Необходимое и достаточное условия деформации В-монополя в инстантон тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ЯРОСЛАВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. К. Д. УШИНСКОГО СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ СОВЕТ К 113.27.01

на правах рукописи

УДК 512.723

ТКЗРИН Николаи Андреевич

Необходимое и достаточное

условия деформации В-монополя в инстантон

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ярославль 1995

Работа выполнена на кафедре алгебры Ярославского государственного педагогического университета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Тихомиров А. С.

Оффициальные оппоненты:

доктор физико-математических наук,

профессор Танкеев С. Г. кандидат физико-математических наук Кулешов С. А.

Ведущая организация — Самарский Государственный Университет.

Защита состоится "......" .................... 1996 г. в......часов на заседании специализированного совета К 113.27.01 при Ярославском государственном педагогическом университете по адресу:

150000, Ярославль, ул. Республиканская, 108.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Ярославского государственного педагогического университета.

Автореферат разослан "....."..............................1996 г.

Ученый секретарь спецсовета, кандидат ф.-м. н.

Шендеровский В. Г.

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

П. А. М. Дирак в предисловии к первому изданию книги г Введение в квантовую механику" ([8]) следующим образом определил понятие физической величины. А именно, физическая величина, наблюдаемая нами, есть некоторый инвариант набора преобразований. Законы поведения в некоторой системе есть законы, перестановочные со всеми преобразованиями этой системы. И общая цель физики представлена как нахождение уравнений, инвариантных относительно как можно больших групп преобразований.

В каждом разделе математики найдутся методы, связанные с нахождением

и изучением инвариантов некоторых объектов по деиетвию-соответствующих------- —

групп преобразований. Инварианты заменяют нам сами эти объекты во многих рассмотрениях. Кроме того, отдельно в каждом случае поставленные вопросы классификации объектов могут разрешаться именно в терминах численных характеристик, остающихся неизменными под действием групп преобразовании этих объектов.

В современной дифференциальной геометрии в качестве объекта действия группы в последнее время используются пространства решений некоторых известных дифференциальных уравнений (так называемых пространств модулей), и сами группы - группы диффеоморфизмов многообразий. Так, Дональд-соном ([2]) были предложены к рассмотрению многообразия модулей инстан-тонов для 4-мерных многообраз!ш. Важность таких рассмотрений приходит из нужд дифференциальной топологии. Многообразие модулей может быть использовано для опредедяшя инвариантов подлежащего гладкого четырехмерного многообразия X. Эти инварианты определяются фундаментальным классом [Ai] многообразия модулей инстантонов и классами когомологий на пространстве классов калибровочно эквивалентных неприводимых связностей A'/Q. Из этого возникают известные падиномы Дональдсона.

Модули инстантонов доставляют инварианты подлежащего многообразия, а инварианты это то, что интересует физиков. Поэтому не слишком неожиданной видится связь между квантовой теорией поля и дифференциальной геометрией в изучении инстантонов. А именно, Э.Виттен в [11] показал что хотя бы формально можно определить квантовую теорию, для которой статсумма вида

W(t) = JJ

не зависит от < и доставляет дифференциально-топологические инваринты подлежащего многообразия X. Здесь интеграл берется по пространству пар (А, ф), где А связность, а ф - вспомогательное поле. Производя интегрирование сначала по ф, возможно представить И'(£) как интеграл по пространству связ-ностей. При стремлении параметра I к нулю интегрант локализуется вблизи инстантонов, и Виттен предположил, что мы снова получаем те же инварианты, что и из полиномов Дональдсона.

Позднее Виттен совместно с Н.Зайбергом предложил новые инварианты 4-мерных многообразии, тесно связанные с дональдсоновскими, но зачастую гораздо более простые для работы. Инварианты Заиберга - Виттена четырых-мерных многообразия X определяются количеством решений естественной системы дифференциальных уравнений, определяемых с помощью выбора 5ртс-структуры на X. То есть строится отображение из классов эквивалентности 5ргггс-структур (из возможных классов Черна детерминанта сшшорного расслоения) в целые числа.

Эта система, получившая название уравнение монополя, в последнее время прочно вошла в обиход математики во всем мире. Приведем два примера, ярко иллюстрирующих степень полезности и применимости уравнения монополя в алгебраической и симплектической геометрии.

Д.Кронхеймер и Т.Мровка в [3] показали как использование этих новых инвариантов 4-мерных многообразий, получающихся из уравнения монополя, легко (полное доказательство - на трех страницах, случай небывалый в современной практике) приводит к доказательству гипотезы Тома - "род алгебраической кривой в СР2 равен нижней границе рода любых 2-мнбгоббразйй, представляющих один и тот же класс гомологий". Как известно, род гладкой алгебраической плоской кривой степени с1 получается из формулы д = (й — 1) • (й — 2)/2, поэтому авторами утверждение представлено в виде:

Теорема. Пусть Е ориентированное 2-мерное многообразие, гладко вложенное в СР2 так что представляет тот же класс гомологии, что и некоторая алгебраическая кривая степени (¡. Тогда род Е больше или равен чем {¿—1)-(<£—2)/2

Другой интереснейший результат представлен К.Таубсом в [12]. Если на гладком ориентированном компактном многообразии X имеется симплекти-ческая структура ш, совместимая с ориентацией, тогда эта симплектическая структура задает целый конус почти комплексных структур эрмитово совместимых с ней. Выбрав одну мы немедленно получаем метрику д на X и класс Черна С\ выбранной нами почти комплексной структуры на X может быть взят в качестве Бртс-структуры на X. Будучи целочисленным, этот класс не зависит от выбора почти комплексной структуры из стягиваемого конуса, и зависит только от деформационного класса симшюктический структуры. Главная теорема Таубса утверждает, что в этом случае инвариант Заиберга - Виттена для С1 и метрики д равен ±1.

Вообще необходимо заметить, что в симплектическом случае уравнение монополя имеет более простой вид. Причина в том, что в этом случае спинор-ное расслоение 5"+ раскладывается в прямую сумму 5+ = / ф А'-1, где I -тривиальное комплексное линейное расслоение, отвечающее собственному подпространству с собственным значением — I клиффордова умножения на ш, и К

- каноническое расслоение почти комплексной структуры, причем К~1 отвечает собственному подпространству с собственным значением г для того же умножения. А также и расслоение Л+ автодуальных форм раскладывается в прямую сумму Л+ ® С — С ■ ш ® К ® .

В дальнейшем мы будем называть решения уравнения Зайберга - Виттена абелевыми монополями. Такое название предполагает наличие и других 'монопалей - неабелевых.

Неабелевы монополи стали следующим шагом, обобщающим понятие монополя на случай, когда с многообразием X связывается дополнительный объект

- расслоение, например, {/(2)-расслоение. Кроме абстрактной самоценности этой конструкции (как всякой математической), появление неабелевых монополей позволило наглядно, геометрически соединить инварианты Дональдсона с инвариантами Зайберга - Виттена.

А именно, в многообразие модулей неабелевых монополей очевидным образом вкладывается многообразие модулей инстаитонов. Вложение определяется следующим образом: если мы рассмотрим уравнение неабелевых монополей

Л.(Ф)=0

^в+ = -(Ф®Ф)оо, ' '

где Оа - оператор Дирака, подкрученный на связность а, и если в паре (а, Ф) = (связность, спинор) положить Ф = 0, то оставшееся условие будет равносильно тому, что а - антиавтодуальная связность, то есть инстантон. С другой стороны, если рассмотреть теперь вырождение связности, то есть предположить, что связность а - приводимая, тогда в качестве такого рода особенностей многообразие модулей неабелевых монополей содержит в себе абелевы монополи

- классические монополи Зайберга - Впттена. То есть схема особенностей содержит в себе и многообразие модулей инстантонов, и многообразие модулей абслевых монополей. Кроме того, так как многообразие модулей инстантонов не компактно, оно по теореме Уленбск компактифицируется ЬиШтд-инстантонами, то в схему особенностей попадают еще и некоторые из этих последних.

Цель работы.

Основной целью работы является исследование малых деформаций неабелевых монополей (В-монополей). Благодаря этому становится возможным ответить на вопрос о том, возможно ли деформировать инстантон в решение уравнения неабелева моноподя.

Научная новизна.

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Исследованы малые деформации В-монополей вблизи многообразия модулей инстантонов (инстантонной пленки), вложенного в конфигурационное пространство неабелевых монополей как компоненты подсхемы особенностей;

2. Доказано необходимое условие возможности деформации инстантона в решение уравнения неабелева монополя - а именно, решение можно выпустить из инстантона подскока;

3. Для общего случая доказано достаточное условие на формальном уровне.

л

Теоретическая и практическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Результаты работы могут быть применены в дифференциальной геометрии четырехмерных многообразии, а также в калибровочных теориях суперсимметричного Яяга - Миллса.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на семинаре по алгебраической геометрии Математического института им. Стеклова РАН.

Публикации.

Результаты диссертации опубликованы в статье [13].

Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

Содержание работы

Во введении дается обоснование актуальности работы и краткое изложение содержания работы.

Глава 1 содержит предварительные сведения, необходимые основания для построения теории монополей, так как изложения на русском языке этого современного материала нет. Это же относится и ко второй главе. В этих главах специальные ссылки на источники опущены. Литературой для первой главы могут служить [1] и [2], для второй - [3] и [7].

В третьей главе вводится понятие неабслевых монополей (В-монополей) М. В отличие от абелевого случая, конфигурационное пространство состоит из пар (С/(2)-связностъ на некотором расслоении Е, скрученный спинор). То есть в задании конфигурационного пространства уже соединяются условия теории Дональдсона и Заиберга - Виттена.

Многообразие модулей ?/(2)-инстантонов вкладывается в многообразие модулей монополей М, но вкладывается как подсхема особенностей. Наглядно это видно из следующего: исследуем, как себя ведут решения монопольного уравнения при приближении к Оказывается, верна следующая

Теорема 1. Пределами решений уравнения монополя при стремления сшшор-нои части к нулю могут быть только пнетантопы подскоки, то есть такие азе/—связности, которые допускают существование гармонического спинора.

Инстантоны подскока могут быть описаны как первый член фильтрации Брилля - Нетера.

Действительно, если произвольный член фильтрации определяется как

Мк = {а е МазЛ\гккегОа > к},

то для связности а принадлежность к М1 означает, что существует некоторый спинор Ф, принадлежащий ядру ксгПа, а такой спинор и называется гармоническим.

Итак, предельным множеством для монополей может быть только Л^ь но действительно ли это есть предельное множество? Всякий ли инстантон подскока реализуется как предел некоторой монопольной траектории? Ответ на этот вопрос дает

Теорема 2. В общем случае из любого инстантона подскока можно хотя бы формально выпустить решение уравнения В-монополя.

Заметим, что данная теорема отвечает еще и на вопрос о существовании самих В-монополей.

В качестве доказательства теоремы 2 строится формальное решение уравнения неабелева монополя, выпускаемое из инстантона подскока.

В Заключении рассматриваются некоторые свойства индексного расслоения оператора Днрака. Индексное расслоение определяется как разность в K-функторе коядра и ядра оператора Дирака:

indDa = cokerDa — kerDa.

Ранг этого расслоения вычисляется по формуле Атья - Зглгге.рп. Интересно, что некоторые классы Черна этого расслоения достаточно просто представляются геометрически.

Я бесконечно признателен А.С.Тихомирову за сердечное п бескорыстное научное руководство, В.Я.Пидстригачу за внимание и ценные замечания по поводу работы, но в первую очередь - моим родителям, без настойчивости, любви и терпения которых и этого малого труда не могло бы быть.

Литература

[1] M.F. Atiyah, R. Bott, The Yang-Mills equations over Riemann surfaces, Phil. TVans. R. Soc. London A308 (1982), 523-615.

[2] S. Donaldson and P. Kronheimer, The Geometry of Fo-ur-Manifolds, Clarendon Press, Oxford, 1990.

[3] P.V. Kronheimer and T.S.Mrovka, The Genus of Embedded Surfaces in the Projective Plane,, Preprint (1994).

[4] В.Пидстригач, А.Тюрин, Инварианты гладкой структуры алгебраической поверхности задаваемые оператором Дирака, Изв. РАН 52:2 (1992), 279-371.

[5] А. Тюрин, Спин-полиномиальные инварианты гладких структур на алребраиче ских поверхностях, Изв. РАН 57:2 (1993), 125-164.

[6] Д.Фрид и К.Улеибек, Инстантопы и четырехмерные многообразия, Мир, Москва, 1988.

[7] Е. Witten, Monopoles and four-manifolds, Preprint IASSNS-HEP-94-96 (1994).

[8] П.А.М. Дирак, Принципы квантовой механики, Мир, Москва, 1960.

[9] И.Р. Шафаревич, Алгебра - 1, Энциклопедия математики. ВИНИТИ. Т.11, Москва, 1986.

[10] Vic.Pidstrigach, An.Tyurin, Nonabelian monopoles. Draft., Preprint.

[11] E. Witten, Duality in supersymmetric gauge theories., Notes from E.Witten's lectures (1995), Santa Cruz.

[12] Cl.II. Tkubes, The Seiberg-Witten invariants and symplectic forms, Math. Res. Letters 1 (1994).

[13] H. Тюрин, Необходимое и достаточное условия деформации В-монополя в инстан-тон, Изв. РАН (1996).

Ярославль, ул. Республиканская, д.126

E-mail address: Tyurin@tyurin.rnian.su