Краевые задачи для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с условиями сопряжения на нехарактеристической и характеристической линиях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИИ САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ л . им. В.В.КУЙБЫШЕВА

" Г Б ОД

Специализированный совет К 113.17.02

На правах рукописи

УЖ 517.946

ТОМИНА ЕЛЕНА ИВАНОВНА

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАВРЕНТЬЕВА-БИЦАДЗЕ С УСЛОВИЯМИ СОПРЯЖЕНИЯ НА НЕХАРАКГЕРИСТИЧЕСКОЙ И ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ ЛИНИЯХ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Самара 1994

Работа выполнена на кафедре математического анализа Самарского государственного педагогического института имени В.В.Куйбышева.

Научный руководитель: доктор физико-математических нау: профессор ВОЛКОДАВОВ Виктор Филиппович

Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук, профессор САБИТОВ Камиль Басырович

Кандидат физико-математических наук, доцент ЕЖ© Александр Михайлович

Ведущая организация: Самарский государственный тех> ческий университет

ка заседании специализированного совета К 113.17.02 по прису дению ученой степени кандидата физико-математических наук в Самарском государственном педагогическом институте имени В.В.Куйбышева (443090, г. Самара, ул. Антонова-Овсеенко, 26)

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Самарского государственного педагогического института имени В.В.Куйбышеза.

Защита состоится

Автореферат разослан

Ученый секретарь специализированного совета, доцент

В.А.Носов

ОНЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБОТЫ

Актуальность темы. Уравнениям смешанного эллиптико-гипербо-:ескогс типа отводится важное место в теории дифференциальных шнений с частными производными. Это объясняется тем, что теория 1евых задач для уравнений смешанного типа нашла свое многочис-вое применение в газовой динамике, магнитной гидродинамике, rein бесконечно малых изгибаний поверхности, безмоментной теории мочек с кривизной переменного знака и других областях науки и лики. Впервые на это обратил внимание С.АДадлыгин.

Дальнейшее свое развитие теория уравнений смешанного типа пома в работах Ф.Трккоми и С.Геллерстедта, М.А.Лаврентьева, !.Франкля и др.

Ф.Трикоми была поставлена и решена первая граничная задача ; уравнения смешанного типа У LLxx. + Li У У = О . .альнейшем задача Трикоми рассматривается другими математиками : различных дифференциальных уравнений смешанного типа. Этим ледованиям посвящены докторские диссертации Бяцадзе A.B., [.Бабенко, С.П.Пулькина, М.М.Смирнова.

Самую простую модель уравнений смешанного типа предложил I. Лаврентьев:

*Х.+ Sfcyt У И Я И =0 (V

дробное исследование задачи Трикоми с ее различ!шх обобщений [ этого уравнения провел А.В.Еицадзе.

Газодинамические приложения краевых задач для этого уравне-i приведены в работах Ф.И.Франкля.

Л.И.Чибрикова получила в явном виде решение задачи Трикоми :лучае когда Г есть половина границы одной из фувдаменталь-: областей некоторой элементарной ила фуксовой группы (у (бно-липейных подстановок.

Ряд авторов дои уравнений смешанного типа рассматривает зг дачи со специальными условиями сопряжения функции и ее производной. Такие задачи вначале появились при построении Козном и Рубиновым математических моделей е биологии. Затем краевые зада чи с условиями сопряжения подобного типа исследовались многими математиками. Отметим здесь авторов работ в »том направлении: Стуляписа Л.И., болгарских математиков Каратопраклиева Г.Д., Пе трова Е.Г., Гавриловой Е.Г., а также Волкодавова В.Ф., Николаев Н.Я., Алиева М.А., ^Кириленко C.B., Пергунова В.В., Андрияновой С 60-х годов интерес многих математиков привлекают задачи разрывными условиями склеивания и задачи со смещением. Впервые такие задачи были поставлены и решены Жегаловым В.И., Нахушевыы A.M. Дальнейшее развитие исследование задач такого типа получен в работах следующих математиков: Смирнова М.М., Волкодавова В.Ф Азовского В.В., Бочкарева А.Д., Носова В.А., Салахитдинова М.С. Кумыковой С.К. и др. Практическая значимость подобных задач otmi

чена в работе Нахушева A.M.*

Исследованию вопроса решения краевых задач для уравнения

смешанного типа (I) со специальными условиями склеивания в областях специального типа и посвящена диссертация.

Цель работы. I. Обоснование существования и единственное^ решения краевых задач для уравнения (I) со специальными условиями сопряжения в областях специального типа.

2. Обоснование существования и единствешюст! задачи со смещением для уравнения смешанного типа (I) со специальными условиями сопряжения.

Нахушев A.M. Краевая задача для нагруженных интегродшКеренци-альных уравнений гиперболического типа и некоторые их приложения к прогнозу почвенной влаги//

Методы исследования. Единственность решения поставленных >адач для уравнения смешанного типа (Г) доказывается на основа-ши принципов локального экстремума, принципа Заремба и свойств -армонических функций. Существование решения задач доказывается ютодом интегральных уравнений. При доказательстве существования >ешения краевых задач применяется теория интегральных уравне.гий ?редгольма второго рода и аппарт специальных функций.

Научная новизна состоит в том, что поставлены и решены номе краевые задачи:

Для уравнения колебания струны обоснованы существование и действенность решения девяти краевых задач. !. Для уравнения смешанного типа (I) обоснована единственность >ешения шести краевых задач (1-У1) и обосновано существование >ешения трех краевых задач (1У-У1) со специальными условиями со-ряжения.

:. Доказаны единственность и существование решения трех краевых адач со смещением для уравнения колебания стуны.

Доказаны единственность и существование решения краевой за-,ачи со смещением со специальными условиями сопряжения для смежного уравнения (I).

Практическая и теоретаческая значимость. Полученные в дис-ертации результаты являются новыми и имеют теоретический харак-ер. Они могут быть использованы при дальнейшем изучении крае-ах задач для уравнений смешанного типа, приводящих к уравнению яврентьева-Бицадзе, а также пра решении задач прикладного характера.

Апробация работы.Результаты диссертации докладывались, на евдународной научной конференции математиков (Самара, 1993г.), а областном семинаре по дифференциальным уравнениям под руко-

:-2450 ' ' ,

водетвои доктора физико-математических наук, профессора В.Ф.Волкодавова (Самара, 1992, 1993 гг.), на семинаре по теории дифференциальных уравнений смешанного типа под руководством доктора физико-математических наук, профессора К.Б.Сабитова.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 работы, в которых отражено ее основное содержание.

Объем и структура диссертации. Диссертационная работа изложена на 104 страницах машинописного текста и состоит из введения, четырех глав и библиографии, содержащей наименований

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обзор результатов исследования краевых задач для уравнений смешанного типа и излагается краткое содер яаниэ диссертации.

В первой главе рассматриваются девять краевых задач для уравнения колебания струны

11^=0 (2 Отметим, что характеристические координаты вводятся по формула!

В первом параграфе этой главы приводится постановка задач Задачи рассматриваются в следующей формулировке:

Задача Е .На множестве

, где

}, [цд')Iо <-\<к),

найти решение уравнения (2), удовлетворяющее краевым условиям:

= § € юдт • (3)

а условиям сопряжения

bxi U,. = Ь1+ . CL е&,?2€П0АЪС5)

(t'nUt= 6 ^ Д ^ <«

к Li + (t^) <u, 0<X<4, bei, CL'b*0,%€ (0,M.

Задача Q .На множестве Gv на®'Г11 решение урав-1вния (2), удовлетворяющее краевым условиям:

LU Ю s. Ч>+Ф , (?)

И = if-Ф, L-ft,o]; (8)

i условиям сопряжения (5), (6).

Задача Д/.На множестве G-A, найти решение урав-1еш1я (2), удовлетворящее краевым условиям:

, С9)

l^ + bU), СЮ)

; условиям сопряжения (5), (6).

Задача Е^/^. На множестве GL найти решение урав-!б!шя (2), удовлетворящее краевым условиям (3), (10) и условиям ¡одряжения (5), (6).

Задача h + isi. На множестве

G-a. найти решение урав-[ения (2), удовлетворяющее краевым условиям (3), (8) и условном сопряжения (5), (6).

Задача . На множестве (г?и найти решение уравнения (2), удовлетворяющее краевым условиям (8), (9) и условиям сопряжения (5), (6).

Задача £_($+. На множестве (у.К- найти решение уравнения (2), удовлетворящее краевым условиям (4), (7) и условиям сопряжения (5), (6).

Задач На множестве (э-К. найти решение урав-

нения (2), удовлетворящее краевым условиям (4), (9) и условиям сопряжения (5), (6).

Задач а А/., На множестве Сгк. найти решение урав-ния (2), удовлетворяющего краевым условиям (7), (10) и условиям сопряжения (5), (6).

Далее параграфах 2-10 главы первой обосновывается единственность и существование решения поставленных задач. Исходным материалом при решении задач является решение задач Коши в областях , 0- . Функции, являющиеся решением задач получены в явном виде. Существование решения задач доказывается непосредственной подстановкой. Единственность решения задач следует из метода решения задачи.

Вторая глава является вспомогательной. В ней доказываются принципы локального экстремума.

В третьей главе рассматривается вопрос единственности и существования решения краевых задач в областях специального вида для уравнения Лавреятьева-Еицадзе (I).

В первом параграфе третьей главы приводится постановка эти задач:

Задача.I. На множестве ^ = уЪ г , гдо I)4"

- односвязная, конечная область, ограниченная полуокружностью Г с центром в точке ( ,0) и радиусом ^ » лежащей в верхней

элуплоскосги У> О и осью ОХ ;

ь! = {(Х;у) I 0<-У < х< Ы < 11 ,

зДти решение уранения (I), двадды непрерывно дифференцируемое областях ^ , <2)1 , . удовлетворяющее краевым услови-л:

Чгг > ^ с ео^з, (П)

це ¿> - длина дуги Г отсчитываемая от точки

1(о,у) = тт. (у) , у € 1-1,01; (12)

условиям сопряжения

¿ль И..(х,у) = а Шт. 11+ 1х,у), х е со, п ■ (13)

ч+х

^ [ 11- (-ь,а-у) «и +

т» а+Х \ Э (14)

• — \ (х+у-и Ц.-П,х-У)<±±] = Ь{Мп -х-'

| (-Ь-х-УГ ] (1-а-у) Ц^зс-аЖ],

^ ^ ¿сеГоД-

Х.П и.(х,у)= и. (Л И) , Х€ 10, П; П5)

.гпг иУ (х у)= йлг 1Ху(.г,У), 1). (16>

3 а - л ч а II . Ка?тя решанпе уравнения (I) па множестве '-£) , др.гддп непрерывно дифференцируемое в областях , > сЬ-> , уь'гл'хтгоршяцее краевому условию (II) а условию

Hx(0,y) = U(y) , У e i-1,0), (17)

и условиям сопряжения (13)-(16).

Задача III . Найти решение уравнения .(I) на множеств , дважды непрерывно дифференцируемое в областях , %)~L ¿fa' , удовлетворяющее краевому условию (II) и условию

= (х) , х € Со; \ ] , de)

и условиям сопряжения (13)—(16).

Задача 1У . Для уравнения (I) на множестве ^ï) иайая решение, дважды непрерывно дифференцируемое в областях , ЯЬг • удовлетворяющее краевым условиям (I), (12), и условиям сопряжения (13), (14) и

¿im. Lly (i.a)s j,(z) am Ну x с со л)-, (is)

у->+о а-»-о

ilm IL (Я, у) = cl (X) llrn LLoc (Х,У) , ïe [О, il. (20)

9-я-о a->-°

Задача У . Для уравнения (I) на множестве *тЬ найти решение, дважды непрерывно дифференцируемое в областях^"1" , 'Ы , 'Ъ'г. . Удовлетворяющее краевым условия!.! (II), (17) и условиям сопряжения (13), (14), (19), (20).

Задача У1 , Для уравнения (I) на множестве *т[) найти решение, дважды непрерывно дифференцируемое в областях СЪ1" ,

. 'тЬ^ , удовлетворяющее краевым условиям (II), (18) и условием сопряжения (13), (14), (19), (20).

Второй параграф) третьей главы посвящен доказательству единственности решения поставленных задач для уравнения смешанною типа (I). Доказательство единственности решения основывается на результатах главы второй, свойстве гармонических функций, прдн-

ципе Заремба и единственности решения задачи Дирихле в области эллиптичности и единственности решения соответствующей задачи в области гиперболичности.

В 3-5 параграфах третьей главы нам удалось доказать существование решения задач 1У, У, У1. Доказательство проводится методом интегральных уравнений и сводится к разрешимости уравнения Фредгольма второго рода. В параграфах 3-5 проводится доказательство того, что ядро уравнения является функцией непрерывной во всех точках квадрата 0 £ X ? Е ^ 1 , кроме точек линии 0< £=£< 1 Ла этой линии ядро имеет логарифмическую особенность. Также доказывается, что правая часть уравнения есть непрерывная функция на отрезке [0,1] .Из теории известно, что решение таких уравнений существует . Однозначная разрешимость уравнений следует из единственности решения задач 1У, У, У1.

Четвертая глава диссертации посвящена обоснованию единственности и существования решения задачи со смещением для уравнения Лаврентьева-Бицадзе.

В первом параграфе четвертой главы дается постановка трех задач со смещением для волнового уравнения (2) в следующей виде:

3 а д а ч а со смещением I . Найти решение уравнения (2) на множестве I (л , удовлетворяющее краевым условиям (3) и

+ > §е[-К.,03; (21)

и условиям сопряжения (5), (6).

^Привалов И.И. Интегральные уравнения// М.-Л. 1937.

Задача 2. Найти решение уравнения (2) на множестве &К • удовлетворяющее краевым условиям (9), (21) и условиям сопряжения (5), (6).

Задача 3. Hafm решение уравнения (2) на множестве Grk. > удовлетворяющее краевым условиям (21) и

Ll+цД) + оь LL+ (о, %) = wr+ф, $ е го,и, (22)

и условиям сопряжения (5), (6). cL£- ,

В параграфах 2-4 четвертой главы доказывается единственность и существование решения поставленных задач.

В 5-6 параграфах четвертой главы обоснованы единственном! и существование решения задачи со смещением для уравнения (1). Задача рассматривается в следующей постановке: Задача УП. На множестве найти решение уравнения (1), дважды непрерывно дифференцируемое в областях

if , ,

<=bz • Удовлетворяющее краевым условиям (11) и

LL _ (X, Х- iHj- И-(X ,-Х )= ЦГ_ (X), X € [0; 4г ] ^ € £,(23) и условиям сопряжения (13), (14), (19), (20).

Доказательство существования и единственности решения задачи УП проводятся аналогично доказательству существования и единственности решения задач 1У-У1.

В заключение отметим, что постановка рассмотренных авторов в диссертации задач принадлежит научному руководителю профессору В.Ф.Волкодавову.

Основные результаты диссертационной работы опубликована в следующих работах:

1. Томина Е.И. Об одном обобщении задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Современный групповой анализ и задачи математического моделирования. XI Российский коллоквиум. Самара. 7-11 июня 19S3 г.

2. Волкодавов З.Ф., Томина Е.И. О единственности решения ряда краевых задач для уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Сам. гос. пед. ин-т. Дел. в ВИНИТИ 09.03.93. № 547-В93. 18 с.

3. Томина Е.И. Об одной краевой задаче для уравнения Лаврентьева-Бицадзе со специальными условиями сопряжения // Доклады ежегодной научно? конференции. Самара. Пед. ин-т. 1-15 марта 1994 г. С. 22-23.

4. Томин а Е.И. Три краевые задачи для уравнения колебания струны // Сам. гос. лед. ин-т. Деп. в ВИНИТИ 27.0494- ШЫй-ЪЪН. 11с.

Отметим, что во второй работе В.Ф.Волкодавову принадлежит только постановка краевых задач.