ильиным21'22. Явный вид обобщенных решений исследуемых в главе 2

1Илъин В.А. О продольных колебаниях стержня, состоящего из двух участков разной плотности и упру-ти, в случае совпадения времени прохождения волны по каждому из этих участков //Доклады Академии ук, 2009, т. 429, № 6, с. 742 - 745.

5 Ильин В.А. Оптимизация граничного управления колебаниями стержня, состоящего из двух разнородных астков //Доклады Академии наук, 2011, т. 440, К> 2, с. 159 - 16S.

18Ильин В.А. Схема оптимизации граничного управления смещением на двух концах процессом колебаний ержня, состоящего из двух разнородных участков //Доклады Академии наук, 2011, т. 44h & 6, с. 731 -3.

17#лъин В.А. Оптимизация производимого смещением граничного управления колебаниями стержня, состо-

его из двух разнородных участков //Дифференциальные уравнения, 2011, т. 47, № 7, с. 978 - 986. 18Ильин В.А. Оптимизация производимого упругой силой граничного управления колебаниями состоящего из

ух разнородных участков стержня // Доклады Академии наук, 2011, т. 440, № 6, с. 731 - 735.

19Ялшн В.А., Луференко П.В. Смешанные задачи, описывающие продольные колебания стержня, состоящего

двух участков, имеющих разные плотности и разные упругости, но одинаковые гшпедансы // Доклады кадемии наук, 2009, т. 428, Л> 1, с. 12 - 15.

20Ильин В.А., Луференко П.В. Аналитический вид оптимальных граничных управлений продольными тлениями стержня, состоящего из двух участков, имеющих разные плотности и упругости, но одинаковые педансы //Доклады Академии наук, 2009, т. 429, № 4, с. 455 - 468.

21 Ильин В.А. О приведении в произвольно заданное состояние колебаний первоначально покоящегося стерж-

, состоящего из двух разнородных участков //Доклады Академии тук, 2010, т. 435, № 6, с. 7SB - 735. "Ильин В.А. О полном успокоении с помощью граничного управления на одном конце колебаний неоднородного

тержня // Труды ин-та Математики и механики. УрО РАН, 2011, т. 17, Л» 2, с. 88 - 96.

смешанных задач в случае произвольных длин, плотностей и модулей Юнга д каждого из участков ранее установлен не был.

Полученные в работе аналитические формулы найдут применение при решени задач управления, описываемых рассмотренными уравнениями.

Цель работы состоит в нахождении аналитического вида обобщенных решени для смешанных задач, описываемых уравнением поперечных колебаний струны граничными и нелокальными условиями первого и второго родов, а также смеша ных задач для уравнения поперечных колебаний неоднородной струны и уравн ния продольных колебаний неоднородного стержня, состоящих из двух участко разной плотности и упругости, с граничными условиями первого и второго родо Научная новизна. В диссертации впервые получен аналитический вид обо щенных решений смешанных задач для уравнения поперечных колебаний струн на отрезке с граничными и нелокальными условиями первого и второго родов случае, когда неоднородное нелокальное условие задается произвольной лине ной комбинацией значений решения или его производной по х в двух точках: произвольной внутренней точке отрезка и в правой граничной точке. В работ также впервые получен аналитический вид обобщенных решений смешанных з дач с граничными условиями первого и второго родов для уравнения поперечны колебаний неоднородной струны и для уравнения продольных колебаний неодно родного стержня, состоящих из двух участков разной плотности и упругости, случае произвольных длин, плотностей и модулей Юнга для каждого из участко Практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер, од нако ее результаты можно использовать для моделирования различных колеба тельных процессов в задачах математической физики. Полученные в работе ана литические формулы найдут применение при решении задач управления, описы ваемых рассмотренными уравнениями.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на науч-семинаре кафедры оптимального управления ВМК МГУ им. М.В.Ломоносова руководством профессора Ф.П.Васильева, на научном семинаре кафедры магического моделирования НИУ МЭИ а также на всероссийских и междуна-ных конференциях, среди которых международная конференция, посвященная -ой годовщине И.Г.Петровского (XXIII совместное заседание ММО и семинара . И.Г.Петровского), Москва, 2011 и 8-ая международная конференция "Function aces, Differential Operators, and Nonlinear Analysis", (FSDONA-2011), 2011, Ta-ц, Германия.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в шести работах, пять из торых - в изданиях, рекомендованных ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух ав и списка литературы, включающего 61 наименование. Общий объем диссер-ции составляет 78 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе рассматриваются смешанные задачи для уравнения колений струны

uü{x,t) - uxx(x,t) = 0 (!)

и (x,t) eQT = iO<x<l] х нулевыми начальными условиями

и(х,0) = 0, ut(x,0) = 0 (2)

с одной из следующих совокупностей граничных и нелокальных условий:

u(0,t) = /i(t), u(l,t) - au(x0,t) = u{t), (3)

7

где fi{t) и v(t) - произвольные функции из класса удовлетворяю

условиям ¿i(0) = 0, 1^(0) = 0;

u(0,t) = ß(t), ux{l,t) - aux(x0,t) = v{t),

где fi(t) - произвольная функция из класса Ж^Т], удовлетворяющая услов ц(0) = 0, u(t) ■ произвольная функция из класса L2[0,T];

их(0, t) = ß{t), и{1, t) - аи(х0, t) = i/(t),

где ¡j,(t) - произвольная функция из класса L2[0,T], v{t) - произвольная функ из класса ^[0,7], удовлетворяющая условию г/(0) = 0;

ux(0,t) = fj,(t), ux(l,t) - aux{x0,t) = v(t),

где ß(t), v{t) - произвольные функции из класса L2[0, Т].

В условиях (3)-(6) х0 удовлетворяет неравенству 0 < х0 < I, а - произволь константа.

На прямоугольнике QT рассмотрим введенный В.А.Ильиным23 класс Щ( функций двух переменных и(х, t), непрерывных в QT и обладающих обобщенны частными производными ux(x,t) и ut(x,t), принадлежащими классу L2{QT) также классу Ь2{0 ^ х ^ 1} при всех t 6 [0,Т] и классу L2[0 ^ t ^ Т\ при в

же [о,г].

Определение 1. Обобщенным из класса W%{QT) решением смешанной дачи для волнового уравнения (1) с нулевыми начальными условиями (2) и с одн из совокупностей граничных и нелокальных условий (3)-(6) называется функц u(x,t) из класса W^iQx), удовлетворяющая интегральному тождеству

гзИлъин В.А. Граничное управление процессом колебаний на двух концах в терминах обобщенного реше волнового уравнения с конечной энергией //Дифференциальные уравнения, 2000, т. S6, № 11, с. 1513 - 1528.

{/ цЦ)Фх(0, t)dt при u(0,t) = n{t),

° т +

- f д(£)Ф(0, i)di при ux(0, t) = /x(i)

Г

-afu(x0,t)i>x(l,t)dt - f и(Ь)Фх{1, t)dt при u(l,t) - au(x0,t) = v{t), < 0 0

< T T

a J ux(xq, £)Ф(/, t)dt + f v(t)$(l,t)dt при ux{l,t) - aux(x0,t) = v(£), k 0 0 котором Ф(®,4) - произвольная функция из класса C2(QT), удовлетворяющая

улевым финальным условиям Ф(х,Т) = 0, Ф((ж,Т) = 0 гери О < х ^ I, ра-

енству Ф(0, t) = О при O^t^T в случае условия u(0,£) = p(t), равенству

л (О, £) = О при 0<i<Te случае условия их(0, t) ~ ц(р), равенству Ф(/, t) - О

puO^t^T в случае условия u{l,t) - au(x0,t) = v(t) и равенству Ф x(l,t) = О

ри О Щ^Т в случае условия ux(l, £) - аих(х о, £) = v(t).

В.А.Ильиным24 доказано, что каждая из рассматриваемых смешанных задач ожет иметь только одно обобщенное из класса Wi(Qr) решение в смысле опре-еления 1.

В первом параграфе главы 1 в явном аналитическом виде получены обобщенные ешения смешанных задач (1), (2), (3)-(6) с однородными нелокальными условиями v{t) = 0).

Во втором параграфе в явном аналитическом виде получены обобщенные ре-ения смешанных задач (1), (2), (3)-(6) с однородными граничными условиями № = 0).

В третьем параграфе сформулированы основные результаты главы 1. Рассмотрим множества fii - {(m, п) : (m, п) 6 Z х Z, \п - 1| + 1 ^ тп < mi} и 2 = {(m,n) : (m,n) G Z x Z, |n| + 1 ^ m < m2}, где mx и m2 - целые положи-

34Ильин В. А. Единственность обобщенных решений смешанных задач для волнового уравнения с нелокальны-и граничными условиями // Дифференциальные уравнения, 2008, Т.Ц, № 5, с. 672 - 680.

тельные числа, такие что Т ^ 1 + (т\ — 1)(1 — хо), Т < тг(/ — хо) ■ Теперь перейд к формулировке основных теорем главы 1.

Получено решение смешанной задачи (1), (2), (3) и доказана следующая теор ма.

Теорема 1. Для произвольного Т > 0, произвольного а, любого хо, удовл творяющего неравенству 0 ^ х0 < I, и произвольных функций /¿(4) и 1/(4) класса И^О,Т], удовлетворяющих условиям /х(0) = О,

и(0) — 0, смешанная задача (1), (2), (3) имеет единственное обобщенное решет и(:г,4) из класса И/21('?г); которое определяется формулой

и(х, 4) = /¿(4 - х) + ат,п[ц(^ ~ х ~ (т1 + пхо)) - ¡¿(Ь + х- (т1 + пхо))]

где ат^п - постоянные коэффициенты, определяемые для решения задачи (1), ( (3) с однородным нелокальным условием (^(4) = 0); Ьт,п - постоянные коэфф циенты, определяемые для решения задачи (1), (2), (3) с однородным граничны условием = 0).

Опишем алгоритм вычисления коэффициентов ат>п. Положим ао,о = 1, ат,п О при (т,п) ф Пх и {(0,0)}. Определим значения Ят,п при (то, п) Є П из соотн шения

При к — 0 будем записывать формулу (8) для (т, п) = (к + - 1|,д) поел довательно при д = 1,то — к. На каждом шаге из (8) через известные нам к эффициенты находим значение а^+|9_і[+іі(3. Далее записываем формулу (8) д (ш, п) = (к + — 1|, —д) последовательно при д = 0, то — к — 2. На каждом ша

(т,п)еСІ2

®т+1,п — (х{&т,п+1 — &т,п-і) "I" Ят-1,п-

(8) находим значение ak+\q-i\+i-q. Затем, повторяя описанную выше процедуру я к = 1, к = 2 и так далее до к = т0 - 1, определим все ат,п при (m, га) G fii. Коэффициенты 6m,n определяем используя аналогичный рекуррентный алго-тм.

Аналогично получены решения смешанных задач (1), (2), (4)-(6) и доказаны едующие теоремы.

Теорема 2. Для произвольного Т > 0, произвольного а, любого хо, удо-етворяющего неравенству О К х0 < I, произвольной функции /х(£) из класса 21 [О,Т], удовлетворяющей условию ц{0) = 0, и произвольной функции u(t) из асса 1г[0,Т] смешанная задача (1), (2). (4) имеет единственное обобщенное шение u(x,t) из класса Щ(<Эт), которое определяется формулой

(x,t) = ¡i(t - х) + Y^ <hn,n\li(t-x-(ml + r^))-ii(t + x-(rnl + nxo))\+

(m,n)e!îi

+ bm^dit-x-iml + nxo^-Uit + x-iml + nxo))}, (9)

(m,n)e fÏ2

e am,n - постоянные коэффициенты, определяемые для решения задачи (1), (2), ) с однородным нелокальным условием (v{t) = 0); bm,n - постоянные коэффи-иенты, определяемые для решения задачи (1), (2), (4) с однородным граничным словием (n(t) = 0).

Теорема 3. Для произвольного Т > 0, произвольного а, любого хо, удо-летворяющего неравенству 0 ^ х0 < I, произвольной функции ¿z(i) из класса 2[О,Т] и произвольной функции v(t) из класса W${Q,T], удовлетворяющей усло-ию 1/(0) = 0, смешанная задача (1), (2), (5) имеет единственное обобщенное ешение u(x,t) из класса Wï{QT), которое определяется формулой

(®,i) = -g(i-x)+ J2 ат,пЩг-х-{т1 + пх0)) + Ш + х-{т1 + пхй))]+ (m,n)£fii

+ ^ Ьт^[и(Ь-х-(тп1 + пх0)) + и(г + х-(т1 + пха))}, (1

(т,п)€П2

где ащп - постоянные коэффициенты, определяемые для решения задачи (1), (2

(5) с однородным нелокальным условием — 0); 6т,п - постоянные коэфф циенты, определяемые для решения задачи (1), (2), (5) с однородным граничны условием = О,).

Теорема 4. Для произвольного Т > 0, произвольного а, любого хо, удовл творяющего неравенству 0 < Хо < I, и произвольных функций ц{Ь) и класса ^[0, Г] смешанная задача (1), (2), (б) имеет единственное обобщенн решение и{х,1) из класса ^(О^), которое определяется формулой

и(х,Ь) = -х) + ат,п\р^-х-{т1 + пхо)) + 'р^ + х-(гп1 + пхо))]

(т,п)£П 1

+ ^ &т,п[2(£ ~ x - (т1 + пх0)) + + x - (т1 + ПЯо))]. (11

(т,гг)€ П2

где ат<п - постоянные коэффициенты, определяемые для решения задачи (1), (2

(6) с однородным нелокальным условием = 0,}; Ьт^п - постоянные коэфф циенты, определяемые для решения задачи (1), (2), (6) с однородным граничны условием = 0).

Таким образом в первой главе в явном виде построены обобщенные решени смешанных задач (1), (2), (3)-(6) для произвольных значений параметра а, любы хо е [0,/) и для произвольного Т ^ 0. Результаты главы 1 опубликованы в [1]-[3] Во второй главе рассматриваются смешанные задачи для уравнения про дольных колебаний неоднородного стержня и уравнения поперечных колебани неоднородной струны, состоящих из двух участков разной плотности и упругости В первом параграфе рассматриваются смешанные задачи для уравнения пр дольных колебаний неоднородного стержня, состоящего из двух участков разно

лотности и упругости

1иЛ т 1.) =

дх

р{х)ии{х,г) = ОМ) е <?г, (12)

де

¿1 при 0 ^ х < Хо,

(х) =

р\ при 0 < X < Хо,

к(х)

Р2 при Хо ^ X ^ I,

¿2 при Хо < X <

о 6 (О, I), рг,р2, к\, /с2> - положительные константы; с нулевыми начальными усло-иями

и(х,0) = 0,щ(х,0) = 0, 0 ^ X ^ I, (13)

с одной из следующих совокупностей граничных условий:

и(0,«) = /4*), и(М) = !/(«), (14)

де и р{Ь) - произвольные функции из класса [0, Т], удовлетворяющие словиям р(0) — 0, 1/(0) = 0;

«(0,4) =*<(*), = (15)

де - произвольная функция из класса И^[0, Т], удовлетворяющая условию (0) = 0, - произвольная функция из класса 1/2[0,Т];

их{0,Ь) = = (16)

де - произвольная функция из класса ¿2[0,Т], - произвольная функция з класса И^^Т], удовлетворяющая условию 1/(0) = 0;

их{0,г) = рЦ), их{1,г) = !/(«). (17)

де /¿(£), - произвольные функции из класса Ь2[0, Т\.

Определение 2. Обобщенным из масса И^ЧОг) решением смешанной за-ачи для уравнения (12) с нулевыми начальными условиями (13) и с одной из

совокупностей граничных условий (Ц)-(17) называется функция и(х,Ь) из клас са И^Ог)» удовлетворяющая условию и(х,0) = О при 0 < х < I, равенств и( 0, = при О в случае условий (14), (15), равенству и(1, ¿) — 1/(1;

при О^^Г е случае условий (14), (16) и интегральному тождеству

ха Т

II

О о ! Т

II

+

¿х(И+

йхсИ —

хо О

О в случае условий (Ц), т

в случае условий (15),

о

т

—/ /а(£)Ф(0, е случае условий (16), о

т г

/ 1/(£)Ф- ¿1 /^(£)Ф(0,в случае условий (17), о о

е котором Ф(ж, £) - произвольная функция, принадлежащая классу И^(Фг), еле <?ы которой на соответствующих участках границы прямоугольника С}? об ладают следующими свойствами: Ф(х,Т) = О, Ф(0,£) — О в случае услови и(0, £) = Ф(М) = О е случае условия и(1,Ь) =

В первом пункте параграфа рассматриваются задачи (12), (13), (14)-(17) с од нородными граничными условиями на правом конце (у(£) = 0).

Обозначим через и и^) функции, совпадающие с и соответственн

х

при О^^Т и равные нулю при Ь < 0. Введем также функции Щх) = / /ф")^

и Р(х) = /^(т)с?т, определенные при х ^ Т. о

Рассмотрим множества Пх = {(п, к) : (п, к) Є г х г, п > 2, к ^ 0, п + к < М0} = {(п, к) : (п, к) є г х п ^ 1, к ^ 1, п + А; ^ М0}, где М0 - целое положи-

ледующие теоремы.

Теорема 5. Для произвольного Т > О, любого х0, удовлетворяющего нера-енству 0 < х0 < I, и произвольной функции ц{ї) из класса \¥%[0,Т], удовле-воряющей условию /х(0) = 0, смешанная задача (12), (13), (Ц) с однородными аничным условием на правом конце имеет обобщенное решение щ(х, из клас-\VKQr), которое имеет следующий вид:

е Ьт,п, Ст,п - постоянные коэффициенты, которые определяются из рекуррент-ых соотношений.

Теорема 6. Для произвольного Т > 0, любого хо, удовлетворяющего нера-енству 0 < х0 < I, и произвольной функции из класса И^^Г], удовле-воряющей условию /¿(0) = 0, смешанная задача (12), (13), (15) с однородными аничным условием на правом конце имеет обобщенное решение и2(х, £) из клас-^гЧОг)» которое имеет следующий вид:

(18)

, 1-х , Хо .1-Х очч] -¡£{і Н---(п— + к-)) при Хо^Х^І,

а2 ах а2

ua(®,i) = /*(*-? )+ У2 Кк\ц{і-~- - {п~ + к1-—-))-

— 01 , ul Ul О2

М)єПі

/. , X Xq I- Xq

-n(t + - - (n--hK-))

- а і ai o2 ■

npu 0 < i < xo,

U2(Z, *)= У2 Cn,k \fi{t ~ "-- - (n~ + -—)) +

*—' L 0o Oi do

(п,Л)єПа

1-х , xq , i — xq..' +fi{t +--П— + к--))

- a2 ai a2 .

При Xq ^ X ^ I,

(19

где bm<n, Cm,n - постоянные коэффициенты, которые определяются из рекуррент ных соотношений.

Теорема 7. Для произвольного Т > 0, любого xq, удовлетворяющего нера венству 0 < Хо < I, и произвольной функции fi(t) из класса Ь2[0,Т] смешанна задача (12), (13), (Ц) с однородными граничным условием на правом конце имее обобщенное решение из(x,t) из класса W^Qx), которое имеет следующий вид:

u3(x,t)

X . Y-"1 т Г~Л, Х / Х0 -ain(t - - ) + > _ ЪпЛ n(t--- [п— +

- 01 - 01 Oi

(n.fc)efii

х , Хп , I — X0УЧ i +--n— + к--))

- OI Oi 02

} -xq

о2

)) +

о < x ^ xq ,

Uz{x,t)= Cntk

(п ,fc)eSl2

^ 1-Х ,Xq 1-Х q..

-fi{t +--(n— + к-))

- a2 ai o2

I-Z . Xq I- Xq..

H(t - —--(n— + k—— -

- a2 ai a2

(20

при Xq < ж < I,

где , Ст1П - постоянные коэффициенты, которые определяются из рекур рентных соотношений.

Теорема 8. Для произвольного Т > 0, любого хо, удовлетворяющего нера венству 0 < Хо < I, и произвольной функции из класса Ь2[0, Т] смешанн-

адача (12), (13), (17) с однородными граничным условием на правом конце имеет бобщенное решение из класса ^^¡¡НОг), которое имеет следующий вид:

х ^ . , х

щ

~ 01 т 1~ аі аі

Оі а2

+--(п— + к--))

- 01 01 02

при 0 ^ х < х0,

(21)

о 2 й\ а2

при Хо ^ х < I,

де Ът<п, Ст<п - постоянные коэффициенты, Которые определяются из рекуррент-

(п,к)еПг

. л/, 1-Х . Хо I- Хо..

+ц(і -і---(п--1- к-))

_ о2 оі а2 .

ых соотношении.

Для примера опишем алгоритм вычисления коэффициентов в теореме

Рассмотрим множество Г2 = {(п, к) : (п, к) Є 2 х п > 0, к ^ 0, п + к < М0}, тметим, что выполнены вложения Г2і С П, 0,2 С Сі. Положим

К,к = Сп,к = о при (т,п) Є г х Ь0:к = 0 при к ^ 1, Ь0,о = -яі,

сп,о = 0 при п > 0.

алее находим £>п,ьсп,*: при (п, к) Є Для этого воспользуемся следующей си-темой уравнений:

Ьп-1,к + К+1 ,к = Сп,к-1 + Сп,к+1 а\Р\{-Ьп-\,к + Ьп+і,к) ~ а2Р2(сп,к-1 ~ Сп,к+1)-

Решая при п = 0,1,..., Мо-1 систему (22) последовательно при fc = О, М0 - п -относительно 6„+1,ь cn,fc+i,получим их выражения через уже известные нам н каждом этапе коэффициенты Ь

Таким образом мы определим все b„,k,c„tk при [п,к) е Cl, а следовательно i 6n,fc при (п, к) £ Cli, с„,к при (п, к) еС1<2.

Отметим, что Ui(x,t) = %i{x,t,n{t),xo,ki, Р\,к2, p2),i = 1,4. Во втором пункте параграфа рассматриваются задачи (12), (13), (14)-(17) с од нородными граничными условиями на левом конце {p{t) = 0). Справедливы еле дующие утверждения.

Утверждение 1. Для произвольного Т > 0, любого хо, удовлетворяющего нера венству 0 < Хо < I, и произвольной функции v{t) из класса

Wj1 [О, Т], удовле

творяющей условию z/(0) = 0, смешанная задача (12), (13), (Ц) с однородным граничным условием на левом конце имеет обобщенное решение vi(x, t) из класс Wl(QT), которое имеет вид:

vi(x, t) = ui(l- х, t, v{t), l - x0, k2, pi, h, pi), (23

где ui{x,t, p(t),x0>ki, puk2, P2) - решение, полученное в теореме 5.

Утверждение 2. Для произвольного Т > 0, любого хо, удовлетворяющего нера венству 0 < Хо < I, и произвольной функции v(t) из класса Ьо[0,Т] смешанн задача (12), (13), (15) с однородными граничным условием на левом конце имее обобщенное решение V2{x,t) из класса У/ЦЯт), которое имеет вид:

v2{x,t) = щ{1 ~ x,t,-u(t),l - xo,k2,p2,kh pi), (24

где из(х,Ь, p,(t),x0,ki, pi,k2, р2) - решение, полученное в теореме 7.

Утверждение 3. Для произвольного Т > 0, любого хо, удовлетворяющего нера венству 0 < х0 < I, и произвольной функции v(t) из класса W^[0,T], удовле

18

еоряющей условию i/(0) = 0, смешанная задача (12), (13), (16) с однородными раничным условием на левом конце имеет обобщенное решение Уз(х, t) из класса KQt)> которое имеет вид:

v3(x,t) = u2(l - x,t,v(t),l -x0,k2,p2,k1,p1), (25)

de U2(x,t,n(t),Xo,kl,pl,k2,P2) - решение, полученное в теореме 6.

тверждение 4. Для произвольного Т > О, любого xq, удовлетворяющего нера-енству 0 < хо < I, и произвольной функции v(t) из класса Ь2[0,Т] смешанная адача (12), (13), (17) с однородными граничным условием на левом конце имеет бобщенное решение Vi{x,t) из класса W2(Qt), которое имеет вид:

v4(x, t) = щ(1 - X, t, -v{t), l - x0, k2, p2, kl, Pi), (26)

de U/i(x,t, fi(t),XQ,k\, p\,k2, P2) - решение, полученное в теореме 8.

В третьем пункте параграфа, используя решения однородных задач, рассмот-енных в предыдущих двух пунктах, были получены решения неоднородных задач 12), (13), (14)-(17). Справедливы следующие теоремы.

Теорема 9. Для произвольного Т > 0, любого хо, удовлетворяющего нера-енству 0 < < I, и произвольных функций p,(t) и u(t) из класса W^O,Т], довлетворяющих условиям 0) = 0, f(0) = 0, смешанная задача (12), (13), Ц) имеет обобщенное решение U\{x,t) из класса W2(QT), которое имеет вид:

Ui(x,t) = Ui(x,t) + vi(x,t), de U\(x,t) определяется формулой (18), (x,t) - формулой (23).

Теорема 10. Для произвольного Т > 0, любого хо, удовлетворяющего нера-енству 0 < хо < I, произвольной функции p,(t) из класса W2[0,T], удовлетворя-щей условию //(0) = 0, и произвольной функции u(t) из класса Ь2[0,Т] смешан-ая задача (12), (13), (15) имеет обобщенное решение U2(x,t) из класса W2(QT),

которое имеет вид:

и2(х^) = и2(х,г)+у 2(х,г), где и2(х,£) определяется формулой (19), и2(х^) - формулой (24).

Теорема 11. Для произвольного Т > О, любого хо, удовлетворяющего нер< венству 0<хо<1, произвольной функции из класса Ь2[О, Т] и произвольно функции и{г) из класса удовлетворяющей условию 1/(0) = 0, смеша

ная задача (12), (13), (16) имеет обобщенное решение и3{х,г) из класса У/%{СЦТ) которое имеет вид:

и3(х^) =и3(х,Ь) + уз(х,£), где из(х^) определяется формулой (20), уъ(х,Ь) - формулой (25).

Теорема 12. Для произвольного Т > О, любого х0) удовлетворяющего нер венству 0 < хо < I, и произвольных функций ц^) и из класса Ь2[О, смешанная задача (12), (13), (17) имеет обобщенное решение из клас

И^НОг), которое имеет вид:

где щ(х,Ь) определяется формулой (21), ь4(х^) - формулой (26).

Во втором параграфе получены решения смешанных задач для уравнения п перечных колебаний неоднородной струны. При доказательстве соответствующе теоремы используются решения смешанных задач, найденные в первом парагра второй главы.

В третьем параграфе доказана теорема единственности обобщенного решени всех рассмотренных во второй главе задач. Доказательство проводится по мето. О.А.Ладыженской2.

Основные результаты работы.

1. Найден аналитический вид обобщенных решений смешанных задач с нуле-ми начальными условиями для уравнения поперечных колебаний струны с гра-чными и нелокальными условиями первого и второго родов.

2. Найден аналитический вид обобщенных решений смешанных задач с нуле-ми начальными условиями для уравнения поперечных колебаний неоднородной уны, а также для уравнения продольных колебаний неоднородного стержня, со-ящих из двух участков разной плотности и упругости, с граничными условиями

рвого и второго родов.

Автор глубоко благодарен В.А.Ильину за постановку задачи, постоянное вни-ние и поддержку в работе.

Автор благодарен Ф.П.Васильеву, А.А.Амосову, В.М.Говорову, М.М.Потапову, В.Разгулину за ценные советы и обсуждения отдельных вопросов по теме дис-ртации.

Также автор благодарит А.А.Никитина, И.Н.Смирнова за полезные обсуж-ния рассматриваемых задач.

Публикации автора по теме диссертации

[1] Кулешов A.A. О четырех смешанных задачах для уравнения колебаний стр

ны с граничными и нелокальными условиями первого и второго родов // Д клады Акадшии наук, 2009, т. 426, № 3, с. 307-309.

[2] Кулешов A.A. О четырех смешанных задачах для уравнения колебаний стр ны с однородными нелокальными условиями // Дифференциальные уравнени 2009, т. 45, Л» 6, с. 810-817.

[3] Кулешов A.A. Смешанные задачи для уравнения колебаний струны с одн родными граничными и неоднородными нелокальными условиями // Дифф ренциальные уравнения, 2010, т. 40, № 1, с. 98-104-

[4] Кулешов A.A. Смешанные задачи для уравнения продольных колебаний нео неродного стержня со свободным либо закрепленным правым концом, состо щего из двух участков разной плотности и упругости //Доклады Академ наук, 2012, т. 442, № 4, с. 451-454.

[5] Кулешов A.A. Смешанные задачи для уравнения продольных колебаний не породного стержня и уравнения поперечных колебаний неоднородной струн состоящих из двух участков разной плотности и упругости // Доклады А демии наук, 2012, т. 442, № 5, с. 594-597.

[6] Кулешов A.A. Некоторые смешанные задачи для уравнения колебаний стер ня, состоящего из двух разнородных участков // Международная конфер ция, посвященная 110-ой годовщине И.Г.Петровского (XXIII совместное седание ММО и семинара им. И.Г.Петровского): Тезисы докладов, М.: Изд МГУ, 2011, с. 248-249.

Напечатано с готового оригинал-макета

Подписано в печать 19.03.2012 г. Формат 60x90 1/16. Усл.печл. 1,0. Тираж 120 экз. Заказ 110.

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИД N 00510 от 01.12.99 г. 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, 527 к. Тел. 939-3890. Тел./факс 939-3891.

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

61 12-1/757 На правах рукописи

УДК-517.956.321

Кулешов Александр Андреевич

Аналитический вид обобщенных решений смешанных задач для волнового уравнения в случае нелокальных граничных условий и разрывных коэффициентов

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное

управление

Научный руководитель доктор физико-математических наук, академик РАН, профессор Ильин Владимир Александрович

Москва - 2012

Содержание

Введение ...................................... 3

Глава 1. Смешанные задачи для уравнения колебаний струны с граничными и нелокальными условиями первого и второго родов 5

1.1. Задачи с однородными нелокальными условиями........... 9

1.2. Задачи с однородными граничными условиями ............ 20

1.3. Задачи с неоднородными граничными и нелокальными условиями . 31

Глава 2. Смешанные задачи для уравнения продольных колебаний неоднородного стержня и уравнения поперечных колебаний неоднородной струны, состоящих из двух участков разной плотности и упругости.................................... 34

2.1. Смешанные задачи для уравнения продольных колебаний неоднородного стержня................................ 35

2.2. Смешанные задачи для уравнения поперечных колебаний неоднородной струны................................. 60

2.3. Теорема единственности ........................ 62

Заключение..................................... 70

Список литературы ............................... 71

Введение

Открытое в XVIII веке волновое уравнение является одним из важнейших в математической физике и связано с именами таких ученых, как Д'Аламбер, Эйлер, Д.Бернулли, Лагранж. С его помощью, наряду с механическими колебаниями, могут быть описаны процессы распространения электромагнитных, гравитационных и акустических волн в газах, жидкостях и твердых средах. Вклад в изучение классических решений смешанных или, как их еще называют, начально-краевых задач для волнового уравнения внесли многие известные математики. После выхода в свет работ Н.Винера, К.О.Фридрихса, Н.М.Гюнтера и основополагающей работы С.Л.Соболева [1] в первой половине XX в. сформировался интерес к построению обобщенных решений начально-краевых задач. Фундаментальные результаты, касающиеся обобщенных решений смешанных задач для гиперболических уравнений, были получены О.А.Ладыженской [2] и В.А.Ильиным [3]. Начально-краевые задачи играют ключевую роль при изучении задач управления, которые рассматривались А.Г.Бутковским [4], Ж.Л.Лионсом [5], [6], Ф.П.Васильевым и его учениками [7]-[9]. В цикле работ, начатых В.А.Ильиным в 1999г. и продолженных его учениками [11]-[48], а также Е.И.Моисеевым и его учениками [39]-[52], важнейшую роль при решении задач оптимального управления играют решения начально-краевых задач, найденные в явном аналитическом виде. Именно нахождению таких решений и посвящена данная работа.

В первой главе рассматриваются смешанные задачи для уравнения колебаний струны на отрезке с граничными условиями первого либо второго рода на левом конце и с нелокальными условиями типа Бицадзе-Самарского [10], связывающими значение решения или его производной по х в двух точках: в произвольной внутренней точке отрезка и в правой граничной точке. В работах В.А.Ильина [15]-[17] в явном виде были найдены обобщенные решения исследуемых задач, а также проведена оптимизация граничного управления, в случае, когда указанные значения связаны

равенством со знаком плюс либо минус. Явный вид решения в случае закрепленного правого конца и неоднородного нелокального условия, связывающего разность значений производных решения по х в граничных точках, был найден А.А.Холомеевой [51]. Основным результатом главы 1 является построение в явном виде обобщенных решений исследуемых задач в случае, когда неоднородное нелокальное условие задается произвольной линейной комбинацией значений решения или его производной по х в указанных двух точках.

Во второй главе рассматриваются смешанные задачи для уравнения продольных колебаний неоднородного стержня и уравнения поперечных колебаний неоднородной струны, состоящих из двух участков разной плотности и упругости. Отметим, что В.А.Ильиным [18] были найдены решения исследуемых задач в случае равных времен прохождения волны по каждому из участков; в [19]—[21] проведена оптимизация граничного управления краевым условием первого, а в [22] - второго рода. В случае условия равенства импедансов решения исследуемых смешанных задач, а также оптимизация граничного управления, рассматриваются в [23] и [24] соответственно. Задачи о возбуждении и успокоении колебаний неоднородного стержня с помощью граничного управления на одном конце были также рассмотрены В.А.Ильиным в [25] и [26] соответственно. Основным результатом главы 2 является построение в явном виде обобщенных решений исследуемых смешанных задач в случае произвольных длин, плотностей и модулей Юнга для каждого из участков.

Полученные в работе аналитические формулы найдут применение при решении задач управления, описываемых рассмотренными уравнениями.

Автор глубоко благодарен В.А.Ильину за постановку задачи, постоянное внимание и поддержку в работе. Автор благодарен Ф.П.Васильеву, А.А.Амосову, В.М.Говорову, М.М.Потапову, А.В.Разгулину за ценные советы и обсуждения отдельных вопросов по теме диссертации. Также автор благодарит А.А.Никитина, И.Н.Смирнова за полезные обсуждения рассматриваемых задач.

Глава 1

Смешанные задачи для уравнения колебаний струны с граничными и нелокальными условиями

первого и второго родов

Данная глава посвящена исследованию смешанных задач для уравнения колебаний струны на отрезке с нулевыми начальными условиями и с граничными и нелокальными условиями первого и второго родов.

Рассмотрим смешанные задачи для волнового уравнения

uu(x,t) - uxx(x,t) = 0, (x,t) е [0 ^ ж ^ 1} х [0 < t ^ Т] (1.0.1)

с нулевыми начальными условиями

и(х,0) = 0,щ(х,0) = 0 (1.0.2)

и с одной из следующих совокупностей граничных и нелокальных условий:

и( о, *) = **) {1оз)

u(l,t) — au(xo,t) = i/(t),

где ju(t) и v(t) - произвольные функции из класса W^fOjT], удовлетворяющие условиям 0) = 0, v(0) = 0;

u(0,t) = a(t)

(1.0.4)

ux(l,t) - aux{x0,t) = v(t),

где fi(t) - произвольная функция из класса VP^ [0, Т1], удовлетворяющая условию /¿(0) = 0, v(t) - произвольная функция из класса L2[0, Т];

ux{0,t) = ¿u(t)

(1.0.5)

u(l, t) — au(xо, t) =

где ¡lit) - произвольная функция из класса 0, Т], v(t) - произвольная функция из класса И^О, Г], удовлетворяющая условию 1/(0) = 0;

ux(0,t) = fj,(t)

(1.0.6)

ux(l,t) - aux(x0,t) = u(t), 6

где //(£), - произвольные функции из класса 1/2[О, Т].

В условиях (1.0.3)-(1.0.6) удовлетворяет неравенству 0 ^ жо < I, а - произвольная константа.

На прямоугольнике <5т = [0 ^ х ^ /] х [0 ^ ^ ^ Т] рассмотрим введенный В.А. Ильиным в [13] класс И^Ог) Функций двух переменных и(х, £), непрерывных в т и обладающих обобщенными частными производными их(х,Ь) и принадле-

жащими классу ^(Фт), а также классу 1/2 [0 ^ х ^ 1} при всех t е [0,Т] и классу Ь2[о < г < Т] при всех X е [о, /].

Следуя работе [14] введем следующее определение.

Определение 1.1. Обобщенным из класса И^ЧОг) решением смешанной задачи для волнового уравнения (1.0.1) с нулевыми начальными условиями (1.0.2) и с одной из совокупностей граничных и нелокальных условий (1.0.3)-(1.0.6) называется

функция и(х,£) из класса И^Ог); удовлетворяющая интегральному тождеству

' т

Ь)сИ в случае условия и(0,£) =

т I

$ $и(х,г)[Фи(х,1)-Фхх(х,г)]<1х<и = < о о

о

т

— ]*/л(£)Ф(0, €)(М в случае условия их{0,£) =

4-<

т т

—а $ и(хо,Ь)Фх(1^)сИ — § и(Ь)Фх(1,£)сИ в случае условия и{1,Ь) — аи(хо,£) =

о о

т т

а § их(хо^)Ф(1,£)сИ + § и(Ь)Ф(1,£)сИ в случае условия их(1,Ь) — аих(хо,£) = о о

в котором Ф(х^) - произвольная функция из класса С2{(^т), удовлетворяющая нулевым финальным условиям Ф{х,Т) = 0,Ф¿(х,Т) = 0 при 0 ^ х ^ I, равенству Ф(0, = 0 при 0 < К Г в случае условия и(0,£) = равенству Фж(0, = 0 при 0 ^ ^Т б случае условия их{ 0, £) — равенству Ф (/, £) = 0 при 0 ^ £ ^ Т в случае условия и(1,Ь) — аи(х о,£) = и равенству Ф Х(1,Ь) = 0 при 0 ^ е случае условия их(1,Ь) — аих{хо,£) =

В.А.Ильиным [14] доказано, что каждая из рассматриваемых смешанных задач может иметь только одно обобщенное из класса И^НОг) решение в смысле опреде-

ления 1.1.

В данной главе в явном виде построены обобщенные решения смешанных задач (1.0.1), (1.0.2), (1.0.3)-(1.0.6) для произвольных значений параметра любых хо 6 [0,1) и для произвольного Т ^ 0.

1.1. Задачи с однородными нелокальными условиями

Рассмотрим следующие смешанные задачи для уравнения колебаний струны (1.0.1) с нулевыми начальными условиями (1.0.2), неоднородными граничными и однородными нелокальными условиями:

и(0,г) = Ш)

(1.1.1)

и(1, ¿) = аи(хо, ¿), иШ) = /¿(¿)

(1.1.2)

где - произвольная функция из класса И^ [0, Т1], удовлетворяющая условию /1(0) = 0;

их( о,*) = ^

и(1, £) = аи(хо, ¿), их( =

(1.1.4)

= аих(х о,г),

где ¿¿(£) - произвольная функция из класса 1/2 [0,Т].

В условиях (1.1.1)-(1.1.4) жо удовлетворяет неравенству 0 ^ жо < л - произвольная константа. Введем следующее определение.

Определение 1.2. Обобщенным из класса И^Ог) решением смешанной задачи для волнового уравнения (1.0.1) с нулевыми начальными условиями (1.0.2) и с одной из совокупностей граничных и нелокальных условий (1.1.1)-(1.1.4) называется функция и(х^) из класса И^Ог)? удовлетворяющая интегральному тождеству

т i

и(х,г)[Фй(м) - Фхх(х,г)]<1х<1ь =

о о

+

т

J/¿(¿)ФЖ(0, t)dt в случае условия u(0,t) = /J,(t), 0 +

т ^

— J ^(¿)Ф(0, t)dt в случае условия их(0, t) = ¡i{t) к о < т

—а § u(xo,t)$x(l,t)dt в случае условия u(l,t) = au(xo,t). о

т

a J ux(xo,t)&(l,t)dt в случае условия ux(l,t) = aux(xo1t)1 о

в котором Ф(x,t) - произвольная функция из класса C2{Qt), удовлетворяющая нулевым финальным условиям Ф(х,Т) = О, Ф^х,Т) = О при 0 ^ х ^ I, равенству Ф(0,£) = О при О ^ t ^ Т в случае условия u(0,t) — fi(t), равенству Фж(0, i) = О при О ^¿^Ге случае условия ux(0,t) = /i(t), равенству Ф (/,£) = О при О ^ t ^ Т в случае условия u(l,t) = au(x^t) и равенству Фх(l,t) = О при О ^ t ^ Т в случае условия ux(l,t) = aux(xo,t).

В силу основной теоремы работы [14] каждая из смешанных задач (1.0.1), (1.0.2), (l.l.l)-(l. 1.4) может иметь только одно обобщенное из класса W^Qt) решение в смысле определения 1.2.

Обозначим через /i(t) функцию, совпадающую с /i(t) при i ) 0 и равную

х

нулю при t < 0. Введем также функцию Д(х) = J ¡i{r)dr. Заметим, что если

- о

функция ¡i{t) принадлежит классу ¿2[0,Т], то функция Д(ж) принадлежит классу Wi(-oo,T]. Также из принадлежности функции ¡i(t) классу И^^Т] и выполнения условия /i(0) = 0 следует принадлежность функции /j,(t) классу оо,Т]. Далее для произвольного Т > 0 выберем целое положительное число то такое, что Т ^ / + (то — 1)(/ — xq) (возможность такого выбора то обусловлена тем, что 1-х о > 0), и введем множество Q, = {(m, п) : (т, п) € Z х Z, \п — 1| + 1 ^ т ^ то}. Теперь сформулируем следующие результаты.

Теорема 1.1. Для произвольного Т > 0, произвольного а, любого xq, удовлетворяющего неравенству 0 ^ хо < I, и произвольной функции /i(t) из класса W^fO, Т), удовлетворяющей условию д(0) = 0; каждая из смешанных задач (1.0.1), (1.0.2),

(1.1.1) и (1.0.1), (1.0.2), (1.1.2) имеет единственное обобщенное решение и(х, Ь) из класса И^ЧОг); которое определяется формулой

и(х, ¿) = - х) 4- ат,п1ц(~Ь ~ Х ~~ (™1+ПХо)) —у^ + х— (ш/ + пж0))], (1.1.5)

(ш,тг)еП

где ат^п - постоянные коэффициенты, алгоритм нахождения которых описан ниже.

Теорема 1.2. Для произвольного Т > 0, произвольного а, любого удовлетворяющего неравенству 0 ^ Хо < I, и произвольной функции из класса 1/2 [0,Т] каждая из смешанных задач (1.0.1), (1.0.2), (1.1.3) и (1.0.1), (1.0.2), (1.1-4) имеет единственное обобщенное решение и{х,Ь) из класса И^С^т)? которое определяется формулой

и(х,Ь) = -Щ^ — х)+ ^ ат^пЩ1:-х-(т1 + пх$))Л-х- (т1 + пх0))], (1.1.6)

(т,гг)еО

где ат^п - постоянные коэффициенты, алгоритм нахождения которых описан ниже.

Проведем подробное доказательство теоремы 1.1 для смешанной задачи (1.0.1), (1.0.2), (1.1.1).

Введем множества = {(ш, п) : (ш, п)егхг,-1^т^ то, 1 — + то},

= |(т,п) : (га- 1,п) £ о}, О771"1 = {(т,п) :(т + 1,п)е Оп+1 = |(т,п) : (га,п — 1) € ^ = п) : (га,п + 1) е 1 и положим

0"т,п = 0 при (га, п) е Г2 \ О \ {(0, 0)}, «0,0 = 1-

Для определения значений аТО;П при (га, п) 6 П воспользуемся следующим соотношением

&то+1,п = (а!(ат,7г+1 — 0"т,п-1) + ат- 1,п- (1-1-7)

11

При к — 0 будем записывать формулу (1.1.7) для (га,те) = (к + |д — 1|,д) последовательно при д = 1,то — к. На каждом шаге из (1.1.7) через известные нам коэффициенты находим значение Далее записываем формулу (1.1.7) для

(ш, те) = (/с+|д—1|, —д) последовательно при д = 0, то — к — 2 (этот шаг следует выполнять при к ^ то — 2). На каждом шаге из (1.1.7) находим значение а^д-^+г-д. Затем, повторяя описанную выше процедуру для к = 1, к = 2 и так далее до к — тпо — 1, определим все ат;П при (т, те) Е Все вычисления ведутся последовательно вдоль ветвей функций тп — к\п — 1|, их количество пропорционально т^. Стоит отметить, что ат>тг = 0 при (т, п) Е ПП{т = |те — 1| + 2р} для р = 1, Заметим также, что применение вышеописанного алгоритма гарантирует выполнение соотношения (1.1.7) при (т, те) Е := П П {т ^ |те — 1|} П {т ^ то — 1}. Введем также множества

= {(т, те) : (т — 1, п) Е ОД, ЦТ"1 = {(т,п) : (т + 1, те) Е ОД, = {(ш, те) : (т, те - 1) Е ОД, ^о"1 = {(т, те) : (т, те + 1) Е О0}, которые понадобятся нам в дальнейшем.

Далее покажем, что функция, определяемая формулой (1.1.5), где коэффициенты ат>п найдены по описанному выше алгоритму, удовлетворяет условиям (1.1.1). Подставляя в (1.1.5) х = 0, убеждаемся в выполнении граничного условия и(0, £) = = д(£) при 0 ^ £ ^ Т. Так как О С {т ^ 1 + |те — 1|}, имеем т/ + техо ^ 1 + \п-1\1-{-пхо ^ / + |те — 1\хо + пхо = / + хо + [|п —1| + (те —1)]жо ^ 1 + Хо. Таким образом, из неположительности аргументов функций ¡¿(—х), //(=Ьс — (т1 + пхо)) и //(—х), //(=Ьг — (т/ + тежо)) ПРИ 0 ^ х ^ / следует выполнение начальных условий и(х, 0) = 0, щ(х, 0) = 0.

Теперь покажем, что выполняется нелокальное условие из (1.1.1).

Для этого перепишем формулу (1.1.5) в виде

и(х,Ь) = [ат,пК~£ - X - (га/ + теж0)) + + х ~ + пжо))], (1.1.8)

(т,п)£0

где

Ът,п = -От,п при (ж, п) 6 П \ {(О, О)},

¿>0,0 = о.

Теперь подставим и(х^), определенную формулой (1.1.8), во второе условие из (1.1.1). Имеем соотношение

^2 1ат,п^ - ((т + 1)/ + пх0)) + 6ГО)Пм(£ - ((т - 1)1 + пх0))] =

(т,гг)еП

= а ^ ~ (ш1 + (п + 1)х0)) + Ьт>п[1(г - (ггй + (п - 1)ж0))],

которое, с учетом введенных выше множеств Г2ТО+1, Г2П+1, О,71"1, можно переписать в виде

У^ ат~1,п^ ~ (ггй + пх0)) + ^ Ът+- (ггй + пж0)) =

У^ - (ггй + пх0)) + Ьгп,п+- (ггй + пх о))

(т,п)еПп+1 (т,п)еПп-1

Далее покажем, что равенство (1.1.9) является тождеством при любом £ из сегмента [0, Т]. В силу того, что: С От+1 П П™"1 П Пп+1 П Пп~\ соотношение (1.1.9) можно переписать в виде

У^ ат-1,п(±^ - (ггй + пх о)) + ^2 ат-1,п[£^ - (ггй + ПХо))+ (т,п)еПт+1\П0 (т,п)еП0

+ XI Ьт+1 - (т1 + ПХо)) + ^2 - (ггй + пх о)) =

(т,п)еО"г-1\П о (т,п)еО0

: О! ^2 <Ьп,п-1Ц(Ъ - (ггй + ПХо)) + ^2 ат,п-1~ (т1 + ПЖ0)) +

(т,п)бПп+1\О0 (т,п)еП0

+ X Ьт,п+1- (т1 + ПХ0)) + ^2 ~ (ш1 + ПХ0))

(т,п)ейп-1\^1 о (т,п)£П0

Заметим, что

53 ат-1,п^ - (:т\ + пхо)) + 53 Ът+1^(г - (т\ + пх0))~

(т,п)еП о (т,п)е£10

-а [ 53 ат,п-1/£ - (т1 + пх о)) + 53 - (т1 + пх0))

= [ат-1,п + Ьт+1,п - «(Ош,п-1 + ^п+ОМ^ ~ + ^о) =

(т,гг)еПо

= 53 ~ ®т+1,п ~ ~ ~ + ПХ0) = О

в силу выполнения соотношения (1.1.7) при (га, п) Е По.

Из последних двух формул следует, что соотношение (1.1.9) можно записать в виде:

УЗ ат-1,п^ - (т1 + пх0)) + 53 Ьт+1,п1±(г - (т1 + пхо)) =

(т,п)ейт+1\П о (т,гг)еПт"1\Гг0

= а

- (ш1 + ПХ0)) + 53 ~ (^ + ПХ0))

(т,п)еО«+1\П0 (т,п)еО.п-1\П0

что равносильно

- ((т + 1)/ + ПХо)) + 53 Ьт^г - {(т - 1)1 + ПХ0)) --= а - (т1 + (га + 1)ж0)) + 53 - (т1 + (п ~ 1)х0))

(1.1.10)

Так как все ненулевые коэффициенты ат)П,Ьт)П при (га, п) Е П сосредоточены в области

{га ^ 1 + |п — 1|} и {(0,0)}, (1.1.10) можем переписать в виде:

53 ат,п[£- ((т + 1)/ + ПХ0)) = «[ 53 - (га/ + (п + 1)ж0))+

(т,п)€Уи1¥ (т:п)еУ

+ 53 ~ (т1+(п - !)жо))

(т,гг)еУ

(1.1.11)

где V = {(то, п) : п = 2 — т0, m0J, W = {(то — 1, п) : п = 3 — то, то — l}. Теперь запишем (1.1.11) в виде:

am-i,nH(t ~ (mi + пхо)) = а X aTO;n_i^(t - (mi + пж0))+

(m,n)eVm+1UWm+1 (m,n)eVn+1

+ X bm,n+i{±{t - (mi + пх о)) ,

(1.1.12)

где Wm+1 = {(то, п) : п = 3 — т0, то — l}, Vm+1 = {(т0 + 1, п) : п = 2 — т0, т0}, yn+i _ |(т05Гг) ; п = 3 — т0,т0 + l}, Fn_1 = {(m0,n) : п = 1 — т0,т0 — l}.

Осталось лишь заметить, что при t ^ Т ^ то/ + (1 — то)хо = / 4- (то —1)(/ — xq) значения аргументов всех функций fi(t — (ml + nxo)), входящих в (1.1.12), неположительны. Таким образом, соотношение (1.1.12), а следовательно и соотношение (1.1.9) обращаются в тождества, что влечет выполнение нелокального условия (1.1.1).

Далее покажем, что функция u(x,t), определяемая формулой (1.1.5), является решением смешанной задачи (1.0.1), (1-0.2), (1.1.1), то есть, согласно определению 1.2, принадлежит классу W^iQ?) и удовлетворяет интегральному тождеству т i т т

■»л г* л

u(x,t)[^u(x,t)-^xx(x,t)]dxdt= /i(^x(0,t)dt-a u(x0,t)<Px(l,t)dt, (1.1.13) 0 0 0 0

в котором Ф(х,£) - произвольная функция из класса C2(Qt), удовлетворяющая нулевым финальным условиям Ф(х,Т) = 0,Ф^х,Т) = 0 при 0 ^ х ^ I и равенствам Ф(0,г) = 0, Ф(l,t) = 0 при 0 ^ ¿ ^ Т.

Прежде всего отметим, что принадлежность функции u(x,t), определенной формулой (1.1.5), классу W^ÍQt) вытекает из того, что эта функция представляет собой алгебраическую сумму конечного числа функций от аргумента t + х или t — х, каждая из которых принадлежит классу Wl(—оо, Т].

Далее, используя тривиально проверяемое равенство

u(x,t)№tt(x,t) - Фхх(х^)} = 15

{[и(х, - [и(х, $Фх{х, ¿)]х} + [их(х, г)Фх(х, £) - щ(х, ¿)],

получаем

и(х,г)[Фи(х,г) - Фхх(х,г)]<1хМ = д + /2,

о о

где

1л =

{[и(х^)Ф^х,г)]ь - [и(х,Ь)Фх(х,г)\х}(1х(И,

Ят

Т I

ь.=

их(х, £)Фх(х, ¿) — щ(х} ¿)Фг(х, €)](1х(1Ь.

о о

К интегралу (1.1.15) применим формулу Грина

(дЯ дР

дх дЬ

йхсИ = оРйх + С^сИ,

Ят г

обозначая через Г границу прямоугольника С^т и полагая

Р = -и(х, Ф^х, ¿), <2 = -и(х, фх(х, ¿).

Учитывая, что Т) = 0, и(х, 0) = 0 при 0 ^ х ^ I, и(0, £) = //(£), и(1, Ь) = аи{хо, ¿) при 0 ^ £ ^ Т, получаем

к = -

и{1,г)Фх(1,г)<и +

и

(о,*)Фх(о,г)

(1.1.14)

(1.1.15)

(1.1.16)

(1.1.17)

Для вычисления интеграла (1.1.16) введем в рассмотрение функцию и{х, Ь) = — //(£ — х) — ~ % ~ {т1 + пхо)) + //(£ + ж — (т1 + пхо))],

(т,п)еО

связанную с и{х,{) соотношениями

их(х,г) = = их(х^),

(1.1.18