О регулярной разрешимости некоторых краевых задач для уравнений смешанного типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова

Факультет вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи УДК 517.956.6

ПОЛОСИН Алексей Андреевич

О РЕГУЛЯРНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ СМЕШАННОГО ТИПА

01.01.02. - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1996 г.

Работа выполнена на факультете вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор Е.И.Моисеев Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор Е.А.Бадерко доктор физико-математических наук, профессор А.А.Дезин Ведущая организация Московский институт радиотехники, электроники и

автоматики

Защита диссертации состоится " ¡3 " 1996 г.

в часов -ЗС7 минут на заседании Диссертационного совета К.053.05.87. в Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899, г.Москва, Воробьевы горы, МГУ, 2-й учебный корпус, факультет вычислительной математики и кибернетики, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМК МГУ.

Автореферат разослан " & " 1996 г.

Ученый секретарь Диссе^^ц^нного совета, доцент — В.М.Говоров

- 1 -

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Разрешимость краевых задач с давних пор служит предметом внимания многих математиков и имеет большое теоретическое и практическое значение. Теория краевых задач для уравнений смешанного типа - относительно новое направление, возникшее в 20-е годы нашего столетия в связи с рассмотрением задач трансзвуковой газодинамики и бурно развивающееся в последние десятилетия. Начало этой теории было положено Ф.Трикоми в 1923 г., который поставил краевую задачу для уравнения:

У и хх + и уу = 0

в области, ограниченной при у > 0 простой дугой Жордана Г с концами в точках А (0,0) и В (1,0), а при у<0-характеристиками уравнения (2), выходящими из точек А и В и пересекающимися в некоторой точке С, при этом граничные значения заданы на Г и на характеристике АС. Трикоми доказал существование и единственность решения этой задачи, причем полученное им решение было непрерывным во всей области, включая границу, а для первых частных производных этого решения допускалась

особенность порядка не выше 2/3 при стремлении к точкам А и В; внутри области производные оставались непрерывными. Впоследствии такие решения получили название регулярных.

В дальнейшем, в теории краевых задач для уравнений смешанного типа были получены многие важные результаты, в частности, теоремы о существовании решения широкого класса задач, теоремы о единственности решения, принцип экстремума (работы Г.Геллерстедта, А.В.Бицадзе, Ф.И.Франкля, М.Проттера и др.).

Последующее развитие теории происходило по многим направлениям: обобщенная разрешимость краевых задач, уравнения со спектральным параметром, уравнения с младшими членами, уравнения смешанного типа второго рода, неклассические задачи и т.д. Применительно к теме настоящей диссертации, выделим из них следующие.

Во-первых, это представление решения краевой задачи в виде разложения по некоторой системе функций. Этот вопрос тесно связан с возможностью применения метода разделения переменных, что резко сужает класс уравнений и областей, для которых возможно получить такое представление. Несмотря на это, в работах Е.И.Моисеева и других авторов было получено разложение решения в биортогональный ряд для модельного уравнения (эцп у) и хх + и уу = 0 в некоторых областях.

- 3 -

Во-вторых, решение т.н. неклассических задач, например, задач для уравнений составного типа, для уравнений порядка выше второго, для областей с многосвязной границей. Особый интерес представляют задачи с несколькими линиями изменения типа уравнения, или линиями вырождения. В таких задачах, помимо обычных условий, возникающих в теории уравнений смешанного типа, часто появляются дополнительные соотношения между значениями решения и, соответственно, дополнительные трудности при его построении.

В-третьих, разрешимость краевых задач в неклассических областях со сложной границей. При изучении краевых задач для уравнений смешанного типа граничные данные в области, где уравнение имеет гиперболический тип, как правило, задаются на характеристиках. Это позволяет, в случае модельных уравнений, выражать зависимость между граничными данными и решением в явном виде. Если же поставить задачу, в которой данные задаются на нехарактеристических линиях (т.н. задача с отходом от характеристики, впервые рассмотренная Франклем), то это значительно усложняет доказательство как существования, так и единственности решения.

Цель работы

Доказательство существования и единственности регулярного решения некоторых краевых задач для уравнений смешанного типа, а именно, обобщенной задачи Геллестедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе, задачи с двумя параллельными линиями вырождения для обобщенного уравнения Лаврентьева-Бицадзе и задачи типа Франкля для уравнения Трикоми.

Научная новизна

В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Доказана однозначная регулярная разрешимость некоторых новых краевых задач.

2. Предложен метод решения сингулярных интегральных уравнений, возникающих при рассмотрении граничных данных на нехарактеристической линии в области, где уравнение имеет гиперболический тип.

Общая методика исследования

Основным инструментом исследования служит сведение задачи к системе сингулярных интегральных уравнений и доказательство ее однозначной разрешимости в соответствующем классе функций.

Практическая ценность

Предложенные в работе методы могут быть применены при решении других краевых задач для уравнений смешанного типа.

Апробация работы, публикации

Результаты работы докладывались на семинаре кафедры общей математики под руководством академика В.А.Ильина, профессоров А.А.Дезина и Е.И.Моисеева, на механико-математическом факультете МГУ на семинаре под руководством профессора Е.А.Бадерко. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [I], [2].

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения и трех глав. Объем работы - 91 машинописная страница, список литературы состоит из 31 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится краткий обзор работ по рассматриваемой тематике и перечисляются основные результаты.

В главе 1 рассматривается обобщенная задача Геллерстедта на плоскости для модельного уравнения

- б -

Лаврентьева-Бицадзе. В работе Е.И.Моисеева была поставлена и решена задача Геллерстедта для этого уравнения, а также сопряженная к ней; настоящая задача является обобщением той, которая была рассмотрена Е.И.Моисеевым.

Рассмотрим уравнение Лаврентьева-Бицадзе

^п у) и хх + иуу = 0 (1)

и область О, ограниченную при у > 0 дугой Г окружности х2+ у2= 1, а при у < 0 отрезками характеристик, выходящих из точек А (-1; 0), М (-1/2:0), О (0; 0), N(1/2:0) и В (I; 0), которые вместе с отрезком АВ отсекают в нижней полуплоскости четыре равнобедренных треугольника с основаниями АМ, МО, ОЫ и ЫВ. Требуется найти функцию и = и (х, у), удовлетворяющую в О следующим условиям:

1. и (х , у) - решение уравнения (1) при (х, у) е 0\АВ.

2. и е С2(П\АВ) П С1 (Э) П С (б).

3. и | ъ = 0,1 = 1, 2, 3, 4, где

1

Ь1 : х + у = -1, -1 < х < -3/4, Ь2 :х-у = 0,-1/4 <х<0, Ь3:х + у = 0, 0<х< 1/4, Ь4:х-у = 1, 3/4 < х < 1.

4. и 11 = Г (0), 0 < 0 < я, Г е Са[0, тс], ( (0) = Г (те) = 0.

- 7 -

Основная теорема. Решение задачи существует, единственно и может быть разложено в ряд по некоторой системе функций, причем коэффициенты ряда могут быть найдены в явном виде.

В главе 2 рассматривается задача для модельного уравнения смешанного типа с двумя параллельными линиями вырождения. Задачи для уравнения с несколькими линиями вырождения изучались в ряде работ; А.Б.Базарбековым была доказана однозначная разрешимость задачи для этого уравнения с двумя параллельными линиями вырождения с ограничением на расстояние между ними. В данной главе этот результат обобщен на случай произвольного расстояния между линиями вырождения.

Рассмотрим аналог уравнения Лаврентьева-Бицадзе ии+ ^п^-И2)} иуу = 0 (2)

и область О в Я2, ограниченную:

1) при у > Ь - дугой окружности Св: х2 + (у - И)2 = 1;

2) при - Ь < у < Ь - отрезками характеристик

Ь1:у = -х-1+Ь,-1<х^Ь-1;

Ь2 :у = х+ 1 -И,- 1 1;

Ьз: у = х - 1 +Ь, 1 - И < х < 1;

Ь4 : у = - х + 1 -И, 1 -Ь<х< 1.

- 8 -

3) при у £ - Ь - дугой окружности Сн: х2 + (у + Ь)2 = 1; где И - произвольное фиксированное число в интервале (0, 1).

Кроме того, рассмотрим следующие точки: А| (-1 + 2М, И), В* (-1 + 2М, - И), 1 = 0, 1,..., N.

+■1 (ИЫ, + 1)- 1), В.ч + | (ЬЫ,-Ь(Ы +1)+ I). где N = [1/Ь] - целая часть 1/Ь (если 1/Ъ - целое число, то + 1 совпадает с А\, а В.\ + | - с В.\), и ломаные: = Ао В[ Аг... В.\ _ 1 А\ А.\ + ь = Во А1 В2... А>; -1 Вм В.\ + I, если N четное,

.Ь = Ао В1 Аг... Ам_1 В\ В.\+ 1, Лг = В0 А1 В2...В\_| Аы Ам +1, если N нечетное.

Требуется найти т.н. правильное решение задачи -функцию и = и (х, у), удовлетворяющую в О следующим условиям:

1. и (х, у) - решение уравнения (2) при у * ± И, (х, у) е 51, 52.

2. и (х, у) е С (5) П а (Б\((у = ± Ь) и ^ и Л2)>.

3. и*ииуеС (О), кроме, быть может, точек ломаных ЗиЬ.

4. и х и и у могут обращаться в ао порядка меньше 1 при стремлении (х, у) к точкам ломаных .Ь, Лг, а также

к точкам (1, ± Ь).

5- и'Св = и'сн = и'ь 1 = ^ и'ь2 = л где

\ (х), Т1 (х) е С [-1, Ь - 1] П С<2-а>(-1, И - I), причем $ (- 1) = л (- 1) = 0, $ (Ь - I) - л (И - 1); Ъ (х) и (х) при х —> — 1 и х —> Ь-1 могут обращаться в <ю порядка меньше 1.

Основная теорема. Решение задачи существует и единственно.

В третьей главе рассматривается задача для уравнения Трикоми в области, граница задания начальных данных которой в гиперболической части сначала совпадает с характеристикой, а затем отходит от нее под углом параллельно линии вырождения. Впервые задача для уравнения Трикоми с отходом от характеристики была рассмотрена Франклем (задача Франкля), который доказал однозначную разрешимость в случае, если нехарактеристический участок границы области достаточно близок к характеристике; А.В.Бицадзе рассмотрел задачу для уравнения Лаврентьева-Бицадзе, в которой начальные данные задаются на нехарактеристическом участке границы (задача М); задачи с отходом от характеристики изучались и другими авторами. В настоящей задаче близость нехарактеристического участка границы к характеристике не

- 10 -

требуется, однако существенно используется параллельность этого участка и линии вырождения.

Пусть задано уравнение Трикоми

з$лЯу|иХх + иуу = 0, по >о, (3)

и область О, ограниченная при у > 0 нормальной кривой Г:

(х - 1/2)2 + (4/(щ+2)2) ут + 2 = 1/4 с концами в точках А(0,0) и В(1,0), а при у<0-выходящими из точек А и В характеристиками: х - 2/(ш+2) (~у)<т ♦ = 0 и х + 2/(т+2) (-у)<ю + а также отрезком прямой у = -[(ш + 2)/8р® + 2', пересекающей эти характеристики в точках С1 и С2 соответственно. Обозначим через Э + и О ~ части Э, лежащие соответственно в полуплоскостях у > 0 и у < 0; через С -середину отрезка АВ; через СС1 и ССг - характеристики, соединяющие С с точками С1 и Сг.

Требуется. найти в области Б функцию и (х, у), удовлетворяющую следующим условиям:

1. и (х, у) - решение уравнения (3) в области

О + ^ЭКСС^ССг).

2. и (х, у) е С (О) (1С2 (0 + иБ Л(СС1 и СС2)).

3. ди/ду е С (Б\(СС| о СС2)), причем при стремлении х к точкам А и В функция V (х) = ди/ду (х, 0) может

- 11 -

иметь особенности порядка не выше 1 - 2ß, а при стремлении х к точке С - не выше 1 - ß, где ß = m/(2(m + 2)). 4. u | г = Ф (s), u | ас, = у (г|). и | с,с2 = 0 (х), где Ф (s) е С°(Г), У (ri) е С (ACi) П G2"> (АС,), 0 (х) е С (CiC2) П С(2") (CiC2), причем ф (s0) = vj/ (0),

(r|o) = 0 (1/4), где so - длина кривой Г, t]o - длина кривой АСь Основная теорема. Решение задачи существует и единственно.

Указанные 3 теоремы являются основными результатами диссертации.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Полосин A.A. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного типа с двумя параллельными линиями вырождения. //Дифференциальные уравнения, № 1, 1995, стр. 168-170.

2. Полосин A.A. О разложении решения обобщенной задачи Геллерстедта в биортогональный ряд. // Дифференциальные уравнения, № 1, 1996.