О регулярных краевых задачах для уравнений смешанного типа в области с отходящией от характеристик границей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

стр.

Введение.

§ I. Локальные краевые задачи с отходом от харак-. теристики для уравнения Лаврентьева-Бицадзе.

§ 2. Представление элементов регулярных расширений. полуминимального оператора L0.

§ 3. Описание регулярных расширений.в.терминах граничных условий.

§ 4. Регулярные расширения волнового оператора.в,ха-. рактеристическом четырехугольнике.

§ 5. О регулярности краевой задачи Т для одного уравнения смешанного типа и представление ^ez/f.

§ 6. Представление элементов регулярных расширений и описание их.в терминах краевых условий.

Теория краевых задач для уравнений смешанного типа является одним из важных разделов теории дифференциальных уравнений с частными производными.

После известных работ Ф.Трикоми [ij и С.Геллерстедта [zj, где были впервые поставлены и исследованы краевые задачи для модельного уравнения смешанного типа на плоскости, новым этапом в развитии теории краевых задач для уравнений смешанного типа явились работы советских математиков М.А.Лаврентьева, А.В. Бицадзе [з] , А.В.Бицадзе ^4,5/ , Ф.И.Франкля jb,7j , К.И.Бабен-ко f ej и других.

В этих работах было указано, что многие весьма важные проблемы газовой динамики, теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака и других областей сводятся к задаче Трикоми и родственным ей задачам, которые привели к более быстрому развитию теории уравнений смешанного типа.

В настоящее время проблемы уравнений смешанного типа как в силу их теоретической значимости, так и в силу их прикладной важности привлекают большое внимание отечественных и зарубежных математиков. Например, им посвящены работы М.Проттера [9,10] , И.Л.Кароля [ifj, А.М.Нахушева £l2,I3j , М.М.Смирнов [14], Г.Д.Каратопраклиева [l5j, В.П.Диденко [l6j, Т.Ш.Кальменова [17,18] , В.Н.Врагова [19], Ю.М.Крикунова [20] , Е.И.Моисеева [21,2^], С.Н.Пономарева [23] и другие.

В работах, посвященных уравнениям смешанного типа, были изучены в основном краевые задачи в смешанных областях, когда гиперболическая часть области ограничена характеристиками уравнения.

Сравнительно мало работ посвящено выяснению постановки и доказательству корректности поставленных задач для уравнений смешанного типа в случае, когда носителями данных являются граница эллиптической части G" и некоторая нехарактеристическая дуга, отходящая во внутрь характеристического треугольника в гиперболической части области.

В работах А.В.Бицадзе [5] и Ф.И.Франкля £7] были впервые изучены задачи с данными на отходе от характеристики (задача М), в том частном случае, когда участок нехарактеристической дуги вначале совпадает с характеристикой, а затем отходит от нее во внутрь характеристического треугольника. Задачи с отходом от характеристики исследованы также в работах К.И.Ба-бенко[8), М.Проттера [9,ю] , К.Моравец [зд] , К.Фридрихса

25] •

В вышеуказанных работах вопрос существования и единственности решения задачи существенно связывался с ограничениями на форму границы смешанной области. Эти ограничения были значительно ослаблены в работах А.В.Бицадзе [2б] , В.В.Ковриж-кина [27], А.П.Солдатова [28,29] .

В предлагаемой работе исследуются новые локальные краевые задачи для модельного уравнения смешанного типа (Лаврентьева - Бицадзе) в смешанной области с нехарактеристической границей.

Задача Мт (общая смешанная задача) и ей сопряженная задача Uj рассмотрены в области с отходом от одной характерис

11 г — тики во внутрь характеристического треугольника, а задача Mg и ей сопряженная - М* в области с отходом от обоих характеристик. Следует отметить, что в задачах Mj, М2 и М* краевые условия задаются на всей границе смешанной области.

Известно, что вопрос об общих краевых задачах тесно связан с вопросом об общем виде расширений операторов. Впервые этот вопбразования Кэли свел проблему расширения симметрического оператора к более простой проблеме расширения изометрического оператора. Теория расширений линейных операторов получила дальнейшее

М.И.Вишик разработал общую теорию описания корректных краевых задач для эллиптических дифференциальных операторов, отказавшись от требования симметричности исходного оператора.

А.А.Дезиным выяснен вопрос правильной постановки граничных зада,ч для общих дифференциальных операторов, безотносительно к их типу. Изучены специфические свойства расширений для обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и для "неклассических" уравнений математической физики.

Теория расширений на случаи операторов Сне обязательно линейных), действующих в банаховом пространстве, была рассмотрена в работе М.Отелбаева, Б.К.Кокебаева, А.Н.Шыныбекова [35] .

Далее следует отметить совместную работу М.Отелбаева и Т.Ш. Кальменова [Зб] , где предложена общая методика постановки корректных краевых задач для.уравнения Лаврентьева-Бицадзе. Метод этой работы основан на теории расширений симметрических операторов в гильбертовом пространстве по Нейману-Вишику. Затем в работах Т.Ш.Кальменова [37,38] , в терминах граничных условий, были описаны регулярные и самосопряженные краевые задачи для уравнений смешанного и гиперболического типов. рос систематически изучал И.Нейман который с помощью прео развитие в работах М.И.Вишика [3l], А.А.Дезина [32], М.Г.Крейна, М.А.Красносельского [ЗЭ], М.Ш.Бирмана [зй] и других.

- б

Настоящая работа посвящена описанию регулярных краевых задач для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в смешанной области, часть границы которой может состоять из нехарактеристической прямой, а также для модельного уравнения гиперболического типа в области ограниченной характеристиками.

Описание расширений основано на применении теорий регулярных расширений линейных операторов в гильбертовом пространстве ["3032] . При этом существенно используется доказанная нами регулярность задач Mj и Mj.

Поясним структуру нашей работы и сформулируем основные результаты.

Диссертация состоит из введения, шести параграфов и списка литературы. Мы придерживаемся двойной нумерации предложений и формул (например, теорема 3.2 означает вторую теорему третьего параграфа).

1. Трикоми Ф. - О линейных уравнениях смешанного типа.М-Л., Гостехиздат, 1947.

2. Crttt&xzt&d'l' Suz ten poutnation %ocx: , M&ir. Walk.fislc ock Tysbk Z6. Al.3 , J936.

3. Лаврентьев M.A.'j Еицадзе A.B. К проблеме уравнений смешанноготипа. ДАН СССР, 1950, 70', 3, с.373-376

4. Еицадзе А.В. О некоторых задачах смешанного типа. ДАН СССР,1950, 70, 4, с. 561-564.

5. Бицадзе А.'В. Уравнения смешанного типа, йзд-во АН СССР, 1959,162 с.

6. Франкль Ф.И. О задачах С.А.Чаплыгина для смешанных до- и .сверхзвуковых течений. "Изв. АН СССР, серия матем." 1945, 9, 2, с.121-143.

7. Франкль Ф.И. Об . одной краевой задаче для уравнения уУч.зап.МГУ, механика", 1951, Ш, с.99-116.

8. Бабенко К.И. К теории уравнений смешанного типа. Докт. дисс.,Успехи матем.наук, 1953, 8, с.160.

9. PtoiUz М. -Unopu-nm Tto-zzms: foz -IU Ttiao/noРъоМьтЛ-Ц J Meet a./W& {01-ич, тя, ч, Ud-гзг.

10. Рг^ег (Л. fin &ocCsle~nce. ^оъ l/ie. деггг-Q&zedTt-caotru Profile• MdL З.^ЗМ, У, i-Ч.

11. Кароль И.Л. К теории краевых задач для уравнения смешанногоэллипсогиперболического типа. Матем. сб. 1956, 38, 3, с. 261-281.

12. Нахушев A.M. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа. Дифференц. уравнения, 1969, 5, I, с.44-59.

13. Нахушев A.M. Об одном трехмерном аналоге задачи Геллерстедта. Дифференц. уравнения, 1968, 4, I, с.

14. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. М., "Наука", 1970,с. 295.

15. Каратопраклиев Г.Д. О некоторых краевых задачах для уравнения ДАН СССР, 1966, 149, 6, с.1253-1256.

16. Диденко В.П. Об обобщенной разрешимости задач Трикоми. Украинский матем. журнал 1973, 25, I, с.14-24.

17. Кальменов Т.III. О спектре задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. Дифференц. уравнения, 1977, 13, 8, с. I4I8-I425.

18. Кальменов Т.Ш. О полупериодическои задаче Дирихле для одного класса уравнений смешанного типа. Дифференц. уравнения, 1978, 14, с. 546-547.

19. Моисеев Е.й. Некоторые теоремы единственности для уравнениясмешанного типа. ДАН СССР, 1978, 238', 3, с.531-533.

20. Моисеев Е.И. О задаче Трикоми для уравнения Геллерстедта.ДАН СССР, 1979, 246, 2, с.275-278.

21. Пономарев С.М. О единственности решения задачи Трикоми дляодного уравнения смешанного типа на плоскости. Дифференц.уравнения, 2979, 15', I, с. 183-184.

22. Mozawe£z -S- A So^lion ои ofiof te£Lf>tic--Hufe?Jo&c. type-*Common. /W App£. MaU, XI ,3,3/5-331.25. <£rudrt<tC'hs О S^mmeitcc Po s tUir-e /Ч)tea £ tea toons. domm ten.Риы Appe. Math., , Ь^ЪЪ-^Я •

23. Бицадзе А,В. Некоторые классы уравнений в частных производных.М.: "Наука", 198Г, 448 с.

24. Коврижин В.В. Гладкость решений обобщенной задачи Трикоми.Дифференц.уравнения", 1973, 9, I, с.97-105.

25. Солдатов А.П. О единственности решения одной задачи А.В.Бпоадзе Дифференц. уравнения, 1972, 8, I, с. 143146.

26. Солдатов А.П. Решение одной краевой задачи теории функций сосмещениями. Дифференц. уравнения, 1974, 10, I, с. 143-152.

27. Не-и,тап У-Von. — ie^em^^^e-ozteHe-4-rrUle-ghe.t. StunkbCona £Mailt

28. Вишик М.И. Об общих краевых задачах для эллиптических дифференциальных уравнений. Труды Моск.матем.о-ва, 1952, I, 187-246.

29. Дезин А. А. Общие вопросы теории граничных задач. М.:"Наука",1980, 207 с.

30. Крейн М.Г., Красносельский М.А. Основные теоремы о расширениях эрмитовых операторов.-Успехи матем. наук, 1947, 2, 3 (19), сi68-107.

31. Бирман М.Ш. 1С теории самосопряженных,расширений положительноопределенных операторов,- Матем.сб., 1959, 38 (80), 4, с.431-450.

32. Отелбаев М., Кокебаез Б.К., Шыныбеков А.Н. О расширениях исужениях операторов в Банаховом пространстве. Успехи матем. наук, 1982, 37, 4, 116.

33. Кальменов Т.Ш., Отелбаев М., 0 регулярных краевых задачах дляуравнения Лаврентьева-Еицадзе. Дифференц. уравнения, 1981, 17, 5, с.873-885.

34. Кальменов Т.Ш. О регулярных краевых задачах для волновогоуравнения. Дифференц. уравнения 1981, 17, 6, с. II05-II2I.

35. Кальменов Т.Ш. О регулярных расширениях полуминимального оператора Лаврентьева-Бицадзе.-Дифференц.уравнения,- У6 1982, 18, I, с.37-58.

36. Базарбеков А.Б., Кальменов Т.Ш. Критерий сильной разрешимости задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. ДАН СССР, 1981, 261, с.265-268.

37. Базарбеков А.Б. О регулярных краевых задачах для волновогоуравнения в области с нехарактеристической границей. Рукопись деп. в ВИНИТИ 18.681, 2927-81.

38. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.:"Наука",1981, 512 с.

39. Бицадзе А.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М.: "Наука", 103 с.

40. ОДусхелешвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.:Наука", 1968, 511 с.

41. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: "Наука", 1966, 543 с.

42. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа куравнениям математической физики. Изд. СО АН '.СССР, 1962.

43. Аубакиров Б.У. Описание регулярных расширений оператора Лаврентьева-Бицадзе. В сб.: Математика. Тезисы докладов УП Казахстанской межвузовской научной конференции по математике и механике. Караганда, 1981, с.5-6.

44. Аубакиров Б.У. О регулярных расширениях оператора гиперболическэго типа. В сб.: Краевые задачи для дифференциальных уравнений и их приложения в механике и технике. Алма-Ата, 1983, с.19-24.

45. Аубакиров Б.У. О регулярных краевых задачах для одного уравнения смешанного типа.- Изв. АН КазССР* серия физ-матем., 1983, 3, с.5-9.