Приближенное решение краевых задач для некоторых уравнений в частных производных с сингулярной линией тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Джумаев Эраж Хакназарович

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ С СИНГУЛЯРНОЙ ЛИНИЕЙ

01.01.02 - Дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

V

Г

2004-4

29991

На правах рукописи

Джумаев Эраж Хакназарович

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ С СИНГУЛЯРНОЙ ЛИНИЕЙ

01.01.02 - Дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Работа выполнена на кафедре моделирования и информатики Таджикского государственного национального университета

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ:

академик АН РТ, доктор физ.-мат. наук, профессор МИХАИЛОВ Леонид Григорьевич

доктор физ.-мат. наук, доцент ИСМАТИ Мухамаджон кандидат физ.-мат. наук, доцент АЛИЕВ Боймурод Ахмадович

Таджикский государственный педагогический университет им. К. Джураева

Защита состоится " 2004 г. в часов на заседании

диссертационного совета К.737.004.03 при Таджикском государственном национальном университете по адресу: 734025, Республика Таджикистан, г. Душанбе, проспект Рудаки, 17.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Таджикского государственного национального университета

г

Автореферат разослан " « Ц 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета д.ф.-м.н., профессор

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ1 БИБЛИОТЕКА

а С.Потрбур* ■гооГР*

Мустафокулов Р.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В ряде разделов математической физики (в гидродинамике, теории упругости и др.) фундаментальное значение имеет дифференциальное уравнение (с сингулярной линией у=0)

2 2 д и д и и ди .

— + —г + —•—' = 0, И ~ const > 0, mi)

dx¿ ду1 У ду

к которому приводят различные трехмерные задачи с той или иной симметрией области задания или возможной симметрией в искомом решении. Например, если в трехмерном уравнении Лапласа для тела вращения перейти к цилиндрическим координатам, то в меридианальной плоскости получится уравнение (0.1).

В мировой литературе уравнение (0.1) получило широкую известность под различными названиями: уравнение Эйлера - Пуассона - Дарбу (ЭПД); уравнение GASPT (Gydrodynamical Axially Symmetric Potencial Theory), мы будем называть его уравнением ООСТП - уравнением обобщенной осесим-метрической теории поля.

, 1 2

Кстати, если положить g = x,tj = —• у , то из (0.1) получим уравнение д2и д2и ди п 1 +и

относящееся к тем вырождающимся дифференциальным уравнениям, которые были изучены М.В. Келдышем в 1951г. Им впервые было показано, что на той части границы, на которой происходит вырождение, задавать значение искомой функции некорректно. Вместо задачи Дирихле (когда значение искомой функции должно быть задано на всем контуре) корректной будет задача Е, когда на отрезке (-1,1) требуется только ограниченность искомой функции, а сама она не задается (см. также известный обзор М.М. Смирнова по вырождаю!циеся уравнениям). Мы фактически сразу рассматриваем

решения, непрерывные в замкнутой области - поэтому об ограниченности решений на I мы говорим лишь в порядке обсуждения. Такую «видоизмененную» задачу М.В. Келдыша-будем называть задачей типа Е.

Пусть L обозначает верхнюю полуокружность х2 + у2 = 1, I отрезок (-1,1) оси ox, a G полукруг в верхней полуплоскости. Полукруг и полуокружность симмегричньте с G и L относительно оси ох обозначим через С и I , а В GiJ'Xf Помимо общепринятого обозначения класса функций ;ч"Г/'',!Ы непрерывно дифференцируемых внутри области C2(G) будем писа!ь ч не г-О (ТД 1^,111 и(\,\)^С (G) и непрерывна вп.ю!ь до фцницы. Через

N2(G) обозначае1ся подкласс из C2(G) функций для которых у'" . — = О,

х~>0 ду

a М2(В)-класс функций, принадлежащих соответственно классам C2(G) и C2(G') и образующих в В единую непрерывную функцию вместе с

выражением --, 0<ц<1; Ha(L)~класс функций удовлетворяющих на L

ду

условию Гёльдера с показателем а (0<а<1); -класс функций произ-

водные порядка к которых принадлежат классу Ha(L); CkW(L)-класс функций, имеющих непрерывные производные порядка к (к20), причем старшие производные которых принадлежат классу W(L) -классу функций, где норма определяется как сумма максимумов модулей предельных значений изнутри области и извне.

В работе швейцарского математика П. Генричи (P. Henrici) за 1953г. была дана формула представления аналитических по (х,у) решений (0.1) через голоморфные функции ф(г)

, . 1 \ ф\х + iy(\ - 2сг)] , Ф,У) = —{-ч 1 —---~da (0.3)

AiLfL 10

v, 2 ' 2 J Ы\-о)] 2

В работах Ю П. Кривенкова за 1957-1960 гг. было доказано, что всякое решение уравнения (0.1) из класса C2(G) обязательно будет аналитическим

по х, у (вне оси ох). Кроме того, им даны еще другие интегральные представления, подобные (0.3).

Большую известность приобрели работы американского математика А.Вайнштейна, связанные с исследованиями обобщенных уравнений типа (0.1) и с соответствующими вопросами теории потенциала и общей теории поля. По известным его работам в данной области науки закрепилось наименование: уравнения GASPT.

В 1963 г. у нас в Таджикистане (в изд. Академии наук) была опубликована монография Л.Г. Михайлова «Новый класс особых интегральных уравнений и его применения к дифференциальный уравнения с сингулярными коэффициентами», в которой впервые были рассмотрены уравнения

= a(z)w + e(z)w + c(z),

где w = u + iv, z = x + iy, 2d~=dx+idy

2 h

|x| • Дм + |дг| Y в^(х)дхи + c(x)u = fix),

/ = 1 '

где * = (*, ,.»>*). H2 = I

1 " *=1*

которые в начале координат испытывают вырождение порядка до нулевого или, следуя Л.Г. Михайлову будем называть их: «Дифференциальные уравнения с сингулярными коэффициентами».

В 1970 г. указанная монография Л. Г. Михайлова в переводе на английский язык была издана престижнейшими научными издательствами Голландии и Германии.

Начиная с 1959 года в Академии наук по дифференциальным уравнен-ниям с сингулярными коэффициентами Л.Г. Михайловым была развернута большая работа по подготовке научных кадров. Одним из тех, кто к нему поступил на работу в самый первый начальный период, был Н. Раджабов, которому была предложена тема (очень заинтересовавшая его на многие

годы): «Осесимметрическая теория поля и уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу». Главное состояло здесь в том, что различные граничные задачи для (0.1) и подобные ему для других уравнений были приведены к краевым задачам теории аналитических функций комплексного переменного.

Насколько нам известно из печати (реферативный журнал Математика, обзор М.М. Смирнова и т.д.) по существу не было работ, посвященных приближенным методам решения задачи типа Е и других краевых задач для (0.1). Подчеркнем, что как в самом дифференциальном уравнении, так и во всех интегральных представлениях и в формулах, дающих решения краевых задач, имеются сингулярности - и это представляет собой наиболее значительное затруднение.

Цель работы. Получение приближенного решения краевых задач для некоторых дифференциальных уравнений в частных производных с сингулярной линией в виде конечной суммы и оценки погрешности полученных решений в различных классах.

Метод исследования. Он заключается в преобразовании тех или иных граничных задач для (0.1) к краевым задачам аналитических функций комплексного переменного, теория которых разработана в школах Н.И.Мус-хелишвили, Ф.Д. Гахова, Л.Г. Михайлова. Используется также методика аппроксимации функций тригонометрическими интерполяционными полиномами.

Научная новизна, теоретическая и практическая ценность.

Впервые получены приближенные решения краевых задач для некоторых уравнений в частных производных с сингулярной линией и даны оценки погрешности в различных классах.

Для краевой задачи смешанного типа впервые дано теоретическое исследование, а также интегральное представление решений и его приближенное решение в виде конечной суммы. Получены также приближенные решения некоторых краевых задач для итерированного уравнения (0.1).

Полученные в диссертации приближенные решения устремлены к решениям прикладных задач из гидродинамики, теплопроводности и теории упругости. На их основе легко составить алгоритм решения на ЭВМ.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на республиканских научно-теоретических конференциях молодых ученых и специалистов (г. Душанбе, 1984, 1987, 1989), на семинаре кафедры "Теория функций и приближений" Казанского государственного университета под руководством профессора Габдулхаева Б. Г. (1987 г.), на апрельской научно-теоретической конференции профессорско-преподавательского состава 11 У (Душанбе, 1993), на научно-исследовательском семинаре кафедры математического анализа и теории функций "Комплексный анализ и его приложения в теории дифференциальных уравнений с частными производными" под руководством профессора Н. Раджабова (1989, 1994гг.), на объединенном заседании кафедр "Моделирования и информатики", "Механики и вычислительных методов" и "Прикладная математика" (10.05.1987г.); на международной конференции по дифференциальным уравнениям и их приложениям (Душанбе, 1998), на третьей международной конференции по математическому моделированию и вычислительному эксперименту (Душанбе, 2002).

Публикации. По теме диссертации опубликовано одиннадцать работ. Статья [2] написана в соавторстве с H.H. Юханоновым и ее результаты принадлежат авторам в равной мере.

Структура н объём диссертации. Диссертация состоит из введения и пяти параграфов со сквозной нумерацией. Общий объём работы составляет 80 страниц. Библиография состоит из 50 наименований.

Содержание диссертации

Работа состоит из Введения и пяти параграфов. Во введении дается обзор литературы, постановки задач и краткое изложение диссертации.

В §1, посвященном задаче типа Е, сначала даётся решение задачи типа Е в явном виде (через интегральное представление П. Генричи), полученном Н. Раджабовым. Затем даётся аппроксимация решения тригонометрическими интерполяционными полиномами на окружности. - Для этого мы следуя Н. Раджабову, совершаем продолжение голоморфной функции (из формулы Генричи) по симметрии.

Постановка задачи. Найти вещественную функцию и(х,у)- непрерывную в замкнутой области С принадлежащую классу С2(С7) при ц > 1 и классу N¡(0 при о < ¡л < 1, удовлетворяющую в Б уравнению (0.1) и на I граничному условию

0<е<7Г (0.4)

где g(в) - заданная непрерывная функция точек Ь.

Раджабовым Н. доказано, что если в задаче (0.1), (0.4) ц - произвольное положительное число и продолженная четным образом функция

если в е Ь

£(0) = \

[£(-0), если веЬ

имеет непрерывные производные порядка т = +1, причем последняя производная удовлетворяет условию Гельдера, тогда задача (0.1), (0.4) разрешима, и её единственное решение дается формулой

у

и(х,у) = (2у)1~^ \<К4)(у2-Л2)2 (05)

-у

В формуле (0.5) подынтегральная функция ф{г]), при некоторых значениях (I, может иметь особенность. Поэтому с целью дальнейших вычислений выделяя особенность как отдельный сомножитель, представим эту функцию в виде

, -Я®-* т

где

О (сова - соъв) ^

■-р" .эта аа

вша • вт

тс^ 2 • £(аг)| е Д^^та • ^та]^-2 • §(а)

м

Пв-22 -= 2 = х + 1П

я ■ а\ • (1 + а\)...\сс\ + и -1)

и и «/-некоторые постоянные определяемые через значения параметра ¡л.

Далее, аппроксимируем функцию <р(1) тригонометрическим интерполяционным полиномом вида

<рю» I ¿/^(рл?) (о-«)

*=-ЛГ

где

1 & . .-ь___Ю, -

4 + ' ; + 1

В (0.6) подынтефальную функцию (р(г) заменим функцией <Рд,(г).

Подставляя вычисленное значение интеграла (0.6) в (0.5), и выполняя интегрирование получим:

к-п+30

(0.9)

ч [0. если(А: - и) - четное, ё0=8(к-п)=\

[-1, если(£-я) -нечетноечисло.

Доказаны следующие теоремы.

Теорема 0.1. Пусть в задаче (0.1), (0.4) , и продолженная четным

образом функция ¡¡(в)

+ 1, г>0). Тогда приближенное

решение задачи (0.1), (0.4) дается формулой (0.9) и имеет место оценка погрешности

\и{х,у)-и„{х,у)\<ю-ух

18С

Ы'

г+а-р

71 Л

я

+ш

, (0.10)

где С - наименьшая постоянная Гельдера для (/);

ух = (л +1)(1 + |5д| ) ^ у{п,Х,Р),Р < а,

¡5Я |н - норма оператора

геГ;

со

™ р(1 + г)А(т-0 = и КМ- слагаемое появляющееся за счет остаточных членов

применяемых квадратурных формул.

Теорема 0.2. Пусть в задаче (0.1), (0.4) //>0 и ];(0)еСг + т1У (г> 0). Тогда приближенное решение задачи (0.1), (0.4) дается формулой (0.9) и имеет место оценка

\и{х,у)-и„(х,у)| < 2й^Едг +**/]

(0.11)

Е% =| я- + 2 + 21п

2(2# + 1)

Г

0ЧГ)

(ЛГ + \)г

Я/ — слагаемое, появляющееся за счет остаточных членов применяемых квадратурных формул.

Если точные значения интегралов, входящих в выражение (0.7) (при различных значениях параметра ц), найти невозможно или затруднительно, то определим приближенное значение <р{т:.), используя одну из квадратурных формул. Для приближенного вычисления соответствующих интегралов можно использовать только те квадратурные формулы, для

1

которых /?дг (/; в, р) = О

где />>2 и е - сколь угодно малая

положительная величина.

Второй параграф диссертации посвящен построению приближенного решения краевой задачи типа Неймана дня уравнения (0.1). Используя аппроксимацию некоторой известной функции тригонометрическими интерполяционными полиномами вида (0.8) построено приближенное решение задачи и даны оценки погрешности полученного приближенного решения в различных классах функций.

Постановка задачи. Требуется найти вещественную функцию и(х,у) из класса С^О) при ц>1 и из класса И2(С) при 0< ц<1, непрерывную вместе со своими производными первого порядка на удовлетворяющую в б

уравнению (0.1) и на £ граничному условию

ди

ду

= (0.12)

I

где у- внешняя нормаль к Ь, ^-заданная непрерывная функция точек I. Для задачи (0.1), (0.12) доказаны следующие утверждения.

Теорема 0.3. Пусть в задаче (0.1), (0.12) ц>0, продолженная четным образом функция ^ (#) е + г\г) (0<а^1, г>0) и выполнено условие л

|(бш ¿1 (соэ в, вш 0)с№ = 0. (Р)

О

Тогда приближенное решение задачи (0.1), (0.12) дается формулой

к-п+б0

к=п+1к~п д=0 V 1

ххк-П-2ду2е,(0.13)

где С о-вещественная постоянная, и имеет место оценка погрешности (0.10), при у = у(п +1Д,Р), Р<а.

Теорема 0.4. Пусть в задаче (0.1), (0.12) ц>0, продолженная четным

образом функция g{(e)eCr + mW (г>0) и выполнено условие (Р). Тогда приближенное решение задачи (0.1), (0.12) дается формулой (0.13) и имеет место оценка (0.11).

В третьем параграфе дано явное решение для (0.1) смешанной краевой задачи

ди

-+аи(х,у) оу

= g2(0), a=const (0.14)

где у- внешняя нормаль к Ь, £2(0)-заданная непрерывная функция точек Ь.

Получено приближенное решение этой задачи, а также даны оценки погрешности приближенного решения в различных классах. Для нахождения явного решения, краевое условие (0.14) доопределяется на симметричную полуокружность Ь' с помощью интегрального представления (0.3). Если обратить соответствующее интегральное уравнение на контуре, то задача (0.1), (0.14) сводится к известной краевой задаче Гильберта теории аналитических

функций. Для получения приближенного решения задачи некоторая известная функция, аналогично предыдущим параграфам, аппроксимируется тригонометрическими интерполяционными полиномами. Доказаны следующие теоремы.

Теорема 0.5. Пусть в уравнении (0.1) р - произвольное положительное число, а > О, и продолженная четным образом функция gj(x,y)=

Ф,

2 J

причем пос^дняя протводная удовлетворяет условию Гельдера, Тогда задача (0 1)-(0 14) безусловно разрешима и ее единственное решение дается формулой:

= g^(cos0,s\ne) имеет непрерывные производные порядка т=

и{х>у)=—г-~—\ i

-lf.fi«

1

Я-1

[o-(l-cr)] da, (0.15)

где

m , t-z

L^jL

(0.16)

если /л - целое число, и

, -f^. (0,7,

если р - нецелое число, функция G(t) - выражается через функцию формулой подобной формуле (0.7), а Я = {и} - дробная часть /л и z=x + +iy(l-2o).

Замечание. В форм.ме (0.17) переходя к пределу М~Л —>! получим формулу (0.16). Исходя из этого при получении приближенного решения краевой задачи (0.1), (0.14) используется только формула (0.17).

Приближенное решение задачи (0.1), (0.14) получено в виде

2-й " Ск

к=п+\к~п + а-\

к-п+З-1

х I (-1 ус\1п_хв

д=0

где

[0, если(& -п)- четное,

1-1, есш^к -п)- нечетное числа

Четвертый параграф работы посвящен получению приближенного решения краевых задач в классе М2(В), когда граничные условия задаются на всей границе области. Построены приближенные решения первой и второй краевых задач для уравнения (0.1) и даны соответствующие оценки сходимости приближенных решений. Доказаны соответствующие теоремы.

В пятом параграфе даются приближенные решения двух граничных задач типа Рикье для итерированного уравнения ООСТП. В частности,

получено приближенное решение задачи А

Найти решение уравнения

(ьм)ти = 0, (т21) в области <7 при ¡1>2т-\ по следующим условиям:

и{х,у)еС2т(в), (ь^'иефиь), 0 < у < /я -1,

= + ;(&), 0 < У < т -1, 0 < в < я\

где

и д

Lu = А + — —, Д -оператор Лапласа, //-произвольное число; у ду

/] + j {0) (0< j<m — l) - заданные непрерывные функции точек контура L. Приближенное решение задачи А^ получено в виде

т-1 г Tri

«Ах>у) = TUN,m-2j\ajk>"~Лx,y\+UN Jaok; п;х,у\ 7=1

где п; xj'J-определено в (0.9), и доказаны соответствующие теоремы

сходимости этого решения к точному решению.

Список

опубликованных работ автора по теме диссертации

1) О приближенном решении краевой задачи Дирихле для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. // Тезисы респ. науч.-теор. конф.молод. учен.и спец. 4.1, Душанбе, 1984. с. 60-61.

2) О приближенном решении краевой задачи типа Дирихле для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. //Доклады АН Тадж.ССР. -1987. -Т. 30. №1.-С. 14-18. (совм. с H.H. Юханонов).

3) О приближенном решении задачи Неймана для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. //Тезисы респ. науч.-пракг. конф. молод, учен, и спец. -Душанбе, ТГУ им. В. И. Ленина, 1987, с.45.

4) К приближенному решению некоторых краевых задач для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. //Деп. в ВИНИТИ 2409-В89 от 12-IY-89r. 23 с.

5) О приближенном решении краевых задач типов Дирихле и Неймана для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. //Деп. в ВИНИТИ 2407-В89 от 12-IY-89г. 23 с.

6) О приближенном решении некоторых краевых задач с высшими производными для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. //Тезисы респ. науч.-практ. конф. молод, учен, и спец.-Душанбе,ТГУ им. В.И.Ленина,1989,с.27-29.

7) Приближенное решение одной граничной задачи типа Рикье для уравнения высшего порядка с сингулярной линией. //Тезисы респ. науч.-практ. конф. молод, учен, и спец. -Душанбе, ТГУ им. В. И. Ленина,1989, с.

8) О точном и приближенном решении одной краевой задачи для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. //Вестник Таджикского госуниверситета, 1990, серия математика, №5. с. 17-20.

9) Решение одной краевой задачи для уравнения осесимметрической теории поля. //Тезисы докладов апрельс. науч.-теор. конф. проф.-преп. состава ТГУ, -Душанбе, 1993, с. 21.

10) О методе получения приближенного решения краевых задач.// Труды межд. конф. по диффер. уравнениям и их приложения. -Душанбе, 1998, с. 40.

11) Некоторые обобщения алгоритмов приближенного решения основных краевых задач для дифференциальных уравнений с сингулярной линией. //Матер. 3-ой межд.конф. по матем. моделир. и выч. экспр., -Душанбе, 2002, с. 48-49.

Сдано в печать 10.11.2004 г. Формат 60/841/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. 1 усл. печ. л.. Тираж 100 экз. Заказ №112.

Изготовлено в типографии «Ому»

113-115.

РНБ Русский фонд

2004-4 29991

Введение.

§ 1. Приближенное решение задачи типа Е для уравнения ООСТП.

1.1 .Постановка задачи.

1.2.Аппроксимация решения тригонометрическими интерполяционными полиномами.

1.3.Оценка погрешности.

§2. Приближенное решение задачи типа Неймана для уравнения

ООСТП.

2.1 .Постановка задачи.

2.2.Аппроксимация решения тригонометрическими интерполяционными полиномами.

2.3. Оценка погрешности.

§3.Третья краевая задача, явная формула представления решений и нахождение приближенного решения.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Нахождение явного решения.

3.3. Приближенное решение третьей краевой задачи.

§4. Задачи Дирихле и Неймана для уравнения ООСТП в случае

0<|1<1.

4.1. Постановки задач.

4.2. Приближенное решение задачи д.

4.3. Приближенное решение задачи n.

§5. О приближенном решении граничных задач для одного уравнения высшего порядка (для итерированного ООСТП).

5.1. Постановки задач. * 5.2.Приближенное решение задачи Ад.

5.3. Оценка погрешности приближенного решения задачи АЕ

5.4. Приближенное решение задачи

Актуальность темы. Обозначим через Ь верхнюю полуокружность х2+у2=1, через / отрезок (-1,1) оси ох, тогда такой контур будет границей полукруга в верхней полуплоскости, который будем обозначать С. Полукруг и полуокружность симметричные с (7 и Ь относительно оси ох обозначим ф через О и Ь , а В=Си1и(.7 , Г=ЬиЬ . В описанной области О будем рассматривать дифференциальное уравнение

2 2 д и д и и ди

А=с (0Л)

Это уравнение имеет фундаментальное значение в целом ряде разделов математической физики [2], гидродинамики и теории упругости [1,9] и в литературе известно под названием уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу [16,37] или уравнения обобщенной осесимметрической теории потенциала (GASPT- GeneralizedAxially Symmetric Potential Theory) [38,39].

Но мы будем его называть уравнением обобщенной осесимметрической теории поля (уравнением ООСТП).

К дифференциальному уравнению (0.1) приводят многие пространственные (п>3) задачи с той или иной симметрией области задания или решения. Если в трехмерном уравнении Лапласа для тела вращения перейти к цилиндрическим координатам, то в меридиональной плоскости получим (0.1).

- 1 2

Кстати, если в (0.1) положить ъ ~ Л ~~У , то из него получим дифференциальное уравнение д2и д2и ди 1 + и относящееся к тем вырождающимся уравнениям, которые были изучены М.В. Келдышем в 1951 г. [14], (см. так же [35]). Им впервые было показано, что на той части границы области, на которой происходит вырождение (для (0.2), это будет на линии 77 = 0 и для (0.1) - на отрезке /) значение искомой функции задавать некорректно.

Вместо задачи Дирихле для дифференциального уравнения (0.1) в области (7 корректной будет задача типа е введенная М.В.Келдышем [14], когда на отрезке / требуется только ограниченность искомой функции, а она сама не задается.

В работе швейцарского математика П. Генричи (Р. Неппс1) в 1953 г. [37] была дана формула представления аналитических по (х,у) решений (0.1) через голоморфные функции ф(г):

В работах Ю.П. Кривенкова за 1957-1960 гг. [16,17] доказано, что всякое решение уравнения (0.1) из класса С2(СТ), обязательно будет аналитическим по х, у (вне оси ох). Кроме того, им даны еще другие интегральные представления, подобные (0.3).

Прежде чем продолжать обзор, введем необходимые в дальнейшем обозначения классов функций. с2(с)-класс функций дважды непрерывно дифференцируемых внутри (7. Что же касается поведения решений (0.1) на границе области, то они будут особо оговариваться всякий раз когда это будет необходимо, отдельно на части границы Ь или /. В связи с этим, следуя Ю.П. Кривенкову [16,17] для (0.1) мы вводим подкласс из С2 (С) решений и(х,у), непрерывных в замкнутой области, т.е. включая и!и/и точки их стыка. - Будем обозначать его через 1 Н>0 ) (0.3)

С2(0), а его подкласс функций, которые дополнительно удовлет-воряют условию

Ит и ди . уМ--= о

0 ду будем обозначать м2(в)~класс функций, принадлежащих соответственно классам с2(с) и С2(0 ) и образующих в В единую непрерывную функцию вместе с выражением \у\м- — , 0<(1<1; ду на (ь) -класс функций удовлетворяющих на ь условию Гёльдера с показателем а (0<а<1);

На\Ь) -класс функций производные порядка к которых принадлежать классу На(Ь);

РР^-кп&сс функций, где норма определяется как сумма максимумов модулей предельных значений изнутри области и извне.

С ]¥(Ц)-класс функций = е ,6 е [0,2л-]), для которых

Большую известность приобрели работы американского математика А.Вайнштейна, связанные с обобщениями уравнения (0.1) и с соответствующими вопросами теории потенциала и общей теории поля. По известным его работам [38,39] для данной области науки закрепилось наименование: уравнения ОА8РТ.

В 1963 г. у нас в Таджикистане (в изд. Академии наук) была опубликована монография Л.Г. Михайлова [22] «Новый класс особых интегральных уравнений и его применения к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами». В ней впервые были рассмотрены уравнения где z\d-= а(г)м? + в(г)м? + с(г), м? = и + IV, г — х + 1у, 2д~ = 9 „ + /5 у г х у» где

2 п х -Аи+х ^ вЛх)дхи + с(х)и = /(х),

1 = 1 к — 1 п которые в начале координат испытывают вырождение порядка до нулевого или, если их поделить на первые множители, то следуя Л.Г. Михайлову [2125], будем называть их: «Дифференциальные уравнения с сингулярными коэффициентами».

В 1970 г. указанная монография Л. Г. Михайлова в переводе на английский язык была издана престижнейшими научными издательствами Голландии и Германии [24].

Начиная с 1959 года в Академии наук по дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами Л.Г. Михайловым была развернута большая работа по подготовке научных кадров. Одним из тех, кто к нему поступил на работу в самый первый начальный период, был Н. Раджабов, которому была предложена тема ( заинтересовавшая его на многие годы): «Осесимметрическая теория поля и уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу». Ему было предложено рассмотреть различные граничные задачи для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу, методом отталкивающимся от формулы П. Генричи [37], и приводящим их к краевым задачам теории аналитических функций комплексного переменного [19,20].

Задача типа Е может показаться несколько необычной для математиков - вычислителей тем, что в задаче типа Е на той части границы, где дифференциальное уравнение вырождается, т.е. на /, требуется всего лишь ограниченность функции - но на это надо ответить, что в формулах, дающих решение задачи типа Е фактически, уже будет видна непрерывность решения на / - а потому постановка вопроса о приближенном решении, а также и о применении тех или иных методов, вполне корректна. При этом надо отметить, что как в самом дифференциальном уравнении, так и во всех интегральных представлениях и в формулах, дающих решения краевых задач, имеются сингулярности - и это, может быть, и представляет собой самое значительное затруднение. В основном мы использовали методы аппроксимации интерполяционными полиномами - хотя на сегодня уже имеется немало работ, в которых разрабатываются приближенные методы: для сингулярных интегралов, для сингулярных интегральных уравнений и соответственно для тех или иных краевых задач [5-7] (см., также [11-13]). При оценке погрешности приближенных решений нами использованы результаты, полученные в работах В.В. Иванова [13], Б.Б. Габдулхаева [5-7] и В.А. Золотаревского [12].

Насколько нам известно, ( из реферативного журнала Математика, из обзора М.М. Смирнова [35] и т.д.) по существу не было работ, посвященных приближенным методам решения задачи типа Е и других краевых задач для (0.1).

Полученные нами формулы приближенных решений могут быть применены для решения прикладных задач гидродинамики, теплопроводности, теплообмена и теории упругости.

Цель работы. Получение приближенного решения краевых задач для некоторых дифференциальных уравнений в частных производных с сингулярной линией в виде конечной суммы и оценки погрешности полученных решений в различных классах.

Метод исследования. Он состоит в преобразовании тех или иных граничных задач для (0.1), ( и некоторых других сингулярных уравнений ) к краевым задачам для аналитических функций комплексного переменного, теория которых хорошо разработана в школах советских математиков Н.И. Мусхелишвили и Ф.Д. Гахова. Используются аппроксимации тригонометрическими интерполяционными полиномами, так что приближенное решение представляется конечной суммой, кроме того, даны простые оценки погрешностей.

Научная новизна, теоретическая и практическая ценность. Новизна работы состоит в том, что в ней впервые получены приближенные решения в виде конечных сумм для дифференциальных уравнений с сингулярной линией и даны оценки погрешности полученных решений в различных классах, а также для задачи смешанного типа впервые получено интегральное представление решения, а также и представление его приближенного решения в виде конечной суммы.

Наиболее существенные результаты, полученные в работе, состоят в следующем: а) для некоторых дифференциальных уравнений с сингулярной линией получены приближенные решения краевых задач в виде конечных сумм при различных допустимых значениях параметра у сингулярного члена уравнения; б) применяя существующие оценки аппроксимации тригонометрическими интерполяционными полиномами в различных классах, получены оценки точности приближенных решений в зависимости от числа узлов интерполирования; в) для краевой задачи смешанного типа впервые дано интегральное представление решения, а также его приближенное решение в виде конечной суммы; г) для итерированного дифференциального уравнения ООСТП получены приближенные решения двух краевых задач типа Рикье в виде конечной суммы и даны оценки точности приближения.

Работа носит в основном теоретический характер, но полученные результаты устремлены к решениям прикладных задач из области гидродинамики, теплопроводности, теплообмена, теории упругости. На основе полученных формул легко можно составить алгоритм решения рассматриваемых задач на ЭВМ.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на республиканских научно-теоретических конференциях молодых ученых и специалистов (г. Душанбе, 1984, 1987, 1989), на семинаре кафедры "Теория функций и приближений" Казанского государственного университета под руководством профессора Габдулхаева Б. Г. (1987 г.), на апрельской научно-теоретической конференции профессорско-преподавательского состава ТГУ (Душанбе, 1993), на научно-исследовательском семинаре кафедры математического анализа и теории функций "Комплексный анализ и его приложения в теории дифференциальных уравнений с частными производными" под руководством профессора И. Раджабова (1989, 1994гг.), на объединеном заседании кафедр "Моделирование и информатики", "Механики и вычислительных методов" и "Прикладная математика" (10.05.1987г.), на международной конференции по дифференциальным уравнениям и их приложениям (Душанбе, 1998), на третьей международной конференции по математическому моделированию и вычислительному эксперименту (Душанбе, 2002).

Публикации. По теме диссертации опубликовано одиннадцать работ. Статья [41] написана в соавторстве с H.H. Юханоновым и ее результаты принадлежат авторам в равной мере.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения и пяти параграфов со сквозной нумерацией. Общий объём работы составляет 80 страниц. Библиография состоит из 50 наименований.

1. Александров А.Я., Соловьев Ю.И. Пространственные задачи теории упругости, -М/. Наука, 1978. -462 с.

2. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, -М.: Наука, 1966. -Т. 1. -632 с.

3. Векуа И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений.-М.: Гостехиздат, 1948. -296 с.

4. Габдулхаев Б.Г. Об аппроксимации тригонометрическими полиномами и погрешности квадратурных формул для сингулярных интегралов. //Функциональный анализ и теория функций. -Казань: Казан.ун-т, 1967. -С.54-74.

5. Габдулхаев Б.Г., Онегов О. О квадратурных и кубатурных формулах для сингулярных интегралов. //Теория функций и функциональный анализ. -Казань: Казан.ун-т, 1976. -С. 22-46.

6. Габдулхаев Б.Г.Оптимальные аппроксимации решений линейных задач. -Казань: Казан.ун-т, 1980.-231 с.

7. Гахов Ф.Г. Краевые задачи. -М.: Наука, 1977. 640 с.

8. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. -М.: Наука, 1984. -832 с.

9. Кривенков Ю.П. О некотором представлении решений уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. //Докл. АН СССР, 1957. -Т. 116, №3, -С.351-354.

10. Кривенков Ю.П. Представление решений уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу через аналитические функции. //Докл. АН СССР, 1957. -Т. 116, №4, -С.545-548.

11. Крылов В.И., Лугин В.В., Янович Л.А. Таблицы для численного интегрирования функций со степенными особенностями. -Минск: 1963, -434с.

12. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В Методы теории функций комплексного переменного. -М.: Наука, 1973. -736 с.

13. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. -М.: Наука,1977. -408с.

14. Михайлов Л.Г. Эллиптические уравнения с сингулярными коэффициентами //Изв. АН СССР. Сер. мат., 1962, т. 26, №2, -С. 293-312.

15. Михайлов Л.Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применение к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами. -Душанбе, 1963. -183с.

16. Михайлов Л.Г. Интегральные уравнения с ядром, однородным степени -1.-Душанбе, 1966.-50с.

17. Михайлов JI.Г. О некоторых дифференциальных уравнениях с частными производными. //Докл. АН СССР, 1991. -Т. 319, №1, -С. 46-52.

18. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. -М.: Наука, 1968.-511 с.

19. Никольский С.М. Квадратурные формулы. -М.: Наука, 1979. -254с.

20. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. —М.: Наука, 1982.-332 с.

21. Раджабов Н. Р. Обращение одного интегрального уравнения осесим-метрической теории упругости. ДАН Тадж.ССР, t.IV,№6, 1963, -С.3-6.

22. Раджабов Н. Р. Некоторые краевые задачи для уравнения осесимметри-ческой теории поля. // Исследование по краевым задачам теории функций и дифференциальных уравнений, изд-во АН Тадж. ССР. -Душанбе, 1965.-С. 79-127.

23. Раджабов Н. Р. Интегральные представления и граничные задачи для некоторых дифференциальных уравнений с сингулярной линией и сингулярными поверхностями: Учебное пособие по спецкурсу. -Душанбе. 1980-4.1. -127 е.; 1981.-Ч.2. -170 с.

24. Раджабов Н. Р. Граничные задачи типа Дирихле и Неймана для некоторых модельных уравнений эллиптического типа с сингулярной линией. // Изв. АН Тадж.ССР. Отд.физ.-мат. хим. и геолог, наук.-1973. -№4 (50). -С. 10-17.

25. Раджабов Н.Р. Некоторые граничные задачи типа Римана для обобщенной системы Коши- Римана с сингулярной линией. //Исследования по краевым задачам и интегральным уравнениям. -Душанбе, Дониш,1976, -С. 157.

26. Сеге Г. Ортогональные многочлены. -М.: Физматгиз, 1962. -500 с.

27. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. -М.: Наука, 1966. -292 с.

28. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. -М.: Наука, 1969 . -Т.2. -799 с.

29. Henrici R.P. Zur functionentheorie der Wellengleichungen. Comm. Math. Helv. 1953, v. 27, p. 235-293.

30. Weinstein A. Discontinuous integrals and generalized potential theory. -Trans. Amer. Math. Soc., -1948, v. 63, №2, p. 342-354.

31. Weinstein A. Generalized axially symmetric potential theory. -Bull. Amer. Math. Soc., 1953, v. 59, №1, p. 20-38.

32. Джумаев Э.Х. О приближенном решении краевой задачи Дирихле для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. // Тезисы респ. науч.-теор. конф. молод, учен, и спец. 4.1, Душанбе, 1984. -С. 60-61.

33. Джумаев Э.Х. О приближенном решении краевой задачи типа Дирихле для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. //Доклады АН Тадж.ССР. -1987. -Т. 30. №1.-С. 14-18. (совм. с H.H. Юханонов).

34. Джумаев Э.Х. О приближенном решении задачи Неймана для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. //Тезисы респ. науч.-практ. конф. молод, учен, и спец. -Душанбе, ТГУ им. В. И. Ленина, 1987, -С.45.

35. Джумаев Э.Х. К приближенному решению некоторых краевых задач для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. //Деп. в ВИНИТИ 2409-В89 от 12-1У-89г. 23 с.

36. Джумаев Э.Х. О приближенном решении краевых задач типов Дирихле и Неймана для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. //Деп. в ВИНИТИ 2407-В89 от 12-IY-89r. 23 с.

37. Джумаев Э.Х. О приближенном решении некоторых краевых задач с высшими производными для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. //Тезисы респ. науч.-практ. конф. молод, учен, и спец. -Душанбе, ТГУ им. В. И. Ленина, 1989, -С. 27-29.

38. Джумаев Э.Х. Приближенное решение одной граничной задачи типа Рикье для уравнения высшего порядка с сингулярной линией. //Тезисы респ. науч.-практ. конф. молод, учен, и спец. -Душанбе, ТГУ им. В. И. Ленина, 1989,-С. 113-115.

39. Джумаев Э.Х. О точном и приближенном решении одной краевой задачи для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. //Вестник Таджикского госуниверситета, 1990, серия математика, №5. -С. 17-20.

40. Джумаев Э.Х. Решение одной краевой задачи для уравнения осесим-метрической теории поля. //Тезисы докладов апрельс. науч.-теор. конф. проф.-преп. состава ТГУ, -Душанбе, 1993, -С. 21.

41. Джумаев Э.Х. О методе получения приближенного решения краевых задач. // Труды межд. конф. по диффер. уравнениям и их приложения. -Душанбе, 1998,-С. 40.

42. Джумаев Э.Х. Некоторые обобщения алгоритмов приближенного решения основных краевых задач для дифференциальных уравнений с сингулярной линией. //Матер. 3-ой межд.конф. по матем. моделир. и выч. экспр., -Душанбе, 2002, с. 48-49.