Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики второго и высокого порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

министерство науки, высшей школы и технической политики российской федерации

комитет по высшей школе

новосибирский государственный университет

На правах рукописи ЕГОРОВ Иван Егорович

удк 517.35

краевые задачи для неклассических уравнений математической физики второго и высокого порядка

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск - 1992

Работа выполнена в Якутской государственной университете им.Ы.К.Аммосова

Официальные оппоненты! доктор физико-математических наук,

профессор С.Н.Антонцев, доктор физико-математических наук, профессор И.Ц.Петрувко, доктор физико-математических наук, профессор В.В.Катрахов.

Ведуцая организация! Московский физико-технический институт

Завита диссертации состоится "12 * ¿)uJoQfi*£l 199%г. в час на заседании специализированного Совета

Д 063.98.02 при Новосибирском государственном университете по адресу! 630090, г.Новосибирск, 90, ул. Пирогова, 2.

С диссертацией ыохно ознакомиться в библиотеке ИГУ.

Автореферат разослан * Ц * ^€!UXtj\+Q 1992г.

Ученый секретарь специализированного Совета, доктор физико-математических наук

А.В.Кахихов

П. к* '

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Состояние вопроса и актуальность темы. В последние 60 лет появился интенсивно развивающийся новый раздел теории уравне -ний в частных производных - неклассические уравнения математической физики.К ним относятся вырождающиеся уравнения эллиптического, параболического и гиперболического типов, уравнения смешанного типа, уравнения составного и смешанно - составного типов.

Определенный, интерес к их изучению был вызван исследованиями Ф.Трикоми и С.Геллерстедта,которые впервые изучили краевые задачи для модельных уравнений смеианного типа на плоскости.

В работах М.А.Лаврентьева, М.В.Келдыша, И.Н.Векуа, С.А. Христиановича.С.А.Чаплыгина.К.Г.Гудерлея и других было указа -но на важность проблемы некдассических уравнений математичес -кой физики при решении з~дач, возникающих в трансзвуковой газовой динамике, а также в безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака и во многих прикладных задачах меха -ники.

Далее, в работах А.В.Бицадзе, К.И.Бабенко, Ф.И.Франкля, Л.В.Овсянникова поставлены и исследованы новые краевые зада -чи для уравнений смешанного типа второго порядка на плоскости, а для модельных уравнений и в пространстве.

Новым этапом развития теории краевых задач для неклассических уравнений математической физики явились работы Н.В.Келдыша, Л.Д.Кудрявцева, М.И.Вишика, Г.Фтсеры, О.А.Олейник.В этих работах были предложены новые подходы и методы для построения единой теории краевых задач для эллиптико-параболических уравнений второго порядка, в частности, для вырождающихся эллиптических и параболических уравнений. В.Н.Враговым й рядом авто -ров было начато построение общей теории краевых задач для уравнений смешанного типа второго порядка с произвольным много -образием изменения типа, в частности, для гиперболо -параболических уравнений /7/. ; '

Краевые задачи для некоторых классов уравнений с частными производными неклассического типа высокого порядка изучались в

3

работах С.Л.Соболева, А.А.Дезина, В.П.Михайлова, В.В.Грушина, В.П.Глушко, И.А.Киприянова, В.А.Дубинского, П.И.Лизоркина, С. М.Никольского, В.К.Романко, М.С.Салахитдинова, Т.Д.Джураева, В.Н.Врагова, В.В.Катрахова, В.А.Брюханова, А.И.Кожанова, С.Г. Пяткова и других.

В работе /8/ впервые дана постановка корректной краевой задачи для уравнения смешанного'типа порядка 2т.

Исследованию краевых задач для уравнений параболического типа второго порядка с менявцимся направлением времени посвящено большое число работ /5/.

Отметим, что исследованию корректности задачи Коши для гиперболического уравнения четного порядка, распадающегося на множители Эйлера-Пуассона-Дарбу, посвящены работы И.А.Киприя -нова, Л.А.Иванова, С.А.Алдашева и др.

Проблеме аналитичности ренений эллиптических уравнений обращено внимание многих исследователей. Аналитичность решений вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка вплоть до многообразия вырождения исследовалась в работах П.И.Лизор -кина, О.А.Олейник, Е.В.Радкевича, В.Н.Врагова, С.А.Терсенова, Хе Кап Чера и др . .

Задача Кони для классических . дифференциально-операторных уравнений первого и второго порядка изучалась многими авторами /9/. Вырождающиеся дифференциально-операторные уравнения рассматривались в работах С.Г.Крейна, В.П.Глушко, П.Е.Соболевского и др. В частности, сингулярная задача Коши для уравнения типа Зйлера-Пуассона-Дарбу с частными производными исследовалась С. А.Терсеновым, В.Ф.Волходавовым, Ф.Т.Барановским и другими.

В дальнейшем изучению уравнений неклассического типа посвящено большое количество работ как советских, так и зарубеж -ных авторов. Достаточно полная библиография по теории краевых задач для неклассических уравнений математической физики со -держится в монографиях /1-6,9,10/. ■

В основном ранее изучались уравнения смешанного типа второго порядка, вырождающиеся уравнения высокого порядка эллиптического и гиперболического типов.модельные уравнения составного и смешанно-составного типов. Вообще говоря, это связано с отсутствием математического айпарата для изучения уравнений

смешанного типа высокого порядка с произвольным многообразуем изменения типа.

Поэтому данная работа, одной из важнейших задач которой является разработка методов исследования уравнений смешанного типа высокого порядка общего вида, а также решение некоторых традиционных вопросов теории краевых задач для неклассических уравнений математической физики, представляется актуальной.

Цель работы.Предложить и изучить методы, позволяющие исследовать краевые задачи для уравнений неклассического типа второго и высокого порядка.

Основная методика исследования.В работе используются срун-циональные методы решения дифференциальных уравнений с частными производными, различные модификации метода Галеркина, метод "ё - регуляризации" уравнения сметанного типа четного порядка уравнением эллиптико-гпараболического типа нечетного порядка по времени, метод "е - регуляризации" уравнения с меняющимся направлением времени нечетного порядка по времени уравнением эл-липтико-параболического типа четного порядка и метод "е - регуляризации" , учитывающий тип уравнений высокого порядка.

Научная новизна и практическая ценность.В диссертации получены следующие основные результаты;

1. Построена теория краевых задач для одного класса уравнений смешаного типа четного порядка. Предложены методы, позволяющие доказать обобщенную и регулярную разрешимость краевых задач для уравнений смешанного типа четного порядка с произвольным многообразием изменения типа.

2.Разработаны методы решения первой краевой задачи для ураанэ-ния неклассического типа нечетного порядка по времени с менявшимся направлением времени.

3.С помощью метода ■ е-регуляризации", модифицированного стационарного метода Галеркина и коэрцитивных априорных оценок исследованы первая краевая задача и краевая задача е для вы-вырождаквдихся эллиптико-параболических уравнений четного и нечетного порядка по времени с сильно эллиптическим оператором по пространственным переменным.

4.Изучена задача Коии для сингулярного гиперболического уравнения четного порядка с оператором Бесселя по времени.

5.Исследована аналитичность достаточно гладких решений в -эллиптического уравнения порядка гт в области, содержащей внутри часть поверхности сингулярности. Кроме того, доказана аналитичность слабого решения задачи е для этого уравнения в об -ласти типа ■ шапочки " вплоть до поверхности сингулярности.

6.С помощью метода ■е-регуляризации" изучены классическая и " видоизмененная * задачи Ковш для гиперболо - параболического операторного уравнения второго порядка в гильбертовом прост -ранстве.

7.Решена одна нелокальная краевая задача для неклассического вырождающегося нелинейного операторного уравнения первого порядка в банаховом пространстве.

Все основные результаты диссертации являются новыми и применяются для исследования краевых задач для неклассических уравнений математической физики. Методы данной работы могут быть использованы при решении конкретных прикладных задач.

Апробация работы. Результаты .диссертации докладывались на семинарах по дифференциальным уравнениям ИМ СО АН СССР.НГУ им. Ленинского комсомола, МИ АН СССР им.'В.А.Стеклова, МГУ им.М.В. Ломоносова, .Кардовского университета Чехословакии, ИМ АН Арм. ССР, ИМ им.В.И.Романовского АН УзССР, ТашГУ им.В.И.Ленина, ИГ им.М.А.Лаврентьева СО АН СССР и на Всесоюзной школе - семинаре по нёклассйческим уравнениям ( Новосибирск, 1980 г., 1981 г., 1989 г./ Улан-Удэ,'1985 г.), на Всесоюзной конференции пр ус т ловно-корректным задачам математической физики и анализа ( Новосибирск, 1982 г., 1992 г.), На Уральской.региональной конференции " Функционально - дифференциальные уравнения " ( Уфа, 1986 г.), на Всесоюзной конференции "Классические и неклассические краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными, специальные функции, интегральные уравнение и их приложения " ( Куйбыиев, 1987 г.), на совместных заседаниях семинара им.И.Г.Петровского и ММО ( Москва, 1988 г.), на Международной школе-семинаре " Качественная теория дифференциальных уравнений гидродинамики " ( Красноярск, 1992 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах /11 - 27/, список которых приведен в конце автореферата. Кроме того, в диссертацию включены некоторые результаты,

полученные непосредственно автором и содержащиеся в совместных публикациях /24, 27/..

Обьеч и структура диссертации.Диссертация изложена на 161 страницах и состоит из введения, четырех глав и списка литературы из 130 наименований.

Глава 1

Данная глава посвящена краевым задачам для уравнений смешанного типа высокого порядка, вообще говоря, с произвольным многообразием изменения типа. Изучение краевых задач для таких уравнений проводится методом "с- регуляризации" уравнений смешанного типа уравнениями эллиптико-параболического типа высокого порядка и стационарным аналогом метода Галеркина.

§1.1 посвящен постановке и исследованию краевых задач для уравнения *

Ш = Ри + Ми « £(х ,1 ) , (X, I) € о, (!)

где

Ри

■ ][ (х. ООеи ,

а

Ни з С-Пт Б ( а . (х)г/*и > + а Сх> и .

1*1. 101- >. «Р 'о

О ■ !1 х (0,Т), 0 £ к" , 3 . 3 О, Э - Б х (О.Т).

т

В дальнейшем будем предполагать, что коэффициенты уравнения (1) бесконечно дифференцируемы во, и выполнены условия

■V «У* '««Г. г««*-,.™.

Положим

Р*= {(х,0)! х€ А , (-1)*"'к (х,0)> 0 ) , -

аа (О

рI' {(х,Т): хб й , (-1)в-'хз_(х,т)> о > .

"со

Через п=( п п^ ,по) обозначим вектор внутренней нор-

мали к дй.

Краевая задача.Найти решение уравнения (1) в области о такое, что

I

■ —,18 -о,1» 075=1 / (2)

д п г

о)и|,,0- О , 0,з-1; - О;

" О

(3)

°«и|«.т"° ' Л"1'3-1 : °«и,р- и0-

г

Отметим, что в класс уравнений вида (1) входят эллиптико-параболические и эллиптико-гиперболические уравнения,вырождающиеся эллиптические уравнения, смеванно - составные уравнения, имеющие две веаественныз характеристики, и другие уравнения /3,6,8/.

Сведением к разрешшости краевой задачи для интегро-диф-ференцйального уравнения доказывается

Теорема 1. Пусть коэффициент ао(х)>о достаточно больвой и при некотором л >0 выполнено условие

в- 1 '

(-1) [ 2кгд1 * (1-2в)кгд Х(2в-1)кгв ) > Ь>0.

Тогда для любой функции / е Ьв ¡0) существует обобщенное

, реионие краевой задачи (1)-(3) из пространства и .

При выполнении условия

(-1)' 1[ 2кгв , . (1-45)к^в ( ] > Ъ>о

исслодуется вопрос единственности обобщенного решения задачи

(1)"(3).

Справедлива следующая основная теорема параграфа, которая доказывается с помощью метода "е-регуляризации" с оператором

в га* 1

Х,с11 = и + Ь и, £>0.

Теорема 2. Пусть коэффициент ао(х)>0 достаточно большой, и выполнены условия

.e- J J _

(-1) [ 2кгд1 - ( 2i + l-2s)kast] > Ь>0, 1=0,s,

a-1 a- 1

(-1) ksg(x,0)<0 t (-1) kaa(x,T)<0 .

O, 1

Тогда для любой функции fe из (Q) существует решение

т ф а

u(x,t) из w (Q) уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям (2),(3) и такое, что

. 2т,га

u£W (Q ), Q "йх (П,Т-П) , 0<1)<Т. г f}. г- И П.т-П

Выберем го< г так, чтобы

(-1)"кга(х,Ь)*Ъ1>о, t € [То,Г].

Выбор специального базиса позволяет доказать теорему гладкости.

Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 2 и

к({х,Т) » к((Ь), 1-1,2в , t е (Т0,Т1, о. 1

Тогда для любой функции Г е »а (О) такой, что £(х,Т)=о существует единственное ревение и(х,Ь) задачи (1)-(3) из

гт.гв ./

пространства ч (О) .

Далее рассмотрены другие случаи поведения функции

а

(-1) квв(х,Ь) вблизи гиперплоскостей ь - о и ь - т. В

частности, справедлива

Теорема 4. Пусть коэффициент а (х)>о достаточно больиой и

о .

kt(x,t) = kt(t) , 1=1,2з , t e [0,T], кроме того, выполнены условия

(-1)" 1 (2ksa t . (l-23)ksa tJ>b>0, (-l'"[2ksa_1 . kaatt] >6>0,

(-1) kae(t)>0, (-1) \зв(0)>0 ,(-1) кзв(Т)>0.

о. 1

Тогда для любой функции £ е wa (Q) такой, что £(х,т)~о, существует единственное решение u(x,t) задачи (1)-(3) из

гп.за

пространства ма (Q).

Для доказательства теоремы 4 рассматривается "е-регуляри-зованный" оператор

В-Л SB

igU =» Ъ(-1) Dt и + L U, Е>0,

который учитывает тип уравнения (1).

В 61.2 рассмотрено уравнение (1) при

Mu - '(-1)"" 1 D* (a„(X)D3u) + a (x)u .

UI.IP1—. . ° .

Первая краевая задача. Найти решение уравнения (1) в области Q, удовлетворяющее (2) и граничным условиям

D'u| =о, i- 0.S-2-. ' •

. * 'о (4)

' " т .

При выполнении определенных условий на коэффициенты уравнения (1) устанавливаются теоремы единственности и существования обобценных решений краевой задачи (1), (2). (Ч) в vT's(q), такхе однозначная регулярная разрешимость этой задачи в пространстве Соболева

С помощь» "е-регуляризованного" оператора

в га+г

igU = e(-i) Dt и + L и

устанавливается

Теорема 5.Пусть коэффициент ao(x,t) < о достаточно боль-вой по модул» и

. (-1)" 1 [2кгв1. . (21 +1-2в)к3а г] > Ь >0 , 1"07в,

(-1)" \за(х,0)>0 ; (-1)" \за(хгТ)>0 .

О' >

Тогда для любой функции /е Из (О) существует обобщенное

т, а

решение и(х,Ь) (О) краевой задачи (1),(2),(4) такое,

что

гп.зв

• и б Нг Г0п>г.пь 0<п<г. Следствие 1. Пусть выполнены условия теоремы 5.

0,1

Тогда для любой функции г (О) существует единствен-

ное реиение и(х,Ь) краевой задачи (1),(2),(4) из пространства

гт.Зв

Соболева ы (О) .

В параграфе 1.3 приводятся теоремы повьгаения гладкости реиенкя краевой задачи (1).(2),(4) по времени и по пространственным переменным.

Теорема 6. Пусть коффициент а (х)< о и достаточно велик __о' .

по модулю, и выполнены условия:

(-1) [ 2к3а1\ (1-2в)кдв г] > Ъ>0,

(-1) [ 2кзв1 ♦ (2р+1-23 )кзе^] > 8>о, (к

в- 1 в- 1

(-1) кза(х,0)>0 / (-1) . кгд(х,Т)>0 , р > в .

о. р-а*1

Тогда для любой функции ее пз (О) существует обоб-

т, а

щенное решение и(х,Ь) из &з ^ задачи (1),(2),(4) такое,что

Зп,в*Р

- и € Нз (0 ), 0<п<т.

П.т-П

Теорема 7.Пусть выполнены условия теоремы 6, но условие (к1) имеет вид

(-1)" 11 гнат^ «• (1 + 2к) к3я > Ь>о

и Г е На " (О) , к > о - целое число.

Тогда репение краевой задачи (1),(2),(4) и(х,Ь) принад -

. (За*Ы)-,3т*к

лежит пространству Ыз " (0 ^ ^.

Рассмотрен также вопрос о существовании сильных решений и распространении особенностей ревения в области о.Обозначим через и некоторую точку с координатами (хи ), расположен -

ную в гиперболической части области о,через в^- вар радиуса г

с центром в точке м ; с - Малое положительное число.

Теорема 8. Пусть выполнены условия теоремы 6 при в =р =о

и

(-1)" 'к(Х,^ ) <0, хе й; £ € нг' (0 \ в^ П , г > о.

Тогда сильное ревение задачи (1),(2),(4) принадлежит

Зя

нг (О е) / где 0 е - о п { ь >ьи.+ е ),.

В §1.4 рассмотрено уравнение (1) при Ми * (-1)"" I о" (а (*,1) ^и) + £ а о"и,

101-« и1«в»»> *

где функция k(t)>o при ¿>0 и к(0)~0.

В этом случае уравнение (1) при 1>о принадлежит классу эллиптико-параболических уравнений, а на гиперплоскости вырождается.

• : В области й рассмотрим функции

И(х) - а(х,0) - » к((0) .

Первая краевая задача. Найти реаение уравнения (1) в об-области а. удовлетворяющее (2) и граничным условиям

о)и О' , 1- о,-8-1 ,

и^и I - о,1= о.в-1 , если Р(х)< о ,

г ,.о >-> > {5)

или

ег^и | о , ^ О,Б—2 , если /5(х)> о .

Заметим,что (3(:;) является аналогом функции Фикоры для эляиптико-параболического уравнения второго порядка.

При выполнении определенных условий на коэффициенты уравнения (!) устанавливается коэрцитивные оценки для ш и оператора

ъ и ■ ьи + <-1)""е 0**и , е>о с ' г '

в весовом пространстве н с нормой

Ы* - ; [ 0"и )* + к Е (О^'и)» ]Й0 + Ни, .

1 О ' Ч\л\<т гт.а—1

С омочьп полученной коэрцитивной оценки доказывается

Теорема 9. Пусть коэффициент ад(х,Ь) <о и |ао| достаточно больной, кроме того, выполнены условия

а

2 Ь - (2 в - 1) а + в к < - 2 В <0, а(х,Ь)*а(Ь),0*Ь<11о / кг(0)*0 / а(О)* - Ъ1<0 .

Тогда для любой функции £ е Ьз (О) существует единственное реаение и е Н^ краевой задачи (1),(2),(5) и имеет место оценка

Зи!^ с I £ I , с >0.

На основании теоремы 9 устанавливается фредгольнопа разрешимость первой краевой задачи в пространство я .

Для изучения задачи Е(рсх)>о) автором предложен модифици-

рованный стационарный метод Галаркина, который в силу коэрци -тиеной оценки позволяет доказать следующий результат.

Теорема 10.Пусть коэффициент ао(х,t]<o и |ао| достаточно

больной , кроме того , выполнены условия

г

2 Ь - (2 з - 1) а к « - 2 5 <0,

1 'г г г '

а,0<г<Ъо ; к{(0}-0 ; а(0)> Ьг>0 .

Тогда для любой 1 е Ьг(0) существует единственное решение задачи (1),(2),(5) из пространства

Глава 11

В данной главе изучаются краевые задачи для неклассических уравнений математической физики нечетного порядка по времени,вообще говоря, с меняющимся направлением времени. При исследовании краевой задачи для уравнения с меняющимся направлением времени применяются функциональные методы и метод " с -регуляризации С помощью коэрцитивных.оценок и стационарного метода Галеркина изучены краевые задачи для вырождающегося эл-липтико-параболического уравнения нечетного порядка по време -ни.

в параграфе 2^1 исследуется уравнение (1) при Риа [ к((*(1)0;и , •

Ми «(-I)" Е о"(а .Хх.иЛ) +1 а ,Сх. По"и.

1*1. 1Э1— Р |<4 |<гт- 1 Л

Так как на знак функции не сделано никаких предпо-

ложений, то в класс уравнений вида (1) входят эллиптико -параболические уравнения, уравнения с меняющимся направлением времени и другие уравнения.

Введем множества

.в

з* - |(*,т) ятей ,<->>* (*-т|> ° } •

Краевая задача. Найти решение уравнения (1) в области о. удовлетворяющее (2) и условиям

о'и

- О, 1- 0,3-1, Ги I - О; I - О . (6)

«-о. ' Г * Г

«- т 1 о ' т

Пусть коэффициент ао<х.и>0 достаточно больной и выполнено условие

(-!)*( 2к - (Йв + Пк 1 > В > 0 .

аэ ая*1 г '

Тогда в данном параграфе показано, что задача (I).(2), (6) имеет слабое ревение из ь со> и обобщенное решение в пространтве $гя'в(й).

Метод "е-регуляризации* с оператором

ьси в щ + (-1)в"'с и , е>о

позволяет изучить регулярность ревения краевой задачи '(1),(2), (6).

Теорема 11. Пусть коэффициент ао>0 достаточно большой, и (-1}'[гкга+(21-2в-1)кав^1 г] > б > о , 1-Т7Ш / (-1)'кзв^(х,0) < о ; (-1)"кга^г{х,Г) > о . Тогда для любой функции ее г/'(О) существует обобщенное реые-

о

ние и(х,Ь) е краевой задачи (1),(2),(6), такое, что

и(х,Ь) е о < п < т.

Теорема 12.Пусть коэффициент ао(х,Ь)>0 достаточно большой

(-1)'[2кга+(21-2в-1)кгя^г]>й>0 , 1-о7Ш;

(х> < 0 /' (-1)"каш*1 <Х'Т> > 0 •

или (~1)'кгтг1(х,0)>0, (-1)'кав^1(Х,Т)>0,

и

или (~1)'кгв^<х,0)>0, (-1)шкаа^(х,Т)<о,

или (-1)'кгвгг(х,0)<0, (-1)'кга^(х,Т)<0

и функция £еи°'' (О).

Тогда задача (1),(2),<6) имеет, и притом единственное,

ревение и(х,Ь) из (0} ;

Пусть -замыкание гладких функций, удовлетворяющих уело-.

виям (2),(6), по норме

к-/

С помощью выбора специального базиса доказывается Теорема 13. Пусть коэффициент ао(х,Ь)>0 достаточно больной,

к((х,t)(t) при i-i,2s+i и (-1)'[2кга+(21-2а-1)кая^^]>Ъ>0,

или (-1)'кгя^(0}>0, (-1)якга^^Т)>0,

или (-1)"lla.^1<0i>0 ' <-1>"кга.,<т)<0>

или (~l)'kae^f(0)<0 , (-1)вкги^1(Т}<0.

Тогда для любой функции ie. La(Q) задача (1),(2),(6) имеет единственное решение u(x,t) из пространства и.

При определенных условиях выбор "е-рагуляризующого" one -ратора

Leu и Lu + (-i)"e , с>о

позволяет установить следующий результат.

Теорема t4. Пусть коэффициент ao(x,t)>o достаточно боль-

ной, к((x,t)шк((t) при i"i,2s+l И выполнены условия

(-I)'[2kae-(2B+I)ka„tt]>b>0 , (-Ц'12*а.+ка..„]>Ъ>0,

Тогда для любой функции '(Q) существует единственное реианиэ u(x,t) задачи (1) , (2), (6) из пространства Н^"'2"1 (Q).

В параграфа 2.2 рассмотрен случай к ■ (-i)s"k(t), где функция k(t)>o при t>o и к(о)»о . С помощью метода "е-регу-

ляризации" и коэрцитивных априорных оценок получены достаточные условия однозначной разрешимости задачи (1),(2),(6) в пространство .

Имеет место

Теорема 15.Пусть коэффициент ao(x,t)>0 достаточно больяой, кга а(-1)"*1 a(x,t) и имеет место

к (0)-0 ; a(x,t)Ba(t} , 0<t<ho ; а(0)>Ъ>0.

Тогда для лабой функции £ е Ьз (Q) существует единственное решение и е ^краевой задачи (1),(2),(6). и справедлива оценка |и|£< с !f! , с >о.

5 2.3 посвящен изучению краевой задачи Е для вырождающегося эллиптико - параболического уравнения (1) при *2в<1>" »•(-I)" kit), ГДе k (t > > 0, t>0 И к<0)«0.

Стационарный метод Галеркина и коэрцитивные априорные оценки позволяют доказать разрешимость задачи Е (1).(2),(6) в весовом пространстве . Справедлива

Теорема 16.Пусть коэффициент aQ(x,t)>o достаточно большой, кга « (-i)'a(x, t) и имеет место

a(x,t)-a(t), t€(0,hoJf. 2a(0)-(2s+l)kt (0)>Ъ>0.

Тогда для (О) существует, и притом единственное, ре -нение задачи (1),(2),(6) из пространства и .

ГЛАВА 111

В данной главе предложен новый подход к изучению задачи Кони для сингулярного гиперболического уравнения четного порядка, и исследована аналитичность решений сингулярного эллиптического уравнения порядка 2т. Аналитичность ранения задачи в для В - эллиптического уравнения устанавливается

методом Морри-Ниренберга.

б 3.1.В полупространстве л""» {<х,п: хен"\1>о ) рассмотрим сингулярное уравнение .

Vй' " , , I- V- ° " 0 • <7)

, «ят "о

•; °

где В^и и + т О и, к-сопаЬ, а коэффициенты а -

М 9 I I «( , «С

' О ■

суть действительные числа и а - 1.

о... .о,а»

Предполагается, что оператор ьо является гиперболическим относительно гиперплоскости Уравнение (7) при ъ>о принадлежит гиперболическому типу, а коэффициенты при младвих производных имеют особенности на гиперплоскости ъ»о. Вообще говоря, для уравнения <7) задача Кови в классичоской постановке не является корректной.

Задача Коии. При к>о найти ренение уравнения (7) в такое, что ' V "

■С"Л.«" Vx> ' D«B»U '«.о" 0 ' s" °'т~1 ' (8)

где vs<x> - заданные функции .

С помощью преобразования Фурье.по х получено представление решения задачи Кош (7),(8), из которого следует основная теорема б 3.1.

Теорема 17. Пусть параметр *>0.и

Ф, - 0 / i - oTS=2 / «^е соая'п" (tf1).

Тогда задача Кови (7),(8) имеет ренение из класса

На основании интегрального представления решений уравнения (7) доказана

Теорема 18. При к>о задача Коии (7),(8) может иметь

не более одного решения из с?™*'1"21.

Далее, как следствие полученных результатов, устанавливается разрешимость следующей задачи.

Сингулярная задача Коши. При k<i требуется найти решение уравнения (7), удовлетворяющее начальным условиям

Vх* ' ^»[и-и^сх.а,]!^- ч>в<х). (9) где 5= о,а-1; <р б сю(к") , # =* (<р .<?.....ч> > # а фукк-

Я 5 О О 1 и» 1

ция > -есть решение задачи (7),(8).

Пусть задано уравнение

П(вл-^4)и-о, (10)

л» 1 i

где А - оператор Лапласа и

О < а <___< а < а

т 3 1

В этом хе параграфе исследуется вопрос лакун для сингулярной задачи Коаи (9),(10).

Параграф 3.2 посвящен изучению аналитичности решений сингулярных эллиптических уравнений порядка 2т .

В ограниченной области Й с я" рассмотрим уравнение

V" Л Vх» V3и и £<х>< <И>

' ] ос | *ЗаС <2т г

где

" I»» •

в-:и--, в „ „ л + ± ^ , ^сопзь.

х дх *...«* * дх* ХпЯп

1 п- 1 п

Будем считать, что ь есть сильно эллиптический оператор в области й.Тогда уравнение (И) принадлежит классу в - эллиптических уравнений .

Пусть часть гиперплоскости х =о лежит внутри области Й ,

П

°п " хШ ' Тогда справедлива

п п

Теорема 19. Пусть где в - неотрицательное це-

лое число, и |и!<1. Предполохим, что аы(х) , £(х) являются аналитическими функциями в П, четными по х , и коэффициенты

п

а.(х) не зависят от х при |о('|+2о< < 2т . Тогда, если решение

а п п

и(х) уравнения (11) имеет в й непрерывные производные Сгга-"яи, Ъ'и, 01и, I ' | <2т, К2т-2+5,

то и(х) аналитична в Q.

Пусть Q » Й+- ограниченная область типа -папочки", прилегающая к гиперплоскости *п"0 и

Г--ЛГ Л {х >о} , Г - дй* П {х =0} .

П О v п

Краевая задача Е. В области й+ ищется решение уравнения <11) такое, что

^ |- -o,i= оТШ , J и' Г*

где у-положительное число.

Для &>о введем множество

Г .-{х'хх'еГ ,|x'-y'l>B V у'е д Г >.

о.о- о. о

В данном параграфе с помощью метода Морри-Ниренберга доказана следующая теорема.

Теорема 20. Пусть функция a¿(x) , £(х)есцв™(Q J, a¿(x) не

зависит от хп при Id'l 2ш, кроме того, и f(x)

аналитичны в замкнутой области IT1" П {хп < ео}. Тогда любое

слабое репение краевой задачи В аналитично в замкнутой об -

ласти Го в х [0,в] при о < с < ео.

Глава 1У

Рассмотрены краевые задачи для неклассических дифферен -циально-операторных уравнений второго и первого порядка.Изуче-чение задачи Коши проводится с помощью метода "е -регуляризации", учитывающего гиперболо-параболический тип, также привлекается метод Галеркина. С помощью теории монотонных операторов

исследована одна краевая задача для нелинейного вырождающегося операторного уравнения первого порядка.

§ 4.1.Рассмотрим операторное уравнение вида

я

Act) — + вси^* +cct)u =fct), teto,ti , (12)

dts dt

где cct>6 Lev, v'); Act), BctJ-линейные ограниченные операторы

в гильбертовом пространство н .Здесь v -сепарабельное гильбертово пространство, причем v вложено в н плотно и непрерывно, v с н с v'.

Через V' обозначено пространство, сопряженное к v , Lcv.v') есть пространство линейных ограниченных операторов из v в v'.

Классическая свидоизмененная•) задача Коши:найти решение уравнения (12) такое, что

U(0)=0 ,и'(0)*0 ( u<o>«o.Au' I -о ).

' 1 г =о '

Будем предполагать, что A(t)>o и оператор cct) удовлетворяет условию

г а

(С u.u) > 8uHv -^JuBh . v u е v , af>о. (jt)

В этом случае уравнениям вида (12) принадлежат гиперболические и параболичэские операторные уравнения, поэтому класс уравнений (12) назовем гиперболо-параболическим.

Введем пространство

Н(0,Т) = {и:и € L2(0,T;V) , и' £ Ьг(0,Т;Н)}.

Для простоты будем считать,что коэффициенты операторного уравнения (12) обладают нужной гладкостью.

Имеет место следующая основная теорема главы 1У.

Теорема 21. Пусть выполнены условия

B(t) - | Af(t) > Ье, B(t) + | Af(t) > Ье, Ъ >о,

\a"(t;u,v)\ < с lull llvfl, Ib'(t;u,v) \ < с ¡и» lv| V u,v ev. Тогда существует решение классической задачи Коши из W(0,T), которое имеет производную и' из w(o,T) и l|u'ft;HM-* о

при t -» +о для всех t из 1>г(0,?;Н), таких, что feLs(0,T;Н), f(0) - 0. На основании теоремы 21 доказывается Теорема 22. Пусть выполнены условия теоремы 21 и B(t) - | At (t) > SB , 5>o.

Тогда для любой f(t) из La(0,T}H) существует единстзен-

ное решение "видоизмененной" задачи Коки из W(o,T) , которое.

удовлетворяет соотношению

u(t) е E?(V) , CArtju'itbu'ft;; е с [о, т] ■

и начальным условиям соответственно в пространствах v и а.

Далее приводится приложение полученных результатов к разрешимости смешанной задачи для одной гиперболо-параболической системы второго порядка.

В 5 4.2 рассматривается эволюционное уравнение

u"<t> ♦ ju'(t) ♦ C(t)u«Kt) . , (13)

где k«const<o, а линейный оператор c<t> удовлетворяет уело -вию (jt).

Введем пространство

»»Ил(0,Т)-{ USt^U 6Ьа(0.Т!У),^и'бЬа{0,Т;Н) }.

Сингулярная задача Коши. Требуется найти решение u(t> уравнения (13) из пространства нл(о,т) такое, что '

u(0)-0 , tV(tjl,.o-0 ,

где r(t) -данная функция и t"fe l (о,т;Н) .

В данном параграфе доказывается единственность и существование решения сингулярной задачи Копи из wfc(o,T). Далее, рассмотрен вопрос о регулярности обобщенного решения этой задачи. В конце параграфа дается приложение полученных общих теорем к разрешимости задачи Гурса для одного сингулярного гиперболического, уравнения второго порядка .

§ 4.3. Пусть заданы рефлексивное банахово пространство V,

и гильбертово пространство н со скалярным произведением (•.<),

причем v с н плотно и непрерывно.

Предположим, что имеет место в - s"s, где s является линейным ограниченным оператором из v в некоторое гильбертово пространство н^ со скалярным произведением (• ,•)и справедливо равенство

(3*У.Ь)-(У,ЗЬ)5 V У е н>рУ ь е V. Ог)

Кроме того, задается радиально непрерывный монотонный коэрцитивный оператор

А: X X' , X » Ь (0,Т;У) ,"р > 2 .

Р

Краевая задача. Требуется определить решение и(Ъ) уравнения

§£(Ви) + Аи - £(Ь), (14)

удовлетворяющее условию

в и(0) = Э и{Ъ) , (15)

Очевидно, что при в=Е , н^=н задача (14),(15) совпадает с хорошо изученной задачей нахождения периодического реиения для абстрактного параболического уравнения .

Рассмотрим весовое пространство и(о,Т;В) с нормой

1иП„- 11и»х + |(ви)'1х. _

Для пространства и(о,Т;В> устанавливаются аналоги классических теорем вложения. В частности, имеет место

Теорема 23. Пусть для оператора в имеет место представление О',) - Тогда для любых и,у е я функция Би(Ь) е Е°ся?; и справедлива формула

= / {( (Би) '($),*((■) )+(и(1-) , (ВУ) ' К) ) г

где г, t е [0,Т]. Положим

ив = {и:~иш, Ви(0)=Би(Т)}. Теорема 24. Пусть для оператора в имеет место представление ^ ), и а -радиально непрерывный монотонный коэрцитивный оператор из х в X'. Тогда для любой функции £ е X' задача (14), (15) имеет решение из » .Если а вдобавок строго моно-

тонвн, то задача (14),(15) имеет единственное решение.

В этом параграфе рассматривается пример, в котором используется абстрактная теорема 24.

Цитированная литература

1. Бицадзе A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных. - M.s Наука, 1981.

2. Смирнов М.М. Вырождающиеся гиперболические уравнения. Минек1 Высшая школа, 1977.

3. Салахитдинов М.С. Уравнения смешанно -составного типа. Ташкент: ФАН, 1974.

4. Терсенов С.А. Параболические уравнения с меняющимся направлением времени. - Новосибирск: Наука, 1985.

5. Терсенов С.А. Введение в теорию уравнений, вырождающихся на границе. .- Новосибирск: НГУ, 1973.

6. Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. - Ташкент: ФАН, 1979.

7. Врагов В.Н. Смешанная задача для одного класса гиперболо -параболических уравнений второго порядка // Дифференц. уравнения. - 1976. - Т.12, n 1, - С. 24 - 31.

8. Врагов В.Н. О постановке и разрешимости краевых задач для уравнений, смешанно-составного типа // Матем. анализ и смежные вопросы математики. - Новосибирск:.Наука, 1978.- С. 5 -13.

9. Дезин A.A. Общие вопросы теории граничных задач. - М.: Наука, 1980.

10. Глушко В.П., Савченхо Ю.Б. Вырождающиеся эллиптические уравнения высокого порядка » пространства, операторы, граничные, задачи // Итоги науки. Матем. анализ. - 1985. - Т.23. 7 С.

125 - 218. • . .

Работы автора по диссертации.

11. Егоров И.Е. О задаче Коши для уравнения типа Эйлера-Пуассона-Дарбу. - Новосибирск: Препринт ИМ СО АН СССР, 1976. -14.

12. Егоров И.Е. 0 первой краевой задаче для одного параболического уравнения // Сибирск. матем. ж. - 1976. Т. эти, ы I.-

С. 220 -.224.

13. Егоров И.Е. О смешанной задаче для одного гиперболо -параболического уравнения // Матем. заметки. - 1978. Т.23 ,

N .3. - С. 389 - 400.

14. Егоров И.Е. О задаче Коии для вырождающегося операторного уравнения второго порядка. // Сибирск. матем. ж. - 1979,- Т.xx, n 5. - С. 1045 - 1021.

15. Егоров И.Е. О нелинейном вырождающемся операторном уравнении первого порядка // Корректные краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. - Новосибирск, 1980.

- С. 64 - 67.

16. Егоров И.Е. О задаче Копи для сингулярного гиперболического уравнения четного порядка //Корректные кравые задачи для неклассических уравнений математической физики. - Новосибирск,

1981. - С. 54 - 57.

17. Егоров И.Е. Аналитичность решения задачи в для сингуляр -ного эллиптического уравнения // Неклассические задачи уравнений математической физики. - Новосибирск, 1982. - С. 69 -72.

18. Егоров И.Е. Разрешимость краевых задач для неклассических уравнений смешанного типа // Неклассические уравнения матема -тической физики. - Новосибирск, 1985. - С. 60 - 72.

19. Егоров И.Е. Разрешимость одной краевой задачи для уравнения смешанного типа высокого порядка // Докл. АН СССР. - 1987,

- Т. 293, и 4. - С. 785 - 788. •

20. Егоров И.Е. Аналитичность репений сингулярных эллиптических уравнений // Матем. сб. - 1987. - Т. 133 (175), n 2. - С.

147 - 153.

21. Егоров И.Е. О первой краевой задаче для одного некласси -ческого уравнения // Матем. заметки. - 1987. - Т, 42, n 3. -С.

403 - 411. ■

22. Егоров.И.Е. Разрешимость Одной краевой задачи для уравнения смешанного типа высокого порядка // Дифференц. уравнения. - Т. 23, н 9. - С. 1560 - 1567.

23. Егоров И.Е. О краевой задаче в для одного клзсса эллипти-ко-параболических уравнений // Применение методов функционального анализа в уравнениях математической физики.- Новосибирск,

1987. - С. 78 - 84. 7

24. Егоров И.Е., Федоров В.Е.О первой краевой задаче для одного уравнения сметанного типа высокого порядка // Методы прикладной математики..и математической физики. -Якутск, 1987. - С. 8 - 14. .

25. Егоров И.Е. Краевая задача для одногр уравнения высокого порядка с меняющимся направлением времени // Докл. АН СССР. -1988. - Т. 303, и 6. - С. 1301 1304.

26. Егоров И.Е. Краевая задача для одного уравнения высокого порядка с меняющимся направлением времени // Дифференц. уравнения и их приложения. - Якутск, 1989. - С. 30 - 39.

27. Федоров В.Е.«.Егоров И.Е. О гладкости реиений краевой задачи для уравнения смотанного типа высокого порядка // Условно-корректные задачи математической физики и анализа : Тезисы докл. - Новосибирск, 1992. - С. 218.