Краевые задачи для уравнений смешанного типа со специальными условиями сопряжения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

БАРОВА ЕВГЕНИЯ АНАТОЛЬЕВНА

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ СМЕШАННОГО ТИПА СО СПЕЦИАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ СОПРЯЖЕНИЯ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Казань - 2007

003054027

Работа выполнена на кафедре математического анализа Самарского государственного педагогического университета

Научный руководитель:

заслуженный деятель науки РФ, доктор физико-математических наук,

профессор_

Волкодавов Виктор Филиппович

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

профессор, чл.-корр. АН РБ Сабитов Камиль Басирович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Хайруллин Равиль Сагитович

кандидат физико-математических наук, доцент

Бурмистров Борис Николаевич

Ведущая организация: Институт математики

им. С.Л. Соболева СО РАН

Защита состоится 21 марта 2007 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета К 212.081.06 при Казанском государственном университете имени В.И. Ульянова - Ленина по адресу: г. Казань, ул. Университетская, 17, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке имени Н.И. Лобачевского Казанского государственного университета.

Автореферат разослан "/.^."февраля 2007 г.

Учёный секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук, доцент

Липачев Е.К.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Одним из важнейших разделов в теории дифференциальных уравнений с частными производными является теория уравнений смешанного типа. Простейшим уравнением смешанного эллиптико-гиперболического типа на плоскости является уравнение

уихх + иуу = 0. (1)

Известной краевой задачей для такого уравнения является задача Трикоми. Она впервые была решена самим Ф. Трикоми в 20-е годы XX века. Результаты, полученные Ф. Трикоми, были развиты С. Геллерстедтом для уравнения

У2т+1ихх + иуу = 0.

Ф. И. Франкль обнаружил важные приложения задачи Трикоми и других родственных ей задач в трансзвуковой газодинамике. И. Н. Векуа указал на важность проблемы уравнений смешанного типа при решении задач, возникающих в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, а также в безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака. А. В. Бицадзе впервые сформулировал принцип экстремума для задачи Трикоми. Позднее он был доказал и для других краевых задач для уравнений смешанного типа. М. А. Лаврентьевым была предложена более простая модель уравнения смешанного типа

ихх + sgny -иуу = 0,

для которого вычисления проводятся с меньшими трудностями, чем в аналогичных задачах по уравнению (1).

В дальнейшем были поставлены и исследованы новые задачи для уравнения смешанного типа как в нашей стране (В.Ф. Волкодавов, В.Н. Врагов, Т.Д. Джураев, В.И. Жегалов, Т.Ш. Каль-менов, А.И. Кожанов, Ю.М. Крикунов, А.Г. Кузьмин, М.Е. Jlep-нер, Е.И. Моисеев, A.M. Нахушев, С.М. Пономарёв, С.П. Пуль-кин, Л.С. Пулькина, O.A. Репин, К.Б. Сабитов, М.С. Салахитднов, М.М. Смирнов, А.П. Солдатов, Р.С Хайруллин, Л.И. Чибрикова, Хе Кан Чер и другие), так и за рубежом (S. Germain, R. Bader, S Agmon, L. Nirenberg, M.N. Protter, C. Morawetz, P.O. Lax, M. Schneider, A.K. Aziz, G.D. Dachev и другие).

В последние годы В.Ф. Волкодавовым рассмотрены краевые задачи для уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа,

для которых линия изменения типа есть их характеристика. В постановках этих задач условие сопряжения на линии изменения типа состоит в склеивании производной по нормали из области эллиптичности с производной дробного порядка или интегралом дробного порядка из области гиперболичности. Первые результаты в данном направлении были опубликованы в работе1, где рассмотрена краевая задача для уравнения

0 _ Г иХх+ иуу, у> О,

\ иху, у < 0.

Краевые задачи с подобными условиями сопряжения изучены в работе Ю.О. Плотниковой2 для частных случаев уравнения гиперболического типа

иху + а (х, у)их + Ь (х, у)иу + с (х, у)и = 0

и уравнения смешанного типа

q _ Г Uxx + иуу — Аи, у > 0, Л = const, \ иху + Хи, у < 0.

Н.А. Куликовой в работе3 изучены краевые задачи, условие сопряжения которых содержат производные дробного порядка, для уравнений

а

Lu = uxv Н--uv = 0, ael,a/D,

y x + y y

в ограниченной области и

5 (и) ее иху + —(их + иу) = 0, 0 < 2q < 1,

волкодавов В.Ф., Наумов О.Ю. Для уравнения смешанного типа задача Т с сопряжением специального вида // Неклассические уравнения математической физики. - Новосибирск: Изд-во Института математики, 2002. - С. 41 -49.

2Плотникова Ю.А. Краевые задачи для уравнений гиперболического и смешанного типов со специальными условиями сопряжения. Автореф. дисс. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.02. - Стерлитамак: СГПА, 2005. - 14 с.

3Куликова H.A. Локальные и нелокальные краевые задачи для уравнений гиперболического типа с вырождением в одной точке. - Автореф. дисс. ... канд. физ.-мат наук: 01.01.02. - Стерлитамак: СГПА, 2006. - 14 с.

в неограниченной области.

Данная диссертационная работа посвящена постановке и доказательству существования и единственности решений краевых задач с аналогичными условиями сопряжения для уравнений

Ьи = { Щх +иУУ=0' ,У>0> (2)

1 иху+Я [1п а (х)]' иу = 0, у < О,

Я е II, дфО; а (х) € С1 [0, 1]; а (х) > 0, х е [0, 1], и

(ихх + иуу + -их = 0, у > 0, 0 < р < 1,

р 1Х (3)

и*у + о (и* + иу) = °> У<

^ X л- у

Цель работы. Основной целью диссертации является исследование краевых задач для уравнений (2) и (3) со специальными условиями сопряжения. В их постановке условия сопряжения на линии изменения типа содержат либо производные дробного порядка, либо интегралы дробного порядка от искомой функции. Такие условия позволяют обосновать корректную постановку краевых задач в случае, когда линия изменения типа совпадает с характеристической линией уравнения.

Методы исследования. При решении поставленных задач использованы аналитические методы решения дифференциальных уравнений с частными производными: метод общих решений, метод Римапа-Адамара, принципы экстремума; теория интегральных уравнений Фредгольма 2 рода, а также аппарат специальных функций.

Научная новизна. 1. Доказаны характеристические принципы локального экстремума для уравнений гиперболического типа.

2. Доказаны теоремы существования и единственности решения задач для уравнения смешанного типа с характеристической линией изменения типа и краевыми условиями, заданными на всей границе области.

3. Доказаны теоремы существования и единственности решения краевых задач типа Трикоми для уравнения смешанного типа с сингулярным коэффициентом и характеристической линией изменения типа.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. В ней получены теоремы однозначной разрешимости краевых задач для уравнений смешанного типа со специальными условиями сопряжения внутри рассматриваемой области.

Полученные результаты могут быть использованы при дальнейших исследованиях уравнений смешанного типа.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались:

1) на областном семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством доктора физико-математических наук, профессора В.Ф. Волкодавова (г. Самара, СамГПУ, 2002 - 2005 гг.);

2) на международной конференции "Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблем "(г. Стерлита-мак, 24-28 июня 2003 г.);

3) на международной научно-практической конференции "Дни науки 2005"(г. Днепропетровск, 15 - 27 апреля 2005 г.);

4) на всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи"(г. Самара, 1-3 июня 2005 г.);

5) на научном семинаре кафедры математического анализа Стер-литамакской государственной педагогической академии в 2006 г. (научные руководители: д.ф.-м.н., профессор К.Б. Сабитов и д.ф.-м.н., профессор И.А. Калиев).

6) на научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений Казанского государственного университета (научный руководитель - профессор В.И. Жегалов, январь 2007 г.).

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в 8 работах, список которых приведён в конце автореферата. Работа [5] выполнена в соавторстве с научным руководителем, которому принадлежит постановка рассмотренных задач.

Структура и объём диссертации. Диссертационная работа изложена на 121 страницах и состоит из введения, двух глав и библиографического списка, включающего 76 наименований.

Основное содержание работы

Во введении отмечается актуальность темы диссертации, проводится обзор результатов исследований по её тематике, кратко излагается содержание работы.

Первая глава посвящена решению краевых задач для уравнения (2) в области Я, ограниченной при у > 0 простой спрямляемой кривой Г, лежащей в полуплоскости у > 0 с концами в точках (0, 0) и 5(1, 0), а при у < 0 - отрезками прямых у = —х и у — х — 1. При этом х = х (й) , у = у (в) - параметрические уравнения кривой Г, где в - длина кривой Г, от-считывамая от точки В против часовой стрелки, I - длина кри-

вой Г. Пусть Я+ = Я П {у > 0} , Н\ = Я П {х < 1 /2, у < 0} , Я2 = ЯП{х> 1/2,У<0}, Я" =ЯгиЯ2.

В § 1.1 для уравнения (2) в области и Яг в явном виде построены решения задач Дарбу.

В § 1.2 доказаны единственность и существование решения задачи Дирихле в следующей постановке.

Задача Дирихле (Задача С). Найти в области Я функцию и (х, у), удовлетворяющую следующим условиям:

и (х, у) еС (Я) п С2 (Я+) п С1 (Я"), ижг/ е С (Н~); (4)

£и = 0, (х, у) еЯ+иЯ~; (5)

«|Г = 1Р(в),ве[0,1]; (6)

и(х, -х) =/1 (х), х € [0, 1/2 ], (7)

и(х,х- 1)=/2(х),хе[1/2, 1], (8)

где Л (х), /2 (х), <р (б) - заданные достаточно гладкие функции,

Л (72) = /2 (42), /1(0/2(1)=у(0);

«/+ (х) = «Г (х), хе (0,1/2), (9)

*+(х)=г£ (X), хе (1/2,1). (10)

Здесь и+ (х) = (х, У) х (0, 1),

X

ьГ (х) = 4- [ (х~ *)~Г1 и\ 0) ^ +

ах J о

X

+ J (х- £)_Г1 и2 (х, -£) <Й, 0 < 7"! < 1, (11)

о

где при условии (0) = т\ (0) = 0

Щ (х, у) = п (х) - [а '(х) р [а {-у) }ч тх (-у)

является решением задачи Дарбу для уравнения (2) в области с краевыми условиями щ (х, 0) = т\ (х), щ (х, —х) = 0, а

и2 (х,у) = [а(х)]-9[а(-у)]9/1(-у)

есть решение задачи Дарбу для уравнения (2) в области Н\ с краевыми УСЛОВИЯМИ 112 (х, 0) = 0 , Н2 (х, —х) = Д (х);

х

= ^ I (а: - «)_га «1 («, 0)сЙ + 42

х

+ J (х - *ГГ2 и2 (ж, 1/2 -Ь)сН, 0<г2<1, (12)

где при условии /2 (1) = т2 (1) = 0

«1 (X, у) = т2 (х) - [а (¡г)]"« [а (1 + у)}" т2 (1 + у)

есть решение задачи Дарбу для уравнения (2) в области Я2 с данными «1 (х, 0) = т2 (х), щ (х, х — 1) = 0, а

и2 (X, у) = [а (х)р [а (1 + у)]4 /2 (1 + у)

является решением задачи Дарбу для уравнения (2) в области Н2 с данными и2 (х, 0) = 0 , и2 (х, х — 1) = /2 (х).

Исходя из представлений функций (х) и ь^ (х) доказаны следующие принципы локального экстремума.

Лемма 1. Пусть функция и(х,у) из пространства С (Щ) является решением уравнения (2) в области Н\ и и (х, —х) = 0, х е [0, 1/г]. Тогда если и(х, 0) = Т\ (х) из класса С[0, 1 /2 ] П С1 (0, 1 /2), при этом т[ (х) € Ь\ [0, 1/2 ], достигает наибольшего положительного (наименьшего Отрицательного) значения по сегменту [0, 1 /2] в точке хо € (0, ~1/г),то (хо) > 0 (х0) < 0).

Лемма 2. Пусть функция и (х, у) из пространства С (Н2) является решением уравнения (2) в области и и (х, х — 1) = 0, х € [1 /2, 1]. Тогда если и (х, 0) = т2 (х) из класса С \1 /2 , 1] П С1 (1/2 , 1), при этом (х) е ¿1 [1 /2 , 1], достигает наибольшего положительного (наименьшего отрицательного) значения по сегменту [1 ¡2 , 1] в точке хо 6 (г/2, 1), то (хо) > 0 ((хо) < 0).

На основании лемм 1 и 2 установлен принцип экстремума для уравнения (2) в смешанной области Н .

Лемма 3. Пусть функция и (х, у), удовлетворяет условиям (4), (5) и и(х, -х) =0, и(х, х - 1) = 0. Тогда тах и (х, у)

н+

( mi.iiи (х, у)) достигается па кривой Г . я+

Теорема 1. Если существует, решение задачи (4) - (10), то оно единственно.

Доказательство существования решения задачи Дирихле для простоты вычислений проводится при условии: Г = Го: х2—х+у2 = 0, у ^ 0, и|Гц = 0. В этом случае имеет место соотношение между функциями т(х) = и (х, 0 + 0) и у+ (х) = иу (х, 0 + 0), привнесённое из области эллиптичности: i

7гт (ж) = j I/+ (t) [ln \х - t\ - ln (x +1 - 2xt)\ dt. (13)

0

Применив к равенству (13) условия сопряжения (9), (10) и подставив значения функций v~[ (х) и (х), определяемых соответственно равенствами (11) и (12), доказательство существования решения задачи D эквивалентно редуцируется к вопросу разрешимости интегрального уравнения Фредгольма II рода

1

(у) - / Г2 (*) К (У> 8) ds = F(y), 1/2 <У<1. (14) 42

Теорема 2. Функция К (у, s) непрерывна на квадрате [1 /2 , 1; 1 /2, 1], кроме линий s = у, у = 1 /2 , где для неё справедлива оценка:

iК(У < CilHy-all .' , С3\]п(у- У2)|

{У' ^ \У -*г \y-sp \у — •

Теорема 3. Если fx(t) 6 С[0, 1 /2 ] П С1 (0, 1/а), /2 (t) 6 С[ 1/2, 1] Г) С1 (Va, 1), то F (у) 6 С( i/2, 1], а при у 1/2 имеет особенность логарифмического порядка.

Разрешимость интегрального уравнения (14) в классе функций С( V2, 1) П L\ [1 /2, 1] следует из единственности решения задачи В.

Теорема 4. Если Г = Г0, и|Го =0, fi(t) € С[0, 1/2] П С1 (0, 1 /2), /2 (t) е С [1 /2 , 1] П С1 (1 /2, 1), то существует единственное решение задачи (4) - (10).

В § 1.3 для уравнения (2) поставлены задачи со смешанными условиями на всей границе области и доказаны существование и единственность их решения.

Задача DNi. На множестве Н найти функцию и (х, у), удовлетворяющую условиям (4) - (6) и

и(х, -х) = /1 (х), х е [0, 1/2],

Ых -щ)\у=х-г =и2{х),хе (1/2, 1),

где /1 (х), и2 (х), </з (в) - заданные достаточно гладкие функции и

/1(о) = ¥>(0;

(х) = их- (х) , X 6 (0, 1/2), (х) = Ц2 (?), хб(1/2,1), где (х) = Шп иу (х, у), х е (0, 1), и[" (х) определено по формуле (11), а функция ц2 (х) задаётся равенством:

X

(1 /*

Иг (х) = ^ / (х - г)"Г2 Ы1 (¿, 0) сЙ+ !/2

ж

+ I {х-гуГ2и2{х, 1/2 -4)<й, (15)

1/2

где

1

(®, у) = г2 (х) - [а (х) а (1 + у)]"9 J (4) [а (*)]2д <Й

у+1

является решением 2-й задачи Дарбу в области Н2 для уравнения (2) с граничными условиями Их (х, 0) = гг (х), (и1х — и1у)|!/=1_1 = 0, а

1

и2 (х, у) = [а (х) а (1 + у)}-" J и>2 (*) [а (¿)]2" <Й

у+1

есть решение 2-й задачи Дарбу в области Н2 для уравнения (2) с граничными условиями и2 (х, 0) = 0 , (и2х — и2у) |у=3._1 = (х) .

Теорема 5. Если решение задачи £)ДГ1 существует, то оно единственно.

Доказательство данной теоремы проводится на основании принципов экстремума.

Доказательство существования решения задачи 1Ж1 проводится при тех же условиях относительно кривой Г , что и доказательство существования решения задачи Дирихле. Используя равенство (13) и условия сопряжения существование решения задачи ОЛг1 эквивалентно сводится к интегральному уравнению вида (14) с интегрируемым ядром и правой частью, непрерывной на (1/2, 1], а при

2/ —> 1 /2 имееющей особенность логарифмического порядка. Разрешимость полученного уравнения следует из единственности решения задачи DN\ . Доказана следующая

Теорема 6. Если Г = Г0, и\То = 0, Д (t) е С [0, 1 /2 ] П С1 (0, 1 ¡2 ), W2 (t) € С (1 /2, 1) П Li [1 /2, 1], то существует единственное решение задачи DN\ .

Задача DN2 . На множестве Я найти функцию и (х, у), удовлетворяющую условиям (4) - (6) и

(их + иу)\у=_х = uii (х), х € (0, 1/2),

(их - %)!„_,._! = (х) , X G ( !/2 , 1) , где u>i (х), UJ2 (х), <p(s) - заданные достаточно гладкие функции;

г/1" (х) =tq (х), х S (0, 1/2), W = /¿Г х е (V2,1),

здесь и+ (х) = lim иу (х, у), х £ (0, 1), (х) определено по фор-у->+о

муле (15), функция

х

d Í

Hl (х) = — / (х - í)"ri щ (í, 0) dt+ о

х

+ J (х - t)_ri и2 (х, -í) dt, (16)

о

где

-у

«i (х, у) = Т! (х) + [а (х) а (-у) р J г[ (t) [а (i) ]2<г dt

о

является решением 2-й задачи Дарбу для уравнения (2) с граничными данными иi (х, 0) = п (х), (и1х + игу)= 0, а

-у

и2 (х, у) = -[а (x)p [а (-у)}"3 J ^ (t) [а (í)]2<? dt

о

есть решение 2-й задачи Дарбу для уравнения (2) с данными «2 (х, 0) = 0, (и2х + и2у)\у=_х = "i (х).

Единственность решения задачи ДЛГ2 доказывается с применением принципов экстремума. Вопрос существования решения задачи эквивалентно редуцируется к вопросу однозначной разрешимости уравнения Фредгольма II рода относительно функции т[ (у), у € (0, 1 /2), с ядром, имеющим особенность интегрируемого порядка, и свободным членом, непрерывным в (0, 1 /2 ], а при у —* 1 /2 имеющим особенность логарифмического порядка. Разрешимость полученного уравнения следует из единственности решения задачи Б N2.

Теорема 7. Если Г = Г0, и|Го = 0, щ (в) е С (0, 1/г)П ¿1 [0, 1 /2 ], Ш2 (з) € С (1 /2, 1) П Ь\ [1 /2, 1], тпо существует единственное решение задачи И N4 .

Вторая глава посвящена решению краевых задач типа Трико-ми с условием сопряжения на характеристической линии уравнения (3) на множестве (7 = иС+ , где С?- = {(х,у) : 0 < -у < х < 1} , С+ - область, ограниченная простой спрямляемой кривой Г, лежащей в первой четверти с концами в точках Л (1,0) и В (0,6), Ь> 0, и отрезками О А и ОВ , О (0, 0). Пусть х = х (5), у = у(в) - параметрические уравнения кривой Г, й - длина дуги кривой, отсчитываемой от точки (1,0), I - длина кривой Г.

Задача У\. На множестве <3 найти функцию и (ж, у), удовлетворяющую следующим условиям:

и(х, у) ее (в) ПС2 {в)-, (17)

Ьи = 0, (х, у) € в; (18)

и (0, у) = д(у), у € [0, 6], «|г = <р(з), з б [0, /]; (19)

и (х, -х) =/{х),х€ [0, 1], (20)

где / (х), (р (в), д (у) - заданные достаточно гладкие функции и /(0)=д(0), д{Ь)=ч>{1)\

и+ (х) = М.(1),1£ (0,1), (21)

здесь и+ (х) = Иш иу (х, у), х е (0, 1), а функция у—>+0

х

М_ (х) = ~ ! (х - г)~А щ (4, 0) <й+ о

X

+ ! (х - ¿)_А и2 (х, -¿) <й, 0 < А < 1, (22)

о

где при условии / (0) = т (0) = 0 функция «1 (х, у) является решением 1-й задачи Дарбу для уравнения (3) с краевыми условиями щ (х, 0) = т (х), их (х, —х) = 0, а функция и2 (х, у) есть решение 1-й задачи Дарбу для уравнения (3) с краевыми условиями щ (х, 0) = 0, и2 (х, -х) = / (х).

Лемма 4. Пусть функция и(х,у) из пространства С

является решением уравнения (3) в области и и (х, —х) = 0, х € [0, 1]. Тогда если и (х, 0) = т (х), из класса С [0, 1] Л С1 (0, 1), при этом т' (х) € Ь\ [0, 1] достигает наибольшего положительного (наименьшего отрицательного) значения в точке хо € (0, 1), то М_ (х0) > 0 (М- (х0) < 0).

Теорема 8. Если существует решение задачи , то оно единственно.

Справедливость данного утверждения устанавливается с помощью граничного принципа Зарембо-Жиро и леммы 4.

Доказательство существования решения задачи проводится при условиях, когда область С+ - четверть единичного круга с центром в начале координат и Г = Го, и|Гц = 0. Доказательство существования решения эквивалентно редуцируется к вопросу разрешимости интегрального уравнения Фредгольма II рода

1

т'{х) = к Jт'{8)К(х,з)<1з + Р{х), 0 < х < 1. (23) о

Теорема 9. Функция К (х, в) непрерывна на квадрате [0, 1; 0, 1], кроме линий в = х, х = 0, х = 1, где для неё справедлива оценка:

1 л |х — |х - *2<г (1-5)а

Теорема 10. Если / (х) € С [0, 1]

П С1 (0, 1), то функция Р(х) 6 С [0, 1), а при х —» 1 имеет особенность логарифмического порядка.

В силу единственности решения задачи и альтернативы Фредгольма интегральное уравнение (23) разрешимо в классе функций т' (х) € С (0, 1) Л Ь\ [0, 1] и притом единственным образом.

Теорема 11. Если / (х) е С [0, 1] ЛС1 (0, 1), и (0, у) = и|Го = 0, то существует единственное решение задачи (17) - (21).

В § 2.3 приводится постановка задачи У2 и доказательство единственности и существования её решения.

Задача У2 . На множестве (3 найти функцию и (х, у), удовлетворяющую условиям (17) - (19) и

(х + у)2" {их + иу) = /л (х), х € (0, 1),

У=—х

(24)

где Д (х), <р (.?), д (у) - заданные достаточно гладкие функции;

1/+ (х) = М— (х), х 6(0,1),

(25)

здесь (х) = Нш ич (х, у), х е (0, 1), у->+о

N.

при этом

г_ (ж) = — (х-г)~хщ (t, о)йг + ах у о

X

+ J (х- £)-А и2 (х, -€) (И, 0 < Л < 1, о

х

щ (х, у) = (х + у)-" I (V («) + |т (4)) «*>

(26)

-9

4 (х + у)

г (!/ + «)

сИ

есть решение 2-й задачи Дарбу для уравнения (3) с данными

щ (х, 0) = г (х), (х + у)2" (щх +П1У) = 0, а функция

у=-х

-У

и2у) = ~2(5^7) /(*}(х'ьуч{"у~ь)1~"х

xF ( 1, д\ 2-<7; -У—1 ]

х — £

является решением 2-й задачи Дарбу для уравнения (3) с данными и2 (х, 0) = 0, (х + у)24 (и2х + и2у) = ц (х).

Лемма 5. Пусть функция и{х,у) из пространства С является решением уравнения (3) в области и

(ж + у)2д (их + иу) = 0, х € [О, 1]. Тогда если и (х, 0) = т (х),

I у=-х

из класса С [О, 1] П С1 (О, 1), при этом т' (х) € [О, 1], т (0) = О , достигает наибольшего положительного (наименьшего отрицательного) значения в точке хо € (О, 1), то (М(хо)<0).

На основании леммы 5 и граничного принципа для уравнения (3) в области эллиптичности доказана

Теорема 12. Если существует решение задачи У2 , то оно единственно.

Доказательство существования решения задачи У2 проводится аналогично задаче V"!.

Теорема 13. Если д (х) е С [0, 1] П С1 (0, 1), /и' (х) е Ьх [0, 1], и (0, у) = и|Го = 0, то существ])ет единственное решение задачи

В заключении выражаю глубокую благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Виктору Филипповичу Волкодавову и научному консультанту док-

тору физико-математических наук, профессору, чл.-корр. АН РБ Камилю Басировичу Сабитову за за предложенную тему, ценные замечания, помощь и поддержку при выполнениии данной диссертации.

Литература

1. Барова, Е.А. Задача У\ для уравнения смешанного типа, вырождающегося в области гиперболичности в одной точке/ Е.А. Барова// Вестник СГТУ серия "Математика", вып. 22// Дифференциальные уравнения и их приложения. - Самара: 2003. -№ 2. - С. 223 - 224.

2. Волкодавов, В. Ф. Существование и единственность решения задачи V-! для уравнения смешанного типа/ В.Ф. Волкодавов, Е.А. Барова// Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы. Труды международной конференции, посвященной юбилею акад. В.А. Ильина (Стерлита-макский филиал АН РБ). - Уфа: Гилем, 2003. - Т.2. - С. 34 -40.

3. Барова, Е.А. Задача Гурса и характеристический принцип экстремума для уравнения иху - (их — иу) = 0 / Е.А. Баро-

ва// Научные доклады ежегодной межвузовской 58-й научной конференции СГПУ. - Самара: 2004. - С. 10 - 16.

4. Барова, Е.А. Существование и единственность решения задачи £>з для уравнения смешанного типа с сопряжением на внутренней границе смешанного множества/ Е.А. Барова// Матер1а-ли М1жнародно1' науково-практичноТ конференцн "Дш науки 2005". Математика. - Дншропетровськ: Наука 1 освта, 2005. -Т. 18. - С. 4 - 8.

5. Барова, Е.А. Доказательство единственности решения задачи для уравнения смешанного типа с сопряжением на внутренней границе смешанного множества/ Е.А. Барова// Математическое моделирование и краевые задачи. Труды 2-й всероссийской научной конференции (1-3 июня 2005 г.). - Самара: Изд-во СГТУ, 2005. - Ч.З. - С. 33 - 36.

6. Барова, Е.А. Доказательство существования решения задачи для уравнения смешанного типа с сопряжениями на внутренней границе смешанного множества/ Е.А. Барова// Научные доклады ежегодной межвузовской 59-й научной конференции СГПУ. - Самара. - 2005. - С. 5 - 9.

7. Барова, Е.А. Задача для уравнения смешанного типа с заданием производной по нормали на нехарактеристической части границы области гиперболичности/ Е.А. Барова// Известия вузов. Математика. - Казань. - 2006. - № 9. - С. 83.

8. Барова, Е.А. Задача для уравнения смешанного типа с заданием производной по нормали на нехарактеристической части границы области гиперболичности/ Е.А. Барова// По решению редколлегии журнала "Изв. вузов. Математика"депонировано в ВИНИТИ № 889-В2006. - 10 с.

Подписано в печать 07.02.2007. Тираж 100 экз. Заказ № 193. Бумага ксероксная. Печать оперативная.

Объем-1,0 усл. п. л. Формат 60 х 84/16

<

Отпечатано в типографии ООО «Инсома-пресс» Г.Самара, ул. Сов. Армии, 217

Введение.

Глава 1. Задачи для уравнения смешанного типа с краевыми условиями на всей границе области.

§ 1.1. Задачи Дарбу. Принцип локального экстремума.

§ 1.2. Единственность и существование решения задачи Дирихле.

§ 1.3. Задачи со смешанными краевыми условиями на всей границе области.

Глава 2. Задачи типа Трикоми для уравнений смешанного типа.

§ 2.1. Задатш Дарбу в области гиперболичности. Принципы локального экстремума.

§ 2.2. Доказательство единственности и существования решения задачи VI.

§ 2.3. Доказательство единственности и существования решения задачи V2.

Одним из важнейших разделов в теории ди<1><1>о}х^пциалы1ых уравнений с часпшми производными является теория уравнений смешанного типа. Простейшим уравнением смешанного эллиптико-гиперболического типа па плоскости является уравнение уихх + иуу = 0. (1)

Известной краевой задачей для такого уравнения является задача Трикоми. Она впервые была решена самим Ф. Трикоми в 20-е годы XX века. Результаты, полученные Ф. Трикоми, были развиты С. Гел-лерстедтом для уравнения

У2т+1ихх + иуу = 0.

Ф. И. Франкль обнаружил важные приложения задачи Трикоми и других родственных ей задач в трансзвуковой газодинамике. И. Н. Векуа указал на важность проблемы уравнений смешанного типа при решении задач, возникающих в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, а также в безмомеитной теории оболочек с кривизной переменного знака. А. В. Бицадзе впервые сформулировал принцип экстремума для задачи Трикоми. Позднее он был доказан и для других краевых задач для уравнений смешанного типа. М. А. Лаврентьевым была предложена более простая модель уравнения смешанного типа

Uxx + sgn у-Uyy- 0, для которого вычисления проводятся с меньшими трудностями, чем в аналогичных задачах по уравнению (1).

В дальнейшем были поставлены и исследованы новые задачи для уравнения смешанного типа как в нашей стране (В.Ф. Волкодаг bob, В.Н. Врагов, Т.Д. Джураев, В.И. Жегалов, Т.Ш. Кальмеиов, А.И. Кожанов, Ю.М. Крикунов, А.Г. Кузьмин, М.Е. Лернер, Е.И. Моисеев, A.M. Пахушев, С.М. Пономарев, С.П. Пулькин, Л.С. Пуль-кина, O.A. Репин, К.Б. Сабитов, М.С. Салахитднов, М.М. Смирнов, А.П. Солдатов, Р.С Хайруллин, Л.И. Чибрикова, Хе Кан Чер и другие), так и за рубежом (S. Germain, R Bader, S Amnion, L. Nirenberg, M.N. Protter, C. Morawetz, P.O. Lax, M. Schneider, A.K. Aziz, G.D. Dacher и другие).

В последние годы В.Ф. Волкодавогллм рассмотрены краевые задачи для уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа, для которых линия изменения типа ееть их характеристика. В постановках этих задач условие сопряжения на линии изменения типа состоит в склеивании производной по нормали из области эллиптичности с производной дробного порядка или интегралом .пробного порядка из области гиперболичности. Первые результаты в данном направлении были опубликованы в работе Волкодавова В.Ф., Наумова Г).К"). [18], где рассмот]>ена краевая задача для уравнения

0 Г ихх + иуу, у> О, \ У < о.

Краевые задачи с подобными условиями сопряжения изучены в работе Ю.О. Плотниковой [43] для частных случаев уравнения гиперболического типа иху + а (ж, у) их + Ь (х, у) иу + с (х, у) и- 0 и уравнения смешанного типа

Q | "XX "Т" "J/y ихх + иуу — Аи, у > 0, А = const, иху + Х% у < 0.

Н.Л. Куликовой в работе [33] изучены краевые задачи, условие сопряжения которых содержат производные дробного порядка, для уравнений

La = uxll Н--щ = 0, а € М, а ф 0, х + у " в ограниченной области и

S (и) = иху + —— (их + и») = 0, 0 < 2q < 1, х + у в неограниченной области.

Данная диссертационная работа посвящена постановке и доказательству существования и единственности решений краевых задач с аналогичными условиями сопряжения для уравнений

Lu = { Uxx + Uyy = ,У > (°) иХу + q [In a (re)]' иу = 0, у < 0, q € /?, q f 0; а {х) е С1 [0, 1]; а (х) > 0, х € [0, 1], и р

Uxx + Uyy + -их = 0, г/ > 0, 0 < р < 1,

Lu={ р Iх (3) иху + 2 J^y (Ux + = у <

Основной целью диссертации является исследование краевых задач для уравнений (2) и (3) со специальными условиями сопряжения. В их постановке условия сопряжения на линии изменения типа содержат либо производные дробного порядка, либо интегралы дробного порядка от искомой функции. Такие условия позволяют обосновать корректную постановку краевых задач в случае, когда линия изменения типа совпадает с характеристической линией уравнения.

Во введении отмечается актуальность темы диссертации, проводится обзор результатов исследований по её тематике, кратко излагается содержание работы.

Первая глава посвящена решению краевых задач для уравнения (2) в области II, ограниченной при у > О простой спрямляемой кривой Г, лежащей в полуплоскости у > 0 с концами в точках А (0, 0) и В( 1, 0), а при у < 0 - отрезками прямых у = -х и у = х - 1. При этом х — х (s) > у = у (s) - параметрические уравнения кривой Г, где «s - длина кривой Г, отсчитывамая от точки В против часовой стрелки, I - длина кривой Г.

Пусть II+ = H П {у > 0}, Hi = IIП {х < 1/2,2/ < 0}, #2 = ЯП {х> 1/2, г/ < 0}, //- = ffiUtf2.

В § 1.1 для уравнения (2) в области Iii и #2 в явном виде построены решения задач Дарбу.

В § 1.2 доказаны единственность и существование решения задачи Дирихле в следующей постановке.

Задача Дирихле (Задача D). Найти в области II функцию и (х, у), удовлетворяющую следующим условиям: и (х, у) € С (Я) П С2 (Н+) П С1 (Я~), uxy е С (ff-) ; (4)

Lu = 0, {х, 7/)еЯ+иЯ"; (5)

Г = ¥>00,6 6(0,/]; (б) u(х, -х) = fi(x),xe [0, Va], (7) u(x,x-l) = h(x),xe[i/2,\}, (8) где /i (х), ¡2 {х), ip (s) - заданные достаточно гладкие функции,

MlM = f2(lM, /i(0) = ¥>(/), /2(1) = ¥>(0); х) = t/f (х), ® 6 (0,1/2), (9) v+(x) = vï(x), je (1/2,1). (10)

Здесь (ж) = Нш их, (х, у), х € (О, 1), (х- «1 (¿, О)(И + о X

J(X- ¿)~Г1 «2 (ж, -О л, о < п < 1, (и) о где при условии ¡\ (0) = т\ (0) = О щ (X, у) = п (л) - [а {х) ]~ч [а {-у) ]чп {-у) является решением задачи Дарбу для уравнения (2) в области Н\ с краевыми условиями «1 (х, 0) = п (т), «1 (х, —х) = О, а а (яг, У) = [а [а (-!/)]* Л (-у) есть решение задачи Дарбу для уравнения (2) в области #1 с краевыми условиями И2 (х, 0) = О, щ (х, -х) = /1 (х); х

Х) = ~ I {х-1)~Г2щ (г, о)(И+ v. * ' (/X

1/2 х

1 {х - г)~Г2 «2 (ж, 72 - О л, о < г2 < 1, (12) 1/2 где при условии /2 (1) — Т2 (1) = О (я-, у) = т2 (х) - [а (г)]-4 [а (1 + у)}4 т2(1 + у) есть решение задачи Дарбу для уравнения (2) в области Н2 с данными щ (х, 0) = г2 (х), щ (х, х — 1) = О, а

Мх,у) = ШГчН1 + у)]ч/2(1 + у) является решением задачи Дарбу для уравнения (2) в области Я2 с данными и2 (х, 0) = 0, м2 (х, х - 1) = /2 (л*).

Исходя из представлений функций (я) и гл]" (г) доказаны следующие принципы локального экстремума.

Лемма 1. Пусть функция и (а-, у) из пространства С (Щ) является решением уравнения (2) в области Н\ и и (х, —х) = 0, х е

O, V2). Тогда сели и {х,0) = л (х) из класса С[0, V'ijnC1 (0, i/2), при этом t¡ (х) £ L\ [0, 1 /«2 ], достигает наибольшего положительного (наименьшего отрицательного) значения по сегменту [0, '/а] в точке жо € (0, !/г), гол i>f (жо) >0 (i>f (х0) < 0).

Лемма 2. Пусть функция и (х, у) ив пространства С (Щ) является решением уравнения (2) в области //2 и и (ж, х — 1) = 0, ж е [ l¡2, 1]. Тогда если и (х, 0) = r-¿ (х) из класса С [ x¡i, 1] П С1 (» 1), при этом 72 (г) G Li [V'i, 1], достигает наибольшего полооюитель-ного (наименьшего отрицательного) значения по сегменту [ xf-¿, 1] в точке ж0 е ('/2, 1), то (ж0) >0 (v^ (ж0) < 0).

На основании лемм 1 и 2 установлен принцип экстремума для уравнения (2) в смешанной области II.

Лемма 3. Пусть функция и (х, у), удовлетворяет условиям (4),

5) и и (х, -х) = 0, и (ж, ж - 1) = 0. Тогда шах и (ж, у) (iniri и (х, у)) я+ ii* достигается на кривой Г.

Теорема 1. Если существует решение задачи (4) - (10), то оно единственно.

Справедливость теоремы следует из леммы 3.

Доказательство существования решения задачи Дирихле для простоты вычислений проводится при условии: Г = Го: (ж — l/'¿)2 + у'2 = 1/4, у ^ 0, и|Г = 0. В этом случае имеет место соотношение между функциями т(х) = и (ж, 0 + 0) и и+ (х) = иу (х, 0 + 0), привнесённое из области эллиптичности:

Применив к равенству (13) условия сопряжения (9), (10) и подставив значения функции Ьу (х) и г^ (ж), определяемых соответственно равенствами (11) и (12), доказательство существования решения задачи О эквивалентно редуцируется к вопросу разрешимости интегрального уравнения Фредгольма II рода

Теорема 2. Функция К (у, ,s) непрерывна на квадрате ['/2, 1; ]/2, 1]» hpmc линии s = у, у = где для на сира

13) 0 у) -jrí (s) К (у, s) ds = F (у), 1/2 < у < 1. (14) Va осдлта оценка: lI<(v -л I < lln \У ~ 1 . Сз\\п{у - V'i) 1

Теорема 3. Если /i(£) € С[0, 1/2] П С1 (О, »/г), /2(О € С[1/2, 1]ПС1 С/2, 1), mo еС{ 1/2, 1], a при у-* V2 tuncem особенность логарифмического порядка.

Разрешимость интегрального уравнения (14) классе функций С (У2, 1) П L\ [ V2,1] следует из единственности решения задачи D.

Теорема 4. Если Г = Г0, и|Го = 0, /1 (£) G С[0, 1/2]ПС1 (0, 1/2), /2 (¿) G С [ xji, ljnC1 (V2, 1), wio существует единственное решение задачи (1) - (10).

В § 1.3 для уравнения (2) поставлены задачи со смешанными условиями на всей границе области и доказаны существование и единственность их решения.

Задача DN\. На множестве Я найти функцию и (.т, у), удовлетворяющую условиям (4) - (б) и и (х, -г) -fi(x),xe [0, У2], - =ш2{х),те{ Уг, 1), где /1 (х), и>2 (х) , у? (s) - заданные достаточно гладкие функции и

Л(0) = </>(/); (х) = i/f (®), (0, »/О. = а; € 0/2,1), где z/+ (х) = lim и» (а;, у), а; б (0, 1), uf (я) определено по ({зормуле 2/-»+0

11), а функция fa (х) задаётся равенством: х X J {x-t)~r2u2{x, 1/2 - о Л, (15)

Vi где i i (а*, У) = Т2 (®) - [а (х) а (1 + y)}~q J т'2 (£) [а (ф dt у+1 является решением 2-й задачи Дарбу в области #2 для уравнения (2) с граничными условиями щ {х, 0) = 72 (j") , - | = 0, а i и2 (х, у) = [а (ж)а(1 + у)}~4 J а;2 (t) [а (t)}2" dt у+1 есть решение 2-й задачи Дарбу в области Яг для уравнения (2) с граничными условиями щ {х, 0) = 0, {ll2x - U2y) |y=xi = и>2 {х) •

Теорема 5. Если решение задачи DN\ существует, то оно единственно.

Доказательство данной теоремы проводится на основании принципов экстремума.

Доказательство существования решения задачи DN¡ проводится при тех же условиях относительно кривой Г, что и доказательство существования решения задачи Дирихле. Используя равенство (13) и условия сопряжения существование решения задачи DN\ эквивалентно сводится к интегральному уравнению вида (14) с интегрируемым ядром и правой чаетыо, непрерывной иа (1 /2, 1], а при у —> l¡2 имс-еющей особенность логарифмического порядка. Разрешимость полученного уравнения следует из единственности решения задачи DN\. Доказана следующая

Теорема 6. Если Г = Г0, и\Го = 0, /1 (£) Е С [0, VslflC1 (о, i/2), lü2 (0 Е С (у2, l)n¿i [1 /2, 1], то существует единственное решение задачи DNi.

Задача DN2 • На множестве II найти функцию и (х, у), удовлетворяющую условиям (4) - (G) и и* + иу)\у=,-х = и\{х),хе (0, 1/2), - иу)\у-х~\ = W2 (ж) , I G ( 1/2, 1) , где ш\ (х), (¿2 {•?), у (¿0 - заданные достаточно гладкие функции; vT{x)=iiJ{x),Te{0, 1/2),

V+{x)=H2{x),xe(l¡2, 1), где (.г) = lim uy (а;, у), x E (0, 1), /íJ (я) определено по формуле

->-гО

15), функция х х) = ^ J (х - £р и, (£, 0) rfí+ 0 J {x-t)~riu2{x, -t)dt, (1G) o где

-y щ (x, y) = т, (x) + [a (x) a (-y) p J t¡ (t) [a (t) }2q dt o является решением 2-й задачи Дарбу для уравнения (2) с граничными данными щ (а?, 0) = тх (х), (щх + щу) \у:=х = 0, а

-у и2 (я, у) = - [a (аОР [a (-у)Р J Wl (í) [a (í)]2<? dt о есть решение 2-й задачи Дарбу для уравнения (2) с данными u2 (x, 0) = 0, (ll2x + и2у) = uji (х).

Единственность решения задачи DN2 доказывается с применением принципов экстремума. Вопрос существования решения задачи эквивалентно редуцируется к вопросу однозначной разрешимости уравнения Фредгольма II рода относительно функции т[(у), у € (0, l¡2), с ядром, имеющим особенность интегрируемого порядка, и свободным членом, непрерывным в (0, 1/а], а при у —> !/2 имеющим особенность логарифмического порядка. Разрешимость полученного уравнения следует из единственности решения задачи DN2.

Теорема 7. Если Г = Г0, «|Го = 0, ил (s) е С(0, y2)fUi [0, 1/2], U2 (s) G С (V2, l)flLi [1 /2, 1], то существует единственное решение падачи DN2.

Вторая глава посвящена решению краевых задач типа Трикоми с условием сопряжения на характеристической линии уравнения (3) на множестве G = G~ U G+, где G~ = {(х, у): 0 < -у < х < 1}, G+ - область, ограниченная простой спрямляемой кривой Г, лежащей в первой четверти с концами в точках Л (1,0) и B(Q,b), b > 0, и отрезками О А и О В, О (0, 0). Пусть х = х (я), у = у (.s) - параметрические уравнения кривой Г, s - длина дуги кривой, отсчитываемой отточки (1, 0) против часовой стрелки, I - длина кривой Г.

Задача Ц. На множестве G найти функцию и (х, у), удовлетво-рягощую следующим условиям: u(x,y)eC{G)DC2(G)-, (17)

Lu = 0, (х, у) G G; (18)

U (о, у) = У {у), У € [0, 6], «|г = V? (в), 8 е [0, /]; (19) n(x,-x) = f(x),xe[0,\], (20) где f {х), ip (s), д (у) - заданные достаточно гладкие функции и f(o) = g(o),g(b) = <p(i); v+{x) = M.{x), аг 6(0,1), (21) здесь и+ (х) = lim % (х, у), х е (0, 1), а функция у—+о х

AL (х) = £ J {х - t)~xm (г, о) 0 х J {х - ¿)~А «2 (ж, -£)d£, 0 < Л < 1, (22) о где при условии / (0) = г (0) = О

1 (J, у) = (х + уГ I (г' (¿) + \т (¿)) £«Х

-у

К*1"*1'ФЙ?)Л+ У к! (X + у)1-* (-у)"-11 (/ (0 + |г (£)) £ (* - о9"1 X о является решением 1-й задачи Дарбу для уравнения (3) с краевыми условиями щ (х, 0) = т (х), щ (х, —х) = 0, а функция

-у и2 (х, у) = I/' (0 (х - ¿Г Н - у)4 X о хР^г, 2</;1 + у; Л ость решение 1-й задачи Дарбу для уравнения (3) с краевыми условиями П2 {х, 0) = 0, 112 (х, —.г) = / (х).

Лемма 4. Пусть функция и (х, у) из пространства С (G~) является решением уравнения (3) в области G" и и(х, -х) = О, х е [О, 1]. Тогда если «(.г, 0) = т(х), ив класса С [О, 1] П С1 (О, 1), при жом т'(х) е Li [О, 1] достигает наиботиего положительного (наименьшего отрицательного) значения в точке х0 е (О, 1), то М- (хо) > О (М- (jo) < О).

Теорема 8. Если существует решение задачи V\, то оно единственно.

Справедливость данного утверждения устанавливается с помощью граничного принципа Зарембо-Жиро и леммы 4.

Доказательство существования решения задачи Vi проводится при условиях, когда область G+ - четверть единичного крута с центром в начале координат и Г = Го, м|Го = 0. Доказательство существования решения эквивалентно редуцируется к вопросу разрешимости интегрального уравнения Фредгольма II рода 1 т' (х) = k j т' (s) К (х, s) ds + Р(х), 0<ж<1. (23) о

Теорема 9. Функция К (х, s) непрерывна на квадрате [0,1; 0, 1], кроме линий s = х, х = 0, х = 1, где для неё справедлива оценка:

-e|A к^ (i-.s)A'

Теорема 10. Если f(x) е С[0, lJnC1 (0, 1), то функция Р(х) е С [0, 1), а при х —> 1 имеет особенность логарифмического порядка.

В силу единственности решения задачи V\ и альтернативы Фредгольма интегральное уравнение (23) разрешимо в классе функций т' (х) € С (0, 1) П L\ [0, 1] и притом единственным образом.

Теорема 11. Если f {x)e С [0, 1] П С1 (0, 1), и (0, у) = м|Го = 0, то существует единственное решение задачи (17) - (21).

В § 2.3 приводится постановка задачи V2 и доказательство единственности и существования её решения.

Задача V-¿. На множестве G найти функцию и (х, у), удовлетворяющую условиям (17) - (19) и x + y)2q(ux + uy) =ц(х),х€(0,\), (24) у=-х где fi (i-), tp (s), g (y) - заданные достаточно гладкие функции; v+(x) = N-(x), ¿€(0,1), (25) здесь 1/+ (х) = Нп1 Чи (х, у), хе( О, 1), у—+ О при этом X

N. (х) = ^ I (х - 0~А «1 {и 0) (К + о х ГА (я, -г) л, о < А < 1, (26) о х щ(х, у) = (х + у)-*1 (/(0 + ^(0) ¿"X

-у ь(х + у) ) \ х-Ь ) X X

-у есть решение 2-й задачи Дарбу для уравнения (3) с данными «1 {х, 0) = т {х), {х + г/)2<7 + щу) = 0, а <1>ункция у=-х

-У

П2 (Г, I/) = -ЦГ^) /{1) {Х ~ ЬГ {~У ~ 1)1~Ч Х О является решением 2-й задани Дарбу для уравнения (3) с данными И2 (л, 0) = 0, (х + у)2'1 (и2х + и2у) = ц {х). у=-х

Лемма 5. Пусть функция и (х, у) из пространства С (С~) является решением уравнения (3) в области С" ад с + У)2(! (их + щ) = 0, ж € [0, 1]. Тогда если и (х,0) = т (я), г;л

У=-Х класса С [О, 1] ПС1 (0, 1), при этом -г* (х) е Ь{ [0, 1], г( 0) = 0, достигает наибольшего положительного (наименьшего отрицательного) значения в точке хо е (О, 1), то ЛГ (хо) > О (Л^- < 0).

На основании леммы 5 и граничного принципа для уравнения (3) в области эллиптичности доказана

Теорема 12. Если существует решение задачи И?, то оно единственно.

Доказательство существования решения задачи проводится аналогично задаче У\.

Теорема 13. Если ц{х) е С [0, 1] П С1 (0, 1), ц'(х) Е МО, 1], и (0, у) — ?х|Го = 0, то существует единственное решение задачи И>.

Таким образом, автором на защиту выносятся следующие основные результаты, которые являются новыми.

1. Доказательство существования и единственности решения задачи Дирихле для уравнения смешанного типа, когда линия изменения типа совпадает с характеристикой уравнения.

2. Доказательство существования и единственности решения краевых задач для уравнения смешанного типа со смешанными условиями на всей границе области.

3. Доказательство существования и единственности решения краевых задачи типа Трикоми и для уравнения смешанного типа с характеристической линией изменения типа.

Основные результаты работы опубликованы в работах [69] - [76]. В работе [70] соавтору В.Ф. Волкодавову принадлежит постановка задачи.

Результаты диссертационной работы докладывались автором и обсуждались:

• на областном семинаре по диф<|>еренциальным уравнениям под руководством доктора физико-математических наук, прск}>сссора В.Ф. Волкодавова (г. Самара, СамГГГУ, 2002 - 2005 гг.);

• на международной конференции "Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблем"(г. Стерлитамак, 2428 июня 2003 г.);

• на международной научно-практической кон<1>еренции "Дни наг уки 2005"(г. Днепропетровск, 15 - 27 апреля 2005 г.);

• на всероссийской научной конкуренции "Математическое моделирование и краевые задачи "(г. Самара, 1-3 июня 2005 г.);

• на научном семинаре ка<]юдры математическою анализа Стер-литамакской государственной педагогической академии в 2006 г. (научные руководители: д.ф.-м.и., профессор К.Б. Сабитов и д.ф.-м.н., профессор И.А. Калиев);

• на научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений Казанского государственного университета (научный руководитель -д.ф.-м.н., прсх|>ессор В.И. Жегалов, январь 2007 г.).

1. Бейтмеи Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. В 3 т. Т. 1. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. М.: Наука, 1965. - 296 с.

2. Вере, Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики./ Л. Берс. М.: ИЛ, 1961. - 208 с.

3. Вицадзе, A.B. К проблеме уравнений смешанного типа./ A.B. Бицадзе. Дисс. . доктора физ.-мат. наук. - М. :1951.

4. Бицадзе, А. В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка.1 A.B. Бицадзе. М.: Наука, 1966.

5. Бицадзе, А. В. К теории нелокальных краевых задач/ A.B. Бицадзе // Докл. АН СССР. 1981. - Т. 277. - № 1. - С. 17 - 19.Бицадзе, A.B. Уравнения смешанного типа/ A.B. Бицадзе. -М.: Изд-во АН СССР, 1959. 164 с.

6. Владимиров, В. С. Уравнения математической физики./ B.C. Владимиров М.: Наука, 1981. - 312 с.

7. Волкодавов, В. Ф. Принцип локального экстремума и его применение к решению краевых задач для джн]>ерснциальных уравнений с частными производными. Дисс. . доктора физ.-мат. наук: 01.01.02/ В.Ф. Волкодавов - Куйбышев, 1968.

8. Волкодавов, В. Ф. Метод Римаиа-Адамара для уравнения Эйлера-Дарбу и его применение./' В.Ф. Волкодавов, В.Е. Жуков.- Самара: СГПУ, 2002. 32 с.

9. Волкодавов, В. Ф. Таблицы функций Римана и Римана-Адамара для некоторых дифференциальных уравнений в п-мериых евклидовых пространствах./ В.Ф. Волкодавов, В.Н. Захаров. Самара: 1994. - 32 с.

10. Волкодавов, В. Ф. Характеристический принцип локального экстремума для одного уравнения гиперболического типа и его применение/ В.Ф. Волкодавов, Ю.А. Илюшина// Изв. ВУЗов. Математика. 2002. - № 4. - С. 13 - 17.

11. Волкодавов, В. Ф. Задача А2 для уравнения гиперболического типа с сопряжением пределов производных дробного порядка/ В.Ф. Волкодавов, H.A. Куликова // Дифференциальные уравнения. 2003. - Т. 39. - №12. - С. 1704 - 1707.

12. Волкодавов, В. Ф. Решения задач Дарбу и Гурса для уравнения свободных колебаний струны в классе Rq и их применения/ В.Ф. Волкодавов, О.Ю. Наумов // Научные доклады ежегодной межвузовской 59-й научной кож]>еренции СГПУ. Самара: 2005.- С. 17.

13. Волкодавов, В. Ф. Для уравнения смешанного типа задача Т с сопряжением специального вида // Неклассические уравнения математической физики./ В.Ф. Волкодавов, О.Ю. Наумов. Новосибирск: Изд-во Института математики, 2002. - С. 41 - 49.

14. Волкодавов, В. Ф. Краевые задачи для уравнения Эйлераг Пуассона-Дарбу. Учебное пособие к спецкурсу "Уравнения математической физики11.' В.Ф. Волкодавов, Н.Я. Николаев. Куйбышев.: КГПИ. 1984. - 80 с.

15. Волкодавов, В. Ф. Интегральные уравнения Вольтерра первого рода с некоторыми специальными функциями в ядрах и их приложения./ В.Ф. Волкодавов, Н.Я. Николаев. Самара.: Изд-во "Самарский университет". 1992. - 100 с.

16. Волкодавов, В. Ф. Задача D1 для уравнения Лавреитьева-Бицадзе/ В.Ф. Волкодавов, Е.И. Томина // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды 2-й всероссийской научной конференции (1-3 июня 2005 г.). Ч. 3. Самара: Изд-во СГТУ.- 2005. С. 59 - 61.

17. Вострова, JT. Е. Смешанная краевая задача для общего уравнения Лаврентьева-Бицадзе/ Л.Е. Вострова // Учёные записки КГПИ. 1959. - Вып. 29. - С. 45 - 66.

18. Врагов, В. Н. О задачах Гурса и Дарбу для одного класса гиперболических уравнений/ B.II. Врагов //Дифференциальные уравнения. 1972. - Т. 8. - Я 1. - С. 7 - 16.

19. Гахов, Ф.Д. Краевые задачи./ Ф.Д. Гахов. М.: Наука, 1977. -640 с.

20. Градштейи, И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений ' И.С. Градштейн, И.М. Рыжик. М.: Наука, 1971. - 1108 с.

21. Жегалов, В. И. Нелокальная задача Дирихле для уравнения смешанного типа/В.И. Жегалов/'/Неклассичсские уравнения математической физики. Новосибирск ИНС() АН СССР. -1985. - с. 168 - 172.

22. Исяпгилъдип, А.Х. Задача Трикоми с нелокальным условием сопряжения для одного уравнения смешанного типа/ А.Х. Исян-гильдин К.Б. Сабитов //ДАН. 1992. - Т. 236. - № 5. - С. 787 -791.

23. Коржавипа, М. В. Решение некоторых краевых задач для уравнения S в неограниченных областях. Дисс. канд. физ -мат. наук./ М.В. Коржавииа- Куйбышев: КГПИ, 1978. 122 с.

24. Кошляков, Н. С. Основные дифференциальные уравнения математической физики./ Н.С. Кошдяков, Э.Б. Шлинер, М.М. Смирнов. М.: ГИФ-МЛ, 1962. - 768 с.

25. Краснов, М. Л. Интегральные уравнения./ М.Л. Краснов. М.: Наука, 1975. - 304 с.

26. Кулакова, Н. А. Локальные и нелокальные краевые задачи для уравнений гиперболического типа с вырождением в одной точке.- Автореф. дисс. канд. физ.-мат наук: 01.01.02/ H.A. Куликова.- Стсрлитамак: СГПА, 2006. 14 с.

27. Лаврентьев, M.A.K проблеме уравнений смешанного типа/ М.А. Лаврент1»ев, A.B. Бицадзе // ДАН СССР. 1950. - Т. 70. -№ 3. - С. 373 - 376.

28. Лернер, М.Е. Решение задачи N для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу в случае четверти круга/ М.Е. Лернер // Труды первой научной конференции математических кафедр педагогических институтов Поволжья. Куйбышев: 1961. - С. 91 - 97.

29. Лернер, М. Е. Принципы максимума и краевые задачи для гиперболических уравнений смешанного типа в неклассических областях./ М.Е. Лернер. Самара: СамГТУ, 2001. - 194 с.

30. Люк, Ю. Специальные математические функции и их аппроксимации./ Ю. Люк. М.: Издательство "Мир", 1980. - 608 с.

31. Мнхлин, Н. М. Лекции по линейным интегральным уравнениям./ Н.М. Михлин. М.: Физматгиз, 1959. - 232 с.

32. Наумов, О.Ю. Внутренняя задача Дирихле для уравнения Лапласа в полукруге/ О.Ю. Наумов // Научные доклады ежегодной межвузовской 58-й научной конференции СГПУ. Самара. - 2004. -С. 37-41.

33. Нахугисв, A.M. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа/ A.M. Наху-шев Ц Дифференциальные уравнения. 1969. - Т. 5. - 1. - С. 44-53.

34. Николаев, Н. Я. Некоторые краевые задачи с непрерывными и разрывными условиями сопряжения для уравнения Эйлера-ДарГу-Пуассона. Дисс. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.02/ Н.Я. Николаев. - Куйбышев: КГПИ, 1979.

35. Петровский, И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными./ И.Г. Петровский. М.: Физматгиз, 1961. - 400 с.

36. Плотникова, Ю. А. Краевые задачи для уравнений гипербо-лич<ч*кого и < мешанного типов (о специальными условиями сопряжения. Автореф. дисс. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02/ Ю.А. Плотникова. Огерлитамак: СГПА, 2005. - 14 с.

37. Полянин, А. Д. Справочник по интегральным уравнениям/ А.Д. Полянин, А.В. Манжиров. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 608 с.

38. Привалов, И. И. Интегральные уравнения./ И.И. Привалов. -М.: Гостехиздат, 1937. 248 с.

39. Прудников, А. П. Интегралы и ряды. Специальные функции./A.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. М.: Наука, 1983.- 752 с.

40. Пулькин, С. П. Некоторые краевые задачи для уравнений ихх± Uyy + p/xUx = 0/ С.П. Пулькин // Учёные записки КГПИ им.B.В.Куйбышева, Физико-математические науки. Куйбышев. -1958. - Вып. 21. - С. 3 - 41.

41. Сабитов, К. Б. Уравнения математической физики./ К.Б. Сабитов. М.: Высшая школа, 2003. - 255 с.

42. Сабитов, К.Б. Функциональные, дж|>ференциальные, интегральные уравнения./ К.Б. Сабитов М.: Высшая школа, 2005.- 671 с.

43. Сабитов К.Б. О некорректности краевых задач для одного класса гиперболических уравнений/ К.Б. Сабитов, P.P. Ильясов // Изв.вузов. Математика. 2001. - № 5. - С. 59 - 63.

44. Сабитов, К. Б. К теории уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения/ К.Б. Сабитов, A.A. Карамова, Г.Г. Шара-футдинова// Изв.вузов. Математика. 1999. - J№ И. - С. 70-80.

45. Сабитов, К. Б. Задачи Коши-Гурса для вырождающегося гиперболического уравнения/ К.Б. Сабитов, Г.Г. Шарафутдинова // Изв.вузов. Математика. 2003. - Л* 5. - С. 21 - 29.

46. Самарский, A.A. О некоторых проблемах современной теории дифференциальных уравнений/ A.A. Самарский //Дифференциальные уравнения. 1980. - Т. 16. - № 11. -С. 1925 - 1935.

47. Смирнов, М. М. Уравнения смешанного типа./ М.М. Смирнов.- М.: Наука, 1970.

48. Смирнов, М. М. вырождающиеся ->ллиитичеткие и гиперболические уравнения./ М.М. Смирнов. М.: Наука, 1970. - 295 с.

49. Смирнов, М. М. Вырождающиеся гиперболические уравнения./ М.М. Смирнов. Минск.: Вмшэйна школа, 1977. - 158 с.

50. Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики./ А.Н. Тихонов, A.A. Самарский. М.: Наука, 1977. - 735 с.

51. Трикоми, Ф. О линейных уравнениях в частных производных смешанного типа./ Ф. Трикоми. М.: ИЛ, 1947. - 192 с.

52. Трикоми, Ф. Лекции по уравнениям в частных производных./ Ф. Трикоми. М.: ИЛЛ, 1957.

53. Фихтпенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3-х т./ Г.М. Фихтенгольц. 8-е изд. - М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001.

54. Франкль, Ф. И. О задачах С. А. Чаплыгина для смешанных дои сверхзвуковых течений/ Ф.И. Франкль // Известия АН СССР.- 1945/ Т. 9. - .Y» 2. - С. 121 - 142.

55. Франкль, Ф.И. Избранные труды по газовой динамике./ Ф. Франкль. М.: Наука, 1973. - 711 с.

56. Хайруллин, Р. С. Задача Трикоми для одной системы уравнений второго порядка / P.C. Хайруллин //Матом, заметки. 1995. - .V" 57:4. - С. 625 - 632.

57. Agmon, S. A maximum Principle for aelass of Hyperbolic Equations and Applications to Equations of Mixed Elliptic Hyperbolic type/S/ Agmon, L/ Nirenberg, M.N. Protter//Communs. pure and appl math. 1983. - Vol. 6. - P. 455 - 470.

58. Gellerstedt, S. Qtielques problemes mixtes pour l'equation ymzxx + zyy = 0 / S. Ccllerstcdt // Arkiv for Matematik, Astronomi och fysik.- 1937. 26A (3). - P. 1 - 32.

59. Hopf, E.A. A remark on linear elliptic difierenial equations of second order/ E.A. Hopf 11 Proc. Amer. Math. Soc. 1952. - V. 3. - P. 791 -793.

60. Michael, J. The will-posed Tricomi problem of two kings/ J. Michael // П/J. Math, and Pliys. Sci. 1993. - V. 27. - N 6. - P. 383 - 393.

61. Morawetz, C.S. Note on maximum principle and a uniqueness theorem for on elliptic-hyperbolic equation / C.S. Morawetz // Proc. Hoy. Soc. 1956. - V. 236. - N 1024. - P. 141 - 144.Работы автора по теме диссертации

62. Варова, Е. А. Задача V\ для уравнения смешанного типа, вырождающегося в области гиперболичности в одной точке / Е.А. Барова // Вестник СГТУ серия "Математика", вып. 22 // Дифференциальные уравнения и их приложения. Самара, 2003.- ДО 2. С. 223 - 224.

63. Барова, Е. А. Задача Гурса и характеристический принцип экстремума для уравнения Uxy--^ (их иу) / Е.А. Барова// Научные доклады ежегодной межвузовской 58-й научной конференции СГПУ. - Самара, 2004. - С. 10 - 16.

64. Барова, Е. А. Задача для уравнения смешанного типа с заданием производной по нормали на нехарактеристической части границы области гиперболичности / Е.А. Барова // Известия вузов. Математика. Казань. - 2006. - № 9. - С. 83.