Краевые задачи с нелокальным условием для уравнений смешанного типа в прямоугольной области тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

САБИТОВА ЮЛИЯ КАМИЛЕВНА

Краевые задачи с нелокальным условием для уравнений смешанного типа в прямоугольной

области

01 01 02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

ООЗиьэи I

Стерлитамак - 2007

003059075

Работа выполнена на кафедре математического анализа Стерлитамак-ской государственной педагогической академии и в лаборатории дифференциальных уравнении Стерлитамакского филиала АН РБ

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор Калиев Ибрагим Адиетович

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор Солдатов Александр Павлович кандидат физико-математических наук, доцент Кожевникова Лариса Михайловна

Ведущая организация Казанский государственный

университет

Защита состоится 30 мая 2007 г в 10 часов 00 минут на заседании диссертационного совета К 212 315 01 при Стерлитамакской государственной педагогической академии по адресу г Стерлитамак, пр Ленина, 37, ауд 312

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Стерлитамакской государственной педагогической академии

Автореферат разослан 27 апреля 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор физ -мат наук профессор Кризский

Общая характеристика работы

Актуальность темы В современной теории дифференциальных уравнений с частными производными важное место занимают исследования вырождающихся гиперболических и эллиптических уравнений, а также уравнений смешанного типа Повышенный интерес к этим классам уравнений объясняется как теоретической значимостью полученных результатов, так и их многочисленными приложениями в газовой динамике, гидродинамике, в теории бесконечно малых изгибаний поверхности, в безмоментной теории оболочек, в различных разделах механики сплошных сред, акустике, в теории электронного рассеяния и многих других областях знаний Исследования последних лет также показало, что такие уравнения являются основой при моделировании биологических процессов

Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в работах Ф Трикоми и С Геллерстедта В дальнейшем основы теории уравнений смешанного типа были заложены в работах Ф И Франкля, А В Бицадзе, К И Бабенко, С Агмона, Л Ниренберга, М Проттера, К Моравец и многих других авторов Результаты полученные ими и их последователями приведены в монографиях А В Бицадзе, Л Берса, К Г Гудейлея, ТД Джурасва, М М Смирнова, Б И Моисеева, К Б Сабитова, М С Салахитдинова

Среди краевых задач особое место занимают нелокальные задачи Нелокальные задачи для дифференциальных уравнений рассматривались в работах Ф И Франкля, А В Бицадзе, А А Самарского, В А Ильина, Е И Моисеева, Н И Ионкина, В И Жегалова, А М Нахуше-ва, А И Кожанова, Л С Пулькиной, О А Репина, А Л Скубачевского, А П Солдатова и других

Особо выделим работу А В Бицадзе и А А Самарского, которая повлекла за собой систематическое изучение нелокальных краевых задач для эллиптических и других типов уравнений

М Б Лсрнер, О А Репин в полуполосе В — {и(ж,у)|0 < х < 1,у > 0} изучили задачу найти функцию и(х,у) со свойствами

и{х, у) е С(П) П С1 {Б и {г = 0})ПС2(1)),

Утихх + Uyy = 0, (х,у) G D, т> -1,

и(х,у) —> 0 при ?/ —> -¡-оо равномерно по х € [0,1],

и(0,у) - и{1,у) = (у), иг(0,у) = </?2(у), У > О,

ti(x,0) = т{х), 0 < z < 1,

где т(х), ipi(у), </?г(у) — заданные достаточно гладкие функции, причем т(х) ортогональна к системе функций 1, cos(2n + 1)7гх, п = 0,1,2, Ими исследована аналогичная задача в полуполосе D для уравнения

У-ХХ + Щу + {2р/у)иу - Ь2и = 0, Ъ > 0, ре R, (1)

при условии tpi(y) = 0 и (ръ{у) =0 Единственность решения доказана на основании принципов экстремума Методом разделения переменных и интегральных преобразований установлена разрешимость рассматриваемой задачи

Е И Моисеев изучил аналогичную нелокальную краевую задачу в полуполосе D для вырождающегося эллиптического уравнения

ymuXx + uyy = 0,m> —2,

и(х,0) = f{x), 0 <х<1,

и{0, у) = и(1,у), их{0, у) = 0, у > 0,

f(x)zC2+a{ 0,1],/(0) = /(1),/'(0) = 0

в классе функций и(х,у) € C(D) П C2(D) и стремящихся к нулю или ограниченных на бесконечности Методом спектрального анализа доказано единственность и существование решения При этом решение задачи построено в виде суммы биортогонального ряда Также им эти результаты перенесены на уравнения ymur3 + иуу — b2ymu — 0, 6 = const > 0, m > 0, и (1)

Сабитовым К Б и Сидоренко О Г решена следующая нелокальная задача найти в области D = {(х, у)|0 < х < 1,0 < у < Т} функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям

и(х,у) е С (В) П C\D U {х = 0, у > 0} U {х = 1,у > 0}) П C2{D),

ymu2a - Uay - b2ymu = 0, (х, у) S D,

Иг(0, у) =ux(l,y), u(О, у) = «(1, у), 0 < у < Т, и(х, 0) = т(х), 0 < х < 1, иу{х, 0) = v(x), 0 < я < 1, где т(а;) и г/(ж) — заданные достаточно гладкие функции Доказательство единственности и существования решения задачи приводится спектральным методом

Нахушев А М установил критерий единственности решения задачи Дирихле для уравнений смешанного типа в цилиндрической области

Сабитов К Б исследовал задачу Дирихле для вырождающегося уравнения смешанного типа

sgny |y\muxx + uyv - b2sgny \y\mu = 0, m> 0, b > 0,

в прямоугольной области Методами спектрального анализа установлен критерий единственности и доказана теорема существования решения задачи Дирихле

Целью работы является доказательство единственности и существования решения краевых задач для вырождающегося уравнения смешанного типа

Lu ~ К(у)ихх + иуу - b2K(y)u = 0, (2)

где К(у) = sgny \y\m, то = const > 0, b = const > 0, в прямоугольной области D = {(x,у)I 0 < x < 1, —a < у < ß}} a,ß > 0, со следующим нелокальным условием

и(0,у) = и(1,у) или их(0,у) = их(1,у), -а<у < ß,

в сочетании с другими локальными граничными данными, методом спектрального анализа

Методы исследования При доказательстве единственности и существования решении нелокальных задач для вырождающихся уравнений различных типов использованы метод разделения переменных методы спектрального анализа, теория специальных функций Научная новизна

1. Впервые поставлены задачи с нелокальным условием для вырож дающихся уравнений смешанного типа в областях их эллиптичности, гиперболичности и в целом смешанной области с различными граничными условиями

2 Установлен критерий единственности решений задач для уравнений смешанного типа

3 Решение нелокальных задач для уравнений смешанного типа построено в виде суммы биортогонального ряда и доказано, что линия изменения типа, как особая линия, устраняется

Практическая и теоретическая ценность. Диссертация носит теоретический характер Полученные результаты и методы исследования представляют научный интерес и могут быть использованы для дальнейшей разработки общей теории нелокальных краевых задач для уравнений различных типов

Апробация работы Результаты, приведенные в диссертации, докладывались автором и обсуждались на научных семинарах кафедры математического анализа (научные руководители - профессора К Б Сабитов, Ф X Мукминов, И А Калиев, 2003 - 2007 гг), а также на следующих научных конференциях «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы» (г Москва, 2004 г), «Современные проблемы физики и математики» (г Стерлитамак, 2004 г), «Современные методы теории краевых задач» (г Воронеж, 2005 г), «Тихонов и современная математика» (г Москва, 2006 г), «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики» (г Нальчик,

2006 г), «Дифференциальные уравнения и их приложения» (г Самара,

2007 г)

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 работ, список которых приведен в конце автореферата

Объем и структура работы Диссертация состоит из введения, трех глав, разделенных на 9 параграфов, списка литературы Объем диссертации составляет 127 страниц Библиография - 87 наименований

Основное содержание работы

Во введении приведен краткий обзор литературы по теме диссертации, излагается краткое содержание работы сформулированы основные результаты, которые выносятся на защиту

В главе 1 исследуются нелокальные начально-граничные и граничные задачи для вырождающегося уравнения гиперболического типа Ме-

б

тодом спектрального анализа доказаны теоремы единственности и существования решении задач

Рассмотрим вырождающееся уравнение гиперболического типа

Lu = у'"щЬ2ути — 0, (3)

т = const > 0, b = const > 0, в прямоугольной области Q = {(я,у)| 0 < х < 1, 0 < у <Т} Для уравнения (3) в области Q поставлены и решены следующие нелокальные задачи

ЗАДАЧА 1 1 Найти в области Q функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям

и(х,у) е C(Q) П C\Qö{x = 0} и {х = 1}) П C2{Q), (4) Lu = 0, (x,y)eG1 (5)

u(x,0) = t(x), uy(x, 0) = u{x), 0 < x < 1, (6)

u(0, y) = u(l, у), ux(0,y) = 0, у > 0, (7)

где т(х), v(x) — заданные достаточно гладкие функции, причем т(0) = т(1), т'(0) = 0

ЗАДАЧА 1 2 Найти в области Q функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям (4) — (6) и

и*(0, у) = у), и(1, у) = 0, у > 0, (8)

где t(x),v(x) — заданные достаточно гладкие функции, причем т'(0) = т'(1),т(1) = 0

ЗАДАЧА 1 3 Найти в области Q функцию и(х, у), удовлетворяющую условиям (4), (5) и

и(х, 0) =т(х), и{х,Т) = ф(х), 0 < х < 1, (9)

и(0, у) = и(1, у), и, (0, у) = 0, 0 < у < Т, (10)

где т(х), гр(х) — заданные достаточно гладкие функции, причем т(0) = т(1), т'(0) = 0, 0(0) = гу(1), v'(0) =0

ЗАДАЧА 1 4 Найти в области <2 функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям (4), (5), (9) и

их(0,у)=их(1,у),и(1,у) = 0, 0 < у <Т, (И)

гдет{х), ф{х) — заданные достаточно гладкие функции, причем т'(0) = т'( 1), г(1) = О, ^'(0) = </>'(!), Ч>(1) = О

При решении задач 11 — 14 применяются системы корневых функций одномерной задачи для уравнения

Х"{х) + XX (х) = 0, 0 < х < 1,

с соответствующими граничными условиями

Х(0) = Х(1), Х'(0) = 0 и Х'(0) = Х'(1), Х(1) = 0

{соз^ш;)}^, 1, {¡сип^тта;)}^, (12)

{4(1 - х) соз (2тгт)}~ 2(1 - х), {4вш (2тгпх)}^х, (13)

которые построены в работе1 Они являются биортонормированными системами, полны и образуют базис Рисса в пространстве Ь2(0,1)

Используя системы (12) и (13), решение задачи (4) - (7) построено в виде суммы биортогонального ряда

оо оо

и(х,у) = щ{у) + Х>«Ы соб^-лти) + 1^2ьп(у)х бш^-ттпх), (14)

П=1 п=1

где функции и0(у),ип(у),уп(у) определены соответственно по формулам

иоЫ = / + ^- ь ф о,

[ "о У + Ч, 6 = 0,

(15)

ТТ'Т"'^ 77

¿Ч&п ¿д 2' 2-<

_ (16)

1 Ионхин Н И Об устойчивости опчой задачи теории теплопроводности с некчассическим краевым условием // Дифференциальные уравнения - 1979 — Т XV Л'7 С ]279 1233

Vn(y) = (anf„ + ~-ctg~)Jf (pn^)Vy - (17)

где a„ = pn = Vb2 + (2тгn)2/g, ^(z) и IMz) - функции

Бееселя I и II рода порядка f = j- > 0 соответственно, g = (m + 2)/2,

т~п, vn — коэффициенты разложения функций т(х) и v(x) по системе {4sin(27rnx)}, го, щ — коэффициенты разложения функций т(х) и v(x) по системе {2(1 — аг)}, т\П) и\п — коэффициенты разложения функций т{х) и v(x) по системе {4(1 — х) cos(27rnx)} Справедливы следующие утверждения

Утверждение 1 Если существует решение задачи (4) — (7), то оно единственно

При доказательстве этого утверждения используется полнота системы функций (13) в пространстве ¿г[0,1]

Утверждение 2 Если т(х), и{х) е С3[0,1] и т(0) = т(1), i/(0) = т'(0) = 0, г/(0) = 0, т"(0) = т"(1), i/'(0) = i/'(l), mo существует решение (4) -- (7) и оно представимо в виде суммы ряда (14), где коэффициенты определяются по формулам (15) — (17)

Аналогично решение нелокальной задачи 1 2 построено в виде суммы биортогонального ряда

и(х,у) = 2(1—аг)ц0(у)+4(1—ж) cos(27rnx)-f 4 ^ Vn (у) Ып(27Г77'Х) ,

ЦГМ = ~^У2дНКЫРпУч) - ЬМрпуЩ2^М)У,(рпу^)-

¿Q 2<? 2Я 29 2Я

-^+МУя)У^1(РпУя) - J±^Pnyq)Y^+1(pny")}-

- Y±+1(Pnyi)Y±_l(Pnyq)}Ji- (.РпУ")+

qL 2q 2g 2q 2q

+^aay^[jUpnyq) ~ J±+i(Pny4)Jj-1{Pnyq)}Y±(pny4) +

qL 27 2<? 2g 27

+ Pnyq)\/y,

cc

ОС

где функции щ(у),иг,(у), и „(у) определены соответственно по формулам (15) -- (17), но тп> ип — коэффициенты разложения функций т(х) и i/(x) по системе {4гsm(27mx)}, то, щ — коэффициенты разложения функций т(х) и i/(x) по системе {1}, Ti„, — коэффициенты разложения функций т(х) и и(х) по системе {cos(27rnx)}

"Утверждение 3. Если существует решение задачи (4) - (6) и (8), то оно единственно

При доказательстве используется полнота системы функций (12) в пространстве L2 [0,1]

Утверждение 4. Еслиг(х), v(x) £ С3[0,1] ит(0) = т(1), г>(0) = и( 1), т'(0) = 0, iy'(0) = 0, т"(0) = т"(1), i/'(0) = v"{ 1), то существует решение задачи (4) — (6) и (8) и оно представимо в виде суммы ряда (18), где функции щ(у),ип(у),уп(у) определены соответственно по формулам (15) — (17) с учетом новых значений коэффициентов тп, иа, tq, uq, Tin u vin

Решение задачи (4), (5), (9) и (10) построено в виде суммы ряда (14), где функции щ{у),ип(у)1уп{у) определены соответственно по формулам

МУ) =

Jx(poTi)VT 2? v 2 дао 2,

Щ - Го

J±(poyq)Vy-W^-Y±(Poy9)Vy, Ьф О,

У + То, 6 = 0,

(19)

Му) =-7i-

i'n + £?-Yx(PnT*)VT Утверждение 5 Если существует решение задачи (4), (5), (9) и

ю

(10), то оно единственно только тогда, когда 5х{п) = Js.[pr,T4) ^ 0 при всех п 6 N

Если нарушено условие 5т(п) = Jj_(pnTq) / 0 при некотором п = по и

2 Ч

Т = То, то однородная задача 1 3 (где т(х) — ф(х) = 0) имеет ненулевое решение

иа0(х,у) = cos(2nnox)^/yJx(pnt>yq)

Утверждение 6 Существуют Т и постоянная Со > 0 такие, что при больших п справедлива оценка

mf \VnST(n)\ > Со > 0 (22)

п

Утверждение 7 Если т(х),ф(х) £ С3[0,1], 5т(п) ^ 0 при всех п 6 N, т(0) = т(1),^(0) = V(l), т'(0) = 0, ф'{0) = 0,т"(0) = т"(1),ф"(0) = ф"{ 1) и выполнено условие (22), то существует решение задачи (4), (5), (9), (10), и оно представимо в виде суммы ряда (14), где функции щ{у),ип(у),ип(у) определены соответственно по формулам (19) — (21) Аналогично обосновываются теоремы единственности и существования для задачи (4), (5), (9) и (11)

В первой главе также для уравнения струны

Ои(х, t) = utt - и1х = 0

в прямоугольной области Q = {(х, t) | 0 < х < 1,0 < t < Т} изучена задача Ильина В А об управлении

ЗАДАЧА 1 5 Найти в замкнутой области Q функцию u(x,t) и соответствующие управления fJ-{t), v(t), удовлетворяющие следующим условиям

u(x,t) eC(Q)nC2(Q), nu(x,t) = o, (x,t) e Q, u(x,0) = ip(x) ut(x,0) =ф(х), Q<x<l, u(x, I) = ipi(x), ut{x, I) = фг(х), 0 <x<l, u( 0, t) = fi{t), u(l, t) = u(t), 0 <t<T,

где (р(х),ф(х),1р\(х),ф1(х) — заданные достаточно гладкие функции, причем <р(0) = /z(0), v?i(0) = ц{Т), ip(l) = Vi(0 = v{T) Эта

задача на управление впервые была решена В А Ильиным в классах

п

функций W^iQ) и W| (Q) Важными частными случаями задачи 1 5 являются задача о полном успокоении колебательного процесса и задача об отыскании таких граничных управлений ß(t) и v(t), которые для струны, находящейся в начальный момент времени t = 0 в покое, приводят ее в момент времени t = I к наперед заданному смещению и наперед заданной скорости Эти задачи рассматривались Ф П Васильевым, А Г Бутковским как в ситуации граничного управления на двух концах, так и в ситуации, когда управление ведется только на одном конце, а другой конец закреплен

В последнем параграфе данной главы выписаны в явном виде решение u(x,t) задачи 1 5 и соответствующие граничные управления ¡i{t) и v{t) при произвольном Т > 0 и установлены необходимые и достаточные условия принадлежности решения u(x,t) к классам Ck(Q), к = 0,1,2

Глава 2 посвящена изучению нелокальных граничных задач для вырождающегося эллиптического уравнения

Lu ее утихх + иуу - b2ymu = 0, (23)

в прямоугольной области Q Для уравнения (23) в области Q исследованы следующие задачи

ЗАДАЧА 2 1 Найти в области Q функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям

и{х,у) е C(Q) П C^Qöix = 0} U {x = 1}) П C2(Q), (24)

Lu = 0, {х,у) € Q, (25)

и(х, 0) = r(x), и(х, Т) = ip(x), 0 < х < 1, (26)

и(0,у) = и(1,у), их(0,у) = 0, 0 < у < Т, (27)

где т{x), ip(x) — заданные достаточно гладкие функции, причем т(0) = r(l),r'(0)=0, v(0)=v>(l), у/(1)=0

ЗАДАЧА 2 2 Найти в области Q функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям (24) - (26) и

и,(0 ,у) = и, (1,3/), и{1,у) =0, 0 <у<Т, (28)

гдет(х), <р{х) - заданные достаточно гладкие функции, причем т'(0) = т'(1), ^(1) = О, ¥>'(0) = ¥>'(1), *>(!) = О

Используя системы (12) и (13), решение задачи (24) - (27) построено в виде суммы ряда (14), где функции и0(у),ип(у),уп(у) определены соответственно по формулам

щ(у) = <

/х(роTi)VT ^У"^ + Ъ ф 0,

^о ~ т°' , и п

—-— у + То, 6 = 0,

(29)

СPln- w+(T) - а1птlnK±(pnT*)VT

и =-TT^yjf-

2 <7

+аытыКл_{рпу«)у/у + w+{y), (30)

Ч>* - al4TnKx{pnTq)VT

_2g_

ЫРпТчЬ/т

vn{y) = --т , Z '-Ij-(Pnyg)Vy + «inтпКфпу")^, (31)

где аю = туХт(^)2'' 11 " модифицированные функции Бес-

i\2qt ¿Я 2<j

селя I и III рода порядка v = l/2g соответственно,

27Г77

<(У) = ^^^(РпЗ/*) - ап1±(Рпу*)}{у2Ч( 1 +

7Г3П

¿V 2; 2g 2t/

~(L±(Pnyq) - l±i.P„yrj))I±(Pnyq)+

2(J 2q 2j

+/1a(M')(/l4(p„!/') - /. ^{pnyq))) +

+ ^atlKx(p^V^I'I{pny") - 1, -i(pnyq)U+i{p„yq)},

¿7 2<t 2 г/ 2 7

<Рп - û 1 „ тп Kjl {рпТч ) у/Т

ап = ; ; ZTT > = Oi\nTn,

i±(PnTi)VT

2q

тп, Vu ~~ коэффициенты разложения функций т(х) и ip(x) по системе {4sin(27rnx)}, то, <ро — коэффициенты разложения функций т(х) и ip{x) по системе {2(1 — х)}, т\п, tpi„ — коэффициенты разложения функций т(х) и <р{х) по системе {4(1 — х) cos(27rnx)}

Утверждение 8 Если т(х), ср{х) € С3[0,1], т(0) = т(1), ^(0) = </?(1), т'(0) = 0, ^'(0) = 0, т"(0) = т"(1), ip"(Ö) = /'(1), mo существует единственное решение (24) — (27) и оно представимо в виде суммы ряда (14), где функции щ{у), ип(у), vn(y) определены соответственно по формулам (29) — (31)

Решение задачи 2 2 построено в виде суммы ряда (18), где функции щ{у),ип(у),уп(у) определены соответственно по формулам (29) — (31), но rn, tpn — коэффициенты разложения функций т(х) и tp(x) по системе {Ахsm(2-7rnx)}, то, ipo — коэффициенты разложения функций т(х) и <р(х) по системе {1}, т\п, <pin — коэффициенты разложения функций т(х) и <р(х) по системе {cos(27mx)}

Утверждение 9 Если т(х), <р(х) € С3[0,1], т(0) = r(l), tp(0) = <¿>(1), r'(0) = 0, <р'(0) = 0, т"(0) = т"(1), </(0) = </>"(!)> то существует единственное решение (24) — (26) и (28) и оно представимо в виде суммы ряда (18), где функции щ(у), ип(у), vn{y) определены соответственно по формулам (29) - (31) с учетом новых значений коэффициентов тп, 4>п, То, <Ро, Tin И 4>1п

В главе 3 установлены критерии единственности и теоремы существования решений нелокальных задач для уравнения смешанного типа (2)

Lu = К(у)игх + иуу - b2K(y)u = 0,

где К(у) = sgny \y\m, m = const >06 = const > 0, в прямоугольной области D = {(х,у)| 0 < х < 1, -а < у < ß}, а > 0, 0 < ß < +оо

ЗАДАЧА 3 1 Найти в области D функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям

и(х, у) Е С (Б) nC1(ÖU{r = 0}U{i = 1}) П C2{D+ и LL), (32)

Lu{x,y) = 0, (x,y)eD+\JD-,

(33)

и(х,/3) = tp(x), u(x,-a) = ф(х), 0 < x < 1, (34)

u{0,y)=u(l,y), ux(0,y) = 0, -Q<y</3, (35)

где(р(х) иф{х) - заданные достаточно гладкие функции, причем (р(0) = <р(1), Ч>Щ = о, 0(0) = 0(1), ф'{0) = 0, J5+ = Dn{y > 0}, £>_ = < 0}

ЗАДАЧА 3 2 Найти в области D функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям (32) — (34) и

их(0,у) = их(1,у), и(1,у) = 0, -а<у</3, (36)

где ip(x) и ф(х) - заданные достаточно гладкие функции, причем

<р'(0) = <р'(1), <р(1) = 0, ф'{0) = ф'{1), ф( 1) = о

ЗАДАЧА 3 3 Найти в области D (где ¡3 = -<-оо) ограниченную функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям

и(х, у) е C(D) П C\D U {х = 0} U {х = 1}) П C2{D+ U D-), (37) Lu{x,y)= 0, {x,y)eD+yjD-, (38)

и{0,у) = и(1,у), их(0,у) = 0, —а <у< +оо, (39)

и(х, -а) = ф(х), 0 <х <1, (40)

где ф(х) - заданная достаточно гладкая функция, причем ф{0) = 0(1), ф'( 0) = О

Используя системы (12) и (13), решение задачи (32) - (35) построено в виде суммы ряда (14), где функции щ{у),щ(у),уп(у) определены

соответственно по формулам

Роу/ауА0(а,у)+ фо-УРуАо(0 у)

У > О, Ъ ф О,

До

щ{у) = ~У) + ФоУ=РуАо(0, ~у) ^ < о ^ & ^

А0 (а,Р)у/а/3

Фо - ¥>о , , „ у + <ро, 6 = 0,

Т

(41)

^п(у) =

Упч/ауАп(а, у) + ■фп^/0уАт, (;у,0) Vопу/-оуВп{а, -у) + фпУ-Ру&п(-у,Р)

Ап(а,р)^Р

Уау[у>1п ~ гц+(/?)]Ап(а,у)

Ап{а,Р)^Р ^/рЦ[ф1П-и}-(а)}Ап(у,0)

У > 0,

«п(у) = <

А п(а,Р)^5

+ ги+(у), у> О,

+

^Ру\Фы - Ц>„ (а)] Ап(~У, Р)

Ап(а, р)уЬф л/-ау[ср1п - ю+(р)}Вп(а, -у)

+

Ап(а,р)^Р

+ (У) > У < 0

где

(42)

(43)

А„(а,у) = ^ (РпаПКЛрпу*) + Гх (р„а?)/1 (рпу*),

А„(у,/3) = Ырпро)К±(рпу") - /д.(рпуч)К±(рпР4),

2<7 2?

5„(а, -у) - У±(рп(-у)дил.(рпа») - Гх(рпа^х(рп(-у)я),

¿4 ¿у 2<}

А п(-у,Р) = ^Ы-уУЩЬпР) +У±Ы-уУ)1х{рпРч), Ул-(рпуд) = тгШРпУ") + J^{PnУq))/2sm\n/{2q% А0(а,у), А0(у,Р),

¿4 ¿д ¿у

Во(а,—у), До{—у,Р) определяются соответственно через Д„(а,у), А„(у,Р), Вп(а, —у), Ап(—у,Р) при п = 0

Утверждение 10 Если существует решение и(х, у) задачи (32) — (35), то оно единственно тогда и только тогда, когда при всех п £

лги {о}

А п(а,р) = Л. (р„а*)Кг (р,,^) + ф 0 (44)

¿4 2ц 2 'I 2<7

Если при некоторых a, (3nn = k& NU {0} нарушено условие (44), те Ак(а,(3) = 0, то однородная задача (32) - (35) (где <р(х) = ф(х) = 0) имеет нетривиальное решение

í A*.(a,y)cos(27rfo;), у > 0, Uk[X' У>~\ Ак(~У, Р) cos(2ir/cx), у < 0

Утверждение 11 Существуют а > 0 и постоянная Со > 0 такие что при всех ¡3 > 0 и больших п справедлива оценка

mf \yfii6n{a,p)\ > Со > 0, (45)

где

Kx(pnPq) _ *,(«,/?) = JxiPna^-jf^y- + УхМ

2 q

Утверждение 12 Пусть ч>{х),ф{х) G С3[0,1], (¿>(0) = <^(1),0(О) = 0(1), у/(0) = 0, 0'(О) = 0, <//'(0) - <¿/'(1), V>"(0) = 0"(1) ÍWa задача (32) — (35) однозначно разрешима тогда, когда выполнены условия (44) и (45) Это решение определяется рядом (14), где функции щ(у), ип(у), vn(y) определены соответственно по формулам (41) — (43) На основании систем (12) и (13) решение задачи 3 2 построено в виде суммы ряда (18), где функции щ(y),un(y),vn(y) определены соответственно по формулам (41) — (43), но <£>„, 0П — коэффициенты разложения функций ч?(х) и ф(х) по системе {4х sm(27rna;)}, щ, фо — коэффициенты разложения функций ¡р(х) и ф(х) по системе {1}, <р\п, ф\п — коэффициенты разложения функций <р(х) и ф{х) по системе {cos(27rnz)}

Утверждение 13 Если ip{x) и ф{х) G С3[0,1], <¿>'(0) = v?'(l),0'(O) = 0'( 1), <¿,(1) = 0(1) = 0,<//'(0) = с/(1),0"(О) = 0"(1), выполнены условия (44) и (45), то существует единственное решение задачи (32) — (34), (36) и оно представимо в виде суммы ряда (18), где функции Щ{y),u„{y),vn(y) определены соответственно по формулам (41) — (43) с учетом новых значений коэффициентов ipn, фп, (р0, ф0, 01п

Решение задачи 3 3 также построено в виде суммы биортогонального ряда (14), где функции u0(y),un(y),vn(y) определены соответственно по

,, уЧ)/5о{а), у> О,

ио(у) = у < о, (46)

формулам

Г - гип(а)) ^1Ц(РпУя)/5п(а), у > О, \ Мп-т^ИЭч/^^М-УП/Ма). з/<0, [ '

( ■Ф1г\/1Кх(Рп<'д)/5п{а), у > о,

Юв(у) = Г^У , , * ' (48)

I ±(Р"\-УУУ < о

Утверждение 14 Если существует пешение и(х, у) задачи (37) -(40), то оно единственно тогда и только тогда, когда

6п(а) ^Ух(РгЯч) (49)

при всех п € N и {0}

Утверждение 15 Существует а > 0 и постоянная Сц > 0 такие что при больших п справедлива оценка

тГ \ \/п5п{а) \ > Со > О (50)

Утверждение 16 Пусть Ь > 0 и ф(х) е С3[0,1], ^(0) = ^(1), ^'(0) = 0,т/>"(0) = ф"{1) Тогда задача (37) - (40) однозначно разрешима тогда, когда выполнены условия (49) и (50) Это решение определяется рядом (14), где функции Ио{у),ип{у),уп{у) определены соответственно по формулам (46) — (48)

Следствие Построенные решения и(х,у) задач 31—33 принадлежат классу С2(Б) и функции и(х, у) всюду в О являются решениями уравнения (2) Следовательно, линия изменения типа у = 0 уравнения (2) как особая линия устраняется

На защиту выносятся следующие результаты

1) доказательство единственности и существования решений нелокальных начально-граничных задач и нелокальных граничных задач для вырождающегося уравнения гиперболического типа,

2) найдено в явном виде решение задачи на граничное управление для уравнения струны и установлены необходимые и достаточные условия принадлежности решения к классам Ск((2), к = 0,1,2,

3) доказательство единственности и существования решений нелокальных граничных задач для вырождающегося уравнения эллиптического типа,

4) доказательство единственности и существования решений нелокальных граничных задач для вырождающегося уравнения смешанного типа в прямоугольнике и в иолу полосе, при этом установлен критерий единственности и решение задач построено в виде суммы биортогонального ряда

Автор выражает благодарность доктору физико-математических наук, профессору Калиеву Ибрагиму Адиетовичу за ценные советы и постоянное внимание к работе

Работа выполнена по тематическим планам НИР СГПА и СФ АН РБ (2005 — 2007 гг) при финансовой поддержке Федерального агенства по образованию РФ и Академии наук Республики Башкортостан

Публикации по теме диссертации

1 Сабитова Ю К О гладкости решения задачи граничного управления на двух концах для уравнения струны // Материалы международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвящ 103-летию со дня рождения И Г Петровского M МГУ — 2004 -С 184 - 185

2 Сабитова Ю К О граничном управлении на двух концах процессом, описываемом телеграфным уравнением // Труды всероссийской научной конференции "Современные проблемы физики и математики" СГПА, СФ АН РБ Уфа Гилем - 2004 - С 93 - 103

3 Сабитова Ю К Об одной нелокальной задаче для вырождающегося гиперболического уравнения // Материалы международной конференции "Современные методы теории краевых задач" посвящ 100-летию

академика С М Никольского Воронеж ВГУ - 2005 — С 140

4 Сабитова Ю К О гладкости решения задачи граничного управления на двух концах для уравнения струны // Дифференц уравнения -2006 - Т 42, № 1 - С 132 - 134

5 Сабитова Ю К О гладкости решения задачи граничного управления на двух концах для уравнения струны за произвольный промежуток времени//Дифференц уравнения - 2006 -Т 42, № 8 - С 1140-1142

6 Сабитова Ю К Нелокальная граничная задача для вырождающегося гиперболического уравнения // Материалы международной конференции "Тихонов и современная математика Функц анализ и дифференциальные уравнения" М МГУ - 2006 - С 225 - 227

7 Сабитова Ю К Нелокальная начально — граничная задача для вырождающегося гиперболического уравнения // Труды Стерлитамакско-го филиала Академии наук Республики Башкортостан Серия «Физико-математические и технические науки» Выпуск 3 - Уфа Гилем — 2006 - С 184 - 191

8 Сабитова Ю К Нелокальная граничная задача для вырождающегося эллиптического уравнения // Материалы III международной конференции "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики" Нальчик НИИ ПМА -2006 - С 241 - 244

9 Сабитова Ю К Нелокальная задача для вырождающегося уравнения смешанного типа // Материалы конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" Самара "Универс—групп" - 2007 - С 101 - 106

Подписано в печать 26 04 2007 Формат 60 х 84:/16 Гарнитура «Times* Печать оперативная Уел печ л 1 Тираж 100 экз Заказ

Отпечатало в типографии Стерчитамаксхой государственной педагогической академии 453103, г Стертитамак, пр Лентна, 49

Введение.

Глава 1. Нелокальные задачи и задачи на управление для уравнений гиперболического типа.

§1.1. Нелокальная начально — граничная задача I рода.

§1.2. Нелокальная начально — граничная задача II рода.

§1.3. Нелокальная граничная задача I рода.

§1.4. Нелокальная граничная задача II рода.

§1.5. Задачи на управление для волнового уравнения.

Глава 2. Нелокальные задачи для вырождающегося уравнения эллиптического типа.

§2.1. Нелокальная граничная задача I рода.

§2.2. Нелокальная граничная задача II рода.

Глава 3. Нелокальные задачи для вырождающегося уравнения смешанного типа.

§3.1. Нелокальная граничная задача I рода.

§3.2. Нелокальная граничная задача II рода.

§3.3. Нелокальная граничная задача I рода в полуполосе.

В современной теории дифференциальных уравнений с частными производными важное место занимают исследования вырождающихся гиперболических и эллиптических уравнений, а также уравнений смешанного типа. Повышенный интерес к этим классам уравнений объясняется как теоретической значимостью полученных результатов, так и их многочисленными приложениями в газовой динамике, гидродинамике, в теории бесконечно малых изгибаний поверхности, в безмоментной теории оболочек, в различных разделах механики сплошных сред, акустике, в теории электронного рассеяния и многих других областях знаний. Исследования последних лет также показали, что такие уравнения являются основой при моделировании биологических процессов.

Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в работах Ф. Трикоми [65] и С. Геллерстедта [77]. В дальнейшем основы теории уравнений смешанного типа были заложены в работах Ф.И. Франкля, A.B. Бицадзе, К.И. Бабенко, С. Агмона, J1. Ниренберга, М. Прот-тера, К. Моравец и многих других авторов. Результаты полученные ими и их последователями приведены в монографиях A.B. Бицадзе [6], [9], JI. Бер-са [5], К.Г. Гудейлея [13], Т.Д. Джураева [14], М.М. Смирнова [57], [58], Е.И. Моисеева [35], К.Б. Сабитова [53], М.С. Салахитдинова [54].

Среди краевых задач особое место занимают нелокальные задачи. Нелокальные задачи для дифференциальных уравнений рассматривались в работах Ф. И. Франкля [67], A.B. Бицадзе и A.A. Самарского [7], В.А. Ильина,

Е.И. Моисеева [18], [19], Н.И. Ионкина [26], В.И. Жегалова [15]-[17], А.И. Ко-жанова [29], A.M. Нахушева [41], JI.C. Пулькиной [44], [45], O.A. Репина [46], [47], A.JI. Скубачевского [56], А.П. Солдатова [61] и других.

Особо выделим работу A.B. Бицадзе и A.A. Самарского [7], которая повлекла за собой систематическое изучение нелокальных краевых задач для эллиптических и других типов уравнений.

М.Е. Лернер, O.A. Репин [33] в полуполосе D = {и(х,у) |0 < х < 1,у > 0} изучили задачу: найти функцию и(х, у) со свойствами: и(х,у) G C(D) П C\D ö{x = 0})ПC\D)

Утихх + Uyy = 0, (яг, у) ED, т > -1; и(х, у) ->• 0 при у +оо равномерно по х G [0,1]; и(О, у) - и( 1, у) = ipi{у), их(0, у) = <р2{у), у > 0; и(х,0) = т(х), 0<х<1, где т(х), ipi(y), Р2(у) — заданные достаточно гладкие функции, причём т(х) ортогональна к системе функций 1, cos(2n + 1)7гж, п = 0,1,2,. .

В другой работе [34] ими исследована аналогичная задача в полуполосе D для уравнения ихх + иуу + (2р/у)иу -b2u = 0, b > 0, р е R, (0.1) при условии ipi(y) = 0 и <р2{у) = 0. В этих работах на основании принципов экстремума доказана единственность. Методом разделения переменных и интегральных преобразований установлена разрешимость рассматриваемой задачи.

Е. И. Моисеев в [36] изучил аналогичную нелокальную краевую задачу в полуполосе D для вырождающегося эллиптического уравнения:

Утихх + иуу = 0, m > -2, u(x,0) = f(x),0<x< 1, «(О, у) = и( 1, у), у) = 0, у > О, f{x) е с2+а[о, 1], /(о) = /(1), /'(о) = о в классе функций и(х,у) в C(D) П C2(D) и стремящихся к нулю или ограниченных на бесконечности. Методом спектрального анализа доказано единственность и существование решения. При этом решение задачи построено в виде суммы биортогонального ряда. В другой работе [37] эти результаты перенесены на уравнения утихх + иуу — Ь2ути = 0, Ъ = const >0, т > 0, и (0.1).

В работе Сабитова К. Б. и Сидоренко О. Г. [49] решена следующая нелокальная задача: найти в области D = {(я,г/)|0 < х < 1,0 < у < Т} функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям: и{х, у) е C(D) f\C1{D\J{x = 0,y>0}\J{x = l,y>0})n C2{D); ymuxx - uyy - b2ymu = 0, (x, у) e Dux{0,y) = ux(l,y), u(0,y) = u(l,y), 0 < у < T; u(x, 0) = t(x), 0 < x < 1; Uy(x, 0) = v(x), 0 < x < 1, где т(х) и v(x) — заданные достаточно гладкие функции. Здесь доказательство единственности и существования решения задачи приводится спектральным методом.

Нахушев A.M. установил критерий единственности решения задачи Дирихле для уравнений смешанного типа в цилиндрической области [39].

В работах Сабитова К.Б. [50] — [52] исследована задача Дирихле для вырождающегося уравнения смешанного типа sgny • \y\muxx + Uyy - b2sgny • \y\mu = 0, m > 0, b > 0, в прямоугольной области. Методами спектрального анализа установлен критерий единственности и доказана теорема существования решения задачи Дирихле.

Изложенный в работах Е.И. Моисеева, К.Б. Сабитова спектральный метод применен при обосновании корректности постановки нелокальных начально -граничных и граничных задач для различных типов вырождающихся дифференциальных уравнений.

Целью данной работы является доказательство единственности и существования решения краевых задач для вырождающегося уравнения смешанного типа

Lu ЕЕ К(у)ихх + иуу - b2K(y)u = 0, (0.2) где К (у) = sgny- |y|m, т = const > 0, 6 = const > 0, в прямоугольной области D = {(ж, у)| 0 < х < 1, —а < у < (3}, а,(3 > 0, со следующим нелокальным условием:

0, у) = и( 1, у) или их(0, у) = их( 1, у), -а<у<(3, в сочетании с другими локальными граничными данными, методом спектрального анализа.

Перейдем к изложению основного содержания диссертации, которая состоит из трех глав. В пределах каждой главы принята сквозная нумерация параграфов и формул.

В главе 1 исследуются нелокальные начально-граничные и граничные задачи для вырождающегося уравнения гиперболического типа. Методом спектрального анализа доказаны теоремы единственности и существования решений задач.

Рассмотрим вырождающееся уравнение гиперболического типа

Lu = утихх - иуу - Ь2ути = 0, (0.3) т = const > 0, b = const > О, в прямоугольной области Q = {(х,у)\ 0 < х < 1, 0 < у < Т}. Для уравнения (0.3) в области Q поставлены и решены следующие нелокальные задачи.

Задача 1.1. Найти в области Q функцию и(х, у), удовлетворяющую условиям: у) е C{Q) П C\QU{x = 0} U {х = 1}) П C2(Q); (0.4)

Lu = 0, (х, у) eQ] (0.5) и(х, 0) = т(х), иу(х, 0) = v(x), 0 < х < 1; (0.6)

0, у) = и{ 1, у), их{0, у) = 0, у > 0, (0.7) где t(x),v(x) — заданные достаточно гладкие функции, причём т(0) = т(1), т'{ 0) = 0.

Задача 1.2. Найти в области Q функцию и(х, у), удовлетворяющую условиям (0.4) - (0.6) и

0, У) = их{ 1, у), и{1, у) = 0, у > 0, (0.8) где т(ж), и(х) — заданные достаточно гладкие функции, причём т'{0) = r'( 1), т(1) = 0.

Задача 1.3. Найти в области Q функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям (0.4), (0.5) и и(х,0) = т{х), и(х,Т) = ф(х), 0 < х < 1; (0.9)

0, у) = и{ 1, y)t tix(0, у) = 0, 0 < у < Т, (0.10) где т(х), ф(х) — заданные достаточно гладкие функции, причём т(0) = г(1), т'(0) = 0, ф(0) = ^(1), ^'(0) = 0.

Задача 1.4. Найти в области Q функцию и(х, у), удовлетворяющую условиям (0.4), (0.5), (0.9) и

0,у) = |х,(1,у),«(1,у) = 0, 0 <у<Т, (0.11) где т(х), ф(х) — заданные достаточно гладкие функции, причём т'(0) = г'(1),г(1) = 0, ^(0) = ФЫ = 0.

При решении задач 1.1 — 1.4 применяются системы корневых функций одномерной задачи для уравнения

Х"(х) + XX{х) = 0, 0 < х < 1, с соответствующими граничными условиями

Х(0) = Х{1), Х'(0) = 0 и Х'(0) = Х'(1), Х(1) = 0 : совртгп*)}«!, 1, {xsin^Tmz)}^; (0.12)

4(1 — х) cos (27ггг.яг)}^1, 2(1-z), {4sin (2жпх)}™=1, (0.13) которые построены в работах [24], [25]. Они являются биортонормированными системами, полны и образуют базис Рисса в пространстве 1).

Используя системы (0.12) и (0.13), решение задачи (0.4) - (0.7) построено в виде суммы биортогонального ряда

СЮ 00 и(х,у) = щ{у) + УЛип(у) cos(27Trix) + y^ vn(y)xsm(2irnx), (0.14) п=1 n=1 где функции uo(y),un(y),vn(y) определены соответственно по формулам: («о^о + 7р~ ctg £-)J±{poyq)y/y - ^-Y±(p0yq)^y, Ьф 0, щ(у) = ^ 2Яао 24 2Яао 24 оУ + то, 6 = 0,

0.15)

Un(y) = K^ln + +

0.16)

Vn(y) = К^П + ^ctg^)J±{pnyq)y/y - ^Y±(Pnyq)s/y, (0.17) где an = Pn = y/b2 + (2тгn)2/q, J±.{z) и Yi{z) - функции Бесселя I и II рода порядка v = ^ > 0 соответственно, q = (т + 2)/2, w-(y) = -^y2q+4anJ^nyq)-bnYlq(Pnyq)}[ 2^(рпуО)Уфпу*)

-^(РпуОЩ-гМ ~ (РПУ<1)У±+1{РПУ(1)}-ТЬпУ2д+ЧгиРпУ«) - У^РПУ^У^РпУ^ШРПУ^

2 о *Я ¿Я *Я пУ2д+Щ(РпУч) - ^я+1(РпУ^-1(РпУя)]УфпУд)+

ТТТ1 7Г 7Г Т1 ап + 2 — 6П] Л. {рпуч)у/у - -у-о ЪпУЛрпУ^у/у,

7ГГП 7Г 7ГТ, п = С^п^п + о-Ctg —, Ьп = п тп, г/п — коэффициенты разложения функций т(ж) и г/(ж) по системе {4 з1п(27гпж)} го, ио — коэффициенты разложения функций т(х) и и(х) по системе {2(1 — х)}, т\п, Уы ~ коэффициенты разложения функций т(х) и у{х) по системе {4(1 - х) соз(27гпж)}.

Справедливы следующие утверждения.

Теорема 0.1. Если существует решение задачи (0.4) — (0.7), то оно единственно.

При доказательстве этого утверждения используется полнота системы функций (0.13) в пространстве ^[0,1].

Теорема 0.2. Если т(ж),ф) е С3[0,1] и т(0) = т( 1), 1/(0) = 1/(1), т'(0) = 0, 1/'(0) = 0, т"(0) = т"( 1), и"(0) = И(1), то существует решение (0.4) -(0.7) и оно представимо в виде суммы ряда (0.14), где коэффициенты определяются по формулам (0.15) — (0.17).

Аналогично решение нелокальной задачи 1.2 построено в виде суммы биор-тогонального ряда со 00 и(х, у) = 2(1 - х)щ{у) + 4(1 - х) ^ ип(у) соб(27гпх) + 4 ^ ип(у) ът(21гпх),

П=1 71= 1

0.18) где функции щ{у), ип(у),уп(у) определены соответственно по формулам (0.15) — (0.17), но тп, ип — коэффициенты разложения функций т(х) и и(х) по системе {Ах 8т{2ттх)}, то, щ — коэффициенты разложения функций т(х) и р{х) по системе {1}, т\п, v\n — коэффициенты разложения функций т(х) и и(х) по системе {cos(27rn:c)}.

Теорема 0.3. Если существует решение задачи (0.4) - (0.6) и (0.8), то оно единственно.

При доказательстве используется полнота системы функций (0.12) в пространстве 1/2 [0,1].

Теорема 0.4. Если t(x),v(x) G С3[0,1] и т(0) = r(l), и(0) = z/(l), т'(0) = 0, v\0) = 0, т"(0) = т"(1), u"(Q) = и"(1), то существует решение задачи (0.4) — (0.6) и (0.8) и оно представило в виде суммы ряда (0.18), где функции щ(у)-,'и'п(у)-,^п(у) определены соответственно по формулам (0.15) — (0.17) с учетом новых значений коэффициентов тп, vn, tq, щ, т\п и ь>\п.

Решение задачи (0.4), (0.5), (0.9) и (0.10) построено в виде суммы ряда (0.14), где функции щ(у),ип(у),уп(у) определены соответственно по формулам: щ{у)

J±.(p0To)VT )у/у 2qa0 *Т '

Фо ~ Ч . , п т у + ъо, ь = 0 ,

0.19)

Un{v) =-Хф^)-^

Y^f)^, (0.20) q

2 qan n + S-Yr(pnTo)VT

2 q

7ГТ,

-УЛРпУ'Ш (0.21)

2qan г?

Теорема 0.5. Если существует решение задачи (0.4), (0.5), (0.9) и (0.10), то оно единственно только тогда, когда при всех п

6Т(п) = JjL(pnTq) ^ 0 (0.22)

2 q

Если нарушено условие (0.22) при некотором п = щ и Т = То, то однородная задача 1.3 (где т(х) = ф(х) ~ 0) имеет ненулевое решение у) = соъ(2кпох)у/уЗ±{рПоу(1).

Теорема 0.6. Существуют Т и постоянная Со > 0 такие, что при больших п справедлива оценка

Ы\т/п6Т(п)\ > С0 > 0. (0.23) п

Теорема 0.7. Если т{х),ф{х) е С3[0,1], 5т{п) ф 0 при всех п £ ./V, г(0) = т(1),ф(0) = ф( 1), т'(0) = 0, ^(0) = 0,т"(0) = т"(1),ф"(0) = ф"( 1), выполнены условия (0.22) и (0.23), то существует решение задачи (0.4), (0.5), (0.9), (0.10), и оно представимо в виде суммы ряда (0.14), где функции ио{у)^ип(у)^п(у) определены соответственно по формулам (0.19) — (0.21).

Аналогично обосновываются теоремы единственности и существования для задачи (0.4), (0.5), (0.9) и (0.11). Также в первой главе для уравнения колебания струны

Пи(х, ¿) = ии -ихх = 0 в прямоугольной области ф = {(я,£) | 0 < х <1,0 < £ < Т} изучена задача Ильина В. А. об управлении.

Задача 1.5. Найти в замкнутой области <5 функцию и(х,Ь) и соответствующие управления /¿(¿), и({), удовлетворяющие следующим условиям: и(х, г) е С(д) п с2(<Э), пи{х, г) = о, {х, г) е <2; и(х, 0) = <р(х), щ(х, 0) = ф(х), 0 < х < I] и{х,1) = ч>\(х), щ{х,1) = ф\(х), 0 <х<1, и(= и(1,г) = и(ь), о<г<т, где ip(x)^(x),ipi(x),^i(x) — заданные достаточно гладкие функции, причём tp(0) = /х(О), Vi(0) = МП <р(1) = 1/(0), <Р!(1) = и(Т).

Эта задача на управление впервые была решена В. А. Ильиным в классах функций W^iQ) и W${Q). Важными частными случаями задачи 1.5 являются задача о полном успокоении колебательного процесса и задача об отыскании таких граничных управлений /li(t) и u(t), которые для струны, находящейся в начальный момент времени t = 0 в покое, приводят ее в момент времени t = Т к наперед заданному смещению и скорости. Эти задачи рассматривались Ф.П. Васильевым, А.Г. Бутковским как в ситуации граничного управления на двух концах, так и в ситуации, когда управление ведётся только на одном конце, а другой конец закреплён.

В последнем параграфе данной главы выписаны в явном виде решение u(x,t) задачи 1.5 и соответствующие граничные управления ¡i(t) и v(t) при произвольном Т > 0 и установлены необходимые и достаточные условия принадлежности решения u(x,t) к классам Ck(Q), к = 0,1,2 .

Глава 2 посвящена изучению нелокальных граничных задач для вырождающегося эллиптического уравнения

Lu = ymuxx + иуу - b2ymu = 0, (0.24) в прямоугольной области Q. Для уравнения (0.24) в области Q исследованы следующие задачи.

Задача 2.1. Найти в области Q функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям: и{х, у) е C(Q) П C\Qu{x = 0} U {х = 1}) П С2(£); (0.25)

Lu = 0, (x,y)eQ; (0.26) и(х,0) = т(х), и(х,Т) = <р(х), 0<х<1\ (0.27)

О,у) = t*( 1, у), их(0, у) = О, 0 < у < Т, (0.28) где т(х), <р(х) — заданные достаточно гладкие функции, причём т(0) = т( 1), т'(0) = 0, ч>(0) = у>(1), <р'( 1) = 0.

Задача 2.2. Найти в области Q функцию и(х, у), удовлетворяющую условиям (0.24) - (0.26) и их(0, у) = их{ 1, у), м(1, у) = О, 0 < у < Т, (0.29) где т(х), ip(x) — заданные достаточно гладкие функции, причём т'(0) = т'( 1), т(1) = О, у/(0) = у/(1), <¿>(1) = 0.

Используя системы (0.12) и (0.13), решение задачи (0.25) - (0.28) построено в виде суммы ряда (0.14), где функции щ(у),ип(у), vn(y) определены соответственно по формулам: (р0-а10тоКфоТ^у/Т о (у) = <

2 í

Ро - го

Ь (poT^'VT -t^PW^Vy + «10-70K±(p0yq)Vyi b Ф °> у + r0, 6 = 0,

0.30) щп - w+(T) - alnrlnKj.(PnT^Vf Un{y) =-i,(PnT«)VT9

2 q ainTlnKj(pnyq)y/y + w+{y), (0.31)

2q ipn - alnTnKi(pnT4)Vr Vn{y) =-Ь (p TI)VT-+ ЪпТпКфпУ*)^, (0.32)

2 q где «ю = г7тт(^)% и ~ модифицированные функции Бесселя I и III рода порядка г/ = 1/2q соответственно,

ZiTT 71

У) = — ^Л(РгУ) - an/x (pnyq)){y2ql(l+

Q *Я *Я x+1(p„!,'))[ífx+1(p„!;9) + ^.(wOD

-2К1я(рпу*)1фпу1) - 211+фпу«)Кг1(рпу1)}+ +^anK^Pnf)y2^{ll(Pnf) - П -ЛРпУ^^РпУ4)},

Q 2 q *Я 2g

Vn-ai„TnKi{p„T>)y/T ""= 1фпТ*)</г •= аыТп' тп, <Рп — коэффициенты разложения функций т(х) и <р(х) по системе {4 sin(27rna:) го, (ро — коэффициенты разложения функций т(х) и ip{x) по системе {2(1 — х)}, ты> fin — коэффициенты разложения функций т(х) и <р(х) по системе {4(1 - х) cos(27rnrc)}.

Теорема 0.8. Если т(х), ip(x) G С3[0,1], т(0) = т( 1), у>(0) = т'(0) = О, </?'(0) = 0, т"(0) = т"{ 1), ^"(0) = ¥>"(1)» т0 существует единственное решение (0.25) — (0.28) и оно представимо в виде суммы ряда (0.14), где функции щ(у), ип(у), vn(y) определены соответственно по формулам (0.30)

0.32).

Решение задачи 2.2 построено в виде суммы ряда (0.18), где функции щ(у), ип(у), vn(y) определены соответственно по формулам (0.30) — (0.32), но тп, <рп коэффициенты разложения функций т{х) и ip(x) по системе {4a;sin(27rnx)}, го, (ро — коэффициенты разложения функций т(х) и ip(x) по системе {1}, т\п, (pin — коэффициенты разложения функций т(х) и <ç(x) по системе {cos(27rnz)}.

Теорема 0.9. Если т(х), ф) G С3[0,1], т(0) = т( 1), <¿>(0) = <¿>(1), т'(0) = 0, 0) = 0, т"(0) = т"{ 1), <р"(0) = у"(1), тпо существует единственное решение (0.25) — (0.27) и (0.29) и оно представимо в виде суммы ряда (0.18), где функции wo(у), ип(у), vn(y) определены соответственно по формулам (0.30)

0.32) с учетом новых значений коэффициентов тп, (рп, то, щ, т\п и ip\n. В главе 3 установлены критерии единственности и теоремы существования решений нелокальных задач для уравнения смешанного типа (0.2):

Lu = К(у)ихх + иуу - b2K(y)u = 0, где К (у) = sgny • \у\ш, m = const > 0, b = const > 0, в прямоугольной области D = {(ж, у)\ 0 < х < 1, -а < у < j3], а > 0, 0 < /3 < +оо.

Задача 3.1. Найти в области D функцию и(х, у), удовлетворяющую условиям: и(х, у) G C(D) nC\D U {я = 0} U {я = 1}) Г) C2(D+ U IL); (0.33)

Lu(x, у) = 0, (х, у) G D+ U IL; (0.34) и(х,(3) = (р(х), и(х, -а) = ф(х), 0 < х < 1; (0.35) и(0,у) = и(1,у), их{0,у) = 0, —а <у<(3, (0.36) где ip(x) и ф(х) - заданные достаточно гладкие функции, причем </?(0) = ^(1)) </>'(0) = 0, ф(0) = ф{ 1), ^(0) = 0, D+ = D п {у > 0}, IL = D П {у < 0}.

Задача 3.2. Найти в области D функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям (0.33) — (0.36) их{0,у) = их{1,у), п(1,2/) = 0, -а<у<(3, (0.37) где <р(х) и ф(х) - заданные достаточно гладкие функции, причем ip'(0) = <р'(1), <р{ 1) = 0, ф'(0) = ^(1), ^(1) = 0.

Задача 3.3. Найти в области D (где (3 = +ooj ограниченную функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям и(х, у) е C(D) f]C1(DU{x = 0}U{x = 1}) П C2(D+ U IL); (0.38)

Lu(x, y) = 0, (x, y) eD+ U D; (0.39) u(0,y) = u(l,y), ux(0,y) = 0, —a <y< +oo; (0.40) u(x,-a) = ф{х), 0 < x < 1, (0.41) где ф(х) - заданная достаточно гладкая функция, причем ф(0) = ф( 1), ^(0) = 0.

Используя системы (0.12) и (0.13), решение задачи (0.33) - (0.36) построено в виде суммы ряда (0.14), где функции щ(у), ип(у),уп(у) определены соответственно по формулам: ^у/ауА0(а, у) + ф0у/руА0(Р, у)

-ет-• г/>0'М0,

ИоЫ= -у)+ фо^Ао(0,-у) „

До {<х>0)у/<хр

-ф°{у + а) + ф0, 6 = 0,

Уп{у) = < а + Р <рПу/ау&п{а, у) + фпу/РуАп(у, (3)

Рпу/-ауВп(а, -у) + фпу/—(ЗуАп(—у, (3)

Ап{а,р)^ф , у/Щ[фы-'шп(а)]Ап(у,(3)

У> о, У<0, ип(у) = < л/^ац/Ьь ~ гу+((3)]Вп{а, -у) ™п{у), У< о, где

А п(«, У) = ЫРпа^Кфпу«) +

2д

2,

2?

2? 1±(РпРя)Кфпу«) - 1фпуЧ)КфпП

2?

2»

2«

0.42)

0.43)

0.44)

Яя(а, -у) = ПЫ-у)9)^(Р»«') " Ы-у)9),

Zq ¿д ¿ф ¿ц

УфпУя) = 7гШРпу^фпу^))/28т[к/{2д)}, Д0(а,у), А,(у,/?), Д)(а, -у), До(~У,Р) определяются соответственно через Дп(а,у), Ап(у,(3), Вп{а,—у), Дп(—у,/?) при п = 0, фп — коэффициенты разложения функций (р(х) и ^(ж) по системе (48т(27гпж)}, (ро, фо — коэффициенты разложения функций ip(x) и ф(х) по системе {2(1 — ж)}, <р\п, ф\п — коэффициенты разложения функций <р(х) и ф(х) по системе {4(1 — х) cos(27rnrc)}.

Теорема 0.10. Если существует решение и(х,у) задачи (0.33) — (0.36), то оно единственно тогда и только тогда, когда при всех п

Ап(а,(3) = J г (рпоР)К±.(pnF) + /i (iWJ»)Fi (рпа«) ф 0. (0.45)

2 g 2 g 2 g 2g

Если при некоторых а, (3 и п = к нарушено условие (0.45), т. е. Д^а, /?) = 0, то однородная задача (0.33) - (0.36) (где <р(х) = ф(х) = 0) имеет нетривиальное решение

J Ak(a,y) cos(27rfor), у > 0, Uk(x,y) = < Ak(-y,P)cos(2nkx), у< 0.

Теорема 0.11. Существуют а > 0 и постоянная Cq > 0 такие что при всех /3 > 0 и больших п справедлива оценка mi\y/n5n(a,p)\ >Со> 0, (0.46) п где

Kdpn0")

2g

Теорема 0.12. Пусть ф) G С3[0,1], ф{х) G С3+т[0,1], \ < 7 < 1, <¿>(0) = tp{ 1), ф(0) = ф(1), <^(0) = 0, ф'(0) = 0, </(0) = <р"(1), ф"{0) = ф"{ 1) и выполнены условия (0.45) и (0.46). Тогда задача (0.33) — (0.36) однозначно разрешима и это решение определяется рядом (0.14), где функции щ{у),ип(у),уп(у) определены соответственно по формулам (0.42) — (0.44).

На основании систем (0.12) и (0.13) решение задачи 3.2 построено в виде суммы ряда (0.18), где функции щ(у),ип(у),уп(у) определены соответственно по формулам (0.42) — (0.44), но здесь (рп, фп — коэффициенты разложения функций ip(x) и ф(х) по системе {4xsin(27rna;)}, сро, фо — коэффициенты разложения функций (р(х) и ф{х) по системе {1}, ipin, ф\п — коэффициенты разложения функций ip(x) и ф(х) по системе {cos(27rna;)}.

Теорема 0.13. Если ф) в С3[0,1], ф(х) 6 С3+7[0,1], \ < 7 < 1, ^'(0) = у/(1), V'(0) = V>'(1), *>(1) = 0, ф(1) = 0, = </(1), Г(0) = <(1) « выполнены условия (0.45) и (0.46), то существует единственное решение задачи (0.33) — (0.35), (0.37) и оно представимо в виде суммы ряда (0.18), где функции щ(у),ип(у),ип(у) определены соответственно по формулам (0.42) — (0.44) с учётом новых значений коэффициентов <рп, фп, ipо, фо, <ры, Фы

Решение задачи 3.3 построено в виде суммы биортогонального ряда (0.14), где функции щ(у), ип(у), vn(y) определены соответственно по формулам: fk^Kifoi/iySoia), у > 0,

Zq

Му) = Фоу/^Уг.Ы-у)'1)/^), У < о, (°-47)

Фо, -а<у< 0, b = 0. Щ У №n - w;(a))^Y±.(pn(-y)<i)/ôn(a), у < 0, х i у> о. S 1 (0.49)

Теорема 0.14. Если существует решение и(х,у) задачи (0.38) - (0.41), то оно единственно тогда и только тогда, когда при всех п

5п(а) = Уфп^)ф 0. (0.50)

2 q

Теорема 0.15. Существуют а > 0 и постоянная Со > 0 такие, что при больших п справедлива оценка mî\^5n(a)\ >С0>0. (0.51) п

Теорема 0.16. Пусть ф(х) G С3+7[0,1], \ < 7 < 1, ф{0) = ф( 1), ф'{0) = 0, ф"(0) = ф"(1) и выполнены условия (0.50) и (0.51). Тогда задача (0.38) — (0.41) однозначно разрешима и это решение определяется рядом (0.14), где функции щ{у),ип(у),ип(у) определены соответственно по формулам (0.47) - (0.49).

Следствие. Построенные решения и(х,у) задач 3.1 — 3.3 принадлежат классу С2(И) и функции и(х,у) всюду в И являются решениями уравнения (0.2). Следовательно, линия изменения типа у = 0 уравнения (0.2) как особая линия устраняется.

На защиту выносятся следующие результаты:

1) доказательство единственности и существования решений нелокальных начально-граничных задач и нелокальных граничных задач для вырождающегося уравнения гиперболического типа;

2) найдено в явном виде решение задачи на граничное управление для уравнения струны и установлены необходимые и достаточные условия принадлежности решения к классам Ск(С}), к = 0,1,2;

3) доказательство единственности и существования решений нелокальных граничных задач для вырождающегося уравнения эллиптического типа;

4) доказательство единственности и существования решений нелокальных граничных задач для вырождающегося уравнения смешанного типа в прямоугольнике и в полуполосе, при этом установлен критерий единственности и решение задач построено в виде суммы биортогонального ряда.

Основные результаты по теме диссертации опубликованы в работах [79] -[86] автора.

1. Бабенко, К.И. К теории уравнений смешанного типа: дисс. докт. физ.-мат. наук: 01.01.02/ К.И. Бабенко - Москва, 1952.

2. Бабенко, К.И. О принципе максимума для уравнения Эйлера — Трикоми / К.И. Бабенко // Докл. АН СССР. 1985. - Т. 285. - № 4. - С. 777 -782.

3. Бабенко, К.И. О задаче Трикоми / К.И. Бабенко // Докл. АН СССР. -1986. Т. 291. - № 1. - С. 14 - 19.

4. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. -М.: Наука, 1966. Т. 2. 296 с.

5. Берс, Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики / JI. Берс. -М.: ИЛ, 1961. 208 с.

6. Бицадзе, A.B. Уравнения смешанного типа / A.B. Бицадзе. — М.: Изд—во АН СССР, 1959. 164 с.

7. Бицадзе, A.B. О некоторых простейших обобщениях эллиптических задач / A.B. Бицадзе, A.A. Самарский // Докл. АН СССР. 1969. - Т. 185. -№ 4. - С. 739 - 740.

8. Бицадзе, A.B. К теории нелокальных краевых задач / A.B. Бицадзе // Докл. АН СССР. 1981. - Т. 277. - № 1. - С. 17 - 19.

9. Бицадзе, A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных / A.B. Бицадзе. М.:Наука, 1981. - 448 с.

10. Ватсон, Г.Н. Теория бесселевых функций.1./ Г.Н. Ватсон. — М.: ИЛ, 1949.- 421 с.

11. Гудерлей, К.Г. Теория околозвуковых течений / К.Г. Гудерлей. —М.: ИЛ, 1960. 421 с.

12. Джураев, Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов / Т.Д. Джураев —М.: ИЛ, 1961. — 208 с.

13. Жегалов, В. И. Краевая задача для уравнения смешанного типа с граничным условием на обеих характеристиках и с разрывами на переходной линии / В.И. Жегалов // Уч. записки Казанск. ун-та — 1962. — Т. 122.- кн. 3. С. 3 - 16.

14. Жегалов, В.И. Задача Франкля со смещением / В.И. Жегалов // Изв.Вузов.Математика. 1979. - № 9. - С. И - 20.

15. Жегалов, В. И. Нелокальная задача Дирихле для уравнения смешанного типа / В.И. Жегалов // Неклассич. уравнения матем. физики. — Новосибирск: ИМ СО АН СССР. 1985. С. 168 - 172.

16. Ильин, В.А. Нелокальная краевая задача для оператора Штурма-Лиувилля в дифференциальной и разностной трактовках / В.А. Ильин, Е.И. Моисеев // Докл. АН СССР. 1986. - Т. 291, № 3. - С. 534 - 539.

17. Ильин, В.А. Нелокальная краевая задача второго рода для оператора Штурма-Лиувилля / В.А. Ильин, Е.И. Моисеев // Дифференц. уравнения. 1987. - Т. 23, № 8. - С. 1422 - 1431.

18. Ильин, В.А. Граничное управление процессом колебаний на двух концах / В.А. Ильин // ДАН. 1999, Т. 369, №5. С. 592 596.

19. Ильин, В.А. Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах за произвольный промежуток времени / В.А. Ильин // Дифференц. уравнения. 1999. - Т. 35, №11. - С. 1517 - 1534.

20. Ильин, В.А. Граничное управление процессом колебаний на двух концах в терминах обобщённого решения волнового уравнения с конечной энергией / В.А. Ильин // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, №11. С. 1513 - 1528.

21. Ильин, В.А. Граничное управление процессом колебаний струны на двух концах при условии существования конечной энергии / В.А. Ильин // Докл. РАН. 2001, Т. 376, №3. С. 295 299.

22. Ионкин, И. И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием / Н.И. Ионкин // Дифференц. уравнения. 1977. - Т. 13, № 2. - С. 294 - 304.

23. Ионкин, Н.И. Об устойчивости одной задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием / Н.И. Ионкин // Дифференц. уравнения. 1979. - Т. XV, № 7. - С. 1279 - 1283.

24. Ионкин, Н.И. О задаче для уравнения теплопроводности с двуточечными краевыми условиями / Н.И. Ионкин, Е.И. Моисеев // Дифференц. уравнения. 1979. - Т. 15, № 7. - С. 1284 - 1295.

25. Калиев, И.А. Математические модели фазовых переходов / И.А. Калиев.- Новосибирск: ИГ СО РАН, 2002. 166 с.

26. Калиев, И.А. Истечение вязкого теплопроводного газа из нецилиндрических убывающих по времени областей / И.А. Калиев, М.С. Подкуйко // Докл. РАН. 2006. - Т. 408, №2. - С. 165 - 167.

27. Кожанов, А.И. Краевые задачи и свойства решений уравнений третьего порядка / А.И. Кожанов // Дифференц. уравнения. 1989. - Т. 25, № 25.- С. 2143 2153.

28. Кожанов, А.И. Краевые задачи с интегральным граничным условием для многомерных гиперболических уравнений / А.И. Кожанов, JI.C. Пульки-на // Докл. РАН. 2005. - Т. 404, № 5. - С. 589 - 592.

29. Лебедев, H.H. Специальные функции и их приложения / H.H. Лебедев.- М.: Мир, 1963. 471 с.

30. Лернер, М.Е. Об одной задаче с двумя нелокальными краевыми условиями для уравнения смешанного типа / М.Е. Лернер, O.A. Репин // Сиб. матем. журнал. 1999. - Т. 40. - М. - С. 1260 - 1275.

31. Лернер, М.Е. О задачах типа задачи Франкля для некоторых эллиптических уравнений с вырождением разного рода / М.Е. Лернер, O.A. Репин // Дифференциальные уравнения. 1999. - Т. 35, №8. - С. 1087 - 1093.

32. Лернер, М.Е. Нелокальные краевые задачи в вертикальной полуполосе для обобщённого осесимметрического уравнения Гельмгольца / М.Е. Лернер, O.A. Репин // Дифференциальные уравнения. — 2001. — Т. 37, №11. С. 1562 - 1564.

33. Моисеев, Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром / Е.И. Моисеев. М.: МГУ, 1988. - 150 с.

34. Моисеев, Е.И. О решении спектральным методом одной нелокальной краевой задачи / Е.И. Моисеев // Дифференциальные уравнения. — 1999. — Т. 35, Ш. С. 1094 - 1100.

35. Моисеев, Е.И. О разрешимости одной нелокальной краевой задачи / Е.И. Моисеев // Дифференциальные уравнения. — 2001. — Т. 37, №11. — С. 1565 1567.

36. Нахушев, A.M. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа / A.M. Нахушев // Дифференц. уравнения. 1969. - Т. 5, № 1. - С. 44 - 59.

37. Нахушев, A.M. Критерий единственности задачи Дирихле для уравнений смешанного типа в цилиндрической области /A.M. Нахушев // Дифференц. уравнения. 1970. - Т. 6, № 1. - С. 190 - 191.

38. Нахушев, A.M. Уравнения математической биологии / A.M. Нахушев. — М.: Высшая школа, 1995. — 301 с.

39. Нахушева, З.А. Об одной нелокальной задаче для уравнений в частных производных / З.А. Нахушева // Дифференц. уравнения. 1986. - Т. 22, № 1. - С. 171.

40. Нахушева, З.А. Первая и вторая краевые задачи для параболического уравнения второго порядка / З.А. Нахушева // Дифференц. уравнения. -1990. Т. 26, № 11. - С. 1982 - 1992.

41. Прудников, А.П. Интегралы и ряды. Специальные функции / А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев — М.: Наука. — 1983. — 752 с.

42. Пулъкина, Л.С. Смешанная задача с нелокальным условием для гиперболического уравнения / JI.C. Пулькина // Неклассич. уравнения матем. физики. Новосибирск: ИМ СО РАН, 2002. С. 176 - 184.

43. Пулъкина, Л.С. Нелокальная задача с интегральным условием для гиперболических уравнений / J1.C. Пулькина // Дифференц. уравнения. -2004. Т. 40, ДО 7. - С. 887 - 892.

44. Репин, O.A. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа в области, эллиптическая часть которой — полуполоса / O.A. Репин // Дифференциальные уравнения. 1996.- Т. 32, №4. - С. 565 - 567.

45. Репин, O.A. Нелокальная задача A.M. Нахушева для уравнения смешанного типа / O.A. Репин // Вестник СамГТУ. 2001. - № 12. - С. 5 -9.

46. Сабитов, К.Б. Уравнения математической физики / К.Б. Сабитов — М.: Высшая школа, 2003. — 256 с.

47. Сабитов, К. Б. Задача Дирихле для уравнений смешанного типа в прямоугольной области / К.Б. Сабитов // Докл. РАН. 2007. - Т. 413, № 1. - С. 23 - 26.

48. Сабитов, К.Б. К теории уравнений смешанного типа с двумя линиями изменения типа / К.Б. Сабитов, Г.Г Биккулова, А.А. Гималтдинова — Уфа.: Гилем, 2006. 150 с.

49. Салахитдипов, М.С. Уравнения смешанно-составного типа / М.С. Сала-хитдинов. — Ташкент: Фан, 1974. — 156 с.

50. Самарский, А.А. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений / А.А. Самарский // Дифференц. уравнения. 1980. - Т. 16, № И. - С. 1925 - 1935.

51. Скубачевский, A.JI. Нелокальные эллиптические задачи с параметром / A.JI. Скубачевский // Матем. сборник. 1983. - Т. 121, № 2. - С. 201 -210.

52. Смирнов, М.М. Уравнения смешанного типа / М.М. Смирнов. — М.: Наука, 1970. 296 с.

53. Смирнов, М.М. Уравнения смешанного типа / М.М. Смирнов. — М.: Высшая школа, 1985. 304 с.

54. Соболев, С. JI. Пример корректной краевой задачи для уравнения колебания струны с данными на всей границе / C.JI. Соболев // Докл. АН СССР. 1956. - Т. 109, № 4. - С. 707 - 709.

55. Солдатов, А.П. Об одной задаче теории функций / А.П. Солдатов // Дифференц. уравнения. 1973. - Т. 9, № 2. - С. 325 - 332.

56. Солдатов, А.П. Решение одной краевой задачи теории функций со смещением / А.П. Солдатов // Дифференц. уравнения. 1974. - Т. 10, № 1.- С. 143 152.

57. Солдатов, А.П. Задача типа Дирихле для уравнения Лаврентьева — Би-цадзе. I. Теоремы единственности / А.П. Солдатов // Докл. РАН. 1993.- Т. 332, № 6. С. 696 - 698.

58. Солдатов, А.П. Задача типа Дирихле для уравнения Лаврентьева — Бицадзе. II. Теорема существования / А.П. Солдатов // Докл. РАН. -1993. Т. 333, № 1. - С. 16 - 18.

59. Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, A.A. Самарский. — М.:Наука, 1977. 735 с.

60. Трикоми, Ф. О линейных уравнениях в частных производных смешанного типа / Ф. Трикоми. М.: ИЛ, 1947. - 192 с.

61. Франклъ, Ф.И. О задачах Чаплыгина для смешанных до- и сверхзвуковых течений / Ф.И. Франкль // Изв. АН СССР. Серия математическая. — 1945. Т. 9. - №2. - с. 121 - 142.

62. Франкль, Ф.И. Обтекание профилей потоком дозвуковой скорости со сверхзвуковой зоной, оканчивающейся прямым скачком уплотнения / Ф.И. Франкль // ПММ.- 1956.- Т. 20. №2. - с. 196 - 202.

63. Франклъ, Ф.И. Избранные труды по газовой динамике / Ф.И. Франкль.- М.: Наука, 1973. 703 с.

64. Хачев, М.М. Задача Дирихле для уравнения Трикоми в прямоугольнике / М.М. Хачев // Дифференц. уравнения. Минск 1975. - Т. 11, № 1. - С. 151 - 160.

65. Хачев, М.М. Задача Дирихле для одного уравнения смешанного типа / М.М. Хачев // Дифференц. уравнения. Минск 1976. - Т. 12, № 1. - С. 137 - 143.

66. Хачев, М.М. Первая краевая задача для линейных уравнений смешанного типа / М.М. Хачев. — Нальчик. Изд. "Эльбрус". 1998. — 169 с.

67. Фокин, М.В. О задаче Дирихле для уравнения колебания струны / М.В. Фокин. //В кн.: Корректные краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. — Новосибирск. — 1981. С. 178 — 182.

68. Шабат, Б. В. Примеры решения задачи Дирихле для уравнения смешанного типа / Б.В. Шабат // Докл. АН СССР. 1957. - Т. 112, № 3. - С. 386 - 389.

69. Cannon, J.R. Dirichlet problem for an equation of mixed type with a discontinius coefficient / J.R. Cannon // Ann. Math, pura ed Appl., 1963.- V. 62. P. 371 - 377.

70. Dunninger, D. The condition for uniquencess of solution of the Dirichlet problem for the wave equation in coordinate rectangles / D. Dunninger, E. Zachmanoglou // J. Math. Anal, and Appl., 1967. - V. 20. № 1.- P. 17 -21.

71. Eutiquio, С. Uniqueness of solutions of the Dirichlet problem for singular ultrahyperbolic equations / C. Eutiquio, F. Young // Proc. of Amer. Math. Soc., 1972. - V. 36. № 1.- P. 130 - 146.

72. Gellerstedt, S. Sur un problème aux limites pour une equation lineare aux derivees partielles du second order de type mixte: These pour le doctorat. — Uppsala, 1935. 92 p.

73. Young, F. Uniqueness of solutions of the Dirichlet problem for singular ultrahyperbolic equation / F. Young // Proc. of Amer. Math. Soc., 1972. -V. 36. № 1.- P. 130 - 136.

74. Сабитова, Ю.К. О граничном управлении на двух концах процессом, описываемом телеграфным уравнением /Ю.К. Сабитова // Труды всероссийской научной конференции "Современные проблемы физики и математики". СГПА, СФ АН РБ. Уфа: Гилем, 2004. - С. 93 - 103.

75. Сабитова, Ю.К. О гладкости решения задачи граничного управления на двух концах для уравнения струны / Ю.К. Сабитова // Дифференц. уравнения. 2006. - Т. 42, № 1. - С. 132 - 134.

76. Сабитова, Ю.К. О гладкости решения задачи граничного управления на двух концах для уравнения струны за произвольный промежуток времени / Ю.К. Сабитова // Дифференц. уравнения. 2006. - Т. 42, № 8. - С. 1140 - 1142.

77. Сабитова, Ю.К. Нелокальная задача для вырождающегося уравнения смешанного типа / Ю.К. Сабитова // Материалы конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения". Самара: "Универс—групп".2007. С. 101 - 106.