Краевые задачи для нагруженных дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

н£шанАжн@ЛАКАдаш нот республики Казахстан

ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

На правах рукописи

ДЩЦДИЕВ Мувапархая Тонабаевдч

КРАЕВЫЕ а\ДАЧИ ДШ НАШХЕВШХ щдашшьшх УРАВНЕНИЙ

01.01.02 - Даффоронгщальяыо уравнения

фНг'

АВТОРЕФЕРАТ даосортацза на соасяаняо ученой степввн доктора фазпко-мате^тачоских наук

Алматгн - 1993

Работа выполнена в лаборатории уравнений математической физики Института теоретической и прикладной .математики Национальной академии науя Республики Казахстан

-Ведущая организация: Московский государственшй университет

им, Ы.В.Лоыонооова

Официальные оппоненты: член-ксгр.РАН, академик HAH KP, д.ф.-м.н., проф. Иманалиев М.И; академик Адыгской (Черкесской) международной АН,. д.ф.-м.я.,

проф. Нахушвв A.M. член-кор,HAH PK, д.ф.-м.н., проф. Отелбаев М.О.

Защита состоится " " СрВ^яиЛ 19э4г. час. 00 мин, на заседании специализированного совета Д 53*04.01 при Институте теоретической и прикладной математики HAH PK ( 460Q2I Алматы, ул. Пущина, 125).'

С диссертацией можно ознакомится в Центральной научной библиотеке HAH PK.

Автореферат разослан «30« HOSiSpSb щ3 г.

Ученый секретарь специализированного совета, к.ф.-м;н. X^v,

Кулахметова А.Т.

ОЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Работа посвящена изучению неоднородных краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнения:

Жа а \£и(х) +Л1и(Х) = в области С с (I)

где сО - дифференциальный оператор, а Л или интегродифференциальный оператор, включающий оператор взятия следа от искомой функции на многообразиях из замыкания О. размерности строго меньше N ,

Интерес к этим проблемам, презде всего, связан с тем, что решение многих важных задач по управлению агроэкосистемой, например, задач долгосрочного прогнозирования и регулирования уровня грунтовых вод и почвенной влаги, сводятся к изучению уравнения вида (I). Эти уравнения возникают при исследовании нелинейных уравнений, задач оптимального управления, обратных задач, при численно« решении интегродифференцигльных уравнений, при преобразовании нелокальных задач к локальный: и т.д. При этой наличие нагруженного оператора аМ не позволяет непосредственно применить известную теорию краевых задач для уравнений вида: а »,

¡¿ч(х) = ¿(х.), хе Я с (2)

Хорошо известно, что один из центральных вопросов в теории граничных задач для уравнений в частных производных - это вопрос о корректном выборе функциональных пространств для решений этих задач, для правых частей и соответствующих граничных условий. Это в полной мере относится и я краевым задачам для уравнения (I).

Эти вопросы для уравнения (2) когда ^ - эллиптический, - 3 -

параболический ш гиперболический оператор достаточно полно ас-следован в работах С.Л.Соболева, К.О.Фрвдрихса, М.И.Вишка, B.C. Владимирова, С.J.I.Никольского, Ж.-Л.Лиояса, Л.Д.Кудрявцева, П.Гри-вара, й.А.Дубпнсхого, О.А.Ладасгонской, В.А.Солонникова и целого ряда других математиков. Однако эти результаты непосредственно не применимы к уравнениям, вида (I).

Исторически сложилось так, что первые работы по нагруженным уравнениям были посвящены нагруженным интегральным уравнениям, когда в (I) % - интегральный оператор, а \М - интегральный оператор по многообразиям размерности строго меньше N . Здесь отмотпп исследования (1914г.), i<f, WicA-tetuVteiiU

(1931г.), Н.М.Гюнг0ра С1932г.), А.Н.Кркяова (1932г.), а также более поздние, Н.Н.Назарова (1948г.), А.Ш.Габаб-заде (1959г.), А.Д. Искевдерова, В.ГЛ.Будака (1967, 1971гг.), С;(1972г.), (1977г.), (Г980г.), £ УМогир (1975,

1980гг.) и др. Что касается нагруженных дифферонциальных к кнте-гроднффоренцаальнызс уравнений, то их' применяли в своих работах II .Н .Кочана (1971-73гг.), С.М.Гарг (1951г.) а др. Тем не менее, принятое сейчас в научной литература, общов определение нагруженных уравнений бьио дано сравнительно недавно A.M.Катушевым (1976г.). Именно работы А.М.Нахушева и его учеников дала начало интенсивному и систематическому изучению краевых задач для уравнений вида (I). В их работах исследовались вопросы существования и единственности решения уравнения (I) в классах непрерывных функций. Однако вопросы обобщенной разрешимости (напрмор, в со-болевекпх классах) оставались малоизученяшн, и но ставились вопросы выбора соответствующих функциональных пространств, в которых краевые задачи дом уравнения (I) бшш бы поставлены корректно. Отметим, что нагруженные уравнения вада (I) могут

содержать дробные производные от следов искомой функдии как по временной, гак и по пространственным независимым перегонным. В вышеуказанных работах по таким уравнениям изучались задачи с дробными производными по временной переменной, определяете з смысле Р-имшга-Лиувклля, что диктуется с поиском решения в классах непрерывных функций. Однако задачи, содержите дробные про-иззодшв по пространственным переменным, не менее интересны, к они никем ранее не ставились и не изучались.

Отметим, пго в последнее время, повысился интерес к задачам, краевые условия которых содерглт производные по времени. Они моделируют различные физико-технические процессы и возникает при исследовании задач со свободной границей, задачи Стефана и т.д. -Это работы Базошй Б.З., Солонникова Б.А., Фроловой Е.З,, Радкевич Е.В, и др. Такие задачи изучались такте Тихонова А.Н,, Митропольским D.A., Нажникоы Л.Б,, Кульчицким З.Л., Годуновым С.К., Гордиенко З.М., dlji/a.takc Яненно H.H., Федосовым З.П, и'др. Аналогичные задачи для нагруженных уравнений (I) ранее но изучались.

Все это подчеркивает как теоретическую, так и практическуи актуальность постановки и исследования краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнения вида (I) на предмет существования и единственности обобщенного решения..в соболевских классах. Эти r.ß вопросы актуальны и для уравнений (I), содержащих производные по времени высокого порядка как в уравнении, так и б граничных (по пространственным переменным) условиях. Отметим, что наличие з уравнении (I) слагаемого вида JJlil ведет к новым не исследованным еще проблемам в теории граничных задач.

Цель работа. Постановки неоднородных краевых задач для на- 5 -

груженных дифференциальных уравнений (I) и исследование их обобщенно;; разрешимости в соболевских классах. Описание прост-" ранств решений и функций, задающих правые части и граничные условия. Доказательство априорных оценок, обеспечивающих корректность краевых задач и точность выбранных пространств.

.Методика исследования. В работе применяется метод'априорных оценок исследования краевых задач, используются методы общей теории дифференциальных уравнений с частными производными и функционального анализа, в частности, теория функциональных пространств Соболева. Существенный моментом в диссертации является тот факт, что метод априорных оценок применяется для существенно несимметричных, не имеющих самосопряженных расширений, краевых задач, и система граничных (по пространственным переменным)

«

операторов удовлетворяет лишь только условию нормальности. Что касается условий дополнительности (накрывания), то их выполнение специально не требуется, а иногда ойи заведомо нарушаются (задачи с производными по времени в граничных условиях).

Научная новизна. В работе предлагаются постановки новых корректных краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений с частными производными вида (I) в соответствующих функциональных пространствах Соболева. Основные результаты диссертации являются новыми . к опубликованы* в работах автора.

К основным результатам диссертации могут быть отнесены: I). Сформулированы задачи Дирихле или Неймана для нагруженных эллиптических уравнений высокого порядка, доказаны теоремы об их однозначной разрешимости в соответствующих факторпростран-ствах при выполнении условий ортогональности на функции, задающих правые части уравнений и граничных условий. Показано, что эти задачи является негеровыми.'

- 6 -

2). Для нагруженного эллиптического уравнения высокого порядка поставлены задачи Неймана с производными по времен:* первого или второго порядна з нелокальлга: (нагруженных) граничных условиях. Осуществлен выбор функциональных пространств, з которых эти задачи поставлены корректно.

3). Для нагруженного эллиптического уравнения второго порядка изучены дифференциальные свойства его реиения з некоторой шкале функциональных пространств Соболева.

4). Сформулированы начально-граничные задачи для нагруженных параболических и гиперболических уравнений высокого порядка с граничными условиями Дирихле или Неймана, доказаны теорем об их однозначной обобщенной разреаиностн.

5). Для нагруженных параболических и гипербэлических уравнений высокого порядка поставлены начально-граничные задачи с производными по времени первого или второго порядка в нелокальных (нагруженных) граничных условиях Неймана, доказаны теоремы существования й единственности решений этих задач.

6). Для нагруженного параболического уравнения второго порядка изучены дифференциальные свойства решений; а также краевые задачи с нерегулярными (т.е. не обязательно ограниченными) коэффициентами при нагруженных слагаешх. Дня этих задач установлены теоремы об их однозначной обобщенной разрешимости.

7). Изучен некоторый класс дифференциально-операторных уравнений 1-го,2-го порядка, который включает в себя широкий класс нагруженных дифференциальных уравнений 1-го,2-го порядка по временной переменной. Доказаны теореш о сильной и слабой разрешимости граничных задач для дифференциально-операторных уравнений 1-го,2-го порядка, и как ик приложение получен ряд результатов для нагруженных дифференциальных уравнений.

- 7 -

3). Сформулированы краевые задачи для нагруженных дифференциальных уравнений с производными 1-го,2-го порядка по времени в нелокальных (нагруженных) граничных условиях, доказаны теоремы об их однозначной сильной и слабой 'разрешимости. 1

9). Полученные результата по нагруженным дифференциальным уравнениям применяются при исследовании некоторых задач оптимального управления процессами, описываемыми уравнениями.в частных производных. Эти результаты имеют некоторый практический интерес.

Достоверность результатов. Все результаты диссертации сформулированы в виде теорем,- лет и следствий и математически полностью доказаны.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. В ней разработан вариационный метод'исследования ряда краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений в частных производных.-Приведены некоторые применения к задачам оптимального управления, имеющим прикладное значение. Результаты, полученные в диссертации, могут служит вкладом в интенсивно развиваемую в последние годы теорию нагруженных уравнений. Они могут также служить теоретической основой при исследовании процессов, описываемых нагруженнши уравнениями} а такяе при обосновании численных методов их решения.

Апробация работе.. Основные результаты диссертации неоднократно домадавались в, период с 1985 по 1992 гг. на научном семинаре по уравнениям математической физики (руководители чл.-корр. АН Hi, проф. КимЕ.И., Д.ф.-м.н., проф. Харик С.Н., к.ф.-м.н., доц. Орынбасаров М.О,,, г. Алма-Ата); по проблемам оптимального управления (рук. д.т.н., проф. Айсагалиев С.А., КазГУ им. Аль-Фараби, г. Алма-Ата); а такке на научных семинарах, руководимых д.ф.-м.н., проф. Нахушевым A.M. (КБГУ, ИПМиА, г. Нальчик), д.ф.~

- 8 -

м.н., проф. Моисеевым Е.И. (МГУ ВМК, г. Москва), д.т..\, проф. кротовым В.Ф. (ИПУ АН РАН, г. Москва), д.т.н., проф. Г.-рманом В.И. (ИЛУ, г. Иркутск), д.ф.-м.н., проф. Умбетжаяовым и д.ф.-м. н. Рахимбердиевш (ИПТ.1 АН РК, г. Алма-Ата), чл.-корр. АН РК, д.ф.-м.н., проф. Бяиевыи Н.К. (ЮТЫ АН Ш, г. Алма-Ата).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 22 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертедия состоит из введения, пяти глав и списка литература. Список литературы включает 228 наименований. Работа содержит 322 страниц машинописного текста. '

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ. Во введении дана общая характеристика работы и краткий обзор литературы, примыкающей к тематике диссертации. Здесь не приведен обзор содорглшя диссертации.

Глава I._Краес110_зддачи для нагрренных эялиптотеских уравнений. Глава, Г содержит шесть параграфов и приложение.

В § 4 приведены основные определения и постановки изучаемых в этой главе задач. Пусть З^ч"/ » о - граничные опера-

торт, составляющие системы Дирихле порядка Ч Тогда согласно формуле Грина для У П. , V £$)(§■) справедливы соотношения:

гг-1 гч _

ц.у¿Х ^ а(и,и) -Е ш-и-Р.-у^, г-аа, (3)

р <1 о

5и-Д%<*х « а(ид) - £ к^Ф^б, а ей*, (4) о. . ¿.«О р а д

где Лф = И (П)%1(а (Х)^), (5,

|0Г|,1рЦ*Т1 -Г

I) Лионе Я.-Л, Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения.- М.: Мир, 1971.

-9 -

AV-r (б)

|otl,IJ5Ut!t * Г ж .

' аСФ, - s UttB(3c)D^ D> tix , (?)

l^ljilSW^ J ' "

= ^ UfVi^-^fuW. (8)

q г ' d '

Всвду в этой плаве предполагается выполненным условие H'YQ)- эллиптичности:

и acv,w > с; лиif* q Virc- Н"Чй).

(9)

В § 5 рассматривается задача Дирихле: Аи ~ЕЧ на & , (10)

Bj-U-^ наГ , ^«0,1,(II)

где Е¥ = Z I: W^DN^I , (12)

1=1 <«0 г *

S F: Ф = X. ^itCX)Vt Hx) , (13)

« i ' itls*^- a

при следующих условиях: .

di>n rltc = n - (С -1, tc« o,i,..., = mLn{n-±-Zm-l], uteat'y^ ^ - у , чил« ^ < ни - >

^-f\ f*/z, (M) —Л|г - оператор Яапласа-Бельтраш. LK Ск -10 -

Теорема 5.3. Пусть выполнены условия (14), (13). Тогда оператор 01 =■ , } задачи (10), (II), рассматриваемый как оператор Н(£2)->2"т'(Й) , имеет конечномерное ядро Кк^ , замкнутый образ = §(Г))Кек®г} и конечный индекс£) , т.е. оператор $ определяет (алгебраический и топологический) изоморфизм из на т). Здесь

: Н, (15)

<5сг) - Ц11 ^ V н* " VЧг), з ш € и (д.) (15), [Е^^ат-,к«*^ 5 - -К <р £-*&>), асп ,

\фрсЬс + - о Ур

В $ 8 рассматривается задача Неймана: уравнение (10) и В^И - Е^ = у. иа Г, (16)

при следующих условиях:

(Цш Гс:к = И.-К-1 , к «О,1. =-имл^я.-!:

о

с0,1,^-1. (19)

Теорема 6.1. Пусть выполнены условия (14)', (17), (19). Тогда оператор = ...задачи (10),

(16), рассматриваемый как оператор

И(£2) Е~"Ч&)*П1НЛ"Т V),

имеет конечномерное ядро Кб'г ^ , замкнутый образ

и конечный индекс "^(Ф) -

Здесь ~ )А*- Е* - Е°* , Сс,:.., с„ }. Отметим, что в отличии от задач без нагруженных слагаемых, которые разрешимы однозначно-^ ^, мы имеем лишь только нетеровость исследуемых задач (теоремы 5.3', 6.Г).

В § 7 рассматривается краевая задача:

/к-| ' на 61=2*С0,Т), (20)

+ В¡4 - Е^-и - ^(х,*:) на ±»Г*Г0,Т),<21)

где Е V - ; Е1* \ еу«, |) [&Ч>(|)]<1* , (22) ' с р <Г 5 <)

<3 <) Л д д С у

при условиях на Г^к , (19) с заменой П

на П-1 , и Г^ - ы Г^П^охЩ!, С Г. (24)

Задача (20), (21) дополняется начальными условиями:

Теорема 7.1. Пусть выполнены условия (23), (24). Тогд^ задача (20), (21), (25) при любых |е1?Г0,Т>51

единственное решение К 6 ¿?Г0,Т; Н^О)) , которое непрерывно зависит от | , ^ , , ^ = -1 .

В § 8 рассматривается краевая задача: уравнение (20), условия (25) и

Iч ^ - Е*« на Х.^од.^-мг6)

Г' Г0'1'-^-.1- <27)

Теороиа 8.1. Пусть выполнены условия теоремы 7.I и дополнительно оператор Д (5) формально самосопряжен. Тогда задача (20), (25), (26), (27) при любых , ^ -вЩХ),

^ 6Н""ГГ{\Т), 6¿2(Г), ± , имеет един-

• - 13 -

ственное решение -И 6 Нт(&)) , которое непрерывно зависит

Здесь 'Г.- = порядок {Т: 5 ■ и ситема граничных операторов

Т Л У л о

накрывает1' оператор Н (5).

В § 9 установлены некоторые результаты для нагруженного эллиптического уравнения второго порядка. Они уточняют утверждения §§ 5-8. Приложение к этой главе дополняет доказательства теорем из §§ 5-9. ^

Глава П. Краевые задачи для нагр^енньгх параболических уравнений. Глава П содержит семь параграфов и приложение.

В § 10 приведены основные определения и постановки изучаемых в этой главе задач. Здесь предполагается, что коэффициенты операторов (3)-(7) зависят и от временной переменной, а также справедливы соответствующие формулы Грина, и форма (7) удовлетворяет условию -ноэрцитивности*^:

Яеаа^и) Ъ^С^-рт^.ЧтгеНЧв). (28)

Н (й) 1_| (й) В § II изучается краевая задача:

в\и + Аи - Ей на (29)

В|И = ^ на } = (30)

.на ; (31)

где В^. определено согласно (13) либо (17).

Справедливы следующие теоремы, доказанные в §§ II, 12. Теорема П.2. Пусть Т^бССО/Г] , Ги , Ш

удовлетворяет условиям (14), (13). Тогда задача (29)-(31) при любых , б (Г)) (33),

- 14 -

■UgeU'CQ) имеет единственное решение иeW(0,T) (32), ко- , торое непрерывно зависит от ^ ,Q , ^о • Здесь

eZfCO.T-S-"-(Q))}, (32)

LHoji&Cn) || | feL'foJi P V~V'%)),

ЭнГбМО.Т) <32), j^O.*-,-,1*"1}- <33)

Теорема 12.1. Пусть £ С СОД J . Ги , ПОЛ XJ,b) удовлетворяет условиям (14), (17). Тогда задача (29)-(.31) при

любад fgL^O.TjE-^Q» ,

j-« 0У1,...,-Jrt-1 tMc(:l3(Q) [шеет единственной решение U6 ¿WCOJ") (32), .которое непрерывно зависит от ^ , ^ ■ , js0/i/ W- £ , 11 в .

В § 13 изучается краевая задача: уравнение (29) с условиями (31) и (25), а такте

DiT.-K + В; 14 -Е> -6J-U = a. HaZ , Ш)

х i 4 J J

J.-0, .

Теорема I3.I. Пусть ^(t) , Г^ШеСЦО.Т] и , ,

тдлс Г. , тдх? U) ....

^ ucv ' и £ CJk J удовлетворяют условиям (14),

(19), (24),'(17), (23). Тогда задача (25), (29), (31), (3-4) при

лвбих jeLz(o,i^~^(Q)) ,<u0eLz(&), jjjtlKoji

H^'VV)), ty tfir), j~0,Lr..,n-l , млоот единственное

решение -ие^ОД") (32).

В § 14 изучается краевая задача: уравнение (29) с условия-" ми (31) и (27), а таюгго .....

^ в^ - Е^ - -«а х; (35)

Теорема 14.1. Пусть выполнены условия теоремы 13.1 и дополнительно оператор А (5) формально самосопряжен. Тогда задача (27), (29), (31), (35) при любы

£ — 0,...,-гл- I , имеет единственное ре-

шение -С{(3£!;-Ь) , удовлетворяющее условиям:

, ке^Го^Н^)),

В § 15 установлены некоторые утверждения для нагруженного параболического уравнения второго порядка, они уточняют результаты '§§ 11-14. Здесь же изучены дифференциальные свойства решений, а такяе разрешимость краевых задач при нерегулярных (т.е. не обязательно ограниченных) коэффициентах нагруженных слагаемых.

Краевым задачам для нагруженных линеаризованных уравнений Навье-Стокса посвящен § 16. Показано, что решения возмущенных линеаризованных нагруженных уравнений Навье-Стокса сходятся к решению невозыущенного линеаризованного нагруженного уравнения.

В приложении дано дополнение к доказательствам теорем 13.1,

14,1.

Глава Ш. Краевые задачи для нагруженных гиперболических " уравнений. Глава Ш содержит шесть параграфов и приложение.

- 16 -

В § 17 приведены основные определения и постановки изучаемых в этой главе задач. Здесь предполагается, что коэффициенты операторов (3)-(7) зависят ■ и от временной переменной, а также справедливы соответствующие фор,гулы Грина, и форта (7) удовлетворяет условию Нп&) -коэрцнгивности (28). § 18 посвящен изучению краевой задачи:

Щи + Аи - Ей на А, (36)

на (37>

и (.30), (31), (13); а § 19 - соответственно задачи:

уравнение (36) с условиями (37), (30), (31), (17). Доказаны следующие

Теорема 18.2. Пусть выполнены условия теоремы 11.2, и оператор А (5) формально самосопряжен. Тогда задача (36), (37),. (30), (31) при любых , % 6 , 13(Я), Ш,Ту

(дСГ)) (39) имеет единственное решение -Ц 6 "^ТОД") (38), которое непрерывно зависит от ^ , И0 , , ^ . Здесь

ж(о,т) = ьчо,т^чй», ъ^+Ашит), (38) ¿?го,т; $сг» = I £ е нт-тУА(п),

о

ЪьгеШ,Т) (38); ) . (39)

Теорема 19.1. Пусть выполнены условия теоремы 12.1. Тогда задача (36), (37), (30), (31) при любых |бИ(&) ,%бЬГФ),

, ^¿ЧО^Н^/'^СП), ¿"О,1.-»1*"1'

и]*оот единственное решение -Мб"У/СОД) (38).

§ 20 посвящен изучению краевой задачи: уравнение (36) с условиями (37), (34), (31); а § 2Г - соответственно задачи: уравнение (36) с условиями С37), (35), (40). Установлены следующие утверждения.

Теорема 20.1. Пусть выполнены условия теоремы 13.1, и оператор А (5) формально самосопряжен. Тогда задача (36), (37), (34), (31) при любых

^ = 0)-1 , имеет единственное решета (38),

которое удовлетворяет условиям:

Теорема 21.I. Пусть выполнены условия теоремы 20.1. Тогда задача (36), (37), (35), (40) при любых ^Ц^ГЙ) ,К0вНп,[Я),

имеет единственное решение -М е ^Г^Т) (38), удовлетворяющее условиям:

ЗЩесь на ^ - 0,- 1. (40)

В § 22 установлены некоторые утверздетм для нагруязнных уравнений гиперболического типа второго порядка, уточняющие результаты §§ 18-21 для изучаемых в этом параграфе задач. Приложение дополняет доказательство теоремы 21.1.

Г-лава_1У, Краевые задачи^ля^щфйе^е^^ально-операторщх: ¿гравнений , и нагруженные уравнения. Глава 17

содержит семь параграфов и прилоконие.

Краткие вводные замечания являются содержанием § 23. В § 24 установлены некоторые предварительные утверждения типа теорем ^ишка-Лаяса-Мильграма; даны определения слабого и сильного решения, которые согласуются с известными определения-

о)

шг', а также постановки задач, изучаемых в § 25. В § 25 изучается краевая задача:

ш + веша) + стим ± &й>,т), (41)

и(0) - 0, (42)

где А , ЪЮ , СШ - дифференциальные операторы по пространственным переменным (причем, определяет нагруженные слагаемые), удовлетворяющие условиям:

( Ъ. [Агг, V] > ^ Уи е V, <43)'

[ ( ~У~л -эллиптичность), [/41Г,1т] - непрерывна на\/^;

[ВСШ.аг] > ^ 1|1<г - \\ivf Ут/еУ* (44) ч

■ ' ( -коэрцитивность), [6и)1Г,Ь]- непрерывна на | для \/-£б[0,Т] ;

1СШУ,и] - непрерывна на Уа для УЬьЮ,Т], (45) .

где [• , •] - скалярное произведение элементов из , ,

С Н0 (влоление плотное и вполне непрерывное), 6 = 0.; С ; об ,

- некоторые гильбертовы пространства, определяемые 50С4) , Дезин Л.А.// Усп.матем.науя,•1959, т. 14, 3(87).

«5(B) и Sj(С) (области определения операторов А , В и С соответственно).

Рассматриваются следующие варианты: а), если V; CV4'* *о V ^Уа. , Н^Уа = Н« , И - И а * Н с ,УС С У , Ya ~ Й (АЧ*) (зашканиа в

норма Ид, ); ___

а), если , тоУсУв~Я(Ай), Н С Hft ~

У-Ус , 'H-Ht i

с), если зу^ , то У CV4 . И £УЙ = Иа ,

H = M^Ht , Ус £У ,

ЭдосьУС И (вложение плотное и вполне непрорывное) -гильбертовы пространства, определяемые согласно варианта« а), в) и с).

Зададим оператор A s

Акн D{ -u(t),

afAiYO Б* (42) j ; (46)

где Г = tf-tffO.TjH), t'-LHOW),

и запишем задачу (41), (42) в опараторюй фориа:

КА-М + JHK JV4l - j[ , ' (47)

где операторы К , JH. , IV соответствуют Д , В , С Доказаны следующие теорош.

Теорема 25.1« Пусть операторы /А , В и С удовлетворяют условиям (43)-(45), оператор А - (46). Тогда для вариантов в), с) при любом фиксированной if краевая за-

дача (41), (42) имеет единственное сильное реаекие Ike

€ 1*СЬЪУ)(\ §<5бЛ; ¿/СО,Т; 8) (К'У'))) . .

Теорема 25.2. При условиях теоремы 25.1. для вариантов в), с) при любом фиксированном ЦЧО.Т; ЭГК'уУ')))/

краевая задача (41), (42) имеет единственное слабое решение -и € ¿Л0Д;У) = Т , удовлетворяющее соотношению

ТУ) а ГЛ*; ЗДТ; а (К-У'))}. (48)

Для варианта а) - . Имеем

Теорема 25.3. При условиях теоремы 25.1 для варианта а) • при любом фиксированном краевая задача (41), (42) име- ■

ет единственное сильное решение -иб Т/1 §Ь(А; [КО^Т^оЬСКУ))).

Теорема 25.4, При условиях теоремы 25.3 при любом фиксированной -|<? 1Л0.Т; »(К;У'))))' краевая задача (41), (42) имеет единственное слабое решение М^У ~ [3(0,Т;V), удовлетворяющее соотношению (48).

В §§ 26-28 рассматриваются краевые задачи для нагруженных дифференциальных уравнений 1-го,2-го порядка (по временной пере-мешюй) с внутренне-краевыми условиями (по пространственным переменным) , которые могут содержать производные до времени произвольного конечного нечетного и частично четного порядка. Установлены теоремы о сильной и слабой разрешимости, аналогичные теоремам 25.1, 25.2.

В § 29 , как развитие"" " результатов §§ 25, 26, рассматриваются краевые задачи для дкффврэкцншгьяв-оааратортпс ур&внаяяй с производными по времени 1-го~2-го порядка. ................. Доказана теорема 29.1 , устанавливающая разрешимость в " совокупности гильбертовых пространств исследуемой

- 21 -

задачи. Приведеш пршмрз.

В приложении приведено определение промежуточных пространств согласно-'- ^, а также теорема о следах, используемая при постановке неоднородных -краевых задач этой главы.

Глава У, Некоторые задачи оптимального ¿ш^авления для на-гр^кенных ^гравнений. Глава У содержит пять параграфов.

§§ 30, 31 посвящены математическому обоснованию (разрешимости) условий оптимальности для задач управления правой частью и коэффициентами при нагруженных слагаемых параболического уравнения. Здесь используются результаты главы П.

В § 32 рассматривается сингулярная задача оптимального управления для бигармонического уравнения"^, связанная с неоднозначной разрешимостью краевой задачи, описывающей процесс управления. Установлена теорема о достаточных условиях оптимальности типа условий В.ф.Кротова^. 1

Вопросы регулярности ревения на границе для нагруженного волнового уравнения с однородными условиями Дирихле рассмотрены в § 34, а § 35 Е83ВЕЦЭЯ Еаг^ухзгши со "врэагая" уракгзяЕяи.

В § 33 исследуется задача оптимального, управления для параболического уравнения по фиксированным.многообразиям, которая сводился к изучению краевых задач для нагруженных параболических уравнений.

Кроме того в § 31 установлена достаточные условия абсолютного минимума и разработан алгоритм последовательного приблите-ния для задач управления коэффициентами при нагруженных слагаемых, Приведен прииер применения предлагаемого алгоритма.

^й.-Л.Лионе. Управление сишулярньш распределенными системами. М.: Наука, 1987.

4^В.$.Кротов, БЛ.Гушал. Метода и еадачи оптимального управления. Й.: Наука, 1973,

Пусть А линейный самосопряженный оператор, действующий в гильбертовом пространство Н , имеющий чисто 'точечный спектр, коммутирующий с'оператором Ю^ = d/dt и система собственных векторов , ^sj-^^...], которого составляет

базис Р исса в пространстве Н , ^ , 6 е У - система собственных значений, M(u = Af^iX - Aß'U., ti€ %(A); Af*, AßT неотрицательная и отрицательная части оператора А ; 4 б Ч * , если ^ > О ; S 6 ¡/° , если = О ; -5 б ^ , если ^-s < ^ ; IAI , О" положим равными I (единичному оператору). В § 35 для нагруженных попвременной" переменной операторов:

т. л

LKa s 4 Auft) 4 ZüylAI £Щ) , tt(o,L),

r i«L

где К i • г , cC.tQ c i , О К ti< < рассматриваются следующие задачи

¿^Kf-t) jib) на Го, A) , yM+itfO) - 0, JCU(i) - 0 • (49) ¿zU(i) « pi) m (0,1) , . U(0) - Ц«(0) - Oj (50) ¿2a(i) = |ct) на (0,1) , U(o) = iiil) * 0 . (51)

Для этих задач установлены следующие утверждения. Теорема 35.1. Задача (49) имеет единственное сильное решение Ü £ ¿5(0,1 i Н ) При произвольном элементе L?(0,l, И) • тогда и только тогда, когда

о Ф 1

У • -1 /

т. 9'-!., \

1 + (¿-ехрсун!), ^

м,

: ш! ^ * »

< «I

Теорема 35.2, Задача (50) имеет единственное сильное решение не ¿3(0,1; Н) при произвольной элементе тогда и только тогда, когда

' 1 . ¿»1

о ^ а + ¿е у,

¿*1

Теорема 35.3. Задача (51) 1щвог единственное сильное решение ^€-¿5(0,4} Н) при произвольной элементе ^¿5(0,1; Н) тогда и только тогда, когда

О Ф1 4

и

L h^^m^:

UV

i ~ l* l,..., Ht izy

I ' < = ' '

Здесь жо приведены притерт,. шшосгрирущиз результаты теорем 35.1 - 35.3 для' эллиптического, параболического и гиперболического уравнений. Пусть в (О,4) и

(w^f) ^ii/sct) л

й/ЗД = d „а X * f0( i) , tf ftf, = Ö naß . (52)

Согласно теореме 35.1 имеем

Теорема 35,4. Задача (52) имеет единственное сильное решение Ü6 Ц$(0.) при произвольном элементе U(0.) тогда и ' только тогда, когда •

1 + (&xyz expC'ityfy) ¿0,

Дано применение теоремы 35,3 я нелокальной задаче Бицадзе-Сймарского5^, сведенного Нахушйвш A.M. к локальной задаче для нагруженного эллиптического уравнения:^.,

5) Бицадзэ A.B., Самарский А.А.//ДАН СССР, 1969, 185, 4.

6) Нахушев A.M.//Дифф.уравнения, '1983, 19, I..

- 25 -

В ¡лпслкяении сформулированы основные выводы диссертационной работы, которые выносятся на защиту.

Основные положения диссертация опубликованы в следующих работах:

1. Джеяалиов М.Т. Достаточные условия оптимальности для уравнения параболического типа// Математическое моделирование и оптимальное управление/ КазГ7. - Алма-Ата, 1980. - С.129-137.

2. Дяеналпов М.Т. Достаточные условия оптимальности для одной системы о распределенными параметрами// Тезисы Ш Всосоюзн.

конф."Оптимальное управление в механических системах."./ Киевски! удаверептот. - Киев, 1979. - С.18-19.

3. Джоналиов Н.Т. Начально-краевая задача для нагруженного уравнения параболического тша// Теоретические я прикладные вопроси дафферонцпалышх уравнений/ КарГУ. - Караганда, 1986. - • С.70-76.

4. Джоналиов М.Т. Об оптимизация нагруженных параболических уравнений// Тезисы Всосоюзн. конф."Классические и некласскчоскио краевые задачи для*дифференциальных уравнений о частными производными, специальные функции, интегральные уравнения и их приложения"/ Под.институт. - Куйбыаэв, 1987. - С.53,

'5. Дженалиов !Л.Т. О достаточных условиях оптимальности для управляемых уравнений параболического типа// Динамика нелинейных процессов управления/ ИЛУ АН СССР. - И., 1987. С.104-105.

6. Дкеналаев М.Т. Об абсолютном минимуме для задач управления// Изв. АН КазССР. Сер.флз.-матем. - 1988. - Уа 3. - С.14-19.

7. Дженапаев М.Т. Оптимальное управление линейными нагруженными параболическими уравнениями// Дифференц. уравнения. -1989. - Т. 25, £ 4.С.641-651.

-26-

8. Дженаллов М.Т. Достаточные условия оптимальности высокого порядка в задачах управления для эллиптических уравнений// Тозисы Ш регион, шк.-сешнара "Условно корректныо задачи математической физики и анализа/ ИЩ АН КазССР. - Алматы, 1989. -1с.'

9. Дженалиев М.Т. О разрешимости. краовых задач для линейных нагруженных уравнений с нерегулярными коэффициента-га// Дифферент уравнения. - 1991. - Т. 27, й 9. С.1585-1595.

10. Дженалиев М.Т. Об одной краевой задаче для линейного нагрузшшого параболического уравнения о нелокальными граничными условиями// Диффзранц. уравнения. - 1991. - Т. 27, № 10. -С.1825-1827.

11. Дженалиев М.Т. Краевые задачи и задачи оптимального управления для линейных .нагруженных уравнений гиперболического типа// Дифферент, уравнения. - 1992. - Т. 28, № 2. - С.232-241.

12. Дженалиев М.Т. Об одном классе нагруженных эллиптических уравнений// Диффареяд. уравнения. - 1992. - Т. 28, Я 3. -С.522-524.

13. Дженалиев М.Т. Краевые задачи для нагруженных параболического и гиперболического уравнений с производными по времени в граничных условиях// Дифференц. уравнения. - 1992.- Т. 28,

й 4. - С.661-656.

14. оЬк4гпа-келг ЛЯ ОН- ¿оилс/аАу,

ХвсЫЫ, // сан*, ёуд&си^-

15. Дженалиев М.Т. Однородная задача Дарихле для нагруженного эллиптического уравнения 2«—порядка. I// Изв. АН РК. Сер.. физ.-матем. - 1992..- й I. - С.35-38.

16. Дженалиев М.Т. Однородная задача Дирихле для нагружен-

- 27' -

и ого эллиптического уравнения 2т~ порядка. П// Изв. АН РК. Сор.

-матом. - 1992. - ¡л 3. - С.24-27.

17. Джо.чсишеп М.Т. 0(3 одном классе даффоредцлалъно-опора-торных уравнений нечетного порядка// Тезисы Мвддукар. научн. конф. "ДпфТюренц. и иятегр. уравнения. Матем. физика и спец. функции/ Под.институт. - Самара, 1932. - С.84.

18. Болохуроз А.П., Дженалиов М.Т. Об одном прплояошш нагруженных параболических уравнений// Изв. АН РК. Сер. фиэ.— матом. - 1992. - И 5. - С.3-7.

19. Дкенашшв М.Т. Неоднородные задачи для нагруженного эволюционного уравнения нечетного порядка с внутронно-краовыуд условиями// Дифферент. уравнения. - 1993. - Т, 29, 4. - С.617--626.

20. Дкеналпев М.Т. Краевые задача для нагруженных дифТярон-циально-операторных уравнений 1-го и 2-го порядков//'Докл. НАН Республики Казахстан. - 1993. - .4 3. - С. 8-14.

21. Д&вншшов М.Т. Краевыо.задачи для ногруконных эллиптических уравнений// Докл. НАН Республики Казахстан. - 1593. -

# 4. - С.

22. Дгенатов М.Т. Краевые, задача для да:5£оренинальпооператорных уравнений нечетного порядка' к нагрухошшо уравнения// Диффаренц; уравнения. - 1993. - 1. , й 8. - С.1380-1389.

Еиеналивв Мувашрхан Тсиузбай ули ШКТШШ даЭЕРЕЩ1АЛЩ ТЕНДШЕРДЩ ШЕТПК ЕСЕПТЕРГ

Дорбес туиндшш яфяолгея даффереяцааддш; те1£цеулвргв цойылеая ¡sqttIx освптерд!^ жалпылама weidjiexliudrl туралк мэ-селелер з^арастырылган. Соболев ке^ст1кгер1ндв нласснкалы^ жене квйб!р классикам^ омео ж^ктолгоя тещоулорге туэкнлгая ввт-т!к есептердЦ дашЬйнЦ бар жене оякц яалгыз вхевдШн долел-дайт!н теоремалар алннран. Кейб1р ясагдайларда швщ£вдерд1^ диф-фвронцдаддш$ з^асиеттер! эергтелтвя хднв яешЬщЦ жалгыз вкен-д1г1н раотайтын критерий альиган. Herisrl • явтижелер бор!лген квпбойне 'арггшш оптималдш^ бас^ору есепгер1нда лайдалангая.

Dzhenaliev Xuvasharkhan Tanabayevich BOUIIDARy VALUE PROBLEMS FOR LOADED DIFFERENTIAL ECU/ATI OPtS

The questions of generalized solvability of boundary value problems for loadod differential equations with partial derivatives are considered. The Iheoreis of existence uniqueness of solution of boundary value problems for classical and series of гюп-classical loaded equations in Soboler's spaces are established. In soma cases the differential characteristics of solution are studied and its crlterlons of uniqueness are obtained. The application of obtained results to the problems of opt 1 rial control on defined manifolds is giv«>n-