Преобразование Дарбу одномерного нестационарного уравнения Дирака и одномерные точно решаемые релятивистские модели тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

2-2007-58

На правах рукописи УДК 517+530 19

ПОЗДЕЕВА Екатерина Олеговна

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДАРБУ ОДНОМЕРНОГО НЕСТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ ДИРАКА И ОДНОМЕРНЫЕ ТОЧНО РЕШАЕМЫЕ РЕЛЯТИВИСТСКИЕ МОДЕЛИ

Специальность 01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

□ ОЗОТ Ю77

Дубна 2007

003071077

Работа выполнена на кафедре квантовой теории поля физического факультета Томского государственного университета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор

В Г Багров

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Г В Ефимов (ЛТФ ОИЯИ)

доктор физико-математических наук, профессор

Д В Гальцов (МГУ, г Москва)

Ведущая организация:

Институт ядерных исследований РАН, г Москва

Защита диссертации состоится 30 мая 2007 г в 15— на заседании диссертационного совета К 720 001 01 при Лаборатории теоретической физики им Н Н Боголюбова Объединенного института ядерных исследований, г Дубна Московской области

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Объединенного института ядерных исследований

Автореферат разослан " апреля 2007 г Ученый секретарь

диссертационного совета

С И Федотов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность тпелгы диссертации Точные решения основных уравнении ква п 1 оьои механики ыких как уравнение Шредишера Клейна Гордона Дирака ш раю i важною роль is leopei пчес кои фишке Они необходимы не [олько для кош роля результатом мне лепных расчеюь, по зачас iyio на их о( ноне удае1 с я дос 1 пчь более i л>бом>1 о понимания (}>и зичес кои < ущпос i и рас с мл фпваемои модели Как правило входящие в уравнение Шредишера иокчщналм описывающие как>ю-либо реальною (физическую задачу, столь сложны 'по не допус Kaioi нахождение» ь явном виде1 ючных аналиiпческих решении по во miioi их случаях их удаекя аипрокс имировап, ючно разре-пшмыми покчщналамн, чю сущемвенпо расширяем облас п> применимости ючно инкчрируемыч моделей (например, рабсма [1])

Эффекптным способом конструирования уравнении, имеющих iочное решение, являемгя меюд операторов преобразования |2] и, в час июс iи, метод операторов преобразования Дарбу Впервые подобные преобрашвания изучались Дарбу [3] и впоследствии мпогокрапю переоткрывались Например, как показано в работах [4], [5], метод фак три зации Шредишера [6] и суперсимметричная квантовая механика, предложенная Виттепом [7], являются, по сущссту, иными формулировками меюда преобразования Дарбу

Конструирование новых точно решаемых пененциалов для стационарного и нестационарною уравнении Шредингера с помощью преобразования Дарбу рассматривалось многими авторами (см , например, [8] и приведенные там ссылки) По-видимому, впервые оператор преобразования Дарбу для одномерною стционарною уравнения Дирака с векторным и скалярным потенциалом был построен в работе Андерсона |9] Преобразование Дарбу одномерною пацпонарного уравнения Дирака более подробно изучено в работах |10], [11], [12[, [13] Однако, по-видимому, существует лишь одна работа, в ко юрой рас с матриваеюя преобразование Дарбу нестационарною уравнения Дирака [14] В пей получены (формулы для преобразованною потенциала и решений преобразованного уравнения, найдена супералгебра, порождаемая преобразованием Дарбу, а также рассмотрены преобразования высших порядков Однако автор ограничивает свое исследование лишь элекфомагнит-ными потенциалами, в ю время как во miioi их задачах вмречаюхея потенциалы и других типов Например, цешробежпып потенциал, возникающий при разделении переменных в уравнении Дирака для чаешцы в цсчпралыю-(пммемричпом поле, являекя псевдоскалярным [15] В теории поверхностных сос юянии и различных моделях межкварковою взаимодействия вс фечают-ся скалярные иокчщиалы [1С] Изучение своими релягивисн кои частицы, движущейся в одномерном периодическом пончщиале, имеем важное значение для понимания miioi их явлений в фи зике пзердого nvia и аюмною ядра

[17| |18| Эюн задаче нос вящен ряд рпбог, is которых расе Maiривл/пкь ре-ляшмк к кое обобщенно клле < ичое кои модели Крошил Пиши [17|, |19], а ыкже |18| чи( цепное решение уравнения Дирака с периодичен ким нсменци-алом Применение1 меюда матриц преобразования для опрс'демения 1])аииц son было и ¡vieiio г, рабою [20]

Данная ди( с ерищпя посвящена применению общих идеи меюда опера н>-рон преобра «>ьлпия для развшия юхники преобра зоваьия Дарбу одиомер-ною пес ыцпопарнок) уравнения Дирака с (амекопряжонным пемоициалом общею вида и подробному исследованию общих с ноне in -мою п]нч)б{)<1 копания, а 1акже нос iроению па ос ноне1 преобразования Дарбу тчпо решаемых реляппзне 1 ( кпх моделей

Цель работы

1 Обобщение1 меч ода операюров преобразования Дарбу на систему дифференциальных уравнении В качестве основною конкрепюго обьекта исследовании рассматриваемся одномерная нес ыциоиарная с ие тема Дирака для ко юрой получены явные выражения для операюра преобразования и по1ечщиалов предобра зоваппых уравнении,

2 Изучение основных свойств найденных преобразовании, в час шосги обнаружение шчооизсче имя между ярое гране пзами решений исходною и преобразованною уравнении, усыновление взаимного соответствия между ядрами операюра преобразования Дарбу и сопряженною оператора изучение особенностей преобразования Дарбу нестационарною уравнения Дирака для скалярного потенциала,

3 На ос ново изученных с войспз построение innei ральпого преобразования одномерною нее ыционарною уравнения Дирака, индуцированною преобразованием Дарбу эюю уравнения,

4 Применение меч ода преобразования Дарбу для построения новых точно решаемых периодических иоюнциалов одномерною с ыционарною уравнения Дирака,

5 Разрлбсмка меюда нос iроения функции Грина краевой задачи одномерною с ыционарною уравнения Дирака с самосопряженными пончщпалами исходною и прообразованною уравнении

Научная иооиз7Ш и практическая ценность диссертации Впервые меч од мафичных операюров преобразования применен для получения преобра зования Да])бу одномо])по1 о нес ыционлрнсн о уравнения Ди]>ака с с а-мосс)П])яжечш1>1м погопциллом общею вида и исследованы основные с воиства полученных преобра зовлшш

На ос ионе исследованных < ноис г в впервые нос i роено преобра вешание инге-I раггьпог о ним одномерною пес тацпонарпог о уравнения Дирака индуцированное преобра знанием Дарбу ною уравнения, чю о i K])i>ii;ae i бопее широкие1 по ¡\южно( in для пек i роения роля i инш и mix ючне) решаемых моделей Та к ж о впервые прет, южено реляшвпе н кое е)бе)б1цонпе' меч ода копе груиро-ьаппм н)чпо решаемых периодичес ки\ потенциалов и построение (функции Грипа краевой задачи е)дномерне)1 е) е ьщпонарнот о уравнения Дирака е е амо-е опряжопным потенциалом

Резулыаты диссертации представляю! ишерее для сиециалис юв в обла-(III реляшпис и кон квапювои механики, математической фи ¡нки ючных решении диф<1>орепциалы1ых уравнении, квантовой ioopiin поля

Меч од пое 1])оеч1ия ючпо решаемых периодических потенциалов можег ил-ji]()( rpiiponai ь основные особенности реля i ивие ге кой юшюц е фуктуры на элемечпарпом \ровне и ввиду е воои прех киы ме>жеч наши применение в учетном процессе

Получечшые новые ючпо решаем!,ie потенциалы Moryi наши применение в ieopnn (ojiiiioiioi!, а новые ючпо решаемые периодические потенциалы мо-I у i бьпь ис ноль зовапы в различных моделях е периодическими с 1рук1урами, например, в задачах е}>и зики гвердо1 о iejia, теории оидуля iopiioi о и злучония, при изучении напое i рук i ур Предложенный меч од построения функции Грина может быть ис пользован для теореч ичес кем о расчета различных процессов в квантовой электродинамике

Положения, выносимые на защиту

1 Обобщение меч ода операторов преч)бразе>вания на одномерное нестационарное уравнение Дирака с самосопряженным потенциалом

а) Построение матричного операюра преобразования Дарбу для одномерною пес ыционарною уравнения Дирака с произвольным самосопряженным потенциалом и изучение сч о основных свойств

б) Исследование преобразования Дарбу нестационарною уравнения Дирака ео скалярным пененциалом, нахождение условии, при кснорых прообразованный пененциал остаемся потенциалом тою же пша что и исходный

в) Построение интегрального преобразования одномерного пес ыционарною уравнения Дирака е самосопряженным потенциалом, индуцированною преобразованием Дарбу окно уравнения

г) Построение на ос ново разработанных подходов новых потенциалов, допускающих гочные аналитические решения нестационарного уравнения Дирака

2 Р( 'ля I шик г скос1 обобщение метода построения новых ючпо решаемых

периодичеч ких нот енциалов

а) Исходя иj какою либо ючно решаемою (в общем случае не периодическою) потенциала, (фоипя новый ючпо решаемый потенциал с иомо1Ц1,ю преобразования Дарбу Пос фоепныи псненциал рае с Mai рива-е'ня как определенны» на oi раничепном шнервале и периодически про-должаеня за пределы iioio интервала

б) Пос iроены скалярный и псевдоскалярный новые ючно решаемые пе-риодичес кие поюнциалы

3 Преобразование Дарбу функции Грина регулярной краевой задачи одномерного сзациопарною уравнения Дирака

а) Послроепа функция Грина регулярной краевой задачи одномерною стационарною уравнения Дирака с с амос опряжепным потенциалом, найдено ее спектральное преде гавление

б) Посiроено преобразование Дарбу функции Грина регулярной краевой задачи одномерною стационарного уравнения Дирака с самосопряженным потенциалом

в) Найдены фурмулы полного следа о г разнос i и преобразованной и первоначальной функций Грина

Апробация результатов Материалы диссертации докладывались па XI международной конференции "Общая теория относительности и ipaisn-таци"(Томск, 2002), международном семинаре "Superbymetries and Quantum Symmetries"(Дубна, 2003), XLII международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс"(Новосибирск, 2004), I всероссийской конференции студентов и молодых ученых "Перспективы развития фундаментальных наук"(Томск, 2004), XVII международной лешей школы-семинара по современным проблемам теоретической и математической физики "Вол1а-2005" (Казань, 2005), семинарах ЛИТ и ЛТФ ОИЯИ (Дубна 2007)

На тему диссертации опубликовано 9 печатных работ

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введении, трех глав, заключения и библиографии, которая насчитывает 109 наименовании Она с одержи 1 9 рисунков Общии объем диссертации составляем 101 страницы

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение

Обоснована актуальное п> исследуемой проблемы, сформулирована цель и задачи диссертационной работы, перечислены полученные в дисеерыции новые результаты, их практическая цепное п,, представлены положения,

выносимые на защшу н описана с ф\м\ра диссертации

Первая глава Одномерное уравнение Дирака В первой uiano рас с м<и рииае к я способ поучения одномерно! о уравнения Дирака вид функции на которые депс ib\cm оператор Дирака происхождение условия самосопряженности для поюпциапа одномерною уравнения Дирлкл Показана взаимосвязь одномерною < i лционлрпою

lw(>) = Еф(г), h^jd.+Vo, (1)

и одиоме])Пою нес ыционарного

/»0y(M) = 0, h0 = tO,V0 (2)

уравнений Дирака Здесь 7 = îcr2, <7i,> ,3 с ындаршые матрицы Паули, dt — d/dt, дГ = д/Oi, Vo вещественный самосопряженный нопчщиал Функция í¡¡ являекя двухкомноненгным спинором, ¡/>(г t) = (xpi(x, t), 0>('i, t))T (значок T означает транс понированне)

Вторая глава Преобразование Дарбу нестационарного уравнения Дирака

Изучаезся преобразование Дарбу первою порядка для одномерною нестационарно! о уравнения Дирака В разделе1 1 Главы 2 общий вид операюров преобразования применен для построения мацшчиого оператора преобразования Дарбу [2] нестационарного уравнения Дирака из соотношения сплеюния

Lh0 = !цЬ (3)

для двух операторов Дирака h0 и h\ = idt — 7<9Х — V\ Если извесшы решения ф(х,Ь) уравнения Дирака (2) и оператор L, то функция ip(x,t) = L%b(x,t) является решением уравнения Дирака с оператором h\ Показано, что простейший дифференциальный оператор преобразования и преобразованный потенциал имеют вид

L = A(dt-vTu~1), (4)

VI = iAtA~l - yAxA~l + А([7, «.гГ1] + V0)A~1 (5)

Здесь Ани— невырожденные матрицы в юрою порядка Maipnna А подчинена условию

A-i -7 Л = О, (G)

в то время как и удонлепзоряег уравнению

ги, — 7«, - V(\ti = 0 (7)

Сюлбцы U\(i,t) и 112(1,t) матрицы и явняюкя решениями уравнения (2) На основе решении уравнения (2) прояня решения уравнения (7)

В чае тех ni матрицу А можно положип> рагаюи единичной матрице ют да выражения (4) (5) прииимакн наиболее прос той вид

L = д, — iijU~l, (8)

Vi = V&+ [7,«,""1] (9)

и являюня реля1иви( гскими аналогами формул для оператора преобразования Дарбу и преобразованною поюнциала уравнения Шредшпера [5] Опера юр преобразования L и преобразованный потенциал Vj полное 1ыо опреде-ляюкя мафичнои функцией и Матрица и называется функцией преобразования

В разделе 2 Главы 2 рассматривается преобразование Дарбу нес ыциопар-пого уравнения Дирака со скалярным потенциалом V0

Vo = (m + So(x,t))a{, (10)

i до т масса ролятивигтекой частицы и So(i,t) - некоторая вещественная функция Преобразованный потенциал будет скалярным, если функцию преобразования и с коне груировать из спиноров = (un,í¿2i)T н Щ = o^ríj, тогда U\2 = 7¿2i, «22 = wíi Преобразованный потенциал имеет следующий

вид

V1 = V0 + D=(rn+S0{x,t) + d3)a3, (И)

где 2

di = - («n)rW2i) (12)

В разделе 3 Главы 2 рассматривается вопрос о соответствии между про-с фансгвами решении исходною нестационарного уравнения (2) и преобразованного уравнения

h\ip{x, f) = 0 (13)

Если спинор i/' удовлетворяет исходному уравнению (2), то спинор ip = Lip является решением уравнения (13) Оператор LÍ, с1юрмально сопряженный к L, осуществляет преобразование в обратном направлении, то есть переводит решения уравнения (13) в решения уравнения (2) Таким образом, каждому решению исходного уравнения (2) соответствует некоторое решение прообразованною уравнения (13) При этом, в силу однородности рассматриваемых уравнении, к решению исходною уравнения можно добавить любой -элемент из ядра оператора преобразования L, если он является решением уравнения (2) Такая сумма но прежнему будет отображаться в то же самое решение уравнения (13) Совершенно аналогично, к решению уравнения (13) можно добавля т т. элементы и з ядра оператора L\ ос ли они являются ei о решениями, и все такие элементы отображаются оператором Ú в одно и то же решение

исходною уравнения Эю означаем, чю в оишчие 01 стационарного уравнения, операюры преобразования вообще юворя, не осущес пшякп взаимнооднозначно! о о 1 отражения между прос гране пзами решении уравнении (2) и (13)

Мафичная функция

V = {и^у1, (14)

задаем ядро < опряжепного опера юра /Д

ЬЧ' = 0 (15)

Функция г (14) являекя решением одномерною нес гациоиарною уравнения Дирака ( иокчщиалом У[

/цг = 0 (16)

То есть I! нашем случае ядра операторов преобразования дейс нзиюльпо удовлетворяю! соотвече I вующим уравнениям

Среди решении уравнения (2) имею«я ]акие, которые операюр Ь перево-ди1 в столбцы мафицы г> Рассмотрена матричная функцию й, такая, что

Ьй = йх — ихгГ1й = V (17)

Для этою переписано равенство (17) в виде

и(и~1и)х = (и1)-1 (18)

Это выражение расемофоно как дифференциальное уравнение на й, и его решение имеет вид

и = и

Хо

(J u-\u^yldx' + С), (19)

1де С — постоянная матрица

Матрица и являемся решением исходного уравнения (2),

h0u = u[u~^{ijyl}x=x01 (20)

при условии

["_17(«t)~1b=io=0, (21)

которое можно раес матривать как условие, определяющее нижний предел интегрирования I! (19) Таким образом найдено условгге, при котором функция и является матричным решением уравнения (2)

Аналогичные результаты получены для оператора /Д Матрица v

л

v = (u]yl(J uhldx' + С0, (22)

Го

удошюпюряющая условию Ltr = v/ iimooi вид

j

r = (iti)-\JuUidi' + Cl) (23)

>u

И является решением уравнения (13) при условии

["Ч"]г=1н = « (24)

Таким образом ус ыпавлпвасчся взаимно-одно ¡начпое соотвен 1вие между ядрами операторов L и iJ если потребован, и <-> v и и <-> v

В разделе 4 Главы 2 рас с мафивается скрьпая суперс иммегрия связанная с преобразованием Дарбу одномерною несыционарного уравнения Дирака

Уравнения Дирака с пенепциалами Ц)(¿,t) и Vi(x,t), связанными преобразованием Дарбу, можно переписать в виде одною матричного уравнения

ЯФ(М)=0, (25)

1де

(20,

Соопзектиующая супералгебра образована следующими матрицами 4 ого порядка

G={Q,Q+}, (27)

o0i„+). e-(£°S) <»>

На основе свойств операторов L и L+, найдены коммутационные и ашиком-мутационные соотношения этих операторов

[Q, G\ = [Q+, G\ = О, Q2 = (Q+)2 = 0, (29)

[QJI] = [Q\H} = 0, [G,H}= 0 (30)

Операторы G, Q, Q+ переводят одно решение уравнения (25) в друюе, являются операторами симметрии Соотношения (27), (29) определяют прос ien-шую супералгебру

В разделе 5 главы 2 показано, что с преобразованием Дарбу одномерпо-ю уравнения Дирака связано некоторое ишегральное нреобразование Ише-1ральная разность потенциалов получена с помощью повторного преобразования Дарбу и имеет вид

DM = V¿-V0 = b,u{j aW/' + C^rV] (31)

' O

()1куд<1 видно чю при любом выборе мафицы и разноси, потенциалов будем ¡рмитвои если ¡рми юва ма i рица С\

Решения уравнения Дирака с потенциалом Vi получены из решении уравнении Дирака е потенциалом Vó и имеют следующий вид

i

у = -1)Ьф - и{J ¡,W/' +cl)~\if(t!>, - V,ir\>)

(32)

Если исходный потенциал Vo являемся скалярным, и функция преобра зова-ния и имеем вид и = («т, о"!«}) ю функция v в эюм следующая

^ 1 ( "п(т?п + Си) - vliVn unV*n ~ и*21{т)п + С22) \ ^ cletu V v*nV2i ~ «2i('/n + Сп) г/п(г/ц + Сп) ~ u¿iV*2i / '

1де Сч — компоненты матрицы С\ и

I X

Пп = J(ki|2 + |и21|2)(/г' г/л = 2 J vnv2i<h' + Сл (34)

lo

При условии С22 = Сц (функция v имеем вид v = (ui,eriWj) и потенциал V2 = Vq + D2о, полученный по формуле (31), будет скалярным Таким образом, если функцию преобразования выбран» в виде1 и = (i'i,<ti¡¿j) и в ма1рице С\ положить С22 — Си, то ишегральное прообра зование (31) сохраняет скалярный вид потенциала

Примеры новых точно решаемых нсненциалов нестационарного уравнения Дирака, полученных с помощью преобразования Дарбу и интегральною преобразования, связанного с преобразованием Дарбу, приведены в разделе 6 Главы 2 В качестве исходною рассматривался потенциал свободной чапи-цы Получены неизвестные ранее1 потенциалы как специальною вида (скалярные), так и общего вида

Третья глава Преобразовагше Дарбу и точно решаемые модели стационарного уравнение Дирака

Глава 3 посвящена точно решаемым моделям стационарною уравнения Дирака, нос i роенных с иомощыо преобразования Дарбу В разделе 1 Главы 3 расе mai ршзаемся преобразование Дарбу стационарною уравнения Дирака и его своие 1ва, необходимые в дальнейшем

Раздел 2 Главы 3 посвящен обобщению па уравнение Дирака метода построения точно решаемых периодических потенциалов, предложенного в |21j

для уравнения Шредишера В рамках -л oí о меч ода точно решаемый потенциал полученный с помощью преобразования Дарбу рас ( ма i pimaei < я как определенный па ограниченном интервале и периодически продолжаем я за пределы -иого ишервала

В разделе 2 рас с мат риваюм я периодические продолжения скалярного и не евдос калярною помчщиалоь

Vl{i) = -eal + ql{i)(Tl (35)

'Л ("О = Pth/n, (ЗС)

i до р — \пп2

где

Fi = (m + 5i)cTb (37)

2 о2

Si =--^ , ' , 9 , (38)

vi + A cosh ¿pi

полученных с помощью преобразования Дарбу из потенциала свободной час 1ицы Линейно независимые решения получены с номощыо преобразования Дарбу с гационарного уравнения Дирака Эю позволяет вычислить функции Ляпунова для периодически продолженных потенциалов и исследовать их зонный спектр Функции Ляпунова для построенных потенциалов при этом выражаются через элементарные функции Ранее известной моделью, обладающей таким свойством, являлась классическая модель Кронига - Пенни [20]

Раздел 3 Главы 3 посвящен преобразованию Дарбу функции Грина регулярной краевой задачи одномерного стационарного уравнения Дирака с upon зволытым самосопряженным потенциалом

В разделе 3 получена функция Грина peí улярпои краевой задачи одномерно! о с гационарног о уравнения Дирака с прои звольным самосопряженным потенциалом

(Н0(х)-Е)Ф(х,Е) = F(x), (39)

где

Ф(х,Е) = í G0(x,y,E)F(v)dy, (40)

J а

а и h фашгчные точки,

Фi(cí, Е) ып(а) + Ф2(о, Е) cos(q) = 0, (41)

Фi (&, Е) sm(fi) + Ф2(Ь, Е) eos(¡J) = 0, (42)

где1 Ф^з, Е), Ф2(г, Е) - компоненты спинора Ф(т, Е), удовлетворяюще! о краевым условиям (41) (42)

Получено <ооп:ек ту тощее с тюк тральное нредс ывление функции Грина

= (43)

Показано выполнение краевых условии Построено преобразование Дарбу функции Грина Получены формулы полною следа ог разносит преобразованной и начамьнои(функции Грина

1> [''(0^1,у Е)-С0{1,у,Е)\г=чаЧ = - и(Ч>фТ)\а (44)

и [ (С1(х,у,Е)-С0(х,у)Е)1=ч(1и = I (45)

Полный след произвольной функции Грина преде таилясмся в с ледмощем виде

1г [ С(1,у,Е)0Л\х^(1и = (40)

где Е„01 ючки дискрешою спектра

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1 Произведено обобщение метода операторов преобразования Дарбу на одномерное нестационарное уравнение Дирака Показано, что оператор преобразования и потенциал преобразованного уравнения определяются функцией преобразования, которая является одним из матричных решении исходного нестационарного уравнения Дирака Сформулировано супорс иммегричное обобщение нестационарного уравнения Дирака

2 Исследованы свойства преобразования Дарбу одномерного нестационарною уравнения Дирака Установлено, что, в отличии от стационарного уравнения Дирака, взаимно-однозначною соответствия между пространствами решений исходною и преобразованною уравнении нет Но при определенных условиях, можно установить взаимно - однозначное соответс твие между ядрами операторов преобразования Дарбу и сопряженною к нему операюра преобразования

3 Исследован частный случай скалярного потенциала Найдены условия, при кснорых преобразованный потенциал остается потенциалом того же тина что и исходный

4 На основе исследованных свойств построено шпетралыюо преобразование, индуцированное преобразованием Дарбу Исследован случаи скалярной) потенциала Найдены условия, при которых преобразованный

потенциал ииieipajn>noiо шнаостеня шненциалом юю же типа чю и исходный

5 Прииедеиы пример1>1 новых точно решаемых покчщиалов одномерио-ю несыционарно! о уравнения Дирака (i еиерировапные и $ псиенциала свободной частицы < помощью преобра ювапия Дарбу и ии iei рального преобразования

6 Предложено реля i ивис тское обобщение меюда копе 11)уироваипя гочпо решаемых периодических по1енциалов (с ыционарное уравнение Дирака) Подробно исследованы точно решаемые периодические скалярный и псевдоскалярный потенциалы В частносш, для них найдено простое выражение для функции Ляпунова через элементарные функции

7 Пос1 роена (функция Грина регулярной краевой задачи одномерною с ia-ционарного уравнения Дирака с произвол?,ным самосопряженным потенциалом и найдено соответствующее спектральное представление (функции Построено преобразование Дарбу для функции Грина Вычислен полный след от разности преобразованной и первоначальной функции Грина

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ

1 A A Pechentsm, В F Samsonov, Е О Pozdeeva, М L Glassei New exactly solvable periodic potentials for the Dirac equation European Journal of Physics 2003, v 24, №4, pp 435-441

2 V G Bagrov, A A Pechentsm, E О Pozdeeva, В F Samsonov Exactly Solvable Pseudoscalar Periodic Dirac Potential's from Darbolix Transformations and Underlying Nonlinear Supersymmetr у Communications m Nonlinear Science and Numerical Simulation 2004, v 9, №1, pp 13-23

3 А А Печерицын, E О Поздеева, Б Ф Самсонов Преобразование Дарбу нестационарного уравнения Дирака Известия вузов Физика 2005, i 48, №4, с 34-41 | A A Pechentsm, Е О Pozdeeva, В F Samsonov Daibovx transformation of the поп stationary Dirac equation Russian physics journal 2005, V 48, №4, pp 3C5-374]

i E О Поздеева Метод npc обра ювапия Дарбу для исследования во>то-вьп функции рглятивш тскт частиц при шкалировании с> hpunna i ic Поверхность 2007 №3, с G6-71

5 Е О Псидоова Фунъи,ии Грини pi гу \нрны i ьрчюьп тдач одномерны! i тиуиоиирны i урааш пни Дараьа, га\ш ihiiioiiчины иопюрых жминтня huadpinn ичн ы м il t i/ih pniijimiK ра м а Мл i ома i пкл и ее приложения 2005 Л""2 ( 91-98

G Е О По !доева При \н ш nut \umoda прсобри нншнии Дарбу и iiilikOo-ышш во ¡новы t фуньции ¡>1 ппнивиспн ни i чштищ г о типом 1 '2 при Овит сыт в ncpuoàiriri ho\i потенции <ie Пеш ni - Тс,ы с pu Маюмашка и ео приложения 200С №3 ( 39-50

7 Е О Поздеева Ci/viр< и и\и трттое обобщенаi одномерного нктчци-онарного уравнения Дираъа Нонешние проблемы юорни поля Том 5 Под род А В Амипонон Каыпь, И $д КГУ 2000 с 188-193 | Е О Po/deova Super мртш try q< m lallation for one-ilnm nsional nonstat/onai // Dnai (qiiafion m A V Amiiuiva (Ed ) Roc ont pioblems ш fiolcl theoiv \ 5 Ka/an, KSU 200G pp 188-193 ]

8 E О П<)1деева Прео {¡¡тюаашн Дарбу нестационарного tjpaei« пня Дирака Материалы XLII международной научной с гуденческой конференции "Скуден г и научно- юхиичес кии npoipotf" Фи шка Новосибирск И!д НГУ 2004 с 181

9 Е О Псндеева, В Г Bai ров, А А Печерицын Точно решаемые потенциалы нестационарного уравнения Дирака Труды I Всероссийской конференции студентов и молодых ученых "Перс покпшы развития фундаментальных наук" Томск, И!д ТПУ 2004 с 150-152

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1 PeislniiYu V , Shevchenko S N , Vagnei I D,WyderP Electronic transpoit throiifth a nuclear-spm polaiization-mtroduced cinantum wire// Pliys Rov В 2002 - V GG - P 035303-1 035303-5

2 Ловиian Б M , Саркян И С , Операюры Штурма Лиувилля и Дирака - M Наука, 1988 - 431 с

3 Daibonx G Leçons ып la theone générale des ми faces et les application géométriques du calc nl înfinitesimate - Рань Guatier-Villar et Fils, 1889 -522p

4 Адрианов A A, Борисов H Б , Иоффе M В , Эидес M И Супере им-мемричная квантовая механика новый н si ляд на ■жниналошнос п> кван-юных систем//ТМФ 1981 T G1 - С 17 28

5 BaiponB Г Самсонов Б Ф Преобра зование Дарб\ (]>акюри зация, с у-персиммсчрия в одномерной квашовоп механике ТМФ 1994 Т 101 С 35G-3G7

С Schiodingei Е A method of doteiniming quantum mechanical eigenvalues and eigenfunc Hons Pioc Rov lush Acad A 1910 V 46 P 9 16

7 Witfen E Dynamic al bieakmg of supeisc inineti\/ Nucl Phys В 1981

V 183 P 513 554

8 BaipoisB Г Самсонов Б Ф Преобра юванпс Дарб> уравнения Шредип-юрл'/ Физика нюмешарпых час i иц и a i omhoi о ядра 1997 Т 28

С 951 1012

9 Andeison A Intel twining og exactly solvable Dnac expiations with one dimensional potentials '/ Pliys Rev A 1991 V 43 - P 4G02 -4610

10 Самсонов, В Ф Печорицын А А Преобра ювание Дарбу для одномерною с ыциоиарнот уравнения Дирака'/'И вв ВУЗов Физика 2000 -№11 С 48

11 Самсонов Б Ф , Печерицын А А Преобразование Дарбу для одномерною с ыционарною уравнения Дирака со скалярным потенциалом// Изв ВУЗов Физика - 2002 - № 1 С 74

12 Самсонов Б Ф , Печерицын А А Преобразование Дарбу для одномерною с гационарного уравнения Дирака с псевдоскалярным потенциалом// И зв ВУЗов Физика 2002 № 1 С 14

13 Nieto L М Pecheritsm А А , Samsonov В F Intetiwming technique for the one dimensional stationary Dirac equation// Ann Phys - 2003 - V 305

P 151

14 Yiuov A V Daiboux tiansforrnation foi the Dirac equation with (1 + 1) potentials// Phys Lett A - 1997 V 225 P 51

15 Thalei В The Dirac Equation Betlm Spring«, 1992 357 p

1G Soff G , Mullei В , Rafelski J , Giemer W Solution of the Dirac equation foi the scalai potentials and its implications m atomic physics,// Z f Natuifoisc h A 1973 V 28 P 1389 139G

17 ВнкеН J McKellai В II ,J Steipheson G J Relativistic quaiks ш one-dimensional penodic stiuc tines " Phys Rev С 1987 V 35 -P 2262 71

18 Monde/ B, Donniiftues Ad<ime F A simple nuineiical niethed for the dotoimmatum oi lelativistic one demensional stnutuies/' 1 Pliys A 1991 V 24 P 331 G

19 McKellaiB H J Stephenson G .1 Klem paiadox and the Dnac Kionmg Penne\ model,// Ph\s Rev A 1987 V 3G P 25GG 25G9

20 Mende/ B , Dommgues Adame F Macia E A tiansfei matnx method foi the one demensional hand stnutuie// J Pliys A 1993 V 2G P 171 7

21 Samsonov B F On periodic continuation of soliton potentials beyonp, a bounded interval'/ Em 1 Pliys 2001 V22 P 305 - 313

IlonyMeno 19 aripi_ la 2007 r

г

Отпечатано методом прямого репродуцирования с оригинала, предоставленного автором

Подписано в печать 19 04 2007 Формат 60 х 90/16 Бумага офсетная Печать офсетная Уел печ л 1,12 Уч-изд л 1,27 Тираж 100 экз Заказ № 55757

Издательский отдел Объединенного института ядерных исследований 141980, г Дубна, Московская обл , ул Жолио-Кюри, 6 E-mail publish@jinrru wwwjinr ru/publish/