Краевые задачи для уравнений смешанного гиперболо-параболического типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ
|
Елеев, Валерий Абдурахманович
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Нальчик
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
1995
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНЫ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ
он
-Д Т • На правах рукописи
ЕЛЕЕВ Валерии Абдурахманович
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ СМЕШАННОГО ГИИЕРБ О Л О-П АР АБ ОДИЧЕСКОГО
ТИПА
01.01.02. - дифференциальные равнения
01.01.03. - .математическая физика
Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Киев -1995
Диссертация есть рукопись
Работа выполнена на математическом факультете Кабардино-
Балкарского госуниверситета
Научный консультант - доктор фнзнко - математических наук,
профессор, академик РАЕ н АМАН Налушсв A.M.
Официальные оппоненты: - доктор фнзнко - математических наук,
профессор Барановский Ф.Т.
- доктор фнзнко -'математических наук, профессор РонтбергЯА.
- доктор физико-математических наук, профессор Солдатов А.П.
Ведущая организация - Институт прикладных проблем математики
и механики HAH Украины (гЛьвов)
Зашита диссертации состоится " ) " -1 1995 году
в часов на заседании специализированного Совета Д. 01. 66. 02. при Институте математики HAH Украины по адресу: 252601, Киев 4, ГСП, ул. Терещеновская, 3.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Инсппута.
Автореферат разослан" 7S " Л 1995г.
Ученый секретарь специализированного совета
Лучка А.Ю.
Актуальность теш. В силу своей исключительной прикладной важ-ости теория уравнений смешанного типа в настоящее время стала одной з центральных проблем современной теории уравнений с частными произ-одными.
В математической литературе тлеются многочисленные работы оте-ественных и зарубежных авторов, в которых для уравнений смешанного ила исследуются основные краевые задачи (задачи Трикоми и Геллерс-эдта, общая смешанная задача Бицадзе, задача Франкля) и ставится яд новых задач. Достаточно полная библиография по теории краевых за-зч для уравнений сметанного типа содержатся в монографиях А.В.Бица-зе1,) Л.Берса?5 М.С.Салахитдшгова?) М.М.Смирнова?1 а также в докторс-:й диссертации А.Ы.Няхушвва?5
Далее в работах А.В.Бицадзе, К.И.Бабенко, В.Н.Врагова, Н.И.Гай-зя, Д.К.Гвазава, В.П.Диденко, М.М.Зайнулабидова, Т.Ш.Кальменова, .Д.Каратопраклиева, М.Мэрэдова, Е.И.Моисеева, А.М.Нахушева, М.С.Са-эхитданова, М.М.Смирнова, Р.И.Сохадзе, С.М.Пономарева, А.Хасанова и i. были исследованы как основные краевые задачи, так и целый ряд ко-îx краевых задач для уравнений смешанного типа на плоскости и в юетранстве.
1) Бицадзе A.B. Уравнения смешанного типа. Итоги науки. Изд. АН :СР, 1959.
2) Берс Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой (зовой динамики. М., ИЛ, 1961.
3) Салахитдинов М.С. Уравнения смешанно-составного типа, шкент, "ФАН", УзССР, 1974.
4) Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. М., "Наука", 1970.
5) Нахушев A.M. К теории линейных краевых задач для перболических и смешанных уравнений второго порядка. Докт. дис. ибл. Института математики СО АН СССР), 1971.
Во всех этих работах исследовались в основном локальные краевые задачи для уравнений смешанного эллиптико-гиперболического тша, ка! с одной, так и с двумя параллельными или перпендикулярными линиям изменения типа в плоскости и пространстве.
Что касается нелокальных краевых задач для 'вырождающихся гиперболических уравнений и краевых задач для уравнений смешанного, смешанно - составного, смешанно-нагруненного гиперболо-параболическогс типа, то им посвящено сравнительно мало работ. Мекду тем эти уравнения так не, как эллиптико-гиперболические, лежат в основе'математических моделей различных природных явлений. Локальные и нелокальные кр-'аевые задачи для таких уравнений встречаются, например, при изучени движения малоскимаемой жидкости в канале, окруженном пористой средой в теории распространения электромагнитного поля в неоднородной среде состоящей из диэлектрика и проводящей среды, и в ряде .других облаете) физики. Так, в канале гидродинамическое давление жидкости удовлетворяет волновому уравнению,'а в пористой среде - уравнению фильтрации которое в данном случае совпадает с уравнением диффузии. При этом в; границе канала выполняются некоторые условия сопряжения. Аналогична; ситуация имеет место для магнитной напряженности электромагнитное поля в указанной выше среде. Распространение установившихся волн ■: стратифицированной жидкости, занимающей неограниченную область, когд частота установившихся-колебаний , со меньше частоты Вайсяля-Брента, ур авнение для амплитуды установившихся колебаний явяется уравнением ги пербоического типа, а если частота установившихся колебаний ш совпад ает с частотой Вейсяля- Брента, то происходит параболическое вырожде ние. Многие математические модели тепло- и массобмена в капиллярно пористых средах, пластовых систем, . формирования температурного пол
в системе, составленной из теплоизолированных с соковой поверхности, ограниченного и полуограничекного стергмей с различными тэплс^нзичес-кимл свойствам! сводятся к краевым задачам для смешанных гппэрболо-пораболических уравнений, вообще говоря, с разрЫЕНкмк коэффициентам.
За последние, годы существенно повысился интерес к нагруженным уравнениям и их приложениям. Исследован ряд важнейших задач для основных типов нагруженных дифференциальных уравнений в частных производных и даны их приложения к долгосрочному прогнозу почвенной влаги и динамики грунтовых вод, установлена существенная взаимосвязь между нелокальными задачам:! к нагруженными уравнениями.
В связи с этим тема дюсертацин является актуальной и-необходимым этапом исследования как локальных, так и нелокальных краевых задач в теории дифференциальных уравнений с частными производными.
Цель работы. Основная цель работы состоит в постановке и исследовании локальных и нелокальных краевых задач для выроздавдихся гиперболического, смешанного, смешанно-составного, смешанно- нагруженного гиперболо-параболического типов уравнений второго и третьего порядка с двумя независимыми переменными.
Общая методика исследования. Единственность решения краевых задач со смещением (по терминалогии А.М.Нахушева) для гиперболических с одновременным вырождением типа л порядка, смешанного, смешанно-составного, смешанно-нагрукекного гилерболо-параболического тшов уравнения устанавливается с помощью аналога известного принципа экстремума А.В.Бицадзе, а существование - методом эквивалентной редукции к интегральным уравнениям Вольтерра или Фредгольма второго рода или кэ к сингулярным интегральным уравнениям нормального типа. В случае задачи Трикоми и обобщенной задачи Трикоми для смешанных гкперболо-
параболических уравнений как с вироадеиием первого рода, так и с одновременным вырождением типа и порядка, единственность решения доказывается методом энергетических неравенств, являющегося существенным обобщением методов К.О.Фридрихса и А.М.Нахушева. Существование решения этих задач доказывается как методом "интегралов энергии" так и редукцией к уравнениям Фредгольма второго и третьего родов или же к сингулярным интегральным уравнениям нормального типа.
Состояние вопроса. Впервые краевые задачи со смещением для вырождающихся гиперболических и смешанных эллилтико-гиперболяческих уравнений били сформулированы и исследованы в 1969-1972 г.г. А.В.Би-цадзе и А.Ы.Нахудавым. Затем теория этих задач как для выроздающихся гиперболических первого и второго родов так и для модельных смешанных зллиптико-гиперболических уравнений была развита в работах Х.Г.Бжи-хатлова, С.К.Кумыковой, М.С.Сзлахитдшова, М.Н.Смирнова, Megual Salgo, М.Мирсабурова, А.К.Уринова. Что касается локальных и нелокальных краевых задач для смешанных гшерболо-параболических уравнений, то они рассматривались, в основном, в работах А.С.Еердашева, Х.Г.Бжихат-лова, В.Н.Врагова, Т.Д.Даураева, Г.Д.Каратопраклиева, А.М.Нахуиева, Н.Поливанова и К.Б.Сабитова.
Для уравнения
y2rau + уи + Яи =0,
' уу у
где m - фиксированное натуральное число, а Л - заданная действительная постоянная, с одновременным вырождением типа и порядка, когда (1-2ш)/2 ^ А. < 1 А.В.Бицадзе было показано, что задача Кокш с данными на линии вырождения у=0, вообще говоря, не является корректной. В связи с этим иг,i были предложены видоизмененные постановки задачи Ксши и задата со смещением.
Видоизменные задачи Коши для одного и систем вырождающихся ги-эболических уравнений второго рода были также исследованы С.А.Тер-гавым.
Вопрос корректной постановки видоизмененных задач Коши и задач со яцением, когда А, меняется вне полусегмента 1/2-шС^<1, оставался не тнным. Также не были изучены аналог задачи Трикоми, нелокальные ¡евые задачи и обобщенная задача Трикоми для общих смешанных, сме-гко-составных, смеканно-нагруженных гиперболо- параболических урав-шй, как с характеристической так и с нехарактеристической линией гонения типа.
Научная новизна. В работе полностью исследован вопрос однозна->й разрешимости видоизмененных задач Кош и нелокальных краевых за: со смещением для гиперболического уравнения с одновременным выеданием типа и порядка на части границы. Доказаны теоремы единст-вгости и существования решения нелокальных краевых задач для урав-шй смешанного гиперболо-параболического типа с разрывными коэффи-¡нтами. Для широкого класса гиперболо-параболических операторов с :арактеристической линией изменения типа получены априорные оцен-из которых в частности следует единственность регулярного решения 1лога задачи Трикоми для уравнений смешанного, смешанно-составного, ¡шанно-нагруженного гиперболо-параболического типов.
Практическая и теоретическая ценность. Результаты работы предс-¡ляют математический интерес. Они могут найти широкое применение г математическом моделировании процессов движения малоскимаемой скости в канале и распространении электромагнитного поля в неодно-ргой среде, а также в теории' тепло-массообмена в капиллярно-шстых средах, пластовых систем , формировании температурного поля
в системах, -составленных из теплоизолированных с боковых поверхностей, составленных из ограниченных, ограниченного и полуограниченного стершей с различными теплофизическиш свойствами, особенно в задачах долгосрочного прогнозирования водно-солевого режима на мелиорируемых площадях.
¿пробащгя работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на объединенном научно-исследовательском семинаре по современ-io.siy анализу Кабардино-Балкарского госуниверситета (КВГУ) (руковода-еель-заслу;кенкй деятель науки КБР, профессор Нахушев A.M.); на все--союзном семинара по уравнениям смешанного типа и родственным пробле-1ам функционального анализа в г.Нальчике, 1976г. (руководитель-член -юрреспондент РАЯ Бицадзе A.B.); на республиканском симпозиуме по [ш|ференциалышм уравнешям в г.Ашхабаде, 1978г. (руководитель-акаде-DSi АН УзССР Сзлахитдошов М.С.); па ежегодных конференциях профессор-■ко-проподавательского состава математического факультета и сотрудни-ов НИИ прикладной математики и механики КБГХ в г. Нальчике 1978-1Э89 .г. (руководитель-заслуженный деятель науки КБР, профессор Нахушев Л.5.); на объедикешшх научно-исследовательских семинарах по уравнении смешанного типа и их приложениям к моделированию и автоматизации роектирования мелиоративных и водохозяйственных систем в г. Нальчике, 381 г. (руководитель - член-корреспондент РАН Бицадзе A.B.); ■
Нелокальные краевые задачи для нагруженных уравнений, смешанного ■ша и родственные проблеш непрерывного анализа в г.Нальчике, 1982 руководитель заслуженный деятель науки КБР, профессор Нахушев A.M.); зтоды математического моделирования в системах автоматизированого хюктирования и планирования в г.Нальчике, 1983 г; САПР и 'АСПР в ¡ллиорации в г.Нальчике, 1985 (руководитель заслуженный деятель нау-
ich КБР, профессор Нахуиев A.M.); нелокальные задачи для уравнений е частных произЕодшх и их приложения к моделированию и автоматизации проектирования слохннх систем в г.Нальчике, 1986г. (руководитель -член-корреспондент РАН Бицадзе A.B.). нелокальные задачи и их приложения к автоматизированная системам в г.Нальчике, 1939 (руководитель - член-корреспондент PAJI Еицадзе A.B.); ка заседаниях школы-семинара по нелинейным краевым задачам математической физики и и:: приложениям, 1990-1993 (руководитель - академик КАН Украину Митропольский ».А.), школы семинара по современным проблемам анализа и математическому моделировании в г.Нальчике, 1994 (руководитель - заслуженный деятель науки КБР, профессор Нахуаев A.M.).
Публикация. По теме диссертации: опубликовано 33 ргботи.
Объем работы. Диссертация обгоном 2S6 магпнописшх страниц состоит из введения и. четырех глав, разбитых на 14 параграфов. Библиография содержит 158 наЕЯНОЕашй.
ГЛАЗА I
§1. Рассмотрим уравнение
y^u.,., + уи____ + А.и„ = 0, ('.)
где tn и л определена» вксе.
Б этом параграфе ставятся и иссл?ду:-этся некоторые куркзмзконнко задачи Коин для уравнения (1), когда л. меняется дне полусегмента
1/2-ка<1 .
Пусть П - конечная одкосеязнзя область плоскости независимых переменных х, у, ограниченная характеристиками AG и 5С уравнения (1), еыходяежи из точки С(1 /?., ), v/0 и отрезком J=AB: , У=С-
"меет место следующая
Теорема 1.1. Существует единственное регулярное в области П ре-пение Щх.у) уравнения (1), удовлетворяющее условиям:
1) если -2пкЛ<1/2-т, . i(x)£C3(J), a>(xkC2(J), го u(x,0)=t:(x) ,
Пи (-у)* tu(х,у)-и (х,у)1 = v(x);
2) еслиА.=1, ^(х), г>(х)£С2(<1), то
Um u(x,y)/[Zog(-y) = Кх);
Г-—0
Ilm (x,y)]/[Iog(-y)^]}'.= v(r);
у—о - *-
3) если Л=-2т+(2пн-1)(-п-7+1/2), |Т|<'/2, п=0,1,2,..., то
u(x,0) = t(х), lim (-y)x[u(x,y)-u_(x,y)]'= v(x), или u(x,0) = t(z),
y-0
' V
lim (-y)_i2m+1 în'2m[uU,y)H0_U,y)]' = V(2). когда \=-(2m+1 )n-2m ï •e(x) € C2n+4(J), v(x) £ C2(J);
4) еслиЪ1, t(x)€G2!1+'I(J), V(X)€C2(J), TO lim (-у)я'~1и(х,у)=т;(х),
y-*-0
и?. (-у)г~Х{[(-y)X"1u(z,y)],-0j?°(x,7)} = v(x), когда m+3/2<A.<2+2m к у—о
г in (-у)Х_1и(х,у)=х(х), Ilm (-у)г~'"Г(-у)*'~1и(х,у)-ч^(х,у)]' = v(x),
y-»-0 y
когда X=U(2m+1 ) (n+1/2-7) ш \=(2m+1 ) (n+2)-2n, где
2tn~1 1 p _1/2
Ш0(х,у) = p0(-y) 2 Jx'(£)[t(1-t)] 0 (1-2t)dt,
1 2m+1
u^x.y) = jT(ntt(1-t)]~l/2log[ (-y) 2 t(1-t)]dt.
n-M (-y) C2ra+1 )k 1
w?(x,y) = 5 Pk(n,7) -^-jF(2k)(?)[t(1-t)]k+7dt,
г k-0 k (2ПН-1 )2k о
1
. ■ "hi- . . IPmll 11
Ш,
(x,y) = У - (-y)f2m+,l4F(2k+1)(Ç)tt(1-t)lk+l/2dt + (2)
(2mt1 )2k о + ......],&„| ,|н||.н/гд1!
(2.T.+1 )2(n+1 )П о
2m+1 2.Т.+ 1
X logl ¿Pf (-у) 2 t(l-t)]dt, ?=_>: - 2§+т (-y) 2 d-2t),
гд-1 1 з/г-Р
u°(x,y) = рЛ-у) 2 [f (£)d-2tHt(1-t)] °àt, "о -
c^(x,y) = ôe°u (з,у), если А=1 + (2пк-1 ) (л+1/2-7);
и, наконец, ь^(х,у)=ге0о>3(х,у), если Л=(2га+1 )(n+2)-2т; pQ, рг эе° ге31, Pk(n,7) - известные постоянные.
§2. В этом параграфе исследуются краевые задачи со смещением на характеристической части граниш, являщиеся нопосредстЕеннами обобщениями задачи Дарбу для уравнения (1).
Задача 2.1. Найти функцию и(х,у) со следукхиимн свойствами: 1) и(х,у) € С(П) П С1 (П U J); 2) и(х,у) - регулярное в области п реаенне уравнения (1) удовлетворяющее краевым условиям: и(х,0) = т(х), Ух € J,
т/о 3
oc(z)d03. ° uc90u)] + 1116,00] = SCO, Vi e J, (3)
где (30=(2пн-Л.)/(2ш+1 ), TCxkC1 (J) П C5(J),
cC(Z), f3(x), son € C(J) П С (J), d(X)X j + p(x) (1-х) °?0,
Vz £ J, -2ra<A.<1/2-m,
_2___г_
e0U) * I - i(2n»ix)2^1 , 01(X) = 2S+1 (1-1)^1 ,
) - оператор дробного интегрирования от 0 до x, (от х до 1)
зрядка - I при 1<0 и обобщенного в смысле Лиувилля, даффренцирования зрядка I при ¿>0.
Задача 2.2. Найти функцию и(х,у) со следущими свойствами: ) и(х,у) € С(П) П С1(Q и J), причем функция
lim. (-у^иЦх.уНаих.у)].'. - v(x) € C2(J);
У---0 2
} u(x,y) - регулярное в области Q решение уравнения (1), удовлетЕо-1щее краевым условиям (3) и
¿(x>d£xx 1uI80(x)] +■ ß(x)d^d-x) 1u[81 = ö(x)
Vx e J, где T(x) € Cp+1(j) n C2n+p+5(j),
cC(Z), ß(z), ö(x)€C(J)no2(J), ü(X)Xn~'t+ß(X) x
X (1-x)n~Vo, Vxfj, *=(2m+1 )(-n+1/2+T)-2m, -1/2<7<1/2, n=0,1,2,...,p=1+n-7, ц1=1-2(7-п)-2(1-Я)/(2ш+1), - целая часть числа р^р, ш (х,у) определяется формулой (2).
Задача 2.3. Найти функцию и(х,у) со следующими свойствами: ) u(x,y)eC(n\j);
) u(x,y) - регулярное в области П решение уравнения (1), удовлетво--:лцее краевым условиям
цт _u(x.y) = Х(Х)
log (-у) 2
^(x)D^/2Cute0(x)] - v1[80(х)]> 4
+ ß(x)D^z(u[01 (:<)] - vz[d^(x)J) = ö(x), vxeJ,
v.(x,y) = |x(C)rt(1-t)]"1/2Zog 1Д- dt,
0
1
U,y) = Гт(£)Ix(1-t)} 1/2Z0£ A=1,
iU)€G1 (j)nc2(j), cc(x), ß(x), ö(A)eC(j)no2(j)„
d-x)1/2ci(x) + x1"'2ß(x) ¿ o, vxej.
Опираясь на известные свойства опевзтогаз ЕI , Dz„ доказаны единственность у. существование решения задач 2.1, 2.2, 2.3.
§3. Рассмотрим уравнение смешанного гипербодо-пзраболпческогс
типа
О =
|х|ри^ - |z|4u + cíu^ + ßuv, х<0,
уу Ä ГС Г ^
u + a(x,y)u + b(x,y)u + c(x,y)u, х>0,
где р, q - действительные неотрицательные числа в конечной односвяз-ной смешанной области П плоскости независимых переменных х, у, ограниченной отрезка?® АВ, Б30, А0В0 прямих у--0, 2=1, у=1 соответственно и лежащих в полуплоскости х>0 и характеристика?®! АС и А0С уравнени (4), еыходяшмй из точки С(х ,1/2), хо<0; П и П2 здесь и в дальней шэм обозначают параболическую и гиперболическую части области С 10=АВ, 1)=АА0(ВВ0) - единичные интервалы на осях у=0 и х=0 (х=1) сс ответственно.
Относительно коэффициентов уравнения (4) делаются следуют предполокения: сг, р заданные действительные постоянные
а.Ьес'1,10^), сеС*0,11'^), причем Ь<0, с«0.
В зазксжости от значений р, а, ос и р з этом параграфе рассматривается ряд краевых задач со смешением для уравнения (4).
Задача 3.1. Найти регулярное в области П решение и(х,у) уравнения (4) со следующими свойства!«: 1 ) и(х,у) £ С(Ш П С1 (£1);
2) и (0,у5=1'(У) прлу-О- шга I может обращаться в бесконечность порядка меньше еданицц;
3) и(х,у) удовлетворяет краевым условиям
и| = ф (I), и| = (р. (у), ТХ. € Т., у € Т., |аз и ¡вв0 1 и 1
-<д\2(у)у1/бБ^Л1[90(у)] + ш2(у)(1-у)1/бБ^6 иШ^у}] = (5)
= 7 (у) + шг(у)<1-уГ2/3и(0,1), I,.
у»р-=1, а=0, ¿=¡3=0, №=(4/3)1/зГг(5/б)ЛсГ(2/3), ф0(Х) € С1(Т0),
), (У)е0(11), ф0(1 (0), Л.2(у), ц2(у) - дзззды дифференцируемые г/ккции, вторые производные которых удовлетворяют условия Гельдера, рлчем предполагается, что фо(0)=0,
Я2(у) + ^2(у) =1, (6) ;
•)(У). В, (У) - аффикса точек пересечения характеристик уравнения (4), ¿ходящее из точки (О.у^З^, с характеристиками АС, А0С. Пусть теперь р---?.п, о=1, «И/2-й, В=0.
Задача 3.2. Найти регулярное в области П непрерывное в П решение х,у) уравнения (4), удовлетворяющее краевым условиям (5) задачи 3.1
, -2Дг(у) ^иС90(у)] + 2ц2(у) ^[ЭЛу)] = У(У>. <3?У€11, 1 -г™
Ип(-х) и^(х.у) = Нтя и.(:с,у).
Задача 3.3. Найти регулярное в области П решение и(х,у) уравнения (4)со свойствами 1), 2) задачи 3.1, удовлетворяющее условиям (5) к
МУ)в£\И80(у)] + р.(у)Б^ги1В1 (у)] = 7 (у) +
+ р0.и.(у)(1-у)1_£и(0,1 ), £=т/(2ш+4), (р0(х)еС1 (Т0),'
Р р
Ф1(У)€С(11), А. (у) = У ' А.* (у), р. (у) = У 2р.*(У), р,>1, р2>1/2-е, (51 )
р0=Г(1-е)/[(ш+2)/4]1~26Г(2-2е), р=ш, ¿=р=д=0,
[(1-у)еА(у)-уер.(У)соз2бх]г + [у^У^шгетс]2 ф о, ЧуеТ,.
Задача 3.4. Найти регулярное в области П решение уравнения (4) со свойствами 1), 2) задачи 3.1, удовлетворяющее условиям (5) и
з-Р з+Э
МУ)^ и[е0(у)3 + |а(у)Бу^ и[01 (у)3 =
З + Р
7(У) + И(У)О-У) 4 и(0,1 )/[Г(1-р)/4],
где
А. (у) + М- (уУуеГ,. А(у)=у А. (у), ц(у)=у ц' (у), р,>1/2. р2>р/4, Х,|1>7€С(г'1г)(11 ), (5г)
1+1
эе(у) = А(у) (1-у) 4/[Г(3+(3)/4) + ц(у)у 4 /1Г(3-р)/4]И0,
■р=2, q=0, сс=0, 1р|<1. (53)
Задача 3.5. Найти регулярное в области П решение и(х,у) уравнения (4) со следующими свойствам!!:
1) и(х,у) с СОМ,);
2) иу(0,у)=г.'(У) может обращаться в бесконечность логарифмического порядка на концах интервала I ;
3) и(х,у) удовлетворяет условию (5) и
Ит и(1,у)Ю£(-х)(гт+1 )/2 = 11т и(х,у)
2С-»-0 Х-к+О
Ит (-х)1о/(-х)1гга+1)/г {[и(х,у)-ш(х,у)]/1об(-х)(2ю4"1 )/2> =ит и
х—О . к х-*+0 Х
Л(Я^гГи(80(у)) - со0(в0(у))] + 1и(Э1 (у)) - о^ (9, (у))1=у(у)
где
1 2га+1
У) = -1(1-1)]«,
о -2т+1
0(х,у) = С-Ь <1—-Ь) 3 1/г1оза-Ь)/Ш,
0
1
£т+1
(1-у)1/гА.(у) + у1/2ц(у) * 0, УуеГ,.
Единственность решения доказывается на основе следующего принципа экстремума:
решение и(х,у) задачи 3.1 при 7(у)в0 принимает положительны; максимум и отрицательный минимум в □1 на АВ и ВВ0;
пусть 7(у)=0 и Л,(у)(х(у)^0, УусГ1, тогда положительный максимум I отрицательный минимум решения и(х,у) задачи 3.3 в П достигается лиш на АВиВВ0; :
если т(у)=0, А.(у)<0, р(у)>0, ге((у)>0 или А.(у)>0, р.(у)<0, зе(у)<0, то положительный максимум и отрицательный минимум решения и(х,у) задачи 3.4 в замкнутой области достигается на А£иВВ0. •
Существование решения задач 3.1, 3.3, 3.4 устанавливается мето-
дом интегральных уравнений. Задачи 3.1, 3.3, 3.4 в силу условий (б), (51), (52), (5^) прямо редуцируются к сингулярным интегральным уравнениям нормального типа , которые методом регуляризации 'Карленана-Векуа приводятся к интегральным уравнениям ©редгольма второго рода.
Задачи 3.2- и 3.5 эквивалентно сведены к интегральным уравнениям Вольтерра второго рода, которые безусловно и однозначно разрешимы.
ГЛАВА II
§1. Рассмотрим уравнение
О
к(х)и + и + а(х,у)и + Ь(х,у)и + с(х,у)и, х<0,
лл. л. *>
(7)
ихх + Й(Х>У)их + Р(Х,У)иу + 7(х.у)и, х>0
в конечной односбязной области П плоскости х, у, ограниченной отрезками АВ, ВВ0, А0В0 прямых у=0, х=1, у=1 , соответственно, и действительными характеристиками
х х
АС: у+ = О, А0С:у-
= 1
о
уравнения (7), выходящими из точек А(0,0), Ао(0,1).
Относительно коэффициентов уравнения (7) делаются следующие предположения: к(х) - непрерывно дифференцируемая и монотонно возрастающая в П2 функция, причем К(0) = 0, К(х)<0 при х<0; функции а, Ь и с принадлежат пространству С1(П УЦ), а
а( МЕЕ _ б ШЕО )€С(п \Т ) ^ 21
и выполняются следующие неравенства
Ь + а ^ + < 0, с^О,
/
б( bzMEE _ S(zjee)) + i _ B )} x
x (b+aj=lc + 0(J=K )) - 2C $ 0, VU.ykiiAl,, c£, p, 7 € 0(0,), p<0, 7^0, Ssd/6x+-J-K Q/dy.
Задача А. Найти регулярное в области fl решение и(х,у) уравнения
(7), удовлетвоояющее краевым условиям (5) и ul =ф(х) € С4 (-1/2^0).
J ас
Имеет место следующая
Леша 1.1. Пусть: 1) и(х,у) - регулярное решение задачи А, когда Г'(х)=0; 2) производная от функции и(х,у) по направлению характеристик семейства -1=1: dx-dy=0 существует и непрерывна в П2\Т1.
Тогда положительный максимум (отрицательный минимум) функции и(х,у) в П2 достигается в некоторой точке (0,Oil, и в этой точке I; >0, (и <0).
л X
Единственность решения вытекает из следующего аналога известного принципа экстремума А.В.Бицадзе.
Пусть u(x,y)eG1 (il,U AQB0) и удовлетворяет условия}»! леммы 1.1. Гогда положительный максимум и отрицательный минимум и(х,у) в Q,, достигается на АВ U BBQ.
В э том параграфе доказывается существование решения задачи А для злучая, когда в уравнении (7) а, Ъ, с, а и 7=0, р=-1, к(х)=-(-х)ш, где tn-полокительное число.
Здесь предлагается метод, позволяющий редуцировать вопрос разрешимости задачи А к интегральному уравнению Вольтерра второго рода. §2. В первой части этого параграфа рассматривается уравнение Lu = u^ - K(y)uxx + a(x,y)ux + &(x,y)ur + c(x,y)u = i(x,sO. (8) :\це k(y)>0 при y<0, k(y)=Q при y^Q.
Обозначим через П область, ограниченную отрезками АА , ВВ0, А0В прямых х=0, х=1, у=1, соответственно, лежащих в верхней полуплоскости у>0, и характеристиками АС и ЕС уравнения (8), выходяадми из точки С(1/2,у.с), ус<0.
Относительно коэффициентов уравнегшя (8) предполагается, что К,Ъ е С(Й), а, с е С1(П).
Задача Т . Найти фуккщш и(х,у) из класса С(П)ПС1(Я), удовлетворяющую уравнению (8) в областях £} и П2 и краевым условия?.!:
и| = 0, и| = 0, и| = 0, (9)
Ао3о !£3о 1БС
или
и I = О, и| = О, и| =0. (10)
7\*ово 1вво 1вс
Примем следующие обозначения:
Ь*и = и_ (аи) - (ЫЛ + си = Пх.у); . (8*)
У У 2£Х Л ¿г
(В> - множество функций и(х,у) из класса \\=С(П)ПС1 (П) П С^Г^и 02)Л П Т?2(ЗП) П Т?2(П), для которых Ьи е 12(ГС) и соблюдены условия (9) ил;' (17); ГС (В*) - множество функций V из '!>, для которых Ъ*у € Ь2(П) к выполняются сопрякенные краевые условия
о, т| = о, vi = о, (9*)
а0в0 |аап uc
или
(Yy-bv)
= О, v] = О, vi = 0.
а0в0 |аа0 |ас
(ю*;
Для любых функций и<;№(В) и У€1Я(В*) справедливо равенство (10*; (7,Ьи)0 = (и,Ь*у)0, поэтому задачу Г*: найти функцию у из класса С(П)ПС'(П), удовлетво-
тащую уравнению (8*) в областях П1 и Пг и краевым условиям (9*) гш (10*), будем называть задачей, сопряженной задаче Т1. Одним из основных результатов этого параграфа является Теорема 2.1 Пусть коэффициенты уравнения (8) удовлетворяют одяо-! из следующих условий:
1) а(х,у)>0 при 0сх,у$1;
2) а/к, ь2/Х€С(П2), с(х,у)<о при оа,у=$1;
3) а/к, Ь2/К, а/к, с/к, сх/к€С(а,);
4) к/а, Ь2/а€С(П ), а>0 при у^о, с(х,у)<0 при <Кх,у§1;
5) к/а, Ьг/а, с/к, с /к£С(Й ), а>0 при у*0, а >0.
2 '
^ ^ ^
Тогда для всех и€'|7(В) имеет место оценка |и|++ $ С0|Ьи5+, где к • Г! -накотоше позитивные коиш, а С_-кезавксящая от и поло-
+ + + х и
.тельная постоянная.
• Справедливость теоремы 2.1 устанавливается с помощь» модификации тода, предложенного А.М.Кахушевым.
Из теоремы 2.1, в частности, вытекает единственность регулярного шения задачи Т, и существование слабого решения сопряженной задачи Т*.
Во второй части 52 исследуется задача А при следующих предполо-нпях относительно козф£пшюнтоз а, Ь, с, и, р, 7 уравнения (7):
а, ЬеС3(п2), с€С'(й2), й,р€С(1'к)(п1),
7еС[0,Ь)(П1), (3<0, 7$0, к(х)=-(-х)пг, «чем при выполняется условие Геллерстедта : В=0(1)|2}п, п>т/2-Задача А в этом случае редуцируется эквивалентно к интегральному зБненкю Вольтерра второго рода, которое безусловно - и однозначно зреикмо-
ГЛАВА III
§1. В первой части этого параграфа рассматривается уравнение (S
в конечной односвязной области Q, ограниченной кусочйо-гладкой saw-:
i
нутой кр;той Г=Гои I^U Г2, где кривые Г{, £=0,1,2 определяются еле дувдим образом: а) Г0=АА0и BBCU AQB0, где ААС, В30, А0В0-отрззки прй мых- х=0, 2=1, у=1, соответственно , лежащие в полуплоскости ;»>(. Ь)Г, :у=-р.(х) - монотонная кривая, которая выходит из точки (1,0) располагается внутри характеристического треугольника АБС, имекк единственную общую точку С (1,у ), 0<1$.1, у <0 с характеристикой уравнения (8), выходящей из точки (0,0); в^-характеристика АС .
Задача . В области П найти решение u(z,y) уравнения (8; удовлетворящее краевым условия:,;
и| =0, u¡ = О,
или
u I = О, и| =0, u| = о.
y|r¿\AA0UBB0 |ro\AA0U^B0'
Имеет место следующая
Теорема 1.1 Если а(х,у)>0, У(х,у)£П., х £0, s^-kx2^}, У(х,уНГ
х 1 21 21 Ti
то для всех u(x,y) е W(B) имеет место оценка |и|++^С0|Ьи[х, где зп у -направляющие косинусы внешней нормали п~(%п<Уп) к границе облас
П, CQ - независящая от и положительная постоянная.
Здесь класс функций í?(B) и кори Г1++»Г!+ определяются таки se образом как в §2-, главы II.
Справедливость зтой теоремы доказывается точно так не как теоре 2.1 в §2 гл.и.
Из теореы 1.1, в частности, следуют единственность сильного j
шения задачи Ь^ и существование слабого решения сопряженной задачи М*:
Ь*у = I, у| ' = О, VI = О, VI = О,
Л0В0 1^0 1Г2
или
1*7 = Г, (V -Ы)
= 0, у| = О, VI = О. а0в0 |аа0 |г„
Во второй части §1 рассматривается уравнение
ш^и -и , х<0, т>0,
1 1 уу 33
ихз.+а(х,у)иу+Ь(х,у)и, х>0,
(11)
! односвязной области П, ограниченной кусочно-гладкой замкнутой ли-ией Т=Т0и Т,и Тг. где линии 7{, £=0,1,2 определяются следующим обра-;ом: а) 70=АВ I) ВВои А030, где АВ, БВ0, А0В0-отрезки прямых у=0, х=1, =1 соответственно, и лежат в полуплоскости х>0; Ь) линия 71 вначвле . озпадает с куском АЛ? характеристики АС уравнения (11), а-затем отхо-ит от нее внутрь характеристического треугольника АСА0 и имеет динственну» общую точку Н(х1,1), х,<0, с характеристикой А0С
равнения (18), выходящей из точки (0,1); в) линия 72 совпадает с уском А0Н характеристики А0С.
Задача М . Найти функцию и(х,у) из класса С(П)ПС1(П), удовлетворяющую уравнению (18) в области П, х?0 и краевым условиям
|70\вв0иа030 1-0ЧАБиА030 К
1\!етод доказательства корректности задачи М2 является развитием >тода Франкля.
§2. В этом параграфе, состоящем из двух частей, рассматривается ¡авнекиа
(
О
О = Ьи =
и^ + а, и.у)их - Ь, (х,у)иу + с, (х.у)и, у>0
(12)
и - (-У)"1^ + а2и,у)и + Ь2(х,у)и, у<0, ш^О.
Пусть П - конечная односвязная область плоскости переменных х, у, ограниченная кусочно-гладкой замкнутой линией 0=0^0,11а2, где о{, (=0,1,2 определяются следующим образом: а)о0=АА011 ВВои А0В0, где АА0, ВВ0 и А0В0 - отрезки прямых х=0, х=1, у=1 соответственно, и леяат в полуплоскости у>0; Ь) «^-монотонная кривая у=-ц(х), располо-
женная внутри характеристического треугольника АСЗ, р(0)=0, 1+ц(1)=1, в) о2-характеристика 0,8:
т+2
х + ш (~у) 2 = 1' • уравнения (12).
Задача !Л3. Найти функцию и(х,у) со следующими свойствами: 1) и(х,у) € С(П) П С1(П); 2) и(х,у) является решением уравнения (12) при у^О; 3) и(х,у) удовлетворяет краевым условиям:
и| = <рп(у). и| =ф.(у),и| = (|>(Х),
К К 1°,
Ф0(У). Ф, (У) € 0(0^1), (1)(х) € С3(0Ж1), ф0(0)=<р1 (0)=ф(0)=0.
В первой части этого параграфа доказывается теорема 2.1, из которой непосредственно следует единственность решения задачи М3 для случая, когда в уравнении (12) коэффициенты а,, Ь,, с, ¡¿0,' причеы Ь,>0, С,<0, а2=Ь2=0 и ш=1.. Здесь же доказывается существование решения задачикогда коэффициенты с^=ог=Ь и т=0, а отходящая, кривая о, содер'.-31т'..з себе часть характеристики уравнения (12).
Во второй часта §2 устанавливается существование решения задачи
М3, когда отходящая кривая о1 имеет только одну общую'точку с характеристикой уравнения (12).
§3. В этом параграфе рассматривается обобщенная задача Трккоми . для уравнения (12), когда коэффициенты а{, ct, а2,. Ь2У0 и в предположении, что G.€Cn,h)(a,), Ъ^С12'10 (П1), (Р..),' а2,Ь2€С1 (О,), причем ^>0, с^О.
Уравнение (12) при у<0 в характеристических координатах "Л переходит в уравнение
Е т-2
-Н-У)^ + к-у) \ - !?-(-У) 2 ](иГ1Ц) + b2u = 0. (13)
Известно , что решение уравнения (12), удовлетворящее начальным данным
и(х,0) = т(х),
ge
lira [ "°(VV = 2e0(n+2)=m,
имеет вид
u(5,T)> = CE.*n;s)T(s)(ls + jH2(£,TQ;s)v(s)cis, . (14)
где функции H1 и H2 выракаются через функцию Римана уравнения (12). Обозначим через а2(0,1) пространство функций 1(х), 0<х<1 таких,
что
1
|(1-х)12(х)йх < со.
о
Следуя Бабенко, будем говорить, что функция u(£,rj) есть обобщенное решение задачи Кош уравнения (12) или (13) из класса R, если ее можно представить в вида (14), и функция v(x) такова, что
V(x) = X
s °e(s)cLs, 6(x)ea2(0,1).
o
Задача Мл. Требуется определить непрерывную функцию и(х,у) та-:сую, что: 1) в П1 и(х,у) даазды непрерывко-дкфференшгоуема и удовлетворяет уравнению (12); 2) в О, и(£,т)кС1 (П2) и принадлежи классу й; 3) производные и^ и и^ непрерывны в А1в}; 4) и(х,у) удовлетворяет краевым условиям
и| = фп(у), и| = ф. (у), и| =Ф(х), ф (0)=Ф (0)=ф(0)=0.
ал • вз 0
1 о 1 О 1 1
Модифицируя метод Франкля доказательства единственности решения задачи Трикоми для смешанных элл^штико-гетерболических уравнения, применительно к смешанным гиперболо-параболисческим уравнениям, устанавливается единственность репения задзт.1 Мл, а существование доказывается методом сингулярных интегральных уравнения.
54. В этом параграфе исследуется обобщенная задача Трикоми для следующего таперболо-параболдческого' уравнения с одновременным выро:к-^ением тша и порядка:
где m-фиксированное натуральное число.
Обозначим через Г, и ?г характеристики равнения (15), выходящие ;!3 точек А(0,0).и В(1,0) и пересекающиеся в точке С(1/2, yj, Ус<0-Пусть E(h,0) - точка отрезка АЗ, FLh/2-( (2in+1 )1V4 )2/(2:п+1 1 ],
Ц + a (x,y)u + Ь (х,у)и + с (x,y)u, у>0,
XX X у
о =
(15)
y 2::\i + yu , у<0,
:ас уу у ^
j[(1-h)/2,-f(2m+1) (1 -h)/4)
2/(2mH
]- точки пересечения характеристик
уравнения (15), выходящих из точки Е с характеристиками Г, иГ2 соответственно; Н[1-7,-((2т+1)7/2)2/(2т+11-11^21^1-точка на характеристике Г2.
Соединим точки Р и Н линией е1: у^^х), 11/2^x^1-1, где р. 1 (х)-дважды непрерывно дифференцируемая функция.
Уравнение (15) будем рассматривать в области П, ограниченной кусочно-гладкой кривой б=50и б1 II 52и Б3, где 50 и б2 - части АГ и БН
характеристик Г1 и Г2, соответсвенно, 53=АА011 ВВ011 А0В0, причем М( ВВ0 и А0В0- отрезки прямых х=0, х=1, у=1 соответственно, и лекат в полуплоскости у>0.
• Относительно коэффициентов уравнения (15) предполагается, что
о,Ь€С11,1г)(П1), сеС10,51'^), Ъ<0, С40; к- заданная действительная
постоянная -2т<Я< (1 -2т)/2 или (1-2т)/2^,<1.
Задача Найти регулярное в области. П, у^О решение и(х,у)
уравнения (15), непрерывное в Пи удовлетворяющее условиям:
и| = фп(у), и| = ф,(У),и| =Ф(х), К 'вво е1
11т и = 11т(-у)'" §=[и(х,у)-о)(х,у)],
у-м-о у—О *
где
2ш4-1
рДх[х- (-У) 2 (1-2г))[г(1-г))р-1/2йг,
и(х,у) в 0
при -2пк^< (1-2т)/2, -:-.
О, при (1-2т)/2^.<1;
и(х,0) = кх); Ф0(у), ф1(у)ес(0^1), Ф(х)€С3(оа<1-1),
при (1-2т)/2<л<1 ; ф0(у), ф, (у)еС(0^1 ), ф(х)€С5(0а=$1-г), при -2ш<\<(1-2т)/2, ф0(0)=ф,(0)=ф(0)=0, Р1=(Р+1/2)Г(2р+1)/рГг(р+1/2),
(3=(2ть\)/(2т+1).
Допускается, что функция
Игш = ИпК-у)* 2- [и(х ,у)—со(х ,у)] = v(x)
у-Н О 5—0 У
может обращаться в «> порядка не выше единицы при х-»0.
Теорема 4.1. Пусть коэффициенты уравнения (15) дополнитедьн удовлетворяют следующим условиям:
а + Ъ - 2с + кЬ 43 в О,;
X у 1
Ь(х,1) = О, Сръ + ог0с 1 -Л,)5=0 на линии у=0;
сС0 = 70(1 -2га)/[2(Л-1) ], ТсгСОпаЪО,
к=сопэ1ха, сС°<с< (Л-1 )/ш!п Ь(х,+0); 0 0<хН
на кривой 8 выполняется неравенство
(А.-1 )с41 (-у)?""2(1у - « О,
где
V пи* ^ (-у) ^ , УН=Ч
Уп-=У«0
Тогда решение и(х,у) уравнения (15) в области 0 тождествен* равно нулю, если
и|ААоиВвои«оив1 =
Теорема 4.1 доказывается методом, аналогичным ;методу Фридрихе . и Моравец.
В случае', когда (1-2гп)/2*$\<1 , устанавливается, что вопрос сз
шествования решения задачи эквивалентен вопросу разрешимости интегрального уравнения Фредгольма второго рода, а если -2пк\<(1-2т)/2, то задача Мх редуцируется эквивалентно к интегральному уравнению Фредгольма третьего рода
хр+5/<Ччх) + _[Т(х>8)1,(5)йв = г(х)> (16)
о
где функции Т(х,б) и 1(х) непрерывны вместе со своими производными до второго порядка по х и Б.
Вопрос разрешимости уравнения (16) исследуется методом, аналогичным методу Пикара и Платрие и при этом подсчитывается точное число условий разрешимости уравнения (16) и число его линейно независимых решений.
ГЛАВА IV
§1. Рассматривается уравнение
(-х)1^ - и , х<0, т>0,
уу зсс
О = (17)
и - и , х>0
за: ту'
в области П, ограниченной отрезками АВ, ВВ0 и А0В0 прямых у=0, х=1 и у=1 соответственно и характеристиками
т+5 т+2
АС: У-^-х) 2 = О, АС0: у + ^(-х) 2 =1. Задача Тд. Найти функцию и(х,у), которая: 1) является регулярным решением уравнения (17) в области П при у?Ю; 2) непрерывна в замкнутой области П, а её частные производные их и иу непрерывны в области
0; 3) удовлетворяет граничным условиям:
и|лв = 1« §х + Рц>|вв0 = «Р, (У). и|дс = Ф(х).
Основными результатами этого параграфа являются следующие теоре-
мы.
Теорема 1.1. Пусть: 1) <*=0, 0=1; ф0(х)€С1 [0,1 ], ср, (у)еСЕО, фСх)€СЛС-1/2,01, фо(0)=ф(0)=0, ф0(1)=ф,(0), или 2) с*=0, р фо(х)еС2[0,1], ф1(у)€С[0,П, ф(х)€С4[-1/2,0]; фо(0)=ф'(0)=ф(С ф0(1)=ф,(О). Тогда задача Т^ имеет и притом единственное решение.
Теорема 1.2. Пусть <*=1, 0=0, фо(х)€01[0,1], ф, (у)еСЮ, ф(х)еС* [-1/2,0], фо(0)=ф(0)=0, Ф¿(1)=Ф1(0), или 2)с£=1, р=0; фо(х)£Сг[0,1 ], ф1(у)еС(0,П, <р0(0)=ч£(0)=ф(0)=0, ф,(0^(1) Тогда задача имеет и притом единственное решение.
Справедливость теорем 1.1, 1.2 устанавливается методом экви лентной редукцией к интегральному, интегро-дифференциальному или н руженному уравнению с оператором Вольтерра в зависимости от того или т>2.
§2. В этом параграфе исследуются краевые задачи для нагружены уравнения гипербола-параболического типа второго порядка с харак ристической линией изменения типа.
Пусть р - конечная односвязная область ограниченная отрезк
АА0, ВВ0 и А0В0 прямых х=0, х=г и у=Ь соответсвенно и расположении
полуплоскости у>0 и характеристиками
а+2 а+2
АС: х- ¿(-у) 2 = О, ВС: ¿.(-у) 2 = г
оператора = дг/ду2 - (-у )геЭг/а:<2, ге=сопз1;.
В области П рассмотрим нагруженное уравнение гипербо параболического" типа
о =
Ьи +-^Да{(х,у)Б0^(х,у)и(Х',,у) = 1(х,у), у>0
(13)
Ъжи - Ь0(х,у)и +{| ь{(1,у)0^.и(х,0) = й(х,у),.у<0
< г I
где 1>и=и -6и + ап(х,у)и, е=сопзЪ0, Б ') - операторы дробного в
У Хл и ^У С'Х
смысле Римана-Лиувилля интегрирования порядка - 5"(-р{) при 5е<0 (р{<0) и дробного дифференцирования порядка с^(р{) при с^>0(р{>0).
Задача Найти регулярное в области £1, у^О решение и(х,у) уравнения (18) из класса С(П)ЛС1(П), удовлетворяющее условиям
где т^ т2 и ф - заданные гладкие функции, о£=(оС1 ,е*2), р=(р1,р2), при-
чем
5 4 + РГ; - к=1 '2-
Используя свойства функции Грина для основных граничных задач
+ а1(х,у)и^ + а0(х,у)и - иу
для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнения теплопроводности, задача А^ эквивалентно редуцируется к системе интегральных уравнений Вольтерра второго рода, которая однозначно разрешима. §3. Рассмотри},! уравнение
у>0,
о = 2 2 (19)
«Эх2 дТ
в конечной области П, ограниченной отрезками АА0, А0В0 и ВВ0 прямых х=0, у=Ь. и х=1 соответсвенно, а также характеристиками АС: х+у=0, ВС:х-у=1 уравнения (19).
Этот параграф посвящен решению двух нелокальных краевых задач со
смещением для гипзрболо-параболического уравнезия третьего порядка.
Задача 3.1. Найти фуккшга и(х,у) со следующими сесйстеэкз 1 )и(2,у)€С(П1), С=1,2, и(х,у)€С,(П1\А030), и(2,у)€С1(П2\ВС)); 2 и(2,у) удовлетворяет граничным условия;-!:
и(0,у) = '^(у), '4(1,у) = (?2{у), ц;с(0,у) - и„(г,у)=ф3(у), а(х) §~иС90(х)3+Ь(х) ^пСЗ, (х)]-с'1::)и(г.,--0)-с1(х)и..{х,-а)=е(х), (20)
ей оа
= Ф(х), о^тм/г, с^ул ' (21)
ЛС ■
и условиям склеивания
ц(х,-0) = сг(г)и(г,+0) 7(:0, (22)
4,(2,-0) = о(х)и (х,-гО) + о(хних, го; + р(х). (23)
Здесь п - внутренняя нормаль; л с2- параболическая и гиперболическая части области П.
Задача 3.2. Нзйти функции и(х,у) со слэдукщкта свойствами: 1! и(х,у)1-;0(П{ )ПС1 (О,и£0,2)), ¡=1,2; 2) и(:;,у) - регулярное ресс-киЕ уравнения (19) з П при у^и, ^(х.у^О, cQ(x,y)=л=conзt; 3) и(х,у] удовлетворяет краевым услсвнлм ц(0,7)~о,(у), и(1,у)=фэ(у), и„(0,у)=а,(у), (20), (21) и условия:.! склеивания (22), (23).
Здинствзнносгь реаеяия задач 3.1, 3.2 доказывается методом предложенным з 53 глзеы III, а существование ко годом интегральных урззко-ний Средгольма второго рода.
54. 3 зтом-параграф нсод-здуктсл зъйъы ?:ша задачи ?ри-
ксмп для уравнения
- и + л., и,. у>П, ■ Т- ' (24)
Пгг + Vй' 7<а* где X, и л,, - Есдастгенниз пзоаяэ-тгл, з облает;
характеркстшами АС: х+у=0, ВС: х-у=г уравнения (24), отрезками АА0, АдЕ^ и В30 прямых х=0, у=!г и х=1 соответственно.
Задача 4.1. Найти функции и(х,у), удовлетворяющую. условиям: 1) и(х,у) € С(П) П С1 (О) П С^'уШ^ П С2'Д(Пг) п С2(ГМА,В)); 2) и(х,у)-решекив в области П, у?0 уравнения (24); 3) и(х,у) удовлетворяет граничным условиям
и(0, у) = ер1 (у), и(1,у) = ф£(у), и_(0,у)=ф3(у), 0-<у«п, ц(х,-х) = ф(х),. Осха/2, гдб 01(?) = П Л {у>0 (у<0)}. Лемма 4.1 Если и=0 на АС к ^ >0, то для любого рзпения уравнения (24) имеет место неравенство ;
J = |т ГОгТОйг » 0. о
Леша 4.2.Если к.^О и 1ши(х,0)и (х,0)=0, 1ши(х,0)и (х.О)--О, (25) 7 ^+0 23 х-г-о 33
ф1 (0) = <рг(0) = ф3(0) = 0, то для любого регулярного в области П, решения уравнения (24) справедливо неравенство
3 = |г(г)у(Ш1 < 0.
О'
На основании лемм 4.1, 4.2 доказывается
Теорема 4.1. Пусть и(х,у) - регулярное в области П решение однородной задачи 4.1, удовлетворяющее условию (25). Тогда и(х,у)МЗ в ! при всех к^Уй и Х2>0.
Теорема 4.1. доказывается методом интегралов энергии. Пусть Х2<0. Введением новой функции у(х,у)=ехр(-рх)и(х,у), дав нение (24) сводится к виду
о
- V + зру^ + Зр + (р -Д., у>0,
V.___
Р ..... ■ (25)
- + гру^ + (р^и2)у, у<о.
Лемма 4.3. Если 7=0 на АС и р>(5\эС)а, с^сопзоО, то для любого регулярного з области 0г решения уравнения (25) справедливо неравенство [у(х,0)т (х,0)(ЩЮ. о 7
Теорема 4.2. Пусть и(х,у) - решение однородной задачи 4.1 из класса регуляннх решений уравнения (24), удовлетворяющее условии 1!!1и(х,0)[и (2,0) + ри (у.,-3)) \1(>:,0)[и^(л,0)+ри^(2,0)1=0.
>1-+0 " " х-1-0 "х
Тогда и(х,у)=0 в С, если ^2<-1 и Х^Х?-2 ^ | {и/1)г или,
если -1<Х2Ф и А.^ |ЛР|3 -з] | Хг | ('Г/1)2.
Опираясь на известные неравенства Зркдрихса, устанавливается справедливость леммы 4.3 и теоремы 4.2. Кз теорем 4.2 следует, что если даке Л.,^0, что в области параболкчности гарантирует единственность решения краевой задачи для уравнения (24), то найдется такое значение Д,2<0, при котором однородная задача 4.1 для уравнения (24) может иметь ненулевое решение.
существование решения задачи 4.1 эквивалентно редуцирется к смешанному интегральному уравнению второго рода, которое однознзч но разрешимо в силу единственности репения задачи 4.1.
Аналогичным образом решзется задача 4.1 и при таких значениях спектральных параметров Л. и Х?\ 1) Х,<0, | (тиЛ)^.,; 2) Я2=0,
-2/127<Х,<2/|эт; 3)Хг=0, А,<-2/127 или X,>2/127.
§5. В первой части этого параграфа исследуется краевая задача для смешанного нагруженного уравнения второго порядка, когда линия изменения типа является нехарактеристической. •
Для уравнения
г
U - U - Lu!0,y), x>0,
у u (27)
Uyy " Uxx ~ КУ>и(0,У), I<0, где A0=const>0, A.(y)=-A2(y) в области П, ограниченной отрезками АВ, BBQ, А0В0 прямых у=0, x=l, y=h при х>0 и, характеристиками AG: Х4у=0, AqC: y-x=h уравнения (27) при х<0; и П2 - параболическая и гиперболическая части области П; JQ- интервал (0,Z), интервал (C,h) исследуется
Задача 5.1. Кайти регулярное в области Q решение уравнения (27), удовлетворящее краевым условиям
u(x,0) = с?0(х), хи0, u(i,у) = ф1 (у). уе?^ и(х,-х) =ф(х), zsf-h/2,0]. При исследовании задачи 5.1 используется тот факт, как и для составных и смешанно-составных уравнений , что любое регулярное решение уравнения (27) при у^О может быть представлено е виде и(х,у)=т(х,у)+ы(у), где v(x,y) - регулярное решение уравнений V"vxz=0' Y^ryyy=Q' а - решение уравнения со; (УЬ^ш, (y)=XQv{o,y) при х>0 и уравнения -чо^(у) - А.(у)со2(у) = A.(y)v(0,y) при х<0.
Задача 5.1 экЕИваленотко редуцируется к интегральному уравнении Фредгольма второго рода
h
т(У)+ |M(y,Ti)\(ri)T(Ti)dn = ф(У), (28)
о
где M(y,T))€C(JrxJ. ), ф(у)£С(^ )ПС2(^ ).
Уравнение (2S) однозначно разрешаю, если
1МУ)| _ «|И(У,Т7)Г1_ _ g(j1) g(j,s j,)
и его решение т(у)£С(^)nc2(J1).
Во второй части этого параграфа рассматривается краевая задача
для смешанного нагруженного уравнения третьего порядка, когда лини изменения типа является характеристикой. Для уравнения
fu - и - E,u(x,y), у>0, О = | • ' (29)
- и^ + L,u(x,0), у<0
в области Я, определенной в §4, исследуется
Задача 5.2. Найти функцию и(х,у) со следующими свойствами:
1) и(х,у) е С(П) n G1 (П и АА0) П С^-^П,.) П C2,2(f¡2) Л С2(Г5\(А,3>)
2)и(х,у) - решение уразнеш:я (29) при угО; 3) и(х,у) удовлетворяет
краевым условиям
u(0,y) = р. (у), u(Z,y) = Ф2(у), и.. (О,у) = с?3(у),
ц(х,-х) = й(х),
где ф,(у), ф2(у), ф3(у) € 0(7,), ф(х) € С1[0,1/2] Л О3(0,1/2), приче
О р 1+х:п 1-Я-
(е-1) -(1-е -е 0 + е °)\1(0) И 0.
Здесь положено, что: (x,y)=(xQ,y), Oo:0<Z, л^Л^у) € С(Т) J-штервал (0,1), Х2=0 или 2) (x,y)=(x,0), X1=X,1=const, X2=A,2=const.
Пусть имеет место вариант 1). В этом случае задача 5.2 экзива лентно сведена к интегральному уравнении Вольтерра второго рода с слабой особенностью, которое безусловно и однознашю разрешимо.
Рассмотрим теперь вариант 2).Для коэффициента будем различат
случаи когда: 1) -2/Ü?<\1 <2/-|27; ?^=±2/Í27 ; ?^<-2/¡27 или л,>2/^27 Здесь предлагается метод, позволяющий в каядом из трех случае значений А. , редуцировать вопрос разрешимости задачи 5.2 к интеграль нему уравнении Вольтерра второго рода.
Пользуясь случаем, выражаю искреннюю благодарность моему учитеj Адаму Маремовичу Нахушеву за ту помощь, которую он оказывал как
процессе написания настоящей работы, так и при обсувдении результатов.
Основные результаты работы опубликованы в работах:
1. Елеев В.А. Краевая задача для одного уравнения гипэрболо-парг болического типа // Орджоникидзе,СОГУ: еып.З, 1976. '-с.31-37.
2. Елеев В.А. О некоторых задачах типа задачи Коти и задачи сс смещением для одного Еыроздащегося гиперболического уравнения //Дифференциальные уравнения. -Минск: Кзд-зо "Наука и техника", т.12, 11, 1976. -с.46-58.
3. Елеев В.А. Аналог задачи Грикоми для смешанных параболо-гиперболических уравнений с нехарактеристической линией изменения типа. //Диффврэнциальнпб уравнения.-Минск: Изд-во "Наука и техника", т.13, 11, 1976. - с. 56-63.
4. Елеев В.А. О некоторых задачах типа Кони и задачах с "неполными начальными данными "для одного класса выроздающихся уравнений"//И-звестия ВузоЕ, Математика. - Казань: Изд-ео КУ, 180, Х5, 1977. - с 32-44.
5. Елеев В.А. О некоторых краевых задачах со смещением для одногс уравнения смешанного параболо-гиперболнческого типа //Дифференциальные уравнения. -Минск: Изд-во "Наука и техника", т.14, }Ъ\ , 1978. -с.22-29.
6. Елеев В.А. Обобщенная задача Трикоми для смешанных параболс-гиперболнческк уравнений //Тезисы докладов республиканского симпозиума по дифференциальным уравнениям. - Ашхабад, 1978. - с.12-13.
7. Елеев В.А. Обобщенная задача Трикоми для смешанных гкпэрболо-параболических уравнений //Дифференциальные' уравнения. -Минск: Изд-во "Наука и техника" т.15, J£1. 1979. с.41-53.
8. Елеев В.А. Обобщенная задача Трикоми для модельного уравнения гшерболо-параболического тжга //Краевые задачи для уравнения смешанного типа и родственные проблемы функционального анализа и прикладной математики. - Нальчик, вып.2, 1979. - с.128-131.
9. Елеев В.А. Обобщенная задача Трикоми для смешанных гиперболо-параболических уравнений с нехарактеристической линией изменения типа //Дифференциальные уравнения. -Минск: Мзд-во "Наука и техника" т.-16, Я, 1980. - с.59-73.
10. Елеев В.А. Обобщенная задача Трикоми для смешанного гиперболо- параболического уравнения с одновременным вырождением типа и порядка /Л!осква: Йзд-во "Наука", ДАН СССР, т.253, М. 1980. -с.796-799
11. Елеев S.A. The GeneraZlzed Thlcomi probZema mixed hyperboZlcparaboZlc equation With slrauZtaneons degeneration oi type and order. Mathematies, SubJectcZasalficatlon, 1981. - c. 158-162.
12. Елеев В.A. Some boundaruvaZe problems WlthtransZations ior paraboZlc-hyperboZic mixed equation. 1981. - c.98-103.
13. Елеев В.А. Обобщенная задача Трикоми для смешанного уравнения гшерболо-параболического типа с разрывными коэффициентами //Дифференциальные уравнения-. -Минск: Мзд-во "Наука и техника", т17, , 1981. - с.58-72.
14. Елеев В.А. Коши характеристическая задача. Математическая энциклопедия //Москва: Изд-во "Советская энциклопедия", т. ,83,1982.-с.63-65.
15. Елеев В.А. Задача Трикоми для одного смешанного уравнения гшерболо-параболического типа с вырождением второго рода //Нелокальные краевые задачи для нагруаенных уравнений смешанного типа и родственные проблемы непрерывного анализа.-Нальчик: 1982. - с.109 -117.
16. Елеев В.А. Аналог задачи Франкля для смешанного уравнения гиперболо-параболического типа //Тезисы докладов участников Куйбышевского областного меквузовского научного совещаният-.семинара.-КуйСы-иев:Изд-во КУ, 1984.- с. 38-39.
17.Дрошна Л.И., Елеев В.А. Нелокальная краевая задача Бицадзе-Самарского для смешанного уравнения гиперболо-параболического .тила-/Д!етоды математического, моделирования в системах автоматизированного проектирования и планирования.-Нальчик: 1985,- с. 118-121.
18. Елеев В.А. Одна краевая задача для уравнения смешанного гиперболо-параболического типа //Нелокальные задачи для уравнения в частных производных и их приложения к моделированию и автоматизации-проектирования сложных систем. -Нальчик: 1986.-c.183-18S.
19. Елеев В.А. О краевых задачах для смешанного гиперболо-параболического типа //Дифференциальные уравнения. - Минск: Изд-во "Наука и техника", т.34, М, 1988. - с. 628-635.
20. Елеев В.A. Cauchy characteristic problem //Изд. "Руйдуль", VoZ:3/co7: 63, 1987. - с. 114-117.
21. Елеев В.А. Об одной системе штегро-даффэренциальных уравнений //Нелокальные задачи и их приложения к автоматизированным системам. - Нальчик: 1989. - с. 104-116.
22. Елеев В.А. Нелокальные краевые задачи со смещением для со-зряженшх гиперболических уравнений //Нелинейные краевые задачи ма-сематической физики и их приложения. - Киев: Ин-т математики НАН гкраины, 1990. - с. 46-48.
23. Елеев В.А. О некоторых краевых задачах для нагруженного равнения гиперболо - параболического типа второго порядка //Тезисы окладов научной конференции "Краевые задачи и их спектральные вопро-
сы для дифференциальных уравнений". - Алма-Ата: 1991. - с. 40.
24. Елеев В.А. Краевые задачи для смешанного уравнения гиперболо-параболического типа третьего порядка //Нелинейные эволюционные уравнения в прикладных задачах.-Киев: Ин-т математики HAH Украины, 1991. - С. 36-38.
25. Елеев В.А., Кумыкова с.К. Краевая задача со смещением для смешанного уравнения третьего порядка //Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. - Киев: Ин-т математики HAH Украины, 1991. - с. 41-44.
26. Елеев В.А. Об одной краевой задаче для смешанного уравнения гиперболо - параболического типа третьего порядка //Тезисы докладов третьей Сзверохавказской региональной конференции по функциональным и дифференциальным уравнениям и их приложениям. - Махачкала: Изя-во ДУ, 1991. - с. 61
27. Елеев В.А., Кумыкова С.К. О некоторых краевых задачах со смешением для одного смешанного уравнения третьего порядка //Тезисы докладов по дифференциальным и интегральным уравнениям, математической физике и специальным функциям. - Самара: 1992. - с. 92-93.
28. Елеев В.А. Краевые задачи для нагруженных уравнений гиперболо- параболического типа второго порядка //Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. - Киев: Ин-т математики HAH Украины, 19ЭЗ. - с. 49-52.
29. Елеев В..А., Кумыкова С.К. О некоторых краевых задачах со смещением для одного уравнения третьего порядка //Нелинейные краевые зада'а математической физики и их приложения. - Киев: 11н-т математики HAH Украины,. 19S3. - с. 52-54.
30. Елеев В.А. О некоторых краевых задачах для смешанных нагру-
;векых уравнений второго и третьего порядка //Дифференциальные урав-аю'я. ->Лшск: Кзд-зо "Наука и техника", т.30, Л2, 1994. -е. 230-233.
31. Елеев З.А. О краевых задачах для смешанного уравнения третьего порядка //Укр. мат. гуряал. - Киев: йн-т математики ■ КАН Укра-25ы, т.47,' , 1995. - с. 20-29.
32. Елеев.В.А. Краевые задачи для нагруженного ишерОоло-пара-¡олического уравнения с характеристической линией изменения типа '/Укр.мат.?.:урнад, т.47, £10, 1995. - с. 1219-1223.
33. Елеев В.А., Агирова Т. Краевые задачи для смешанных гипербо-э-параСолкческкх уравнений с двумерной область» изменения типа. //-зстнпк "КБГУ", серия "Математические науки", 19Э5. - с.135-140.
Елеев В.А. Краевые задачи для уравнений смеианного пшерболо-зрзбэлического типа. Диссертацией является рукопись из 266 стр. ма-¡вогшеного текста. Диссертация на соискание ученой степени доктора юнко- математических наук по специальости 01.01.02,- дифференциаль-\з уравнения и 01.01.03.-математическая физика. Институт математики юиональкой Академии Наук Украины. - Киев: 1995.
- За'лзиается рукопись, которая поезящена исследованию вопроса од-значкой разрэишости видоизмененных задач Кош и нелокальных краев-задач со смещением для выроздаххцзгося гиперболического уравнения орэ- го рода. В работе доказывается однозначная разрешимость нелок-ьных и локальных краевых задач для смешанно-составных уравнений ги-эболо- параболического типа второго и третьего порядка. Для широко-класса гинерболо-парэболических операторов с нехарактзристической шей изменения т;ша, получены априорные оценю!, из которых следует шственность регулярного решения аналога задачи Трикоми и сутество-ше слабого решения сопряженной ей задачи. Построена теория как
классической, так и обобщенной задачи Грикоми для смешанного, смеша! но-составного, смешанно-нагруженного уравнений гипорболо-параболиче< кого типа второго и третьего порядков.
Eleev V.A. Some boundary problems for mixed hyperbolic-parabol: tlpe equation.
The thesis Is : the typescript on 265p. Thesis ior the doct< degree of physic-mathematical science on the speciality 01.01.0i differential equations and 01.01.03 - mathematical physics Mathematical Institute of Ukranian National Academy oi Science; Kiev, 1995.
The dissertation researches questions of unlquelity o] Coshy problems and nonlocal boundary problems for mixed hlperbolic equations oi second degree. The. correct solvability oi loca] and nonlocal boundary problems for hyperbolic - parabolic complex equations of second and thurd degree are Investigated. Foi wide class of hiperbolio ~ parabolic type equations witt noncharacteristic line aprior estimates are obtained. TMe conditions lids to the unlquelity oi Trlcomy - analogy problem anc gives the existence of nonstrong solution. The theory of classic anc nonclassic Trlcomy problem for mixed hlperbolo-parabollc type compls equation are built.
Ключевые слова: дифференциальные, интегральные, нагруженные, смешанно - составные, смешанно - нагруженные уравнения-, локальные нелокальные, обобщенные задачи; априорные оценки.
„„,,, РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ „ггмй ОРЯЕНА Д>ЖБЫ «1
щно - ь ^^^щчмгат
Президиум ВАК России
Г-ч
{решение от ■М-. (! ь;::: судил ученую степень ДО КТО г
Начальник упв&ад&ния ВАК Росси
На правах рукописи
?1ШЙ«4ЕШАННОГО
кг
„,.0,02 -01.01.03 -
сонсюм«« У» фиг 1 еМЛ
НиЛЬЧИК
_ 1995
I Подпись >110вг.
заверяю
цач. отд. кадров
НВГУ ..
I . я
СОДЕРЖАНИЕ
Стр,
ВВЕДЕНИЕ....................................................4
ГЛАВА I
ВИДОИЗМЕНЕННЫЕ ЗАДАЧИ А.В.БЩАДЗЕ И ЗАДАЧИ СО СМЕЩЕНИЕМ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ И СМЕШАННЫХ ТТШЕРБОуТО-ПАРАБОЖТЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯ
§1. Задачи типа задачи Бицадзе для гиперболического уравнения
с вырождением типа и порядка на части границы .......,.........34
§2. Краевые задачи со смещением для гиперболического уравнения с вырождением типа и порядка на части границы .............43
§3. Краевые задачи ю смещением для смешанных: гиперболо-цараболических уравнений ........-............................лг
ГЛАВА II
ЗАДАЧА ТРИКОМИ ДЛЯ СМШАННЫХ ГИПЕРБОЛО-ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИИ
51. Аналог задачи Трикоми для смешанного гиперболе - пара' -лического уравнения с разрывными коэффициентами . -.......... ..-В
52. Задача Трикоми для смешанных гиперболо-параболических уравнений с не характеристической линией изменения типа ........76
ГЛАВА III
ОБОБЩЕННАЯ ЗАДАЧА ТРИК0Ш ДЛЯ СШ1ЩШ ГИПЕРБОЛО-ПАРАБОЛИЧЕСКЙХ УРАВНЕНИИ
§ 1. Обобщенная задача Трикоми для смешанного пшерболо-
параболического уравнения с нехарактеристической линией изменения
типа..........................................................97
§2. Обобщенная задача Трикоми для смешанного гиперболо-пар аболического уравнения с характеристической линией изменения
типа .........................................................110
§3. Обобщенная задача Трикоми для смешанного гиперболо-параболического уравнения, когда отходящая кривая имеет только одну общую точку с характеристикой .............................гг2
§4. Обобщенная задача Трикоми для смешанных гиперболо-параболических уравнений с одновременным вырождением типа и порядка ...........................................................149
глава iv
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НАГРШШШХ, СМЕШАННЫХ И СМЕШАННО-СОСТАВА УРАВНЕНИЙ ГЙПЕРБОЛО-ПАРАБОДИЧЕСКОГО ТИПА
§1, Краевые задачи для смешанного уравнения гиперболо-параболического типа с нехарактеристической линией изменения
типа ........................................................186
52. Краевые задачи для нагруженного гшерболо-п .раболического уравнения второго порядка с характеристической линией изменения
типа .........................................................\ 97
§3. Краевые задачи о смещением для смешанно-составного уравнения третьего порядка .......................................З'Ш
§4. Краевые задачи для смешанного уравнения третьего порядка
параболо-гиперСолического типа ...............................22-8
§5. Краевые задачи для смешанных нагруженных уравнений второго и третьего порядка ........................................242
ЛИТЕРАТУРА...............................................254.
ВВЕДЕНИЕ
Б силу своей исключительной прикладной важности теория уравнений смешанного типа в настоящее время стула одной из центральных проблем современной теории уравнений с частными производными.
В математической литературе имеются многочисленные работы отечественных и зарубежных авторов, в которых для уравнений смешанного типа исследуются основные краевые задачи (задача Трикоми, задача Гел-лерстедта, общая смешанная задача Бицадзе, задача Франкля) и ставится ряд новых задач. Достаточно полная библиография по теорий краевых задач для уравнений смешанного типа содержится в монографиях А.Б.Бицадзе [4И, 4.2}, Л.Берса [4.3], К.Г.Гудерлея [4.4], а также в докторской диссертации A.M.Нахушева [6.1] и в книгах Ш,М.Смирнова [4.5, 4.29].
Среди работ последних лет, опубликованных в центральных изданиях, следует отметить работы А. Б. Бицадзе [5.1,5.?,], В.К.Врагова [5.3], Н.К.Гайдая [5.41, Д.К.Гвазава [6.2], В.П-^идешсо [5.5], М.М.Зайнулабидова [5.6, 5.7], Т.Ш.Калъменова [5.0-5.91, Г.Д.Каратоп-раклиева [5.10, 5.111, М.Мередова [5.12, 5.131, Е. И.Моисеева [5.14-5.17], A.M. Нахушева [5.18-5. 21 ], С. М.Пономарева [5.22-5.25 I, Н.Й.Поливанова Г5.26], М.С.Салахитдинова, А.Хаоанова [5.271, P.ii.Соха дзе [5.2Э].
В этих работах исследовались в основном локальные краевые задачи для уравнений смешанного эллшгтико-гишрболического типа, как о одной, так и с двумя параллельными или перпендикулярными линиями изменения типа в плоек сти и пространстве. Что касается нелокальных краевых задчч для вырождающихся гшерболических уравнений и краевых задач для уравнений мешанного гиперсол -параболического типа, то им посвя-
щено сравнительно мало работ (4,6, 5,29-5.70, 5.131-5.133*1.
Между тем эти уранедая так же как эллептико-гиперболические лежат в основе математических моделей различны! природных явлений. Локальные и нелокальные краевые задачи для таких уравнений встречаются, например, при изучении движения малосжимаемой жидкости в канале, окруженном пористой средой 15.711, в теории распространения электромагнитного поля в неоднородной среде, состоящей из диэлектрика и проводящей среды, и в ряде других областей физики. Так, в канале гидродинамическое давление жидкости удовлетворяет волновому уравнению, а в пористой среде - уравнению фильтра!Ш, которое в данном случае совпадает с уравнением диффузии [4.71. При этом на границе канала выполняются некоторые условия сопряжения. Аналогичная ситуация имеет место для магнитной напряженности электромагнитного поля в указанной выше среде [4.8].
Распространение установившихся волн в стратифицированной жидкости, занимающей неограниченную область, когда частота установившихся колебаний у меньше частоты Вейсяля-Врента, уравнение для амплитуды установившихся колебаний является уравнением гиперболического типа, а если частота установившихся колебаний ы совпадает с частотой Вейсяля-Врента, то происходит параболическое вырождение Г4.301. Многие математические модели тепло- и массобмена в капилярно пористых предах пластовых систем [4.31], формирования температурного поля в системах, составленной из теплоизолированных с боковой поверхности, ограниченного и полуограниченного стержней с различными тешюфизиче скими свойствами сводятся к задачам для смешанных гиперболо-параболических уравнений, вообще говоря, с разрывными коэффициентами [5.72-5.74, 4.32].
За последние года существенно повысился интерес к нагруженным операторам и их приложениям. В работах [5.134-5.1371 дано общее определения нагруженных интегральных, функциональных и дифференциальных уравнений. Исследован ряд важнейших задач .для основных типов нагруженных дифференциальных уравнений в частных производных и даны их приложения к долгосрочна>му прогнозу почвенной влаги и динамики грунтовых вод, установлена существенная взамоевязь между нелокальными задачами и нагруженными уравнениями.
Настоящая диссертация посвящена линейным локальным и нелокальным краевым задачам для вырождающихся гиперболических, нагруженных, смешанных гиперболо-параболических типов уравнений второго и третьего порядков с двумя независи мыми переменными, и в ней получены следующие основные результаты.
1. Полностью исследован вощюс однозначной разрешимости видоиз-менненых задач Ноши и нелокальных краевых задач со смещением для гиперболического уравнения с одновременным вырождением типа и п -рядка яа часта границы.
2. Доказаны теоремы единственности и существования решения краевых задач со смещением для уравнений смешанного гиперболо-параболического типа с разрывными коэффициентами.
3. Для широкого класса гиперболо-параболических операторов с йе-ха, зктеристической линией изменения типа получены априорные Оценки,из к.-торых, в частоности, следует единственность регулярного решения аналога задачи Трикоюи.
4. Достроена теория как классической, так и обобщенной задачи Трикоми для /равнений смешанного гилерболо-параболического типа
5. Исследован до конца ряд локальных и нелокальных краевы >; задач
для нагруженных, смешанных, смешанно - составных уравнений пиперболо-параболического типа второго и третьего порядков.
Перейдем теперь к более детальному изложению содержания диссер таций, состоящей из четырех существенно взаимосвязанных глав.
ГЛАВА I
§1. Рассмотрим уравнение
У2"1!! + У11 + АД1 - 0, (!)
к ?у у
где т - фиксированное натуральное число, а % заданная действительная постоянная.
Уравнение (!) было предложено и исследовано при ((-2т)/2^Ах1 А.Е.Бидадзе [5.1, 5.31], а затем в. совместной работе А.В.Вии да; и А.М.Нахушева в многомерном случае, как модель уравнений сы»манн го типа, порядок которого Вырождается вдоль многообразия изменения типа. Было показано, что задача Коши с данными на линии вырождения у=0, вообще говоря, не является корректной. В связи с этим в t6.11 Онли предложены видоизмененные постановки задачи Коши для уравнение И)
Заметим, что постановка задачи Коши с видоизмененными начальными данными на линии цараболичности, являющейся одновременно характеристикой, впервые была предложена А.В.Бицадзе в работе [5.76]. Затем С.А.Терсенов исследовал видоизмененную задачу Коши в постановке А.В.Бицадзе для одного и систем вырождающиеся гиперболических уравнений второго рода в работах [4.9, 5.76-5.79,].
В этом параграфе ставятся и исследуются некоторые видоизменив щ*е задачи Коши для уравнения (1), когда К меняется вне полусегмента 1 /2-тОл1.
Пусть Й - конечная односвязная область плоскости независших пе-
ременных X. у, ограниченная характеристиками АС и ВС уравнения (1), выходящими из точки С (1/2, у..), у_<0 и отрезком J=AB: 0<х<1, у=0. Имеет место следующая
Теорема 1.1. Существует единственное регулярное в области Q решение и(х,у) уравнения (1), удовлетворяющее условиям: 1) -2ю<Я<1/2-т, t(x)eC3(J), v(x)eC2(J)t то u(x,0)=t(x),
lim (-y)*4u (x,y)-i*Ux,y)] = v(x);
О y
Z) если Л,=1, т(х), i>(xKCa(J). то
Ilm u(x,y)/rZog(-y) Щг~ ] =
3r*-0
lim (-y)io^(-y) Ctutx.yj^d.yil/tlogC-y) ^ 1> = vix);
3) если ^=-2m+(2m+1)(-n-7+1/2), |t|<1/2, n=0,1,2,..., то
u(x,0) = т(х), lim (-y)Xtu{x,y)-w (x,y)l = v(x), или u(x,0) = т(х),
У+-0 У
Um (-уГ(2ш+1 )n~2m[u(xfy)-w„<x,y)l = v(x), когда &=-(2пн-1 )n-2ia и x(x)eC2n+4(J), г>(хкС£(<Г);
4) если Ъ1, x(x)€Q2n+4(J), vU)*Ca(J), то Ufa С-у 'u(x,y )=*т(х)
y-»-0
lim (~y)2"*4[(-y)*"1u(x,y)] Hw£(x,y)i = v(x), когда пн-3/2<Л,<2+2га и
зг*—О У
Ш (-у)х~1и(х,у)=т(х), Zim (-y)r^U-y)*'~tu(x,y)-w^(x,y)3v =
у-*-О
когда а,=1 + (2т+1 )(п+1/2-7) или л,= (2ш+1 )(п+2)-2га, причем
,,(х,у) = р0(-у) 2 Jtf (С)Et(1,-t)] 0 (1-2t)dt,
о
о
1 2ш+1
^(Х.У) - ^ (-У) 2 V11)
П41 1
ш-(х,у) = у р^(пл) ,,,—
к (2т+1 )гк о
П+ 1 Ж. г
(2пн-1о
(2ПН-1 )2(П+1)М о
Эш+1 2ш+1
х 1о& ¿р,- <-у> г иигти е= х - ¿рг с-у) 2
1 з/г_р
о
а\(х,у) - А? (х,у), если Л-1 + (2ш+1 )(п+1/2-7);
и, наконец, (х,у), если Л.= (2пн-1) (п+2)-2т; рГ), р1, эе! аек,
Рк(ц,7) - известные постоянные.
§2. В этом параграфе исследуются краевые задачи со омещеии-м (по терминалогии А.М.Нахушева 15.523) на характеристической части границы, являющиеся непосредственными обобщениями задачи Дарбу для уравнения (1).
Задача 2.1. Найти функцию и(х,у) со следующими свойствами: 1) и(х.у-) € С(П) П О1 (О и *Г); 2) и(х,у)-регулярное в области П решение уравнения (1) удовлетворяющее краевым условиям:
и(х,0) = т.(х), пи,
2/2 -ß
c£(x)d0x 0 UE0O(I)i + ß(x)d^s-p0 u[9t(x)] = ô(X), vxcj, (3) где ß0=(2m+X)/(2m+1 ), xfxJeC1<J)nc5(J),
1/2-ß 1/2-ß ci (x ), ß{X), ö (X ) € C(J) Л C2(J), oi(X)X 0 + ß(x)(1-x) °?Ю,
v и j, -2m<x<1/2-m,
_2_ _2_
e0(x) = f - 2m+1 , e1 (x) = !«-{( (1-х)
D,li„(D;_j ) - оператор дробного интегрирования от О до х, (от х до 1 )
порядка - I при ï<0 и обобщенного в смысле Лиувилля, диффренцирования порядка I при 1>0.
Задача 2.2. Найти функцию и(х,у) со следующими свойствами: 1 ) и(х,у) € С<П> П С1 (Q U J), причем функция
Um (-у)^Iи(х(у) —(х>_ ( х, у ) ] = vix) € С2(J);
2) u(x,yï - регулярное в области Q решение уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям (3) и
М- М-
oî(x)d^xx 1ute0(x)i + ß(x)P^d-x) 'ure^xn = s (x ) VX€J, где t(XKCp+V(J> П C2n+P+5(J),
dU), ß(x). 6(x) e C(J> П C£(J), dixjx^+ßtx) x
X Hi I, A.= (2m+1 )(-n+1/2+7)-2m,
-1/2<7<1/2, n=0,1 »2.....p=1 «1-7, ^ =1 -2(7-n)-2(t-A,)/(2m+1 ),
p целая часть числа p5p, w£(x,y) определяется формулой (2).
Задача 2.3. Найти функцию и(х,у) со следующими свойствами: 1 ) u(xty)€C(H\J);
2) uuty) - регулярное в области О решение уравнения d). удовлетворяющее краевым условиям
1ов (-у) 2
- Уг[90(х)Г) + + Р(Х)Е1:^/г{и[е.1(Х)] - и2[0г(Х)1} = №), чш,
где
1
0
1
р
т(х) € П 0гС0")» с£(Х), (3(х), б(х) € си) П Сг(<Г),
(1-х)1/г<*(х) + х1/гр.(х) * О, Опираясь на известные (см.например [5.81]) свойства операторов , Д^ доказаны единственность и существование решения задач 2.1,
О • у ^ . 3 «
§3. Рассмотрим уравнение смешанного гиперболо-параболичг ского
типа
; - 1ас|Хх * а1ах + х<0*
0=| (4)
ГД" р, ^ - действительные неотрицательные числа в конечной односвяз-Ной смешанной области й плоскости независимых переменных х, у, ограниченной отрезками кВ, ВВ0, АГВГ, прямых у-0, х=1, у=1 соответственно, и лежащих в полуплоскости х>0 и характеристиками АС и А0С уравнения (4), выходящими из точки С(х ,1/2), х <0; Д. и здесь и в дальней-
с с т ■ с
шем обозначают параболическую и гиперболическую части области О;
1..5АВ, I. нАА0(ВБ0) - единичные интервалы на осях у=0 и х=0 (1=1) соответственно.
Относительно коэффициентов уравнения (4) делаются следующие предположения: <*, р заданные действительные постоянные,
а.ЬбС*1,11^), с€С<0,Ьг)(Э1), причем Ь<0, с^О.
В зависимости от значений р, и ¡3 в этом параграфе рассматривается ряд краевых задач со смещением для уравнения (4),
Задача 3.1. Найти регулярное в области 0 решение и(х,у) уравнения (4) со следующими свойствами:
1) и(х,уКС(?1)ПС1(Я);
2) и (0,у)=г'(у) при у-*0 или I может обращаться в бесконечность
У
порядка меньше единицы;
3^ и(х,у) удовлетворяет краевым условиям
и = ф(х), ц а ф (у), V х еТп, у € I,, ав вв0 ' и 1
-йЛг(у)у1/бР^биЕ80(у)] + Ц1гйг)(1-у)1/б0^6 иГв, <у)1 = (9)
= т<у> + 141г(у)П-У)'г/3и(0,1), V у е!1,
где р=1, я=0, с£=р=0, 0)= (4/3)1/3Г2(5/6)/тсГ(2/3), ф0(х)бС' (Тп), Ф1(У)€С(Т1), ф0<1 >=ср1 (0), Яг(у), цМу) - дважды дифференцируемые функции, вторые производные которых удовлетворяют условию Гельдера, причем предполагается, ф0(0}=0,
А.г(у) + цгсу) « 1, (10)
0о(у)1 в (у) - аффиксы точек пересечения характеристик уравнения (4), выходящих из точки (0,у1. с характеристиками АС, А0С.
Задача 3.2. Найти регулярное в области 0 непрерывное в й решение и(х,у) уравнения (4), удовлетворяющее краевым условиям (9) задачи 3.1 и
-Zkz{y) ^uC90(y)] + 2ц2(у) ^иГ91 (у)] = Т(уК UU,,
1 -gm
№(-s> 2 u (Xjу) = Um u (x,y).
Задача 3.3. Найти регулярное б области Q решение шху) уравне шя (4)со свойствами J), 2) задачи 3.1, удовлетворяющее условиям (9) и
му)1^игв0<у)] + jKyjD^me, ty>I = 7<у) *
+ р(^(у)(1-7)1"еШ0И), еш/(2пн-4), ф0(х)€С1(То),
р р. Ф/УКСО^Ь А.(У) - у Ч*(у). = у У (у), р2>1 /2-е, (11)
р s Г(1-е)/1 (т*2)/4]1~геГ(2-2е), p=m. ci=ß-=q=0. о
[(l-y)4(yH^(y)üaa2e*J£ 4 [yVy)sto2eic]2 / 0, VytT1.
Задача 3.4. Найти регулярное в области Q решение уравнения (4) со свойствами 1), 2) задачи 3.1, удовлетворяющее условиям (3) и
з-Р з±Р
МуЩ^ u[0o(y)J + iKyjDyf ut91 (у)] =
_ 3+Р
- 7(у) + р.(у)(1 ~У) 4 11(0,1 >/[I4t-ß)/4J,
Р Р
Х£(У) + тТ^ Л,(у)=у Ч*(у), Ц(У>-У
р^ >1/2, p2>ß/4. (12)
1+ß 1-Е
эе(у> = (1 -у) Л и(0,1 )/1Г(3+р)/41 4- >у 4 /ГГ(3~р)/41?Ю.
р=2, q=0. Ы=0, )ßl<1, (13)
Задача 3.5. Найти регулярное в области Q решение и(х,у) уравне-
где
ния (4) со следующими свойствами:
1) и(х,у)еС(П\Т1);
2) u (0,y)-v(y) может обращаться в бесконечность логарифмического
У
порядка на концах интервала 11;
3) и(х,у) удовлетворяет условию (9) и
lim u(x,y)Iogi-x)(£m+n/2 = г Im u(x,y)
x-*-0 x-m-0
lim (-х)Ю^(-х)(£т+1 U2 au(x,y)-wfx,y)]/Iog(-x)C2m+1 )/г> =Ии u ;
X--0 Ж аc*+0 Я
МУ)В^г1и(в0(у)) -w0(90fy))] + M-(y)»ii£tu(01 (y)) - u>1 (01 (у))]-т(у), где
1 £т-И
ш(х,у) = jT(e)[td-t)ri/2zog[(^-tn-tmt,
0 гпн-1
1
ш_(х,у) = jT(e)it(l-t)]"1/2Zog(1-t)/4(itf о
UJ (Х,у) = Ji(е)It(1 't)Г1 /2Zogt/4dt. о
гт+1
е - у- |^|2t)(-xi 4 . МУК -Г<уко<Т, »#«,).
(1-у)1/гЯ(у) + у1/2ц(у> г о, VyeTr Единственность решения доказывается на основе следующего принципа экстремума:
решение и(х,у) задачи 3.i при ч(у>шО принимает положительный максимум и отрицательный минимум в П. на AB u ВВ ;
пусть 7(у)^о и А,(у(уУусТ.,« тогда положительный максимум и отрицательный минимум решения шх,у) задачи 3.3 б П., достигается лишь на АШВВ0:
Если 7(у)=0, АДу)<0, М-(У)>0, зе((у)>0 или Х(у)?0, ц(у)<0, эе(у)<0, то положительный максимум и отрицательный минимум решения и(х,у) задачи 3.4 в замкнутой области достигается на АВ и ВВ0.
Существование решения задач 3.1, 3.3, 3.4 устанавливается методом интегральных уравнений. Задачи 3.1, 3.3, 3.4 в силу условий (10), (11), (12), (13) прямо редуцируются к сингулярным интегральным уравнениям нормального типа [4.101, которые методом регуляризации Карле-мана-Векуа приводятся к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода.
Задачи 3.2 и 3.5 эквивалентно сведены к интегральным уравнениям Вольтерра второго рода, которые безусловно и однозначно разрешимы.
глава ix
§1. Рассмотрим уравнение
О =
к(х)и + и + а(х,у)и + Ь(х,у)и + с(х,у)и, х<0,
XX А /
ихг + ^»ЯЦ^ + + 7(х,у)и, х>0
(14)
в конечной односвязной области Л плоскости х, у. ограниченной отрезками АВ, ВВ0, ¿оВ0 прямых у=0, х=1, у=1, соответственно, и действительными характеристиками
АС: у+
дЧсГШг * О, А,.С:у-
о о
уравнения (14), выходящими из точек А(0,0), А,. (0,1).
Относительно коэффициентов уравнения (14) делаются следующие предполоюеиия: к(х) - непрерывно дифференцируемая и монотонно возрастающая в ßg функция, причем К(О) = О, К(х)<0 при х<0; функции а, Ь и с принадлежат пространству С1 (ЙА1,), а
о( - а ilffl иссЯ.чГ)
и выполняются следующие неравенства
Ь + а я + в (га < о» С<0,
2 + >> -2C « 0. V(x,y)cn vT,,
oi, ß, 7 € С(П7), ß<0, 7^0, д/ду.
Задача А. Найти регулярное в области Q решение и(х,у) уравнения (14), удовлетворяющее краевым условиям (Э) и и =ф(хКС4(-1/?<х$0).
АС
Имеет место следующая
Лемма 1.1. Пусть: I) и(х,у) - регулярное решение задачи А, когда ф(х)=0; 2) производная от функции и(х,у) по направению характеристик семейства J^R ox-dy--o существует и непрерывна в П2\Т .
Тогда положительный максимум (отрицательный минимум) функции и(х,у) в Ü, достигается в некоторой точке (0,|) € I, и в этой точке и >0, (и <0).
Справедливость этой леммы устанавливается с помощью модификации
