Квазиклассические решения и структура вакуума в двумерной сигма-модели и калибровочных теориях тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение

§ I. О квазиклассическом подходе калибровочных теориях.

§ 2. Вакуумные состояния в классической теории

Янга-Миллса.

§ 3. Переход к квантовой теории. Инстантоны

§ 4. Инстантоны и фермионы

§ 5. Инстантоны, антиинстантоны и другие

Основные положения, выносимые на защиту

Глава I. Мероны в теории 1Янга-Миллса.

§ I. Квазиклассическое разложение около условных экстремумов действия.

§ 2. Конфайнмент. Инстантоны и мероны.

§ 3. Разделение переменных в функциональном интеграле

§ 4. Меронная конфигурация. Дополнительные условия. Устойчивость относительно внутренних флуктуаций.

§ 5. Функции Грина.

§ 6. Поверхностные моды. Обсуждение

Гдава П. Фермионная сигма-модель. Общие свойства.

§ I. Сигма-модель и теория Янга-Миллса. Построение фермионной сигма-модели.

§ 2. Нулевые моды.

§ 3. Токи и аномалия.

§ 4. Асимптотическая свобода.

Глава Ш. Инстантоны в сигма-модели с массивными фермиона

§ I. О взаимодействии компонент инстантон-антиинстантонного газа.

§ 2. Действие. Вторая вариация

§ 3. Фермионные детерминанты. Случай малой массы

§ 4. Анализ Jet г

§ 5. Взаимодействие инстантонных компонент

§ 6. Фермионные детерминанты. Случай большой массы

§ 7. Плотность фермионов в инстантонном поле

Глава 1У.Точные инстантон-антиинстантонные решения в сигма-модели с фермионами.

Введение

§ I. Эффективное действие

§ 2. Решение классических уравнений.

§ 3. Мера интегрирования на инстантон-антиинстантонном многообразии

§ 4. Вторая вариация действия.

§ 5. Вычисление 2j0.

§ 6. Вычисление Обсуждение

§ 7. Функции Грина . III

§ I. О квазиклассическом подходе в калибровочных теориях поля

Построение законченной теории сильных взаимодействий - одна из центральных задач физики элементарных частиц. В течение последних лет сложилось убеждение, что эти взаимодействия правильно описываются квантовой хромодинамикой, то есть калибровочной теорией со структурной группой Однако успешно применить квантовую хромодинамику удалось только к жестким процессам, протекающим при высоких энергиях и больших переданных импульсах [1-2]. В этой области эффективная константа взаимодействия мала[з-4], что позволяет использовать стандартную теорию возмущений.

Иначе обстоит дело с такими задачами, как расчет масс адро-нов и описание мягких процессов рассеяния. В этом случае константа связи, входящая в уравнения хромодинамики, велика, и в ряду теории возмущений нельзя ограничиться несколькими первыми членами. Можно было, тем не менее, надеяться, что учет большего числа членов или суммирование бесконечных серий диаграмм позволяет приблизиться к истине.

Исследования, проведенные в этом направлении [Ъ-Ю], дали обескураживающий результат. Оказалось, что если классические уравнения движения при мнимом времени (то есть в евклидовом пространстве) имеют решение с конечным евклидовым действием, то вклад членов ряда теории возмущений порядка и* при п->о° растет как ^ь / . Такой быстрый рост приводит к возникновению особенностей у преобразования Бореля и делает обратное преобразование неоднозначным. Квантовая хромодинамика оказалась теорией именно такого типа, поэтому, если нельзя ограничиться несколькими первыми членами, то пытаться суммировать ряд теории возмущений бессмысленно.

С другой стороны, совершенно ясно, что решающее влияние на спектр низколежащих состояний должно оказывать нарушение кираль-ной симметрии. Необходимость такого нарушения вытекает уже из отсутствия дублетов по четности в реальном спектре масс элементарных частиц. В квантовой хромодинамике дивергенция аксиального тока оказывается пропорциональной плотности топологического частности топологически нетривиальных полей к генерации спектра масс. Эти поля не могут рассматриваться как малые флуктуации около вакуума теории возмущений, и поэтому становится понятной неудача последней в низкоэнергетической области.

Правильная теория должна учитывать все топологически неприводимые вакуумы. Замечательный пример здесь демонстрирует модель Швингера [12]. В этой точно решаемой модели удалось показать [13], что истинный вакуум является линейной комбинацией всех топологически различных вакуумов ( 9 -вакуум). При этом была решена и Т7(4 J - проблема [14], возникающая во всякой глюон-ферми-онной теории с нарушенной киральной симметрией. Отсутствие безмассового псевдоскалярного бозона оказалось связано со сложной структурой пространства физических состояний.

Результаты, вдохновляющие на более внимательное изучение роли топологически нетривиальных полей, были получены и в других моделях [33].

Ясно, что эту задачу надо решать непертурбативным путем. Но такой современный метод как переход к решеточной теории заряда глюонного поля Отсюда возникает подозрение о при

15-1бЗ вряд ли здесь вполне адекватен. Действительно, большинство достижений в этом направлении [17-183 связано с чистой глюо-динамикой. Введение же в решеточную теорию фермионов и топологического заряда встречается с рядом трудностей [1$]• Наконец, существуют изначальные недостатки этого подхода: отсутствие явной Лоренц - инвариантности, введение дополнительных параметров (шаг решетки, ее размер).

Поэтому закономерно обращение к квазиклассическим методам [20-31^ в задаче описания низколежащих состояний в квантовой хромодинамике. Метод свободен от недостатков решеточного подхода. Возникновение членов вида -е^б ) 9 Где

- константа связи в квазиклассическом разложении естественно, а именно такую структуру, согласно уравнениям ренорм-группы, должна иметь, например, масса, возникшая в результате динамического нарушения симметрии. Метод, наконец, позволяет сосредоточить внимание на полях определенного вида.

Для применения квазиклассического разложения нужно иметь решение классических уравнений движения. Эту базу предоставляют именно те самые решения, которые гарантировали возникновение особенностей в борелевском суммировании. То, что эти решения удовлетворяют уравнениям движения в евклидовом пространстве, тоже получает простую интерпретацию в квазиклассическом подходе. Как показано в [32^, решения евклидовых уравнений движения с конечным евклидовым действием описывают туннельные переходы между различными классическими состояниями (между различными классическими вакуумами в данном случае).

Не касаясь ,здесь внутренних проблем квазиклассического подхода, отметим, что существует очень важная задача согласования низкоэнергетического (квазиклассического) описания с правильными результатами теории возмущений в высокоэнергетической области. Возникший на этом стыке метод сумм [34-37^ опирается на операторное разложение Вильсона £383. При этом коэффициенты разложения вычисляются по теории возмущений, а операторам сопоставляются их вакуумные средние - конденсаты, - вычисленные каким-либо непертурбативным методом (например, квазиклассическим), поскольку в рамках теории возмущений эти средние обращаются в нуль. То, что конденсаты входят в измеримые величины, позволяет производить отбор существенных полевых конфигураций, и, в итоге, понять структуру вакуумного состояния квантовой хромодинамики. Таким образом, в современной теории квантовых полей роль квазиклассического подхода важна и, в какой-то степени, уникальна. Систематическому изложению применения этого метода в теории калибровочных полей посвящены последующие параграфы.

Основные выводы и полученные в работе результаты были перечислены во Введении, здесь же будет дан лишь их краткий обзор.

Исследование меронной конфигурации в евклидовой теории Янга-Миллеа (Глава I) в достаточной степени продемонстрировало возможности и трудности метода квазиклассического разложения около условного экстремума действия. Кроме проблемы выбора класса полей, возле которых будет вестись разложение, при дополнительных условиях, сосредоточенных на каких-то поверхностях, возникает еще и задача нахождения функций Грина. Принципиально решаемая, она может оказаться технически очень сложной.

Полученное ограничение (1.27) на область устойчивости меронной конфигурации, указывает на некорректность применения к таким полям приближения разреженного газа. Этот вывод, с одной стороны, затрудняет построение многомеронных конфигураций из решений (1.11), поскольку теперь нужно учитывать влияние соседних меронов, а с другой - подрывает возможность получения асимптотики петли Вильсона (I. 10 б). Действительно» если учитывать лишь устойчивые меронные конфигурации, то вклад в Вильсоновскую петлю будут давать только меронные пары, расположенные вблизи контура интегрирования, что приведет к асимптотике (I. 10 а).

Предложенная и изученная во второй главе фермионная сигма-модель оказалась в некоторых отношениях (асимптотическая свобода, пропорциональность аномалии аксиального тока топологическому заряду, нулевые фермионные моды в инстантонном поле) аналогичной квантовой хромодинамике. Это сходство позволяет предполагать, что результаты, полученные при изучении двумерной модели в третьей и четвертой главах, будут иметь аналоги и в четырехмерной теории. 6 отличие от суперсимметричных сигма-моде-лей, где нетривиальное бозонное поле вызывает ненулевое ферми-онное поле, в рассматриваемой модели есть возможность обратить последнее в нуль. Это обстоятельство сближает постановку вопроса об инстантонном вкладе в функциональный интеграл модели с тем же вопросом в рамках квантовой хромодинамики. Возникающее из-за взаимодействия с фермионами отталкивание между инстантон-ными компонентами, обнаруженное в третьей главе, должно, видимо, воспроизводиться и в теории Янга-Миллса. Именно такую трактовку можно дать множителям ^^ в (В. 17).

Основная задача квазиклассического подхода в теории неабе-левых калибровочных полей - учет инстантон-антиинстантонного вклада - доставляет много хлопот теоретикам, так как, строго говоря, такие конфигурации не являются решениями классических уравнений движения. В четвертой главе намечен выход из этой ситуации. Оказалось, что если включить в действие детерминанты, возникающие при интегрировании по безмассовым фермионным полям, то его экстремумами будут инстантон-антиинстантонные поля. Аналогичный результат следует ожидать и в теории Янга-Миллса, если удастся достаточно точно вычислить фермионный детерминант.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Novikov V.A.,Okun L.B.,Shifman M.A.,Vainshtein A.1., Voloshin M.B.fZakharov Y.I. Ohaxmonixim and gluons. Phys.Rep.,1978, v. 41, n.I, p.I - 133.

2. Shurxyak E.V. QCD and the theory of supercondense matter. Phys.Rep., 1980, v.6I, n.2, p.7I 158.

3. Politzer H.D, Reliable perturbative results for strong interactions? Phys.Rev.Lett., 1973» v.30, n.26,p.1346 1349.

4. Gross D.J.,Wilczek P. Ultraviolet behavior of non-abelian gauge theories. Phys.Rev.Lett., 1973» v.30, n.26,p.1343 1346.

5. Липатов Л.Н. Расходимость ряда теории возмущений и квазиклассика. ЖЭТФ, 1977, т.72, №2, с.411 427.

6. Lip at о v L.Im. , Buchvo s t о v A.P. High orders in the perturbation theory in scalar electrodynamics. Phys.Lett., 1977» v./OB, n.I, p.48 55.

7. Bogomolny E.B.ji'ateev V.A. Large order calculations in gauge theories. Phys.Lett., 1978, V.7IB, n.I, p.93 99.

8. Brezin E. ,le Guillow J.-C.,Zinn-Justin J. Perturbation theory at large order. Phys.Rev., 1977» v,I5D» n.6,p.1558 1564.

9. Sinn-Justin J. Large order perturbation theory. Phys.Rep., 1979» v.49, n.2, p.109 213.

10. Lautrup B. On high order estimates in QBD. Phys.Lett., 1977» v.69B, n.I, р.Ю9 III.1.. Трейман С.,Джекив Р.,Гросс Д. Лекции по алгебре токов. Москва, Атомиздат, 1977, 232 с.

11. Schwinger J. Gauge invariance and mass II. Phys.Rev., 1962, v.128, n.5, p. 2425 2429.

12. Kogut J., Suskind L. How quark confinement solvesproblem, Phys.Rev., 1975, v.IID, n.I2 p.3594 -3610.

13. Weinberg S. U(I)-problem. Phys.Rev., 19/5» v,IIDt n.I2, P. 3583 -3593.

14. Wilson K.G. Confinement of quarks. Phys.Rev., 19/4, v. IOD, n.8, p. 2425 2440.

15. JBalian R., Drouffe J.M. ,Itzykson C. Gauge field ona lattice. Phys.Rev., 1974, v.IOD, n.IO, p.3376-3395.

16. Макеенко Ю.М. Метод Монте-Карло в калибровочных теориях на решетке. Усп.Физ.Наук, 1984, т.143, №2, с.161 202.

17. Creutz М., Jacobs Ь., Rebbi С» Monte-Carlo computations in lattice gauge theories. Phys.Rep., 1983» v.95, n.4, p.201 282.

18. Cotta-Ramusino P., Del'Antonio G. Selfduality and topo-logical-like properties of lattice gauge field theories. A proposal. Comm.Math.Phys., 1979, v.70, n.I, p.75-95.

19. Keller J.B. Corrected Bohr-Sommerfeld quantum conditions for nonseparable systems. Ann.Phys.(IT.Y.), 1958, v.4, n.2, p.180 188.

20. Gutzwiller M.C. Phase-integral approximation in momentum space and the bound states of an atom. J.Math.Phys.,1967, v.8, n.IO, pI979 2000.

21. Gutzwiller M.C. Periodic orbits and classical quantization conditions. J.Math.Phys.,1971» v.I2,n.3, p,343-357*

22. Маслов В.П. К методу стационарной фазы для континуального интеграла Фейнмана. Теор.Мат.Физ., 1970, т.2, Щ,с.30-35.

23. Маслов В.П.,Федорюк М.В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. М.,Наука, 1976, 296с.

24. Dashen E.F. ,Hasslcher B.,Nevew A. Nonperturbative methods and extended-hadron models in field theory.

25. Phys.Eev., 197^, v.IOD, n.I2, p.4II4 4142.

26. Dashen E . E .,Hasslacher B.,Nevew A. Particle spectrum in model field theories from semiclassical functional integral techniques. Phys.Eev., 1975, v.IID, n.I2, p. 34243450.

27. Bardeen W.A. »Chanowitz M.S.,Drell S.D. .Weinstein M. ,

28. Yan T.-M. Heavy quarks and strong binding: A field theory of hadron structure. Phys.Eev., 1975, v.IID, n.5, p.1094 1136.

29. Goldstone J.,JackiwE. Quantization of nonlinear waves. Phys.Eev., 1975, v.IID, n.6, p.I486-I498.

30. Gervais J.-L.,Sacita B. Extended particles in quantumfield theories. Phys.Rev,,1975, v.IID, n,IO, p.2943-2945,

31. Mcbaulin D.W,, Complex time contour independment path integrals and barrier penetration. J.Math.Phys., 1972, v. 13, n.8, p.1099 И06.

32. Polyakov A.M. Quark confinement and topology of gauge fields, jmcl.Phys., 1977, V.I20B, n.3, p.429-458.

33. Shifman M,A.»Vaishtein A.I.»Zakharov V.I., QCD and resonance physics. Theoretical foundations, Nucl.Phys,,1979» V.I47B, n,5, p.385 447.

34. Shifman M,A.,Vainshtein A,I,.Zakharov V.I, QCD and resonance physics. Applications, Nucl.Phys., 19У9, V.I4/B, n.5, p. 448 519.

35. Shifman M.A.,Vainshtein A.I.,Zakharov V.I. QOD and resonance physics: The J-b* mixing. flucl,Phys., 1979, V.I47B, n.5, p.919 534.

36. Вайнштейн A.H.,Захаров В.И. ,1Шфган M.A., Новиков B.A. КХД и масштабы адронных масс. ЭЧАЯ, 1982, т.13, №3, с.542 612.

37. Wilson E.G. Non-lagrangians Models of current algebra. Phys.Rev., 1969, v.179, n.5, p.1499 1512.

38. Wadia S.,Toneya T, The role of surface variables in the vacuum structure of Tang-Mills theory. Phys .Lett, ,19 77, v. 66B, n.4, p.341-346.

39. Wadia S. Hamilton formulation of non-abelian gauge theories with surface terms, Phys,Rev.,1977, V.I5D, n.I2,p.3615 3622,

40. Callan C.G,,Dashen R,,Gross D.J. Toward a theory of the strong interactions. Phys .Rev., 1978, v.I7D,n.I0,p.271742• Белавин А. А. »Поляков A.M. Метастабильные состояния двумерного изотропного ферромагнетика. Письма в ЮН, 1975, т. 22, МО, с.503-506.

41. Belavin А.А. »Polyakov A.M. »Schwartz A.S. »Tyupkin Yu.S. Pseudop article solution of the Yang-Mills equations.

42. Phys.Lett., 1975, v.59B, n.I, p.85 -88.44. t'Hooft G. Computation of quantum effects due to a four dimensional pseudoparticle. Phys.Rev., 19/6, v. I4D, n.I2, p.3432 3442.

43. Jeckiw R.,Nohl C.,Rebbi G. Conformai properties of pseudop article configurations. Phys.Rev., 19/7» v.I5D, n.6, p.1642 1646.

44. Schwartz A.S. On regular solutions of euclidean Yang -Mills equations. Phys.Lett., 1977, v.6?B, n.2, p.172-173-Jeckiw R.,Rebbi C. Degrees of freedom in pseudop article systems. Phys.Lett.,1977, v. 67B, n.2, p.I89 -193.

45. Дринфельд В.Г., Манин Ю.И. Автодуальные поля Янга-Миллса над сферой. функц.Анализ и его приложения, 1978,т.12, №2, с.78-79.

46. Корешн В.Е., Шаташвилли С.Л. Трёхинстантонное решение. Изв.АН СССР, сер."матем.и, 1984, т.48,Ш, с.331-346.

47. Новиков В.А.»Вайнштейн А.И.,Захаров В.И., Ши$ман М.А. йнстантонная азбука. Препринт ИТЭФ-2, Москва, 1981.

48. Carlitz R.D.,Creamer D.J. Light quarks and instantos. An#.Phys.(fJ.Y.;, 1979, V.II8, n.2, p.429 475. Andrei N.»Gross d.J. Effect of instantons on the short-distance structure of hadronic current. Phys.Rev.,1978, V.I8D, n. 2, p.468 - 481.

49. Jeckiw R.,Rebbi C. Vacuum periodicity in Yang-Mills quantum theory. Phys.Rev.Lett., 1976, v.37,n.3,p.I72-I75.51. t »Hooft G. Symmetry breaking through ±>ell-Jeckiw anomalies. Phys.Rev.Lett., I976,v.37, n.l, p.8 -II.

50. Bogomolny E.B. Calculation of instanton-anti-instanton contributions in quantum mechanics. Phys.Lett. ,1980, v.9IB, n.3,4, p.43I 4-35.

51. Иоффа М.З. Многокинковые конфигурации и квазинулевые моды. Яд. Шиз., 1983, т.37, №2, с.510-521.

52. Gildner E.,Patrascioiu A. Pseudoparticle contribution to the energy spectrum of a one dimensional system. Phys.Rev., 1977, V.I6D, n.2, p.423 430.

53. Callan C.G.,Dashen R.F.,Gross D.J. Atheory of hadronik structure. Phys.Rev., 1979, v.I9D, n.6, p.1826 1855. Instantons as a bridge between weak and strong coupling in quantum chromodynamics. Phys.Rev., 1979, V.2QD, n.I2, p. 3279 ~ 3291.

54. Белавин A.A., Поляков A.M., Метастабильные состояния двумерного изотропного ферромагнетика. Письма в ЖЭТФ, 1975, т.22, НО, с.503-506.

55. Shuryak E.V. The role of instantons in quantum chromodynamics i. Препринт 81-118, ИЯФ CO АН СССР, Новосибирск, 1981, 39 с.

56. Ilgenfritz E.-M. ,Mueller-Preussker M. Statistical mechanics of the interacting Yang-Mills Instanton gas. Nucl.Phys., 1981, v. I84B, n.3, p.443 460.

57. Dyakonov D.I.,Petipv V.Yu. Instanton based vacuum from Feynman variational principle. Preprint 900,

58. ЛИЯФ АН СССР, Ленинград, 1983 , 43 с.

59. Исмагилов Р.Г.,Франке В.А. Флуктуации около меронного решения в евклидовой теории Янга-Миллса. Теор.Мат.Физ., 1982, т.52, «2, с.229 236.

60. Об устойчивости меронов в евклидовой теории Янга-Миллса. Тезисы доклодов У1респ.школы молодых физиков. АН УзССР, Ташкент, 1981, с.211.

61. Gervais J.b. Collective coordinates with non-trivial dynamics. Phys.Rep., 1979, v.49» n.2, p.131,-142.

62. De Alfaro V.,Purlan G.,Fubini S,. A new classical solution of the Yang-Mills field equations. Physiett., 19/6, v.65B, n.2, p.163 166.

63. Исмагилов Р.Г.,Франке B.A. Аномалии в двумерной ё -модели с фермионами. Теор.Мат.Физ., 1983, т.55, Ю,с.401-406.

64. Polyakov A.M. Interaction of Goldstone particles in two dimensions.Application to ferromagnets and massive Yang-Mills fields. Phys.Lett., 1975, v.59B, n.I, p.79-81.

65. Белавин А.А.,Поляков A.M. Метастабильные состояния двумерного изотропного ферромагнетика. Письма в ЖЭТФ, 1975, т.22, ЩО, с.503 506.

66. Woo G. Pseudoparticle configurations in two-dimensional ferromagnets. J.Math.Phys.,1977, v.18, n.6,p. 1264-1266.

67. Eichenherr H. SU(N) invariant non-linear & -models. Nucl.Phys., 1978, V.I46B, n.I, p.215 223.

68. Golo V.L.,Perelomov A.M. Solution of the duality equations for the two-dimentional SU(iQ invariant model.

69. Phys.Lett.,19/8, v./9B, n.I,2, p.112 113 .

70. Mikhilov A.V.,Perelomov A.M. Instanton-like solutions for the supersymmetric chiral models. Preprint 1ШЕР 75, Moscow, 1979, 7 p.

71. Luscher M. Quanyum non-local charges and absence of particle production in the two-dimensional non-lineard -model. Fuel.Phys., 1978, V.I35B, n,I, p.I 19.

72. Polyakov A.M. Hidden symmetry of the two-dimensional chiral fields. Phys.Lett.,1977, V.72B, n.2, p.224-226.

73. Zamolodchicov A.,Zamolodchikov A. Relativistic factorised S matrix in two dimentions, having 0(и) isotopic symmetry. Nucí.Phys.,1978, V.I33B, n.3, p.525 - 535.

74. Karowski M. Exact S matrices and form factors in I+I dimensional theoretical models with soliton behaviour. Phys.Rep., 1979, v.49, n.2, p.229 - 237.

75. Aref *eva I.Yu. ,Asakov S.I. Renormalisation and phasetransition in the quantum CI^j model (D=2,3). mcl.Phys.,I 8 V.I62B, n.2,p.298 310.

76. D * Adda A.,di Yecchia P.,Luscher M. A I/n expandable series of non-linear б" -models with instantons. Nucl.Phys•,I9'/8, V.I46B, n.I, p.63 76.

77. D 'Adda A.,di Vecchia P.,Luscher M. Confinement and chiral symmetry breaking in OP^.j models with quarcs. Nucl.Pbys., 1979, V.I52B, n.I, p.125 144.

78. Witten E. Instantons, the quark model and I/ expansion. Nucl.Phys., 1979, V.I49B, n.2, p.285-320.79» D'Adda A.,di Yecchia P.,buscher M. Chiral symmetry restoration in the CP1« model with fermions. Phys.bett.,1981, v.IOIB, n.I, p.85 90.

79. Affleck I. Testing of instanton method. Phys.Lett. Д980, V.92B, n.I,2, p.149-154.

80. Jevcki A. Instantons and the 1/8 expansion in non-linearб -models. Phys.Rev.,1979, V.20D, n.I2, p.3331 -3335.

81. Jevicki A. Quantum fluctuations of pseudop articles in the non-linear -models. iYucl.Phys.,1977, v.I27B, n.I, p.125 140.

82. Froster D. On the structure of instanton plasma in the two-dimensional 0(3) non-linear d> -model. mcl.Phys., 1977, V.I30B, n.I, p.38 60.

83. Fateev Y.A.,Frolov I.V. .Schwartz A.S. Quantum fluctuation of instantons in the non-linear <0 model.mcl.Phys., 1979, V.I54B, n.I, p.I 20.

84. Berg B.,Luscher M.,. Computation of quantum fluctuations around multi-instanton fields from exact Green's functions:the OP11"1 case. comm.Math.Phys., 1979, v.69, n.I,p.57-80.

85. Iwasaki I. The structure of the vacuum I. Two-dimensional non-linear 0(3) d -model, Progr.Theor .Phys. ,1982, v. 68, n.2, p.448 470.

86. Iwasaki Y.,Yoshi T. The two-point funktion of the nonlinear 0(3) (6 -model. Phys.Lett., 1982, V.II2B, n.4,5, p.3/9 381.

87. Бухвостов А.П. .Липатов Л.Н. Взаимодействие инстантонов и анти-инстантонов в 0(3)- S -модели и полностью решаемая фермионная модель. Письма в ЮТФ, 1980,т.31,№2,сЛ38-142.

88. Witten E. Supersymmetric form of the non-linear d -model in two dimensions. Phys.Rev., 1977, V.I6D, n.IO, p.2991 2994.

89. Di Vecchia P.,Ferrara S. Classical solutions in twodimensional supersymmetric field theories. nucl.Phys., 1977. V.I3QB, n.I, p.93-104.

90. Novikov V. ,Shifman M. ,Vainshtein A.»Zakharov V. Instantons and exact Gell-Mamn-Low function of supersymmetric0(3)-sigma-model. Preprint ITEP 188, Moscow, 1983,25p.

91. D'Adda A.,di Vecchia P.,Luscher M. Confinement and chi-ral symmetry breaking in CP*" ,J-models with quarks.nucl.Phys,,1979i V.I52B, n.I, p.125-144.

92. Боголюбов Н.Н.,Ширков Д.В. Введение в теорию квантованных полей. Москва, Наука, 1976, 479 с.

93. Исмагилов Р.Г. Легкие фермионы и инстантоны в 0(3)-сигма -модели. Теор.Мат.Физ., 1984, т.59, №3, с.465-474.

94. Исмагилов Р.Г. Взаимодействие инстантонов на больших расстояниях в 6 -модели с фермионами. Вестн.ЛГУ, сер."физ.хим.", 1985, №4, с.86-87.

95. Schwartz A.S. Instantons and fermions in instanton's field. Comm. Math. iJnys., 1979» v.64, n.3, p.233-268.

96. Романов В.Н.,Шварц А.С. Аномалии и эллиптические операторы. Теор.Мат.Физ., 1979, т.41, №2, с.190-204.

97. Eguchi Т.,Gilkey Р.В.,Hanson A.J. Gravitation, gauge theories and differential geometry. Phys .Rep 1980, v.66, p.213-393.

98. D'Adda A.,Luscher M.,di Yecchia P. Topology and higher symmetries of the two-dimensional non-linear & -model. Phys.Rep., 1979, v.49, n.2, p.239 244.

99. Polyakov A.M.,Wiegmaim P.B. Theory of non-abelian goldstone bosons in two dimensions. Phys .Lett. ,1983, V.I3IB, n.I,2,3» p.I2i 126.

100. Gross D.J. Meron configurations in the two-dimensional 0(3)- б -model. Nucl.Phys., 1978, V.I32B, n.3,p.439-456.

101. Lowenstein J.H.,Swieca J*A., Quantum electrodynamics in two dimensions. Ann.Phys.,I9'/I,v.68,n.I,p.I72-I96.

102. Nielsen U.K.,Schroer B. Topological fluctuations and breaking of chiral symmetry in gauge theories involving massless fermions. Nucl.Phys., 1977, V.I2QB, nl, p.62-76.