Спектральный анализ каузальных операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Индекс используемых обозначений.

Введение.

Глава I. Элементы спектральной теории представлений групп.

§1. Банаховы модули и представления групп.

§2. Спектр Берлинга в банаховых модулях.

§3. х-направленности; элементы эргодической теории.

§4. Спектр Берлинга линейных операторов.

§5. Критерий Карлемана; элементы спектральной теории пар линейных операторов и асимптотические оценки аналитических функций.

Глава II. Каузальные операторы и их основные свойства.

§6. Различные подходы к определению каузальности.

§7. Каузальные операторы и представления групп.

§8. Антикаузальные операторы и операторы без памяти.

§9. Гиперкаузальные операторы.

§10. Каузальность и граничные значения голоморфных функций.

Глава III. Каузальная обратимость.

§11. Обзор общих критериев каузальной обратимости.

§12. Компактные и u-эргодические каузальные операторы.

§13. Обратимость и каузальная обратимость операторов с двухточечным спектром Берлинга.

§14. Обратимость каузальных операторов и экспоненциальная дихотомия.

Юная фея на свете жила, И свет обогнать она просто могла. Сегодня в дорогу отправясь с утра, Домой возвращалась, представьте . вчера!

Энон

При изучении разнообразных явлений окружающего мира мы неизбежно приходим к заключению, что будущее течение многих процессов оказывается зависящим не только от настоящего, но и существенно определяется их предысторией. В этом убеждают нас многочисленные задачи теории автоматического регулирования, техники, механики, радиофизики, квантовой теории поля, биологии, экономики, медицины и пр. С другой стороны, естественно предположить, что следствия реальных явлений не могут опережать по времени сами эти явления, т.е. будущее состояние процесса не может влиять на его настоящее. Это свойство получило название каузальности и нашло свое отражение в абсолютном большинстве математических моделей реальных процессов. При этом ввиду необозримости количества рассматриваемых моделей и существенных различий в предметных областях, свойство каузальности принимает подчас трудно узнаваемые формы.

Понятие каузальности появлялось в различных моделях независимо и изучалось изолированно в рамках этих моделей. Поэтому, несмотря на довольно многочисленные публикации, результаты, полученные разными авторами, дублируются, отсутствуют единые определения и единая терминология. Даже само название - каузальность - не является общеупотребительным. Для обозначения каузальных операторов используются термины: вольтерро-вы операторы, операторы типа Вольтерра, запаздывающие, причинные, наследственные, неантисипативные и др., которые присваивались различным классам операторов с близкими свойствами. При этом часть авторов ставили во главу угла свойство эволюционности каузальных операторов, а другие -свойства компактности и квазинильпотентности.

В настоящей работе мы предлагаем новую форму каузальности, которая, являясь не менее «трудно узнаваемой», чем большинство других современных форм, тем не менее обобщает многие из них. Подобный подход позволяет синтезировать ранее известные, но разрозненные результаты и распространить их на более широкий класс задач, а также получить некоторые новые по сути результаты.

Математические модели, связанные с понятием каузальности, можно разбить на три больших класса (вообще говоря, пересекающиеся). К первому можно отнести дифференциальные, интегральные, разностные, функциональные и др. уравнения (преимущественно) в функциональных пространствах. Ко второму - линейные операторы, действующие в гильбертовых пространствах и моделирующие динамические системы. К третьему классу относятся обобщенные функции (трансформанты) с носителем преобразования Фурье в некотором конусе (например, на полупрямой или в световом конусе). Остановимся более подробно на описании этих классов.

Основным (самым хорошо изученным) представителем операторов из первого класса является интегральный оператор Вольтерра В из EndLp(W)*\ р е [1,оо], определенный равенством t

5x)(t)= | G(t,s)*(s)</s,

00 где G - такая функция, что интеграл сходится равномерно по t (см. [23, 86]). Впервые выделил некоторый класс операторов типа Вольтерра, а именно таких операторов F, что из равенства x(s) = y(s) при s < t следует равенство (Fx)(s) = (Fy)(s) при s < t, L. Tonelli (см. [84]). Его последователи D. Graffi [72] и S. Cinquini [60] получили первые результаты в теории операторов типа Вольтерра. В 1938 г. определение функционального оператора F типа Вольтерра, такого что величина (F<p)(t) «определена значениями функции (р(т) на промежутке 0 < т < t», появилось в работе А.Н. Тихонова [55], посвященной приложениям таких операторов к задачам математической физики. Подобное определение приводится в различных работах по функционально-дифференциальным уравнениям (см., например, [1, 62]). Обобщение определения А.Н. Тихонова для пространств суммируемых функций предложил В.И. Сумин. В его работе [54] оператор F из EndLp(D.) называется вольтерро-вым на системе множеств ©, где 0 - часть ст-алгебры измеримых подмножеств из если из равенства функций х и у на множестве Мб 0 следует, что функции Fx и Fy совпадают на М. Аналогичное определение обобщенных вольтерровых операторов, действующих в пространстве ЬДа,Ь), где рассмотрены всевозможные системы упорядоченных по вложению множеств на [а,Ь], мера которых непрерывно меняется от 0 до Ь-а, введено и изучено Е.С. Жуковским (см. [30, 31]). В работах [26, 85] в основу определения обобщенного вольтеррова оператора положены цепочки упорядоченных проекторов. Отметим также работу В.Ф. Пуляева и З.Б. Цалюка [52]. П.П. За-брейко (см. [32, 33]) предложил другое обобщение интегрального оператора Вольтерра, основанное на свойствах его ядра и обеспечивающих наличие у интегрального оператора некоторой цепочки инвариантных подпространств. Им была получена формула спектрального радиуса и доказано, что равенство нулю спектрального радиуса следует из свойства Т. Ando [57]. И.Ц. Гохберг и М.Г. Крейн [25] абстрактным вольтерровым оператором в гильбертовом пространстве назвали компактный (вполне непрерывный) линейный оператор, спектральный радиус которого равен нулю, и создали для таких операторов теорию интегралов треугольного усечения. A.JI. Бухгейм [19] распространил теорию таких операторов на банаховы пространства, положив в основу определения каузальности понятие специальной цепочки проекторов. Пожалуй, наиболее общее определение абстрактных вольтерровых операторов можно найти в работах В.Г. Курбатова [40, 41, 43, 79, 80]. Там каузальность в функциональных пространствах вводится при помощи цепочек подпространств (не обязательно дополняемых).

К началу 60-х гг. XX века начал возникать другой класс математических моделей, связанных с понятием каузальности. Толчком послужило бурное развитие теории систем, в рамках которой появлялись все новые и новые

См. Индекс используемых обозначений. объекты: распределенные и многовариантные системы, системы с переменным или дискретным временем, системы с обратной связью. Возникла необходимость создания общих подходов к теории систем, которые позволили бы «систематизировать» накопленные знания. Одним из таких подходов стала теория операторов в гильбертовых пространствах с разложением единицы (т.е. обладающим замкнутым семейством ортогональных проекторов, линейно упорядоченным по вложению образов). Здесь, каузальность оператора, моделирующего систему, становится ключевым моментом при определении ее физической реализуемости. Отправным моментом при создании этого подхода можно считать статью [89], в которой впервые было подчеркнуто значение каузальности в общей теории систем. Далее теория каузальных операторов в гильбертовых пространствах интенсивно развивалась американскими математиками (см. [64- 66, 70, 75, 81, 87, 88]). Вначале, основные понятия были сформулированы для пространства Ц, а затем и для произвольного гильбертова пространства. При этом существенно использовалась, например, теория интегралов треугольного усечения, развитая в [25]. Апофеозом этих исследований можно считать монографию [71], в которой оператор называется каузальным (causal), если он обладает свойством: равенство Р'х = Ру влечет Р*Ах = Р'Ау для любого проектора Р' из разложения единицы. Там же вводятся понятия антикаузального оператора и оператора без памяти. Основные проблемы, исследуемые в этих работах, - разложения каузальных операторов, их факторизация и обратимость.

Источником моделей третьего класса послужила квантовая теория поля. Мысль о необходимости учета условия каузальности для осуществления программы Гейзенберга была высказана еще в 1946 г. (см. [77]). По существу, физиков интересовали условия того, когда оператор Фредгольма F в L2 (или других функциональных пространствах) являлся бы оператором Вольтерра. При этом ответ должен был быть сформулированным не в терминах ядра оператора F (когда он очевиден), а в терминах его (обратного) преобразования Фурье, понимаемого как функция из L2 или как обобщенная функция.

Таким образом, задача была сведена к изучению обобщенных функций с носителем преобразования Фурье в некотором конусе (см., например, [16]), которые и стали называться каузальными. В случае L2(a,b) важную роль сыграла теорема Титчмарша [83] о том, что условие каузальности функции, суммируемой с квадратом, эквивалентно тому, что она является граничным значением некоторой ограниченной функции (комплексного переменного), голоморфной в верхней комплексной полуплоскости. Аналоги этого результата были получены затем и для обобщенных функций одной (см., например, [18]) и многих (см. [20 - 22]) переменных. На основе этих результатов была развита теория дисперсионных соотношений (см., например, [51]).

Таким образом, для понятия каузальности, которое используется в первых двух классах моделей можно сформулировать следующее общее 6.0Л Определение. Пусть JT- это некоторое линейно или частично упорядоченное множество индексов. Пусть также (Ха), (Ya), а е Д - два семейства подпространств из комплексных банаховых пространств X и Y соответственно, упорядоченные по включению, так чтоXaciXp{Ya<^ Yp), если р\ а. Оператор^, определенный шХ со значениями в Y, называется каузальным {причинным) относительно семейств подпространств (Ха) и (Ya), если для любого а е #образ АХа лежит в Ya (т.е. упорядоченная пара подпространств (Ха, Ya) инвариантна относительно оператора А).

При этом определение вытекающее из моделей третьего класса кажется абсолютно не связанным с этим. В диссертации мы пытаемся заполнить этот пробел.

Основной целью настоящей работы является развитие общей теории каузальных операторов на основе спектральной теории представлений локально компактных абелевых групп. Кроме того, изучаются задачи, характерные для некоторых из рассмотренных моделей, в частности разложения каузальных операторов, радикал алгебры каузальных операторов, компакт

Нумерация утверждений во введении соответствует таковой в основной части диссертационной работы. ные каузальные операторы, обратимость (спектр) в алгебре каузальных операторов и др.

Основным инструментом исследования является теория представлений локально компактных абелевых групп (банаховых модулей). Также используются методы абстрактного гармонического анализа, теории коммутативных банаховых алгебр, теории абстрактных почти периодических функций, комплексного анализа и теории упорядоченных пар линейных операторов.

Первая глава диссертации представляет собой экспозицию применяемых в работе методов и понятий, связанных с ними. Основными здесь являются понятия спектра Берлинга векторов из банаховых модулей (см. определение 2.1) и спектральных подпространств (см. определение 2.8). Эти понятия появились в истории едва ли не ранее, чем понятие каузальности (спектр Берлинга был определен, например, в 1945 г. [59], а его свойства использовались еще в 1937 г. [45]). Однако, «встретиться» понятиям каузальности и спектра Берлинга было не суждено вплоть до настоящей работы. Лишь теперь, когда Y. Domar и L.-A. Lindahl [67, 68], У. Браттели и Д. Робинсон [17], Ю. И. Лю-бич [47 - 49] и А. Г. Баскаков [4, 5, 8], создали стройную спектральную теорию банаховых модулей эта «встреча» приобрела смысл.

Вторая глава настоящей диссертации посвящена введению понятия каузальных операторов с использованием спектральной теории представлений LCA-групп. Приведя более полный обзор ранее известных определений каузальности для моделей первого и второго классов, мы уточняем структуру множества Ми цепочек подпространств (Ха), (Ya) из определения 6.0. При этом в качестве Ш используется некоторая локально компактная абелева группа, (частично) упорядоченная при помощи некоторой своей подполугруппы (конуса), а (Ха), (Ya) представляют собой цепочки спектральных подпространств. Затем, мы доказываем эквивалентность полученного определения (7.1) определению, естественным образом применимому для моделей третьего класса (см. теорему 7.9), а также аналог теоремы Титчмарша (см. теорему 10.18). При этом условие принадлежности носителя преобразования

Фурье некоторому конусу переходит в условие принадлежности этому конусу (подполугруппе) спектра Берлинга изучаемого оператора относительно некоторого представления, а голоморфное продолжение ищется для опера-торнозначной функции, построенной по этому представлению. Кроме того, во второй главе изучаются условия эргодичности каузального оператора, т.е. его разложимости в сумму оператора без памяти и гиперкаузального оператора. Эти условия являются прямым следствием эргодических теорем, сформулированных в £3 первой главы. Также доказываются различные достаточные условия принадлежности оператора радикалу алгебры каузальных операторов.

Основной целью третьей главы диссертации является изучение условий обратимости в алгебре каузальных операторов. Этот вопрос играет важную роль, например, при изучении систем с обратной связью. Обзор общих условий каузальной обратимости приведен в §11. Следующий §12 посвящен изучению (спектральных) свойств компактных каузальных операторов и эргодических операторов. §13 содержит условия обратимости и каузальной обратимости операторов с двухточечным спектром Берлинга. В §14 условия обратимости и каузальной обратимости операторов с дискретным спектром Берлинга сформулированы в терминах экспоненциальной дихотомии.

Отметим некоторые технические особенности текста. В диссертации принята сквозная нумерация параграфов. При этом параграфы §§1-5 составляют главу I, §§6-10 - главу II и §§11-14 - главу III. Внутри каждого параграфа утверждения и формулы нумеруются двумя цифрами, первая из которых означает номер параграфа, а вторая - номер утверждения или формулы в параграфе. Ссылка на утверждение имеет вид 1.1, а ссылка на формулу Ш

Основные результаты работы докладывались на XXII конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ (Москва, 2001), на международных семинарах «Нелинейное моделирование и управление» (Самара, 1997-2000), на Воронежских математических школах (весна 1997, зима 1998), на международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (Пущино, 2001), на семинарах профессоров R. Nagel'fl, J.A. Gold-stein'a и G. Weiss'a, A. Aldroubi в рамках летних курсов по теории полугрупп и всплесков межуниверситетской школы математики (Италия, Кортона, 2001, 2002), на семинаре L. Weis'a в рамках международного интернет-семинара по функциональному исчислению и дифференциальным операторам (Германия, Блаубойрен, 2002), на семинарах проф. А.Г. Баскакова (Воронеж) и проф. R. Nagel'fl (Германия, Тюбинген).

1. Азбелев Н.В. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений /Н.В.Азбелев, В.П. Максимов, Л.Ф. Рахматуллина. -М.: Наука, 1991.

2. Азбелев Н.В. Методы современной теории линейных функционально-дифференциальных уравнений / Н.В.Азбелев, В.П. Максимов, Л.Ф. Рахматуллина. Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, 2000. - 300 с.

3. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации / Н.И.Ахиезер. М.: Наука, 1965.-408 с.

4. Баскаков А.Г. Некоторые вопросы теории векторных почти периодических функций: Дис. . канд. физ.-мат. наук/ А.Г. Баскаков. Воронеж, 1973. 100 с.

5. Баскаков А.Г. К спектральному анализу в банаховых модулях над коммутативными банаховыми алгебрами/ А.Г.Баскаков; Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1977. - 50 с. - Деп. в ВИНИТИ 26.07.77, № 3058-77.

6. Баскаков А.Г. Об условии Диткина в некоторых алгебрах Берлинга / А.Г. Баскаков // Изв. ВУЗов, Математика. 1982. -№ 1. - С. 3-5.

7. Баскаков А.Г. Гармонический анализ линейных операторов / А.Г. Баскаков. — Воронеж: Изд-во Воронеж, ун-та, 1987. 164 с.

8. Баскаков А.Г. Гармонический анализ линейных операторов: Дис. . докт. физ.-мат. наук / А.Г. Баскаков. Воронеж, 1987. - 300 с.

9. Баскаков А.Г. Операторные эргодические теоремы и дополняемость подпространств банаховых пространств/ А.Г. Баскаков // Изв. ВУЗов, Математика. 1988. -№11.-С. 3-11.

10. Баскаков А.Г. Диагонализация операторов и дополняемость подпространств банаховых пространств / А.Г. Баскаков // Укр. мат. журнал. 1990. - Т.42. -№7.-С. 867-873.

11. Баскаков А.Г. Полугруппы разностных операторов и спектральный анализ линейных дифференциальных операторов / А.Г. Баскаков // Функ. ан. и его прил,- 1996.-Т.30.-№3.-С. 1-11.

12. Баскаков А.Г. Асимптотические оценки элементов матриц обратных операторов и гармонический анализ / А.Г. Баскаков // Сиб. мат. журнал. 1997. -Т.38.-№ 1.-С. 14-28.

13. Баскаков А.Г. Оценки элементов обратных матриц и спектральный анализ линейных операторов / А.Г. Баскаков // Известия РАН. 1997. - Т.61. - № 6. -С. 3-26.

14. Баскаков А.Г. Обратимость и фредголъмовость разностных операторов, Мат. заметки, 2000, т.67, № 6, с. 816-827.

15. Баскаков А.Г. К спектральной теории пар линейных операторов / А.Г. Баскаков, К.И.Чернышов // Изв. РАЕН. МММИУ. 1997. - Т. 1. - № 2. - С. 3-30.

16. Боголюбов Н.Н. iiber die Multiplikation der Kausalfunktionen in der Quanten-theorie der Felder / Н.Н. Боголюбов, O.C. Парасюк // Acta Math. 1957. - V.97. - P. 227-266.

17. Браттели У. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика / У. Браттели, Д. Робинсон / Пер. с англ. А.В. Булинского; Под ред. Л.Д. Кудрявцева. М.: Мир. - 1982. - 512 с.

18. Бремерман Г. Распределения, комплексные переменные и преобразования Фурье / Г. Бремерман / Пер. с англ. В.П. Павлова и Б.М. Степанова; Под ред. B.C. Владимирова. М.: Мир. - 1968. - 276 с.

19. Бухгейм А.Л. Уравнения вольтерра и обратные задачи / А.Л. Бухгейм. Новосибирск: Наука, 1983. 208 с.

20. Владимиров B.C. О построении оболочек голоморфности для областей специального вида и их применения / B.C. Владимиров // Труды мат. инст. им. В.А. Стеклова АН СССР. 1960. - Т.60. - С. 101-144.

21. Владимиров B.C. Методы теории функций многих комплексных переменных / B.C. Владимиров. М.: Наука, 1964.

22. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике! B.C. Владимиров. М.: Наука, 1979. - 320 с.

23. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование / В. Вольтерра / Пер. с фр. М.: Наука, 1976.

24. Гельфанд И.М. Коммутативные нормированные кольца / И.М. Гельфанд, Д.А. Райков, Г.Е. Шилов. -М.: Изд-во физ.-мат. литературы, 1960. 316 с.

25. Гохберг И.Ц. Теория вольтерровых операторов в гильбертовом пространстве и ее приложения / И.Ц. Гохберг, М.Г. Крейн. М.: Наука, 1967. - 508 с.

26. Гусаренко С.А. Ободном обобщении понятия вольтеррова оператора / С.А. Гусаренко //ДАН СССР. 1987. - Т. 295. -№ 5. - С. 1046-1049.

27. Данфорд Н. Линейные операторы / Н. Данфорд, Дж.Т. Шварц: в 3 т. / Пер. с англ. М.Г. Гасымова, В.Я. Лина, Б.С. Митягина; Под ред. А.Г. Костюченко-М.: Мир. Т.2: Спектральная теория. - 1966. - 1064 с.

28. Евграфов М.А. Асимптотические оценки и целые функции / М.А.Евграфов. -М.: Изд-во физ.-мат. литературы, 1962. 200 с.

29. Евграфов М.А. Аналитические функции / М.А.Евграфов. М.: Наука, 1991. -448 с.

30. Жуковский Е.С. К теории уравнений Вольтерра / Е.С. Жуковский // Диф. ур. -1989.-Т. 25,-№9.-С. 1599-1605.

31. Жуковский Е.С. Свойства вольтерровости и спектральные свойства оператора внутренней суперпозиции / Е.С. Жуковский // Диф. ур. 1994. - Т. 30. -№ 2. - С. 250-255.

32. Забрейко П.П. Об интегральных операторах Вольтерра / П.П.Забрейко // Успехи мат. наук. 1967. - Т. 22. - №1. - С. 167-168.

33. Забрейко П.П. О спектральном радиусе оператора Вольтерра / П.П.Забрейко // Lietuvos Matematikos Rinkinus. 1967. - Т.7. - №2. - С. 281-287.

34. Забрейко П.П. Об одном обобщении теоремы Вольтерра / П.П.Забрейко, А.Н.Ломакович // Укр. мат. журн. 1987. -Т.39. -№5. - С. 648-651.

35. Забрейко П.П. Интегральные операторы Вольтерра в пространстве функций двух переменных / П.П.Забрейко, А.Н.Ломакович //Укр. мат. журн. 1990. -Т.42,-№9.-С. 1187-1191.

36. Колмановский В.Б. Устойчивость и периодические режимы регулярных систем с последействием / В.Б. Колмановский, В.Р. Носов. М.: Наука, 1981. -448 с.

37. Криштал И.А. Обратимость и каузальная обратимость операторов с двухточечным спектром Берлинга / И.А.Криштал // Изв. РАЕН МММИУ. 2000. - Т.4. - № 4. - С. 147-151.

38. Криштал И.А. О каузальной обратимости в банаховых модулях/ И.А. Криштал// Аналитические и численные методы в математике и механике: Сб. науч.тр. XXII конф. молодых ученых механико-математического факультета МГУ. -М., 2001. Т.1. - С. 95-97.

39. Криштал И.А. О критериях обратимости в алгебре каузальных операторов / И.А. Криштал // Вестн. Воронеж, ун-та. Сер. Физика, математика. 2002. -№ 1.-С. 143-150.

40. Курбатов В.Г. Линейные функционально-дифференциальные уравнения и запаздывающий спектр / В.Г.Курбатов // Сиб. мат. журнал. 1975. - Т.14. - № 3. -С. 538-550.

41. Курбатов В.Г. Об оценке спектральных радиусов запаздывающих операторов в пространстве ограниченных непрерывных функций / В.Г.Курбатов // Функ. ан. и его прил. 1975. - Т.9. - № 3. - С. 56-60.

42. Курбатов В.Г. Об обратимости запаздывающих операторов / В.Г.Курбатов // Теория операторных уравнений: Сб. науч. тр. Воронеж, 1979. - С. 43-52.

43. Курбатов В.Г. Линейные дифференциально-разностные уравнения / В.Г. Курбатов. Воронеж: Изд-во Воронеж, ун-та, 1990. - 168 с.

44. Курбатов В.Г. Об обратимости дифференциально-разностных операторов в банаховом пространстве / В.Г.Курбатов, И.С.Фролов; Воронеж, гос. ун-т. -Воронеж, 1977. 58 с. - деп. в ВИНИТИ 17.02.78, № 42407.

45. Левитан Б.М. Об одном обобщении неравенств Бернштейна и Bohr'а / Б.М. Левитан // ДАН СССР. 1937. - Т. XV. - № 4. - С. 169-172.

46. Левитан Б.М. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения / Б.М. Левитан, В.В. Жиков. М.: Изд-во МГУ, 1978. - 204 с.

47. Любич Ю.И. О спектре представления топологической абелевой группы / Ю.И. Любич//ДАН СССР. 1971.-Т.200.-№4.-С. 777-780.

48. Любич Ю.И. Об операторах с отделимым спектром / Ю.И. Любич, В.И. Мацаев // Мат. сборник. 1962. - Т.56. -№ 4. - С. 433-468.

49. Любич Ю.И. О представлениях с отделимым спектром, / Ю.И. Любич,B.И. Мацаев, Г.М.Фельдман // Функ. ан. и его прил. 1973. - Т.7. - № 2. C. 52-61.

50. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом / А.Д.Мышкис. М.: Наука, 1972. - 352 с.

51. Нуссенцвейг Х.М. Причинность и дисперсионные соотношения / Х.М. Нус-сенцвейг / Пер. с англ. В.В. Малярова. М.: Мир, 1976. - 462 с.

52. Пуляев В.Ф. Об асимптотических периодических решениях интегральных уравнений Вольтерра / В.Ф.Пуляев, З.Б.Цалюк // Диф. ур. 1974. - Т. 10. -№6.-С. 1103-1110.

53. Студеникин А.А. Операторы свертки с мерой, сконцентрированной в подполугруппе / А.А. Студеникин; Липецкий гос. тех. ун-т. Липецк, 1998. — 131 с. — Деп. в ВИНИТИ 19.06.98, N1871-B98.

54. Сумин В.И. Функциональные операторы Вольтерра в теории оптимального управления распределенными системами / В.И.Сумин: в 2 ч. Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского ун-та. - Ч. 1: Уравнение Вольтерра и управляемые начально-краевые задачи. - 1992.

55. Тихонов А.Н. О функциональных уравнениях типа Вольтерра и их применениях к некоторым задачам математической физики / А.Н.Тихонов // Бюл. МГУ, секция А,- 1938.-Т. 1.-№8.-С. 1-25.

56. Фролов И.С. Обратимость некоторых разностных и дифференциально-разностных операторов: Дис. . канд. физ.-мат. наук / И.С.Фролов. Воронеж, 1982.

57. Ando Т. Positive Linear Operators in Semi-ordered Linear Spaces / T. Ando // J. Fac. Sci. Hokkaido Univ. 1957. - Ser. 1. - No 13. - P. 214-228.

58. Arendt W. Vector-valued Laplace Transforms and Cauchy Problems / W. Arendt, C.J.K. Batty, M. Hieber and F. Neubrander. Monographs Math. - V.96. - Birk-hauser Verlag, 2001.

59. Beurling A. Un theoreme sur les fonctions bornees et uniformement continues sur I 'axe reel / A. Beurling // Acta Math. 1945. - V.77. - P. 127-136.

60. Cinquini S. Sulle equazioni funzionali del tipo di Volterra / S. Cinquini // Rend. Ac-cad. Naz. Lincei. 1933. - V.l7. - P. 616-621.

61. Cordero E. Time-Frequency Analysis of Localization Operators / E. Cordero and K. Grochenig // Preprint.

62. Corduneanu C. Integral Equations and Applications / C. Corduneanu. Cambridge University Press, 1991.

63. Datry С. Analyse harmonique dans les modules de Banach II: presque-periodicite et ergodicite/ C. Datry and G. Muraz // Bull. Sci. Math. 1996. - V.120. - P. 493-536.

64. DeSantis R.M. Causality, Strict Causality and Invertibility for Systems in Hilbert Resolution Space / R.M. DeSantis // SIAM J. Control. 1974. - V.12. - No 3. -P. 536-553.

65. DeSantis R.M. On the Generalization of the Volterra Principle of Inversion / R.M. DeSantis and W.A. Porter // J. Math. Anal. Appl. 1974. - V.48. - No 3. -P. 743-748.

66. Desoer C.A. Feedback System: Input-Output Properties / C.A. Desoer and M. Vidyasagar. Academic press, 1975.

67. Domar Y. Three Spectral Notions for Representations of Commutative Banach Algebras / Y. Domar and L.-A. Lindahl // Ann. Inst. Fourier. 1975. - V.25. -No 2.-P. 1-32.

68. Domar Y. Harmonic Analysis Based on Certain Commutative Banach Algebras / Y. Domar // Acta Math. 1956. - V.96. - P. 1-66.

69. Engel K.-J. One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations / K.-J. Engel and R. Nagel. Graduate Texts in Math. — V. 194. — Springer Verlag, 2000. - 586 p.

70. Erdos J.A. The Convergence of Triangular Integrals of Operators on Hilbert Space / J.A. Erdos and W.E. Longstaff// Indiana Univ. Math. J. 1973. - V.22. - No 10. -P. 929-938.

71. Feintuch A. System Theory. A Hilbert Space Approach / A. Feintuch and R. Saeks. -Academic press, 1982.

72. Graffi D. Sopra una equazione funzionali e la sua applicazione a un problema di fisica ereditaria / D. Graffi // Ann. Mat. Рига. Appl. 1931. - Y.9. - P. 143-179.

73. Gripenberg G. Volterra Integral and Functional Equations / G. Gripenberg, S.-O. Londen and O. Staffans. Cambridge Univ. Press, 1990.

74. Hewitt E. Abstract Harmonic Analysis 1 E. Hewitt and K. Ross: in 2 V. Springer Verlag, 1963.

75. Kadison R. Triangular Operator Algebras / R. Kadison and I.M. Singer // Amer. J. Math. 1960. - V.82. - P. 227-259.

76. Kalitvin A.S. Spectral Properties of Partial Integral Operators of Volterra and Volterra-Fredholm Type / A.S. Kalitvin // J. for Anal, and Appl. 1998. - V. 17. -No 2.-P. 1-13.

77. Kronig R. / R. Kronig // Physica. 1946. - V. 12.

78. Kolmanovskii V. Applied Theory of Functional Differential Equations / V. Kolmanovskii and A. Myshkis. Kluwer Academic Publishers, 1992.

79. Kurbatov V.G. Functional Differential Operators and Equations / V.G. Kurbatov. -Kluwer Academic Publishers, 1999.

80. Kurbatov V.G. The Causal Invertibility with Respect to a Cone / V.G. Kurbatov and A.A.Studenikin // Func. Dif. Eq. 1997. - V. 4. - No 3-4. - P. 295-327.

81. Ringrose J.R. On some Algebras of Operators / J.R. Ringrose // Proc. London Math. Soc. Ser. 3. - 1965. - V.15. - P. 61-83; 1966. - V.16. - P. 385-402.

82. Parrot S. Weighted Translation Operators / S. Parrot // Dissert. Abstrs. 1965. -V.26.-No 5.-P. 2781.

83. Titchmarsh E.C. Introduction to the Theory of Integrals / E.C. Titchmarsh. Oxford Univ. Press. - 1948.

84. Tonelli L. Sulle equazioni funzionali del tipo di Volterra / L. Tonelli // Bull. Calcutta Math. Soc. 1928,-V.20.-P. 31-48.

85. Vath M. Abstract Volterra equations of the second kind / M. Vath // J. of Int. Eq. and Appl. 1998.-V. 10.-No3.-P. 319-362.

86. Volterra V. Legons sur la Theorie Mathematique de la Lutte pour la Vie / V. Volterra. Gauthier-Villars, 1931.

87. Willems J.C. Stability, Instability, Invertibility and Causality / J.C. Willems // SIAM J. Control. 1969. - V.7. - No 4. - P. 645-671.

88. Willems J.C. The Analysis of Feedback Systems / J.C. Willems. -MIT Press, 1971.

89. Youla D.C. Bounded Real Scattering Matrices and the Foundations of Linear Passive Network Theory / D.C. Youla, H.L. Carlin and L.J. Castriota // IRE Trans. Circuit Theory CT-6. 1959. - P. 102-124.

90. Young D.F. A Class of Linear Hereditary Equations in Banach Space / D.F. Young // J. Dif. Eq. 1977. - V.25. - No 2. - P. 233-257.