Локальные и нелокальные краевые задачи с непрерывными и разрывными условиями сопряжения для смешанных уравнений второго и третьего порядков тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Белхароева Заира Макшариповна

Локальные и нелокальные краевые задачи с непрерывными и разрывными условиями сопряжения для смешанных уравнений второго и третьего порядков

01.01.02 - «Дифференциальные уравнения»

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Махачкала-2004

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа Кабардино-Балкарского государственного университета им Х.М. Бербекова

Научный руководитель -

Официальные оппоненты:

Ведущая ор1анизацня -

доктор физико-математических наук, профессор Елеев Валерий Абдурахманович

доктор физико-математических наук, профессор Алероев Темирхан Султанович

доктор физико-математических наук, профессор Магомедов Гаджи Магомедович

Самарский государственный технический университет

Защита состоится «уМ» 2004 года в часов на

заседании специализированного й^вета К 2^12.053.11 в Дагестанском государственном университете (367025, г. Махачкала, ул. Гаджиева, 43А, математический факультет, аудитория 3-70).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Дагестанского государственного университета, по адресу: г. Махачкала, ул. Батырая, 2.

Автореферат разослан « п /¿-¿^„^/иУ 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета к.ф.-м.н., доцент

Абдура1имов Э.И

gjwe^Ji

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. При математическом моделировании нефтяных пластов, фильтрации грунтовых вод, переноса тепла и массы в объекте, имеющего сложное строение, злекфическнх колебаний в проводах, движения жидкости в канале окруженной пористой средой, распространения электромагнитных полей и установившихся волн в стратифицированной жидкости, занимающей неограниченную область, приводят к необходимости исследования как локальных, так и нелокальных краевых задач для смешанных уравнений гиперболо-параболическо! о типа второго и третьего порядков.

Достаточно полная библиография по теории краевых задач для смешанных гиперболо-параболических уравнений содержится в монографиях Т.Д. Джураева, А. Сопуева и М. Мамажанова, М.С. Салахитдинова, A.M. На-хушева, в докторских диссертациях Д. Базарова, В.А. Елеева, O.A. Репина, К.Б. Сабитова. Следует также отметить работы ряда авторов: М.А. Абдарах-манова, С. Абдиназарова, Х.Г. Бжихатлова, В.Н. Врагова, И.М. Гельфанда, Н.Ю. Капустина, В.М. Корзюка, В.Н. Лесева, A.B. Лыкова, Н.К. Мамадалие-ва, Г.М. Стручиной. в которых были поставлены и исследованы как локальные и нелокальные краевые задачи для таких уравнений. Одним из важных классов нелокальных уравнений с частными производными являются нагруженные дифференциальные и интегро-дифференциальные уравнения. Этому классу нафуженных уравнений посвящены работы А.Х. Аттаева, Б. Байме-нова, А.Н. Белокурова, О.Л. Бозиева, A.B. Бородина, С.Х. Геккиева, М.Т. Дженалиева, В.А. Елеева, Н И. Ионкина, В.М. Казиева, A.A. Керефова, A.M. Нахушева, З.А. Нахушевой, М.И. Рамазанова, С.М. Торга, E.H. Огородников. Особо отметим обзорные работы A.M. Нахушева, где на многочисленных примерах показана практическая и теоретическая важность исследований по нафуженным уравнениям.

Потребность в изучении нагруженных уравнений возникает в различных ситуациях, например: при численном решении интегро-дифференци-альных уравнений, при исследовании обратных задач, при эквивалентном преобразовании обратных задач, при моделировании процессов переноса частиц, при моделировании процессов фильтрации и т.д.

В имеющихся на сегодняшний день работах главным образом изучались нелокальные краевые задачи для эллиптико-i иперболических и гиперболо-параболических уравнений второго порядка. Что касается нелокальных краевых задач для уравнений смешанного и смешанного нагруженного гиперболо-параболического типа более высокого порядка, то они остаются малоисследованными.

Все это подчеркивает как теоретическую, гак и практическую значимость постановки и исследования локальных и нелокальных краевых задач в теории дифференциальных уравнений с частными производными. Актуальность этих исследований обусловлена также необходимостью обобщения

классических задач для уравнений с частными производными В связи с этим, гема является актуальной и необходимо дальнейшее исследование как локальных, так и нелокальных краевых задач для таких уравнений.

Цель работы. Основной целью данной работы является постановка и исследование однозначной разрешимости локальных и нелокальных краевых задач для смешанных и смешанных нагруженных гиперболо-параболических уравнений второго и третьего порядков.

Методы исследования. Результаты получены с использованием принципа экстремума, метода интегралов энергии, метода эквивалентной редукции к интегральным уравнениям Волыерра второго рода или интегральным уравнениям Фредгольма второго и третьего родов, элементов дробного исчисления и теории специальных функций, функциональных уравнений.

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты:

1 Доказана теорема существования и единственности решения аналога задачи Франкля для смешанного уравнения гиперболо-параболического типа второго порядка.

2 Решена нелокальная краевая задача для смешанного гиперболо-параболического уравнения с оператором дробного интегро-дифферен-цирования в краевом условии.

3 Решены нелокальные краевые задачи со смещением для смешанных уравнений гиперболо-параболического типа второго порядка.

4 Доказана теорема существования и единственности решения аналога задачи Дирихле для смешанного гиперболо-параболического уравнения фетьего порядка.

5 Доказана теорема существования и единственности решения краевой задачи для смешанного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками.

6 Для смешанных нагруженных уравнений третьего порядка с кратными характеристиками, доказаны существование и единственность решения нелокальных краевых задач.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ёе результаты могут сыграть определенную роль в построении теории краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных и уравнений смешанного типа.

Значение работы также определяется прикладной значимостью рассматриваемых краевых задач, для решения различных проблем современного естест вознания

Апробация работы. Результаты работы, по мере их получения, докладывались на семинарах МФ и НИИ ПМА КБНЦ РАН (Нальчик), на Международном Российско-Узбекском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» (Нальчик, 2003). на Международном Российско-Казахском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и

родственные проблемы анализа и информатики» (Нальчик, 2004), на Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2004).

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [1]-[7]. Из них [I] в соавторстве с научным руководителем В А. Елеевым, [4] с A.B. Дзарахохо-вым, [5] с А.Х. Кадзоковым.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 84 страницах и состой) из введения, двух глав разбитых на 7 параграфов и списка литературы, который содержит 49 наименований.

Введение содержит обоснование актуальности темы диссертации, приведен обзор результатов исследований по ее тематике, постановку исследуемых задач и основные результаты.

Первая глава посвящена постановке и исследованию нелокальных краевых задач типа задачи Франкля, Бицадзе-Самарского и краевых задач со смещением (по терминологии А.М Нахушева) для уравнений смешанного гиперболо-параболического типа второго порядка и состоит из четырех параграфов.

В § 1.1 исследуется аналог задачи Франкля для смешанного гиперболо-параболического уравнения

в конечной односвязной области О, ограниченной отрезками А'А, АВ, ВВ', А'В' прямых х = 0, 1 - у = 0, х = 1, х - у -1, где А', А, В, В' - точки с координатами (0,-1), (0,1), (1,1), (1,0) соответственно. Через О и С обозначим точки с координатами (0,0) и (I /2,-1/2).

Задача 1.1. Найти функцию и(х,у), >довлетворяющую условиям:

1 )и(х,у) е 2)и(х,у) является решением уравнения (1) в облас-

ти Г2 за исключением отрезков ОВ' и ОС прямых у = 0 и у = -х;3) частные производные их, и, непрерывны в о кроме быть может, характеристики ОС ■ х + у = 0 уравнения (1), а от иг, м, требуется непрерывность слева и справа от ОС и допускается, что в точке 0(0,0) могут обращаться в оо порядка

меньше единицы; 4) частная производная мГ1 непрерывна при у0+ за исключением точек (0,0), (1,0); 5) и(х,у) удовлетворяет краевым условиям:

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

(1)

Ох ох

= <р2(у)

"ЯД' = "й'Г=Г2(л)

где ,(//, ,(//2 -заданные функции, причем ц>1 е С^(0 < у ^ /) (рг е С< V <г 1) <р2 - может обращаться в оэ порядка меньше единицы при у —> 0, ^(у)еС(1о)(0<><1)

^(>)еС("',(//2< х<1)глС^2П\1/2 <х<1) у/2(1)=^(о) (»,(у)-четная, р,(у)-нечетная функции.

Единственность решения задачи 1.1 доказываем с помощью принципа экстремума, а существование решения задачи исследован методом эквивалентной редукции к интегральному уравнению Вольтерра второго рода со слабой особенностью, которое безусловно и однозначно разрешимо.

В § 1.2 исследуется нелокальная краевая задача типа задачи Бицадзе-Самарского для смешанного гиперболо-параболического уравнения

(и„ +а(х,))и1 +/?(х,у)«, +у(х,у)и, у> О О = (2)

|(-у)гами-"„ + а{х,у)их +Ь(х,у)и] +с(х,у)и, у < 0, т > О

в односвязной смешанной области , ограниченной отрезками АЛ,,, АиВ(пВцЯ прямых х = 0,у = у0,х = / соответственно, лежащих в полуплоскости у > 0, и характеристиками

_ ш+2 т+2

АС-.х--ВС:х-\---—=1

т+2 т+2

уравнения (2), выходящими из точки С(И2,ус), ус< О, П| =ОП {' > 0\ = {)' <о}- параболическая, гиперболическая части области О..

Предполагается, что

а,ЬеС\П2), сбС'(П2), а.р е С(И,)(П\), у е С"""^!), причем р < 0, у < 0.

Задача 1.2. Найти регулярное в П, у ф 0 решение »(.*, у) уравнения (2) с непрерывной вплоть до линии х = /, 0 < у < >0 производной первого порядка по переменной х, удовлетворяющее краевым условиям "Ф,У) = <Р] (у),0< у <у0,

и[0(х)]= й(х)и(д:,0) +6(а), V* е У,

где \0- фиксированная точка интервала J : 0 < х < I, а, (у), = 1,2,<р{ (>),<?(>) заданные функции, непрерывные в замыкании области их определения, Vj>e[o, а(х), Ъ(х) - также известные

_ _ _ _ __

функции, причем а{х) е C(J)f]Cl(J), b(x) е C(J), а{х) < О, а(л:)<0

V.reJ; выполняется условие согласования ip{ (0)(1 - а(0)) = Ь(0); в(х) -аффикс точки пересечения характеристики уравнения (2), выходящей из точки х е J с характеристикой АС .

В начале устанавливается однозначная разрешимость нелокальной краевой задачи для обыкновенного интегро-дифференциального уравнения второю порядка относительно следа а(х,0) = z{x) искомого решения на линии у=0 Затем, используя свойства функции Грина первой краевой задачи для уравнения теплопроводности, задача 1.2 в параболической части области эквивалентно редуцирована к интегральному уравнению Вольтерра второго рода, которое однозначно разрешимо. В гиперболической части области решение задачи выписывается в замкнутом виде.

В § 1.3 рассматривается нелокальная краевая задача с оператором дробного интегро-дифференцирования в краевом условии для уравнения

iii,r -и, + //(*, у)и, у> О

0= ,„ (3> [(-у) и„ -и}1, т = const > 0, у < О,

в области Q , определенной в §1.2.

Обозначим через .1- интервал (Кх<1 прямой у=0;

г ,-а {га+2)

в(\)= x/2-i т 'у^ , V хе J- аффикс точки пересечения харак-

теристики уравнения (3), выходящей из точки х е J с характеристикой АС;

1 f f4h

j/i+i

o,

1де р- любое действительное число, а л - целая часть р>п- оператор дробного интегрирования порядка - р при р < 0 и обобщенная (в смысле Лиувилля) производная порядка р при р > 0

Под регулярным в области П решением уравнения (3) будем понимать функцию и(х,у) е с(о)п С1 (О)п С2 (П, иП2 ). удовлетворяющую уравне-

нию (3) и такую, что функция и) (v.O) на концах интервала J может обращаться в со порядка меньше единицы.

Задача 1.3. Найти регулярное в области П решение и(х,у) уравнения (3), удовлетворяющее условиям

n(0,y)=-?»/(y)V> е [0,>Л u((,y)=<p2(y)Vу е [o,^0J D'„x x2f~'u[e(x)]= a(x)t(x,0)+b(x) Ух e J, где cpt (у)- непрерывные функции при ye[0j(i], а(х)-неположительная, не возрастающая функция из класса С(0 h> (J ),h> 1 - 2s,е = m/( 2m + 4); b(x)ecQ).

С помощью принципа экстремума для операторов дробного интегро-дифференцирования доказывается единственность решения задачи 1.3. Опираясь на свойства функции Мипаг-Леффлёра, однозначно определяется решение двухточечной задачи Дирихле для интегро-дифференциального уравнения с оператором дробного дифференцирования относительно ii(x,0) = r(x). Используя свойства функции Грина первой краевой задачи для уравнения теплопроводности, задача 1.3 в параболической части области редуцирована к обобщенному интефальному уравнению Вольтерра второю рода, которое однозначно разрешимо.

В § 1.4 рассмотрены нелокальные краевые задачи со смещением (по терминологии A.M. Нахушева) для смешанных уравнений гиперболо-параболического типа второго порядка с гиперболическим оператором второго рода.

Пусть О - конечная односвязная смешанная область плоскости независимых переменных х и у, ограниченная отрезками AAq,AqB0,BqB прямых л = 0, у = h, \ = 1 соответственно, и характеристиками

АС х - 2(-у)<2"'+" 2 /(2т +1) = О, ВС : х + 2(-у)(2т+1>'2 /(2т +1) = 1 уравнения

Гк,г - к, + -V', V > О

2 ' (4>

у "'«,, + уии +л2иу, у< О,

при у < О

Q, - параболическая, a Q2 -гиперболическая части смешанной области П ;J- интервал 0<х<1; 0о(х)= т/2 - г[(2да + ])х/4р <2,"'ti)>

6'|(х)=(1 + \)/2-г'[(27« + 1)(1-х)/4р <2'"+|) -аффиксы точек пересечения характеристик уравнения (4), выходящих из точки (х,0) с характеристиками АС

и ГЗС соответственно; Ц^ , О^ - операторы дробного интегрирования порядка - р при р < 0 и обобщенные в смысле Лиувилля производные порядка р при р > 0.

Уравнение (4) при у < 0 заменой .у = 1 /(2т +1)2 (-у)2ш+1 сводится к уравнению

™я-»и+Л= (5)

где р = (2т + Я2)/(2т + 1).

Если через ир обозначим решение уравнения (5) для ¡3 Ф1, то имеет место соотношение

ир (6)

Из формулы (6) следует, что если известно общее представление реше-

* ний уравнения (5) для р < 1, то по формуле (6) получаем общее представле-I. ние решений и для р > 1. Ставятся и исследуются на корректность нелокальные краевые задачи для различных случаев /?, а значит для соответствую-

• „ , щих значении я2.

Пусть имеет место случай /? = 1 / 2, т.е. Хг - (1 - 2т) /2.

Задача 1.4.1. Найти регулярное в области О, V ^ 0 решение и(х,у)

уравнения (4), непрерывное в О и удовлетворяющее условиям

"IМ, = 90 ^ "I вв„ = ^ ^ ° - У - (7)

я(х>[0о(*)]+ (*)]= Ух 6 7, (8)

где <р0.</9, е с[о,/г]а(л:)/3(д:)/(*)е причем функция

Ьш (-у)0-2"0 2и] (х,у) = у(х)е С10) при х=0,1 может обращаться в оо ин-* тегрируемого порядка.

• Пусть имеет место один из трех случаев: 1) Р(х) = 0,а(х) ф 0;

2)а(х) = ~Р(х); 3)а{х) ф Р(х),а{х)Р(х) ф 0, тогда задача 1.4.1 разрешима однозначно и безусловно. Методом эквивалентной редукции к интегральному уравнению Вольтерра второго рода, устанавливается однозначная разрешимость нелокальной задачи для интегро-дифференциального уравнения относительно т(х), для каждого случая 1)-3). Решение задачи 1 4.1 в области О, выписывается в виде ряда. В области П2 оно продолжается с помощью решения «видоизмененной» задачи Коши.

Задача 1.4.2. Найти регулярное в области П, уф 0 решение и(х,у) уравнения (4), непрерывное в П и удовлетворяющее условиям (7) задачи 1.4.1 с гой лишь разницей, что граничное условие (8) заменено условием

и[во(л )]+ ß(x(х)]= у(х) Vx е J,

ах ах

где а(х)ф ß(x) «(х)+ ß(x)= 0{ß(x)~ «(л))

В зависимости or корней характеристического уравнения к2 + вк + Х, = 0, соответствующею однородному уравнению z'(x)+0z'(x)+A;z(x)=O, методом суперпозиции доказывается однозначная разрешимость двухточечной задачи Дирихле для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами относительно г(х)

Задача 1.4.3. Найти функцию и(х,у) со следующими свойствами:

1)и(х, 1) е С(р) причем функция lim (-у)*2 ul{x,y) = v(x)e С2 (J) при х=0

v-vO-

и х= 1 может обращаться в оо порядка меньше / - 2е = 2( 1 - Х2 ) /'( 2т + /);

2)и(х, у) - регулярное в области Q, г * 0 решение уравнения (4), удовле-1воряющее условиям (7), (8). причем /?(ч)/(т)е CJ(/)

«(v)= xpa(x)a(r)eC3(j) -(/--.х/ -p(x}:os7r/!\ +ß2(x)si^пефО,

р = const > 2$, ь = (2т + Л,)/[2(2т +1)]

В этом случае относительно v(x) получается обобщенное интегральное уравнение Абеля с внешними коэффициентами, которое затем приводится к интегральному уравнению Фредгольма третьего рода, где наряду с неподвижными особенностями присутствует подвижная (диагональная) особенность.

Задача 1.4.4. Найти функцию и(х,у) со следующими свойствами:

1)и(х,у) е С(р) причем функция lim (-y)Ä'u>(x,y) = v{xs)eC2(j) при

1

х-0,1 можег обращаться в бесконечность порядка меньше 2) и(х, у )- регулярное в обласш П , у*- 0 решение уравнения (4), удовлетворяющее условиям

а(хр!,:£и[в0(х)]+ ß(xp'r7ukJj(x)]= у(х)

где a(x)=xka'(x),k>£,a'(x)eClQ)r^C2(j), ß(x)e C'Q)r\C2(j),

у(х)е c(f)n C2(J) (I - xf£ß(x)+ хк~еа'(х)= s(x) * 0. Методом эквивалентной редукции к интегральному уравнению Воль-терра второго рода доказана однозначная разрешимость задачи 1.4.4.

Вторая глава посвящена исследованию корректной постановки локальных и нелокальных краевых задач для смешанных уравнений третьего порядка.

В § 2.1 этой главы рассмотрен аналог задачи Дирихле для смешанного гиперболо-параболического уравнения третьего порядка

ихх - и + у > О,

в области Г2 , ограниченной отрезками АА0,ВВ0,АЦВ0 прямых х = 0, х = 1, у - /г. соответственно, и характеристиками АС: х + у = О, ВС:х-у- 1 уравнения (9). Пусть Г2,=ап(^>0), П2 =Пп(у<0)/=(0,1).

Задача 2.1. Требуется найти функцию и(х,у) со следующими свойствами- 1) и(х,у)— регулярное решение уравнения (9) в области П при у * 0; 2) и(х,у) непрерывна в замкнутой области О; 3) частные производные непрерывны в области П, которые в точках ,4(0,0) и 5(1,0) могут обращаться в бесконечность порядка меньше единицы; 4) и(х,у) удовлетворяет краевым условиям:

и(0,у) = (р1(\), и(I,у) — (р2(у), к(л-,-л) = ^,(л), и(х,х-1) = ^2(х), 1де <р,,<р2'//,у/2 - достаточно гладкие функции, причем выполняются условия согласования ср1 (0) = ^(0), <р2(0) = =

При различных значениях коэффициентов уравнения (9) до-

казывается единственность и существование решения задачи 2 1. Единственность решения доказывается методом интег ралов энергии, а существование методом эквивалентной редукции к функциональному или интегральному уравнению Фредгольма вюрого рода, безусловная разрешимость которых вытекает из единственности решения задачи 2.1.

В § 2.2 в области О. (см. гл.11§ 2.1) рассматривается уравнение третьего порядка с кратными характеристиками

Задача 2.2. Найти функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям: 1) «(х. г)еС(0)ПС'(^иМ)ПСЛ (о^ПС^О.,), 2) и(х,у) является решением уравнения (10) при >^0; 3) и(х,\) удовлетворяет граничным условиям

-и, +Л,и,

3 >0,

(10)

н(0, у) = <р, (у), и, (0. у) = <р2 О), и( 1, у) = <ръ (у), 0 < у < /г,

и(х-х) = у/\ (х), 0 < х < —, м(л, X - 1) = (л)> — ^ X < 1,

где <р{(у), ср2 vi (у) > Vi (х)> у г (х)> -достаточно гладкие функции, причем выполняются условия согласования р, (0) = \)/х (0), (ръ (0) = у/2 (1).

Единственность решения задачи 2.2. доказывается методом интегралов энергии При доказательстве существования решения в начале строится функция Грина двухточечной задачи для обыкновенного дифференциального уравнения третьего порядка относительно г(х).Затем, в силу свойств функции Грина краевой задачи (11) и и(х,0) = г(*) для уравнения - иу = 0,

она эквивалентно редуцируется к задаче Коти для линейного функционального уравнения, которое однозначно разрешима.

В § 2.3 исследуются нелокальные краевые задачи для нагруженного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками

("г/,,, -г;, ~Л^(х,у) у> 0, 0 < л0 </,

ОН - ч (12)

г/1Г-г/„ + Л2и{х,0), у < О в области Q, ограниченной отрезками АА0>ВВ0,А<)В0, прямых x = 0,x = l,y = h при >'>0 и характеристиками АС:х + у = 0, ВС: х- у = / уравнения (12) при у < 0.

Пусть Qj = Q с, (v > О) О 2 =Пп (у < о),1 - интервал 0<Хо< / прямойу=0. Здесь положено, что: 1) (je, у)= (xlhy) 0 <хп < I, Я/ - Л/ (у)еС|0,й] Л2=0

илн2)(х,у)=(х,0) Я, =Л| = сопм, Л2 = Л2 = const. Пусть имеет место случай 1). Задача 2.3.1. Найти функцию

и(х, v)e с{р)пс!(п)п с{3р(п,)п cf;2\n2 ) удовлетворяющее уравне-нию(12)в П, vjil2 и краевым условиям

i/(0,v)=^0(v)Mx(0,y)=^,(v) Mt(/,y)+a(y)t(x0,y)=tp1(y) (13) и(х,-х)= 1//(х) 0<х<1/2, где Л, (у)<р„ (у \ф\ (у}<Рг (j )i//(x)ß(y)- достаточно гладкие заданные функции. причем О,

I - [l, (0){(2 shl - а(0)ехр х„ + ехр{- х„ *

* (с/г/ -1 + a(o)(l +с/гг(| ))(l + с/гх0 -shxü -^о)}]^0-В начале доказывается однозначная разрешимость нелокальной краевой задачи для нагруженною обыкновенного дифференциального уравнения третье! о порядка относительно функции г(л). После определения г (я) в области Г2[ приходим к задаче (12), (13) и и{.г,0) = г(х) однозначная разрешимость которой доказывается методом эквивалентной редукции к интеграль-

ному уравнению Вольтерра второго рода относительно нагруженной части и уравнения и{\(),у \ которое однозначно и безусловно рафешимо. Рассмотрим теперь случай 2)

Задача 2.3.2. Найти функцию

и (к, v)e Сф)п С1 (Q)n C.f ^(Q, )n cf ,2)(Q2) удовлетворяющую уравнению (12) в Í3¡^JÍ12 и краевым условиям

и(0, v) = <Po(y)u(l,y)= ) к, (0,>)-ид (/,у)= <р2(у) и(х,-х)=у(х)0<х<//2,

где <р,(у)е C[0,/i]nC2]),/¡[,¿ = 0,2 С1 [0Д/2]пС3]0,/[

В зависимости от расположения корней характеристического уравнения к3 - к-А[ - 0, соответствующего однородному уравнению г"'(х)-г'(х}~ Á¡r(x)= 0 , доказывается единственность решения задачи 2.3.2 методом интегралов энергии, а существование методом эквивалентной редукции сводится к интегральному уравнению Фредгольма второго рода, безусловная разрешимость которого вытекает из единственности решения задачи 2.3.2.

Выражаю глубокую признательность и благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Елееву Валерию Абдурахмановичу за постановку задач, постоянное внимание к работе и поддержку

Публикации по теме диссертации

1 Елеев В А . Белхароева 3 М. Краевая задача для смешанного гиперболо-параболического уравнения третьего порядка // Владикавказский мат ем. журнал. 2002. - Т.4. - №2. - С. 17-23.

2 Белхароева 3. М. Одна краевая задача для смешанною гиперболо-параболического уравнения третьего порядка // Вест Каб.-Балк. гос. ун-та Серия матем. науки. - Нальчик, 2003 -С. 10-14.

3 Белхароева 3 М Об одной краевой задаче для смешанного гиперболо-параболического уравнения третьего порядка // Материалы междунар Российско-Узбекского симпозиума и школы молодых ученых. Нальчик, 2003 - СМ 1-12

4 Белхароева 3. М., Дзарахохов А В. Краевая задача для смешанного гиперболо-параболического уравнения третьего порядка с кратными характеристиками // Математическое моделирование и краевые задачи: Тр. Всероссийской научной конф. Самара' СамГТУ, 2004. - Ч.З - С.26-33.

5 Белхароева З.М . Кадзоков А.Х. Нелокальные краевые задачи для нагруженного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками // Сборник научных трудов Ингушского государственного университета Ма-гас. 2004 - Вып. 2.

6 Белхароева З.М. Аналог задачи Франкля для смешанного уравнения гиперболо-параболического типа второго порядка // Вестник научных трудов Ингушского государственного университета. - Магас, 2004. - Т. 3.

7. Белхароева 3 М Нелокальная краевая задача типа задачи Бицадзе-Самарского для смешанного уравнения гиперболо-параболического типа второго порядка // Вест. Каб.-Балк. гос. ун-та. Серия матем. науки. - Нальчик, 2004.-Вып. 4.-С. 16-21.

В печать. 18.11.2004. Тираж 100 экз. Заказ № 4279 Типография КБГУ 360004. г. Нальчик, ул Чернышевского, 173.

У* 6 0 0 4

РНБ Русский фонд

2006-4 4105