Геометрические свойства инстантонов на четырехмерном евклидовом пространстве тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 513.6

АЕДЕЛЬ РАХМАН МОХАМЩЦ ШЕХАТА

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ИНСТАНГОНОВ НА ЧЕТЫРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 01.01.04 - Геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 1993

Работа выполнена на кафедре дифференциальной геометрии и приложений механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор Ю.П.СОЛОВЬЕВ Официальные оппоненты - доктор физико-математических

наук, ведущий научный сотрудник А.Ф.З&РШИЛАДЗЕ - кандидат физико-математических наук, С.В.ЛАПИН Ведущая организация - Московский государственный педагогический университет

Защита диссертации состоится "23 " ^/¿^у.хА^ 1994 года в 16 час.05 мин. на заседании специализированного совета Л 2 (Д.053.05.05) при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу 119899, ГСП, Москва, Воробьевы Горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд. 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан " " .¿-/¿/¿¿^иА 1994 года.

Ученый секретарь Специализированного Совета Д 053.05.05

профессор В.Н.Чубариков

Общая характеристика работы. Пространства модулей автодуальных связностей в главных расслоениях над римэновым четырехмерным многообразием изучаются, как правило, с .двух различных точек зрения. Первая из них касается топологического строения этих пространств модулей. Наиболее известными и значительными, здесь являются работы С. Дональд-сона1),г),33'4), который показал, что знание даже простейших топологических свойств пространства модулей приводит к очень глубоким результатам о топологии гладких четырехмерных многообразий. С другой стороны, физики изучают эти пространства потому,' что полуклассическая (инстантонная) аппроксимация функций Грина евклидовой квантовой теории Янга-Миллса выражается в терминах интегралов по пространствам модулей. Вычисление таких интегралов требует детального описания метрики и формы объема пространств "модулей, т.е. описания пространств модулей как конкретных римановых многообразий.

Естественной римановой метрикой на пространстве модулей Л является так называемая Ь2-метрика, которая определяется следующим образом5'. Связности на главном расслоении

G —» Р —♦ М,

где м - гладкое четырехмерное многообразие и G - компактная полу-

1). Donaldson S.K. An application of gauge theory to four-dimensional topology. J. Differ. Geom., 18, 279 - 315, 1983.

2). Donaldson S.K. Irrationality and the h-cobordism conjecture. J. Differ. Geom., 26, 141-168, 1987.

3). Donaldson S.K. Polynomial invariants for smooth 4-manifolds. Topology, 29, 257-315, 1990.

4). Donaldson S.K., Kronheimer P.K. The geometry of 4-manifolds. Oxford Univ. Press, 1990.

5). Singer I. The geometry of the orbit spase for nonabelian gauge theories. Physica Scripta, 24, 817 - 820, 1981.

простая группа Ли, образуют аффинное пространство Л, касательное пространство к которому есть пространство 1-форм на M со значениями в ассоциированном векторном расслоении AIP = Е *AdG g, где g -алгебра Ли группы G и Ad : G —» End(g) - присоединенное представление . 1г-екалярное ' произведение таких форм определяет риманову метрику на А. Эта метрика инвариантна относительно действия группы ç автоморфизмов расслоения Р, называемой группой калибровочных преобразований. Поэтому касательное расслоение ТА расщепляется на S-инвариантные вертикальное и горизонтальное подрасслоения. Метрика на горизонтальном подрасслоении определяет метрику на пространстве орбит A\ç. Метрика на пространстве модулей А, являющимся подмногообразием в A¡G, получается тогда ограничением метрики из пространства орбит А|5-

Возможность дальнейшего изучения метрики на Я связана с тем, что в некоторых случаях известно полное топологическое описание этого пространства. Наиболее фундаментальным примером является пространство модулей автодуальных связностей на SU(2) - расслоении с инстантонннм числом К = 1 над стандартной четырехмерной сферой S4. Топология этого пространства хорошо известна. Атыя, Зингер и Хитчинб) показали, что Д1 диффеоморфно пространству к5. Более точно, они доказали, что группа SO(5,1) конформных диффеоморфизмов четырехмерной сферы транзитивно действует на со стационарной подгруппой SO(5); поэтому диффеоморфно .пятимерному пространству S0(5,1)|S0(5) а к5.

Используя этот координатный диффеоморфизм * S : к5 + л,

6). Atiyah M.P., Hitchin N.. Singer I. Self-duality in four dimensional Riemannian geometry. Proc. Roy. Soc. London, Ser. A 362, 425 - 461, 1978.

различные авторы7),B)l95 показали, что прообраз Ъ2-метрики g на может быть задан в пространстве к5 формулой

(¿*8)ti =Ф2(Р) 013 для некоторой функции <|> переменной р = |х|. Отправляясь от этой формулы, можно без труда получить следующие свойства риманова многообразия (Л1,g):

(1) Л, конформно плоско;

(2) ЛЦ радиально симметрично;

(3) Л, имеет конечный радиус и, следовательно, не полно;

(4) Лу имеет конечный объем.

Цель работы. Настоящая диссертация посвящена изучению Ьг-метрики на пространстве Д1 (Q) модулей автодуальных связностей в расслоении

Q = к4 * SU(2)

с инстантонным числом К = 1. Существенное отличие этого случая от описанного выше состойт в том, что пространство ш4 (база расслоения Q) не компактно.

Общая методика работы. Подход к изучению метрики^на Л^О) заключается в следующем. Согласно теореме Уленбек об устранимой особенности101 пространство модулей ЛЦ (Q) отождествляется с пространством Л,- и, следовательно, Л, (Q) также даффеоморфно Rs. Мы рассматриваем семейство римановых метрик g , s е (0,1] на четырехмерной римановой сфере S4, которые лежат в конформном классе стандартной .

7). Doi Н., Matsumoto Y., Matumoto Т. An explicit formula of the metrics on. the moduli space of the BPST-«instantons over S4. A J^te of topology. New York : Academic Press, 1987.

8). Grossier D. The geometry of the moduli space of CP2 instantons. Invent.Math., 99, 393 - 409, 1990.

9). Grossier D., Parker Т.Н. The geometry of the Yang-Mills moduli space for definite manifolds. J. Diff. Geom., 29, 499 - 544, .1989.

10). Uhlenbeck K. Removable singularities in Yang-Mills fields. Commun. Math. Phys., 83, 11 - 29, 1982. '

- б -

метрики и удовлетворяют условию

lim g_ = g . на к1 = Б^ЧСюжный полюс). s - о s к4

Семейство £gsJ индуцирует семейство {GB) Ь2-матрик на пространстве модулей л — Л, (Q) автодуальных связностей на главном SU(2> -расслоении над стандартной четырехмерной сферой. Следовательно, если lGß} сходится к римановой метрике GQ на Л1( то мы можем рассматривать G0 как метрику на (Q), отвечающую евклидовой метрике

Затем мы показываем, что метрика 0о является в действительности Ьг-метрикой на Д^О). Для этого используется конструкция, позволяющая отождествлять касательные векторы к (0) с гармоническими 1-формами на евклидовом пространстве кЛ. Научная новизна. Основные результаты диссертации можно сформулировать следующим образом.

1. На пространстве модулей инстантонов (0) над к4 вычислена б явном виде метрика С0, являющаяся пределом римановых метрик на ин* стантонном пространстве над стандартной четырехмерной сферой.

2. Доказано, что метрика С0 на Л1 (0) является Ьг-метрикой.

3. Описано метрическое пополнение ^(0) риманова пространства (0),0о). Показано, что Л1 (0) \ (0) даффеоморфно четырехмерному евклидову пространству, и что вложение >1,(0) с Л, (0) является вполне геодезическим отображением'.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический

I

характер. Конструкции, результаты и методы настоящей работы могут послужить основой для дальнейшего исследования геометрической

' ' гГ

структуры пространств модулей автодуальных связностей в случае более сложных базовых, многообразий и, вероятно, будет иметь конкретные физические применения.

Апробация работа. Основные результаты диссертации докладывались на общекафедральном семинаре кафедры дифференциальной геометрии и приложений механико-математического факультета МГУ. Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в одной работе, данные о которой приведены в конце автореферата. Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, а также списка цитированной литературы. Общий объем диссертации 57 страниц. Библиография содержит 28 наименований. ■ КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ. Во введении обосновывается актуальность темы исследования, дается краткий обзор литературы, излагается общая методика исследования и формулируются цели работы.

Первая глава представляет собой краткий обзор основных понятий и конструкций, относящихся к теории Янга - Миллса. Подробно эти вопросы освещены в работах 11),1г?. Пусть - компактное

ориентированное риманово четырехмерное многообразие и С —» Р—» М - главное расслоение, структурной группой которого является компактная полупростая группа Ли в с алгеброй Ли 9. Обозначим через АйР = Р д присоединенное ассоциированное расслоение и рассмотрим пространства Пч(АйР) = Г(ЛЧТ*М ® АйР) д-мерных форм на М со значениями в расслоении АсЗР. Расслоения ЛЧТ*М ® АйР наделены естественными метриками (•,•). индуцированными римановой метрикой и формой Кшишнга. Поэтому на пространстве Оч(А<1Р) определено скалярное произведение

«р, ф> 2 = / (ф, ф), где ф, .ф е ПЧ(А<ЗР). ь М •

11). Фрид Д., Уленбек К. Инстантоны и четырехмерные многообразия. М., Мир, 1988.

12). Соловьев Ю.П. Топология четырехмерных многообразий. Успехи матем. наук, 46, Я ?., 1991.

Пусть А : ТР д - связность в главном расслоении С -> Р ■» Ы. Эта связность определяет операторы ковариантной производной

V4 : Г(ЛЧТ*М ® А<ЗР) — Г(Т*М ® ЛЧГ*М ® А<ЗР). Взяв композицию с внешним умножением, мы получаем ковариантную внешнюю производную

йА : ПЧ(А4Р) -» Пч+1(Ас1Р). Кривизной связности А называется оператор

аА.1А : П°(А<1Р) — П2 (АбР). Проверяется, что йд0^ - это оператор нулевого порядка, задаваемый умножением (в алгебре Ли в) на некоторый элемент Рд е Пг(Ас1Р); элемент РА называется формой кривизны связности А.

Пусть * : Пг(МР) —» 0г(Ас1Р) - оператор Ходжа, построенный по фиксированной метрике на М. Этот оператор разбивает Пг(АйР) в прямую сумму собственных ±1 - подпространств Л^САсЗР^:

Пг(Ас!Р) = П2(АсЗР) © П2(Ас1Р). В соответствии с этии разложением форма кривизны ТА представляется в виде прямой суммы

РА = +

Связность А называется автодуальной, если = 0. Обозначим через 5В(Р) множество автодуальных связностей на расслоении Р.

Множество всех гладких автоморфизмов расслоения й —> Р —» М, неподвижных на базе, называется калибровочной группой расслоения Р и обозначается через £ или через 5(Р). Эту группу можно естественным образом отождествить с пространством сечений ассоциированного расслоения Аиг Р = Р *Ай б.

Калибровочное преобразование в € £ действует на связностях по формуле

и, следовательно, переводит РА в (Асй)РА- В частности, группа С

переводит в себя пространство автодуальных связностей SD(P). Положим

Л = SD(P)¡S(P)

и назовем М пространством модулей автодуальных связностей. Это множество содержит в качестве плотного открытого подмножества пространство модулей Я неприводимых автодуальных связностей.

Автодуальные связности на многообразии И = S4 (в случае G = = SU(2)) называются инстантонами. Теорема Атыя-Хитчина-Зингера показывает, что в случае, когда Л не пусто, оно локально является многообразием размерности

2 р, (AdP) ЕМ] - dim G (1 - b1 + b~), где b1 = dim H1(M; о?) и b~ есть размерность пространства антиавтодуальных гармонических форм на М. В частности, для инстантонов

dim л = 2 р^АОРНШ - 3. Известно, что число Понтрягина p^AdP) для SU(2)-расслоения кратно четырем: р1 = 4 К. Число К называется инстантонным числом данного расслоения. В дальнейшем мы будем изучать инст,антоны с К = 1 и станем обозначать соответствующее пространство модулей через Л^Р) (или просто через Л^). (Соответственно, через Л^Р) или через Л1).

Во второй главе описываются общие метрические свойства пространств модулей инстантонов.

Так как H2(S4;z) = а, то пространство Л1 не содержит приводимых связностей. Поэтому пространство М.^ = является пятимерным многообразием.

Конформные диффеоморфизмы четырехмерной сферы S4 образуют группу Ли, изоморфную SO(5,1). Следу^13) мы показываем, что суще-

13). ДНуай М.Р., Hitchin N., Singer I. Selí-duality in íour dimensional Riemannian geometry. Proo. Roy. Soc. bondon, Ser. A 362, 425 - 461, 1978.

•ствует естественное транзитивное действие этой группы на пространстве модулей . Стационарная подгруппа этого действия на каждом инстантоне изоморфна S0(5) и поэтому многообразие Л, диффеоморфно гиперболическому пятимерному пространству

Л, s S0(5,1 )|S0(5) s иЛ Основная цель второй главы заключается в явном описании этого диффеоморфизма.

Пусть v ( к5. Положим

1 1

г = |v|, а = Ch(r), Ъ = -• sh г, Ь = 1, т = -—- ,

г т а - Ы

V V V

где fv(-) = (v,-).

Обозначим через v связность ■ Леви-Чивита на четырехмерной сфере й определим отображение из к5 в пространство связностей А, полагая

S : к5 -* А, 5(т) = = 7 - bvTvXv, где Xv - одномерна!} AdP-значная форма на S4, определяемая вектором у ç к?.. Пусть к г Л -* «И, - естественная цроекция пространства» связностей на пррЬтранство модулей инстантонов. Основной результат второй главы - это следующее утверждение.

Теорема 2.4. Отображение S : ге5 —► А индуцирует диффеоморфизм S = 1С • S : к5 -» л, и, следовательно, задает координаты на многообразии ЛЦ. □

Третья ipiaBa посвящена вычислению в явном виде метрики S*g на пространстве ж5 и изучению на этой основе геометрических свойств риманова многообразия (Л1, g). Чтобы сформулировать основные результаты этой главы, введем в рассмотрение следующие функции:

1 ' 3 Зг-chr

А(г) = —з- + -

sh г sh г sh г

1 г Зг

I г ОА -, d

'В(Г) = = \-=- 3 cth(r)--J- - cht'sht'A(r) ,

V2(2 - A(r)) L sh г J

и

где г = |т|, V е к5.

Теорема 3.8. Пусть g - метрика на пространстве модулей ин-стантонов Л,. При диффеоморфизме

5 : к5 -> Л1

метрика & преобразуется в метрику S*g = йх1 ® бх-1, где

4А(г) , хЬс^ ,

_ |- i -ч Л Л

h,

В (г)

Эту формулу можно упростить специальным выбором координат. Положим

4А(Г)

С(г) =--1 и

В(г)

, г /1 + C(S) - 1 . Е(г) = ехр[ -ds I.

о

Тогда отображение

i НУ = е(г> х

является диффеоморфизмом и уравнение

р = гЕ(г) •>?

определяет г как гладкую функцию от р. В частности, мы можем определить гладкую положительную функцию ф(р), задавая ее соотношением

В(г)

[ф(р)]г = 27С2

[Е(г)]г

С помощью этой функции метрику из предыдущей теоремы можно переписать в следующем виде (см.9)):

Теорема 3.8. Существует такой координатный диффеоморфизм 5 I —► .ЛЦ 9

для которого прообраз естественно^ Ь2-метрики в на Л, задается формулой

где ф -.гладкая функция переменной р = |х|. □

Эта теорема вместе с явным видом функции <|> позволяет нам опи-

сать основные геометрические свойства пространства модулей инстан-тонов Л,.

Теорема 3.9. Риманово многообразие (Л,,g> обладает следующими свойствами.

(1). А1 конформно плоско.

(2). Действие группы 50(5) на S4 индуцирует изометрию Л1, прообраз которой при диффеоморфизме S совпадает с обычным S0(5) - действием на к5.

(3). Л, имеет конечный радиус, и, следовательно, не полно.

(4). Л1, имеет конечный объем. □ Четвертая глава занимает в диссертации центральное место,- в

ней доказываются основные результаты диссертации, посвященные описанию Ь2-метрики на пространстве модулей автодуальных SU(2)-cbh3-ностей с инстантонным числом К = 1 над пространством к4 с евклидовой метрикой.

Основные результаты диссертации - это теоремы 4.6, 4.7. и

•в

4.11, дающие полное геометрическое описание этого пространства модулей.

Пусть Q = к4 * SU(2) - тривиальное главное SU(2) - расслоение над пространством к4, снабженным евклидовой метрикой g .. Положил.

Г"* О

ct =

о t1/i

€ SL(2,IH) и

1 *

— (С g , , se (0,1 К 4s s 1 S4

Прямая проверка показывает, что

1

=

bs (1 + S|X|2)2 К-

ДА

на к = S \ {южный полюс). Следовательно, существует поточечный '(в к4) предел

lim g = g . s-ю к

Таким образом, предел

0о = 11т С3 , з-»о

где - метрика на Л,, индуцированная метрикой можно рассматривать как метрику на Л (О). Пусть

ф : ге+ * и -> Л, (0) -параметризация пространства модулей /1,(0), задаваемая формулой ф(г,Ь) = [А0]-сг-11ь, где 1 -Р О 1

е БКг.н)

и А0 - базовый инстантон.

Теорема 4.6. Предел С0 существует в каждой точке и является плоской римановой метрикой, задаваемой формулой

.2 , Отт»

ф*й0 = — От2 + л , г €

где пространство кватернионов (н отоздествляется с к4.

Теорема 4.7. Пусть ЛЦШ) - пополнение (Л,(С!), С0) как метрического пространства. Тогда

(I) Л, (0) Ч Л, (0) диффеоморфно к4 ;

(II) вложение /!,((]) = (0) является вполне геодезическим отображением. □ Теорема 4.11. Риманова метрика С0 является Ь2-метрикой на

пространстве модулей инстантонов ^ (0).

Список работ по теме диссертации.

1. АБДЕЛЬ РАХМАН М.Ш. Геометрические свойства инстантонов на четырехмерном евклидовом пространстве.