Граничные задачи для многомерных неклассических систем уравнений в частных производных тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Новосибирский государственный университет

Р Г Б ОД

^ На правах рукописи

УДК 517.946

О I- •! л п <

Сафаров Джума Холович

Граничные задачи для многомерных неклассических систем уравнений в частных производных

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск 1996

Работа выполнена в Кулябском спублики Таджикистан.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, проф. Белов Ю.Я.

доктор физико-математических наук, проф. Кожанов А.И.

доктор физико-математических наук, проф. Янушаускас А.И.

Ведущая организация

Московский государственный авиационный технический университет

Зал^ита диссертации состоится " /т^" 1С1996 г. часов на заседании Диссертационного совета Д 063.98.02

¿Г

в Новосибирском государственном университете по адресу: 630090, Новосибирск, 90, ул. Пнрогова, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного университета.

Автореферат разослан . 19% г.

Ученый секретарь Диссертационного совета доктор фнз.-мат. наук, проф.

ш

Белоносов В.С.

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Одним из важных вопросов теории дифференциальных уравнений с частными производными является исследование граничных задач для различных классов уравнений, в частности для уравнений неклассического (составного) типа. Предлагаемая диссертация посвящена постановке п исследованию общих граничных задач для неклассических (составных) систем уравнений с частными производными первого порядка в плоских ограниченных областях и изучению характера разрешимости ряда граничных задач для многомерных неклассических систем уравнений первого и второго порядка. Дифференциальные уравнения с частными производными, имеющие в каждой точке рассматриваемой области наряду с комплексными характеристиками действительные характеристики, получили название уравнения составного типа. Краевые задачи для таких уравнений изучены разными авторами (Ж.Адамар, О.Сестранд, Р.Девис, А.В.Бицадзе, М.С.Салахитдинов, Т.Д.Джураев, Г.И.Эскин, В.Н.Врагов, А.И.Кожанов и др.).

Развитие теории неклассических (составных) систем уравнений берет свое начало в 60-е годы XX века работами таджикского математика А.Джураева, где были впервые поставлены и исследованы граничные задачи для систем уравнений первого порядка составного типа с двумя независимыми переменными. В его книге «Системы уравнений составного типа» (М.: Наука, 1972) был разработан метод сингулярных интегро-функциональных уравнений, с помощью которого была построена теория нормальной разрешимости и вычислены индексы задач через их коэффициенты. Дальнейшие исследования по граничным задачам для систем составного типа с двумя независимыми переменными проводились в работах Л.Вольферсдорфа, Ц.Видица, Д.Муртазаева, С.Муллоева, А.Сангинова, М.Нурублоева и других авторов. Однако в многомерном случае такие системы очень мало изучены, если не считать рассмотрения отдельных систем уравнений в полупространстве, в цилиндрической области, а также отдельных систем для областей типа слоя (А.Джураев, А.Янушаускас, П.Берхин, З.Дубля, А.В.Кажнхов и др.). При исследовании многомерных неклассических систем возникают новые моменты, вызываемые не только трудностями технического характера. Например, весьма привлекательный и удобный метод сингулярных интегральных урав-

нений теряет свою силу из-за отсутствия сколько-нибудь полной теории многомерных сингулярных интегральных уравнений по области с краями. Нет до сих пор достаточно общих методов исследования неклассических систем с многими независимыми переменными, вследствие чего рассматриваемые в работах вышеназванных авторов системы имеют частный характер. Далеко от полного завершения также исследование неклассических систем с двумя независимыми переменными. Поэтому представляет интерес исследование неклассических систем уравнений с частными производными первого и второго порядка с многими независимыми переменными и дальнейшее развитие теории граничных задач для неклассических систем уравнений первого порядка с двумя независимыми переменными.

Цель работы.

1. Постановка и исследование новых и наиболее общих гр личных задач типа задачи Сестранда для систем составного типа с двумя независимыми переменными.

2. Построение пространственных аналогов неклассических (со. ; ставных) систем уравнений с частными производными первого и второго порядка, обладающих одним и двумя семействами вещественных характеристик и представления общего решения полученных систем. ;

3. Постановка и исследование граничных задач для многомерных

. неклассических систем уравнений первого и второго порядка в

различных (ограниченных и неограниченных) областях размерности три и более. .

4. Изучение характера разрешимости начальной задачи и ряда задач без начальных условий для неклассических систем второго порядка в полупространстве и областях типа слоя.

Методика работы. При исследовании рассматриваемых в диссертации задач в основном используются методы, разработанные в фундаментальных трудах Н.И.Мусхелишвили, И.Н.Векуа, А.В.Би-цадзе, А.Н.Тихонова,.М.М.Лаврентьева и А.Джураева; принятый в диссертации подход базируется на аналитических и конструктивных методах теории уравнений с частными производными.

Научная новизна. В диссертаций сформулированы смешанная граничная задача н общие задачи типа задачи Сестранда , для не-

классической системы уравнений в плоских ограниченных областях с ляпуновской границей. Такая более общая постановка граничных задач приводится впервые. В ограниченных и неограниченных областях размерности три и более исследован характер разрешимости граничных задач типа задачи Дирихле, Неймана, Римана-Гильберта и начально-краевых задач для неклассических систем уравнений первого порядка и ряд других задач (в том числе начальные, смешанные и задачи без начальных условий) для неклассических систем второго порядка. Указан способ построения широкого класса многомерных аналогов системы А.Д.Джураева и неклассических аналогов системы

A.В.Бицадзе, а также предложен метод нахождения представления общего решения рассматриваемых многомерных неклассических систем, позволяющий не только доказать существование решения, но и получить конструктивные формулы для решения исследуемых задач.

Практическая значимость. Работа теоретическая. В ней развиваются исследования, касающиеся сравнительно нового направления теории неклассическнх систем дифференциальных уравнений с частными производными. Результаты исследования могут быть использованы в изучении задач гидродинамики.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Международных, Всесоюзных п Республиканских конференциях, симпозиумах: на Республиканской научной конференции по уравнениям математической физики (Душанбе, 1983), Республиканской научной конференции, посвященной памяти Т.Собирова (Душанбе, 1990), Республиканской научной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (г. Куляб, 1991), Международной научной конференции «Дифференциальные и интегральные уравнения. Математическая физика и специальные функции» (г. Самара, 1992), Всесоюзной школе «Неклассические уравнения математической физики» (г. Новосибирск, 1989). Результаты диссертации обсуждались на семинарах: Института математики и информатики Литовской АН «Дифференциальные уравнения и их применения» (г. Вильнюс, 1989), ИМ СО РАН «Условно-корректные задачи», руководимом акад. Лаврентьевым М.М. (г. Новосибирск, 1995), ИМ СО РАН «Неклассические уравнения математической физики», руководимом проф. Враговым

B.Н. (г. Новосибирск, 1995), ИМ СО РАН «Качественная теория уравнения с частными производными», руководимом проф. Т.И.Зеленяком (г. Новосибирск, 1995).

Публикации. Все основные результаты диссертации опубликованы в 21 печатной работе автора.

Структура диссертации. Диссертационная работа изложена в 202 страницах машинописного текста, состоит из введения, четырех глав и 22 параграфов. Библиография содержит 70 наименований отечественных и зарубежных источников.

Содержание работы

Во «Введении» изложено состояние исследуемой проблемы, дана краткая характеристика работ, примыкающих к теме диссертации, приведен краткий обзор основных результатов диссертации.

В главе 1 (§ 1-7) «Вспомогательные сведения» вводятся необходимые сведения, касающиеся представления аналитических функций интегралами типа Коши, теории одномерных сингулярных интегральных уравнений, краевой задачи Римана-Гнльберта для аналитических и обобщенных аналитических функции, метода исследования основной граничной задачи для системы уравнений А.Джураева, а также многомерных обобщении некоторых эллиптических по Петровскому систем и других, которые затем используются в последующих главах.

Глава 2 (§ 1-4) посвящена развитию теории граничных задач для неклассической (составной) системы уравнений первого порядка с двумя независимыми переменными. В § 1 рассматривается вопрос о приведении линейной системы трех уравнений составного типа к нормальной (канонической) системе с Коши-Римановой главной эллиптической частью. В § 2 рассматривается смешанная граничная задача (Задача 5) для составной системы

д\\г

= А{г) 1У(2) + В{г)\У{г) + дУ

где V(;) - вещественная, а Иг(г) - комплексная искомые функции; коэффициенты системы (1) предполагаются заданным» функциями класса Гельдера С„((5), 0 < и < 1.

Пусть б - ограниченная двухсвязная область комплексной плоскости с = х + /(/ с границей Г €Е С],. Граница Г области б состоит

из двух взаимно непересекающихся замкнутых контуров Го £ Cl и G С1и, из которых Го охватывает Г1 (0 < v < 1). Обозначим через Го и Г] (j — 1,2), соответственно, части Го и Гь заключенные между касательными, параллельными вещественной характеристике системы (1).

Задача_ S. Найти в области G такие решения системы, что V(z) е CV{G), Vy € CV{G), W(z) е Cu(G)nCl(G+Г1) и удовлетворяют граничным условиям

Re[A(i)^(i)] = M<). ieTj;

V{t) = Re Ki)VF(i)] + Л, (t), iSTju Г?;

a0(t)V(t) + Re[b0(t)W(t)} = h2(t), t € Г*;

(2)

dW 1

a,(t)K(i) + Rе[Ц<)~ + HWit)] = h3(t), t € Г};

Re [a2(i)~ + a3(t)W(t)} = h4(t), i € Г*.

где коэффициенты и правые части граничных условий (2) предполагаются заданными на соответствующих дугах функциями класса Гельдера.

Здесь и в дальнейшем под ^ понимается lim^j-, f € Г, i 6 G. Дополнительно, требуя от коэффициентов граничных условий (2) выполнения неравенств

(3)

A(t)ÏO,tÇ Г^; &0(i) т^ (M е Г£; ôiiO/O.içr}; a2(t) ¿0,ter\ h условия «склеивания» в точках Aj и Bj (j = 1,2)

A(Aj) = 6o(^); h(Bj) = a^Bj); h (Aj) = h2(Aj); h3(Bj) = MA,); (4)

ao(^) = ai(5j) = 0 будем иметь следующий результат*:

"Номера теорем соответствуют их номерам в диссертации

Теорема 2.1. При выполнении условий (3), (4) в классе У(х) £ С„(С), Уу 6 С„(в), €.С„((?) ПСЗ(С + Г,) заЛ^а 5 нетерова

и ее индекс вычисляется по формуле

IndS = i[arga5(()]ro + -[argoi(t)]r, - 2,

1

(5)

где

b^t), t £ Г| aa(t). ier?

и

Пусть теперь G - ограниченная односвязная область на комплексной плоскости г с границей L £ Cl и такая, что каждая прямая у — const, проходящая через G, пересекает ее границу ровно в двух точках. Существуют лишь две точки Mi и Л/г, в которых касательные параллельны оси Ож. Пусть 7о - кривая Ляпунова, целиком лежащая в G и соединяющая точки Mi и Мг некасательным путем, а функция х = оо(у) - ее уравнение в декартовых координатах. Через 2/1 и »/г обозначим ординаты точек А1[ и Mi соответственно.

В § 3 главы 2 рассматриваются граничные задачи типа задачи Сестранда, отличающиеся от обычных граничных задач тем, что условия, задаваемые на части границы, заменяются на условия, задаваемые внутри области. При этом такие задачи редуцируются не к сингулярному интегрофункциональному уравнению со сдвигом, а к обычному сингулярному интегральному уравнению.

Задача 5оь Найти 'регулярные в области G решения класса

(6)

0W

ReMO^f + а0(0"'(0] + b0(t)V(t) = h0(t), t € L,

(7)

а на кривой -)о - условию

дШ

У{оа{у) + гу) +Не[а1(у)— + ао(у)И^(г)]1=<Го(у) = 1ц{у), у € [уьй].

(8)

Задача 5ц- Найти регулярные решения {И:(г),У(г)} класса С 1(0) системы (6), удовлетворяющие на Ь граничному условию

1 дНУ 1 д'У

+ Е = 40. * е X, (9)

а на 70 _ условию

дУ • ' дЧУ

^ + Ьо(у)У(о^) + 1у) + Ке[^аАу)-^г-]х=1аа{у) = 1ц(у), у € [г/1,2/2].

(10)

где коэффициенты и правые части условий (7)-(10) предполагаются заданными непрерывными по Гельдеру функциями на Ь и 70 соответственно.

Пусть для коэффициентов условий (7), (8) выполняются условия

ох(4) ф О, Ь\ (11)

Ь0(Мк)=а1(Мк) -0, (12)

а для коэффициентов условий (9), (10) - условия

«1(0 т^О, (13)

Й!(М,) = Ь,-(М4) = 0. (14)

Теорема 2.2. При выполнении условий (И) и {12) задача в классе №(г) £ С1{б), У(г) £ С „(б) петерова и ее индекс вычисляется по формуле

Ьа501 = — [аге^ТОО]£. + 3. (15)

7Г

Теорема 2.3. Пру. выполнении условий (13), (14) задача 5ц в классе У(г) € С1[С!) петерова и ее индекс вычисляется по формуле

1п(15п = -[аг8^(1)]£ + 4. (16)

7Г

Пусть G - область, обладающая свойствами, описанными в задачах Soi и 5ц и пусть 7о - кривая Ляпунова, целиком лежащая в G и соединяющая две произвольные фиксированные (не совпадающие с точками Mi, М2) точки рх и pi дуги Мф1\ и M\Mi соответственно некасательным путем. Обозначим соответственно через 7* : {ж = 0>(у)} положительно ориентируемые дуги p^M-i и piMi, а через jr* соответствующие ординаты точек pt (к = 1,2).

В § 4 главы 2 рассматривается видоизмененная задача типа задачи Сестранда (задача Soo) в следующей постановке: найти регулярные решения {1У(г), V(a)} класса CV{G) системы (6), удовлетворяющие граничным условиям

Re MW«)] + b0(t)V{t) = h(t), t G L\ (17)

Rе[ак0(фУ(1)] + Ьк0Ц)УЦ) = ЬЦ), t 6 7b (18)

и на 7o - условию

V(a0(y) + iy) + Re [a°0(y)W(*)]I=ffB(ï, = h0{y), y € [î/ь Ite], (19)

где коэффициенты условий (17)—(19) предполагаются заданными, непрерывными по Гельдеру на соответствующих дугах функциями. В § 4 рассматриваются также общие задачи типа задачи Сестранда (задачи Sm, 5m,n) для системы (6), когда условия (17)—(19) заменяются соответственно условиями

m ЯДУ л ЯД/

H elZaj(t)-—]+j:bj(t)7rj = h(t), teL-, j=o at j=o °yJ

m Qi\y n Qjy

m „ dj\V dnV n-1 „ iVV

Re W + W+ £ Щ{у)~ = ho(y), y 6 bb »],

(20)

где коэффициенты условий (20) предполагаются заданными на соответствующих дугах функциями класса С'и; m, п - произвольные натуральные числа, а/== max(m,/i). . Дополнительно будем требовать, чтобы

Д* W = Om(i)b»(*) - a«(OMO Э4 0. * € ßm(i)^0, t £ L — 7i U72, а в точках p* и Alk выполнялись равенства

Ь»ы = &Ä) = акт(Рк) = a°m(p,) = О,

= Ькп(Мк) = 1. Имеет место следующая общая

(22)

Теорема 2.6. Если выполнены условия (21), (22), то задача 5,„1Г1 в классе С!„(<5) нетерова и ее индекс вычисляется по формуле

Ind 5m,„ = -[arg 4* {t)]L + 2ш + n + 1, (23)

7Г

где

A4t) = i '«6 7*,

W 1 am(i), tel-71U72.

Очевидно, что теоремы 2.4 и 2.5 § 4 получаются из теоремы 2.6 при соответствующих значениях тип.

В главе 3 (§ 1-5) рассматриваются пространственные аналоги двумерной неклассической системы уравнений с частными производными первого порядка (6).

В § 1 главы 3 излагаются способы построения многомерных аналогов системы (6) и методы нахождения представления общего решения полученных систем. Трехмерным аналогом системы (б) является система

du dv dw _ q

дх ду dz ' .

(24)

ду дх du dw

которая получается из переопределенной системы уравнений потенциальных векторных полей вычеркиванием «лишнего» уравнения. Ее характеристическая форма имеет вид

Следовательно, система (24) в каждой точке пространства Я? является системой составного типа. Общее решение системы (24) представляется в виде

, ч с?и> , . дш . . . ' . ди> , . ЩХ, у, г) = У{х,у,2) = — + х\{у,г), ы(х, у, г) = — + Х2(У, *),

У 2 (25)

где и)(х, у, г) - произвольная гармоническая функция, Х'1 и \2 ~ произвольные дифференцируемые функции двух переменных у, г, удовлетворяющие соотношению

<»>

Многомерным обобщением системы (24) является система

" дщ дщ дщ . 7Г-

= = (27)

которая получается также вычеркиванием «лишних» уравнений из переопределенной системы сЦу£/ = 0, тоШ = 0, где и(х) = (и^иг, ...,и„),

х £ В.". Характеристическая форма системы (27) имеет вид • .'»,*-) = + ...+&

Следовательно, эта система при п > 3 является составной системой. Общее решение системы (27) представляется в виде

доу ди)

где и>(л:) - произвольная гармоническая функция переменной х £ Я", а х/ - произвольные дифференцируемые функции, связанные соотношением .

^ + ^ + ... + ^ = 0. ■.-;■ .. (29) ах 2 ох з их„

Характерной особенностью систем (26) и (27) является то, что они обладают одним семейством (в том числе многократные в случае системы (27)) вещественных характеристик. Далее, в § 1 главы 3 осуществляется построение неклассических систем, обладающих двумя семействами вещественных характеристик.

Получена система

ди. dv dw _ ds dv dw _ ^

дх dy dz ' dx dz dy

ds ^ du dw _ ^ ds du dv _ ^

■dy dz dx ' dz dy dx

(30)

< с характеристической формой

последовательно, является в каждой точке пространства Я3 системой • составного типа, обладающей двумя семействами вещественных характеристик, при этом се характеристическими поверхностями является семейство двунолых конусов

д/х2 '-Ну2 — "г =■ const, ух1 + у2 + z = const. Общее решение системы (30) представляется в виде

du> >do da 'du du> da ,„,.

s=57' ш = " = +a*' (31)

где u>(x, y, z) - гармоническаяфункция, a(<x^y, z) -решение волнового уравнения axx'+ —'агг =*0.

Четырехмерным обобщением системы (30) является система

ds du да <ди <dv -dw

dt дх dy dz ' • Ox dt dz dy ' . .

ds du dv dw_n ds du dv

хар£1ктернстическая форма которой имеет вид

6, 6) = + 1£12)(й + + $ - й)-

Дальнейшее построение неклассических систем, обобщающих систем (30) и (32), получено при помощи произвольного гиперболического уравнения второго порядка с тремя, четырьмя независимыми переменными соответственно (системы (1.17) и (1.19)).

В § 2 главы 3 исследуются граничные задачи для систем (24) и (27) в ограниченных и неограниченных областях.

Пусть G - шар ж2 + у1 + г2 < 1 с границей S: x2 + у2 + z2 = 1. Через S+ (S~) обозначим полусферы х = — У1 ~ z1 {х = —\/1 — у'1 — z2), а через <х+ - полуокружность z = \/1 — у2 в плоскости х = 0.

Задача D\. Найти непрерывно дифференцируемое в G решение u,v,w G C„(G + S) системы (24), удовлетворяющее граничным условиям:

a) u\s = <pi, б) t>|s+ = уз2, в) w\a+ = tpз, где ¥>i,'-¿>2,<¿>3, _ заданные непрерывные по Гельдеру функции.

Теорема 3.1. Задача D\ всегда разрешима и имеет, единственное решение, выражающееся в явном виде.

Отметим, что сформулированный выше результат имеет место для произвольной области с границей Ляпунова.

Пусть теперь G - область, лежащая в полупространстве х > 0 и ограниченная плоскостью i = 0ii поверхностью S : {г = g(y,z)}, где g(y,z) - непрерывно дифференцируемая, положительная функция и такая, что lim g(y, z) = const.

Задача_N\. Найти непрерывно дифференцируемое решение {it, и,«)] класса CV{G) системы (24), стремящееся к нулю на бесконечности и удовлетворяющее условиям

,dv дик.

wcos(n,.f) + vcos(n,y) + wcos(n,z) = / на 5U{x = 0},

где / - заданная непрерывная по Гельдеру функция, п - внутренняя нормаль к границе области G.

Теорема 3.2. Задача N¡ всегда разрешима, и ее решение определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого

Пусть Q - область, лежащая в полупространстве Х\ > 0, граница которой состоит из части Го гиперплоскости х\ = 0 и поверхности Ляпунова Г+, лежащая в полупространстве x¡ > 0 н ортогонально пересекающейся с гиперплоскостью х\ = 0 по границе Го- Причем Го является выпуклой (п — 1)-мерной областью, а Г+ однозначно проектируется на Го, т.е. Г+ можно задать уравнением х\ = ф(х..., а.-„), ф > О, (.Т2, ..., хп) 6 Го- Обозначим через L часть границы Го, на ■ которой направление оси Ос,, с внутренней нормалью к границе Го составляет нетупой угол. Очевидно, что L можно задать уравнением ■х„ = h{x2,xh...,xn_ j).

Следующая граничная задача является непосредственным многомерным обобщением рассмотренной выше граничной задачи D\.

Задача D". Найти регулярные в области 0 решения (щ, и2,..., ип) системы (27), удовлетворяющие граничным условиям

■a) = <р, б) wj|r+ = <Pj{xi,-,xn),j = 2,п- 1, в) tin|L = <pn,

— (33)

где Г =:ToU.r+ - граница области £7, я <Pj (j = 2, n) - заданные достаточно гпладкие на соответствующих многообразиях границы функции.

Используя ; формулы (28) представления общего решения системы (27), доказана следующая

Теорема 3.3. Если в граничных условиях (33) функция <¿> непрерывна lio Гельдеру, а функции ip¡ (j ~ 2,п) непрерывно дифференцируемые, то задача D" фредгольмова.

В § 3 главы 3 теоремы 3.1 и 3.3 распространяются на случай систем (24) и (27) с младшими членами (теоремы 3.4, 3.5).

В § 4 главы 3 рассматриваются начально-краевые задачи для системы (30) в цилиндрической области, в характеристическом конусе и в произвольной односвязной ^области, ограниченной при z > 0 поверхностью Ляпунова и куском плоскости 2 = 0.

Пусть G - ограниченная, область,на плоскости z = 0, Е - ее граница. В цилиндре П =,{(хчУ>?) : (х,у) € G, z > 0} с границей

i 15

Э = Я и Е, где Я - боковая поверхность цилиндра, рассмотрим следующую начально-краевую (смешанную) задачу.

Задача С/. Найти непрерывное в замкнутой области П = П + 5 решение системы (30), удовлетворяющее следующим условиям:

«Ь=о =/(*,«/), = 0, я(х,у, оо)=0, Не = 9{х,у),

Ч«=0 = РО^У). №г|г=0 = Ф{х,у), ™\н = 0,

где /,<?, 9, ф - заданные достаточно гладкие функции, причем /|е = *>|я = 0.

Теорема 3.6. Задача С/ при } € СЦб), д € С^б), ^ € ^(б), 4' & С3 (С) П С1(С) в цилиндрической области П имеет решение, определяемое с точностью до произвольного постоянного слагаемого.

Пусть теперь Г! - характеристический конус, основание которого С является ограниченной областью плоскости г = 0.

Задача Сц. Найти в П решение системы (30), удовлетворяющее граничным условиям

э\о(1 = ¡\{х,у), = д1(х,у), «>|г=о = ?1{х,У), ™.-|г=о = 4>1(х,у),

где заданные функции /1 е С(Ш) П СЦб), ду е С1{б), ф\ е С2(в) П С№).

Доказано, что задача Сц также имеет решение, определяемое с точностью до произвольного постоянного слагаемого (теорема 3.7).

Пусть П - односвязная область трехмерного евклидова пространства У?3, ограниченная в полупространстве г > 0 поверхностью Ляпунова 7 п участком С плоскости 2 = 0.

В § 5 главы 3 рассматривается задача типа задачи Римана-Гпльберта для системы (30) с младшими членами:

du dv diu _

+ ö--+ + "12" + а 13« + auw = 0,

dx Oy az

Os öd dw

Ъ--Я~ "т--Ь ß21s + 022" + «23" + «24«> = 0,

dx dz dy.

ds du diu .

■7Г + ~---3- + fl3is + «32« + a33v + a34w = 0,

dy dz dx

ds du du .

ä--TT- + -5- + «41« + «42« + а43г> + a44«; = 0,

dz dy dx

где коэффициенты a,¡j (i,j = 1,2,3,4) - вещественные постоянные.

Задача А. Найти регулярное в области П решение системы (34), удовлетворяющее условиям

*!г = /,

(cm + ßv)\s = д,

где Г = 7 + G - граница области П, Е - граница области G, а заданные функции / G С(Г) П СЦ0), <р £ C2(G), ф S C2(G) П С'(б), a,ß,geCvCZ),a*+ß^ 0.

Эта задача является одним нз возможных обобщений задач, изученных в предыдущем параграфе (задачи С/ и С//).

При специальном подборе коэффициентов при младших членах системы доказано, что задача А нетерова (теорема 3.8).

В главе 4 диссертации излагаются некоторые аспекты построения теории неклассических систем уравнений с частными производными второго порядка в пространстве (п + 1) независимых переменных.

В § 1 главы 4 конструируются системы уравнений второго порядка при помощи неклассических систем уравнений первого порядка, рассмотренных в главе 3. Например, записав систему (24) в операторном виде DU = 0, где через D обозначен оператор, сопоставляющий вектору U = (u,v,w) левые части уравнений системы (24), непосредственным подсчетом получаем, что система уравнений D'2U = О распадается на уравнение Лапласа относительно первой компоненты вектора U и на систему

¿)2и д ,сЬ ди>х Т^ + Т" Т" + "Т" =

дх- ду ду дг ^

д'2т д ,д\) <?ш. _ ¿Ь2 + дГду + ~

для оставшихся двух компонентов вектора V. Так как характеристическая форма системы (35) равна £2(£1 + + £з)> то эта система в каждой точке пространства является неклассической (составной) системой уравнений второго порядка и по способу получения ее можно считать неклассическим аналогом системы А.В.Бниадзе.

Аналогичным образом, отправляясь от (п + 1)-мерного аналога системы (27), приходим к системе

Я2?/- В " да _

являющейся многомерным обобщением простейшей неклассической системы (35). Характеристический определитель системы (36) имеет вид

Следовательно, система (36) при л > 2 в каждой точке пространства является составной системой. В § 1 (п.1.2) главы 4 получена также система

где Д - оператор Лапласа по переменным х\,...,х„, а £ - числовой параметр. Характеристическая форма системы (37) равна

Следовательно, при е ф О (37) представляет собой семейство эллиптических систем второго порядка, а при £ = 0 очевидно, превращается в неклассическую систему (36).

Дальнейшее конструирование неклассическнх систем уравнений второго порядка осуществляется при помощи неклассическнх систем

уравнений первого порядка, обладающих двумя семействами вещественных характеристик (§ 1, п.1.3). В частности, исходя из неклассической системы вида (32) и сопряженной ей системы, получаем систему второго порядка:

п д .

-тр- = -Ли + 2—(их + 4- шг), д^у 0

— ^-Д1/+2—К + ^ + и?,), (38)

А о О

— = -Аги -(- 2—(их + 1'у +

где Д - оператор Лапласа по переменным х,у, г. Характеристическая форма системы (38) равна

Систему (38) можно обобщить на пространство любой размерности и записать ее в общем виде относительно вещественной вектор-функции и(г,Х) = (щ,...,и„), X € Я"

дЮ

= -Ди + Л ёгаа<Л1\' и, (30)

где Д, дгас!, щ\' - соответственно операторы Лапласа, градиента и дивергенции по X £ Яп, Х - вещественный параметр. Характеристическая ферма системы (39) имеет вид

...,*„) = «о2 + !£12Г'(£02 + (1 - А)|^|2).

Следовательно, при А < 1 система (39) эллиптична, а при А > 1 у нее появляются вещественные характеристики. В частности, при А = 2 и п = 3 система (39) превращается в систему (38).

В § 2 главы 4 излагается метод нахождения представления общего решения систем (30), (38) и (39). Получены формулы, которые позволяют не только доказать существование решения исследуемой задачи, но и часто приводят к конструктивному построению решения (формулы (2.8), (2.12), (2.19)).

*

В § 3 главы 4 исследуется задача типа задачи Дирихле для системы (36) в полупространстве. При исследовании задачи Дирихле для неклассических систем по сравнению с эллиптическими системами возникают новые моменты, вызываемые наличием у таких систем вещественных характеристик. Чтобы наглядно проиллюстрировать это, ограничимся сначала рассмотрением системы (30) при п = 2, записанной в виде

д7и д .ди 3t>.

d2v д ,ди Sv

Для этой системы рассмотрим задачу Дприхле><в-полупространстве = {(t,x,y) : t > 0, (х, у) € i?2} в следующей -постановке: найти регулярное в полупространстве Л®, решение м, и системы (40), ограниченное на бесконечности и удовлетворяющее на плоскости t = 0 условиям

«|í=o = fi(x, у), t'|<=o = h (х,у), (-11)

где /i и /2 - достаточно гладкие и достаточно быстро убывающие на бесконечности функции.

Доказано, что решение задачи Дирихле (40), (41) всегда существует и определяется явными формулами, причем-решение в классе убывающих на бесконечности функций единственно (теорема 4.1).

Анализ проведенного исследования показывает, что характер разрешимости задачи Дирихле для неклассической системы (40) во многом аналогичен характеру разрешимости задачи Дирихле для сильно эллиптических систем второго порядка. Однако для системы (40) новым моментом по сравнению с сильно эллиптическими системами второго порядка является требование более высокой гладкости граничных данных. Этот эффект вызван наличием у системы (40) вещественных характеристик, параллельных оси 0t.

Перейдем к рассмотрению общей задачи Дирихле длянеклассиче-ской системы (36), записанной в векторном виде

d2U

-^г + graddiv U = 0, .(36')

где U(t,X) = («!,...,«„), X G Rn.

Задача L. Найти регулярное в полупространстве решение системы (36'), стремящееся на бесконечности к нулю и удовлетворяющее на гиперплоскости t = 0 граничному условию

U\t=0 = F(X), (42)

где F(X) - заданная достаточно гладкая и достаточно быстро убывающая на бесконечности вектор-функция.

Теорема 4.2. Задача Дирихле (задача L) для неклассической системы (36') однозначно разрешима и допускает эллиптическую регуляризацию. При этом в па честнее регуляризирующего семейства выступает семейство задач типа задачи Дирихле дш: системы (37), записанной теперь в векторной форме:

я1тт

^ + е2ДU + (1 - е2) graddiv U = 0: (37')

Аналогично молено показать, что семейство задач типа задачи Дирихле для эллиптической системы уравнений

fflll

~ + AU - (1 - е2) graddiv U = О с характеристическим определителем

является регуляризнруюшим семейством для неклассической системы

— + ЬП - graddiv U = 0, (43)

характеристическая форма которой равна

Дальнейшие исследования в § 3 главы 4 показали, что задача типа задачи Дирихле для системы (37') в слое E(h) = {(£, х) : 0 < t < h,X G i?"} также имеет единственное решение (теорема 4.3).

В § 4, 5 главы 4 изучаются свойства решений системы уравнений относительно вектор-функции U(t,X) = («ь..., un). X £ Rn

— = -ДГ/ + Л »гаскП\' и,

(44)

в правой части которой фигурирует тот же самый оператор, что и в правой части системы (39). Система (44) при Л < 1 параболическая, а при Л > 1. не является таковой. Как известно, оператор Ьи = —Д(7 + А дгаёсЦу и, фигурирующий в правых частях системы (44), является сильно эллиптическим при А < 1, а при А > 1 эллиптическим, но уже не сильно эллиптическим. Следовательно, система (44) не является параболической, если даже оператор Ь является эллиптическим. При А = 1 как оператор Ь, так и система (44) вырождаются. Следовательно, система (44) при А > 1 не принадлежит традиционным классическим типам систем уравнений с частными производными.

В § 4 главы 4 изучается характер разрешимости одной начальной задачи для системы (44) при А > 1 в слое б = {(¿,-Х") : 0 < * < Т,Х 6 Л"} в следующей постановке: найти регулярное в области С решение £/(£, X) системы (44), ограниченное на бесконечности и удовлетворяющее условиям

где /¡¡(Л'), /;(А') - заданные достаточно гладкие и ограниченные на бесконечности функции.

Доказано, что начальная задача (44)-(46) всегда разрешима, причем первые п — 1 компоненты решения определяются однозначно, а п-я компонента решения определяется с точностью до произвольной непрерывно дифференцируемой функции (теорема 4.4).

В § 5 главы 4 исследуется ряд граничных задач без начальных условии для системы (44) при А > 1.

Для яркой иллюстрации метода исследования ограничился сначала рассмотрением системы (44) при п = 2, записанной в виде

«НУ и\,я0 = Ь(Х),

1=т = /ДАТ), j=l,n-l,

(45)

(46)

(47)

Задача Г. Найти в области О : {-оо < х < +оо, у > 0} решение системы (47) с ограниченной дивергенцией, удовлетворяющее граничным условиям

,ди ди.. , .

+ и-Мм),

"|у=0 = Л(М),

где 1ц(1,х), /](£,х) - заданные ограниченные функции. Доказано следующее утверждение.

Теорема 4.5. Задача I всегда разрешима, и ее решение определяется с точностью до произвольной функции т(Ь,х), удовлетворяющей уравнению

ди> д2го д ,ди>. /4П.

= (48)

где в правой части уравнения (48) функции /гх, у) = + щ и к(<,л;,у) определены по граничным условиям задачи I.

Задача II. Найти регулярное в области £> решение системы (47), удовлетворяющее граничным условиям

«|у=о = х), «|„=0 = д^, х),

где (р1 ,д\ - заданные достаточно гладкие функции.

Теорема 4.6. При условии непрерывной дифференцируемости граничных функций у?} аг) и <71(£, х) задача II фредгольмова.

Далее, утверждение теоремы 4.6 распространяется и на пространство любой размерности (теорема 4.7).

В § 6 главы 4 исследуются задачи с начальными условиями в полупространстве и начально-краевые (смешанные) задачи в цилиндрической области для неклассической системы (39).

Начальная задача I. Найти решение II(¿,Х) системы (39) в полупространстве = {(¿,Л"): £ > О, Л' € /?"}, принадлежащее классу 7^(2?") и удовлетворяющее условиям

и\1=0 = Ф(Х), <Ну£^|,=о = Ф(А'),

или

где Ф(А"), Ф(А') е И{11") - пространство обобщенных функций, содержащих все ¿'¿-функции и их производные (в смысле распределения), а >¿((7?") - пространство обобщенных функций, зависящих от вещественного параметра £ и принадлежащих Н(Ип) при каждом < > О, причем они могут расти по Ь (при 4 -> оо), но не быстрее некоторой ее степени.

Теорема 4.8. Начальная задача I имеет единственное решение Л') £ И^П"), непрерывно зависящее в топологии И(Нп) от начальных данных.

Следствие 4.1. Если Ф(А') и Ф(А') достаточно гладкие в Я" функции, то существует классическое решение начальной задачи I, представляемое в явной форме (формула (6.8)).

Пусть С? - ограниченная область в 11", а Г - ее граница. В цилиндре П( = {(¿,А') : ( > 0,Х 6 С} с границей Б = {(<,А") : Ь > О, А' € Г} рассматривается начально-краевая задача в следующей постановке: найти в решение и(Ь,Х) системы (39) (тоИ1(оо,Х) — 0), удовлетворяющее при I = 0 начальным условиям

£/|(=0 = Ф(Л'), <НУ£/,|Ы) = Ф(Х), (49)

и краевым условиям

го1{/|5 = 0, (50)

(п,и,(0,Х)) = <р(Х), X £ Г, (51)

где 11 - единичный вектор нормали в точке А' £ Г, а Ф(А'), Ф(Х) и ф{Х) - заданные функции класса С°°.

Теорема 4.9. Если Ф(А'), Ф(А') 6 С°°(<5), р{Х) 6 С°°(Г), то начально-краевая задача (39), (49)-(51) имеет и притом единственное регулярное решение класса и выражается явно (формула (6.27)).

В заключение рассмотрим общую систему уравнении второго порядка

а-~- — -Аи + Л вгаасКу и (52)

оЬ1

относительно вещественной вектор-функции !/(£, Л') = («ь..., и„), где а - некоторая вещественная постоянная. Характеристическая форма системы (52) имеет вид

х№>, = Ко2 + 1е12)"-1Ко + (1 - АЖ12).

Следовательно, при А < 1 эта система эллиптична, если а > 0 и гиперболична, если а < 0. При А > 1 система (52) является системой составного типа. В первом случае для нее корректна задача Дирихле, а во втором случае корректна задача Копш. В том случае, когда система (52) составного типа, можно доказать, что если а > 0, то для нее корректна в полупространстве 7?"+1 задача с граничными условиями (49), а в цилиндрической области П< корректна смешанная задача с начальными условиями (49) и краевыми условиями (50), (51). Если же а < 0, то для составной системы (52) корректна в полупространстве задача с начальными условиями

Щы о = <Р(Х), го1 и,\,в0 = ф(Х), (53)

а в цилиндрической области корректна смешанная задача с начальными условиями (53) и краевыми условиями (50), (51).

Основные результаты диссертации

1. Доказаны теоремы о нормальной разрешимости смешанной граничной задачи и общих граничных задач типа задачи Сестранда для системы уравнений первого порядка составного типа с двумя независимыми переменными, вычислены их индексы.

2. Сконструированы многомерные неклассические (составные) системы уравнений первого и второго порядка, получены формулы представления общего решения этих систем через решения отдельных уравнений (систем) более высокого порядка.

3. Установлена однозначная разрешимость задачи типа задачи

Дирихле для систем уравнений первого порядка с одним семейством

»

вещественных характеристик в произвольных ограниченных областях размерности три и более (в случае сферы получена формула, выражающая решение в явной форме). Далее доказано, что задача типа задачи Неймана для данной системы в области типа слоя имеет решение, определяемое с точностью до произвольного постоянного слагаемого.

4. Для системы уравнений первого порядка с двумя семействами вещественных характеристик доказано, что начально-краевые задачи в цилиндрической области и на характеристическом конусе разрешимы с точностью до произвольного постоянного слагаемого, а задача типа задачи Римана-Гнльберта для системы с младшими членами в произвольной ограниченной области трехмерного евклидова пространства нетерова.

5. В случае неклассических систем уравнений второго порядка с одним (с учетом их кратности) семейством вещественных характеристик доказано, что задача типа задачи Дирихле в полупространстве однозначно разрешима и допускает эллиптическую регуляризацию.

0. Для нскласснческой системы уравнений второго порядка с двумя семействами вещественных характеристик доказаны теоремы о корректности начальных задач в полупространстве и начально-краевых задач в цилиндрической области.

7. Изучен характер разрешимости начальной задачи и ряда граничных задач без начальных условий для одной динамической системы в полупространстве п областях типа слоя.

Публикации по теме диссертации

1. Сафаров Д.Х. Смешанная задача для системы трех уравнений составного типа// ДАН Тадж.ССР. 1974. Т. 17, № 3. С. 8-12.

2. Сафаров Д.Х. О задачах типа Сестранда для системы трех

• .уравнении составного типа// Изв. АН Тадж.ССР. Отд. физ.-

мат. и геол.-хим. наук. 1975. № 3(57). С. 3-15.

3. Сафаров Д.Х. Общая задача типа Сестранда для системы трех уравнении составного типа// ДАН Тадж.ССР. 1977. Т. 20, № 5. С. 15-19.

4. Сафаров Д.Х. Граничные задачи для системы уравнений составного типа в трехмерных областях// ДАН Тадж.ССР. 1977. Т. 20, № 12. С. 8-11.

5. Сафаров Д.Х. Об одной системе уравнений второго порядка с малым параметром: Тез. республ. науч. конф. по уравнениям мат. физики. Душанбе, 1983. С. 14—16.

6. Сафаров Д.Х. О системах уравнений с частными производными второго порядка// Дифференц. уравнения. 1984. Т. 20, № 4. С. 716-719.

7. Сафаров Д.Х. Об одном аналоге системы Монсила-Теодореску// ДАН СССР, 1984. Т. 277, № 5. С. 1070-1073.

8. Safarov D.ICh. Он an Analogue of the Moisil-Theodoresco System. Soviet Math. Dokl., 1984. V. 30, 1. P. 223-226.

9. Сафаров Д.Х. Начально-краевые задачи для системы урлпнений составного типа// ДАН Тадж.ССР. 1984. Т. 27, № 2. С. 66-69.

10. Сафаров Д.Х. О системах уравнений с частными производными первого порядка составного типа// Дифференц. уравн. 1985. Т. 21, № 2. С. 272-276.

11. Сафаров Д.Х., Шамсуддинов Ф.М. К теории систем уравнений неклассического типа// ДАН Тадж.ССР, 1989. Т." 32, № 7. С. 438-440.

12. Сафаров Д.Х. Об одной эллиптической регуляризации нсклас-сических систем// Краевые задачи для неклассических уравнении мат. физики/ Под ред. В.Н.Врагова. Новосибирск: Изд-во ИМ СО АН СССР. 19S9. С. 175-179.

13. Сафаров Д.Х. Эллиптическая регуляризация систем уравнений составного типа// ДАН СССР, 1990. Т. 311, № 1. С. 36-39.

14. Safarov D.Ivh. Elliptic Regularization of Systems of Partial Differential Equations of Composite type. Soviet Math. Dokl., 1990, V. 41, № 2. P. 219-222.

15. Сафаров Д.Х. Граничные задачи для неклассических систем уравнении// Мат-лы республ. науч. конф., посвящ. памяти С.Собирова. Душанбе: нзд-во ТГУ," 1990. С. 158-161.

16. Сафаров Д.Х. О задаче без начальных условии для неклассических систем// Дифференц. уравнения и их применения. Вильнюс: Изд-во инст. мат. и информ. Лит. АН. 1990. С. 59 6S.

17. Сафаров Д.Х. Об одной начальной задаче для многомерной неклассической системы// ДАН Тадж.ССР, 1990. Т. 33, № 8. С. 505-508.

18. Сафаров Д.Х. О многомерных неклассических системах уравнений с частными производными второго порядка// Днфференц. уравнения и их приложения: Тез. докл. республ. науч. конф. Куляб: Изд-во КГУ, 1991. С. 147-148.

19. Сафаров Д.Х. Граничные задачи для многомерных неклассических систем уравнений в частных производных// Днфференц. и интеграл, уравнения. Математ. физика и спец. функции: Тез. докл. междунар. науч. конф. Самара, 1992. С. 224-225.

20. Safarov D.Kh. On Multidimensional Nonclassical Systems of Partial Differential Equations of Second Order. Complex Variables, 1994. V. 26, P. 167-175.

21. Сафаров Д.Х. Многомерные неклассическне системы уравнений с частными производными. Душанбе: Дониш, 1996. 230 с.