Точно решаемые возмущения двухуровневой системы на основе преобразований Дарбу

Шамшутдинова, Варвара Владимировна

Точно решаемые возмущения двухуровневой системы на основе преобразований Дарбу тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Шамшутдинова, Варвара Владимировна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Томск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2008 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Точно решаемые возмущения двухуровневой системы на основе преобразований Дарбу»

Автореферат диссертации на тему "Точно решаемые возмущения двухуровневой системы на основе преобразований Дарбу"

На правах рукописи

003456444

Шамшутдинова Варвара Владимировна

ТОЧНО РЕШАЕМЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ ДВУХУРОВНЕВОЙ СИСТЕМЫ НА ОСНОВЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ДАРБУ

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Томск-2008 0 ^

003456444

Работа выполнена на кафедре квантовой теории поля ГОУ ВПО «Томский государственный университет:»

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор

Самсонов Борис Федорович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Лавров Петр Михайлович;

кандидат физико-математических наук, доцент

Горбунов Иван Владиславович

Ведущая организация:

ФГОУ ВПО

«Санкт-Петербургский государственный университет»

Защита состоится « 18 » декабря 2008 г. в 14:30 часов на заседании диссертационного совета Д 212.267.07 при ГОУ ВПО «Томский государственный университет» по адресу: 634050, Томск, пр. Ленина, 36

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке ГОУ ВПО «Томский государственный университет»

Автореферат разослан «"/*/» ноября 2008 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.267.07 доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Ивонин И. В.

Ыо

Общая характеристика работы

В работе развит метод построения точно решаемых возмущений двухуровневой системы на основе преобразований Дарбу и рассмотрены его приложения к двухуровневым моделям конкретных физических систем.

Актуальность темы

Актуальность проведенного исследования обусловлена тем, что управление динамикой двухуровневой системы имеет фундаментальное значение для моделирования большого числа процессов, происходящих на квантовом уровне. Например, двухуровневая модель находит широкое применение при описании явлений, связанных с ядерным магнитным резонансом, когерентным возбуждением атомных систем, колебаниями нейтрино. Особую роль двухуровневая система играет в квантовой теории информации, где она является фундаментальным объектом, представляющим квантовый аналог единицы информации - кубит. Процесс вычислений в теоретических моделях квантового компьютера происходит за счет управления квантовой динамикой отдельных кубитов и их групп, осуществляемого подачей на них внешних сигналов. При этом задача теории заключается в описании поведения вероятности того, что двухуровневая система (кубит) совершит переход из одного возможного состояния в другое для заданного семейства внешних полей. Или, наоборот, теория может предсказать класс возмущений двухуровневой системы, которые способны привести ее в наперед заданное состояние. В силу этого, создание хорошо определенного квантового состояния двухуровневой системы открывает новые возможности для моделирования и управления процессами, происходящими на квантовом уровне. Использование методов построения точных решений уравнений, описывающих указанные процессы, позволяет достичь более глубокого понимания свойств рассматриваемых физических систем, которое зачастую теряется при численных расчетах.

Цель и задачи работы

Целью диссертационной работы является развитие метода построения точно решаемых возмущений уравнения Шредингера двухуровневой системы на основе преобразований Дарбу, анализ полученных точных решений и исследование свойств физических систем, описываемых данным уравнением.

Для достижения поставленной цели были выделены следующие задачи:

1. обобщить метод операторов преобразования Дарбу на систему дифференциальных уравнений, описывающую эволюцию двухуровневой системы, и исследовать основные свойства полученных преобразований;

2. исследовать свойства цепочек преобразований Дарбу;

3. применить полученные результаты к двухуровневым моделям конкретных физических систем в квантовой оптике (двухуровневый атом) и квантовой теории информации (фазовый/зарядовый кубит).

Научная новизна

Основные результаты, изложенные в диссертации, получены в работах автора н ранее известны не были. Впервые метод операторов преобразования Дарбу применен к уравнению эволюции двухуровневой системы, представленному в виде одномерной стационарной системы Дирака с эффективным неэрмитовым гамильтонианом, в которой время играет роль пространственной переменной. Впервые установлена связь цепочек преобразований Дарбу и скрытой полиномиальной псевдо-суперсимметрии системы Дирака с неэрмитовым гамильтонианом. Предложены новые зависящие от времени возмущения для осуществления динамического контроля состояния двухуровневой системы (двухуровневого атома, фазового/зарядового кубита). Найдены критические значения параметров, при которых вероятность перехода двухуровневой системы в возбужденное состояние приобретает монотонный характер.

Научная и практическая ценность работы

Материалы диссертации представляют интерес для специалистов в области квантовой механики, математической физики, квантовой теории информации и квантовой оптики. Результаты работы вносят вклад в развитие методов построения точно интегрируемых моделей квантовой механики. Вследствие широкой области применимости таких моделей полученные в работе точно решаемые возмущения двухуровневой системы могут быть использованы для широкого круга задач теоретической физики.

Научной ценностью обладают результаты, устанавливающие связь существования скрытой полиномиальной псевдо-суперсимметрии в двухуровневой системе с цепочками преобразований Дарбу. Они могут быть использованы при исследовании роли неэрмитовых гамильтониаиов в квантовой физике.

Полученные в работе семейства точно решаемых возмущений, зависящих от времени, могут найти практическое применение в задачах, связанных с динамическим контролем состояния двухуровневой системы (например, двухуровневого атома или зарядового/фазового кубита).

Достоверность научных выводов и результатов

Достоверность сформулированных в диссертации положений и выводов контролируется их внутренней согласованностью и совпадением в ряде частных случаев с результатами других авторов.

Личный вклад автора

Все без исключения результаты научных исследований, вошедшие в диссертацию, получены лично автором, либо при его непосредственном участии в постановке задач и обсуждении результатов.

Основные положения, выносимые па защиту

1. Развит метод построения точно решаемых возмущений двухуровневой системы, основанный на представлении уравнения Шредингера в виде одномерного стационарного уравнения Дирака с эффективным неэрмитовым гамильтонианом и использовании преобразований Дарбу.

2. Установлено наличие у двухуровневой системы скрытой полиномиальной псевдо-суперсимметрин, связанной с цепочками преобразований Дарбу.

3. Построены новые зависящие от времени возмущения, способные привести к инверсной населенности двухуровневой системы и реализовать динамический контроль состояния двухуровневого атома или фазового/зарядового кубита. Найдены критические значения параметров, при которых под действием указанных точно решаемых возмущений вероятность перехода двухуровневой системы в возбужденное состояние монотонно растет со временем вплоть до значения, равного 0,97.

Апробация работы и публикации

Основные результаты диссертации докладывались на международных конференциях:

- II Всероссийская конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука и образование» (Томск, 2003);

- I Всероссийская конференция студентов и молодых ученых «Перспективы развития фундаментальных наук» (Томск, 2004);

- XVI Международная летняя школа-семинар по современным проблемам теоретической и математической физики «Волга-17'2005з> (Казань, 2005);

- Third international workshop «Pseudo-Hermitian Hamiltonians in quantum physics> (Istanbul, 2005);

- Workshop on INTAS programmes supporting young scientists in the EECA countries and future prospects (Tomsk, 2007);

- Sixth international workshop «Pseudo-Hermitian Hamiltonians in quantum physics» (London, 2007);

- Конференция молодых ученых «Физика низких температур» (Харьков, 2007).

По теме диссертации опубликовано 8 работ, список которых приведен в конце реферата, из них 6 входят в перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка использованной литературы из 198 наименований. Материал диссертации изложен на 121 страницах машинописного текста. Работа содержит 28 рисунков.

Краткое содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы диссертации. Изложены содержание и структура работы, сформулированы основные задачи', решаемые в ней.

В первой главе приведены основные формулы, которые широко используются при аналитическом и численном описании эволюции двухуровневой системы в зависимости от ее природы. В общем случае квантовая динамика такой системы может быть описана уравнением Шредингера, которое сводится к паре связанных дифференциальных уравнений первого порядка:

Здесь Щ = (i\H\j) - вещественные матричные элементы гамильтониана системы Я, ai и 02 - комплексные компоненты волновой функции (амплитуды вероятностей). В общем случае, все величины являются функциями времени t. В данной работе рассматривается ситуация, при которой #12 = Я21 = const и Яц (i) = —Я22 (t). В этом случае система дифференциальных уравнений (1) может быть записана в матричном виде следующим образом

(1)

(2)

Здесь и далее символ т означает транспонирование, функция Нц (t) описывает возмущение системы, параметр Н12 связан с частотой перехода двухуровневой системы из одного состояния в другое.

В диссертационной работе развита методика построения точно решаемых возмущений системы уравнений (2) при F вида (3). Важно отметить, что никаких ограничений на природу матричных элементов Нц (t) и Я12 при построении точных решений уравнения (2) не накладывается. Следовательно, результаты работы могут быть обобщены на случай двухуровневой системы произвольной природы. Кроме того, если вектор А = (ai,a2)T есть решение уравнения (2) при F вида (3), то [1]:

1. А = j- (1 + гсri) А - решение (2) при F = (#12, Нп («), 0)Т ;

2. А = о\А - решение (2) при F = (Я12,0, -Нп (i))T;

3. А = а3А - решение (2) при F = (-Я12) 0, Нп (t))r ;

4. Л — а2А - решение (2) при F = (~Я12,0, -Нп (0)Т;

5. А = ^ (<Ti + <т3) А - решение (2) при F = (Яп (t), О, Н12)т .

Квантовая динамика различных двухуровневых систем может быть описана системой дифференциальных уравнений (2). Например, в первой главе подробно рассмотрена модель квантовой оптики - двухуровневый атом во внешнем электрическом поле Е (t) = 2S cos (wt) [2], частота ui которого близка к частоте перехода W21 между двумя энергетическими уровнями системы. В приближении вращающейся волны [2] уравнение Шредингера такой системы может быть сведено к паре связанных дифференциальных уравнений, подобной уравнению (2), для медленно меняющихся амплитуд вероятности

ldt\iP2j~2\ nR -iismJK^)' [)

где d - дипольный момент атома. Частота Раби — 2d£ в данной работе считается постоянной, расстройка частот 5 (t) — и (t) — Ш2\ является функцией времени из-за частотной модуляции возмущения. Также рассмотрены способы описания эволюции других двухуровневых моделей, распространенных в квантовой физике. Эволюция частицы со спином 1/2 в магнитном поле, компоненты которого равны: В\ = const, В2 — О, В3 = (t). может быть описана системой дифференциальных уравнений, подобной системе (2), [3]

i (Z)= (Вв? -w)) (5) ■ (5)

Квантовая эволюция состояния джозефсоновского кубита [4] подчинена уравнению Шредингера

•¿UMf-f« )(:;).

где гамильтониан системы записан в базисе собственных векторов {|0), |1)} матрицы Паули сгг. Амплитуда туннелирования Д в данной работе от времени не зависит, а управляющий импульс е является функцией времени.

Во второй главе рассмотрено преобразование Дарбу уравнения Шредингера, описывающего эволюцию двухуровневой системы. Для этого система дифференциальных уравнений, например, для двухуровневого атома (4), записывается в следующем матричном виде:

/10Ф = £Ф, h0 = jjt + V0(t) , (7)

где Vo(£) = 202/0 (0 > 7 — Здесь были введены обозначения /о (i) = 5J7 [i (t)t], Е — Ф = (ф\,ф2)7- Уравнение (7) имеет вид одномерного стационарного уравнения Дирака с эффективным неэрмитовым гамильтонианом Hq, причем время в нем играет роль пространственной переменной. Следуя установившейся терминологии, будем называть ho гамильтонианом, хотя он и не соответствует никакой квантовомеханической системе. При этом Vo(£) играет роль матричнозначного потенциала, определяемого функцией /о(<), которую будем также называть (исходным) потенциалом. Оператор преобразования Дарбу L удовлетворяет соотношению сплетения

Lh0 = h\L (8)

и преобразует решения Ф уравнения (7) в решения Ф = ¿Ф того же уравнения, но с другим (преобразованным) потенциалом Vj,

кгФ = £Ф, h1=y^ + Vi (t) , V: = V0 + AV. (9)

В общем случае оператор преобразования L изменяет вид исходного матричного потенциала, т.е. структура преобразованного потенциала V\ отлична от структуры Va. Чтобы этого не произошло, как показано в первой части второй главы, достаточно выбрать его специальным образом: L — -jt — -jt (UU-1),

где U = ^ - матричное решение уравнения h0U = UA, (матрич-

нозначная функция преобразования, которую для краткости в дальнейшем будем называть просто функцией преобразования), соответствующее диагональной матрице собственных значений Л = ( ^ ). Параметр Л будем

называть постоянной факторизации, ибо он связан с факторизуемостью квадрата оператора Дирака операторами преобразования.

В силу неэрмитовости оператора /го, компоненты функции С/ являются комплексными, что в общем случае приводит к комплексной разности потенциалов АУ — гстгЛ/, А/ = /1 — /о- Установлено, что условием, необходимым для вещественности Д/, является отсутствие вещественной части у параметра Л, т.е. он должен быть чисто мнимым: Л = Ш, где Я - чисто вещественный параметр. Тогда разность потенциалов Д/, определяющую вид преобразованного потенциала, можно записать следующим образом

д/ = 1Т?-2/<ъ (Ю)

где функция <7 определяется выражением

Я /о X

Здесь х ~ некоторое вещественное решение уравнения

Х +

/о2+ 5^/0- ! 7ГГ-Д

Х = 0. (12)

В силу того, что уравнение (12) является уравнением с вещественными коэффициентами, оно всегда имеет вещественные решения. Это означает, что для любой функции /о (любого исходного потенциала Уо уравнения эволюции двухуровневой системы (7)) можно построить вещественную разность потенциалов (10) и реализовать цепочку преобразований с вещественными как результирующим, так и промежуточными потенциалами.

Вторая часть второй главы посвящена изучению цепочек преобразований Дарбу. Вначале рассмотрено многократное преобразование с совпадающими постоянными факторизации. Установлено, что в этом случае основные уравнения, определяющие вид как оператора преобразования, так и преобразованного потенциала, могут быть проинтегрированы, что позволяет записать их решения в виде замкнутых аналитических выражений. Затем рассмотрена цепочка преобразований Дарбу при различных постоянных факторизации. Показано, как можно упростить вычисления при использовании формул, подобных формулам Крума-Крейна, для уравнения Дирака с эффективным неэрмитовым гамильтонианом и функций преобразования специального вида, которые удовлетворяют условиям, необходимым для вещественности преобразованного потенциала.

В третьей главе диссертации установлено, что дираковские гамильтонианы (7) и (9) являются псевдо-эрмитово сопряженными:

/г0д = JhljJ, J = 0\ (13)

относительно оператора J. Построены супер-заряды Qi = л/2 ^^ ^

Q-> = \р2 ^ ^, где символ 0 означает нулевую матрицу размером 2x2

и Lo,n = -£<71-1,п ■ • • ¿1,2-£од ~ оператор цепочки из п преобразований Дарбу, сплетающий гамильтонианы ho и hn, которые вместе с супер-гамильтонианом

Я = j^j замыкают полиномиальную псевдо-супералгебру:

lQhH) = [Q2,H} = 0, (14)

Q1Q2 + Q2Q1 = 2(Я2 - Т2)... (Я2 - Т2), (15)

Тк = diag(Afc, А*), Ак = diag(Ab ~\к).

Этот факт позволяет связать существование скрытой полиномиальной псевдо-суперснмметрии в двухуровневой системе с цепочками преобразований Дарбу. Также показано, что подобные псевдо-супералгебры возникают не только для уравнения Дирака с псевдо-эрмитовым гамильтонианом, но и для уравнения Шредингера для каждой компоненты волновой функции двухуровневой системы.

В четвертой главе проведен детальный анализ точных решений двухуровневой системы, полученных при применении преобразований Дарбу к колебаниям Раби. Колебания Раби связаны с решениями системы уравнений (4) для двухуровневого атома, находящегося во внешнем синусоидальном поле с постоянными во времени частотой и амплитудой. В обозначениях, введенных при записи уравнения (7), им соответствует потенциал системы (7), не зависящий от времени (/0 = const). После преобразования Дарбу исходной системы уравнений (7) в общем случае функция /1 не будет представлять собой константу: fi(t) = /о + Af(t) = ^[Si(t)t]. Следовательно, потенциал /1 после преобразования будет соответствовать некоторому внешнему возмущению, частота ¿i(t) = u>i(t) — u>2i которого меняется во времени:

Si(t) = *£fi(t)dt. (16)

В данной работе построены семейства потенциалов fi(t), для которых решения уравнения (4) известны. В задаче о двухуровневом атоме они соответствуют частотно-модулируемым синусоидальным возмущениям. Среди последних выделяются возмущения, генерирующие вероятности населенности

возбужденного уровня системы, монотонно растущие со временем до некоторого предельного значения. Это обстоятельство позволяет говорить о возможности приготовления двухуровневой системы в хорошо определенном квантовом состоянии. Например, при расстройке частот

*(«) = 2/0-^акЛап(2/оО, (17)

вызванной потенциалом

^ = (18)

вероятность нахождения двухуровневого атома в возбужденном состоянии, если первоначально он находился в основном, при Е2 = 3/д имеет вид

Таким образом, вероятность представляет собой функцию, монотонно растущую от нуля при £ = 0 до 0,75 при £ —> оо. Существуют и другие критические значения параметров задачи, при которых вероятность населенности возбужденного уровня перестает осциллировать. Эти ситуации связаны как с возможностью повторных преобразований Дарбу, так и с выбором других начальных условий для двухуровневой системы. Установлено, что изменение начальных условий приводит к росту эффективности монотонного заселения возбужденного уровня вплоть до 93%. Показано, что двукратным воздействием частотно-модулируемых возмущений, таких как (18), возможно создание инверсной населенности с эффективностью до 97%. Причем, инверсная населенность имеет место и в присутствии эффектов релаксации, не превышающих определенных критических значений.

В простейшем случае результатом двукратного преобразования Дарбу колебаний Раби при совпадающих постоянных факторизации являться потенциал:

/2 (<) = /о - ^ И + 24/0¥ + 16/0¥) , (20)

где (¿о = 9 + 108/ц£2 + 48/ц + 64/®¿6. Установлено, что при двукратном преобразовании, в отличии от однократного, можно указать две возможности выбора параметров задачи, /д = Е2 4- и /ц = Е2 — , при которых вероятность населенности возбужденного уровня перестает совершать колебания. Интересные результаты получены при одновременном построении (см. рисунок 1) графиков вероятности населенности возбужденного уровня

Рис. 1: Вероятность населенности возбужденного состояния до преобразования (пунктирная линия); после первого (тонкая сплошная линия) и второго преобразований (жирная линия) при Е = 1. /02 = Е2 + ^ (слева) и /02 = Е2 — ^ (справа)

до преобразования и после первого и второго преобразований.

Пятая глава посвящена обобщению результатов для описания квантовой динамики кубита. В этом случае преобразованный потенциал /1(£), например, вида (18) или (20), представляет собой непосредственно управляющий импульс £■(£), а не описывает изменение его частоты со временем, как для двухуровневого атома. Воздействие таким гладким непериодическим зависящим от времени управляющим сигналом дает возможность приготовить кубит в наперед заданной суперпозиции состояний |0) и |1) (например, с вероятностью 3/4 в состоянии |1), см. формулу (19)) или локализовать его в одном из состояний с вероятностью вплоть до 97%. Изменение временного масштаба задачи, предложенное в пятой главе, позволяет записать выражения для вероятности и ее среднего в явном виде в любой момент времени. Наличие точных выражений, описывающих изменение вероятности перехода кубита из одного состояния в другое для указанных зависящих от времени возмущений, может способствовать развитию методов динамического контроля состояний кубита и открыть новые возможности при реализации двухкубитовых операций с независящей от времени и постоянно действующей связью. В заключении сформулированы основные результаты работы.

Основные результаты работы

1. Метод операторов преобразования Дарбу обобщен на систему Дирака с эффективным неэрмитовым гамильтонианом, описывающую эволюцию двухуровневой системы. Построен матричный оператор преобразования Дарбу, сохраняющий вещественность и структуру исходного потенциала в преобразованном.

2. Для функций преобразования специального вида получено обобщение формул Крума-Крейна на случай уравнения Дирака с эффективным неэрмитовым гамильтонианом, соответствующего двухуровневой системе. При совпадающих постоянных факторизации получены замкнутые аналитические выражения для сплетающего оператора цепочки преобразований Дарбу и преобразованного потенциала.

3. Установлено, что дираковские гамильтонианы, описывающие двухуровневую систему и связанные преобразованием Дарбу, являются псевдоэрмитово сопряженными.

4. Построены супер-заряды и супер-гамильтониан, которые вместе с операторами преобразования цепочки преобразований Дарбу замыкают полиномиальную псевдо-супералгебру. На этом основании сделан вывод о наличии скрытой полиномиальной псевдо-суперсимметрии у двухуровневой системы.

5. Установлено, что компоненты волновой функции двухуровневой системы удовлетворяют суперсимметричной паре уравнений Шредингера с комплексными потенциалами специального вида. Показано, как это приводит к возникновению псевдо-супералгебр, реализованных на пространстве однокомпонентных функций.

6. Получены новые точно решаемые возмущения двухуровневой системы. Обнаружен эффект исчезновения колебаний вероятности перехода двухуровневой системы в возбужденное состояние под их воздействием. Показано, что указанные зависящие от времени возмущения могут быть использованы для динамического контроля состояний двухуровневой системы (например, кубита) и способны привести к созданию инверсной населенности в ней с эффективностью до 97%.

Список работ по теме диссертации

Материалы, опубликованные в научных журналах, рекомендованных ВАК

1. Bagrov, V. G. Darboux transformation of two-level systems / V. G. Bagrov, M. C. Baldiotti, D. M. Gitman, V. V. Shamshutdinova // Annalen der Physik (Leipzig). - 2005. - Vol. 14, N 6. - P. 390-397.

2. Samsonov, B. F. Quadratic pseudo-supersymmetry in two-level systems / B. F. Samsonov, V. V. Shamshutdinova // Journal of Physics A: Mathematical and General. - 2005. - Vol. 38, N 21. - P. 4715-4726.

3. Samsonov, B. F. Polynomial pseudosupersymmetry underlying a two-level atom in an external electromagnetic field / B. F. Samsonov, V. V. Shamshutdinova, D. M. Gitman // Czechoslovak Journal of Physics. - 2005. - Vol. 55, N 9. - P. 1173-1176.

4. Shamshutdinova, V. V. Two-level systems: Exact solutions and underlying pseudo-supersymmetry / V. V. Shamshutdinova, B. F. Samsonov, D. M. Gitman // Annals of Physics (NY). - 2007. - Vol. 322, N 5. - P. 1043-1061.

5. Samsonov, B. F. Dynamical qubit controlling via pseudo-supersymmetry of two-level systems /' B. F. Samsonov, V. V. Shamshutdinova // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. - 2008. - Vol. 41, N 24. - P. 244023-1-244023-9.

6. Шамшутдинова, В. В. Динамика сверхпроводящих кубитов с точно решаемыми управляющими импульсами / В. В. Шамшутдинова, А. С. Кийко, С. Н. Шевченко, Б. Ф. Самсонов, А. Н. Омельянчук // Известия ВУЗов, Физика. - 2008. - Т. 6. - С. 25-32.

Научные труды и материалы выступлений на конференциях

7. Шамшутдинова, В. В. Преобразование Дарбу стационарного уравнения Шредингера // VII Всероссийская конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука и образование*: Материалы конференции / В 5 т. - Томск : Изд-во ТГПУ, 2003. - С. 180-185.

8. Шамшутдинова, В. В. Преобразование Дарбу для уравнения Дирака специального вида / В. В. Шамшутдинова, В. Г. Багров // I Всероссийская конференция студентов и молодых ученых «Перспективы развития фундаментальных наук»: Труды. - Томск : Изд-во ТПУ, 2004. - С. 163-165.

Список использованной литературы

[1] Bagrov, V. G. Spin équation and its solutions / V. G. Bagrov, D. M. Gitman, M. C. Baldiotti, A. D. Levin // Ann. Phys. (Leipzig) - 2005. - Vol. 14, N 11-12. - P. 764-789.

[2] Аллен, Л. Оптический резонанс и двухуровневые атомы / Л. Аллен, Дж. Эберли ; под ред. В. Л. Стрижевского ; пер. с англ. Т. М. Ильи новой, В. Л. Стрижевского. - М. : Мир, 1978. - 224 с.

[3] Абрагам, А. Ядерный манетизм / А. Абрагам ; под ред., пер. с англ. Г. В. Скроцкого. - М. : Изд. ин. лит, 1963. - 553 с.

[4] Валиев, К. А. Квантовые компьютеры: надежды и реальность / К. А. Валиев, А. А. Кокин. - М.-Ижевск : Регулярная и хаотическая динамика,

2001. - 350 с.

Тираж 100. Заказ № 1066. Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники 634050, г. Томск, пр. Ленина, 40

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Шамшутдинова, Варвара Владимировна

Введение

1 Полуклассическое описание взаимодействия двухуровневой системы с электромагнитным полем

2 Преобразование Дарбу двухуровневой системы

2.1 Однократное преобразование Дарбу.2б

2.1.1 Оператор преобразования.

2.1.2 Условие вещественности преобразованного потенциала

2.1.3 Выражение для преобразованного потенциала и его свойства.

2.2 Цепочки преобразований Дарбу

2.2.1 Общие свойства цепочек преобразований.

2.2.2 Преобразования при совпадающих постоянных факторизации

2.2.3 Преобразования при различных постоянных факторизации

3 Скрытая псевдо-суперсимметрия двухуровневой системы

3.1 Преобразование псевдо-суперсимметрии.

3.2 Псевдо-эрмитовые гамильтонианы Дирака и их свойства

3.3 Полиномиальная псевдо-суперсимметрия двухуровневой системы

3.4 Уравнение Шредингера с комплексным потенциалом и его скрытая псевдо-суперсимметрия

4 Преобразование Дарбу осцилляций Раби

4.1 Преобразование осцилляций Раби

4.2 Частные случаи:.

4.2.1 го2 > 0.

4.2.2 П72 < 0.

4.2.3 ш2 = 0.

4.3 Насыщение как начальное состояние атома.

4.4 Цепочки преобразований колебаний Раби.

4.5 Влияние процессов релаксации.

4.6 Условие адиабатичности.

5 Точно решаемые управляющие импульсы для сверхпроводящего кубита

Введение диссертация по физике, на тему "Точно решаемые возмущения двухуровневой системы на основе преобразований Дарбу"

На первый взгляд двухуровневая система является одной из наиболее изученных моделей квантовой физики, нашедшая широкую область применения в различных ее областях. Играя важную роль на протяжении всего развития квантовой механики, она вновь и вновь привлекает к себе внимание, позволяя обнаружить новые эффекты и явления по сей день. С первого появления в качестве спиновой переменной электрона и до современного образа в виде кубита двухуровневая система представляет собой прототип моделей физических систем и полигон для тестирования математических методов.

Воздействие внешним когерентным полем с модулируемыми параметрами (частота, интенсивность, длительность) на квантовую двухуровневую систему позволяет привести ее в желаемое состояние, а значит контролировать динамику этой системы. Создание хорошо определенного квантового состояния даже такой простой системы, как двухуровневая, открывает новые возможности для управления процессами, протекающими в атомах и молекулах. Причем речь идет не только о стандартных методах, развитых и нашедших широкое применение в теории столкновений, ядерного магнитного резонанса или квантовой оптики. Квантовый аналог бита (кубит) - элементарная единица квантовой теории информации - представляет собой квантово-механическую систему, обладающую двумя собственными состояниями. Процесс вычислений в теоретических моделях квантового компьютера происходит за счет управления квантовой динамикой отдельных кубитов и их групп, осуществляемого подачей на них внешних сигналов.

Двухуровневая модель является базовой при описании взаимодействия лазерного излучения с веществом. При описании процесса взаимодействия на микроскопическом (атомном) уровне учет лишь двух возможных состояний энергии существенно упрощает рассмотрение. В этом случае наиболее распространенными являются методы, способные привести к возникновению эффектов насыщения, когерентного разрушения туннелирования или полной инверсии между уровнями. Явление насыщения связывают с выравниванием вероятностей нахождения двухуровневой системы в любом из возможных состояний [1]. Когерентным разрушением туннелирования в задаче о двухямном потенциале [2]-[7] (динамической локализацией в теории переноса [8], [9] или захватом заселенности в атомной физике [10]) называют эффект подавления колебаний вероятности нахождения частицы в одной из ям (подавление переходов двухуровневой системы из одного состояния в другое), имеющих место в отсутствии возмущения. При этом система оказывается локализованной в начальном (невозбужденном) состоянии. Обратная ситуация, при которой двухуровневая система пребывает в возбужденном состоянии, связана с созданием инверсной населенности. Два наиболее известных метода инвертирования двухуровневой системы -это накачка 7г-импульсамп [11]-[13] и быстрое адиабатическое прохождение резонанса или адиабатическая инверсия [12], [14]-[17].

Первый метод основан на использовании осцилляций Раби населенности уровней [18], характерных для когерентного возбуждения двухуровневой системы [19]. Действуя монохроматическим полем, настроенным точно в резонанс с частотой перехода между уровнями, можно индуцировать полную, но кратковременную, инверсию населенности. Частота излучения при этом остается постоянной в течение всей длительности возмущения, а огибающая импульса (амплитуда) может иметь любую подходящую временную зависимость. Регулируя интенсивность и длительность импульса таким образом, что временной интеграл от частоты Раби (площадь импульса) равен 7г (или кратен нечетному целому числа 7г), возможно обратить населенность уровней [11], [19]. Более длительный импульс с площадью 2тх возвращает населенность в исходное состояние. Вероятность инвертировать систему имеет осциллирующий характер во времени.

7г-импульсы относятся к ультракоротким воздействиям: их длительность много меньше времен релаксации, что позволяет минимизировать эффекты от этих процессов (спонтанной эмиссии, столкновений в газе, рассеяние фононов в твердом теле и т.д.). Ультракороткое возмущение приводит к инверсной населенности за очень короткий промежуток времени, что способствует широкому использованию 7г-импульсов в самых различных областях квантовой физики, от ядерного магнитного резонанса до квантовой теории информации.

Главный недостаток подобного способа создания инверсной населенности заключается в необходимости очень точного контроля площади импульса, что является трудно выполнимым на практике [20]. Дополнительные трудности связаны с требованием использования точно резонансного возмущения: для достижения удовлетворительной инверсной населенности различие между частотой излучения и частотой перехода должно быть много меньше амплитуды импульса [21].

Альтернативный механизм создания инверсной населенности основан на быстром адиабатическом прохождении частоты внешнего поля через резонанс [14], [15], [22], [23]. Изменение состояния системы происходит за временной интервал, который меньше времен релаксации, но при этом расстройка частот меняется адиабатически [24]. Термин «адиабатическое прохождение» возник в теории магнитного резонанса [11], [13]. Для описания данного процесса широко используются понятия адиабатических и диаба-тических состояний, а также их графическая иллюстрация как функций времени или частоты. Невозмущенные состояния системы (диабатические кривые, диабатические термы или состояния) пересекаются, когда несущая частота импульса равна частоте перехода между уровнями. Возмущение системы приводит к тому, что пересекающиеся кривые начинают уклоняться от пересечения; результирующие кривые называются адиабатическими (одетыми) состояниями системы. Оказалось, что если адиабатически изменять расстройку частот от большой отрицательной величины до большой положительной величины (большой по сравнению с частотой Раби [12]), то инверсия населенности будет меняться адиабатически от —1 до +1. Вероятность инвертировать систему имеет монотонный характер во времени. Иначе говоря, населенность основного состояния можно адиабатически инвертировать, причем конечное состояние может быть заселено со 100% эффективностью [11], [22]. Явление известно как адиабатическое прохождение резонанса или, поскольку этот процесс должен протекать за время, которое много меньше времени жизни возбужденного состояния [12], -быстрое адиабатическое прохождение. Данный эффект имеет место, если расстройка частот системы и внешнего поля зависит от времени. В случае постоянной расстройки диабатичсские кривые параллельны друг другу, что позволяет создать полный возврат населенности [12].

Схема, основанная на адиабатической инверсии, имеет преимущество по сравнению с 7г-импульсами в том, что значительные изменения параметров внешних полей не оказывают существенного влияния на конечный результат. Следовательно, этот метод является более устойчивым: он мало чувствителен к площади импульса, к его форме, а также к точному расположению резонанса и времени взаимодействия. Важно отметить, что фактическая величина расстройки не очень важна. Это означает, что данный способ приготовления системы в определенном квантовом состоянии можно применять для неоднородно уширенных сред типа газа, в которых различные атомы, движущиеся с различными скоростями, вследствие до-плеровских сдвигов имеют различные собственные частоты. К тому же, метод адиабатического прохождения использует импульсы малой интенсивности, что позволяет как минимизировать некогерентные потери, индуцируемые сильными полями, так и избежать возбуждения других энергетических уровней, т. е. оставаться в рамках двухуровневой модели.

Сложности создания адиабатической инверсии связаны с необходимостью использовать медленно меняющиеся частоты полей, и, следовательно, длительные импульсы. К тому же, медленный перенос населенности способствует усилению роли эффектов релаксации, которые уменьшают населенность уровней.

Использование 7г-импульсов или адиабатической инверсии является распространенным способом инвертирования двухуровневых систем самой разнообразной природы в различных областях физики. Возникнув в теории магнитного резонанса, эти методы были адаптированы к условиям квантовой оптики и теории столкновений. В настоящее время они уже широко используются в квантовой теории информации.

Описание процессов насыщения, когерентного разрушения туннелиро-вания или инверсии населенности, создаваемой в том числе упомянутыми выше методами, часто проводится в рамках полуклассического подхода к изучению взаимодействия излучения с веществом. Внешнее поле, независимо от его природы, считается классическим, а объект воздействия (двухуровневая система) - квантовым. Полуклассический анализ дает точное описание большого класса явлений, например, «фотонные эхо», эффекты нелинейной спектроскопии и др. [1], [11]. Многие свойства лазерного излучения, такие как, например, частотная избирательность, фазовая когерентность и направленность, могут быть объяснены в пределах этих рамок [25]. Тем не менее, даже идеализированная задача о поведении двухуровневой системы в классическом монохроматическом поле произвольной частоты и амплитуды не имеет точного аналитического решения. Численное интегрирование уравнений эволюции такой системы, как установлено в [11], [26]-[29], может привести к потери общей картины качественных особенностей решений. Таким образом, значительный интерес представляют именно точные аналитические решения. Начиная с первых работ Розена и Зине-ра [30], Ландау [31], [32], Раби [18], проблеме нахождения аналитических решений для двухуровневой системы во внешнем поле были посвящены труды многих авторов, таких как Ванье [33], Никитин [34]-[36], Демков [37], Каплан [38], Аллен и Эберли [11], Ли и Джордж [39], Крозерс [40], Бам-бини и Берман [27], Бамбини и Линберг [41]. Значительные успехи в создании единообразия и обобщения различных аналитических результатов были достигнуты Хиое и Керроллом [26], [42]—[45], а также Багровым и Гитманом [46].

В случае точного резонанса, когда частота внешнего поля равна частоте перехода между уровнями, уравнение Шредингера для двухуровневой системы имеет точное аналитическое решение при любой форме импульса. Вероятность перехода в возбужденное состояние полностью определяется значением площади импульса, что лежит в основе создания 7г-импульсов.

Существует ряд аналитически решаемых нерезонансных двухуровневых моделей. Они также нашли широкое применение в самых различных областях квантовой физики. В простейшем случае постоянной частоты и амплитуды синусоидального возмущения вероятность населенности верхнего уровня двухуровневой системы совершает колебания между значениями, равными 0 и 1. Частота этих осцилляций известна, как частота Раби [18]. Модель Ландау-Зинера [31], [32], [47]—[50] описывает случай монохроматической волны с постоянной амплитудой и частотой, линейно зависящей от времени. Эта учебная модель используется в самых разнообразных задачах от теории адиабатических переходов и до квантовой теории информации. Экспоненциальная модель Никитина [34]—[36], [51] является полуклассической эталонной задачей о локализованной неадиабатической связи двух состояний [52], [53]. Также широкое применение в теории атомных столкновений нашли модели Демкова [37], [54], [55], Демкова-Кунике [44], [56]—[58]. Задачи Розена-Зинера [30], Аллен-Эберли [11], [42], и

Бамбини-Берман [27], [59] являются частными случаями более общей проблемы Демкова-Кунике [60]. Модель Мак-Колла и Хана [61] лежит в основе явления, получившего название самоиндуцированной прозрачности [11].

Недостатком многих указанных работ является то, что результаты вычислений можно считать точными лишь в некоторых пределах параметров системы. Также стоит отметить, что часто решения задач записываются через специальные функции, а выражения для вероятностей обнаружить двухуровневую систему в одном из состоянии имеют простой аналитический вид только в пределе больших времен. Следовательно, значительный теоретический интерес представляет развитие методов, позволяющих построить точные решения уравнения эволюции двухуровневой системы для гладких внешних полей и представить результаты вычислений в явном виде через элементарные функции. Возможность создания наперед заданного квантового состояния двухуровневой системы с помощью таких возмущений придает практическую значимость такой задаче.

Данная диссертация посвящена развитию метода построения точно решаемых возмущений уравнения Шредиигера двухуровневой системы на основе преобразований Дарбу, анализу полученных точных решений и исследованию свойств физических систем, описываемых данным уравнением.

Для достижения поставленной цели были выделены следующие задачи:

2. исследовать свойства цепочек преобразований Дарбу;

Основные положения, выносимые на защиту:

1. развит метод построения точно решаемых возмущении двухуровневой системы, основанный на представлении уравнения Шредингера в виде одномерного стационарного уравнения Дирака с эффективным неэрмитовым гамильтонианом и использовании преобразований Дарбу;

2. установлено наличие у двухуровневой системы скрытой полиномиальной псевдо-суперсимметрии, связанной с цепочками преобразований Дарбу;

3. построены новые зависящие от времени возмущения, способные привести к инверсной населенности двухуровневой системы и реализовать динамический контроль состояния двухуровневого атома или фазового/зарядового кубита. Найдены критические значения параметров, при которых под действием указанных точно решаемых возмущений вероятность перехода двухуровневой системы в возбужденное состояние монотонно растет со временем вплоть до значения, равного 0,97.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. В первой главе приведены основные формулы, которые используются при аналитическом и численном описании эволюции двухуровневой системы. Указана связь между их различными модификациями в зависимости от условий задачи. Подробно рассмотрена модель квантовой оптики - двухуровневый атом во внешнем электрическом поле. Большая часть результатов работы приведена с использованием терминологии, принятой для этой системы. Также рассмотрены способы описания эволюции других двухуровневых моделей квантовой физики: частица со спином 1/2 и квантовый бит. Отмечено место развитых в работе методов построения новых точных решений для двухуровневой системы среди известных.

Заключение диссертации по теме "Теоретическая физика"

Основные результаты работы опубликованы в статьях [64]-[69].

В заключение я считаю своим долгом выразить глубокую признательность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Самсонову Б. Ф., зав. кафедрой квантовой теории поля ФФ ТГУ доктору физико-математических наук, профессору Багрову В. Г. и всем ее сотрудникам за полезные обсуждения и всестороннюю помощь в работе.

Заключение

В настоящей диссертации получены следующие основные результаты.

3. Установлено, что дираковские гамильтонианы, описывающие двухуровневую систему и связанные преобразованием Дарбу, являются псевдо-эрмитово сопряженными.

5. Установлено, что компоненты волновой функции двухуровневой системы удовлетворяют суперсимметричной паре уравнений Шрединге-ра с комплексными потенциалами специального вида. Показано, как это приводит к возникновению псевдо-супералгебр, реализованных на пространстве однокомпонентных функций.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Шамшутдинова, Варвара Владимировна, Томск

1. Делоне, Н. Б. Взаимодействие лазерного излучения с веществом / Н. Б. Делоне. М. : Наука, 1989. - 280 с.

2. Grossmann, F. Coherent destruction of tunneling / F. Grossmann, T. Dittrich, P. Jung, P. Hanggi // Phys. Rev. Lett. 1991. - Vol. 67, N 4. - P. 516-519.

3. Grossmann, F. Tunneling in a periodically driven bistable system / F. Grossmann, P. Jung, T. Dittrich, P. Hanggi // Z. Phys. B. 1991. - Vol. 84, N 2. - P. 315-325.

4. Grossmann, F. Localization in a driven two-level dynamics / F. Grossmann, P. Hanggi // Europhys. Lett. 1992. - Vol. 18, N 7. - P. 571-576.

5. Lopez-Castillo, J.-M. Periodic motion around the crossing point in a two-level system / J.-M. Lopez-Castillo, A. Filali-Mouhim, J.-P. Jay-Gerin // J. Chem. Phys. 1992. - Vol. 97, N 3. - P. 1905-1910.

6. Cukier, R. I. Dynamics of single and multiple Zener transitions / R. I. Cukier, M. Morillo, J. M. Casado // Phys. Rev. B. 1992. - Vol. 45, N 3. - P. 1213-1222.

7. Gomez Llorente, J. M. Tunneling control in a two-level system / J. M. Gomez Llorente, J. Plata // Phys. Rev. A. 1992. - Vol. 45, N 10. -R6958-R6961.

8. Dunlap, D. H. Dynamic localization of a charged particle moving under the influence of an electric field / D. H. Dunlap, V. M. Kenkre // Phys. Rev. B. 1986. - Vol. 34, N 6. - P. 3625-3633.

9. Raghavan, S. Relation between dynamic localization in crystals and trapping in two-level atoms / S. Raghavan, V. M. Kenkre, D. H. Dunlap, A. R. Bishop, M. I. Salkola // Phys. Rev. A. 1996. - Vol. 54, N 3. - P. R1781-R1784.

10. Agarwal, G. S. Realization of trapping in a two-level system with frequency-modulated fields / G. S. Agarwal, W. Harshawardhan // Phys. Rev. A. 1994. - Vol. 50, N 6. - P. R4465-R4467.

11. Аллен, JI. Оптический резонанс и двухуровневые атомы / JI. Аллеи, Дж. Эберли ; под ред. В. JI. Стрижевского ; пер. с англ. Т. М. Ильи-новой, В. JI. Стрижевского. М. : Мир, 1978. - 224 с.

12. Vitanov, N. V. Laser-induced population transfer by adiabatic passage techniques / N. V. Vitanov, T. Halfmann, B. W. Shore, K. Bergmann // Annu. Rev. Phys. Chem. 2001. - Vol. 52. - P. 763-809.

13. Абрагам, А. Ядерный манетизм / А. Абрагам ; под ред., пер. с англ. Г. В. Скроцкого. М. : Изд. ин. лит, 1963. - 553 с.

14. Nikitin, Е. Е. Theory of energy transfer in molecular collisions / edited by W. Jost // Physical chemistry. An Advanced Treatise. New York : Academic Press, 1974. - Vol. 6A - P. 216-222.

15. Oreg, J. Adiabatic following in multilevel systems / J. Oreg, F. T. Hioe, J. H. Eberly // Phys. Rev. A. 1984. - Vol. 29, N 2. - P. 690-697.

16. Kroon, J. P. C. Rabi oscillations in the optical pumping of a metastable neon beam with a cw dye laser / J. P. C. Kroon, H. A. J. Senhorst, H. C. W. Beijerinck et al. // Phys. Rev. A. 1985. - Vol. 31, N 6. - P. 3724-3732.

17. Oreg, J. Multilevel inversion schemes in and beyond the adiabatic limit

18. J. Oreg, G. Hazak, J. H. Eberly // Phys. Rev. A. 1985. - Vol. 32, N 5. - P. 2776-2783.

19. Rabi, I. I. Space quantization in a gyrating magnetic field / I. I. Rabi // Phys. Rev. 1937. - Vol. 51, N 8. - P. 652-654.

20. Shore, B. W. The theory of coherent atomic excitation / B. W. Shore. -New York : Wiley Interscience, 1990.

21. Shore, B. W. Laser-induced population transfer in multistate systems: A comparative study / B. W. Shore, K. Bergmann, A. Kuhn et al. // Phys. Rev. A. 1992. - Vol. 45, N 7. - P. 5297-5300.

22. Baum, J. Broadband and adiabatic inversion of a two-level system by phase-modulated pulses / J. Baum, R. Tycko, A. Pines // Phys. Rev. A. 1985. - Vol. 32, N 6. - P. 3435-3447.

23. Melinger, J. S. Generation of narrowband inversion with broadband laser pulses / J. S. Melinger, S. R. Gandhi, A. Hariharan et al. // Phys. Rev. Lett. 1992. - Vol. 68, N 13. - P. 2000-2003.

24. Melinger, J. S. Adiabatic population transfer with frequency-swept laser pulses / J. S. Melinger, S. R. Gandhi, A. Hariharan et al. //J. Chem. Phys. 1994. - Vol. 101, N 8. - P. 6439-6454.

25. Shore, B. W. Coherent manipulations of atoms using laser light // Acta Physica Slovaca. 2008. - Vol. 58, N 3. - P. 243-486.

26. Sargent III, M. Laser physics / M. Sargent III, M. O. Scully, W. E. Lamb Jr. Boston, Mass. : Addison-Wesley, Reading, 1974.

27. Carroll, C. E. A new class of analytic solutions of the two-st,a,te problem / C. E. Carroll, F. T. Hioe //J. Phys. A: Math. Gen. 1986. - Vol. 19, N 17. - P. 3579-3597.

28. Bambini, A. Analytic solutions to the two-state problem for a class of coupling potentials / A. Bambini, P. R. Berman // Phys. Rev. A. 1981.- Vol. 23, N 5. P. 2496-2501.

29. Boffa, V. Second-order differential equations with variable coefficients: Analytical solutions / V. Boffa, S. Bollanti, G. Dattoli, A. Torre // Nuovo Cimento B. 1987. - Vol. 99, N 1. - P. 53-60.

30. Takayama, K. A class of solvable second-order ordinary differential equations with variable coefficients //J. Math. Phys. 1986. - Vol. 27, N 7. - P. 1747-1749.

31. Rosen, N. Double Stern-Gerlach experiment and related collision phenomena / N. Rosen, C. Zener // Phys. Rev. 1932. - Vol. 40, N 4. - P. 502-507.

32. Landau, L. D. On the theory of transfer of energy at collisions II // Phys. Z. Sowjetunion. 1932. - Vol. 2. - P. 46-51.

33. Zener, C. Non-Adiabatic Crossing of Energy Levels // Proc. R. Soc. London Ser. A. 1932. - Vol. 137. - P. 696-702.

34. Wannier, G. H. Probability of violation of the Ehrenfest principle in fast passage // Physics. 1965. - Vol. 1. - P. 251-253.

35. Никитин, E. E. Вероятность неадиабатических переходов в случае бездивергентных членов // Оптика и спектроскопия. 1962. - Т. 13.- С. 761-766.

36. Nikitin, Е. Е. The theory of nonadiabaic transitions. Recent development with the exponential model // Adv. Quantum Chem. 1970. - Vol. 5. -P. 135-184.

37. Nikitin, E. E. Resonance and nonresonance intermolecular energy-exchange in molecular collisions // Discuss. Faraday Soc. 1962. - Vol. 33. - P. 14-21.

38. Демков, Ю. H. Перенос заряда при малых резонанасных дефектах // ЖЭТФ. 1963. - Т. 45. - С. 195-202.

39. Каплан, А. Е. Точная теория релаксации двухуровневых систем в сильном немонохроматическом поле // ЖЭТФ. 1973. - Т. 65. - С. 1416-1430.

40. Lee, H. W. Analytic solutions to two-state collision problems for the case of exponential coupling / H. W. Lee, T. F. George // Phys. Rev. A.1984. Vol. 29, N 5. - P. 2509-2517.

41. Crothers, D. S. F. Stueckelberg phases: the three-parameter exponential model // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 1978. - Vol. 11, N 6. - P. 1025-1037.

42. Bambini, A. Transition probability of a two-level atom interacting with a time-symmetric pulse / A. Bambini, M. Linberg // Phys. Rev. A. 1984.- Vol. 30, N 2. P. 794-802.

43. Hioe, F. T. Solutions of Bloch equations involving amplitude and frequency modulations // Phys. Rev. A. 1984. - Vol. 30, N 4. - P. 2100-2107.

44. Hioe, F. T. Analytic solutions to the two-state problem for chirped pulses / F. T. Hioe, С. E. Carroll // J. Opt. Soc. Am. B. 1985. - Vol. 2, N 3.- P. 497-502.

45. Hioe, F. T. Two-state problems involving arbitrary amplitude and frequency modulations / F. T. Hioe, С. E. Carroll // Phys. Rev. A.1985. Vol. 32, N 3. - P. 1541-1549.

46. Bagrov, V. G. Spin equation and its solutions / V. G. Bagrov, D. M. Gitman, M. C. Baldiotti, A. D. Levin // Ann. Phys. 2005. - Vol. 14, N 11-12. - P. 764-789.

47. Stueckelbcrg, C. Theory of inelastic collisions between atoms // Helv. Phys. Acta. 1932. - Vol. 5. - P. 369-423.

48. Harmin, D. A. Intramanifold level mixing by time-dependent electric fields: Multilevel Landau-Zener effect // Phys. Rev. A. 1991. - Vol. 44, N 1. - P. 433-461.

49. Vitanov, N. V. Landau-Zener model Effects of finite coupling duration / N. V. Vitanov, В. M. Garraway // Phys. Rev. A. - 1996. - Vol. 53, N 6. - P. 4288-4304.

50. Vitanov, N. V. Nonlinear level-crossing models / N. V. Vitanov, K.-A. Suominen // Phys. Rev. A. 1999. - Vol. 59, N 6. - 4580-4588.

51. Vitanov, N. V. Generalized Nikitin model: strong-coupling approximation // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 1994. - Vol. 27, N 9. - P. 1791-1807.

52. Nikitin, E. E. Theory of Slow Atomic Collisions / E. E. Nikitin, S. Ya. Umanskii. Berlin : Springer-Verlag, 1984. - 432 p.

53. Никитин, E. E. Медленные атомные столкновения / E. E. Никитин, Б. M. Смирнов. М. : Энергоатомиздат, 1990. - 256 с.

54. Vitanov, N. V. Generalized Demkov model: strong-couplingapproximation //J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 1993. - Vol. 26, N 3. - P. L53-L60.

55. Vitanov, N. V. Generalized Demkov model: strong-coupling approximation //J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. P. 2085 (erratum).

56. Демков, Ю. H. Гипергеометрическая модель для двухуровневого приближения в теории столкновений / Ю. Н. Демков, М. Кунике // Вести. Ленингр. ун-та. 1969. - N 16, вып. 3. - С. 39-45.

57. Zakrzewski, J. Analytic solutions of the two-state problem for a class of chirped pulses // Phys. Rev. A. 1985. - Vol. 32, N 6. - P. 3748-3751.

58. Suominen, K.-A. Population transfer in a level-crossing model with two time scales / K.-A. Suominen, В. M. Garraway // Phys. Rev. A. 1992.- Vol. 45, N 1. P. 374-386.

59. Kyoseva, E. S. Coherent pulsed excitation of degenerate multistate systems: Exact analytic solutions / E. S. Kyoseva, N. V. Vitanov // Phys. Rev. A. 2006. - Vol. 73, N 2. - P. 023420-1-023420-11.

60. Vitanov, N. V. Coherent excitation of a degenerate two-level system by an elliptically polarized laser pulse / N. V. Vitanov, Z. Kis, B. W. Shore // Phys. Rev. A. 2003. - Vol. 68, N 6. - P. 063414-1-063414-16.

61. McCall, S. L. Self-induced transparency / S. L. McCall, E. L. Hahn // Phys. Rev. 1969. - Vol. 183, N 2. - P. 457-485.

62. Crum, M. Associated Sturm-Liouville systems // Quart. J. Math. 1955.- Vol. 6. P. 121-127.

63. Крейн, M. Г. О континуальном аналоге одной формулы Кристоффеля из теории ортогональных многочленов // ДАН СССР. 1957. - Т. 113.- С. 970-973.

64. Bagrov, V. G. Darboux transformation of two-level systems / V. G. Bagrov, M. C. Baldiotti, D. M. Gitman, V. V. Shamshutdinova // Ann. Phys. 2005. - Vol. 14, N 6. - P. 390-397.

65. Samsonov, B. F. Quadratic pseudo-supersymmetry in two-level systems / B. F. Samsonov, V. V. Shamshutdinova //J. Phys. A: Math. Gen. -2005. Vol. 38, N 21. - P. 4715-4726.

66. Samsonov, B. F. Polynomial pseudosupersymmetry underlying a two-■ level atom in an external eletromagnetic field / B. F. Samsonov, V. V.

67. Shamshutdinova, D. M. Gitman // Czech. J. Phys. 2005. - Vol. 55, N 9. - P. 1173-1176.

68. Shamshutdinova, V. V. Two-level systems: Exact solutions and underlying pseudo-supersymmetry / V. V. Shamshutdinova, B. F. Samsonov, D. M. Gitman // Ann. Phys. (NY). 2007. - Vol. 322, N 5. - P. 1043-1061.

69. Шамшутдинова, В. В. Динамика сверхпроводящих кубитов с точно решаемыми управляющими импульсами / В. В. Шамшутдинова, А. С. Кийко, С. Н. Шевченко, Б. Ф. Самсонов, А. Н. Омельянчук // Изв. ВУЗов, Физика. 2008. - Т. 6. - С. 25-32.

70. Samsonov, В. F. Dynamical qubit controlling via pseudo-supersymmetry of two-level systems / B. F. Samsonov, V. V. Shamshutdinova //J. Phys. A: Math. Theor. 2008. - Vol. 41, N 24. - P. 244023-1-244023-9.

71. Фейнман, P. Ф. Фейнмановские лекции по физике / Р. Фейнман, P. Лейтон, М. Сэндс ; пер. с англ. Г. И. Копылова ; под ред. Я. А. Смо-родинского // В 9 вып. М. : Едиториал УРСС, 2004. - Вып. 8-9. -Т. 1. - 523 с.

72. Garraway, В. М. Population dynamics and phase effects in periodic levelcrossings / В. M. Garraway, N. V. Vitanov // Phys. Rev. A. 1997. -Vol. 55, N 6. - P. 4418-4432.

73. Скалли, M.O. Квантовая оптика / M.O. Скалли, М.С. Зубайри ; под ред. В. В. Самарцева ; пер. с англ. А. А. Калачева, Т. Г. Митрофано-вой, В. В. Самарцева, Р. Н. Шахмуратова. М. : Физматлит, 2003. -512 с.

74. Тарасов, JI. В. Введение в квантовую оптику / J1. В. Тарасов. М. : Высш. шк, 1987. - 304 с.

75. Orszag, М. Quantum optics / М. Orszag. Berlin : Springer-Verlag, 2000.- 363 p.

76. Nakamura, Y. Coherent control of macroscopic quantum states in a single-cooper-pair box / Y. Nakamura, Yu. A. Pashkin, J. S. Tsai // Nature. -1999. Vol. 398. - P. 786-788.

77. Makhlin, Y . Quantum-state engineering with Josephson-junction devices / Y. Makhlin, G. Schon, A. Shnirman // Rev. Mod. Phys. 2001. - Vol. 73, N 2. - P. 357-400.

78. Wendin, G. Superconducting circuits, qubits and computing / G. Wendin, V. S. Shumeiko // Handbook of Theoretical and Computational Nanotechnology / Eds. M. Rieth, W. Schommers. Los Angeles : American Scientific Publishers, 2006. - Vol. 3. - P. 223-309.

79. Grifoni, M. Driven quantum tunneling / M. Grifoni, P. Hänggi // Phys. Rep. 1998. - Vol. 304. - P. 229-354.

80. Makhlin, Yu. Josephson-junction qubits with controlled couplings / Y. Makhlin, G. Schön, A. Shnirman // Nature. 1999. - Vol. 398 - P. 305307.

81. Averin, D. V. Adiabatic quantum computation with cooper pairs / D. V. Averin // Solid State Comm. 1998. - Vol. 105, N 10. - P. 659-664.

82. Shnirman, A. Quantum manipulation of small Josephson junctions / A. Shnirman, G. Schön, Z. Hermon // Phys. Rev. Lett. 1997. - Vol. 79, N 12. - P. 2371-2374

83. Shnirman, A. Quantum measurements performed with a single-electron transistor / A. Shnirman, G. Schön // Phys. Rev. B. 1998. - Vol. 57, N 24. - P. 15400-15407.

84. Mooij, J. E. Josephson Persistent-Current Qubit / J. E. Mooij, T. P. Orlando, L. Levitov, L. Tian, C. H. van der Wal, S. Lloyd // Science. -1999. Vol. 285. - P. 1036-1039.

85. Bocko, M. F. Prospects for quantum coherent computation using superconducting electronics / M. F. Bocko, A. M. Herr, M. J. Feldman // IEEE Trans. Appl. Supercond. 1997. - Vol. 7, N 2? Part 3. - P. 3638-3641.

86. Ioffe, L. B. Environmentally decoupled sds-wave Josephson junctions for quantum computing / L. B. Ioffe, V. B. Geshkenbein, M. V. Feigel'man, A. L. Faucherem, G. Blatter // Nature. 1999. - Vol. 398. - P. 679-681.

87. Bloch, F. Nuclear induction // Phys. Rev. 1946. - Vol. 70, N 7-8. - P. 460-474.

88. Zakrzewski, J. Ananlytic solutions of the two-state problem for a class of chirped pulses // Phys. Rev. A. 1985. - Vol. 32, N 6. - P. 3748-3751.

89. Vitanov, N. V. Complete population inversion by a phase jump: an exactly soluble model // New Journal of Physics. 2007. - Vol. 9. - P. 58-13.

90. Torosov, B. T. Coherent control of a quantum transition by a phase jump / B. T. Torosov, N. V. Vitanov // Phys. Rev. A. 2007. - Vol. 76, N 5. - P. 053404-1-053404-7.

91. Robinson, E. J. Two-level systems driven by modulated pulses // Phys. Rev. A. 1985. - Vol. 31, N 6. - P. 3986-3987.

92. Osherov, V. I. Nonadiabatic transmission: Exact quantum-mechanical solution for a special case of the two-state exponential model / V. I.

93. Osherov, V. G. Ushakov // Phys. Rev. A. 2006. - Vol. 73, N 2. - P. 022713-1-022713-8.

94. Carroll, С. E. Analytic solution of the two-state problem / С. E. Carroll, F. T. Hioe // Phys. Rev. A. 1990. - Vol. 41, N 5. - P. 2835-2836.

95. Ishkhanyan, A. M. New analytically integrable models of the two-state problem // Opt. Communi. 2000. - Vol. 176. - P. 155-161.

96. Shirley, J. H. Solution of the Schrôdinger equation with a Hamiltonian periodic in time // Phys. Rev. 1965. - Vol. 138, N 4B. - P. B979-B987.

97. Wagner, M. Photon-assisted transmission through an oscillating quantum well: A transfer-matrix approach to coherent destruction of tunneling // Phys. Rev. A. 1995. - Vol. 51, N 1. - P. 798-808.

98. Prants, S. V. Lie algebraic solution of Bloch equations with time-dependent coefficients // Phys. Lett. A. 1990. - Vol. 144, N 4-5. -P. 225-228.

99. Fiordilino, E. A method of solution of the two-state Schrfdinger equation // Nuovo Cimento D. 1987. - Vol. 9, N 6. - P. 599-608.

100. Torrey, H. C. Transient nutations in nuclear magnetic resonance // Phys. Rev. 1949. - Vol. 76, N 8. - P. 1059-1068.

101. Левитан, Б.M. Обратные задачи Штурма-Лиувилля / Б.М. Левитан. М. : Наука, 1984.- 239 с.

102. Darboux, G. Sur la representation spheric des surfaces // Compt. Rend. Acad. Sci. Paris. 1882. - Vol. 94. - P. 1343-1345.

103. Darboux, G. Sur une proposition relative aux équation linéaires // Compt. Rend. Acad. Sci. Paris. 1882. - Vol. 94. - P. 1456-1459.

104. Darboux, G. Leçons sur la théorie générale des surfaces et les application géométriques du calcul infinitésimale. Deuxiem partie / G. Darboux -Paris: Gautier-Villar et Fils, 1915. 579 p.

105. Айне, Э. JI. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Э. JI. Айне. Харьков: ОНТИ, 1939. - 719 с.

106. Schminke, U. On Schrôdinger factorization method for Sturm-Liouville operators // Proc. Roy. Soc. Edinbourgh A. 1978. - Vol. 80. - P. 67-84.

107. Alves, N. A. The factorization method and supersymmetry / N. A. Alves, E. D. Filho // J. Phys. A: Math. Gen. 1988. - Vol. 21, N 15. - P. 3215, 3225.

108. Fernandez, F. M. Alternative factorization of eigenvalue problems in one dimensions / F. M. Fernandez, A. Lopez, A. L. Pineiro, B. Moreno //J. Phys. A: Math. Gen. 1994. - Vol. 27, N 14. - P. 5013-5028.

109. Andrianov, A. A. The factorization method and quantum systems with equivalent energy spectra / A. A. Andrianov, N. V. Borisov, M. V. Ioffe // Phys. Lett. A. 1984. - Vol. 105, N 1-2. - P. 19-22.

110. Adhikary, R. Exact solutions for polynomial potentials using supersymmetry inspired factorization method / R. Adhikary, R. Dutt // Phys. Lett. A. 1989. - Vol. 141, N 1-2. - P. 1-8.

111. Багров, В. Г. Преобразование Дарбу, факторизация, суперсимметрия в одномерной квантовой механике / В. Г. Багров, Б. Ф. Самсонов // ТМФ. 1995. - Т. 104. - С. 356-367.

112. Андрианов, А. А. Суперсимметричная механика: новый взгляд на эквивалентность квантовых систем / А. А. Андрианов, Н. В. Борисов, М. В. Иоффе, М. И. Эйдес // ТМФ. 1984. - Т. 61, N 1. - С. 17-28.

113. Андрианов, А. А. Квантовые системы с одинаковыми спектрами энергии / А. А. Андрианов, Н. В. Борисов, М. В. Иоффе // Письма в ЖЭТФ. 1984. - Т. 39. - С. 78-80.

114. Андрианов, А. А. Теория рассеяния для суперсимметричного гамильтониана и суперсимметрия ядерных взаимодействий / А. А. Андрианов, Н. В. Борисов, М. В Иоффе // ТМФ. 1987. - Т. 72. - С. 97-111.

115. Anderson, A. Intertwining of exactly solvable Dirac equations with one-dimensional potentionals // Phys. Rev. A. 1991. - Vol. 43, N 9. - P. 4602-4610.

116. Daskalov, V. B. Explicit formulae for the inverse problem for the regular Dirac operator / V. B. Daskalov, E. Kh. Khristov // Inverse Problems. -2000. Vol. 16 - P. 247-258.

117. Салль, M. А. Преобразование Дарбу для неабелевых и нелокальных уравнений типа цепочки Тоды // ТМФ. 1982. - Т. 53. - С. 227-237.

118. Салль, М. A. L-A пары с рациональной зависимостью от спектральных параметров. Преобразование Дарбу // Зап. научн. семин. ЛОМИ. 1987. - Т. 161. - С. 72-75.

119. Stahlholfen, A. A. Supertransparent potentials for the Dirac equation // J. Phys. A: Math. Gen. 1994. - Vol. 27, N 24. - P. 8279-8290.

120. Yurov, A. V. Darboux transformation for the Dirac equation with (1 + 1) potentials // Phys. Lett. A. 1997. - Vol. 225, N 1-3. - P. 51-59.

121. Самсонов, Б. Ф. Преобразование Дарбу одномерного стационарного ' уравнения Дирака / Б. Ф. Самсонов, А. А. Печерицын // Изв. ВУЗов, Физика. 2000. - Т. 43. - С. 48-54.

122. Debergh, N. Darboux transformations of the one-dimensional stationary Dirac equation / N. Debergh, A. A. Pecheritsin, B. F. Samsonov, B. Van Den Bossche //J. Phys. A: Math. Gen. 2002. - Vol. 35, N 14. - P. 3279-3287.

123. Nieto, L. M. Intertwining technique for the one-dimensional stationary Dirac equation / L. M. Nieto, A. A Pecheritsin, B. F. Samsonov // Ann. Phys. (NY). 2003. - Vol. 305, N 2. - P. 151-189.

124. Самсонов, В. Ф. Преобразование Дарбу для одномерного стационарного уравнения Дирака с псевдоскалярным потенциалом / Б. Ф. Самсонов, А. А. Печерицын // Изв. ВУЗов, Физика. 2002. - Т. 45. - С. 14-19.

125. Самсонов, Б. Ф. Преобразование Дарбу для одномерного стационарного уравнения Дирака со скалярным потенциалом / Б. Ф. Самсонов, А. А. Печерицын // Изв. ВУЗов, Физика. 2002. - Т. 45. - С. 74-79.

126. Samsonov, B. F. New exactly solvable periodic potential for the Dirac equation / B. F. Samsonov, A. A. Pecheritsin, E. O. Pozdeeva, M. L Glasser // Eur. J. Phys. 2003. - Vol. 24, N 4. - P. 435-441.

127. Багров, В. Г. Преобразование Дарбу уравнения Шредингера / В. Г. Багров, Б. Ф. Самсонов // ЭЧАЯ. 1997. - Т. 28, вып. 4. - С. 9511012.

128. Камке, Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке. М. : Наука, 1971. - С. 576.

129. Samsonov, В. F. Chains of Darboux transformations for the matrix Schrodinger equation / B. F. Samsonov, A. A. Pecheritsin //J. Phys. A: Math. Gen. 2004. - Vol. 37, N 1. - P. 239-250.

130. Matveev, V. B. Darboux transformations and solitons / V. B. Matveev, M. A. Salle. New York : Springer-Verlag, 1991. - 120 p.

131. Witten, E. Dynamical breaking of supersymmetry // Nucl. Phys. B.1981. Vol. 188, N 3. - P. 513-554.

132. Witten, E. Constraints on supersymmetry breaking // Nucl. Phys. B.1982. Vol. 202, N 2. - P. 253-316.

133. Nicolai, H. Supersymmetry and spin systems //J. Phys. A: Math. Gen.- 1976. Vol. 9, N 9. - P. 1497-1506.

134. Cooper, F. Aspects of supersymmetric quantum mechanics / F. Cooper, B. Freedman // Ann. Phys. (NY). 1983. - Vol. 146, N 2. - P. 262-288.

135. Андрианов, А. А. Метод факторизации и преобразование Дарбу для многомерных гамильтонианов / А. А. Андрианов, Н. В. Борисов, М. В. Иоффе // ТМФ. 1984. - Т. 61, N 2. - С. 183-198.

136. Nieto, М. М. Relationship between supersymmetry and the inverse method in quantum mechanics // Phys. Lett. В . 1984. - Vol. 145, N 3-4. - P. 208-210.

137. Mielnik, B. Factorization method and new potentials with the oscillator spectrum // J. Math. Phys. 1984. - Vol. 25, N 12. - P. 3387-3389.

138. Fernandez, D. New hydrogen-like potentials // Lett. Math. Phys. 1984.- Vol. 8, N 4. P. 337-343.

139. Andrianov, A. A. Supersymmetric origin of equivalent quantum systems / A. A. Andrianov, N. V. Borisov, M. V. Ioffe, M. I. Eides // Phys. Lett.

140. A. 1985. - Vol. 109, N 4. - P. 143-148.

141. Sukumar, C. V. Supersymmetry, factorisation of the Schrodinger equation and a Hamiltonian hierarchy //J. Phys. A: Math. Gen. 1985. - Vol. 18, N 2. - P. L57-L61.

142. Sukumar, C. V. Supersymmetry and the Dirac equation for a central Coulomb field // J. Phys. A: Math. Gen. 1985. - Vol. 18, N 12. - P. L697-L701.

143. Sukumar, C. V. Supersymmetric quantum mechanics of one-dimensional systems // J. Phys. A: Math. Gen. 1985. - Vol. 18, N 15. - P. 2917-2936.

144. Sukumar, C. V. Supersymmetric quantum mechanics and the inverse scattering method //J. Phys. A: Math. Gen. 1985. - Vol. 18, N 15.- P. 2937-2955.

145. Sukumar, C. V. Supersymmetry, potentials with bound states at arbitrary energies and multi-soliton configurations //J. Phys. A: Math. Gen. -1986. Vol. 19, N 12. - P. 2297-2316.

146. Sukumar, C. V. Supersymmetry and potentials with bound states at arbitrary energies. II // J. Phys. A: Math. Gen. 1987. - Vol. 20, N 9. - P. 2461-2481.

147. Sukumar, C. V. Supersymmetric transformations and Hamiltonians generated by the Marchenko equations //J. Phys. A: Math. Gen. 1988.- Vol. 21, N 8. P. L455-L458.

148. Lahiri, A. Supersymmetry in quantum mechanics / A. Lahiri, P. K. Roy,

149. B. Bagchi // Int. J. Mod. Phys. A. 1990. - Vol. 5, N 8. - P. 1383-1456.

150. Cooper, F. Supersymmetry and quantum mechanics / F. Cooper, A. Khare, U. Sukhatme // Phys. Rep. 1995. - Vol. 251, N 5-6. - P. 267-385.

151. G. Junker, Supersymmetric methods in quantum and statistical physics/ G. Junker. Berlin : Springer, 1996. - 173 p.

152. Baye, D. Supersymmetry between deep and shallow nucleus-nucleus potentials // Phys. Rev. Lett. 1987. - Vol. 58, N 26. - P. 2738-2741.

153. Amado, R. D. Supersymmetric quantum mechanics, the Pauli principle, and nucleon-alpha scattering / R. D. Amado, F. Cannata, J.-P. Dedonder // Phys. Rev. C. 1990. - Vol. 41, N 3. - P. 1289-1291.

154. Amado, R. D. Supersymmetric quantum mechanics, phase equivalence, and low energy scattering anomalies / R. D. Amado, F. Cannata, J.-P. Dedonder // Phys. Rev. C. 1991. - Vol. 43, N 5. - P. 2077-2081

155. Amado, R. D. Supersymmetric quantum mechanics, coupled channels, scattering relations / R. D. Amado, F. Cannata, J.-P. Dedonder // Int. J. Mod. Phys. A. 1990. - Vol. 5, N 17. - P. 3401-3415.

156. Andrianov, A. A. Polynomial SUSY in quantum mechanics and second derivative Darboux transformations / A. A. Andrianov, M. V. Ioffe, D. N. Nishnianidze // Phys. Lett. A. 1995. - Vol. 201, N 2-3. - P. 103-110.

157. Андрианов, А. А. Полиномиальная суперсимметрия и динамические симметрии в квантовой механике / А. А. Андрианов, // ТМФ. 1995. - Т. 104, N 3. - С. 463-478.

158. Andrianov, A. A. Classical integrable two-dimensional models inspired by SUSY quantum mechanics / A. A. Andrianov, M. V. Ioffe, D. N. Nishnianidze //J. Phys. A: Math. Gen. 1999. - Vol. 32, N 25. - P. 4641-4654.

159. Cannata, P. New methods for the two-dimensional Schrodinger equation: SUSY-separation of variables and shape invariance / F. Cannata, M. V. Ioffe, D. N. Nishnianidze // J. Phys. A: Math. Gen. 2002. - Vol. 35, N 6. - P. 1389-1404.

160. Znojil, M. Supersymmetry without hermiticity within PT symmetric quantum mechanics / M. Znojil, F. Cannata, B. Bagchi, R. Roychoudhury // Phys. Lett. B. 2000. - Vol. 483, N 1-3. - P. 284-289.

161. Andrianov, A. A. SUSY quantum mechanics with complex superpotentials and real energy spectra / A. A. Andrianov, F. Cannata, J. P. Dedonder, M. V. Ioffe // Int. J. Mod. Phys. A. 1999. - Vol. 14, N 17. - P. 2675-2688.

162. Dattoli, G. Non-Hermitian evolution of two-level quantum systems / G. Dattoli, A. Torre, R. Mignani // Phys. Rev. A. 1990. - Vol. 42, N 3. -P. 1467-1475.

163. Rosas-Ortiz, O. Non-hermitian susy hydrogen-like Hamiltonians with real spectra / 0. Rosas-Ortiz, R. Munoz // J. Phys. A: Math. Gen. 2003. -Vol. 36, N 31. - P. 8497-8506.

164. Fernández David J.C., Second order SUSY transformations with "complex energies"/ David J. Fernández C., R. Munoz, A. Ramos // Phys. Lett. A. 2003. - Vol. 308, N 1. - P. 11-16.

165. Bender, C. M. Real spectra in non-Hermitian namiltonians naving PT symmetry / C. M. Bender, S. Boettchcr // Phys. Rev. Lett. 1998. -Vol. 80, N 24. - P. 5243-5246.

166. Bender, C. M. PT-symmetric quantum mechanics / C. M. Bender, S. Boettcher, P. N. Meisinger //J. Math. Phys. 1999. - Vol. 40, N 5. - P. 2201-2229.

167. Caliceti, E. Perturbation theory of odd anharmonic oscillators / E. Caliceti, S. Graffi, M. Maioli // Commun. Math. Phys. 1980. - Vol. 75. - P. 51-56.

168. Delabaere, E. Eigenvalues of complex Hamiltonians with PT-symmetry. I / E. Delabaere, F. Pham // Phys. Lett. A. 1998. - Vol. 250, N 1-3. -P. 25-28.

169. Znojil, M. PT symmetric harmonic oscillators // Phys. Lett. A. 1999. - Vol. 259, N 3-4. - P. 220-223.

170. Loeffel, J. J. Pade approximants and the anharmonic oscillator / J. J. Loeffel, A. Martin, B. Simon, A. Wightman // Phys. Lett. B. 1969. -Vol. 30, N 9. - P. 656-658.

171. Наймарк, M. А. Линейные дифференциальные операторы / M. А. Наймарк. М. : Наука, 1969. - 527 с.

172. Марченко, В. А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения / В. А. Марченко. Киев : Наукова Думка, 1977. - 331 с.

173. Bender, С. М. Anharmonic Oscillator / С. М. Bender, Т. Т. S. Wu // Phys. Rev. 1969. - Vol. 184, N 5. - P. 1231-1260.

174. Fernandez, F. Strong-coupling expansions for the PT-symmetric oscillators V{x) = a(ix) + b(ix)2 + c{ix)z / F. Fernandez, R. Guardiola, J. Ros, M. Znojil // J. Phys. A: Math. Gen. 1998. - Vol. 31, N 50. - P. 10105-10112.

175. Sibuya, Y. Global theory of a second order linear ordinary differential equation with a polynomial coefficient / Sibuya Y. Amsterdam : Noth Holland, 1975. - 290 p.

176. Bender, C. M. Nonperturbative calculation of symmetry breaking in quantum field theory / C. M. Bender, K. A. Milton // Phys. Rev. D.- 1997. Vol. 55, N 6. - P. R3255-R3259.

177. Kukulin, V. I. Theory of resonances: principles and'applications / V. I. Kukulin, V. M. Krasnopolsky, J. Horacek. Dordrecht: Kluwer, 1989. -360 p.

178. Alvarez, G. Bender-Wu branch points in the cubic oscillator //J. Phys. A: Math. Gen. 1995. - Vol. 28. - P. 4589-4598.

179. Dirac, P. A. M. The physical interpretation of quantum mechanics (Bakerian Lecture 1941) // Proc. Roy. Soc. London A. 1942. - Vol. 180. - P. 1-40.

180. Pauli, W. On Dirac's new method of field quantization // Rev. Mod. Phys. 1943. - Vol. 15, N 3. - P. 175-207.

181. Lee, T. D. Some special examples in renormalizable field theory // Phys. Rev. 1954. - Vol. 95, N 5. - P. 1329-1334.

182. Gupta, S. N. On the calculation of self-energy of particles // Phys. Rev.- 1950. Vol. 77, N 2. - P. 294-295.

183. Bleuler, K. Eine neue Methode zur Behandlung der longitudinalen und skalaren Photonen // Helv. Phys. Acta. 1950. - Vol. 23. - P. 567-586.

184. Mostafazadeh, A. , Pseudo-Hermiticity versus PT symmetry: The necessary condition for the reality of the spectrum of a non-Hermitian Hamiltonian // J. Math. Phys. 2002. - Vol. 43, N 1. - P. 205-214.

185. Mostafazadeh, A. Pseudo-supersymmetric quantum mechanics and isospectral pseudo-Hermitian Hamiltonians // Nucl. Phys. B. 2002. -Vol. 640, N 3. - P. 419-434.

186. Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров ; ред. кол.: Д. М. Алексеев, А. М. Балдин, А. М. Бонч-Бруевич и др. М. : Большая Российская энциклопедия, 1998. - 760 с.

187. Breuer, Н. P. The Theory of Open Quantum Systems / H. - P. Breuer, F. Petruccione. - Oxford : Oxford University Press, 2002. - 625 p.

188. Неизвестный, И. Г. Квантовый компьютер и его полупроводниковая элементарная база / И. Г. Неизвестный // Лекторий: Достижения и проблемы современного естествознания / Физика и студенты: электронный журнал (http://www.nsu.ru/psj/lector/neizvestniy/).

189. Манин, Ю. И. Вычислимое и невычислимое / Ю. И. Манин. М. : Советское радио, 1980. - 127 с.

190. Фейнман, Р. Моделирование физики на компьютерах / Р. Фейнман // Сб. "Квантовый компьютер и квантовые вычисления". Ижевск : Регулярная и хаотическая динамика, 1999. - Вып. 2. - с. 53-95.

191. Валиев, К. А. Квантовые компьютеры: надежды и реальность / К. А. Валиев, А. А. Кокии. М.-Ижевск : Регулярная и хаотическая динамика, 2001. - 350 с.

192. Averin, D. V. Quantum computing and quantum measurement with mesoscopic Josephson junctions / D. V. Averin // Fortschritte d. Pliys. 2000. - Vol. 48, N 9-11. - P. 1055-1074.

193. Стин, Э. Квантовые вычисления / Э. Стин. М.-Ижевск : Регулярная и хаотическая динамика, 2000. - 111 с.

194. Белокуров, В. В. Квантовая телепортация обыкновенное чудо / В. В. Белокуров, О. Д. Тимофеевская, О. А. Хрусталёв. - Ижевск : Регулярная и хаотическая динамика, 2000. - 255 с.

195. Бауместер, Д. Физика квантовой информации / Д. Бауместер, А. Экерт, А. Цайлингер. М. : Постмаркет., 2002. - 375 с.

196. Zhang, J. Optimal generation of single-qubit operation from an always-on interaction by algebraic decoupling / J. Zhang, К. B. Whaley // Phys. Rev. A. 2006. - Vol. 73. - P. 022306-1-022306-6.