Исследование обратимости многомерных причинных операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ
|
Скопин, Владислав Андреевич
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Липецк
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2004
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.01
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
СКОПИН ВЛАДИСЛАВ АНДРЕЕВИЧ
ИССЛЕДОВАНИЕ ОБРАТИМОСТИ МНОГОМЕРНЫХ ПРИЧИННЫХОПЕРАТОРОВ
Специальность 01.01.01 — математический анализ
Автореферат
диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Воронеж - 2004
Работа выполнена в Липецком государственном техническом университете.
Научный руководитель: доктор физико-математических наук,
профессор Курбатов Виталий Геннадьевич
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,
профессор Баскаков Анатолий Григорьевич
кандидат физико-математических наук, доцент Иохвидов Евгений Иосифович
Ведущая организация: Московский государственный институт электронной техники (технический университет)
Защита состоится 18 мая 2004 г. в 15 час. 40 мин. на заседании Диссертационного совета К212.038.05 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при Воронежском государственном университете по адресу: 394693 Воронеж, Университетская пл., 1, ВГУ, математический факультет.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.
Автореферат разослан . 2004 г.
Ученый секретарь Диссертационного совета - /^^Гли^лих Ю.Е
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Среди моделей окружающего мира можно выделить следующие два типа. Первый тип — модели "без памяти" или "без запаздывания". В них поведение модели в текущий момент времени описывается только ее состоянием в этот момент времени, т.е. "в настоящем". Второй тип моделей — модели "с запаздыванием" или "с памятью", когда поведние модели в текущий момент времени определяется значениями ее состояний не только в этот, текущий, момент времени, но и в какие-то предшествующие моменты.
Наиболее широко используется первый тип моделей. Для их описания применяют функциональные уравнения, обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными.
Настоящая диссертация посвящена, в основном, второму типу моделей. Отметим некоторые источники моделей такого типа.
Пусть дифференциальный оператор, описывающий систему без памяти, частично обратим, т.е. разлагается в произведение или в сумму нескольких частей, одна из которых обратима. Тогда, делая замену, использующую соответствующий обратный оператор (который, как правило, оказывается интегральным), получаем оператор с запаздыванием.
К моделям с запаздыванием часто приходят, исходя из экспериментальных наблюдений, в которых существенна разница между временем подачи сигнала на вход системы и его реальным попаданием на этот вход. В результате возникают уравнения, в которые неизвестные функции входят со сдвигом по времени.
Таким образом, модели с запаздыванием также достаточно распространены. Они широко применяются в теории авторегулирования, технике, электродинамике, квантовой физике, биологии, экологии, медицине, экономике, теории вероятностей и др.
Явление, когда настоящее может зависеть от прошлого (и, возможно, от самого настоящего), но не может зависеть от будущего, называют причинностью. Математический объект, описывающий явление причинности — причинный оператор. Он действует в пространствах функций переменной t, интерпретируемой как время. В самом общем смысле оператор Т называют причинным, если для вычисления значения функции Тх в насто-
ящем используются значения функции х только в прошлом (и, возможно, в настоящем).
Причинные операторы изучаются (часто независимо) в разных областях математики, и в силу этого для них имеется несколько различных названий — причинный, вольтерров (оператор типа Вольтерра), наследственный, запаздывающий, каузальный.
Важным источником многомерных причинных операторов являются уравнения с частными производными. Так, решения волнового уравнения и уравнения теплопроводности описываются причинными операторами.
Причинный оператор называют причинно обратимым, если он обратим и обратный к нему также является причинным. В диссертации исследуются, в основном, вопросы, связанные с причинной обратимостью.
Случаю одномерного времени t посвящены работы Н.В. Азбелева, P.P. Ахмерова, А.Г. Баскакова, В.В. Власова, Ч. Дезоера, Ю.Ф. Долгого, М.И. Каменского, Л.Б. Княжище, Ю.С. Колесова, В.Б. Колмановского, В.И. Кузнецовой, В.Г. Курбатова, Э.М. Мухамадиева, А.Д. Мышкиса, В.Р. Носова, СБ. Норкина, Б.Н. Садовского, П.М. Симонова, И.С. Фролова, Дж. Хейла, Д.Я. Хусаинова, З.Б. Цалюка, А.В. Чистякова, Э.Л. Эльсгольца, С. Corduneanu, R.M. DeSantis'a, J.A. Erdos'a, A. Feintuch'a, W.E. Longstaffa, R. Saeks'a, J.C. Willems'a и многих других.
Многомерному времени t посвящено значительно меньше работ. Среди них отметим работы B.C. Владимирова, М.Б. Городецкого, П.П. Забрейко,
A.С. Калитвина, Г.А. Каменского, И.А. Криштала, В.Г. Курбатова, С.З. Левендорского, А.Н. Ломаковича, А.Д. Мышкиса, B.C. Рабиновича, А.Л. Скубачевского, А.А. Студеникина, М/Vath'a и других. Настоящая работа также посвящена многомерному случаю.
Большое количество работ посвящено уравнениям с причинными операторами. Мы называем такие уравнения уравнениями с запаздыванием. К ним, в частности, относятся функционально-дифференциальные, функциональные, интегральные уравнения. С точки зрения темы настоящей диссертации наиболее интересны работы Ч. Дезоера, В.И. Кузнецовой,
B.Г. Курбатова, П.М. Симонова, А.В. Чистякова, R.M. DeSantis'a, J.A. Erdos'a и W.E. Longstaffa, A. Feintuch'a и R. Saeks'a, J.C. Willems'a и других, где исследуется или используется связь между устойчивостью уравне-
ния и причинной обратимостью соответствующего ему оператора, а также работы P.P. Ахмерова, А.Г. Баскакова, СЕ. Биркгана, В.Ш. Бурда, В.В. Власова, М.С. Карих, Ю.С. Колесова, И.А. Криштала, В.Г. Курбатова, А.И. Пастухова, С. Corduneanu, G. Farkas'a, Т. Naito, G. РесеШ, О. Staffans'a, и других, связанные с эквивалентностью дихотомии уравнения и обратимости соответствующего ему оператора. Отметим также работы Г.А. Куриной и Г. В. Мартыненко о приводимости периодических матриц к блочно-диагональному виду, непосредственно связанные с задачами о дихотомии решений.
Цель работы. Исследование условий совпадения причинной и обычной обратимости для операторов свертки; исследование условий совпадения обратимости (как причинной, так и обычной) на всем пространстве и на части пространства для операторов, инвариантных относительно сдвигов; исследование причинной обратимости интегрального оператора, ядро которого стабилизируется (по части переменных) на бесконечности. Исследование эквивалентности экспоненциальной дихотомии и устойчивости некоторых классов смешанных функционально-дифференциальных и интегральных уравнений.
Методы исследования. Основным аппаратом исследования в диссертации являются методы функционального анализа, в частности, теория операторов, спектральная теория, теория интеграла Лебега, банаховы алгебры. Используются теория дифференциальных уравнений в банаховом пространстве; элементы теории функций многих комплескных переменных и теория степени отображения.
Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты. Доказана теорема о равенстве причинного и обычного спектров оператора свертки с функцией класса L\, сосредоточенной в конусе. Установлено совпадение обычного спектра на части пространства, ограниченной конусом и причинного спектра для оператора, инвариантного относительно сдвигов; доказана теорема, позволяющая вычислить причинный спектр интегрального оператора, имеющего пределы на бесконечности. Установлена невозможность нетривиальной экспоненциальной дихотомии для смешанного функционально-дифференциального и интегрального уравнений.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут применяться в теории операторов, дифференциальных уравнений с частными производными, смешанных функционально-дифференциальных и интегральных уравнений, в задачах авторегулирования и теории систем, где необходимо учитывать конечную скорость распространения сигналов.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на: международной научной конференции "Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения" (МНК АДМ-2000)—Воронеж, 2000; Воронежской зимней математической школе (ВЗМШ-2000)—"Современ-ный анализ и его приложения"—Воронеж, 2000; международной научной конференции "Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений"—Воронеж, 2003; семинаре НОЦ ВГУ "Волновые процессы в нелинейных и неоднородных средах"; Воронежской зимней математической школе (ВЗМШ-2004)—Воронеж, 2004; семинаре В.Г. Курбатова (2000-2004, ЛГТУ); семинаре Г.А. Куриной (2004, ВГУ); семинаре А.Г. Баскакова (2004, ВГУ).
Публикации. Основные результаты работы опубликованы в [1-6].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых, в общей сложности, на 13 параграфов и списка литературы, включающего 157 наименований. Общий объем диссертации — 120 страниц.
Содержание работы
Во введении обоснована актуальность исследуемой проблемы, перечислены новые результаты, полученные в работе, а также сделан обзор известной литературы по теме диссертации.
Первая глава посвящена определению основных объектов и описанию их базовых свойств. В первом параграфе напоминаются свойства пространств Лебега и Соболева доказываются тех-
нические предложения о свойствах указанных пространств, необходимые в дальнейшем. Пусть Е — произвольное банахово пространство с нормой | • |. Функцию и € 1 < р < со, называют производной функции
б
V e LP(R, Е), если существует константа С € Е такая, что при почти
t
всех t 6 R справедливо равенство V(i) = / (/(s) ds + С. Обозначим че-
о
рез Wp1 = Wp(R,E), 1 < р < оо, подпространство Lp(R,E), состоящее из функций V, для которых производная j^V принадлежит LP(K, Е).
Будем обозначать через В(Х,У) пространство всех линейных ограниченных операторов из Л" в У. Для алгебры В[Х,Х) будем использовать сокращение В(Х).
Второй параграф посвящен определению причинности и причинной обратимости оператора, действующего в пространствах функций на R". Приводятся примеры причинных операторов. Здесь же изучаются конусы в Rn и доказываются некоторые их свойства. Подмножество SCE" называют конусом, если: § + § = § и а§ С § для всех а > 0. Конус S называют воспроизводящим, если S — S = К.".
Пример 1. (а) Будем рассматривать пространство R.1 с конусом [0,+сю).
(b) В пространстве R" рассмотрим конус
Конусы такого типа возникают, например, в теории относительности,
(c) В пространстве R" рассмотрим развернутый конус
Конусы такого вида тесно связаны со смешанными функционально-дифференциальными уравнениями.
Очевидно, все эти конусы являются замкнутыми (в топологическом смысле) и воспроизводящими.
Ниже будем считать, что в R" фиксирован некоторый замкнутый воспроизводящий конус S. Через §° обозначим внутренность множества §.
Конус § порождает на R" отношение частичной упорядоченности следующим образом. Для а, b 6 R" полагаем а < Ь, если а 6 6 —S, и а < Ь, если а £ Ь — S0. Обозначим через К" множество !Rn U {+00} U {—оо}; положим
Пусть X — банахово пространство функций на И". Семейство замкну тых подпространств { С X: Ь £ Е" } пространства X называют напра влением, если
Ха Э Хь при всех а < Ь. (1
Напомним, что запись а < Ь означает, что о 6 Ь — §; таким образом приведенное определение зависит от конуса §. Кроме того, положим п< определению Х^ = X и Х+0о — {0}.
пример 2. В пространствах X — Е), 1 < р < со, введем направле
нне с помощью подпространств
{Ьр)г = {хеЬр:х{в) = 0 при ве^З0}, í 6 К".
Очевидно, подпространства (£р)( замкнуты. Аналогично определим на правление в пространствах ТУДК, Е).
Пусть X = ¿Р(1Г\Е) или X = И^р(М,Е), и У = £Р(1Г,Е), 1 < р < оо. Линейный ограниченный оператор Т: X —> У называют причиннъи (относительно конуса §), если для любого £ £ имеет место вложение
ВД с у,.
В случае га = 1 определение причинного оператора выглядит особенно про сто. А именно, линейный ограниченный оператор Т является причиннъи (относительно конуса § = [0,+оо)), если для любой функции {/ € А' I < £Е М, из равенства {/($) = 0 при « < t следует, что (ТЩ(з) = 0 при в <t Нетрудно показать, что сумма, произведение и предел последовательности причинных операторов — снова причинный оператор. Это озна чает, что причинные операторы образуют замкнутое подпространство I пространстве В(АГ,У) (и подалгебру в алгебре В(Х)). Будем обозначат! их символами В$(АГ,У) и В$(Х) соответственно. Однако обратный к при чинному оператору может не быть причинным. Причинный оператор I называют причинно обратимым, если обратный оператор 77-1 существует и является причинным.
Пример 3. Пусть В ф К" — замкнутый воспроизводящий конус. Рассмотрим оператор сдвига 5: £.р(Е",Е) -> Х.р(Еп,Е), определённый формуло!
(Эх)^) = —Л), Л € §, Л Ф —Очевидно, что оператор 5 является причинным. Но обратный к нему (5_1а:)(£) = я(<+Л) причинным не является. Таким образом, S не является причинно обратимым.
Третий параграф посвящен мерам в Кп и порождаемым ими операторам. Доказывается предложение 18 о непрерывном действии оператора К, определенного формулой
(ПУ) (0(*) = [ ¿з [ г(з, у)У(1 - з)(х - у) ¿у. JvL Jъ^n
(2)
Там же доказывается теорема 24 о непрерывном действии и причинности операторов С, К. и 0. Здесь оператор С определен формулой
СУ = + У + + ах
где определены формулами
со
(£У)(0(®) = I ¿з ! -«)(*-у) <1у.
о к»
(0У)(«)(*)=£ I дк{у)У^-}ьк)(х-у)<1у.
Предполагается выполнение следующих условий:
(3)
(4)
(5)
Вторая глава посвящена доказательству эквивалентности причинной и обычной обратимости для различных типов операторов, в основном, получаемых на основе операторов свертки. В первом параграфе такой результат доказан для оператора свертки с функцией класса L1 сосредоточенной в конусе. Приведем соответствующую формулировку.
Теорема 28. Пусть п > 2 я В С К" — замкнутый воспроизводящий ко нус. Пусть д € Ь\ (в, С). Тогда для оператора свертки
из обратимости оператора 1 — С : —> £(р(К.п,С), 1 < р < оо
следует его причинная обратимость.
Следующий пример показывает, что в одномерном случае утвержденш теоремы может не иметь места.
ПРИМЕР 4. В пространстве ¿р(Е,С) рассмотрим интегральный оператор (Кх){1!) = /0°° е~'х{1. — в) ¿е. Он является причинным (относительно конуса [О, +со)). Оператор 1/2 — Л' обратим, но не является причинно обратимым
Во втором параграфе рассматривается интегральный оператор "Я, I пространстве Ьр(Ш., Ьр(Ш.п)), определенный формулой (2), с ядром, сосредоточенным в полупространстве X К". Доказывается аналог теоремы 26 (теорема 30) для него. В третьем параграфе аналог теоремы 28 (теорема 31) доказан для смешанного функционально-дифференциального оператора определенного формулой (3)
Третья глава посвящена изучению свойств причинных операторов связанных с их поведением в окрестности ±оо. В первом параграфе изучаются ограничения операторов, определенных на функциях, заданных на всем К", на часть пространства К", устанавливаются свойства спектров таких ограничений. Пусть о < 6; при этом возможно а = —оо и Ь = +оо. Ограничением оператора Т на множество (Ь—§)\(а—§°) называют фактор-
7[а,6] Л'[а>6] -» }[а,б], + ХЬ) = Тх + >4, X £ Л"..
Здесь и далее Л'^] = Ха/Хь и У[а/] = Уа/Уь-
Для Т £ В5(Л') будем обозначать через ст(7]аЬ]) и о-5(Г[а>ь]) спектры Т[а<щ алгебрах В(.Т(а,б]) и соответственно, а через а(Т) н сг2(Т) — обыч-
ный спектр оператора Т и спектр Т в Вз(А') соответственно. Основным
((1/2 - К)~Ч) (О = 2/(0 - 4 е-/(* + з) ¿8.
оператор
результатом второго параграфа является приводимая ниже теорема 51 о равенстве (причинного и обычного) спектров ограничения на множества Ь — Б и К" \ {I — 5°) инвариантного относительно сдвигов причинного оператора и причинного спектра этого оператора на всем Яп.
Теорема 51. Пусть Т : С) Хгр(Ип,С) — оператор, причинный
относительно замкнутого воспроизводящего конуса 5 С К". ПустьТин-вариантенотносительно сдвигов и Ь 6 К" —произвольная точка.
(Ъ) Пусть 1 < р < оо. Тогда <г(Т[<1+оо]) = <г5(Т[<>+оо]) = «ьСО-
В третьем параграфе доказана следующая теорема (теорема 55) о причинном спектре оператора, имеющего пределы на бесконечности.
Сначала приведем необходимое определение. Будем говорить, что оператор N € В5(Х), стремится к нулю на —оо (и писать N —> 0 при £ —> -оо), если норма его ограничения Х[_оо,<] -> -Х"[-оо,<] стре-
мится к нулю при £ —> —оо. Аналогично определим, что означает N О при г +оо.
Теорема 55. Пусть 1 < р < оо. Рассмотрим интегральный операторN, определенный формулой
ядро п которого удовлетворяет оценке |п(£, в) | < <7(5) при почти всех (£, в) € К" X 3 с некоторой функцией д € ¿1(3). Предположим, что существуют функции п+,п~ £ £1(3, С) такие, что N —У ^ при £ —> ±оо, где иД'" — операторы свертки с функциями п+ и п соответственно.
Четвертая глава посвящена доказательству невозможности экспоненциальной дихотомии решений для смешанных функционально-дифференциальных и для интегральных уравнений с операторами С (см. формулу (3)) и 72. (см. формулу (2)) соответственно.
Тогда
В первом параграфе смешанное функционально-дифференциально« уравнение, неизвестной в котором является функция V : Кп+1 —> С, сводится к уравнению относительно неизвестной функции V : К —* £Р(КП). У(Ь) = v(t,•), и обсуждаются технические детали, связанные с корректностью этого перехода. Во втором параграфе определяется и обсуждается начальная задача для рассматриваемого уравнения, доказываются условия ее равномерной разрешимости.
Для -оо < а <Ь < оо обозначим через Ьр[а, Ь] = Ьр{[а, Ь], Е), 1 < р < оо. пространство классов измеримых функций V: [а, Ь] —> Е, которые совпадают почти всюду и ограничены по норме ЦУ]^ = ^/о4 Р. Обозначим через РУр[о,Ь] = ([а,Ь],Е) пространство функций.У 6 Ьр[а,Ь] таких, что производная функции V существует и принадлежит Ьр[а.Ь\\ производная V € Ьр[а,Ь\ определяется так же, как и для V 6 ЬР(М,Е), см. стр. 7.
Определим {Ьр)\ос = (£,р(К,Е))]ос как пространство всех измеримых функций V: К -> Е таких, что V 6 ЬР(Ш.,Е) при всех -оо < а < Ь < +оо. Здесь 1 [<»,б] — характеристическая функция отрезка [а, 6]. Заметим, что для функции из (Ьр)1ос производная может быть определена аналогично тому, как это сделано выше для функции из Ьр. Определим (И^Юс = (^(ВДКе как подпространство всех функций V' 6 (£Р)1ос, для которых производная V принадлежит (£р)10С-
Далее, для краткости, обозначим через X одно из пространств Ьр = 1Р(1,Е) или = И^(К,Е), а через У — пространство £Р(К,Е).
Пусть £ 6 В8(Х,У). Рассмотрим уравнение
' Сх = / (7)
с оператором £, определенным формулой (3), в предположении, что выполнены условия (¡)-(ш). Ниже будем предполагать также, что / 6 1»Р(М,Е).
Пусть —оо < а <Ь < +оо. Рассмотрим начальную задачу
(£*)(«) = /(*)> а<1<Ь, (8)
Ф) = 9(0. * < (9)
Здесь правая часть / и начальная функция <р заданы, а решение х неизвестно.
Заметим, что если мы ищем решение х как функцию из X, то и / в (8), (9) должны быть функциями из соответствующего пространства, определёнными на (—оо, а) и (а, 6) соответственно. Более того, легко видеть, что начальное условие (9) означает равенство проекций х и <р в Xf-oo.a]- Аналогично, равенство (8) зависит только от проекции х в Поэтому решением начальной задачи (8), (9) назовем элемент фактор-пространства х G Х[_со,б]. Аналогичным образом, мы предполагаем, что <р 6 -A"[-oo,a]- Тем не менее, удобно считать, что / определена на всём R.
Говорят, что уравнение (7) равномерно разрешимо, если существуют 6 > 0 и Л' < оо такие, что для всех [а, 6], для которых Ь — а < 6, и / бУ, <р G Л"[_оо,а] начальная задача (8), (9) имеет единственное решение х G Х[_оо,ь], и это решение удовлетворяет оценке
INI<tf(IMI +11/11), (ю)
где Цх(| означает норму в Х}-^].
Пример 5. (а) Пусть оператор С : И^И^Е) LP(R,E) определён формулой (3). Тогда уравнение (7) равномерно разрешимо.
(Ь) Пусть г G Zr1(Rn+1, С) и оператор 7Z определён формулой (2). Тогда уравнение х + Их = / равномерно разрешимо.
В третьем параграфе вводятся операторы с экспоненциальной памятью, необходимые для корректного рассмотрения экспоненциальной дихотомии и устойчивости, приводятся примеры таких операторов.
Для каждого i Е Е обозначим через пространство функций вида Ф^г, где х пробегает X; здесь X Х# определено правилом (Ф^ж) (t) = е^' х(£). Будем рассматривать пространство Хц с нормой ||t/|| =
llyiu, = ll*-«y|U.
Пример б. (а) Для всех i? G R пространство (Lp)# состоит из всех у G (¿p)ioc, ограниченных по норме ЦФ-^уЦ^.
(Ь) Для всех i) £ R пространство (Ир1),) состоит из всех у G (LP)o, для "которых производная у также принадлежит (LP)j-
Будем говорить, что £ G В(Х, Y) имеет экспоненциальную память, если при всех t? G К, достаточно близких к 0, существует оператор G В(Ху>, Yi>), совпадающий с £ на Л* П ÀV
Обозначим через е£(Х,У) множество всех причинных операторов с экспоненциальной памятью. Очевидно, сумма и композиция операторов класса — также оператор класса ее-
ПРИМЕР 7. (а) Операторы вложения I и дифференцирования ¿/¿Ь принадлежат классу е$(\Ур,Ьр).
(b) Пусть функция у) = е'г'Н(з)к($,у), где Я = 1[0,+оо) — характеристическая функция полуоси [0,+оо), принадлежит ¿1(КП+1) при некотором 7 > 0. Тогда оператор 1С (см. формулу (4)) принадлежит е$(Ьр, Ьр).
оо
(c) Пусть Нк > 0, дк 6 и £ е7'"1 • |Ык < оо для некоторого
4=1
7 > 0. Тогда оператор <3 (см. формулу (5)) принадлежит е${Ьр,Ьр).
((1) Пусть выполнены предположения (Ь) и (с). Тогда оператор С = 57 + 1 + К. + 5 принадлежит е5(ИГР,ЬР).
В четвертом параграфе даются определения экспоненциальной дихотомии и устойчивости и содержатся основные результаты главы (теоремы 66 и 67).
Для 1?,т € К положим (Ф^г) (¿) = Обозначим через
пространство функций у таких, что у = для некоторого х 6 X. На А'о.т определим норму ||у||х41Г = у\\х- Заметим, что отличает-
ся от пространства определённого выше, только нормой. А именно, ||х||х, г = СЦхЦхл где С — е°т. Значит, любой оператор £, который рассматривается как действующий из Х# в имеет ту же норму, что п оператор £, который рассматривается как действующий из в Уа,г.
Пусть С € У), и пусть уравнение (7) равномерно разрешимо.
Будем говорить, что уравнение (7) экспоненциально устойчиво, если существуют е > 0 и N < оо такие, что для любых [а, Ь], —оо < а <Ь < +оо, и <р € Х[-оо,а] решение х £ Л[_оо,ь] однородной начальной задачи
(Сх) (0=0, а<г<Ь,
удовлетворяет оценке
Пусть С £ Рассмотрим уравнение (7). Мы предполагаем, что
уравнение (7) равномерно разрешимо в (X, У).
Говорят, что уравнение (7) допускает экспоненциальную дихотомию в (X, У), если выполнены следующие четыре условия.
(¡г) Для каждого а € Е пространство Х[_оо,а] раскладывается в прямую сумму
= ^[-оо,о] Ф *[-оо,а]-
Обозначим соответствующие проекции <р £ ^[-оо,о] в подпространства
и через <р+ и соответственно. И обозначим через я
и х~ решения начальных задач
(£**)(«)= О, 4>в,
(ис) Для всех Ь > а естественная проекция х+ в -Х"[_оо,4] принадлежит
(Ше) Функция х удовлетворяет уравнению (£*")(*) = О, ¿6 К,
и для всех Ь Е М естественная проекция х~ в лежит в Ь|.
(¡уе) Существуют е > 0 и N < со такие, что для всех <р € Х[-оо,а]
Таким образом, х+ экспоненциально убывает на +оо и <р~ экспоненциально убывает на —оо.
Теорема 66. Рассмотрим смешанное функционально-дифференциальное уравнение
СУ = Р, (11)
где оператор С: (М,Ьр) Ьр(ЖуЬр) определен формулой (3). Пусть
функция (5, у) 1-+ е~'3Н(з)к(з,у} принадлежит ¿1(И"+1) я при некотором
00
7 > 0 выполняется условие £ е^'Н^Н-с.! < оо . Здесь Я = 1га+<»1 —харак-
тернстическая функция полуоси [0,+со). Если уравнение (11) допускает экспоненциальную дихотомию в (\¥у,Ьр), то оно экспоненциально устойчиво.
Теор ема 6 7. Рассмотрим интегральное
V + nV^F, (12
где операторИ'. Lp(R,Lp) —> Lf(R, Lp) определен формулой (2) ur(t,x) = О при t < 0. Пустъфункция (s,y) н» e7,H(s)r(s,3/) принадлежит ¿i(Rn+1" при некотором 7 > 0. Еслиуравнение (12) допускает экспоненцпальную дихотомию в (Lp, Lp), то оно экспоненциальноустойчиво.
Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах.
1. Скопин В.А. Об одном свойстве причинных интегральных операторов свёртки/ В.А. Скопин// Воронежская зимняя математ. школа (ВЗМШ-2000)— "Современный анализ и его приложения". Тез докл.—Воронеж, 2000—192 с—С. 152-153.
2. Скопин В.А. Об обратимости смешанных функционально-дифференциальных операторов/ ВА Скопин// Междунар. науч. конф. "Нелинейный анализ и функц.-дифференц. уравнения" (МНК АДМ-2000) Тез. докл.—Воронеж, 2000.—240 с—С. 179-180.
3. Скопин В.А. Об эквивалентности причинной и обычной обратимости для интегральных операторов свертки/ В.А. Скопин// Дифференц уравнения—2001—Т.37, №9.—С. 1265-1272.
4. Скопин В.А. Об одном смешанном функционально-дифференциальном операторе/ В.А. Скопин// Сборник научных трудов преподавателей и сотрудников, посвященный 45-летию Липецкого государственного технического университета. Часть 3. —Липецк: ЛГТУ, 2001.—200 с—С. 62-65.
5. Скопин В.А. Спектры причинных операторов свертки на полуоси/
B.А. Скопин// Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений. Тез. конф.—Воронеж, 2003.—242 с.—
C. 215-216.
6. Skopin V.A. The impossibility of exponential dichotomy for a class of mixed functional-differential equations/ V.A. Skopin// Functional Dff. Equations—2000—Y. 7, №3-4.—P. 335-371. _
Лаказ № 205 от 24.03. 2004 г. Тираж 100 экз. Лаборатория оперативной полиграфии ВП
уравнение
.-8 115
Введение
1. Линейные операторы в пространствах Лебега
1.1. Некоторые свойства пространств Лебега.
1.2. Причинная и обычная обратимость
1.3. Основные примеры операторов.
2. Эквивалентность причинной и обычной обратимости
2.1. Оператор свертки с функцией, сосредоточенной в конусе.
2.2. Оператор свертки с функцией, сосредоточенной в полупространстве.
2.3. Смешанный функционально-дифференциальный оператор.
3. Свойства операторов на бесконечности
3.1. Ограничение причинного оператора на множество.
3.2. Операторы, инвариантные относительно сдвигов.
3.3. Операторы, имеющие пределы на бесконечности.
4. Эквивалентность устойчивости и экспоненциальной дихотомии
4.1. Переход к операторной форме записи уравнения.
4.2. Равномерная разрешимость начальной задачи.
4.3. Операторы с экспоненциальной памятью.
4.4. Эквивалентность экспоненциальной дихотомии и устойчивости.
Среди моделей окружающего мира можно выделить следующие два типа. Первый тип — модели "без памяти" или "без запаздывания". В них поведение модели в текущий момент времени описывается только ее состоянием в этот момент времени, т.е. "в настоящем". Иными словами, модель "не помнит" своего прошлого и "не знает" будущего. Второй тип моделей — модели "с запаздыванием" или "с памятью", когда по-ведние модели в текущий момент времени определяется значениями ее состояний не только в этот, текущий, момент времени, но и в какие-то предшествующие моменты. Теоретически можно выделить и третий тип моделей, когда для описания текущего поведения используются еще значения состояний модели в будущем. Однако, такое описание не имеет физического смысла.
Наиболее широко используется первый тип моделей. Для их описания применяют функциональные уравнения, обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными.
Настоящая диссертация посвящена, в основном, второму типу моделей. Отметим некоторые источники моделей такого типа.
Пусть дифференциальный оператор, описывающий систему без памяти, частично обратим, т.е. разлагается в произведение или в сугЛму нескольких частей, одна из которых обратима. Тогда, делая замену, использующую соответствующий обратный оператор (который, как правило, оказывается интегральным), получаем оператор с запаздыванием.
К моделям с запаздыванием часто приходят, исходя из экспериментальных наблюдений, в которых существенна разница между временем подачи сигнала на вход системы и его реальным попаданием на этот вход. В результате возникают уравнения, в которые неизвестные функции входят со сдвигом по времени.
Таким образом, модели с запаздыванием также достаточно распространены. Они широко применяются [3, б, 37, 38, 39, 61, 92, 94, 101, 124, 144, 153, 157] в теории авторегулирования, технике, электродинамике, квантовой физике, биологии, экологии, медицине, экономике, теории вероятностей и др. Г
Явление, когда настоящее может зависеть от прошлого (и, возможно, от самого настоящего), но не может зависеть от будущего, называют [29] причинностью. Изучению этого явления и посвящена настоящая работа.
Математический объект, описывающий явление причинности — причинный оператор. Он действует в пространствах функций переменной t, интерпретируемой как время. В самом общем смысле оператор Т называют причинным, если для вычисления значения функции Тх в настоящем используются значения функции х только в прошлом (и, возможно, в настоящем). Классическими работами по теории причинных операторов и уравнений с ними можно считать следующие книги: [16, 66, 96, 116, 125, 139, 140, 149, 156]. Причинные операторы изучаются (часто независимо) в разных областях математики, и в силу этого для них имеется несколько различных названий — причинный, вольтерров (оператор типа Вольтер-ра), наследственный, запаздывающий, каузальный.
Формальное определение причинности, используемое в работе, заключается в следующем [76, 83, 113, 139, 145, 146, 149, 155]. Пусть X и У — банаховы пространства функций на Мп. Пусть в пространствах X и У определены подпространства Хг и У^, индексированные одним и тем же семейством индексов £ £ I. Обычно множество индексов I предполагается частично упорядоченным и при этом Ха Э Хь и Уа Э Уъ, если а < 6. Линейный оператор Т: X —>• У называют причинным, если
ТХх С У,. (1)
Нас интересует случай, когда индекс Ь можно интерпретировать как время — одномерное или многомерное. В этом случае подпространства Xt и Ух состоят из функций, равных нулю до момента а определение причин-^ ного оператора сводится к тому, что из равенства функций до некоторого момента £ должно следовать равенство их образов до этого момента, причем в многомерном случае (п > 1) необходимо уточнить смысл слов "до момента .
В диссертации, в основном, исследуется случай, когда "время" £ многомерно, т.е. £ £ Кп, п > 1. Направление течения такого времени можно задать, фиксируя некоторый конус §СЁ"и для векторов 6 К" положив а < 6, если а Е Ь — §°; здесь 5° — внутренность конуса. Тогда в определении причинного оператора в многомерном случае слова "до момента означают "на множестве £ — §°". Подобная частичная упорядоченность (в четырехмерном случае) используется (см., например, [29]) в теории относительности, где направление в пространстве-времени задается световым конусом.
Важным источником многомерных причинных операторов являются уравнения с частными производными. Так, решение волнового уравнения описывается причинными операторами [29, 114] щего, а д — некоторая функция. Для уравнения теплопроводности решение описывается оператором [29, 114] причинным относительно полупространства {(51,$2): > 0,6 Мп}.
Причинный оператор называют [47, 76, 113, 139, 145, 146, 155, 156] причинно обратимым, если он обратим и обратный к нему также является причинным. Причинная обратимость может не совпадать с обычной. Например, причинный оператор сдвига = х(£ — 1) обратим, но обратный = + не является причинным. В диссертации исследуются, в основном, вопросы, связанные с причинной обратимостью. x){t) = I g{s)x{t — s) as при нечетном п
Jos при четном п где § = • • • - к > + + ••• + *«} ~ световой конус буду
Перейдем к описанию основных результатов диссертации. Первая глава посвящена определению основных объектов и описанию их базовых свойств. В первом параграфе напоминаются свойства пространств Лебега ЬР(ЕП,Е) и Соболева доказываются технические предложения о свойствах указанных пространств, необходимые в дальнейшем. Второй параграф посвящен определению причинности и причинной обратимости оператора, действующего в пространствах функций на Приводятся примеры причинных операторов. Здесь же изучаются конусы вй"и доказываются некоторые их свойства. Подмножество § С Мп называют конусом, если: §+§ = § и а§ С 8 для всех а > 0. Конус § называют [69] воспроизводящим, если 8 — В = Еп. Приводятся примеры конусов.
Третий параграф посвящен мерам вМ"и порождаемым ими операторам. Доказывается предложение 18 о непрерывном действии оператора Л, определенного формулой
ЪУ)(г)(х) = / ¿8 [ г(8,у)У(г-8)(х-у)<1у. (2)
К JlSín
Там же доказывается теорема 24 о непрерывном действии и причинности операторов /С и 0. Здесь оператор С определен формулой
СУ = + У + + (3) где /С и 0 определены формулами оо
СУ)ММ = I ¿81к(8,у)У(г-з)(х-у)йу, (4)
0 К" оо „ Еу 9нШ^-Нк){х-у)йу. (5)
Вторая глава посвящена доказательству эквивалентности причинной и обычной обратимости для различных типов операторов, в основном, получаемых на основе операторов свертки. В первом параграфе такой результат доказан для оператора свертки с функцией класса Ь^ сосредоточенной в конусе. Приведем соответствующую формулировку.
Теорема 28. Пусть и > 2 и § С Г — замкнутый воспроизводящий конус. Пусть д £ С). Тогда для оператора свертки вх){г) = [ д{з)х{г-8)<18 (6) из обратимости оператора 1 — С : Ьр(Шп, С) —> £р(М.п,С), 1 < р < оо, следует его причинная обратимость.
Во втором параграфе рассматривается интегральный оператор 72. в пространстве ЬР(М., Ьр(Шп)), определенный формулой (2), с ядром, сосредоточенным в полупространстве х ПГ\ Доказывается обсуждаемый результат (теорема 30) для него. В третьем параграфе результат (теорема 31) доказан для смешанного функционально-дифференциального оператора С, определенного формулой (3)
Третья глава посвящена изучению свойств причинных операторов, связанных с их поведением в окрестности ±оо. В первом параграфе изучаются ограничения операторов, определенных на функциях, заданных на всем Мп, на часть пространства Еп, устанавливаются свойства спектров таких ограничений. Пусть а < Ь; при этом возможно а = —оо и 6 = -(-оо. Ограничением оператора Т на множество (6 — §) \ (а — §°) называют фактор-оператор
Т[а,Ь] •' Х[ад У[а,Ь], Т[а,Ь]{х + ХЬ) =Тх + У6, X £ Ха.
Здесь и далее Х[а,ь\ = Ха/Хь и У[0)Ч = Уа/Уь
Второй параграф содержит теорему 48 о том, что обратимость всех ограничений оператора Т[а>ь], а, Ь (Е и равномерная ограниченность обратных влечет причинную обратимость оператора на всем М.п. Здесь же доказана приводимая ниже теорема 51 о равенстве (причинного и обычного) спектров ограничения на множества ^ - § и Е" \ - §°) инвариантного относительно сдвигов причинного оператора и причинного спектра этого оператора на всем К™.
Будем обозначать через В(Х,У) банахово пространство всех линейных ограниченных операторов из X в У. Для банаховой алгебры В(Х, X) будем использовать сокращение В(ЛГ). Нетрудно показать что причинные операторы образуют замкнутое подпространство в В (Л", У), будем обозначать его через В§ = Bg(X, Y). Для банаховой алгебры В§(Х, X) будем использовать сокращение В§(Х). Для оператора Т Е В§(Х) будем обозначать через а (Г) и сг§(Т) его спектры в алгебрах В(Х) и В§(Х) соответственно. Аналогично при — оо < а < Ь < +оо будем обозначать через а(Т[аМ) и <Jg(T[a)6]) спектры оператора Т в алгебрах В(Х[а>ь]) и В§(Х[а>ь]) соответственно.
Теорема 51. Пусть Т : Lp(En, С) —> Lp(IR",С) — оператор, причинный относительно замкнутого воспроизводящего конуса § С I". Пусть Т инвариантен относительно сдвигов и £ £ Rn — произвольная точка. a) Пусть 1<р<оо. Тогда a(T[-«^j) = <rs(:?[«>,<]) = as(Г). b) Пусть 1 < р < оо. Тогда cr(T[t>+oo]) = 67S(T[t)+oo]) = C7S(X).
Эта теорема позволяет вычислять указанные спектры операторов, для которых известен причинный спектр на всем М".
В третьем параграфе доказана следующая теорема (теорема 55) о причинном спектре оператора, имеющего пределы на бесконечности.
Сначала приведем необходимое определение. Будем говорить, что линейный ограниченный оператор N Е В§(Х), стремится к нулю на —сю (и писать N —> О при t —t —оо), если норма его ограничения N^e^t], действующего из в стремится к нулю при t —¥ —оо. Аналогично определим, что означает N —»■ 0 при t —> +оо.
Теорема 55. Пусть 1 < р < оо. Рассмотрим интегральный оператор N, определенный формулой
Nx)(t)= n(t,s)x(t-s)ds, te IR", J s ядро n которого удовлетворяет оценке s) I < g(s), почти всех (t, s) E Mn x § с некоторой функцией g E L\ (§). Предположим, что существуют функции n+,n~ Е Ia(§, С) такие, что N -4 ЛГ* при t —> ±оо, где N+ и N~ — операторы свертки с функциями п+ и п~ соответственно. Тогда
Ts{N) = as(N-)Uas{N+).
Эта теорема утверждает, что спектр интегрального оператора определяется его поведением в окрестности бесконечно удаленных точек.
Четвертая глава посвящена доказательству невозможности нетривиальной экспоненциальной дихотомии для смешанных функционально-дифференциальных уравнений вида
CV = F, где оператор С: Wp(M, Lp) LP(R, Lp) определен формулой (3). Соответствующий результат доказывается в четвертом параграфе. Здесь же доказывается аналогичное утверждение для интегрального уравнения
V + 1ZV = F, где оператор ЬР(Ж, Lp) —ï Lp(U.,Lp) определен формулой (2).
В первом параграфе смешанное функционально-дифференциальное уравнение, неизвестной в котором являете^ функция v : Rn+1 —> С, сводится к уравнению относительно неизвестной функции V : Ш —> Ьр(Шп), V(t) = v(t, •), и обсуждаются технические детали, связанные с корректностью этого перехода. Во втором параграфе определяется и обсуждается начальная задача для рассматриваемого уравнения, доказываются условия ее равномерной разрешимости. В третьем параграфе вводятся операторы с экспоненциальной памятью, необходимые для корректного рассмотрения экспоненциальной дихотомии и устойчивости, приводятся примеры таких операторов. В четвертом параграфе даются определения экспоненциальной дихотомии и устойчивости и содержатся основные результаты главы (теоремы 66 и 67). Мы не воспроизводим во введении определения (см. страницы 98 и 100) экспоненциальной устойчивости и экспоненциальной дихотомии ввиду их громоздкости.
Теорема 66. Рассмотрим смешанное функционально-дифференциальное уравнение
CV = F,
7) где оператор С: \¥р(Ш,Ьр) ЬР(Ш, Ьр) определен формулой (3). Пусть функция (в, у) I—^ е7ЯЯ(5)А;(5, у) принадлежит 1а(Мп+1) и при некотором оо
7 > 0 выполняется условие ^ е^Нк 11^11^1 < 00 • Здесь Н = 1[о,+оо] — ха~ к=1 рактеристическая функция полуоси [0, +оо). Если уравнение (7) допускает экспоненциальную дихотомию в (И^1, Ьр), то оно экспоненциально устойчиво.
Теорема 67. Рассмотрим интегральное уравнение
У + ЯУ = Е, (8) где оператор'Я: ЬР(М, Ьр) —> ЬР(Ш,ЬР) определен формулой (2) и г(£, х) = О при t < 0. Пусть функция (в, у) 1-» е78Я(з)г(5, у) принадлежит 1/1 (Еп+1) при некотором у > 0. Если уравнение (8) допускает экспоненциальную дихотомию в (Ьр, Ьр), то оно экспоненциально устойчиво.
Таким образом, в диссертации получены следующие основные результаты. Теорема 28 о равенстве причинного и обычного спектров оператора свертки с функцией класса Ь\, сосредоточенной в конусе. Теорема 51 о равенстве спектра на части пространства, ограниченной конусом и причинного спектра на всем М" для причинного оператора, инвариантного относительно сдвигов. Теорема 55 позволяющая вычислить причинный спектр интегрального оператора, ядро которого стабилизируется (по части переменных) при £ —> ±оо. Теорема 66 устанавливающая невозможность нетривиальной экспоненциальной дихотомии для смешанного функционально-дифференциального уравнения (7) и ее аналог для интегрального уравнения (8) — теорема 67.
Перечисленные результаты являются новыми.
Перейдем к обсуждению связи результатов диссертации с известными и их месту в теории операторов и дифференциальных уравнений.
В настоящее время причинные операторы (в значительной мере независимо) изучаются в функциональном анализе, в теории функционально-дифференциальных уравнений и теории управления.
Одномерному случаю (причинность относительно конуса [0, +оо)) посвящены работы [3, 6, 7, 14, 15, 21, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 45, 47, 48, 49, 50, 51, 55, 60, 61, 63, 64, 65, 72, 75, 76, 84, 91, 94, 95, 101, 103, 111, 112, 115, 118,120, 121, 122, 124, 129, 133, 134, 137, 139, 155, 156, 157] и многие другие. Обзоры одномерного случая можно найти во многих источниках, см., например, [140, 144, 145]. Поэтому мы не останавливаемся на них подробно, см. также ниже.
Многомерных работ значительно меньше. Среди них отметим [29, 41, 42, 53, 54, 57, 71, 87, 93, 97, 98, 100, 109, 113, 127, 128, 132, 146, 142, 143, 154]. В работе [128] исследуется операторы в пространствах функций на причинные относительно конуса
§ = {(жья2): Я1>0,я2>0} (9) в 1?. В работах [57, 127] изучаются операторы в функциональных пространствах Ьр([а,Ъ] х [с,с/]), причинные относительно конуса (9). Отметим также [109], где исследуются эллиптические уравнения с многомерным отклонением аргумента (и, вообще говоря, не причиными операторами). В книге [29, гл. 1, §4, 4; гл. 3, §19] изучается причинность относительно конусов в операторов, действующих в пространствах обобщенных функций; особое внимание уделяется световому конусу. Операторы, причинные относительно полупространства, изучаются в работах [41, 100]. Смешанные функционально-дифференциальные уравнения [97, 98, 142, 143] можно интерпретировать как уравнения с операторами, причинными относительно полупространства § = х В [132] исследуются операторы, причинные относительно конуса § = х К". Причинность относительно конусов общего вида в изучалась в [71, 113, 146]. Настоящая работа также посвящена многомерному случаю с конусом общей структуры.
Абстрактное определение причинного оператора обсуждалось в работах [43, 71, 76, 83, 145, 154]. В [76, 154] исследовались причинные операторы, определеные с помощью упорядоченного семейства проекторов. В [71] причинные операторы определяются и исследуются на основе спектральной теории банаховых модулей [9, 10, 11, 89, 135, 136]. Определение причинности, используемое в настоящей диссертации, соответствует определению [145]. В [43] изучается класс операторов, называемых воль-терровыми и определяемых как компактные операторы с нулевым спектральным радиусом. Доказывается, что оператор такого класса обладает максимальным линейно упорядоченным семейством инвариантных подпростратств, т.е. является причинным в нашем смысле. В [93] воль-терровость понимается в смысле [43]; рассматривается некоторый специальный класс операторов в пространстве £2(ЕП), п>2, и доказывается, что они компактны, но не являются причинными.
Многие важные банаховы пространства являются пространствами последовательностей или естественным образом изоморфны им. Операторы, действующие в таких пространствах, обычно допускают описание в терминах матриц. В этом случае при естественном выборе подпространств Хг и Ух в определении (1) причинность оператора становится эквивалентна треугольности его матрицы. Поэтому работы посвященные треугольным матрицам [2, 12, 40, 56, 85, 86, 90, 130, 141] следует также отнести к работам по причинным операторам.
Методами теории операторов причинные операторы исследовались в работах [14,15, 43, 45, 53, 54, 55, 70, 75, 76, 84,103,113,145,146]. Оценкам спектральных радиусов одномерных причинных операторов посвящены работы [25, 52, 53, 76, 95, 115], а многомерных — работы [54, 57, 71, 127, 146]. Сюда же следует отнести работы [43, 52, 71, 77, 134, 137, 139, 145,146], в которых устанавливается, что при соответствующих условиях спектральный радиус компактного причинного оператора равен нулю.
Операторы свертки являются классическим объектом математики, см., например, [119]. Работа [120] посвящена определению структуры обратного для оператора свертки с ядром специального вида, не принадлежащим Ь\.
В [111] изучаются условия, при которых оператор, порожденный задачей. Коши для данного уравнения в частных производных, будет причинным; причинность понимается в том смысле, что из совпадения начальных данных до момента £ следует совпадение решений указанной задачи.
Функционально-дифференциальным, дифференциально-разностным, интегро-дифференциальным и интегральным уравнениям с причинными операторами посвящены работы [4, 7, 8, 16, 18, 19, 21, 22, 23, 24, 27, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 42, 44, 47, 48, 49, 50, 51, 58, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 72, 73, 74, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 87, 91, 94, 96, 97, 98, 100,101, 112, 114, 116, 118, 121, 122, 125, 126, 127, 128, 129, 131, 132, 133, 134, 137, 138, 139, 140,
143, 144, 145, 147, 148, 152, 154, 155, 156] и многие другие, см., например, ссылки в книгах [7, 16, 47, 83, 96, 114, 116, 118, 125, 127, 131, 139, 140,
144, 145, 156]. Мы называем уравнения всех этих классов уравнениями с запаздыванием и относимся к ним как к единому целому, поскольку они отличаются, в основном, только функциональными пространствами, в которых ищется решение и рассматриваются соответствующие операторы, но обладают одинаковыми фундаментальными свойствами.
С точки зрения темы настоящей диссертации наиболее интересны работы, посвященные исследованию устойчивости и дихотомии решений уравнений с запаздыванием. Устойчивости таких уравнений посвящено большое количество работ, см., например, [4, 44, 49, 51, 60, 64, 97, 98, 118, 128] и литературу в них. Среди работ, связанных с устойчивостью, особо отметим работы [47, 72, 73, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 103,133, 134,137,139,
145, 155, 156], где исследуется или используется связь между устойчивостью уравнения и причинной обратимостью соответствующего ему оператора. Большое число работ, связанных с устойчивостью, проводится в рамках теории управления, см., например, [5, 38, 39, 47, 66, 101, 124, 151] и литературу в них. В работе [87] получены результаты об экспоненциальной устойчивости решений функционально-разностных уравнений с операторами, причинными относительно конуса в Мп. Все эти работы связаны с предложением 64, используемым в работе.
Экспоненциальной дихотомии дифференциальных уравнений с запаздыванием посвящены работы [18,19, 27, 62, 74,126,131,138,147,148,152]. Исследование дихотомии решений для разностных уравнений проводится в работах [13, 14, 15, 58, 71, 74, 83, 99, 145]. В частности, для уравнений с постоянными коэффициентами (в том числе и нейтрального типа) теоремы о дихотомии решений доказываются в [18, 19, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 147, 152], а уравнения нейтрального типа с переменными коэффициентами рассматриваются в [18, 74, 126]. Отметим также задачи [85, 86] о приводимости периодических матриц к блочно-диагональному виду, в котором спектр каждого из двух блоков лежит либо в левой, либо в правой полуплоскости, идеологически, а также с точки зрения техники исследования, связанные с задачами о дихотомии решений. Перечисленные работы по дихотомии имеют непосредственное отношение к используемому нами предложению 65.
Основные результаты работы докладывались на: международной научной конференции "Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения" (МНК АДМ-2000)—Воронеж, 2000; Воронежской зимней математической школе (ВЗМШ-2000)—"Современный анализ и его приложения"—Воронеж, 2000; международной научной конференции "Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений"—Воронеж, 2003; семинаре НОЦ ВГУ "Волновые процессы в нелинейных и неоднородных средах"; Воронежской зимней математической школе (ВЗМШ-2004)—Воронеж, 2004; семинаре В.Г. Курбатова (2000-2004, ЛГТУ); семинаре Г.А. Куриной (2004, ВГУ); семинаре А.Г. Баскакова (2004, ВГУ).
Основные результаты работы опубликованы в [104, 105, 106, 107, 108, 150].
Автор выражает благодарность НОЦ ВГУ за финансовую поддержку при работе над диссертацией.
1. Алексенко H.B. Метод функционалов Ляпунова для линейных дифференциально-разностных систем с почти периодическими коэффициентами/ Н.В. Алексенко, Р.К. Романовский// Дифференц. уравнения.—2001.—Т. 37, №2.—С. 147-153.
2. Альпин Ю.А. Об одновременной триангулизуемости матриц/ Ю.А. Альпин, H.A. Корешков// Мат. заметки.—2000.—Т. 68, №5.— С. 648-652.
3. Альсевич В.В. Задачи оптимального управления и наблюдения для неопределенных динамических систем с последействием/ В.В. Альсевич, Ф.М. Кириллова// Автоматика и телемеханика.—1996.— т.—С. 117-130.
4. Андреев A.C. К методу функционалов Ляпунова в исследовании устойчивости функционально-дифференциальных уравнений/ A.C. Андреев, C.B. Павликов// Мат. заметки.—2000—Т. 68, №3.— С.323-331.
5. Андреева Е.А. Управление системами с последействием/ Е.А. Андреева, В.Б. Колмановский, Л. Е. Шайхет.—М.: Наука, 1992.—336 с.
6. Андреева И.Ю. Вырожденная линейно-квадратичная задача оптимизации с запаздыванием по времени/ И.Ю. Андреева, А.Н. Сесе-кин// Автоматика и телемеханика.—1997.—№7.—С. 43-54.
7. Азбелев Н.В. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений/ Н.В. Азбелев, В.П. Максимов, Л.Ф. Рахматулли-на.— М.: Наука, 1991.—280 с.
8. Ахмеров P.P. Теория уравнений нейтрального типа/ P.P. Ахмеров, М.И. Каменский, A.C. Потапов, А.Е. Родкина, Б.H Садовский// Итоги науки и техники. Математический анализ.—Т. 19.—С. 55126.
9. Баскаков А.Г. Некоторые вопросы теории векторных почти периодических функций: Дис. . канд. физ.-мат. наук/ А.Г. Баскаков.— Воронеж: ВГУ, 1973.
10. Баскаков А.Г. К спектральному анализу в банаховых модулях над коммутативными банаховыми алгебрами/ А.Г. Баскаков; ВГУ— Воронеж, 1977.—51 е.—Деп. в ВИНИТИ 29.06.77, №3058-77
11. Баскаков А.Г. Гармонический анализ линейных операторов: Дис. . докт. физ.-мат. наук/ А.Г. Баскаков.—Воронеж: ВГУ, 1987.—302 с.
12. Баскаков А.Г. Диагонализация операторов и дополняемость подпространств банаховых пространств/ А.Г. Баскаков// Укр. мат. журнал—1990—Т. 42, т.—С. 867-873.
13. Баскаков А.Г. О корректности линейных дифференциальных операторов/ А.Г. Баскаков// Мат. сборник.—1999—Т. 190, №3.—С. 3-28.
14. Баскаков А.Г. Об обратимости и фредгольмовости разностных операторов/ А.Г. Баскаков// Мат. заметки.—2000.—Т. 67, №6.— С. 816-827.
15. Баскаков А.Г. Спектральный анализ взвешенных операторов сдвига с неограниченными операторными коэффициентами/ А.Г. Баскаков, А.И. Пастухов// Сибирск. мат. журнал.—2001.—Т.42, №6.— С. 1231-1243.
16. Беллман Р. Дифференциально-разностные уравнения/ Р. Беллман, К.Л. Кук.—М.: Мир, 1967.—548 с.
17. Бесов О.В. Интегральные представления функций и теоремы вложения/ О.В. Бесов, В.П. Ильин, С.М. Никольский.— М.: Наука, 1975.— 480 с.
18. Биркган С.Е. Экспоненциальная дихотомия и устойчивость решений линейных дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа/ С.Е. Биркган// Исследования по устойчивости и теории колебаний: Сб. науч. тр.—Ярославль, 1981.—С. 90-112.
19. Биркган С.Е. Экспоненциальная дихотомия и базисность системы элементарных решений линейных автономных уравнений нейтрального типа/ С.Е. Биркган// Сибирск. мат. журнал.—1986.—Т. 27, т.—С. 25-27.
20. Бобылёв H.A. Методы нелинейного анализа в задачах негладкой оптимизации/ H.A. Бобылёв, B.C. Климов.—М.: Наука, 1992.— 207 с.
21. Бойко В.К. Обратимость линейных стационарных систем нейтрального типа/ В.К. Бойко, С.А. Минюк, О.Б. Цехан// Дифференц. уравнения.—2002.—Т. 38, т.—С. 875-881.
22. Борисович Ю.Г. Оценка резольвенты производящего оператора для линейных систем с запаздыванием/ Ю.Г. Борисович, А.Л. Бадоев// Литовский мат. сб.—1968.—Т. 8, №2.—С. 233-236.
23. Борисович Ю.Г. К задаче Коши для линейных неоднородных дм-фференциальных уравнений с запаздывающим аргументом/ Ю.Г. Борисович, A.C. Турбабин// Докл. АН СССР.—1969.—Т. 185, №4.— С. 741-744.
24. Бреннер В.В. О спектральном радиусе оператора с локально независимыми сдвигами/ В.В. Бреннер// Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук.—1981.—№3.—С. 48-55.
25. Бурбаки Н. Интегрирование. Меры на локально компактных пространствах. Продолжение меры. Интегрирование мер. Меры на отделимых пространствах/ Н. Бурбаки: Пер. с франц.—М.: Наука, 1977.—Гл. 3-5, 9.—600 с.
26. Бурд В.Ш. О дихотомии решений функционально-дифференциальных уравнений с почти периодическими коэффициентами/ В.Ш. Бурд, Ю.С. Колесов// Докл. АН СССР.—1970.—Т. 195, №6.—С. 1259-1262.
27. Владимиров B.C. Методы теории функций многих комплексных переменных/ B.C. Владимиров.—М.: Наука, 1964.—412 с.
28. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике/ B.C. Владимиров—М.: Наука, 1979—320 с.
29. Власов В.В. О разрешимости и свойствах функционально-дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве/ В.В. Власов// Мат. сборник.—1995.—Т. 186, №8.—С. 67-92.
30. Власов В.В. Об одном классе функционально-дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом в гильбертовом пространстве/ В.В. Власов// Мат. заметки.—1997.—Т. 62, №5.—С. 782-786.
31. Власов В.В. О некоторых спектральных вопросах, возникающих в теории дифференциально-разностных уравнений/ В.В. Власов// Успехи мат. наук.—1998.—Т. 53, №4.—С. 217-219.
32. Власов В.В. Оценки решений уравнений с последействием в пространствах Соболева и базис из разделенных разностей/ В.В. Власов, С.А. Иванов// Мат. заметки.—2002—Т. 72, №2—С. 303-306.
33. Власов В.В. О корректной разрешимости некоторых дифференциально-разностных уравнений в пространствах Соболева/ В.В. Власов, В.Ж. Сакбаев// Мат. заметки.—2000.—Т.68, №6.—С. 939-942.
34. Власов B.B. О корректной разрешимости в шкале пространств Соболева некоторых дифференциально-разностных уравнений/ В.В. Власов, В.Ж. Сакбаев// Дифференц. уравнения.—2001.—Т. 37, №9.—С. 1194-1202.
35. Воронин А.Ф. Теорема единственности для уравнения первого рода в свертках на отрезке с дифференцируемым ядром/ А.Ф. Воронин// Дифференц. уравнения.—2001.—Т. 37, №10.—С. 1342-1349.
36. Востриков В.Б. Внутреннее эллипсоидальное оценивание множеств достижимости для линейных управляемых систем с запаздыванием/ В.Б. Востриков// Дифференц. уравнения.—2003.—Т. 39, №8.— С. 1130-1137.
37. Гайдук А.Р. Синтез робастных систем управления с запаздыванием/ А.Р. Гайдук// Автоматика и телемеханика.—1997.—№1.— С. 90-99.
38. Гайшун И.В. Устойчивость дискретных процессов Вольтерра с убывающим последействием/ И.В. Гайшун// Автоматика и телемеханика.—1997.—№6.—С. 117-124.
39. Гаркавенко Г.В. О диагонализации некоторых классов линейных операторов/ Г.В. Гаркавенко// Изв. вузов. Математика.—1994.— Т. 390, №11.—С. 14-19.
40. Городецкий М.Б. Об обратимости операторов типа свертки в полупространстве/ М.Б. Городецкий// Теория функций, функциональный анализ и их приложения.—Харьков, 1981.—№35.—С. 19-24.
41. Городний М.Ф. Ограниченные решения некоторых классов дифференциальных уравнений с операторными коэффициентами/ М.Ф. Городний, O.A. Лахода// Укр. мат. журнал.—2001.—Т.53, №11.— С. 1495-1500.
42. Гохберг И.Ц. Теория вольтерровых операторов в гильбертовом пространстве и ее приложения/ И.Ц. Гохберг, М.Г. Крейн.—М.: Наука, 1967.—508 с.
43. Гребенщиков Б.Г. Методы изучения устойчивости систем с линейным запаздыванием/ Б.Г. Гребенщиков// Сибирск. мат. журнал.— 2001 —Т. 42, т.—С.41-51.
44. Гринив P.O. О подобии возмущенных операторов умножения/ P.O. Гринив, Я.В. Микитюк// Мат. заметки—2001.—Т. 70, №1— С. 3845.
45. Гуревич П.Л. Разрешимость нелокальных эллиптических задач в двугранных углах/ П.Л. Гуревич// Мат. заметки.—2002.—Т. 72, №2.—С. 178-197.
46. Дезоер Ч. Системы с обратной связью: входо-выходные соотношения/ Ч. Дезоер, М. Видьясагар: Пер. с англ.—М.: Наука, 1983.— 278 с.
47. Дербенев В.А. Асимптотика резольвенты неустойчивого уравнения Вольтерра с разностным ядром/ В.А. Дербенев, З.Б. Цалюк// Мат. заметки.—1997.—Т. 62, №1.—С. 88-95.
48. Долгий Ю.Ф. Об устойчивости периодической системы дифференциальных уравнений с запаздыванием/ Ю.Ф. Долгий, С.Г. Николаев// Дифференц. уравнения.—1999.—Т. 35, №10.—С. 1330-1336.
49. Енгибарян Н.Б. Консервативные системы интегральных уравнений свертки на полупрямой и всей прямой/ Н.Б. Енгибарян// Мат. сборник.—2002.—Т. 193, №6—С. 61-82.
50. Ермолаев М.Б. Об устойчивости уравнений с запаздыванием, зависящим от неизвестной функции/ М.Б. Ермолаев// Изв. вузов. Математика.—1994—Т. 385 №6— С. 60-63.
51. Забрейко П.П. Об интегральных операторах Вольтерра/ П.П. За-брейко// Успехи мат. наук.—1967.—Т. 22, №1.—С. 167-168.
52. Забрейко П.П. Об одном обобщении теоремы Вольтерра/ П.П. Забрейко, А.Н. Ломакович// Укр. мат. журнал.—1987.—Т. 39, №5.— С. 648-651.
53. Забрейко П.П. Интегральные операторы Вольтерра в пространстве функций двух переменных/ П.П. Забрейко, А.Н. Ломакович// Укр. мат. журнал.—1990.—Т. 42, №9.—С. 1187-1191.
54. Игнатьев М.Ю. О подобии вольтерровых операторов и операторах преобразования для интегро-дифференциальных уравнений дробных порядков/ М.Ю. Игнатьев// Мат. заметки.—2003.—Т. 73, №2.—С. 206-216.
55. Икрамов Х.Д. О нормальной дилатации треугольных матриц/ Х.Д. Икрамов// Мат. заметки.—1996.—Т. 60, №6— С. 862-872.
56. Калитвин A.C. Линейные операторы с частными интегралами/ A.C. Калитвин.—Воронеж: ЦЧКИ, 2000.—252 с.
57. Келли Дж.Общая топология/ Дж. Келли.—М.: Наука, 1968.—384 с.
58. Княжище Л.Б. Немонотонные функционалы Ляпунова для исследования равномерной асимптотической устойчивости уравнений с запаздыванием/ Л.Б. Княжище// Дифференц. уравнения.—2002.—Т. 38, №7.—С. 882-889.
59. Колесов А.Ю. Применение техники релаксационных колебаний к системе дифференциально-разностных уравнений из экологии// А.Ю. Колесов// Мат. сборник—1994—Т. 185, №1.—С. 95-106.
60. Колесов Ю.С. Обзор результатов по теории устойчивости решений дифференциально-разностных уравнений с почти периодическими коэффициентами/ Ю.С. Колесов// Исслед. по теории устойчивости теории колебаний: Сб. науч. тр.— Ярославль, 1977.—С. 82-141.
61. Колмановский В.Б. О предельной периодичности решений некоторых систем Вольтерра/ В.Б. Колмановский// Автоматика и телемеханика.—2001 5.—С. 36-43.
62. Колмановский В.Б. Об устойчивости разностных уравнений Вольтерра/ В.Б. Колмановский// Дифференц. уравнения.—2001.— Т. 37, №12.—С. 1686-1694.
63. Колмановский В.Б. Об ограниченности в среднем решений разностных уравнений Вольтерра при неизвестных возмущениях/ В.Б. Колмановский, H.H. Королева, Н.П. Косарева// Дифференц. уравнения.—2002.—Т. 38, №11.—С. 1549-1562.
64. Колмановский В.Б. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием/ В.Б. Колмановский, В.Р. Носов.— М.: Наука, 1981.—448 с.
65. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа/ А.Н. Колмогоров, C.B. Фомин.—М.: Наука, 1972.—496 с.
66. Красносельский М.А. Векторные поля на плоскости/ М.А. Красносельский, А.И. Перов, А.Н. Поволоцкий, П.П. Забрейко. —М.: Физ-матгиз, 1963.—248 с.
67. Красносельский М.А. Позитивные линейные системы/ М.А. Красносельский, Е.А. Лифшиц, A.B. Соболев. —М.: Наука, 1985.—255 с.
68. Криштал И.А. Обратимость и каузальная обратимость операторов с двухточечным спектром Берлинга/ И.А. Криштал// Известия РАЕН МММИУ.—2000.—Т. 4, №4.—С. 147-151.
69. Криштал И.А. Спектральный анализ каузальных операторов: Дис. . канд. физ.-мат. наук/ И.А. Криштал.—Воронеж: ВГУ, 2003.— 112 с.
70. Кузнецова В.И. О дискретных линейных ситемах с медленно меняющимися параметрами/ В.И. Кузнецова// Автоматика и телемеханика.—1990.—№7.—С. 43-48.
71. Кузнецова В.И. Об устойчивости одного класса разностных уравнений с медленно меняющимися коэффициентами/ В.И. Кузнецова// Дифференц. уравнения—2003.—Т. 39, №8— С. 1108-1114.
72. Курбатов В.Г. О дихотомии решений линейных уравнений нейтрального типа/ В.Г. Курбатов// ВГУ.—Воронеж, 1976.—26 с.— Деп. в ВИНИТИ 29.04.76, №1443.
73. Курбатов В.Г. О спектре оператора с соизмеримыми отклонениями аргумента и постоянными коэффициентами/ В.Г. Курбатов// Дифференц. уравнения.—1977.—Т. 13, №10.—С. 1770-1775.
74. Курбатов В.Г. Об обратимости запаздывающих операторов/ В.Г. Курбатов// Теория операторных уравнений.—Воронеж, 1979.— С. 43-52.
75. Курбатов В.Г. Об ограниченных решениях дифференциально-разностных уравнений/ В.Г. Курбатов// Сибирск. мат. журнал.— 1986.—Т. 27, №1.—С. 86-99.
76. Курбатов В.Г. Об устойчивости функционально-дифференциальных уравнений на оси и полуоси/ В.Г. Курбатов// Дифференц. уравнения—1986—Т. 22, №6.—С. 923-927.
77. Курбатов В.Г. Один пример в теории устойчивости уравнений с запаздыванием/ В.Г. Курбатов// Мат. заметки.—1986.—Т. 39, №2.— С. 253-259.
78. Курбатов В.Г. О функционально-дифференциальных уравнениях с непрерывными коэффициентами/ В.Г. Курбатов// Мат. заметки.— 1988.—Т. 44, №6.—С. 850-852.
79. Курбатов В.Г. Об устойчивости дифференциально-разностных уравнений с производной и без производной/ В.Г. Курбатов// Дифферент уравнения—1988.—Т. 24, №9.—С. 1503-1509.
80. Курбатов В.Г. Эффективная оценка в принципе усреднения/ В.Г. Курбатов// Автоматика и телемеханика.—1989.—№8.—С. 50-55.
81. Курбатов В.Г. Линейные дифференциально-разностные уравнения/ В.Г. Курбатов—Воронеж: изд-во ВГУ, 1990—167 с.
82. Курбатов В.Г. Об обратимости дифференциально-разностных операторов в банаховом пространстве/ В.Г. Курбатов, И.С. Фролов.— Воронеж, 1977.—58 с. — Деп. в ВИНИТИ 17.02.78, №42407.
83. Курина Г.А. О приводимости неотрицательно гамильтоновой вещественной периодической матрицы к блочно-диагональной форме/ Г.А. Курина, Г.В. Мартыненко// Мат. заметки.—1999.—Т. 66, №5— С. 688-695.
84. Курина Г.А. О приводимости неотрицательно гамильтоновой оператор-функции, действующей в вещественном гильбертовом пространстве, к блочно-диагональной форме/ Г.А. Курина, Г.В. Мартыненко// Дифференц. уравн.—2001 —Т. 37, №2.—С. 212-217.
85. Левендорский С.З. Об экспоненциальном убывании на бесконечности решений многомерных уравнений типа свертки в конусах/ С.З. Левендорский, B.C. Рабинович// Изв. вузов. Математика.—1979.— т.—С. 38-44.
86. Лионе Ж.-JI. Неоднородные граничные задачи и их приложения/ Ж.-Л. Лионе, Э. Мадженес—М.: Мир, 1971.—371 с.
87. Любич Ю.И. Об операторах с отделимым спектром/ Ю.И.Любич, В.И.Мацаев// Мат. сборник—1962.—Т.56, №4.—С. 433-468.
88. Мануйлов В.М. Диагонализация операторов над непрерывными полями С* алгебр/ В.М. Мануйлов// Мат. сборник.—1997.—Т. 108, №6.—С. 99-118.
89. Мао Ш. Упрощенные алгоритмы оценивания для систем с последействием, содержащих малый параметр/ Ш. Мао, А.К. Матасов// Вестник МГУ. Сер. I. Математика. Механика—2001.—№2.—С. 3743.
90. Марчук Г.И. Математические модели в иммунологии/ Г.И. Марчук.—М.: Наука, 1980.
91. Медведев K.M. О невольтерровости операторов, обратных разрешимым расширениям и правильным сужениям, порождаемых операцией —div grad/ K.M. Медведев// Дифференц. уравнения.—2001.—Т. 37, Ш.—С. 242-251.
92. Минюк С.А. О построении непрерывной восстанавливающей операции в задаче полной идентификации линейных стационарных систем с запаздыванием/ С.А. Минюк, A.B. Метельский// Дифференц. уравнения—2003—Т. 39, №8— С. 1052-1057.
93. Мухамадиев Э.М. Об оценке спектрального радиуса одного оператора, связанного с уравнениями нейтрального типа/ Э.М. Мухамадиев, Б.Н. Садовский// Мат. заметки—1973.—Т. 13, №1.—С. 67-78.
94. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом/ А.Д. Мышкис.—М.: Наука, 1972.—352 с.
95. Мышкис А.Д. ^-устойчивость линейных пространственно однородных смешанных функционально-дифференциальных уравнений/А.Д. Мышкис// Дифференц. уравнения—2000—Т. 36, №. 1.—С. 7175.
96. Мышкис А.Д. Устойчивость линейных смешанных функционально-дифференциальных уравнений с соизмеримыми отклонениями пространственного аргумента/ А.Д. Мышкис// Дифференц. уравнения.—2002.—Т.38, №10— С. 1331-1337.
97. Пастухов А.И. Обратимость разностных операторов и экспоненциальная дихотомия/ А.И. Пастухов// Сборник работ студентов и аспирантов ф-та ПММ ВГУ. Вып. 2., 1998.—С. 96-105.
98. Рабинович B.C. О дифференциально-разностных уравнениях в полупространстве/ B.C. Рабинович// Дифференц. уравн.—1980.—Т. 16, №11.—С. 2030-2038.
99. Родионов A.M. Об одном способе исследования устойчивости дифференциальных и дискретных уравнений с запаздыванием/ A.M. Родионов// Автоматика и телемеханика.—1996.—№12.—С. 38-47.
100. Рудин У. Функциональный анализ/ У. Рудин : Пер. с англ.—М.: Мир, 1975.—443 с.
101. Симонов П.М. Об обратимости вольтерровых операторов в одном классе инвариантных подпространств/ П.М. Симонов, A.B. Чистяков// Функц.-дифференц. уравн.: Сб. науч. тр.—Пермь, 1987.— С. 63-68.
102. Скопин В.А. Об одном свойстве причинных интегральных операторов свёртки/ В.А. Скопин// Воронежская зимняя математ. школа (ВЗМШ-2000)— "Современный анализ и его приложения". Тез. докл.—Воронеж, 2000.—192 е.—С. 152-153.
103. Скопин В.А. Об обратимости смешанных функционально-дифференциальных операторов/ В.А. Скопин// Междунар. науч. конф.Нелинейный анализ и функц.-дифференц. уравнения" (МНК АДМ-2000). Тез. докл.—Воронеж, 2000.—240 е.—С. 179-180.
104. Скопин В.А. Об эквивалентности причинной и обычной обратимости для интегральных операторов свертки/ В.А. Скопин// Дифферент уравнения.—2001.—Т.37, №9.—С. 1265-1272.
105. Скопин В.А. Спектры причинных операторов свертки на полуоси/B.А. Скопин// Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений. Тез. конф.—Воронеж, 2003.—242е.—С. 215-216.
106. Скубачевский А.Л. Первая смешанная задача для параболического дифференциально-разностного уравнения/ А.Л. Скубачевский, Р.В. Шамин// Мат. заметки.—1999.—Т. 66, №1.—С. 145-153.
107. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике/ С.Л. Соболев.—М.: Наука, 1988.—336 с.
108. Солнечный Э.М. Условия вольтерровости оператора, порождаемого задачей Коши для уравнения с частными производными/ Э.М. Солнечный// Дифференц. уравнения.—1997.—Т. 33, №2—С. 267-274.
109. Стариков А.Ф. Сведение линейных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений к уравнениям Вольтерра второго рода/ А.Ф. Стариков// Дифференц. уравнения.—1997.—Т.ЗЗ, №2.—C. 278-280.
110. Студеникин A.A. Операторы свертки с мерой, сконцентрированной в подполугруппе/ A.A. Студеникин.—Липецк, 1998.—130 с.—Деп. в ВИНИТИ 19.06.98, N1871-B98.
111. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики/ А.Н. Тихонов, A.A. Самарский.—М.: Наука, 1972.—736 с.
112. Фролов И.С. О вольтерровом спектре одного разностного оператора/ И.С. Фролов// Дифференц. уравнения.—1985.—Т. 21, №2.— С. 340-342.
113. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений/ Дж. Хейл.—М.: Мир, 1984.—421 с.
114. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений/ Д. Хенри.—М.: Мир, 1985.
115. Хусаинов Д.Я. Метод функций Ляпунова в исследовании устойчивости дифференциально-функциональных систем/ Д.Я. Хусаинов, A.B. Шатырко.—Киев.: Изд-во Киевского ун-та, 1997.—236 с.
116. Хьюитт Э. Абстрактный гармонический анализ// Э. Хьюитт, К. Росс.—М.: Наука; Мир, 1975—Т. 1, 2.-657 е., 901 с.
117. Цалюк З.Б. Асимптотика резольвенты уравнения Вольтерра с разностным несуммируемым ядром/ З.Б. Цалюк, М.В. Цалюк// Дифференц. уравнения.—2003—Т. 39, №6.—С. 844-847.
118. Черепенников В.Б. Аналитическое решение задачи Коши для некоторых линейных систем функционально дифференциальных уравнений нейтрального типа/ В.Б. Черепенников// Изв. вузов. Математика.—1994.—Т. 385, т.—С. 90-98.
119. Чистяков В.Ф. О разрешимости систем интегральных уравнений типа Вольтерра IV рода. I/ В.Ф. Чистяков// Дифференц. уравнения.—2002.—Т. 38, №5.—С. 698-707.
120. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ/ Б.В. Шабат.—М.: Наука, 1969.— 576 с.
121. Шашихин В.Н. Синтез робастного управления для интервальных крупномасштабных систем с последействием/ В.Н. Шашихин// Автоматика и телемеханика.—1997.—№12.—С. 164-174.
122. Эльсгольц Э.Л. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом/ Э.Л. Эльсгольц, С.Б. Норкин.—М.: Наука, 1971 —296 с.
123. Akhmerov R.R. Exponential dichotomy and stability of neutral type equations/ R.R. Akhmerov, V.G. Kurbatov// J. Diff. Equations.— 1988.—V. 76, №1.—P. 1-25.
124. Appell Ju.M. Partial Integral Operators and Integro-Differential Equations/ Jii.M. Appell, A.S Kalitvin, P.P. Zabrejko. New-York, Marcel Dekker, 2000.—578 p.
125. Bistritz Y. Real-polinomial based immitance type tabular stability test for two-dimentional discrete systems/ Y. Bistritz// Circuits Systems Signal Process—2003.—T. 22, №3.—C. 255-276.
126. Chang J.-C. On the Volterra integrodifferential equations and applications/ J.-C. Chang// Semigroup Forum—2002—V. 66, №1.—P. 68-80.
127. Chon I. Triangular stochastic matrices generated by infinitesimal elements/ I. Chon, H. Min// Czechoslovak Math. J—1999—V. 49, №2 — P. 249-254.
128. Corduneanu C. Integral Equations and Stability of Feedback Systems/ C. Corduneanu.—New-York, London: Academic Press, 1973.—238 p.
129. Czlapinski T. On the mixed problem for hyperbolic partial differential-functional equations of the first order/ T. Czlapinski// Czechoslovak Math. J.—1999.—V. 49, №4.—P. 791-809.
130. DeSantis R.M. Causality, strict causality and invertibility for systems in Hilbert resolution space/ R.M. DeSantis// SIAM J. Control.—1974.— V. 12, №3.—P. 536-553.
131. DeSantis R.M. On the generalization of the Volterra principle of inversion / R.M. DeSantis, W.A. Porter// J. Math. Anal. Appl.—1974— V. 48, №3.—P. 743-748.
132. Domar Y. Harmonic analysis based on certain commutative Banach algebras/ Y. Domar// Acta Math.—1956.—V.96.—P. 1-66.
133. Domar Y. Three spectral notions for representations of commutative Banach algebras/ Y. Domar, L.-A. Lindahl// Ann. Inst. Fourier.—1975.— V.25, №2.—P. 1-32.
134. Erdos J.A. The convergence of triangular integrals of operators on Hilbert space/ J.A. Erdos, W.E. Longstaff// Indiana Univ. Math. J.— 1973.—V. 22, №10.—P. 929-938.
135. Farkas G. Nonexistence of uniform exponential dichotomies for delay equations/ G. Farkas// J. Diff. Equations—2002—V. 182, №1 — P. 266-268.
136. Feintuch A. System Theory: A Hilbert Space Approach/ A. Feintuch, R. Saeks.—New York: Academic Press, 1982—310 p.
137. Grip enb erg G. Volterra Integral and Functional Equations/ G. Grip en-berg, S.-O. Londen, O. Staffans.—Cambridge, New-York: Cambridge Univ. Press, 1990.—701 p.
138. Holubowski W. The ubiquity of free subsemigroups of infinite triangular matrices/ W. Holubowski// Semigroup Forum.—2003.—T. 66, №2.— C. 231-235.
139. Kamenskii G.A. Periodic solutions of linear inhomogeneous mixed functional differential equations/ G.A. Kamenskii, A.D. Myshkis// Funct. Diff. Equations.—1997.—V. 4, № 1-2.—P. 81-90.
140. Kamenskii G.A. Mixed functional-differential equations/ G.A. Kamen-skii, A.D. Myshkis// Nonlin. Anal. TMA.—1998.—V. 34, № 2.—P. 283287.
141. Kolmanovskii V. Introduction to the Theory and Applications of Functional Differential Equations/ V. Kolmanovskii, A. Myshkis. — Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers, 1999.—664 p.
142. Kurbatov V.G. Functional Differential Operators and Equations/ V.G. Kurbatov.—Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers, 1999.—452 p.
143. Kurbatov V.G. The causal invertibility with respect to a cone/ V.G. Kurbatov, A.A. Studenikin// Funct. Diff. Equations.—1997.—V. 4, №3-4.—P. 295-327.
144. Naito T. On linear autonomous retarded equations with an abstract phase space for infinite delay/ T. Naito//J. Diff. Equations.—1979.—V. 33, №1 —P. 74-91.
145. Pecelli G. Functional differential equations: dichotomies, perturbations and admissibility/ G. Pecelli// J. Diff. Equations.—1974.—V. 16, №1— P. 72-102.
146. Saeks R. Resolution space. Operators and systems/ R. Saeks// Lect. Notes Economics Math. Systems.—1973.—V. 82.—P. 1-267.
147. Skopin V.A. The impossibility of exponential dichotomy for a class of mixed functional-differential equations/ V.A. Skopin// Funct. Diff. Equations.—2000.—V. 7, №3-4.—P. 335-371.
148. Sokolova S.P. Asymptotic stability of interval time-delay systems/ S.P. Sokolova, R.S. Ivlev// Reliable Computing—V. 9, №4.—P.303-313.
149. Staffans O.J. On a neutral functional differential equation in a fading memory space/ O.J. Staffans// J. Diff. Equations.—1983.—V. 50, №2.— P. 183-217.
150. Tian J. Probabilities of causation: bounds and identification/ J. Tian, J. Pearl// Ann. Math. Artificial Intelligence—2000.—V. 28, №1-4.— P. 287-313.
151. Vath M. Abstract Volterra equations of the second kind/ M. Vath// J. of Int. Equations and Appl.—1998—V. 10, №3.—P. 319-362.
152. Willems J.C. Stability, instability, invertibility and causality/ J.C. Willems// SIAM J. Control.—1969.—V. 7, № 4.—P. 645-671.
153. Willems J.C. The Analysis of Feedback Systems/ J.C. Willems.— Cambridge: MIT Press, 1971.—188 p.
154. Yuan S.-L. Persistence and periodic solution on a nonautonomous SIS model with delays/ S.-L. Yuan, Z.-E. Ma, Z. Jin// Acta Math. Appl. Sinica (English Ser.)—2003.—V. 19, №1.—P. 167-176.
