Аппроксимационные свойства гармонических дифференциальных форм в евклидовом пространстве и на римановых многообразиях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

§1. Предварительные сведения и основные определения.

§2. Изоморфизм некоторыхпространств гомологий и; когсжОЛогйй1" '" : на римановом многообразии.

§3. Конструктивное доказательство теоремы Рунге.

§4. Конструктивное доказательство теоремы Гартогса - Розенталя

§5. Теорема Рунге для гармонических дифференциальных форм на римановом многообразии.

§6. Теорема Гартогса - Розенталя для гармонических дифференциальных форм на римановом многообразии.

§7. Теорема о трех сферах для гармонических форм в евклидовом пространстве.

0.1. Диссертация посвящена изучению аппроксимационных свойств гармонических дифференциальных форм в евклидовом пространстве и на вещественном римановом многообразии. Дифференциальная форма и класса С°° называется гармонической, если она замкнута и козамк-нута, т.е. ы = 0, 5ш = 0. (0.1)

Через д, мы обозначаем оператор внешнего дифференцирования, а через 5 оператор кодифференцирования; 5 - формально сопряженный с оператор в пространстве квадратично суммируемых форм. Теория гармонических дифференциальных форм на римановых многообразиях, созданная Ходжем, Г.Вейлем, Кодаирой и Де Рамом к середине 20-го века (см.[Но^,К,Р]), играет заметную роль в теории гладких многообразий, алгебраической топологии, задачах математической физики и т.д.

0.2. Мы подходим к исследованию гармонических дифференциальных форм следующим образом. Пусть ш - 1-форма, заданная в открытом подмножестве X пространства Ш1, со = Дс^с1 + Тогда для формы ш система (0.1) принимает вид:

-— = -—, 1 <к<1<п, —--Ь . + —— = 0. (0.2)

ОХ1 ОХк ОХ\ охп

При п = 2 гармоничность дифференциальной формы си равносильна аналитичности функции /х — г/г в открытом множестве I С Я2 = С. В общем случае система (0.2) известна как обобщенная система Коши-Римана; некоторые свойства ее решений изучались, например, в [С,ЛР]. Локально решение (/ь ., /п) системы (0.2) совпадает с градиентом гармонической функции. Вопросы приближения градиентами гармонических функций рассматривались в работах [К,ЗЬ]. Изучению аппроксимационных свойств гармонических дифференциальных форм степени 1 (т.е. гармонических векторных полей) посвящена' работа [СХ].

В работах [КЬР,ПХ] изучались вопросы приближения гармбййчЙасй^ ми формами (произвольной степени) в евклидовом пространстве, которые рассматривались как обобщения аналитических функций одного комплексного переменного. Считается, что в евклидовом пространстве задана ориентация, но не фиксирован базис. После выбора согласованного с ориентацией базиса пространство Е отождествляется с пространством Rn. В первой части данной диссертации приведены конструктивные доказательства результатов работы [ПХ]. В 0.3-0.5 мы введем необходимые обозначения и сформулируем доказанные в [ПХ] теоремы.

0.3. Первый результат, на котором мы остановимся, - аналог классической теоремы Рунге о приближении аналитических функций рациональными. Здесь речь идет о приближении дифференциальных форм степени г, 1 < г < тг — 1, гармонических в окрестности компактного подмножества n-мерного евклидова пространства Е (п > 3). Роль рациональных функций играют определяемые ниже формы Ьио-Савара и Кулона.

Для определения форм Био-Савара и Кулона необходимо ввести некоторые понятия. В диссертации, как и в работе [ПХ] используется терминология книги Де Рама [Р]. Потоком называется непрерывный линейный функционал на пространстве форм класса Cq° (пробных форм). В частности, любой форме ф степени г с коэффициентами из L}oc соответствует поток, действующий на пробные формы степени п — г и обозначаемый Тф,

ТфЫ=1ЕФА^р. (0.3)

Пусть ф - форма класса Сд°. Ньютоновским потенциалом формы ф называется форма где сп = (п — 2)7^n1(5n1), 1~Ln~l - п — 1-мерная мера Хаусдорфа, Sn~l - единичная сфера в Rn, a m - n-мерная мера Лебега). Форма Ыф также имеет коэффициенты класса С°°, но уже, вобще говоря, не компактный носитель. Определение ньютоновского потенциала, так же как и операторов d и 5, естественным образом переносится на потоки. Пусть Т - поток с компактным носителем, тогда UT - поток, действующий на пробные формы по правилу: ит[ф] = т[иф]. (0.5)

Каждому конечному r-мерному циклу у соответствует поток с компактным носителем. Он определен на пробных формах степени г равенством

7 [ф] = 1 ф (0.6) и обращается в нуль на формах других степеней. Рассмотрим поток

BS7 - 5Ы-у. (0.7)

Вне носителя 7 он совпадает с гладкой гармонической формой, которую называют формой Био-Савара. (Слово "гладкий" всюду в работе означает класса С°°.) Степень формы Био-Савара, соответствующей г-циклу, равна (п — г - 1). В качестве примера рассмотрим 1-форму, Био-Савара в трехмерном пространстве. Предположим, что задана параметризация 1-цикла в R3, 7;[0,/] —> R3, 7(0) = 7(/), ¡7'(s)¡ = 1 на [0,1]. Тогда вне множества 7([0,/]) форма Био-Савара определяется равенством:

BS7(z) = —rot í1 -r^-^—rds (0.8) v ' 4тг h |7(s) -x\ v '

Каждому конечному r-циклу 7 в E соответствует также форма Кулона, обозначаемая Coul7. Это гармоническая вне носителя 7 форма степени г + 1. Прежде чем определять формы Кулона в n-мерном пространстве, отметим, что в трехмерном пространстве 1-формы Кулона отвечают 0-циклам, т.е. просто точкам, и имеют очень простой вид. Если a G R3, то

Coul"'(ж) = —V, 1 „ хфа. (0.9)

47г —

Вернемся к пространству Rn. На дифференциальных формах в Rn определен оператор Ходжа *, переводящий формы степени г в формы степени п — г. Он линеен и коммутирует с умножением на функции. Если а = (ai,., ar), 1 < ai < . < ar < п, а /3 = (/3i, .,/3nr) -дополнительный к а набор целых чисел, расположенных между 1 и п, Pi < . < (Зп, то dxn = *{dxa- A . A dxa') --= (-íy^dxV, (0.10)' где тт(а,(3) - четность перестановки (ai,., ar,/3i, .,/3nr). Нетрудно проверить, что определение оператора * зависит только от ориентации пространства, но не зависит от выбора ориентирующего базиса. Как обычно, определение оператора переносится с форм на потоки. Теперь мы можем определить поток

СоиГ = Щ*ч). (0.11)

Вне носителя 7 он совпадает с гладкой гармонической формой, которая и называется формой Кулона, соответствующей циклу 7.

Формы Био-Савара и Кулона называются элементарными гармоническими формами. Говорят также, что 7 - множество особенностей форм ВБ7 и Сои17.

0.4. В работе [ПХ].доказаны следующие варианты теоремы Рунге для гармонических дифференциальных форм.

Теорема А. Пусть К - компактное подмножество евклидова пространства Е. Множество элементарных гармонических форм с особенностями в Е \ К плотно в пространстве форм, гармонических в окрестности К (в топологии равномерной сходимости на К).

В случае, когда К - гладкое п-мерное компактное подмногообразие с краем в Е (что можно предполагать, не теряя общности, т.к. приближаемая форма гармонична в некоторой окрестности исходного множества К), пространства компактных сингулярных гомологий Е \ К конечномерны, и Теорема А допускает более точную формулировку. Пусть 71, .!,7м и Г1, .,Гдг - базисы пространств {п — г — 1)-мерных и (г — 1)-мерных компактных сингулярных гомологий Е\К, О - открытое подмножество Е \ К 5 пересекающееся с каждой-компонентой связности

Е\К.

Теорема В. Любую гармоническую вблизи К г-форму можно равномерно на К приблизить линейными комбинациями форм Кулона, соответствующих цикламТ\, форм Био-Савара, соответствующих циклам 71, .,7м> и элементарных гармонических форм с особенностями, расположенными и гомологичными нулю в О. При этом можно считать, что всё элементарные формы с особенностями в О суть формы Био-Савара (или что все они суть формы Кулона.

Отметим, что другой вариант теоремы Рунге доказан в работе [ДП]. Там гармоническая в окрестности К форма приближается линейной комбинацией форм Кулона и Био-Савара, отвечающих циклам Г1,., Г/\г и 7i, .,7м, соответственно, и так называемых простейших форм с точечными особенностями, содержащимися в О: "

0.5. Для того, чтобы сформулировать остальные интересующие нас результаты работы [ПХ], напомним некоторые определения.

Определение С. Пусть К - компактное подмножество п-мерного евклидова пространства Е, т(К) = 0. Говорят, что К удовлетворяет условию (dq), если для любой q-формы ш класса Ljoc(E), гладкой и точной в Е\К, верно равенство ¿Тш — 0.

Определение D. Компактное подмножество К евклидова пространства Е называется р-невидимым, если существует такой базис в Е; что все проекции К на р-мерные координатные (относительно этого базиса) плоскости имеют нулевую р-мерную меру Лебега.

В [ПХ] доказаны следующие утверждения.

Лемма Е. Любое р-невидимое компактное множество удовлетворяет условию (dnp).

Теорема F. Если К удовлетворяет условию то любую q-форму, замкнутую вблизи К, можно равномерно на К приблизить q-формами, гармоническими вблизи К.

Два последних результата позволяют сформулировать геометрическое условие на компактное множество К, достаточное для возможности равномерного приближения на К любой непрерывной g-формы гармоническими. При п = 2,. q — 1 это условие имеет вид т{Ж). = .0^joho совпадает с условием теоремы Гартогса-Розенталя о приближении комплексных непрерывных на К функций аналитическими.

Следствие G. Пусть 0 < q < n, q' = min(q + l,n — q + 1). Если компактное множество К q1 -невидимо, то любую непрерывную на К q-форму можно равномерно приблизить формами гармоническими вблизи К.

0.6. В работе [ПХ] доказательства Теорем А, В и F (так же как доказательство варианта теоремы В в [ПХ]) получаются с помощью описания пространств ортогональных поликовекторных зарядов и ссылки на теорему Хана-Банаха. Более того, в доказательстве Теоремы В используются последовательно теорема Де Рама (о совпадении пространств компактных сингулярных гомологий и компактных гомологий Де Рама), двойственность Александера-Понтрягина (пространств д-мерных компактных гомологий множества тЬ К ж (п — д — 1)-мерных компактных гомологий множества Е \ К, где К удовлетворяет условию из п.0.4) и теорема Хана-Банаха.

0.7. Опишем содержание первой части диссертации, в которой даны конструктивные доказательства аналогов теорем Рунге и Гартогса-Розенталя для гармонических дифференциальных форм в евклидовом пространстве.

Не пользуясь (в отличии от [ПХ]) ни двойственностью Александера-Понтрягина, ни теоремой Хана-Банаха, 'мы приводим конструктивное доказательство следующего варианта Теоремы В.

Теорема В'. Пусть К С Е - компактное множество, О - открытое подмножество в Е \ К, пересекающееся с каждой компонентой связности множества Е \К, со - д-форма, гармоническая вблизи К. Тогда в Е \ К существуют циклы 7 и Г размерностей п — д — 1 и q — l соответственно, такие, что форму = и) — ВЭ7 — Сои1г можно равномерно на К приблизить элементарными формами с особенностями, расположенными и гомологичными нулю в О; в качестве приближающих форм можно выбрать как формы Кулона, так и формы Био-Савара.

Циклы 7 и Г, о которых идет речь в формулировке теоремы, мы находим с помощью изоморфизмов пространств ЙЯ(К) ~ \ К) и Нп~ь(К) ~ Нц±(Е \ К), где НР(К) - пространство р-мерных кого-мологий Де Рама множества К, а Н*{Е \ К) - пространство р-мер-ных компактных сингулярных гомологий множества Е \ К~ Указанные изоморфизмы построены явно. Форма а>о оказывается точной и коточной в некоторой окрестности множества К. Преобразовав формулу Коши для формы о>о> мы записываем ее в виде суммы интегралов от форм Био-Савара и Кулона. Далее, как и в конструктивном доказательстве классической теоремы Рунге для аналитических функций, интегралы приближаются интегральными суммами и производится процедура вывода "полюсов".

Конструктивное доказательство Следствия С начинается с преобразования формулы Коши-Грина для формы класса

V = ¿5Ъ1<р + 5(Ш<р. (0.12)

Слагаемые записываются в виде сумм интегралов от форм Кулона и Био-Савара, соответственно. Однако циклы, порождающие эти формы, уже могут пересекать множество К. Из полученного представления естественным образом выделяется гармоническое слагаемое, и основные трудности вызывает оценка точности приближения.

0.8. В следующей части диссертации доказаны аналоги теорем Рунге и Гартогса-Розенталя для гармонических форм на римановых многообразиях. Так же, как в работе [ПХ], доказательства используют теорему Хана-Банаха и описание пространств ортогональных по ликов екторных зарядов или потоков. Отмётим, что приближение гармоническими фуи-кциями на римановых многообразиях изучалось в [ВВ]. Переход к естественной для гармонических форм среде обитания - риманову многообразию - потребовал по-новому осмыслить основные понятия и средства, применявшиеся при изучении аппроксимационных свойств гармонических форм в евклидовом пространстве. Так, если в [ПХ,ДП] теоремы о приближении выводятся из классической теоремы единственности для гармонических функций в Rn, то в случае риманова многообразия теорема единственности, соответствующая теореме Рунге, есть очень глубокий результат об исчезновении гармонической формы с нулем бесконечного порядка [AKS]. По этой причине сколько-нибудь явное построение приближающих форм в теореме Рунге кажется весьма затруднительным.

0.9. При изучении гармонических дифференциальных форм на произвольном римановом многообразии пришлось отказаться от использования фундаментального решения оператора Лапласа и от ньютоновского потенциала. Частичной заменой оператора U ( см.(0.4)) стал оператор Грина на компактном многообразии. Вместо формулы Коши-Грина (0.12) мы используем формулу Ходжа-Вейля-Де Рама-Кодаиры

Т = Ч{Г + Ч2Т + HT, (0.13) осуществляющую разложение потока с компактным носителем на точную, коточную и гармоническую составляющие (последняя отсутствует в случае Rn).

Первой задачей было определение элементарных гармонических форм на римановом многообразии.Оно подсказывается формулой (1.3). Однако, если в случае евлидова пространства (п — г — 1)-форма Био

Савара Б57 порождалась конечным г-циклом 7, то теперь, играющая аналогичную роль, (те — г — 1)-форма Ф(с) порождена некоторой конечной (г + 1 )-цепъю ф (с) = с-П1С = Н2С + Не. (0.14)

Точнее, вне носителя границы Ъс цепи с поток с — Нгс совпадает с гармонической формой, которую мы обозначаем Ф(с). Формы Ф(с) и Ф(с'), отвечающие цепям с общей границей Ъс = Ьс', вообще говоря, различны. Аналогично вместо форм Кулона мы рассматриваем формы ^ - (0.15) где е - некоторая конечная цепь, а * - оператор Ходжа на многообразии, являющийся аналогом оператора ■* в евклидовом пространстве, определенного в (0.10).

Формы Ф(с) и Ф(е) мы называем элементарными гармоническими формами с особенностями Ъс и Ье соответственно.

0.10 Сформулируем вариант теоремы Рунге, который мы доказываем для гармонических форм на римановом многообразии. Пусть М - п-мерное связное гладкое ориентированное риманово многообразие, К -компактное подмножество в. М. Через Н*(М,М \ К) мы обозначаем пространство относительных д-мерных сингулярных гомологий пары (М,М\К).

Теорема Н. Пусть 1 < р < те — 1, и пусть 0 - множество р-цепей, классы эквивалентности которых образуют базис в Нр(М, М \ К), а Н — множество (те — р)-цепей, классы которых образуют базис в М \ К). Тогда для любой р-формы ср, гармонической вблизи К, существуют С1,.,С£ £ 0, ех,., едг £ 2 и числа <21,., а^ и такие, что для любого открытого множества II С М\К, пересекающегося с каждой компонентой связности множества М\К, форму ср0 а,-Ф(су) - £ ЪкЩек) (0.16)

1 к=1 можно равномерно на К приблизить элементарными формами, соответствующими цепям, расположенным в II.

Вместо изоморфизма НЧ(К) ~ \ К) или двойственности

Александера-Понтрягина -й^ргЛ К) ~ \ К) (см. пп. 0.6-0.7) на произвольном многообразии мы вынуждены ограничиться изоморфизмом ~ М\ К), который подробно обсуждается в работе.

0.11. Изучение аналога теорема Гартогса-Розенталя для гармонических дифференчиальных форм на римановом многообразии мы начинаем с доказательства обобщения Следствия в, полученного в работе [МХ]. В обозначениях п.0.5 результат формулируется так:

Теорема I. Если компактное множество К С Е локально диффео-морфно конечному объединению с(-невидимых множеств, т.о любая а-форма, непрерывная на'Ж, допускает равномерное на К приближение q-фopмaмu, гармоническими вблизи К.

Доказательство, наряду с условием (Определение *С), использует более сильное условие (яс^).

Определение 3. Говорят, что компактное подмножество К евклидова пространства Е удовлетворяет условию (Бс1д), если для любого открытого С С Ей любой ц-формы ф £ Ь\0С(Е) из точности потока Тф в (? \ К следует его точность в 6?.

Условие (¿(¿д) устойчиво относительно конечных объединений. С помощью методов работы [Г] мы доказываем следующее утверждение.

Лемма Е'. Любое р-невидимое компактное множество удовлетворяет условию (зс1пр).

Мы будем использовать эту лемму при доказательстве варианта теоремы Гартогса-Розенталя на римановом многообразии.

0.12. В диссертации сформулированы аналоги условий (¿д) и (яс^) на многообразии. При обобщении условия (йс^) приходится учитывать возможную нетривиальность пространств гомологий данного' многообразия. На первый взгляд, обобщенное условие имеет мало общего с Определением Л.

Приведем формулировку теоремы, обобщающей Теорему I на формы на римановом многообразии. Пусть М удовлетворяет условиям п. 10<<-Компактное множество К С М мы называем р-почти невидимым, если К представимо в виде конечного объединения компактных множеств, содержащихся в носителях карт многообразия М и имеющих р-невидимый в 11п образ.

Теорема К. Пусть 0 < д < п, с[ = тгп(д + — <7 + 1). Если компактное подмножество К многообразия М д'-почти невидимо, то любую непрерывную на К д-форму можно равномерно на К приблизить формами, гармоническими вблизи К.

0.13. Как мы уже отмечали в п.0.8, теоремы Рунге о приближении собственными функциями (формами) некоторого дифференциального оператора связаны, а при определенных условиях и равносильны, теоремам о единственности продолжения. Мы имеем в виду следующее утверждение. Пусть V удовлетворяет уравнению Ии = 0 е области ТУ, (И - некоторый дифференциальный оператор), и и = ,0 в окрестности точки х Е У/; тогда и = 0 в . Используя нормальность семейства решений, из теоремы единственности можно извлечь следствие о распространении малости: если V С , а ТУо компактно содержится в , то для любого решения и из неравенств |г»| < £ в V и |г>| < 1 в IV следует неравенство |г>(ж)| < с(е), х Е \¥о. Задача нахождения явной зависимости с(г) очень интересна, но далеко не проста. В работе [КМ] рассматриваются подобные оценки для гармонических функций в КЛ Даже в этой ситуации точные значения с(е) неизвестны. С другой стороны, можно выводить теорему единственности из подобных количественных оценок, как это сделано, например в [А,ОЬ].

Все вышесказанное объясняет наш интерес к теореме о распространении малости для гармонических дифференциальных форм. В последней части диссертации мы. получаем обобщение теоремы Адамара о трех кругах на гармонические формы в евклидовом пространстве.

0.14. Пусть и - дифференциальная форма степени р, непрерывная в окрестности замкнутого шарового слоя {7*1 < \х\ < 7*2} С 1£п и гармоническая в {7*1 < |ж| < г2}. Для 7*1 < Я < г2 положим

0.17) где 5 = 5П 1 - единичная сфера в 11п. Теорема Ь. Верно неравенство

Нг < н^глчиг,

0.18) где 7*1 < т* < Г2, а а = к^гг/т")/1^(7*2/7*1), т.е. г = а.

Результаты такого типа были доказаны для решений различных эллиптических уравнений второго порядка (см. [В,КМ,СЬ]). Но при этом неравенство (0.18) было выполнено для функций,.удовлетворяющих уравнению во всем шаре {|ж| < г2}. Мы хотим подчеркнуть, что для гармонических дифференциальных форм формулировка нашей теоремы полностью повторяет Ь2 -вариант классической теоремы Адамара для аналитических функций. Отметим, что теорема о трех плоскостях, обобщающая теорему о трех прямых для аналитических функций, была доказана для гармонических векторных полей [ЛР], а затем (с помощью методов клиффррд(ща;анализа) :для;;моногенныхфункций--со-зналешшм-й;--в алгебре Клиффорда [РЭ]. Нетрудно проверить, что каждая гармоническая дифференциальная форма есть моногенная функция со значениями в подходящей алгебре.

0.15. Используя Теорему Ь, мы получаем оценку для эир-нормы гармонической формы. Пусть ||и||Г|00 = 8ир|ж|=г \и(х)\.

Теорема М. Зафиксируем число г 6 (г^гг). Тогда и\ шах{|| и 3

7-1, ОО и

11/3 1Ы17 1Ы!1-7 1 i Го ,00 5 ii "'||7-1,00|| ""ПТ^ОСи 1

0.19) для некоторых констант ¡3 — /3(гх, Г2>г) и 1 — 0 < /3 <

7 < 1, и любой р-формы и непрерывной в окрестности множества {Г1 |ж| ^ г2~) и гармонической в {г1 < < Г2}.

В отличие от (0.18) неравенство (0.19), по-видимому, достаточно грубое. Напомним, что для аналитических функций неравенство (0.18) остается таким же для вир-норм. Оно следует из субгармоничности логарифма модуля аналитической функции. Нам неизвестно, как должно выглядеть точное неравенство для вир-норм гармонических форм в п-мерном пространстве при п > 3. Вероятно оно связано с уравнением, которому удовлетворяют их модули. Известно, что модули гармонических дифференциальных форм удовлетворяют некоторому дифференциальному уравнению, но явный вид этого уравнения найден (см. [ГХ],

И). ,,

0.16. Диссертация состоит из семи параграфов. Первые два содержат подготовительные сведения. Наша цель здесь - ввести необходимые обозначения, определить элементарные гармонические формы на рима-новом многообразии (§1) и установить некоторые изоморфизмы пространств (ко)гомологий, используя удобный для нас язык потоков и дифференциальных форм (§2).

В третьем и четвертом параграфах даны конструктивные доказательства теорем Рунге и Гартогса-Розенталя для гармонических дифференциальных форм в евклидовом пространстве (Теорема В' и Следствие С). Они начинаются с преобразований формул Коши и Коши-Грина. Полученные представления дифференциальных форм в виде сумм интегралов от форм Кулона и Био-Савара представляют, на наш взгляд, самостоятельный интерес. Изложение в этих параграфах в основном следует совместной работе [МХ] с В.П.Хавиным.

Теорема Рунге для форм на римановых многообразиях доказана в §5. Сначала устанавливается; принципиальная возможность аппроксимации формы, гармонической вблизи компакта, элементарными формами. Затем доказывается Теорема Н. Мы также обсуждаем приближение формы </?о из (0.16) гармоническими формами с точечными особенностями.

Следующий параграф посвящен доказательству Теоремы К. Здесь мы формулируем условия (с1д) и (зс^) для компактных подмножеств многообразия. При этом очень удобным оказывается использование индекса Кронекера пар потоков. Он позволяет придать смысл некоторым интегралам от суммируемых форм по циклам, которые не существуют в классическом смысле.

Наконец, в последнем (седьмом) параграфе приведены доказательства теорем о трех сферах для гармонических форм (Теоремы Б и М). Оценка 1Лнормы (0.18) получается с помощью разложения формы по собственным формам оператора Лапласа на сфере, после чего, второе неравенство (0.19) получается достаточно стандартным образом.

Основные результаты диссертации опубликованы в [МХ],[М] и [М1].

Я искренне признательна В.П.Хавину за постоянное научное руководство, постановку задач и многочисленные обсуждения данной работы.