Методы обобщенных аналитических функций в осесимметричных задачах теории упругости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК ГРУЗИНСКОЙ ССР

ТБИЛИССКИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМ. А.М.РАЗМАДЗЕ

На правах рукописи КАПШИВЫЙ АЛЕКСЕЙ АЛЕКСЕЕВИЧ

уда 539.3

МЕТОДЫ ОБОБЩЕННЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ОСЕСИММЕГРИЧНЫХ ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Тбилиси - 1989

Работа выполнена в Киевском ордена Ленина и ордена Октябрьской Революции государственном университете им. Т.Г.Шевченко

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент

АН УССР ГРИНЧШКО В.Т., доктор физико-математических наук, профессор

АЛЕКСАНДРОВ В.М., доктор физико-математических наук, профессор

ОБОЛАШВИЛИ Е.И.

Ведущая организация - Ростовский государственный университет

Защита состоится " " ,_ 1969 года в_часов

на заседании специализированного совета Д 007.12.01 при Тбилисском математическом институте им.А.'Ы.Размадзе АН ГССР (380093, г.Тбилиси, ул.З.Рухадзе.1).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тбилисского математического института им.А.М.Размадзе АН ГССР.

Автореферат разослан " "_1989 года.

Ученый секретарь специализированного совета

доктор физ.-мат.наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБОТЫ

Актуальность темы. Осесимметричные задачи теории упругости имеют большую прикладную значимость. Необходимость их решения возникает при расчете на прочность многих конструкций в машиностроении и в строительстве. Эти задачи являются сложными задачами математической физики, и, несмотря на наличие большого числа исследований по пространственным и, в частности, осесимметричным задачам теории упругости, в настоящее время проблема разработки эффективных методов их решения является важной и актуальной. Особенно это ощущается, когда возникает необходимость решения смешанных задач и задач для областей со сложной геометрией. Применение же аппарата обобщенных аналитических функций позволяет разработать в осесимметричной теории упругости методы, которые среди других известных методов выделяются тем, что обладают алгоритмической мощью, в процессе решения задач учитывают в полном объеме известную информацию об аналитических свойствах искомого решения, позволяют проводить качественные исследования получаемых решений и доводить результат до численной реализации решений на ЭВМ.

Основы применения обобщенных аналитических функций к осесимметричным задачам теории упругости заложены в работах И.Н.Векуа, Г.Н.Положего, А.Я.Александрова, Ю.И.Соловьева. Построена теория обобщенных аналитических функций, получены представления общего решения осесимметричной задачи теории упругости через обобщенные аналитические функции, решен ряд задач. Однако эффективность применения методов обобщенных аналитических функций к решению конкретных задач еще низка. И причина тому - недостаточное совершенство методов решения краевых задач обобщенных аналитических функций. Поэтому дальнейшее развитие методов обобщенных аналитических функций в теории упругости неразрывно связано с разработкой новых и совершенствованием известных методов решения краевых задач обобщенных аналитических функций.

Цель работы - разработка и обоснование эффективных методов решения осесимметричных задач теории упругости, основанных на применении аппарата обобщенных аналитических и, в частности, р-аналитических функций комплексного переменного.

Методика исследования. Для достижения цели использовано общее решение осесимметричной задачи теории упругости через две

р -аналитические функции комплексного переменного 2 •> д: с характеристикой р=зс. ( зс -аналитические функции), полученное Г-Н.Положим, с помощью которого решение осесимметричных задач теории упругости сводится к решению краевых задач дс -аналитических функций. Для решения краевых задач ос -аналитических функций использована методика, основанная на интегральных представлениях этих функций через аналитические функции.

Отметим, что использование интегральных представлений р -аналитических функций через аналитические функции позволяет сводить решение краевых задач р -аналитических функций к решению краевых задач аналитических функций. Такая методика для решения краевых задач ас. -аналитических функций разработана Г.Н.Положим. К решению краевых задач р -аналитических функций с другими характеристиками она применялась в работах Г.Н.Положего, Н.А.Паха-ревой, Н.А.Вирченко, И.Н.Александрович и других. При решении осесимметричных задач теории потенциала и теории упругости аналогичную методику, основанную на интегральных представлениях осесимметричных гармонических функций через аналитические функции комплексного переменного или через плоские гармонические функции, применяли также Р. &. ШекЕег, С.М?е.Ьеъ ; В.И.Моссаковский, С.М.Бело-носов, А.Я.Александров, Ю.И.Соловьев, Н.Раджабов и другие.

Анализ результатов работ по решению краевых задач р -аналитических функций, а также осесимметричных задач теории потенциала и теории упругости путем сведения их с помощью интегральных представлений к краевым задачам аналитических функций показывает, что эта методика является эффективной, если исходную краевую задачу удается свести к такой краевой задаче аналитических функций, решение которой не только записывается в квадратурах, но и по возможности в наиболее простой форме. Повысить эффективность указанной методики применительно к решению краевых задач эс -аналитических функций удалось за счет глубоких исследований аппаратных, и качественных свойств используемых представлений, которые были проведены в наших работах [5-9,11,12,14-18,24-26,30,323 .

Научная новизна. В диссертации на основе результатов исследования аппаратных и качественных свойств основного интегрального представления ас -аналитических функций разработана новая методика решения краевых задач ас-аналитических функций, указаны и реализованы три подхода к решению задач о напряженном состоянии круговой симметрии методами р -аналитических функций, позволившие получить решение ряда задач для сложных областей.

В работе лично автором получены следующие основные результаты:

- получены интегральные представления ос -аналитических функций через граничные значения аналитических функций и интегральные представления а: -аналитических функций в односвязных областях сложной конфигурации ; установлены зависимости поведения

сс. -аналитических функций, определенных основным интегральным представлением, в отдельных точках границы области от поведения в этих точках аналитических функций ;

- разработана новая методика решения краевых задач да -аналитических функций с помощью интегральных представлений этих функций через граничные значения аналитических функций и в односвязных областях сложной конфигурации ;

- разработана методика рэшения и исследования краевых задач типа линейного сопряжения х. -аналитических функций с действительным постоянным коэффициентом; решены две задачи типа линейного сопряжения х. -аналитических функций ;

- решены краевые задачи сс. -аналитических функций для ряда односвязных областей сложной конфигурации ;

- указаны и реализованы три подхода к решению задач о напряженном состоянии круговой симметрии методами р -аналитических функций;

- решены задачи о напряженном состоянии круговой симметрии для ряда односвязных областей сложной конфигурации;

- разработана методика качественных исследований решений основных задач о напряженном состоянии круговой симметрии, получаемых методами р -аналитических функций, в особых точках границы области.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты работы представляют собой вклад в разработку перспективного направления в математической теории упругости, основанного на применении методов обобщенных аналитических функций. Они имеют важное прикладное значение для практики решения пространственных осесимметрич-ных задач теории упругости. Разработанные в диссертации методы позволяют проводить качественные исследования получаемых решений в.отдельных точках и доступны для их численной реализации.

Результаты работы имеют теоретическую и прикладную значимость и для других разделов физики и механики (гидромеханики идеальной и вязкой несжимаемой жидкости, теории фильтрации, электростатики, магнитостатика и др.), краевые задачи которах

сводятся к краевым задачам р -аналитических и, в частности, ас -аналитических функций. Разработанная в диссертации методика решения краевых задач х. -аналитических функций легко обобщается и находит применение при решении краевых задач р -аналитических функций с другими характеристиками.

Результаты работы внедрены в учебный процесс. Они используются при чтении специальных курсов "Краевые задачи р -аналитических функций", "Методы теории функций комплексного переменного в теории упругости" для студентов механико-математического факультета Киевского госуниверситета.

Достоверность результатов подтверждается корректность постановок рассматриваемых задач и строгим математическим обоснованием основных положений и алгоритмов. Результаты работы хорошо согласуются с полученными ранее результатами других авторов и не противоречат общим теоретическим положениям.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Третьем Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (г.Москва,1968), на научной конференции "Вычислительная математика в современном научно-техническом прогрессе" (г.Канев, 1974), на Шестой Казахстанской научной конференции по математике и механике (г.Алма-Ата,1977), на Всесоюзной конференции по теории упругости (г.Ереван,1979), на Второй конференции по дифференциальным уравнениям и их применениям (г.Руссе, Болгария,1981), на Третьем республиканском симпозиуме по дифференциальным и интегральным уравнениям (г.Одесса,1982), на Ш Республиканской конференции "Вычислительная математика в современном научно-техническом прогрессе" (г.Канев,1982), на П Всесоюзной конференции по теории упругости (г.Тбилиси,1984), на Ш Всесоюзной конференции по смешанным задачам механики деформируемого тела (г.Харьков, 1985), на Шестом Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (г.Ташкент,1986), на семинаре по проблемам механики при Киевском университете (1988), на семинаре отдела теории упругости Тбилисского математического института им.А.М.Раэмадэе (1988).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 32 работы. Из результатов, опубликованных в совместных работах [2, 6-11,13-15, 18-26,28,29,313 , в диссертацию включены только те, которые получены лично автором или под его руководством и при личном участии.

Структура и объем работы. Диссертация объемом 330 машинописных страниц (иэ них 290 страниц текста) состоит из введения,

шести глав, разбитых на 26 параграфов, заключения, списка литературы, содержащего 261 наименование, и приложения из 18 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении отмечается актуальность и новизна исследований, проведенных в диссертации, указывается их место в современном состоянии исследований по применению методов обобщенных аналитических функций к осесимметричным задачам теории упругости, дается описание и проводится анализ основных результатов диссертационной работы.

Глава I. Обобщенные аналитические функции. Интегральные представления ж -аналитических функций.

Эта глава (§§1-5) посвящена изложению математического аппарата обобщенных аналитических функций, который используется в диссертации. В §1 изложены необходимые сведения о двух классах обобщенных аналитических функций: обобщенных аналитических функций, изученных И.Н.Векуа, и р -аналитических и ( р , ^ )-аналитических функций, изученных Г.Н.Положим. В §2 приведено основное интегральное представление ас -аналитических функций, установленное Г.Н.Положим, и формулы его обращения. Суть этого интегрального представления состоит в следующем. Пусть & - область в правой полуплоскости + , которая в составе своей границы имеет отрезок Ь мнимой оси; - функция, аналитическая в & и такая, что ХтЛа)/ - О . Тогда функция

1 1

{(2> - Рфа>) = йе ♦ +

.1 .1 г г,

(1.1)

+ 1йс,, Г

где Г - контур в & , соединяющий произвольную (нефиксированную) точку с точкой г-ж + ^у, является сс. -аналитической в & и 1т ¿(2.)/ - О.

Подфункцией (2-Ог(а + С,) при фиксированном значении ЭЬ в (1.1) понимается какая-либо из двух ее ветвей, голоморфных в плоскости с. с разрезом вдоль контура, соединяющего точки й и - 2 . В диссертации используется та ее ветвь, для которой

* с.)-О в точках мнимой оси выше разреза. Считаем,

8 i i

2 — 2

что разрез, определяющий голоморфную ветвь функции (Z-Z) (2,+с.) ,

проводится вдоль контура, который лежит в &U L U &* ( &* -область, симметричная с ß- относительно мнимой оси). Контур интегрирования Г в (I.I) не пересекает разрез, а его начальная точка 3, находится на отрезке L выше разреза. Выбранную голоморфную ветвь функции (г-с,)г(3: + с,)'г в дальнейшем обозначаем через £ С st, £, с. ).

В §§3-5 изложены новые результаты. В §3 получены интегральные представления гс -аналитических функций через граничные значения аналитических функций. В частности, доказана следующая теорема.

Теорема 3.2. Пусть G - область в правой полуплоскости Ä = + , ограниченная отрезком £ а,6] мнимой оси и простым гладким контуром С , соединяющим_точки ia и L& ; - ана-

литическая в & и непрерывная в & функция, удовлетворяющая условию Im £(2) I =0 ; - as -аналитическая в & функ-

ция такая, что £(2) = Р(. где Р ~ оператор, определенный равенством (I.I) с начальной точкой контура Г на отрезке La,hl мнимой оси. Тогда

1) в области & для функции £(2) справедливо представление

t у гп г fremde, .Г г -iy)da, 7

¿ш*-£[Ве)z-—_ —J; fT о»

t 2i ¿f ßiz.S.ft) с Я«.*.*) ( '

2) для граничного значения функции £(2) при подходе к контуру С справедливы представления

i-i

yt,, ¿/bock. .r ^

¡h^Jii^+

r J m.tt.s) Rti.i.o

(1.3)

u

при условии, что

Üm. аг^ Lv-c.)(i 1-е,)' £1 + Lim aza (i -G)(i+c,).

При этом контур С обходится в положительном направлении (начальной является точка ¿а ) и аъ^

Интегральные представления х. -аналитических функций, аналогичные представлениям (1.2),(1.3), получены также для области

, дополняющей О* и С до правой полуплоскости, и для правой полуплоскости с разрезом вдоль гладкого контура С , соединяющего точку 1а. мнимой оси с точкой Ь в правой полуплоскости 2 =■ да * .

В §4 изложены результаты об интегральных представлениях х -аналитических функций в односвязных областях сложной конфигурации.

Пусть С^С 1с 0,)- непересекающиеся и некасающиеся друг друга гладкие контуры в правой полуплоскости ж + , каждый из которых соединяет две точки мнимой оси ; и ¿¿^ -

соответственно начальная и конечная точки контура С^ ; (Зачесть правой полуплоскости 2 « ас ¿у , находящаяся слева от контура Ск . Считаем, что ао< ¿п ап< • • • < < < Пусть, далее, множество функций £(£), аналитических

в С, и удовлетворяющих условию 1т. £ Чу')= О у & Ь9),

а (кфо) - множество функций , аналитических>

в , удовлетворяющих условию 1т£ау)*о (у £ С-V О [ак,оа)) и в окрестности точки 2-«> представимых в виде

оо (1) ■ п

где - действительные постоянные коэффициенты; О-= ^¡с .

Теорема 4.1. Пусть - ас. -аналитическая функция в об-

ласти & , определенная интегральным представлением (1.1) при условии, что го= (уоб£а< , Ь„ 3) , а £(2) -аналитическая ъ Сг функция, удовлетворяющая условию 1т£(Су)=>0 (у6 е^са^^б^и Сав, (>„.]). Тогда в области в для £(2) справедливо представление

« с-

(1.4)

где

/ *

При этом

го, (а,* )*(.).

где (X " °-0 и постоянные ( к.-1,п.) определяются равенства"" к

А- 2 ь ГТ

Г1

Теорема 4.2. Пусть £(2) - ас -аналитическая в 6 функция, определенная интегральным представлением (1.1) при условии, что начальная точка контура Г находится на отрезке 0а.1г6оЗ мнимой оси. Если ^2)-¿Г , где й„(&к) ,п)>

то

Здесь Рс - оператор основного интегрального представления (1.1) в области с начальной точкой контура интегрирования на отрезке Сао,603 мнимой оси; Рк (к* 4) - оператор основного интегрального представления (1.1) в области &^ с начальной точкой контура интегрирования на участке 10.^,°° ) мнимой оси.

Пусть теперь С. (j = - непересекающиеся гладкие контуры (без самопересечений^ в правой полуплоскости г = ге + ( £л •

ИГ"-) - их начальные, а конечные точки) ; -

правая полуплоскость а ■ ас + с разрезом вдоль контура Сд. ;

^ - правая полуплоскость с разрезами вдоль контуров

С к ( fcsY.fl) . ^

Теорема 4.3. Пусть £(2.)- х. -аналитическая функция в области О"" , определенная интегральным представлением (1.1) при условии, что начальная точка га контура Г находится на участке Са(,оо) мнимой оси и ^(з.) - аналитическая в функция такая, что Тогда для функции £(2) в области

&'0) справедливо представление

¡ч л

где

/.(*) --йс,1-— (ь-

и с с

При этом

Со (а1 <.у^ оо)>

(а.^у* а.)

где Ъ.(^ип-) - действительные постоянные, которые определяются равенствами

</ к.^1 С

"о г*<0)

Теорема 4.4. Пусть 14) - ас-аналитическая в области Сг

функция, определенная интегральным представлением (1.1) при условии, что начальная точка 20 контура Г находится на участке Самнимой оси. Если ¿(г->=ЗЬ ¿и) , /,<£>6 Яа(&к)

' ¡еш4 * К 'К-

(77*)> ™

п

(1.7)

Здесь - оператор основного интегрального представления (1.1) в области с начальной точкой контура интегрирования на участке 00) «нимой оси.

В §4 получены также интегральные представления для граничных значений функций, определенных интегральными представлениями (1.4),(1.5),(1.6) и (1.7).

В §5 установлены зависимости поведения ж. -аналитических функций, определенных основным интегральным представлением (1.1), в отдельных точках границы области от поведения в этих точках соответствующих аналитических функций.

Теорема 5.1. Пусть О - область в правой полуплоскости Зг'са + , граница которой содержит отрезок Ь мнимой оси;

- аналитическая в области 6 функция, удовлетворяющая условию 1т. IО ; ^(г) = Р(^12)) - х -аналитическая в & функция, определенная равенством (1.1) ; с - точка граница области & , не принадлежащая мнимой оси. Тогда

I) если функция при я —с стремится к бесконечности

порядка ос (Обос %) , то функция ^(2.) при 2-е ограничена и в окрестности точки с ее можно представить в виде

г*

где - функция, ограниченная при х--—с , причем ,

если <=£ » о ;

2) если функция при Зг —-с стремится к бесконечности порядка об = '/г , то функция при я—»о стремится к бесконечности логарифмического порядка;

3) если функция при г-»-с^ стремится к бесконечности порддка (11'г и ±) , то функция £(2) при г—с стремится к бесконечности порядка об- Уг ;

4) если функция при стремится к бесконечности логарифмического порядка, то функция р2) при г -*■ С ограничена и в окрестности точки с ее можно представить в виде

= + а-ау'^а),

/V

где ^С2> - функция, ограниченная при г -»-с , причем О,

Результаты этого параграфа оказываются полезными при решении краевых задач л-аналитических функций и особенно при качественных исследованиях полученных решений.

Глава 2. Приведение основных осесимметричных задач теории упругости к краевым задачам р-аналитических функций.

В этой главе (§§6-8) изложены теоретические основы метода р -аналитических функций в осесимметричной теории упругости. В частности, в §6 приведено комплексное представление общего решения задачи о напряженном состоянии круговой симметрии, полученное Г.Н.Положим:

(2.1)

а-. А»«,.*. игу 2.

с С

Здесь г , в , г - цилиндрическая система координат, ось г кото-

рой совпадает с осью симметрии тела вращения; к.= (Л.,

^ - постоянные Ламе) ; и и иг - компоненты вектора смещений в направлении осей г и 2 » ФСс.) и Ч^сс,)- произвольные г, -аналитические функции от с, = £ в области 6- меридианного сечения тела вращения. Далее,

где €>г , б"2 , - компоненты тензора напряжений; С - кусочно гладкий контур в & ; квадратными скобками с индексом С обозначено приращение величины, помещенной в них, при обходе С ;

где й0 - начальная точка контура С .

Формулы (2.1),(2.2) являются основой метода ^-аналитических функций в осесимметричной теории упругости. Они аналогичны известным формулам Колосова-Мусхелишвили в плоской теории упругости и позволяют сводить решение краевых задач о напряженном состоянии круговой симметрии к решению краевых задач Z -аналитических функций от с, -Z + Í2r в области 6 меридианного сечения тела вращения. После того, как функции Фл;) и Vis) определены, все компоненты напряженно-деформированного состояния тела вращения определяются из формул (2.1),(2.2) с учетом равенств (2.3).

В §7 изложены результаты исследования комплексных представлений (2.1),(2.2). Показано, что при заданных на границе напряжениях функция Ф(с.> определяется с точностью до слагаемого а функция с точностью до слагаемого С3+ lkC2t где Cf ,

С, , С3 - произвольные действительные постоянные. При заданных на границе смещениях функция определяется с точностью до

слагаемого С, + i С£ , а функция Ч*(с.) - с точностью до слагаемого —/сC^ + LkCt , где С1 , С!г - произвольные действительные постоянные.

Исследован характер многозначности функций ^fs) и Víft) в случае многосвязной области. Пусть область G меридианного сечения тела вращения многосвязна и ограничена простыми зашнутшм

(2.3)

с

контурами L1 , L2 , ... , ¿ц , L0 в правой полуплоскости = г. + t2t , из которых последний охватывает предыдущие. В этом случае в области G для функций и Vte) справедливы пред-

ставления

i = 1 J 1 i ¡=1 J г ' J ' ' ' (2.4)

« £ Я U «,,*.->+к ¿В/п гс,ь.),

« }-* 4 1 ' /г' </ г '

где 'Pic.) , V7^?

- функции, г -аналитические и однозначные в G , а £пу (е., c.j), (с,, c,j)- г -аналитические аналоги логарифма, построенные в диссертации. Коэффициенты /?. , 5. представлений (2.4) выражаются через проекции на оси г'иг 'усилий, приложенных к контуру L. со стороны внешней по отношению к & нормали.

Исследовано поведение функций Фея) и при /&(-*•«» в случае бесконечной области G . Показано, что ввиду существующего произвола в определении функций ф(со и Ч^с.), за счет надлежащего выбора соответствующих постоянных можно считать, что при 1с^1-»оо действительные части этих функций стремятся к нулю первого порядка, а их мнимые части ограничены. При этом для смещений и напряжений в окрестности бесконечно удаленной точки справедливы представления

u.ofa), б.о(^).

Ввиду того, что г -аналитические функции Фес.) и являются аналитическими функциями от z , St в G , из формул (2.1),(2.2) следует, что компоненты смещений и напряжений в случае напряженного состояния круговой симметрии являются аналитическими функциями ог г и 2 в области G . Установлены необходимые и достаточные условия аналитического продолжения через гладкий контур t компонент смещений и напряжений в случае двух напряженных состояний круговой симметрии в областях &f и Gz , примыкающих друг к другу вдоль контура t .

В §8 дана постановка основных краевых задач о напряженном состоянии круговой симметрии, доказана единственность их решения

и показано к каким краевым задачам уз-аналитических функций в соответствии с формулами (2.1),(2.2) они приводятся.

Глава 3. Краевые задачи де-аналитических функций для

простейших областей, их решение и качественные исследования.

В этой главе (§§9-13) рассмотрены краевые задачи ас -аналитических функций для таких областей как первая четверть плоскости, полукруг, правая полуплоскость с выброшенным полукругом, правая полуплоскость' с разрезом вдоль отрезка действительной оси или по дуге окружности. Постановка всех рассмотренных здесь задач дана Г.Н.Положим. Им же разработана и методика решения этих задач, основанная на использовании основного интегрального представления (1.1) и позволяющая сводить решение рассматриваемых задач, как правило, к решению задачи Римана-Гильберта для аналитических функций. Здесь на примере указанных задач изложены основные идеи новой методики решения краевых задач сс -аналитических функций с помощью интегральных представлений этих функций через граничные значения аналитических функций. Показано, что в случае простейших областей решение всех рассмотренных краевых задач х -аналитических функций с помощью новой методики находится исключительно просто и сводится к определению граничного значения соответствующей аналитической функции (в случае задач для четверти плоскости, для полукруга и для правой полуплоскости с выброшенным полукругом) или к определению ее скачка ( в случае задач для правой полуплоскости с разрезом вдоль действительной оси или с разрезом по дуге окружности).

При рассмотрении краевых задач х -аналитических функций для бесконечных областей основным множеством функций, допустимых в качестве решения рассматриваемых задач, считаем множество М0 , т.е. множество сс -аналитических функций в & , ограниченных на бесконечности, действительные части которых при (2/—►«*> стремятся к нулю. „

В §9 рассмотрены краевые задачи об определении функции ^(1)» = й(ос,у) + 11Г(а:,у}, х -аналитической в первой четверги плоскости 2 - ас ¿у , непрерывной на границе, за исключением, быть может, точки а-а. (а>о) , на мнимой оси удовлетворяющей условию

гг( о,у) г» о (.О6у<ао)>

(3.1)

а на действительной оси - краевым условиям одного из типов:

1) Ъх) а(ж,0)= У(х) «^(3.2)

где 'Р(х-) - заданная непрерывная, а Ч*(зс.)~ заданная непрерывно дифференцируемая функции, ограниченные в точке х = а , причем = о « а в окрестности бесконечно удаленной точки

2)й(ас,о)~сР(х) <0£л*а), С (еих£о°)(3.3)

где Ф(эс) _ заданная непрерывна, а Ч^сх.)- заданная непрерывно дифференцируемая функции, ограниченные в точке эе. = а. , и в окрестности бесконечно удаленной точки Ч'(л') - 0( х) ; С - действительная постоянная (возможны два случая: а) постоянная С заранее не задается; б) С - заданная постоянная).

С помощыз результатов, полученных в §3, решение задачи с краевым условием (3.2) сводится к определению граничного значения мнимой части соответствующей аналитической функции на действительной оси, а решение задачи с краевым условием (3.3) - к определению граничного значения действительной части аналитической функции на действительной оси.

_ В §10 рассмотрены краевые задачи об определении функции

" ¿¿(:с,у)+£Ша:,у) , ж. -аналитической в &1 ( <3у - правая полуплоскость а-»зс + £у с разрезом вдоль отрезка Со, а ] действительной оси), непрерывной на границе, за исключением, быть может, точки 2 = а , на мнимой оси удовлетворяющей условиям

ГО, 0£ Ч<ео, = 1 _ " , Л (3.4)

>а I ъ, -со<у«о,

а на краях разреза - краевым условиям одного из следующих типов: 1)£Г(гс.,о)*9>(зс), й~(л,о)' Фг(я) (3.5)

где , ^¿(са) - заданные непрерывные функции, ограниченные

при ас = а , причем

фг(*); (3.6)

0-~(сс,о)-%сх) (3.7)

где заданные непрерывные функции, ограниченные

при л; = о- , причем и

%(о.) = У2(а), (3<8)

При этом предполагается, что В - действительная постоянная, которая в случае краевых условий (3.5) не задается, а в случае краевых условий (3.7) %(0У . Условия (3.6) и (3.8) являются необходимыми для существования решений, ограниченных в точке

Решение обеих задач в соответствии с результатами §3 сводится к определению скачка аналитической функции вдоль разреза.

В §11 рассмотрены краевые задачи для функции й(х,у)+

+ , ж -аналитической в полукруге Йея>о]

и непрерывной в бг , когда на отрезке мнимой оси задано краевое условие

д-(о,р-о (3.9)

а на дуге окружности - одно из краевых условий вида:

1) и\ =Ф(д) (3.10) где 4*16) - заданная непрерывная функция;

2) гг1 «У<е> Иг **«#), . (зли

'/21 = Й '

где Щв) - заданная непрерывно дифференцируемая функция такая, ЧТО У(-*/2)= 4>(*!г)«0.

Решение обеих задач с помощью интегрального представления ¿0 (1.2) сводится к определению граничного значения -я/2 функции ^(2) , аналитической в .

В этом же параграфе рассмотрены краевые задачи ос. -аналитических функций для правой полуплоскости с выброшенным полукругом, когда на дуге окружности заданы краевые условия вида (ЗЛО) или (3.11).

В §12 рассмотрены две задачи для функции ос -аналитической в правой полуплоскости с разрезом

по дуге окружности С~ /г непрерывной на грани-

це, за исключением, быть может, точки когда на мниИой

оси заданы краевые условия

ГО, -К^у^оо, ^•У^Ь, — «у,-*, (3.12)

а на краях разреза - краевые условия одного из видов:

где 4^10) , (в) - заданные непрерывные функции, ограниченные в точке в-«С , причем

?;«> - (З.Ш

и-ю

где

- заданные непрерывно дифференцируемые функции, ограниченные в точке в = , причем О и

= ч^-о. (зле)

При этом Б - действительная постоянная, которая заранее не задается в случае краевых условий (3.13) и 2) = Чг (' /г) в случае краевых условий (3.15). Условия (3.14) и (3.16) являются необходимыми для существования решений, ограниченных в точке 21 йе1"4.

Показано, что рещение обеих задач на множестве М0 , ограниченное в точке г=йеиА , существует и единственно. Запись решения в явном виде в соответствии с результатами §3 сводится к определению скачка аналитической функции вдоль разреза.

Процесс решения всех рассмотренных в этой главе задач сопровождается качественными исследованиями поведения полученных решений в особых точках границы области, что позволяет записывать решение краевых задач ас-аналитических функций с разрывными краевыми условиями для четверти плоскости и решение краевых задач для оравой полуплоскости с разрезом (прямолинейным или вдоль дуги окружности) в различных классах функций.

В качестве приложения разработанной в §§9-12 методика решения краевых задач ж. -аналитических функций к решению задач о напряженном состоянии круговой симметрии в $13 приведены примеры эффективного решения задачи о круговом гладком штампе для упругого

полупространства, а также первой основной задачи для пространства с плоским круговым разрезом и первой основной задачи для шара.

Глава 4. Решение основной смешанной задачи о напряженном состоянии круговой симметрии полупространства путем сведения к задаче типа линейного сопряжения -ж -аналитических функций.

Основное интегральное представление л -аналитических функций, формулы (2.1),(2.2) и разработанная в диссертации методика решения краевых задач х-аналитических функций позволяют осуществить три подхода к решению задач о напряженном состоянии круговой симметрии методами р -аналитических функций:

1) сводить решение краевых задач о напряженном состоянии круговой симметрии к решению краевых задач аналитических функций;

2) сводить решение краевых задач о напряженном состоянии круговой симметрии к определению граничных значений аналитических функций;

3) строить общие представления х. -аналитических функций в областях специальной структуры и затем использовать их для решения краевых задач о напряженном состоянии круговой симметрии.

Содержание этой главы (§§14-18) составляют результаты по реализации первого из указанных подходов применительно к решению основной смешанной задачи о напряженном состоянии круговой симметрии полупространства.

В §14 решены две задачи типа линейного сопряжения х -аналитических функций с действительным постоянным коэффициентом: I) для правой полуплоскости с несквозным разрезом; 2) для правой полуплоскости со сквозным разрезом. С помощью интегрального представления (1.1) и формулы его обращения вдоль гладкого контура решения обеих задач сводится к решению задач линейного сопряжения аналитических функций с постоянным действительным коэффициентом. Это позволило провести исследование разрешимости указанных задач и записать их решение в квадратурах.

В §15 рассмотрена основная смешанная задача о напряженном состоянии круговой симметрии полупространства у >0 с краевыми условиями

Чи-о"иг;(х)> и1у=:и/х)>

' ' ' ' (4.1)

е„1 е5,(х), г I хе($.,& )

ГГ° / ТУ=0 / ' '

где а., < 61 < а2< 6г < . . . < ап<6^оо

иг. (г»), и-.(зй) 6.(2<£; (X) ( :~о~п)~ заданные функ-

^ ' </ в </ У

ции.

В соответствии с формулами (2.1),(2.2) решение задачи с краевыми условиями (4.1) сводится к решению задачи типа линейного сопряжения с кусочно постоянным действительным коэффициентом

+ яеЮ-^Ьр (¿-77*-), (4.2)

* 4 _* * (4.3)

ас б + 1 ] су=о,«

для функции

I Ут, у £ о,

кусочно ос -аналитической в правой полуплоскости 2- гс+£у .

Здесь (эс>, 2;(») (известные функции ) 4"

Л! *

* Г * С

(X)»-\<Г.(зсус1х , х6.(х)с1х

i ' ^ '

а Л, Л- , Ву неизвестные действительные постоянные

такие, что

Я*Ие}<Р<о>-Ч'(о)}

«у

.

В §16 получено эффективное решение задачи (4.1) в случае одной линии раздела краевых условий (п * У). В этом случав с по-моцьо методики, разработанной в §14, решение задачи (4.2)-(4.4) сводится к решению задачи линейного сопряжения аналитических

функция с кусочно постоянным коэффициентом (две точки разрыва) записывается в квадратурах. Заметим, что ранее другими методами основная смешанная задача для полупространства с одной линией раздела краевых условий была решена в работах В.И.Моссаковского, Я.С.Уфлянда и других.

Положительным качеством решения, полученного в §16, является то, что оно позволяет провести полное исследование поведения напряжений в окрестности линии раздела краевых условий. Такое исследование проведено в §17 в случае задачи о круговом штампе, сцепленном с полупространством (в этом случае в краевых условиях (4.1) а,= О , 6 , б1(х)=о , <Г/эО= О). Чтобы

описать поведение напряжений в окрестности точки .2 = 6 , следует представить функцию иг, (я) краевых условий (4.1) («.= ■/, а( = о, &1 = В ) в окрестности точки х= & в виде

Г <°>

Wj (х) = иг^б) + С è-сс) ш1 (x)f (4.5)

(О)

где Wjlx.) - функция, ограниченная в точке сс= Ь , a j-~cxmst>o ( иг'^1 Ь) ф О , если o<-j- & 4s.). Поведение напряжений при 3>-~6 определяется величиной показателя j- в представлении (4.5):

а) если ц- > , то компоненты напряжений и ^х-у ПРИ вдоль любого луча ij>=az^(z-è)=ccntsi (o^f&Si) ведут себя

как j></esin. Lf ■+■ <fJ(j>) 3 , rp,ef=lz-£>l , a f(j>) - функция, ограниченная при j»-*o (js= c.on.si) ; так же ведут себя в этом случае и компоненты бх , бв при вдоль любого луча f^cxmsi

б) если й 11г , то компоненты напряжений б и Тху при a-*- è вдоль любого луча f*amsi со£<р£Я) стремятся к бесконечности порядка ; так же ведут себя в этом случае и компоненты

6 , бв при jt-f S вдоль любого луча aonst ( о £

В §18 методика, изложенная в §§15,16, применена к решению задачи о кольцевом штампе, сцепленном с полупространством. В этом случае решение задачи (4.2Ы4.4) сведено к решению сингулярного интегрального уравнения с ядром Коши. Доказано существование и единственность решения полученного интегрального уравнения. Исследовано поведение напряжений в окрестностях линий раздела краевых условий.

Заменим, что методика первого подхода в наших работах применялась к решению и других смешанных задач для полупространства, а также к решению задач о напряженном состоянии круговой симметрии для цилиндра и для шара.

Глава 5. Краевые задачи дс-аналитических Функций

для односвязных областей сложной конфигурации.

В этой главе (§§19-23) изложены результаты исследований по разработке методики решения краевых задач ос. -аналитических функций для правой полуплоскости с системой горизонтальных параллельных разрезов (§19), для правой полуплоскости с выброшенной системой полукругов (§20), для правой полуплоскости с системой разрезов по дугам концентрических окружностей (§21) и для полукруга с выброшенной системой полукругов (§22). Для указанных областей рассмотрены краевые задачи об определении х. -аналитической функции, когда на краях разрезов (§§19,21) или на дугах окружностей границы области (§§20,22) заданы граничные значения действительной или мнимой части ос-аналитической функции. С помощью интег-г ральных представлений дс-аналитических функций в односвязных областях сложной конфигурации через граничные значения аналитических функций решение всех рассмотренных в §§19-21 краевых задач сведено к решению систем интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Доказано существование и единственность решения полученных систем интегральных уравнений.

Близкая к методике §§19-21, но несколько отличная от нее ме-* тодика использована в §22 при решении краевых задач х -аналитических функций для полукруга с выброшенной системой полукругов. Здесь рассмотрены две задачи, когда на дугах окружностей заданы граничные значения действительной или мнимой части сс -аналитической функции. С помощью интегрального представления л.-аналитической функции через граничные значения функций, аналитических в простейших областях, решение каждой из указанных задач сведено к решению краевой задачи для нескольких функций, аналитических в простейших областях. Решение краевых задач аналитических функций ищется в виде степенных рядов, для определения коэффициентов которых в каждом случай получена квази вполне регулярная система линейных алгебраических уравнений. В конечном итоге решение рассматриваемых краевых задач ос. -аналитических функций получено в виде рядов, содержащих многочлены Лежандра. Изложенная в §22 методика позволяет избежать математических трудностей, неизбежно возникающих при решении краевых задач теории потенциала и теории упругости для шара с шаровыми полостями другими известными методами. Указанные трудности связаны с необходимостью разложения многочленов Лежандра одного аргумента по многочленам Лежандра

другого аргумента. Избежать таких разложений в настоящей методике удается за счет разложений одних степенных- функций по другим степенным функциям в классе аналитических функций.

На примере краевой задачи х. -аналитических функций для правой полуплоскости с системой конечных горизонтальных разрезов, начальные точки которых не принадлежат мнимой оси, в §19 показано, что методика, разработанная в §§19,21, легко обобщается на случай краевых задач для таких неодносвязных областей как правая полуплоскость с системой горизонтальных конечных разрезов или с системой разрезов по дугам окружностей, начальные точки которых не принадлежат мнимой оси.

В качестве приложения результатов этой главы в §23 рассмотрена задача об осесимметричном электростатическом поле системы заряженных проводников. На примере этой задачи раскрыт физический смысл неизвестных констант, входящих в краевые условия соответствующей краевой задачи я. -аналитических функций. Получены формулы для определения заряда каждого из проводников в отдельности и всей системы в целом, а также формулы для определения емкости системы и плотности распределения зарядов на поверхностях проводников. Рассмотрены конкретные примеры: электростатическое поле двух плоских круговых дисков и электростатическое поле двух сферических дисков. Рассмотрение примеров доведено до числовых расчетов основных характеристик поля на ЭВМ ЕС-1040.

Глава б. Решение краевых задач о напряженном состоянии

круговой симметрии пространства с разрезами.

В этой главе С§§24-26) изложены результаты приложения методики решения краевых задач ос. -аналитических функций, разработанной в главе 5, к решению и исследованию задач о напряженном состоянии круговой симметрии пространства с системой соосных круговых разрезов, пространства с двумя сферическими разрезами и пространства с гиперболоидальным разрезом. В частности, в §§24,25 применительно к первой основной задаче о напряженном состоянии круговой симметрии пространства с системой соосных круговых разрезов и пространства с двумя сферическими разрезами реализован второй из указанных выше подходов к решению задач о напряженном состоянии круговой симметрии, основанный на сведении их решения к определению граничных значений аналитических функций.

В §24 рассмотрена первая основная задача о напряженном

состоянии пространства с системой соосных круговых разрезов. Считаем, что разрезы расположены в плоскостях у* = и Ь1> ¿г> > . . . > Через а- обозначаем радиус ^ -го разреза. Областью & меридианного сечения пространства с указанными разрезами является правая полуплоскость я = сс + с разрезами вдоль прямолинейных контуров = о^снёау,/ С] = ■!,

В соответствии с формулами (2.1),(2.2) решение рассматриваемой задачи сводится к решению краевой задачи сс. -аналитических функций:

ы ф(г>и<г1т У'Чы0 ч< (ел)

± t ' J Здесь Й.(oc)t 2 .Сзс) _ известные функции такие, что

в 4 ™

(6.3)

J). ( ^»ija) - известные действительные постоянные, для которых

справедливы равенства а

4

Я ■ (j-Un) - неизвестные действительные постоянные.

Решение задачи с краевыми условиями (бЛ)-(б.З) с помощью интегрального представления х. -аналитических функций через граничные значения аналитических функций ищем в виде

2L ¡Tic. ßa,s,c,> j j

■ jTic ßu, 2,0 nJJ,

' J"

(6.4)

г у

Здесь

¡.1 а got.it.а) '

п 4

22 М.<рш (2 -

¿ = 1 « \/ я а

К 0 -I7т ^ ¿у*.-

(6.5)

1 и.

¿"1 С ' ¡4 с. *

ц>.(с,) + непрерывно дифференцируемая, а

- непрерывная функции от с,-Р+ЬЬ.; аго ¡-о-)=

4 , — --</ " ' ®

= -¿51

Плотности ^-Сс.) = ) в интегральном представлении (6.5) имеют конструкцию, обеспечивающую ограниченность смещений при 2 ¿у При такой конструкции особенности производной

-щ— в точках г^. (^=7/?) гасятся особенностями функции У(2)

в этих точках.

В итоге решение первой основной задачи о напряженном состоянии круговой симметрии пространства с системой соссных круговых разрезов сведено к решению системы интегральных уравнений Фред-гольма второго рода (число уравнений равно числу разрезов). Доказано существование и единственность решения полученной системы интегральных уравнений. Проведено исследование поведения компонент напряжений в окрестностях концевых точек разрезов: при подходе к концевым точкам разрезов компоненты напряжений стремятся к бесконечности порядка . Проведено также качественное исследова-

ние взаимовлияния разрезов (в случае пространства с двумя разрезами радиуса а в плоскостях £ и у=-£ под действием равномерно распределенного по их поверхностям давления интенсивности р ) на концентрацию напряжений в окрестностях их концевых точек. Для этого использованы полученные в диссертации представления для компонент напряжений в окрестности точки а,« а + ЬЬ

Ч.

ЖУ Я^21 а+^у 1 Г гГ (6.6)

-ос/)]}

2-1- I

о(/)]г

где ^»/г-з,/, у>= , В>0 ; ^ц и р - постоянные, ко-

торые выражаются по известным формулам через решение системы интегральных уравнений, соответствующей случаю задачи с двумя разрезами. Сравнивая равенства (6.6) с аналогичными равенствами для случая одного разреза радиуса а в плоскости у- Ь (чтобы их записать, следует в (6.6) положить ■НУ , ух=О ), замечаем, что за характеристику степени изменения концентрации напряжений, связанного с наличием второго разреза, удобно принять величины } и .^Проведенные вычисления этих величин для различных значений £ показали, что при с1> с разрезы практически не взаимовлияют на концентрацию напряжений в окрестностях их концевых точек.

В §25 с помощью методики, изложенной в §§21,24, решение задачи о напряженном состоянии круговой симметрии пространства с двумя разрезами по одной сферической поверхности сведено к решению двух независимых (каждая из двух уравнений) систем интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Доказано существование и единственность решения полученных систем интегральных уравнений. Ис-

следовало поведение компонент напряжений в окрестностях вершин разрезов: при подходе к вершинам разрезов компоненты напряжений стремятся к бесконечности порядка 4!г . Рассмотрены частные случаи: I) пространство с двумя сферическими разрезами, осесиммет-ричными относительно плоскости у = О ; 2) пространство с одним сферическим разрезом. В первом случае решение задачи сведено к решение двух независимых интегральных уравнений Фредгольма второго рода, во втором случае решение задачи записывается в квадратурах.

В §26 на примере первой основной задачи о напряженном состоянии круговой симметрии пространства с гиперболоидальным разрезом изложена основная идея третьего подхода к решение задач о напряженном состоянии круговой симметрии, основанного на использовании общих представлений сс -аналитических функций в областях специальной структуры. Эта методика оказалась эффективной при решении многих задач теории упругости для шара, эллипсоида, однополостного и двуполостного гиперболоидов вращения. Применительно к первой основной задаче для пространства с гиперболоидальным разрезом она позволила свести решение задачи к решению системы двух интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Доказано существование и единственность решения полученной системы интегральных уравнений. Исследовано поведение компонент напряжений при подходе к веражне разреза: при подходе к вершине разреза компоненты напряжений стремятся к бесконечности порядка У& . В качестве примера рассмотрено пространство с гиперболоидальным разрезом под действием давления, равномерно распределенного по поверхности разреза. На основе приближенного решения системы интегральных уравнений, полученного методом механических квадратур, проведено исследование изменения коэффициентов интенсивности напряжений в окрестности вершины разреза в зависимости от размеров разреза. Показано, что характер качественного изменения коэффициентов интенсивности напряжений в окрестности вершины гиперболоидального разреза при небольшой величине разреза такой же, как и в окрестности вершины близкого по размеру сферического разреза.

Таким образом, основные результаты, полученные в диссертации, состоят в следующем.

I. Дано существенное, развитие аппаратных свойств основного интегрального представления гс. -аналитических функций, позволившее получить решение нового класса краевых задач для обобщенных аналитических функций осесимметричного потенциала и осуществить новые

подходы к решению осесимметричных задач теории упругости. В частности, получены интегральные представления х -аналитических функций через граничные значения аналитических функций в односвяз-ных областях сложной конфигурации ; установлены зависимости поведения х-аналитических функций, определенных основным интегральным представлением, в отдельных точках границы области от поведения в этих точках аналитических функций ; сформулированы условия, которым должна удовлетворять х -аналитическая функция на мнимой оси и на бесконечности, и указана их зависимость от геометрии области и от поведения соответствующей аналитической функции на бесконечности.

2. С помощью полученных результатов по развитию аппаратных свойств основного интегрального представления х -аналитических функций решены новые краевые задачи этих функций для областей , сложной конфигурации, ограниченных отрезками прямых и дугами окружностей (для полуплоскости с системой прямолинейных разрезов, для полуплоскости с системой разрезов вдоль дуг концентрических окружностей, для полуплоскости с выброшенной системой полукругов). Решение задач получено путем определения скачков соответствующей аналитической функции вдоль разрезов (в случае полуплоскости с разрезами) или граничных значений аналитической функции на границе (в случае полуплоскости с выброшенной системой полукругов) из системы интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Kaut частный случай получено в замкнутой форме решение задач о комплексном х -аналитическом потенциале плоского кругового диска, сферического диска и шара.

3. На основе полученного Г.Н.Положим комплексного представления общего решения осесимметричной задачи теории упругости через две х-аналитические функции дана формулировка основных краевых задач о напряженном состоянии круговой симметрии в виде краевых задач для двух ж. -аналитических функций. Установлены степень определенности указанных функций, характер их многозначности в случае многосвязной области, поведение на бесконечности в случае бесконечной области, а также аналитический характер решения задачи о напряженном состоянии круговой симметрии области меридианного сечения тела вращения.

4. Указан способ сведения весьма сложной основной смешанной задачи о напряженном состоянии круговой симметрии для полупространства к задаче типа линейного сопряжения х -аналитических функций.

С помощью развитого математического аппарата окончательное, решение этой задачи в случае двух линий раздела краевых условий сведено к решению сингулярного интегрального уравнения с ядром Ноши, а в случае одной линии раздела краевых условий получено в замкнутом виде. Установлен характер особенностей поля напряжений в окрестностях линий раздела краевых условий под круговым и под кольцевым штампами, сцепленными с полупространством.

5. Разработаны эффективные методы решения основных осесиммет-ричных задач для упругого пространства с разрезами. Путем сведения соответствующих краевых задач для двух х. -аналитических функций к системам интегральных уравнений йредгольма второго рода получено решение первой основной осесимметричной задачи для упругого пространства с системой соосных круговых разрезов, с двумя сферическими разрезами и с гиперболоидальным разрезом. Выявлены особенности поля напряжений в окрестностях концевых точек разрезов, вытекающие из аналитических свойств полученных решений. Как частный случай из построенных решений получены в замкнутом виде решения задач для упругого пространства с круговым и со сферическим разрезом.

Подводя итог, заметим, что методы обобщенных аналитических функций обладают той же универсальностью при исследовании осесим-метричных задач теории упругости, что и ставшие уже классическими методы комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили в плоских задачах теории упругости. В силу своей аналитической природы они позволяют описывать напряженно-деформированное состояние в целом в среде, проводить качественные исследования в отдельных точках и доступны для численной реализации на ЭВМ.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах автора:

1. Кашивый A.A. Применение р -аналитических функций к решению краевых задач осесимметричной термоупругости // Вопросы математической физики и теории функций. -Киев: Изд-во АН УССР, 1964. -Вып.I.-C.24-34.

2. Капшивый A.A., Маслюк Г.Ф. Решение смешанной осесимметричной задачи теории упругости для полупространства методом р -аналитических функций // Прикл. механика.-1967.-3,№7.-С.21-27.

3. Капшивый A.A. Решение одной осесимметричной задачи о системе двух штампов методом р -аналитических функций // Вычисл. и прикл. математика. -Киев: Изд-во Киев, ун-та, 1969.-Вып.7.-С.94-101.

4. Капшивый A.A. К решению основной смешанной осесимметрич-ной задачи теории упругости для полупространства методом р -аналитических функций // Там же. -1970.-Вып.II.-С.3-15.

5. Капшивый A.A. К решению осесимметричных задач теории потенциала и теории упругости для пространства с плоской круговой щелью // Там же.-1970.-Вып.12.-С.23-37.

6. Капшивый A.A., Ломонос Л.Н. 0 решении осесимметричных задач теории упругости для шара и для пространства с шаровой полостью методом р -аналитических функций // Там же.-1970.-Вып.II.-С.96-107.

7. Полож1й Г.М., Капшивий 0.0. Про деяк1 властивост1 1нтег-рального зображення р -анал1тичних функц1й з характеристикою р'эс // В1сник Ки1в. ун-ту. Сер. математики та механ1ки.-1970.-№12.-С. 3-9.

8. Положий Г.Н., Капшивый A.A. 0 задачах линейного сопряжения р -аналитических функций с характеристикой />« » // Вычисл. и прикл. математика. -Киев: Изд-во Киев, ун-та, 1970.-ВыпЛ0.-С. 49-66.

9. Капшивый A.A., Ногин Н.В. К решению задач о комплексном ос. -аналитическом потенциале для сферического кругового диска //

Укр. матем. журн.-1970.-22,№3.-С.369-374.

10. Капшивый A.A., Ломонос Л.Н. 0 некоторых представлениях р-аналитических функций с характеристикой р»эс и их применение к решению осесимметричных задач теории потенциала и теории упругости // Вычисл. и прикл. математика. -Киев: Изд-во Киев, ун-та,1971.-Вып. 13.-С.53-63.

11. Капшивый A.A., Ломонос Л.Н. К решению осесимметричных задач теории потенциала и теории упругости для шара и для пространства с шаровой полостью // Там же. -1971.-Вып.15.-С.129-140.

12. Капшивый A.A. Об основном интегральном представлении зс.-аналитических функций и его применение к решению некоторых интегральных уравнений // Матем. физика.-Киев: Наук, думка,1972.-ВылЛ2.-С.38-46.

13. Капшивый A.A., Ломонос Л.Н. Контактная задача для упругой полой сферы // Вычисл. и прикл. математика.-Киев: Изд-во Киев, унта, 1972.-Вып.16.-С.85-94.

14. Капшивый A.A., Копыстыра Н.П. Осесимметричные задачи для упругого пространства с системой соосных круговых разрезов // Прикл. механика.-1974.-Ю,#Ю.-СЛ13-119.

15. Капшивый A.A., Копыстыра Н.П. Решение осесимметричных задач теории потенциала и теории упругости для пространства с системой соосных круговых разрезов // Науч. конф. "Вычислительная математика в современном научно-техническом прогрессе". -Канев, 1974.-ВыпЛ.-С.271-280.

16. Капшивый A.A. Задачи о комплексном со -аналитическом потенциале системы концентрических сферических дисков П Матем. физика. -Киев: Наук.думка, 1975. -Вып.17.-С.120-128.

17. Капшивый A.A. Задачи о комплексном ос -аналитическом потенциале системы шаров // Вычисл. и прикл. математика. -Киев: Изд-во Киев, ун-та, 1975.-Вып.27.-С.3-10.

18. Капшивый A.A., Копыстыра Н.П. Задача о комплексном ж -аналитическом потенциале системы соосных круговых дисков // Докл. АН УССР. Cep.A.-I975.-№2.-C.II0-II3.

19. Капшивый A.A., Стоян H.H. Решение осесимметричных задач теории упругости для двуполостного гиперболоида и полупространства с гиперболоидальной полостью методом р -аналитических функций // Вычисл. и прикл. математика. -Киев: Вища школа, 1975.-Вып. 25.-C.3-I3.

20. Капшивый A.A., Стоян H.H. Основная смешанная осесимметрич-ная задача для упругого двуполостного гиперболоида вращения // Докл. АН УССР.Сер.А.-1977.-ЩI.-С. 1005—1011.

21. Капшивый A.A., Стоян H.H. Решение некоторых осесимметричных задач теории упругости для однополостного гиперболоида методом р -аналитических функций // Матем. физика. -Киев: Наук, думка, 1978.-Вып.23.-С.56-63.

22. Александрович И.Н., Капшивый A.A., Пахарева H.A. Интегральные представления р -аналитических функций и решение смешанных задач // Вычисл. и прикл. математика. -Киев: Вища школа,1978.-С. 3-21.

23. Капиивый A.A., Копыстыра Н.П., Ломонос Л.Н. Осесимметрич-ное напряженное состояние шара с неконцентрической шаровой полостью // Докл. АН УССР.Сер.А.-1980.-№9.-С.50-55.

24. Капшивый A.A., Ногин Н.В. Вторая основная задача для упругого пространства с двумя разрезами по сферической поверхности // Там же. -1980.-№3.-СЛ0-14.

25. Капшивый A.A., Черный И.В. Задача о комплексном а:-аналитическом потенциале системы соосных кольцевых дисков // Вычасл. и прикл. математика. -Киев: Вища школа,1980.-Вып.40.-С.27-35.

26. Капшивый A.A., Черный И.В. Первая основная осесимметрич-ная задача для упругого пространства с системой соосных кольцевых разрезов // Там же.-1980.-Вып.42.-С.П7-126.

27. Капшивый A.A. О задаче линейного сопряжения эс -аналитических функций с комплексным постоянным коэффициентом // Там же.-1983.-Вып.49.-С.51-59.

28. Капшивый A.A., Ломонос Л.н'., Стоян H.H. Вторая основная задача об осесимметричном напряженном состоянии пространства с двумя сферическими полостями // Докл. АН УССР.Сер.А.-1984.-№6.-С. 42-46.

29. Капшивый A.A., Ломонос Л.Н., Стоян H.H. Осесимметричное напряженное состояние упругого пространства с гиперболоидальным разрезом // Прикл. механика. -1985.-21,№10.-С.3-9.

30. Капшивый A.A. Смешанная задача ос-аналитических функций для полукруга // Вычисл. и прикл. математика. -Киев: Вища школа, 1986.-Вып.60.-С.7-15.

31. Капшивый A.A., Ломонос Л.Н., Стоян H.H. Первая основная задача об осесимметричном напряженном состоянии шара с неконцентрической шаровой полостью // Докл. АН УССР.Сер.А.-1986.-№3.-С.37-41.

32. Капшивый A.A. О краевых задача* ж. -аналитических функций для полукруга с выброшенной системой полукругов // Иэа. вузов. Математика.-1987.-№7. -С. 16-24. п

joätingn otjojbo öcjojUob ¿0

¿об^п^дйдсзо оБлгуЛ'ОЙ gaSjoooohi 'dQomojoio q^jyO^mbob oigmrtoob (п£)Лс1ЬоЭо^пдс; йЗгацоБдМо

(rttjbgc; пйоЪэ)

Бесплатно

УЭ ООЧ 7в Заказ »10« Тираж 100

Издательство "Мецниереба", 380060, Тбилиси, ул.Кутузова,19 Типография АН ГССР, 380060, Тбилиси, ул.Кутузова,19