Классификация нормальный и сопряженно-нормальных теплицевых и ганкелевых матриц тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи 00500791и

Чугунов Вадим Николаевич

Классификация

нормальных и сопряженно-нормальных теплицевых и ганкелевых матриц

Специальность 01.01.06 — математическая логика,

алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

2 б ВИЗ 2012

Москва —

2011

005007910

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте вычислительной математики РАН.

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

профессор Икрамов Хаким Дододжанович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Гришин Александр Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор Ильин Валерий Павлович

доктор физико-математических наук, профессор Гутерман Александр Эмилевич

Ведущая организация: Санкт-Петербургский Государственный

Морской Технический Университет

Защита состоится V " февраля 2012 г. в часов на заседании диссертационного совета Д 212.154.32 при Московском педагогическом государственном университете по адресу: 107140, г. Москва, ул. Краснопрудная, д. 14, ауд. 108.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского педагогического государственного университета по адресу: 119991, г. Москва, ул. Пироговская, д. 1.

■ У/»

Автореферат разослан " ' ' " января 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

О.В. Муравьева

Общая характеристика работы

Актуальность тематики.

Описание пересечения двух матричных классов — типичная задача линейной алгебры. Известным примером служит критерий Сильвестра, устанавливающий условия, при которых вещественная симметричная матрица является одновременно положительно определенной.

Множество нормальных матриц представляет собой матричный класс, обладающий целым рядом замечательных свойств, самым важным из которых является наличие орто-нормированного базиса из собственных векторов. Сопряженно-нормальные матрицы играют в матричном анализе ту же роль по отношению к преобразованиям унитарной конгруэнции, какую нормальные матрицы выполняют по отношению к унитарным подобиям.

На практике часто имеют дело с теплицевыми, ганкелевы-ми матрицы и их обобщениями. Их роль велика в алгебре, теории функций, гармоническом анализе, проблеме моментов, функциональном анализе, теории вероятностей и многих прикладных вопросах.

С алгебраической точки зрения возник интерес к изучению пересечения нормальных и сопряженно-нормальных матриц с матрицами той или иной структуры. Несмотря на некоторые имеющиеся множества требуемых матриц, найденные из различных соображений, хотелось получить полные характери-зации нормальных и сопряженно-нормальных матриц среди матриц фиксированной структуры в рамках единого подхода.

Цель исследования заключается в выделении из множеств теплицевых, ганкелевых и теплиц-плюс-ганкелевых матриц классов нормальных и сопряженно-нормальных матриц.

Методология исследования опирается на традиционный ап-

парат линейной алгебры и конечномерную теорию преобразования Фурье. Важными инструментами решения нормальной ганкелевой задачи являются введенные в диссертации новый класс двухпараметрических циркулянтов и класс линейных преобразований, для которого множество таких циркулянтов является инвариантным.

Научная новизна и теоретическая значимость. В работе представлены полные решения нескольких задач описания пересечения матричных классов: выделяются десять классов нормальных ганкелевых матриц и семь классов сопряженно-нормальных теплицевых матриц и устанавливается отсутствие других видов матриц таких типов; на основе анализа классов нормальных и сопряженно-нормальных теплицевых матриц выведена характеризация матриц, являющихся одновременно теплицевыми, нормальными и сопряженно-нормальными матрицами. Для множества матриц, представимых в виде суммы теплицевой и ганкелевой, найдены частные решения задач описания нормальных и сопряженно-нормальных матриц, когда теплицево и ганкелево слагаемые являются соответствующими циркулянтами или косыми циркулянтами.

Практическая ценность заключается в том, что получена параметризация всех представленных классов нормальных и сопряженно-нормальных матриц, выделенных среди теплицевых, ганкелевых и теплиц-плюс-ганкелевых. Это дало возможность сконструировать генераторы матриц исследуемых видов, обладающих свойствами нормальности или сопряженной нормальности.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались автором: на 1-ой международной конференции "Матричные методы и операторные уравнения" (Москва, 2005), 2-ой международной конференции "Матричные мето-

ды и операторные уравнения" (Москва, 2007), международной конференции 1ЬАБ (Италия, 2010), на всероссийской школе-конференции "Ломоносовские чтения" (Москва, 2009), на научно-исследовательских семинарах механнико-математическо-го факультета Московского Государственного Университета, Учреждения Российской академии наук Института вычислительной математики РАН, Института прикладной математики РАН, Санкт-Петербургского Государственного Морского Технического Университета, Института вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения РАН.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 работ, из них 16 в рецензируемых журналах, 1 в материалах конференций.

Личный вклад автора. Вклад автора в совместные работы заключался: предложении идеи решения [2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 17], совместном теоретическом обосновании [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 14, 15, 16, 17].

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Текст работы изложен на 172 страницах, содержит библиографию из 67 наименований.

Содержание диссертации

Во введении описываются цели данной работы и обосновывается ее актуальность. Кратко излагается содержание диссертации по главам, сформулированы используемые определения и вспомогательные факты, дан обзор основных результатов диссертации.

Диссертация посвящена выделению в множествах тепли-цевых, ганкелевых и теплиц-плюс-ганкелевых матриц классов нормальных и сопряженно-нормальных, как решению задач классификации матриц, подчиняющихся набору условий.

Под решением классификационной задачи понимается доказательство критерия, устанавливающего наличие у матрицы определенной совокупности характеристик (теплицева, ганке-лева, сумма теплицевой и ганкелевой, с одной стороны; нормальная или/и сопряженно-нормальная, с другой) как принадлежность одному или нескольким перечисленным в критерии классам, а также сама совокупность описанных классов. Так как нормальная (сопряженно-нормальная) матрица при умножении на число сохраняет свойство нормальности (сопряженной нормальности), то все описанные в диссертации классы определены с точностью до скалярного множителя.

Первая глава, состоящая из четырех разделов, посвящена решению нормальной теплицевой задачи (НТЗ), заключающейся в характеризации матриц, являющихся теплицевыми и нормальными одновременно.

В разделе 1.1 дан экскурс в историю исследования рассматриваемой задачи, возникшей как стремление получить конечномерный аналог следующего утверждения.

Теорема 1.1. (Враун, Халмош) Бесконечномерная теплицева матрица (оператор) нормальна тогда и только тогда, когда представляет собой линейный многочлен с комплексными коэффициентами от эрмитовой теплицевой матрицы.

В теореме 1.2 приводится классификация конечномерных нормальных теплицевых вещественных матриц. Обозначим через 1и единичную матрицу порядка п.

Теорема 1.2. (Икрамов) Пусть вещественная матрица Т одновременно нормальная и теплицева. Тогда справедливо по меньшей мере одно из утверждений:

1) Т — симметричная матрица;

2) Т — матрица вида а1п + К, где ос е II, К1 = —К;

3) Т — циркулянт;

4) Т — косой циркулянт.

Полную характеризацию комплексных нормальных тепли-цевых матриц дает теорема 1.3, еще одно доказательство которой представлено в первой главе несмотря на существующее множество различных обоснований этого утверждения.

Теорема 1.3. Комплексная теплицева матрица Т является нормальной тогда и только тогда, когда принадлежит одному из следующих классов:

Класс 1.1. Т — матрица вида а1п + (ЗК; где сх, (3 е С, Я — эрмитова теплицева матрица.

Класс 1.2. Т представляет собой ср -циркулянт для некоторого числа ср 6 С, |ср| = 1 .

В разделе 1.2 обосновываются необходимые условия теоремы 1.3. Это доказательство основывается на установлении того факта, что всякая четверка элементов нормальной матрицы {Т}ц = вида

удовлетворяет соотношениям вида

= И(тН) = ог^пН, где о^ б С, = 1 (1)

(четверка типа А) или

= ф^пН, 1:_(п_л = ср^, где <р} € С, |ф]| = 1 (2)

(четверка типа В). Это позволяет разбить все множество теп-лицевых матриц с уловиями (1) или(и) (2) для каждой четверки на 26 множеств, характеризуемых наличием в матрице ненулевых четверок типа А, типа В и типа А и В одновременно и существованием или отсутствием различных с и ф в формулах (1) и (2).

Последующий анализ каждого множества приводит к выводу, что все четверки нормальной теплицевой матрицы удовлетворяют условию (1) с единой ст либо (2) с одним и тем же

Ф, что устанавливает справедливость необходимых условий в теорем 1.3.

В разделе 1.3 различными способами показывается, что линейные многочлены от эрмитовых теплицевых матриц и ср-циркулянты являются нормальными матрицами, т. е. устанавливается достаточность.

В разделе 1.4 приведены алгоритмы построения нормальных теплицевых вещественных и комплексных матриц соответственно четырех и двух классов и для каждого класса определена размерность многообразия решения как минимальное число вещественных параметров, по значениям которых можно однозначно вычислить все элементы матрицы в рассматриваемом классе.

Основные результаты первой главы: приведено еще одно доказательство критерия нормальности комплексной тепли-цевой матрицы как полное решение НТЗ, описаны алгоритмы построения нормальных теплицевых матриц.

Во второй главе, состоящей из трех разделов, приведено полное решение нормальной ганкелевой задачи (НГЗ), в которой требуется указать все виды комплексных матриц, являющихся одновременно нормальными и ганкелевыми. Данная задача имеет смысл лишь в поле комплексных чисел, так как произвольная вещественная ганкелева матрица всегда является нормальной в силу симметричности. На самом деле, НГЗ эквивалентна системе квадратичных уравнений относительно элементов двух вещественных теплицевых матриц. Поэтому для нахождения нормальных ганкелевых матриц нужно определить все случаи, когда соответствующая система разрешима, и в каждом из них найти решения.

История нахождения требуемых ганкелевых матриц отражена в разделе 2.1.

Для удобства описания решения сопоставим ганкелевой мат-

рице Н теплицеву матрицу

Т = НР,

m

(3)

где

1\

\

1

/

Матрицу Т будем называть соответствующей для рассматриваемой ганкелевой матрицы Н. Введем операцию V-преобразования для теплицевой матрицы Т, заключающуюся в замене

Т = Т1+гТ2 (4)

на матрицу

Т = Тт + 1Т2 = (уцТ| + V2lТг) + г^гТт + V22T2)>

где

V V21 V22 /

— невырожденная матрица. Пусть Fn — (нормированная) матрица дискретного преобразования Фурье.

В этой части диссертации сформулированы десять классов нормальных ганкелевых матриц в виде следующего утверждения.

Теорема 2.1. Комплексная ганкелева матрица Н является нормальной тогда и только тогда, когда принадлежит одному из следующих классов:

Класс 2.1. Вещественные ганкелевы матрицы и произвольные их комплексные кратные.

Класс 2.2. Матрицы вида

аРп + рНч, а, Ре С, (5)

где Н] — произвольная ,вещественная центросиммет-ричная ганкелева матрица.

Класс 2.3. Влонно-диагональные матрицы вида

аН1 ф |ЗН2, а, р € С, (6)

где Н] — верхнетреугольная вещественная ганкелева матрица порядка к (0 < к < п), а Н2 — нижнетреугольная вещественная ганкелева матрица порядка I = п — к. При этом мы называем Н1 и Нг соответственно верхнетреугольной и нижнетреугольной ганкелевыми матрицами, если

{Н]}ч=0 при \-\-) > к-Н

и

(Н2}ч =0 при г + з < 1+ 1. Класс 2.4. Матрицы вида

аНт + рН^1, а, ре С, (7)

где Н1 — невырожденная вещественная верхнетреугольная (или нижнетреугольная) ганкелева матрица.

Класс 2.5. Ганкелевы матрицы, для которых соответствующие теплицевы матрицы получаются V-преобразованием множества унитарных ср -циркулянтов (\ц>\ = 1, <р ф ±1) и их скалярных кратных.

Класс 2.6. Ганкелевы матрицы, для которых соответствующие теплицевы матрицы получаются V -преобразованием матриц вида Т = Т) + 1Г2, полученных одним из следующих двух способов:

1^1 = |<1п+2-з1, 1=2,3,

(9)

а) Т| — произвольный вещественный невырожденный £,-циркулянт, Т2 — произвольное вещественное кратное матрицы "Г,-*;

б) Ъ и Т] — вещественные -циркулянты, "делящие нуль"; иначе говоря, Т1 и Т2 удовлетворяют условию

Т,т| = 0. (8)

Класс 2.7. Ганкелевы матрицы, для которых соответствующие теплицевы матрицы являются циркулянтами вида Т = Р*ОРп, где Б = diag(d^,..., с1п) — диагональная матрица, удовлетворяющая соотношениям

п+1 2

Класс 2.8. Ганкелевы матрицы, для которых соответствующие теплицевы матрицы являются косыми циркулянтами вида Т = С_1Р*0РПС1|, где С_] = , ф, ф2, фп_1), ф — корень п-ой степени из —1 вида ф = е1 п1 Э = ..., с!^.) — диагональная матрица, для которой выполнены условия

|а,| = м2|, = |ап+3-,|, ) = з,4,...,[^|+1. (Ю)

Класс 2.9. Ганкелевы матрицы, для которых соответствующие теплицевы матрицы получаются V-преобразованием матриц вида Т = Т| + П^, являющихся результатом выполнения следующей процедуры:

а) Задать в качестве Т1 произвольное вещественное кратное вещественного ортогонального циркулянта. Определить как строго нижнетреугольную теплице-ву матрицу, поддиагопальная часть которой совпадает с поддиагональной частью Т|, а Т3 тсак матрицу вида

Ъ = ЪЦ-ит1 (11)

и

б) В качестве Тг можно взять любой вещественный циркулянт, решающий уравнение

= (12)

Класс 2.10. Ганкелевы матрицы, для которых соответствующие теплицевы матрицы получаются V-преобразованием матриц вида Т = Т| + Пг, являющихся результатом выполнения следующей процедуры:

а) Задать в качестве Т) произвольное вещественное кратное вещественного ортогонального косого циркулянта. Матрицу 1_1 определить как строго нижнетреугольную теплицеву матрицу, поддиагональная часть которой противоположна поддиагональной части Тт.

б) В качестве Т2 можно взять любой (вещественный) косой циркулянт, решающий уравнение (12), где Т3 определяется (11).

Раздел 2.2, включающий в себя четыре параграфа, содержит доказательство теоремы 2.1. Оно представляет собой изложение подхода, благодаря которому с одной стороны все ранее известные классы нормальных ганкелевых матриц, а также новые, получаются в рамках единой схемы, с другой обосновывается отсутствие других классов требуемых матриц. Данное доказательство является полным решением НГЗ для матриц произвольного порядка. Оно содержит обоснование только необходимых условий, так как достаточность следует из эквивалентности совершаемых преобразований.

В параграфе 2.2.1 вводятся используемые обозначения и соглашения. Далее в параграфе 2.2.2 осуществляется переформулирование исходной ганкелевой задачи в терминах уравнения для соответствующей теплицевой матрицы

ТР = ТР,

а после перехода к вещественной и мнимой частям вида (4) получается уравнение

Т2Т| = Т,Т2\

(13)

Таким образом, НГЗ эквивалентна задаче описания пар вещественных теплицевых матриц, произведение которых дает симметричную матрицу.

У матриц Тт и 1г с элементами {Т^ = а^ и {Тг}^ = Ь^ отделим диагональ, введя

Т1 = ао1п + 1ъ Тг = Ь01п +

Тогда (13) имеет вид

- = ао№ - %) - Ъо(Т? -%). (14)

В правой части (14) стоит теплицева матрица, значит и в левой части (14) должна стоять тоже теплицева матрица. Это условие в терминах элементов матриц ^ и % имеет вид

ап_кЪпН - а^Ъп-к = а_кЪ_з - а_}Ъ_к,

к,) = 1,...,п-1.

(15)

На основе элементов матриц Т1 и % введем в рассмотрение две дополнительные (п -1) х 2-матрицы Т и Я вида

атг-1 Ьп_1

О-п-2 Ьп_2 СИ Ът

(16)

б =

а_1

а_2

Ъ_1 Ь-2

а-п+1 Ь_п+1 13

(17)

Определим величины

Akj = det ( J = an_kbn_j - an_jbn_k)

\ Tl—j Dn-j j

= det ( ^ ) = a_kbH - a_,b_k. Теперь (15) принимает вид

Ag = Ag, к, j = "I,..., n — 1.

Дальнейший анализ состоит из нескольких взаимоисключающих случаев, определяемых рангами матриц Т и Q.

Параграф 2.2.3 охватывает случаи, когда Т и Q имеют ранг, не превосходящий единицы. Если одна из матриц нулевая, то приходим к классу 2.1 нормальных ганкелевых матриц. При выполнении условия rank Т = rank Q = 1 матрицы ti и t2 представимы в виде

ti=aU+yL, t2 = |3U + 6I_,

где U — строго верхнетреугольная, L — строго нижнетреугольная теплицевы матрицы, а, (3, у и 5 — вещественные числа, удовлетворяющие условиям

сх2 + |32 ф 0, у2 + б2 ф 0.

Решаемое уравнение имеет вид

SUL^iU + kL1,

где

£, = аб - |3у, £,i = а0|3 - Ь0<х, E¿ = b0y - а06.

При £, = 0 получаем класс 2.2, иначе введя щ = — £,i/£,, М-2 = —£.2/^,, имеем

Случай (ii = ц-2 = 0 дает класс 2.3, а ненулевые одновременно щ и fj.2 класс 2.4, иначе имеем класс 2.1.

В параграфе 2.2.4 рассматривается более сложная ситуация, когда rank Т — rank Q = 2. Исследование начинается с важного утверждения.

Лемма 2.6. Пусть Т и Q — (тг — 1) х 2-матрицы вида (16) и (17) соответственно, rank Т = rank Q — 2. Матрицы Т и Q удовлетворяют условию (15) тогда и только тогда, когда найдется 2x2 -матрица W с определителем, равным единице, такая, что

G = JW.

Представив матрицу W в виде

получаем, что соответствующие теплицевы матрицы для оставшихся классов нормальных ганкелевых матриц должны лежать в множестве теплицевых матриц, подчиняющихся условию

где

t_j = (ptnH + г|ПпН, j = 1,2,...,n-1,

сс + 6 .13— у , а — 5 .|3+у <р = —z--1- г—г—, -ф = —---1- г-

2 2' ^ 2 2 Данное множество названо классом С(ф,"ф) двухпараметри-ческих циркулянтов, задаваемым матрицей \У. Влияние V-преобразования на множество С(ф,ф) описывает

Лемма 2.7. Пусть ф, т|)) — класс (ф,"ф) -циркулянтов, характеризуемый матрицей \У. Тогда V -преобразование

этого класса есть класс С(ф,'ф) -циркулянтов, характеризуемый матрицей

у/ = у-1\уу.

Если матрица Т 6 С(ср,ф) порождает нормальную ган-келеву матрицу Н = "ГРП, то это же верно для ее V-преобразования Т € С(ф,'ф).

Данная лемма позволяет свести анализ ганкелевой задачи к исследованию четырех различных случаев, определяемых жордановой формой матрицы У\/:

а) Собственные значения матрицы \У образуют комплексно сопряженную пару.

б) Собственные значения вещественны и различны.

в) Собственные значения совпадают, и матрица У/ — диа-гонализуема.

г) Собственные значения совпадают, и жордановой формой матрицы \\/ является клетка 2-го порядка.

Остановимся на каждом из этих случаев.

а) Если собственные значения матрицы V/ образуют комплексно сопряженную пару, то нормальные ганкелевы матрицы следует искать среди ф-циркулянтов (|ср| = 1). Здесь помогает

Лемма 2.8. Ганкелев <р-циркулянт Н = 1, ф ф ±1) является нормальной матрицей тогда и только тогда, когда соответствующий теплицев ф -циркулянт Т имеет все собственные значения равными по модулю, т.е. является скалярным кратным унитарной матрицы.

Получаем класс 2.5.

б) Условие, что собственные значения \У вещественны и различны, приводит к множеству теплицевых матриц, удо-

влетворяющих ограничению

= Е,апЧ + г^Ъп-}, ) = 1,2,...,п-1.

Такие матрицы названы разделяющимися циркулянтами.

Для данного множества оказывается справедливой

Лемма 2.9. Матрица Т1Т2 симметрична тогда и только тогда, когда ТтТ? — скалярная матрица.

Из данной леммы следует класс 2.6.

в) Пусть собственные значения совпадают, и матрица V/ — диагонализуема, тогда \У = 12 или V/ = -1г. Приходим к задаче отыскания нормальных ганкелевых матриц среди ган-келевых циркулянтов и косых циркулянтов. Ее решение дают классы 2.7 и 2.8.

г) Случай недиагонализуемой матрицы V/ с совпадающими собственными значениями является самым сложным. С учетом V-преобразования матрица может быть двух видов

1 1

или

Если Ш = }\, то в представлении (4) матрица Ъ является циркулянтом С1, а Т2 — суммой циркулянта С2 и строго нижнетреугольной теплицевой матрицы 1.1, поддиагональная часть которой совпадает с поддиагональной частью С1. Подстановка представлений для Т| и Т2 в исследуемое уравнение дает условие

Ы]-иС] = С2С)-С1С\. Матрица, стоящая в правой части, является циркулянтом, поэтому и матрица

с3 = с,Ц-ис]

также должна быть циркулянтом. Важную роль здесь играет лемма 2.14.

Лемма 2.14■ Пусть С — вещественный теплицев циркулянт и I — строго нижнетреугольная теплицева матрица, поддиагональные элементы которой совпадают с поддиагональными элементами С. Матрица — 1_С* является циркулянтом тогда и только тогда, когда С — скалярное кратное ортогонального циркулянта.

Теперь алгоритм поиска С1 и С2 соответствует описанию класса 2.9. Если УМ = ]2, то аналогично получаем класс 2.10. Роль леммы 2.14 в этом случае играет

Лемма 2.16. Пусть С — вещественный теплицев косой циркулянт, а I — строго нижнетреугольная теплицева матрица, поддиагональные элементы которой противоположны поддиагональным элементам С. Матри-Ча С1Л-1.С* является косым циркулянтом тогда и только тогда, когда С — скалярное кратное ортогонального косого циркулянта.

В разделе 2.3 представлены алгоритмы построения нормальных ганкелевых матриц из теоремы 2.1 и для каждого класса вычислена размерность решения.

Основные результаты второй главы: получены десять классов нормальных ганкелевых матриц в рамках единого подхода, доказано отсутствие других решений нормальной ганке-левой задачи, приведены алгоритмы построения решений в множестве ганкелевых матриц.

В третьей главе, состоящей из четырех разделов, дано решение сопряженно-нормальной теплицевой задачи (СНТЗ) — классификации матриц, являющихся теплицевыми и сопряженно-нормальными одновременно.

В разделе 3.1 сформулирован критерий принадлежности

теплицевой матрицы множеству сопряженно-нормальных матриц.

Теорема 3.1. Теплицева матрица Т является сопряженно-нормальной тогда и только тогда, когда принадлежит одному из следующих классов:

Класс 3.1. Теплицевы циркулянты вида Т = ]-*ОРп, где Б = diag(d^, ..., с1п) — диагональная матрица, удовлетворяющая соотношениям (9).

Класс 3.2. Теплицевы косые циркулянты вида Т = , где = сИаё(1, ф, ф2, ф^1],

ф — корень п-ой степени из —1 вида ф = е1 п; О = diag(d^,..., с1п) — диагональная матрица, для которой выполнены условия (10).

Класс 3.3. Теплицевы унитарные Л -циркулянты с |Л| = 1, Л ф ±1 и их скалярные кратные.

Класс 3-4- Симметричные теплицевы матрицы.

Класс 3.5. Кососимметричные теплицевы матрицы и произвольные комплексные кратные матриц, получаемых из вещественных кососимметричных теплицевых матриц произвольными вещественными сдвигами по главной диагонали.

Класс 3.6. Теплицевы Л -симметричные матрицы = Щ) с |А| = 1, Л ф ±1, имеющие нули в позициях (), 1) для ) = 1,2,..., [и/2].

Класс 3.7. Скалярные кратные теплицевых Л -симметричных матриц с |Л| = 1,Л ф ±1, которые представимы в виде

Т = ^1п + 1+,Л1Л (18)

Л — I

где I. — строго нижнетреугольная матрица вида = Ь| +г1_2, при этом 1_2 выбирается произвольным обра-

зом, a Li однозначно определяется по L2 из соотношения

2U =UU+L2L2. (19)

Раздел 3.2 содержит доказательство теоремы 3.1. Оно основано на выделении подмножеств теплицевых матриц, для которых матрица ТТ*—Т*Т сама является теплицевой. В этом помогает результат из статьи Gu G., Patton L. // SIAM J. Matrix Anal. Appl. 24 (2003) 728-746, формулирующий для теплицевых матриц А, В, С и D условия теплицевости АВ — CD. Бели для теплицевой матрицы {Т}^ = tj_k определить вектора а = (0, t_i, t_2,..., t_n+i), а = (0, t,, t2, • • •, tn-i) и операцию z = (0,^-1,^-2,... ,z0 для вектора z = (0, zi, Z2,..., Zn_i), то условие теплицевости ТТ*—T*T дает

Утверждение 3.2. Матрица ТТ* — 7*7 является теплицевой тогда и только тогда, когда

а©а+й©а = а©сс+ссОсс,

где для векторов х = (хъх2,... ,хп) и у = {уъуг,... ,уп) х © -у — матрица с элементами {х 0 у}^ = х^, k,j = 1,...,n.

Возможны два частных случая:

a) векторы а и сс линейно независимы;

b) векторы а и сс линейно зависимы.

Эти случаи рассмотрены в параграфах 3.2.1 и 3.2.2.

Если векторы а и а линейно независимы, то вектор а может быть выражен как линейная комбинация

а = га + Ла,

причем Л ф 0. Подстановка в условие сопряженной нормальности Т дает

Г т = 0, 11Л| = 1, 20

что соответствует множеству Л-циркулянтов с |Л| = 1.

Так как Л-циркулянты с |Л| = 1 коммутируют, то на данном множестве рассматриваемую задачу можно записать в виде

3 ТП = О,

который означает нормальность ганкелевой матрицы, соответствующей рассматриваемой теплицевой. Получаем классы 3.1, 3.2, 3.3.

Условие линейной зависимости векторов а и а в виде а = Л а для некоторого комплексного числа Л приводит к соотношению

(1 -|Л|2)(а® а+ й® й) =0.

Здесь возможны четыре ситуации в зависимости от значения Л.

Если Л = 1, то Т является симметричной теплицевой матрицей — класс 3.4. Случай Л = —1 дает класс 3.5. При |Л| ф 1 имеем пустое множество требуемых теплицевых матриц.

Самым сложным сложным является случай |Л| = 1, Л ф ¿1. Пусть I. — комплексная строго нижнетреугольная теплицева матрица, тогда, представив исследуемую теплице-ву матрицу в виде

Т = -Ь01п + I + М-*,

получаем уравнение

10(Л - 1 )1 - 10(Л - 1 )1. + (Л - Л)1_1 = 0.

При ^ = 0 имеем П. = 0, которое дает класс 3.6. Если же ф 0, то в силу того, что умножение на константу не выводит матрицу из множества сопряженно-нормальных, предполагаем диагональный элемент равным , тогда получаем

1+1 = 11, 21

а с учетом I. = + И2 приходим к (19). Получаем класс 3.7. Далее показывается, что для любой ненулевой вещественной нижнетреугольной матрицы существует и единственна вещественная нижнетругольная матрица такая, что пара и 12 удовлетворяет уравнению (19).

В разделе 3.3 на основании теорем 1.1 и 3.1 выводится описание теплицевых матриц, которые входят как в множество нормальных, так и являются сопряженно-нормальными.

Теорема 3.4- Теплицев а матрица! является нормальной и сопряженно-нормальной одновременно тогда и только тогда, когда принадлежит одному из следующих классов:

Класс 3.1'. Теплицевы циркулянты вида Т = ^ОТ^, где В = сНа§((1ь &п) — диагональная матрица, удовлетворяющая соотношениям (9).

Класс 3.2'. Теплицевы косые циркулянты вида Т = С-^О^С:!, где <3-1 = &аё(1, "Ф, "Ф2, ф11"1), "ф — корень п-ой степени из —1 вида = е1 %, О = (,..., £1П) — диагональная матрица, для которой выполнены условия (10).

Класс 3.3'. Теплицевы унитарные Л -циркулянты с |Л| = 1, Л ф ±1 и их скалярные кратные.

Класс 3-4'■ Теплицевы симметричные матрицы с вещественными внедиагональными элементами и произвольные их комплексные кратные.

Класс 3.5'. Матрицы, получающиеся из вещественных кососимметричных теплицевых матриц посредством произвольных вещественных сдвигов по главной диагонали и умножения на произвольные комплексные числа.

Класс 3.6'. Теплицевы Л -симметричные матрицы с |Л| = 1,Л / ±1, имеющие нули в позициях 0,1) для ) = 1,2,..., [~п/2], остальные внедиагональные элементы

получаются из вещественной симметричной матрицы, домножением наддиагональных элементов на комплексное число у, а поддиагоналъних на у , где у такое, что у = Лу.

В разделе 3.4 представлены алгоритмы построения сопряженно-нормальных теплицевых матриц классов теоремы 3.3 и матриц, являющихся теплицевыми, нормальными и сопряженно-нормальными одновременно. В каждом случае определена размерность многообразия решения.

Основные результаты третьей главы: найдены семь классов сопряженно-нормальных теплицевых матриц, исследовано множество, являющееся пересечением нормальных и сопряженно-нормальных теплицевых матриц, приведены алгоритмы построения решений в множестве теплицевых матриц.

В четвертой главе, состоящей из трех разделов, даны частные решения нормальной и сопряженно-нормальной теплиц-плюс-ганкелевых задач (НТ+ГЗ и СНТ+ГЗ), заключающихся в классификации соответственно нормальных и сопряженно-нормальных матриц, представимых в виде суммы тепли-цевой и ганкелевой. При этом любая нормальная теплицева матрица, сложенная с нулевой ганкелевой, и всякая нормальная ганкелева матрица в сумме с нулевой теплицевой являются решениями НТ+ГЗ. Аналогично, любая сопряженно-нормальная теплицева матрица, сложенная с нулевой ганкелевой, и всякая ганкелева матрица в сумме с нулевой теплицевой дают решение СНТ+ГЗ. Данная глава содержит лишь частные случаи решения НТ+ГЗ и СНТ+ГЗ, а именно, когда тепли-цево и ганкелево слагаемые суть циркулянты или косые циркулянты.

В разделе 4.1 приведены используемые определения. Раздел 4.2, включающий два параграфа, посвящен НТ+ГЗ. Сначала выводится основное уравнение.

Пусть А и В — комплексные теплицевы матрицы порядка п. Условия, при которых матрица

Б^А + ЪГп (20)

является нормальной, имеют вид

А*А - АА* = [(АВ + 1А) - (А*В + ВА*)}Гп + ВВ* - ВВ7.

В случае, если А и В являются циркулянтами или косыми циркулянтами, получаем

А*А - АА* = [(АВ + XI) - (А*В + А^В)]^ + ВВ* - ВВ%

что в силу ограничений на А и В эквивалентно системе

| АВ + АВ = А*В + А*В, [ ВВ*-ВВ*=0.

В параграфе 4.2.2 описаны решения нормальной теплиц-плюс-ганкелевой задачи, когда теплицево и ганкелево слагаемые — циркулянты или косые циркулянты.

Сначала матрицы А и В являются циркулянтами вида

А = ?;о^п, (21)

В = Гпи®?Пу (22)

где

Теорема Л^Л. Матрица Б вида (20), в котором А и В задаются формулами (21) и (22), является нормальной тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:

a; l42)l = ldS2J> 4 = 2,3,..., ^J,

б) для каждого к = 2,3,..., [(п. + 1 )/2J, удовлетворяю-

¡2]

щего ограничению d^ ф О,

Ün+2-k - ак + >

где Гк — некоторое вещественное неотрицательное число, а фк и фк определяются из соотношений

Далее получено решение НТ+ГЗ в случае, когда матрицы А и В являются косыми циркулянтами вида

А = G_iF;D(1)FnG_b (23)

В = G_|F*Dt2)FnG_i. (24)

Теорема 4-2. Матрица S вида (20), в котором А и В задаются формулами (23) и (24), является нормальной тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:

а) |di2)| = |df|, |dl2)| = |d®3_k|, к = 3,4,...,Щ+1,

б) если di2) ф 0 и di2) = |d!2)|ei(Pi, d^2) = \d?]\eib, то

d^d^+r^, > 0,

в) для каждого k = 3,4,..., (_n/2J +1, удовлетворяюще-

(2)

го ограничению dj, ф 0,

Л1) -нОх:^ dn+3_k-dk + rke г ,

где Гк — некоторое вещественное неотрицательное число, а (pk и фк определяются из соотношений

Доказательство теоремы 4.1 и 4.2 основано на подстановке спектрального разложения циркулянта и косого циркулянта в решаемое уравнение.

После доказательства теорем 4.1 и 4.2 находится размерность множества подходящих матриц.

Раздел 4.3, состоящий из двух параграфов, посвящен СНТ+ГЗ. Он начинается с вывода уравнения.

Пусть А и В — комплексные теплицевы матрицы порядка тг, а Б, определяемая соотношением (20), — соответствующая им (Т+Н)-матрица. Записывая для Б условие сопряженной нормальности, получаем

А*А - АА* = [(А - АЧВ + В (А - А*)]7>п.

Последнее уравнение при условии, что обе матрицы А и В являются циркулянтами или косыми циркулянтами, можно переписать в виде

А*А - АА* = [(А - А*)В + (А - Аг)В]Рп.

Лемма 4-3. Пусть А — циркулянт или косой циркулянт. Если матрица А*А — АА* вещественна, то А является сопряженно-нормальной матрицей.

Лемма 4.3 показывает, что в сопряженно-нормальном (Т+Н)-циркулянте или косом циркулянте теплицево слагаемое А также является сопряженно-нормальной матрицей. Поэтому исследуемое уравнение можно записать в виде системы

Г 3 [АА*] = 0,

\ (А — А*)В + (А — А1) В = 0.

В параграфе 4.3.2 дается решение СНТ+ГЗ когда теплицево и ганкелево слагаемые — циркулянты или косые циркулянты.

Теорема 4-4■ Матрица Б вида (20), в котором А и В задаются формулами (21) и (22), является сопряжен-

но-нормальной тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:

а) |41)1 = к = 2,3,..., ,

б) для каждого к = 2,3,..., ]

ап+2-к — !"к Iе '

где 4>к и фк определяются из соотношений

42>=411 -41!«=14" -

Теорема 4.5. Матрица Б вида (20), в котором А и В задаются формулами (23) и (24), является сопряжен-но-нормалъной тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:

б) 42) = |с1(12)|е1(2г1,1-1р1),

гае а® = , - 4" = - с^е1*',

в) для каждого к = 3,..., |_п/2] + 1

ап+3-к - !ак Iе >

где фк и фк определяются из соотношений

йк - |ак ¡е™, ак — ап+3_к - |ак ап+3_к|е .

Доказательство теорем 4.4 и 4.5 эквивалентно обоснованию теорем 4.1 и 4.2. Данный параграф завершается выводом размерности решения.

Основные результаты четвертой главы: выведены уравнения, которым должны удовлетворять нормальные и сопряженно-нормальные (Т + Н] -матрицы, получено частное решение НТ+ГЗ в случае, когда теплицево и ганкелево слагае-

27

мые являются циркулянтами или косыми циркулянтами, получено частное решение СНТ+ГЗ в случае, когда теплицево и ганкелево слагаемые являются циркулянтами или косыми циркулянтами.

Основные результаты диссертации

Основными научными результатами диссертации являются решения следующих классификационных задач:

во-первых, получение полной характеризации нормальных ганкелевых матриц как результат разработки подхода, позволившего в рамках единой схемы вывести известные и новые классы нормальных ганкелевых матриц;

во-вторых, получение всех семи классов сопряженно-нормальных теплицевых матриц;

в-третьих, вычисление пересечения нормальных и сопряженно-нормальных теплицевых матриц;

в-четвертых, нахождение частных классов нормальных и сопряженно-нормальных матриц, представимых в виде суммы теплицевой и ганкелевой.

Публикации автора по теме диссертации

1. Икрамов X. Д., Чугунов В. Н. Критерий нормальности комплексной теплицевой матрицы // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1996. Т. 36. № 2. С. 3-10. - 0,5 п.л.

2. Икрамов X. Д., Чугунов В. Н. О кососимметричной части произведения теплицевых матриц // Математические заметки. 1998. Т. 63. № 1. С. 138-141. - 0,25 п.л.

3. Икрамов X. Д., Чугунов В. Н. Несколько замечаний о теплицевых и ганкелевых циркулянтах // Записки научных семинаров ПОМИ им. В. А. Стеклова Российской академии наук. 2006. Т. 334. С. 121-127. - 0,44 п.л.

4. Икрамов X. Д., Чугунов В. Н. Об одном новом классе нормальных ганкелевых матриц // Вестник Московского университета. Серия 15. Вычислительная математика и кибернетика. 2007. И1. 1. С. 10-13. - 0,25 п.л.

5. Икрамов X. Д., Чугунов В. Н. О нормальных ганкелевых матрицах // Записки научных семинаров ПОМИ им. В. А. Стеклова Российской академии наук. 2007. Т. 346. С. 63-80. — 1,13 п.л.

6. Икрамов X. Д., Чугунов В. Н. О нормальных ганкелевых матрицах малых порядков // Математические заметки. 2008. Т. 84. № 2. С. 207-218. - 0,75 п.л.

7. Икрамов X. Д., Чугунов В. Н. О классификации нормальных ганкелевых матриц // Доклады Российской академии наук. 2009. Т. 424. № 6. С. 736-740. - 0,31 п.л.

8. Икрамов X. Д., Чугунов В. Н. О сведении нормальной ганке-левой задачи к двум частным случаям // Математические заметки. 2009. Т. 85. № 5. С. 768-776. - 0,56 п.л.

9. Икрамов X. Д., Чугунов В. Н. О теплицевых матрицах, являющихся одновременно нормальными и сопряженно-нормальными // Записки научных семинаров ПОМИ им. В. А. Стеклова Российской

академии наук. Т. 367. С. 67-74. — 0,5 п.л.

10. Икрамов X. Д., Чугунов В. Н. Об одной характеризации тепли-цевых и ганкелевых циркулянтов // Записки научных семинаров ПО-МИ им. В. А. Стеклова Российской академии наук. С. 71-80. - 0,63 п.л.

11. Икрамов X. Д., Чугунов В. Н. О сопряженно-нормальных (Т+Н)-циркулянтах и косых циркулянтах // Записки научных семинаров ПОМИ им. В. А. Стеклова Российской академии наук. 2010. Т. 382. С. 60-70. - 0,69 п.л.

12. Чугунов В. Н. О двух частных случаях решения нормальной ганкелевой задачи // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2009. Т. 49. № 6. С. 931-939. - 0,56 п.л.

13. Чугунов В. Н. О частных решениях нормальной Т+Н-задачи // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2010. Т. 50. № 4. С. 612-617. - 0,38 п.л.

14. Chugunov V. N., Ikramov Kh. D. A contribution to the normal Hankel problem // Linear Algebra Appl (Scopus). 2009. V. 430. № 8-9. P. 2094-2101. - 0,5 п.л.

15. Chugunov V. N., Ikramov Kh. D. The conjugate-normal Toeplitz problem // Linear Algebra and its Appl (Scopus). 2009. V. 430. № 8-9. P. 2467-2473. - 0,44 п.л.

16. Chugunov V. N., Ikramov Kh. D. A complete solution of the normal Hankel problem // Linear Algebra and its Appl (Scopus). 2010. V. 432. № 12. P. 3210-3230. - 1,3 п.л.

17. Chugunov V. N., Ikramov Kh. D. «There exist normal Hankel (ср,-ф)-circulants of any order n»// Сборник «Matrix methods: Theory, Algorithms and Applications». 2010. C. 222-227. - 0,38 п.л.

Подп. кпеч. 14.11.2011 Объем2п.л. Зак. № 149 Тир. 100экз.

Типография Mill У

Введение

1 Нормальные теплицевы матрицы

1.1 Критерии нормальности теплицевых матриц.

1.2 Доказательство необходимости.

1.2.1 Вспомогательные леммы.

1.2.2 Базовое утверждение.

1.2.3 Типы четверок и соответствующие множества матриц

1.2.4 Анализ построенных множеств.

1.3 Доказательство достаточности.

1.4 Построение нормальных теплицевых матриц.

Выводы главы

2 Нормальные ганкелевы матрицы

2.1 Критерий нормальности комплексной ганкелевой матрицы.

2.2 Доказательство критерия нормальности.

2.2.1 Вспомогательные операции.

2.2.2 Переход к соответствующей теплицевой матрице

2.2.3 Малоранговый случай.

2.2.4 Полноранговый случай

2.3 Конструирование нормальных ганкелевых матриц.

Выводы главы

3 Сопряженно-нормальные теплицевы матрицы

3.1 Критерий сопряженно-нормальности теплицевой матрицы.

3.2 Доказательство критерия сопряженно-нормальности.

3.3 Пересечение множеств нормальных и сопряженно-нормальных теплицевых матриц.

3.4 Генерация сопряженно-нормальных теплицевых матриц.

Выводы главы 3.

4 Нормальные и сопряженно-нормальные (Т + Н) -матрицы

4.1 Особенности задачи.

4.2 Нормальные (Т + Н) -матрицы.

4.2.1 Получение системы уравнений.

4.2.2 Частные случаи нормальных (Т + Н)-матриц.

4.3 Сопряженно-нормальные (Т + Н) -матрицы.

4.3.1 Получение системы уравнений.

4.3.2 Частные случаи сопряженно-нормальных

Т + Н) -матриц

Выводы главы 4.

Описание пересечения двух матричных классов — типичная задача линейной алгебры. Известным примером служит критерий Сильвестра ([1]), устанавливающий условия, при которых вещественная симметричная матрица является одновременно положительно определенной.

Множество нормальных матриц представляет собой матричный класс, обладающий целым рядом замечательных свойств. Это унитарная диагонализуемость, существование ортонормированного базиса из собственных векторов, наличие известных оценок на возмущение спектра через возмущение элементов, на спектральный радиус (см. [4, 10, 6]). Иметь дело при вычислениях с такими матрицами намного приятнее.

Вместе с этим на практике часто приходится иметь дело с матрицами, имеющими определенную структуру. Это могут быть ленточные, теплицевы, ганкелевы матрицы и т.д. Как правило, структурированные матрицы однозначно определяются значительно меньшим числом параметров по сравнению с общим количеством элементов в матрице. Это натолкнуло на мысль о возможной простоте множеств нормальных матриц, имеющих определенный вид, и привело к возникновению чисто алгебраической задаче характериза-ции нормальных матриц среди матриц конкретной структуры. Решение этой проблемы для некоторых видов структурированных матриц, как получение классификаций, является главным результатом, представляемым в диссертации.

Основными видами структурированных матриц, рассматриваемых в работе, являются теплицевы, ганкелевы и (Т + Н)-матрицы. Также будут использованы частные их виды, как хорошо известные, так и недавно введенные в публикациях [28, 48, 49, 34].

Пусть И — множество действительных, а С — комплексных чисел. Обозначим через Мп(И) и Мп(С) — множества соответственно вещественных и комплексных п х п-матриц; г — стандартное обозначение для мнимой единицы.

Теплицевой называется матрица Т Мп(И) или Т £ Мп(С) вида

0.1) к ¿1 t2 . ¿n! \ t-1 ¿0 tl ■ • • tn-2

Т = t-2 t-1 to ■ • • tn-3 t-n+1 t-n+2 t-n+3 . t0 J теплицева матрица имеет элементы, зависящие столбцового и строчного индексов,

T}k,j = tj-k, k,j = 1,2,.

0.2) и, поэтому, однозначно определяется элементами первой строки и первого столбца.

Впервые эти матрицы были исследованы немецким математиком Отто Теплицем (01.08.1881 - 15.02.1940), проводившем свои разработки в Бонне. Основные его труды относятся к теории интегральных уравнений, линейной и полилинейной алгебре (см. [65, 66]). Также в 1911 году Теплиц нашел необходимые и достаточные условия, которым должна удовлетворять бесконечная треугольная матрица ||amn|| (где атп = 0 при п > т) для того, чтобы метод суммирования расходящихся числовых' рядов т

S = lim ат, т—¥ оо ^ ^ Q'rrin Sri п—1 где 8п = ао + • • • + ап — частичная сумма рассматриваемого ряда, был регулярен. Однако, среди объектов, связанных с именем Теплица, основной интерес будут представлять именно теплицевы матрицы.

Различные вопросы, относящиеся к теплицевым матрицам и их роли в математических проблемах, исследовались многими авторами и нашли свое отражение в многочисленных статьях и хорошо известных монографиях [3, 38, 15, 7]. Последние десятилетия были отмечены активным интересом к численному решению задач с теплицевыми матрицами и «близкими» к ним [3, 39, 40, 41, 42, 9]. Эти задачи связаны с актуальными вычислительными проблемами прикладной электродинамики, акустики, оптики, автоматического регулирования, обработки изображений, дифференциальных и интегральных уравнений, теории вероятностей ([62, 61, 2, 51, 36]). В ряде случаев требовалось получить максимально быстро решение, в других — необходимо было рассматривать матрицы большого порядка и, следовательно, решать сложные вопросы экономного расходования машинной памяти и, конечно, времени.

Исследование задач с матрицами типа теплицевых и разработка методов их решения продолжают активно развиваться ([63, 64]). Существует множество задач, которые ждут своего решения. Так, в задачах дифракции на пространственно-ограниченных неоднородностях, в тех случаях, когда длина падающей волны соизмерима с характерными размерами рассеива-теля, как правило, решают численно интегральные уравнения или системы уравнений. Обычно эти уравнения сводятся к системам линейных алгебраических уравнений, и в случае сравнительно больших неоднородностей, особенно в трехмерных задачах, необходимо решать системы очень высокого порядка. В большинстве публикаций описываются расчеты либо для тел малых размеров, либо для особых типов возбуждений ([18]). Однако, для тел специальной формы путем подходящего выбора узлов можно свести задачу к "решению системы линейных алгебраических уравнений весьма специального типа. На этом пути увеличение размеров тел находится в прямой зависимости от того, насколько эффективно применяемые численные методы линейной алгебры работают с соответствующими матрицами.

Помимо решения систем, здесь возникают и другие задачи алгебры. Чтобы исследовать зависимость токов и полей от большого числа различных возбуждений, нужен эффективный способ решения систем с большим числом правых частей ([9, 37]). Для выявления резонансных случаев требуется решать спектральные задачи ([13, 14]). При рассмотрении интегральных уравнений 1-го рода возникают некорректные задачи ([51, 36]). Кроме того, специфика матриц вносит нередко дополнительные особенности (симметрию, ленточность и т.д.), которые позволяют строить еще более эффективные методы. В упомянутых задачах и возникают теплицевы матрицы.

Хорошо известными частными случаями теплицевых матриц являются циркулянты и косые циркулянты. Теплицева матрица (0.1) называется циркулянтом., если ¿0 ¿1 ¿2 • • • ¿п-1 ^ ¿п-1 ¿0 ¿1 • • • ¿тг-2 ¿п-2 ¿п-1 ¿0 • • • ¿п-3 т =

0.3) ¿1 ¿2 ¿3 • • • £0 / или поэлементно t—j ¿71—) = 1,2,. .,71-1.

0.4)

Косым циркулянтом называется теплицева матрица (0.1), записанная как

Т = ¿0 ¿1 ¿2 • • • ¿тг-1 тг-1 ¿0 ¿1 • ■ • ¿тг—2 п-2 -¿тг-1 ¿о' • •• ¿п-3 ¿1 -¿2 -¿з

0 /

0.5) или t—j ¿71—; = 1,2,.,п-1. (0.6)

Обобщением циркулянтов и косых циркулянтов служат ф-циркулянты теплицевы матрицы вида к фЬп-1 ¿0 г= 1

2 ¿1

ФК-2 фЬп-1 ¿о

I Л.-/. Л.4. 1 </^2 </^3 га-1 1>п-2 ¿п-3

0 /

0.7) или

0.8) э = 1,2, .,п- 1, где ф £ С.

Новыми частными случаями теплицевых матриц будут двухпараметри-ческие и разделяющиеся циркулянты, а также Л-симметричные матрицы. Теплицеву матрицу вида (0.1) будем называть двухпараметрическим (или (ф, ■0) -) циркулянтом, характеризуемым (вещественной) 2 х 2-матрицей

И/ = а ¡3 с определителем если выполнены соотношения

7 <5 а5 — (3^ = 1, фЬп-4 + фЬп7, = 1, 2,. п - 1, где а + 5 ./9 — 7 ф = —=--Ь г

3 + 7 Ф = —~—Ь г

0.9)

0.10)

0.11)

0.12)

2 ' 2 г 2 ' 2 Множество таких матриц будем обозначать символом С(0, ф). При ф = 0 формулы (0.11) описывают хорошо известный класс ^-циркулянтов.

Пусть фиксирована вещественная невырожденная 2 х 2-матрица

V =

УП Уи У21 ^22

0.13)

Скажем, что к классу С(ф,ф) применено ^-преобразование, если всякая матрица

Т = Т\ + гТ2, Т Е С(ф,ф), (0.14) заменена матрицей

Т = Т1 + гТ2 = (уцТг + ^21^2) + г(ииТ1 + ^22^2)

0.15)

В диссертации показано, что Т будет принадлежать классу С(ф, ф), характеризуемому матрицей = У~1]УУ.

Теплицеву матрицу Т 6 Мп{С) назовем разделяющимся циркулянтом, если в представлении Т = Т\ + ъТ2 слагаемое Т\ является £-циркулянтом для некоторого числа £ Е II, £ 0, а Т2 — -циркулянтом.

Теплицеву матрицу (0.1) будем называть X-симметричной, если

-7 = А£7, ] = 1,2,.,п- 1.

0.16)

Это своеобразное обобщение определений симметричной (А = 1) и кососим-метричной (А = —1) теплицевых матриц.

Другим множеством структурированных матриц, рассматриваемым в работе, является совокупность ганкелевых матриц.

Ганкелевой называется матрица Н £ МП(Г1) или Н Е Мп(С), элементы которой зависят лишь от суммы строчного и столбцового индексов:

Н = К-\ Нп-2 ¡10 \

Нп-2 з

Нп-4 Нп-5 ■■ Н-2 Н0 к-1

0.17)

-(п-1) / или

Щк,] = К+1-{3+к)1 к, 2 = 1, • • • ,П. (0.18)

Ганкелева матрица однозначно определяется элементами первой строки и последнего столбца.

Эти матрицы связаны с именем немецкого математика Германа Ганкеля (14.02.1839 - 29.08.1873), работавшего в Эрлангене и Тюбингене. Ему принадлежит ряд формул теории цилиндрических функции. Ганкель известен работами в области основания арифметики, комплексного анализа, кватернионов, интегральных преобразований, линейной алгебры ([57, 58]). Однако, для меня наибольший интерес представляют сами ганкелевы матрицы.

В журнальной литературе накопилось большое количество результатов, относящихся к алгебре ганкелевых матриц и форм. Эти результаты складываются в довольно стройную теорию, истоки которой находятся еще в мемуарах Г. Фробениуса [53, 54]. О матрицах вида (0.17) некоторые сведения можно почерпнуть из работы Ф. Р. Гантмахера [4].

Ганкелевы матрицы широко используются в алгебре, теории вероятностей, в анализе и теории функций ([7, 15, 38, 43]) .

Важную роль в теории динамических систем играет интеграл свертки, связывающий реакцию динамической системы с входным сигналом. Если эту связь записать в матричных обозначениях, то вход и выход будут связаны именно ганкелевой матрицей ([19]).

В последние годы обнаружились глубокие аналогии, а также прямые связи между теплицевыми и ганкелевыми матрицами. Именно эти аналогии явились тем ориентиром, который помог разобраться в сложных вопросах, затрагиваемых в диссертации.

Для ганкелевых матриц тоже, как и для теплицевых, определены понятия ганкелевого циркулянта, если з = 1,2,.,п- 1

0.19) ганкелевого косого циркулянта при

0.20) и ганкелевого ф-циркулянта, когда фК-з, з = 1,2,. ,п - 1

0.21) фе с.

Т + Н) -матрицей является матрица, представимая в виде суммы теп-лицевой и ганкелевой. Если при этом оба слагаемых являются соответствующими циркулянтами, то такую (Т + Н) -матрицу будем называть (Т + Н)-циркулянтом, а когда теплицева и ганкелева матрицы представляют собой косые циркулянты, — косым (Т + Н) -циркулянтом.

Для указанных основных типов структурированных матриц в диссертации будут исследованы вопросы, связанные с их пересечением с множеством нормальных матриц. Все результаты представляют собой критерии нормальности в некотором конкретном множестве структурированных матриц. Условимся доказательства этих критериев называть решением нормальной задачи для исследуемого типа матриц.

Самой простой среди задач классификации нормальных матриц, обладающих определенной структурой, является нормальная теплицева задача (НТЗ), заключающаяся в описании матриц, являющихся теплицевыми и нормальными одновременно, т. е. матриц Т, подчиняющихся условию

ТТ* = Т*Т. (0.22)

Решению НТЗ посвящена глава 1 диссертации. Сначала, в первом разделе, дан экскурс в историю исследования рассматриваемой задачи, приведены формулировки критериев нормальности теплицевой матрицы как в вещественном, так и в комплексном случае, а также их бесконечномерный аналог. В конечномерном случае эти критерии представляют собой краткое описание четырех видов вещественных нормальных теплицевых матриц и двух классов их комплексных обобщений. Хотя существуют различные решения НТЗ, о которых обязательно упомянем, в оставшейся части главы приведем еще одно решение НТЗ, основанное на теории множеств.

В отличие от НТЗ более сложной является нормальная ганкелева задача (НГЗ), в которой требуется указать все виды комплексных матриц, являющихся одновременно нормальными и ганкелевыми, т.е. матриц Н с условием

НН* = #*#. (0.23)

Подчеркнем, что данная задача имеет смысл лишь в поле комплексных чисел, так как произвольная вещественная ганкелева матрица всегда является нормальной в силу симметричности. Получению решения НГЗ отведена глава 2.

Процесс нахождения требуемых ганкелевых матриц отражен в первом разделе второй главы. В этой части диссертации сформулированы десять классов нормальных ганкелевых матриц.

На самом деле, НГЗ эквивалентна системе квадратичных уравнений относительно элементов двух вещественных теплицевых матриц. Поэтому для нахождения нормальных ганкелевых матриц нужно определить все случаи, когда соответствующая система разрешима, и в каждом из них найти решения. Приведенное во втором разделе полное решение НГЗ представляет из себя изложение подхода, позволившего получить все классы нормальных ганкелевых матриц в рамках единой схемы и доказать отсутствие других подходящих матриц. Данный подход основан на переходе от ганкелевых матриц к теплицевым путем перестановки столбцов в обратном порядке и переформулировании условия нормальности ганкелевой матрицы в эквивалентное соотношение для полученной теплицевой матрицы. На основании нового условия удалось сформировать такие две (п — 1) х 2-матрицы Т и 0, что для всех возможных соотношений между их рангами эти матрицы позволили выделить такие подмножества теплицевых матриц, в которых оказалось не сложно найти классы, дающие при перестановки столбцов все нормальные ганкелевы матрицы. Перебор всех случаев соотношений между рангами Т и 0 гарантирует построение полного решения НГЗ.

Наряду с нормальными матрицами, т. е. диагонализуемыми унитарными подобиями, в алгебре определенный интерес вызывают матрицы, которые могут быть приведены к диагональным унитарными конгруэнциями, т. е. преобразованиями типа А с унитарной матрицей (5. Такие матрицы удовлетворяют условию

АА* = Ж4 (0.24) и называются сопряженно-нормальными. Исследованию их свойств посвящены работы [25], [35].

Получив пересечение множеств нормальных и некоторых видов структурированных матриц, встал вопрос о том, какие матрицы, обладающие специальной структурой, будут также сопряженно-нормальными. И первая рассматриваемая в диссертации задача этого типа — сопряженно-нормальная теплицева задача (СНТЗ), определяемая как проблема описания матриц, являющихся теплицевыми и сопряженно-нормальными, или матриц Т с условием (0.24). Решение СНТЗ, а также рассмотрение пересечения нормальных, сопряженно-нормальных и теплицевых матриц являются целями главы 3. В отличие от двух предыдущих глав здесь не дается исторического экскурса, поскольку СНТЗ была поставлена и полностью решена в [49], а пересечение множеств нормальных и сопряженно-нормальных теплицевых матриц представлено в [32].

В первом разделе третьей главы формулируются семь классов сопряженно-нормальных теплицевых матриц и описывается способ их получения, как полное решение СНТЗ. Сущность решения данной задачи заключается в выделении подмножеств теплицевых матриц, для которых матрица ТТ* — Т*Т сама является теплицевой. В этом помогает работа [56], где для теплицевых матриц А, В, С и В формулируются условия теплицевости АВ — СО. Для каждого из выделенных подмножеств нахождение в них сопряженно-нормальных теплицевых матриц становится несложной задачей.

Для ганкелевых матриц подобная задача не имеет смысла, так как любая ганкелева матрица в силу симметричности будет сопряженно-нормальной.

Имея два класса нормальных и семь сопряженно-нормальных теплице-вых матриц, во втором разделе третьей главы строятся шесть классов матриц, являющихся нормальными, сопряженно-нормальными и теплицевыми одновременно. Построение такого пересечения оказалось возможным из-за простоты классов нормальных теплицевых матриц.

В заключительной четвертой главе рассматриваются еще две задачи классификации. Это нормальная теплиц-плюс-ганкелева задача (НТ+ГЗ), заключающаяся в классификации нормальных матриц, представимых в виде суммы теплицевой и ганкелевой, и сопряженно-нормальная теплиц-плюс-ганкелева задача (СНТ+ГЗ) описания соответствующих (Т + Н)-матриц. Последние две задачи — самые сложные среди описываемых в диссертации. Они пока не имеют полного решения и представляют собой огромное поле деятельности для дальнейших исследований.

Несложно видеть, что классы нормальных теплицевых и нормальных ган-келевых матриц являются частными классами нормальных теплиц-плюс-ганкелевых матриц. Действительно, любая нормальная теплицева матрица, сложенная с нулевой ганкелевой, и всякая нормальная ганкелева матрица в сумме с нулевой теплицевой являются подходящими (Т + Н) -матрицами. Аналогичное можно утверждать и о СНТ+ГЗ. Любая сопряженно-нормальная теплицева матрица, сложенная с нулевой ганкелевой, и всякая ганкелева матрица в сумме с нулевой теплицевой дают сопряженно-нормальные (Т + Н) -матрицы. Такие классы разумно назвать тривиальными. Множество нетривиальных классов пока мало. В разделах втором и третьем данной главы сформулированы и доказаны теоремы, дающие условия, при которых (Т + Н)-циркулянты и косые (Т + Я)-циркулянты являются нормальными и сопряженно-нормальными соответственно. Эти теоремы предварены небольшими несложными выкладками, которые упрощают условия нормальности и сопряженно-нормальности (Т + Н)-матрицы в случае (Т-\-Н)~ циркулянтов и косых (Т + Я)-циркулянтов.

Важно отметить, что формулировки всех представленных в диссертации классов можно рассматривать как конструктивные процедуры. В заключительных разделах первых трех глав и во втором и третьем параграфах четвертой даны алгоритмы построения матриц из всех классов решений рассматриваемых задач. Для каждого класса определена размерность многообразия решения £ как минимальное число вещественных параметров, по значениям которых можно однозначно вычислить все элементы матрицы в рассматриваемом классе.

При изложении материала будем использовать несколько видов специальных матриц. Так как они встречаются в разных местах вынесем их определение во введение. Обозначим через Рп матрицу-перестановку

Рп =

1 \ 1

0.25) называемую перъединичной матрицей. Введем Qj, ^ = 1, 2, — пхп-матрицы вида

Яз = ?3®Тп-з- (0-26)

1п — стандартное обозначение для единичной матрицы порядка п. Опт — нулевая матрицы размера п х га.

Условимся считать, что а означает вещественную часть а, 3 а — комплексную. Для комплексных п-мерных векторов х и у определим х<Э у как одноранговую матрицу с элементами х®у}ъ = ЗДя = 1,2, .,п.

Матрица А называется пер симметричной, если

0.27)

-11

0.28) и центросимметричной при г,] — Q"n+l—i,n+l—j ■

0.29)

Для ганкелевой матрицы эти два вида симметрии совпадают и означают симметрию относительно побочной диагонали.

Упомянем некоторые хорошо известные факты, которые будут использоваться в тексте диссертации. Согласно [3], если С — циркулянт, то для него справедливо спектральное разложение вида

С = F*DFn,

0.30) где И = diag(<il, ¿¿2, • • •, dn) — диагональная матрица, Рп — (нормированная) матрица дискретного преобразования Фурье

Fn = п 1 1 1 1 1

1 \ п-1

2(п-1)

0.31) 1 еп~1 e2(n1) . e(n~1)2 / б = ехр(^) — первообразный корень п-ой степени из единицы. При этом если а — первый столбец циркулянта С, а, d вектора вида 4= (<¿1, ¿¿2, • • •, , то с1 = у/пГпа (0.32) и а = —=F*d. fn

0.33)

Согласно [9], вычисление а по d и d по а можно осуществить достаточно быстро, затратив 0(п log п) арифметических операций.

В случае, если С — ф-циркулянт, вместо разложения (0.30) справедливо соотношение

C^G^nDFnG^\ (0.34) где

0.35) зень 72-ой степени из ф такой, что если ф = \ф\ег аг§(?:>, то . Так же для ф-циркулянта справедливо представление в виде

0.36) где С — циркулянт.

При \ф\ = 1, выражение (0.34) можно записать как

С —

0.37)

Основным научным результатом диссертации является получение классов нормальных и сопряженно-нормальных матриц, обладающих определенной структурой. Автор выносит на защиту следующие научные результаты:

1. разработка единого подхода для нахождения всех десяти классов нормальных ганкелевых матриц;

2. получение семи классов сопряженно-нормальных теплицевых матриц;

3. вычисление пересечения нормальных и сопряженно-нормальных теплицевых матриц;

4. нахождение некоторых частных классов нормальных и сопряженно-нормальных матриц, представимых в виде суммы теплицевой и ганке левой.

По теме диссертации опубликовано 17 работ, из них 16 в рецензируемых журналах, 1 в материалах конференций.

Автор сердечно благодарит X. Д. Икрамова за многолетнюю поддержку и плодотворное обсуждение многих научных вопросов.

Выводы главы 4

Перечислим основные результаты четвертой главы:

1. выведены уравнения, котором должны удовлетворять нормальные и сопряженно-нормальные (Т + Н)-матрицы;

2. получено частное решение нормальной НТ+ГЗ в случае, когда тепли-цево и ганкелево слагаемые являются циркулянтами или косыми циркулянтами;

3. получено частное решение нормальной СНТ+ГЗ в случае, когда тепли-цево и ганкелево слагаемые являются циркулянтами или косыми циркулянтами.

Заключение

Основными научными результатами диссертации являются решения следующих классификационных задач: во-первых, получение полной характеризации нормальных ганкелевых матриц как результат разработки подхода, позволившего в рамках единой схемы вывести известные и новые классы нормальных ганкелевых матриц; во-вторых, получение всех семи классов сопряженно-нормальных тепли-цевых матриц; в-третьих, вычисление пересечения нормальных и сопряженно-нормальных теплицевых матриц; в-четвертых, нахождение частных классов нормальных и сопряженно-нормальных матриц, представимых в виде суммы теплицевой и ганкелевой.

1. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М: Физматлит, 2007.

2. Белоцерковский С. М., Лифанов И. К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. М: Наука, 1985.

3. Воеводин В. В., Тыртышников Е. Е. Вычислительные процессы с теп-лицевыми матрицами. М: Наука, 1987.

4. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М: Наука, 1967.

5. Ефимов Н.В., Розендорн Е.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. М: Наука, 1975.

6. Икрамов X. Д. Несимметричная проблема собственных значений: Численные методы. М: Наука, Физматлит, 1991.

7. Иохвидов И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. М: Наука, 1974.

8. Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений: Численные методы: Пер. с англ. М: Мир, 1983.

9. Тыртышников Е. Е. Теплицевы матрицы, некоторые их аналоги и приложения. М: Академия наук СССР, Отдел вычислительной математики, 1989.

10. Тыртышников Е. Е. Матричный анализ и линейная алгебра. М: Физ-матлит, 2007.

11. Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М: Физматгиз, 1960.

12. Уилкинсон Дж. X. Алгебраическая проблема собственных значений: Пер. с англ. М: Наука, Физматлит, 1970.

13. Хенл X., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции. М: Мир, 1964.

14. Андерсеан А. Д. Рассеяние на цилиндрах с произвольным поверхностным импедансом // ТИИЭР. 1965. Т. 53. № 8. С. 1007-1013.

15. Бабенко К. И. О теплицевых и ганкелевых матрицах // УМН. 1986. Т. 41. № 1 (247). С. 171-178.

16. Гельфгат В. И. Критерий нормальности теплицевой матрицы // ЖВМ и МФ. 1995. Т 35. № 9. С. 1428-1432.

17. Гельфгат В. И. Условия коммутирования теплицевых матриц // ЖВМ и МФ. 1998. Т 38. № 1. С. 11-14.

18. Герасимов А. В., Морозов О. А., Фидельман В. Р. Акустическое кодирование вокализованного сигнала на основе собственных векторов разложения его автокорреляционной матрицы // Труды научной конференции по радиофизике. ННГУ. 2005. С. 94-45.

19. Жирабок А. Н. Аналог ганкелевой матрицы для нелинейной динамической системы // Проблемы управления. 2006. № 2. С. 42-46.

20. Икрамов X. Д. Об описании нормальных теплицевых матриц // ЖВМ и МФ. 1994. Т.34. № 3. С. 473-479.

21. Икрамов X. Д. О классификации нормальных теплицевых матриц с вещественными элементами // Матем. заметки. 1995. Т.57. № 5. С. 670680.

22. Икрамов X. Д., Чугунов В. Н. Критерий нормальности комплексной теплицевой матрицы // ЖВМ и МФ. 1996. Т. 36. № 2. С. 3-10.

23. Икрамов X. Д. К вопросу об описании нормальных ганкелевых матриц // Фундам. прикл. матем. 1997. Т. 3. № 3. С. 809-819.

24. Икрамов X. Д., Чугунов В. Н. О кососимметричной части произведения теплицевых матриц // Матем. заметки. 1998. Т. 63. № 1. С. 138-141.

25. Икрамов X. Д. О псевдособственных значениях и сингулярных числах комплексной квадратной матрицы // Записки научных семинаров СПб Отделения Академии Наук. 2006. Т. 324. С. 111-120.

26. Икрамов X. Д., Чугунов В. Н. Несколько замечаний о теплицевых и ганкелевых циркулянтах // Записки научных семинаров СПб Отделения Академии Наук. 2006. Т. 334. С. 121-127.

27. Икрамов X. Д., Чугунов В. Н. Об одном новом классе нормальных ганкелевых матриц // Вестн. Моск. ун-та, Сер. 15. Вычисл. математика и кибернетика. 2007. №. 1. С. 10-13.

28. Икрамов X. Д., Чугунов В. Н. О нормальных ганкелевых матрицах // Записки научных семинаров СПб Отделения Академии Наук. 2007. Т. 346. С. 63-80.

29. Икрамов X. Д., Чугунов В. Н. О нормальных ганкелевых матрицах малых порядков // Матем. заметки. 2008. Т. 84. № 2. С. 207-218.

30. Икрамов X. Д., Чугунов В. Н. О классификации нормальных ганкелевых матриц // ДАН России. 2009. Т. 424. № 6. С. 736-740.

31. Икрамов X. Д., Чугунов В. Н. О сведении нормальной ганкелевой за' дачи к двум частным случаям // Матем. заметки. 2009. Т. 85. № 5.1. С. 768-776.

32. Икрамов X. Д., Чугунов В. Н. О теплицевых матрицах, являющихся одновременно нормальными и сопряженно-нормальными / / Записки научных семинаров СПб Отделения Академии Наук. 2009. Т. 367. С. 67-74.

33. Икрамов X. Д., Чугунов В. Н. Об одной характеризации теплицевых и ганкелевых циркулянтов // Записки научных семинаров СПб Отделения Академии Наук. 2010. Т. 382. С. 71-80.

34. Икрамов X. Д., Чугунов В. Н. О сопряженно-нормальных (Т + Н)-циркулянтах и косых циркулянтах // Записки научных семинаров СПб Отделения Академии Наук. 2010. Т. 382. С. 60-70.

35. Камалванд М. Г. Сопряженно-нормальные матрицы с сопряженно-нормальными подматрицами // Численные методы и вопросы организации вычислений. Записки научных семинаров СПб Отделения Академии Наук. 2007. Т. 346. С. 21-25.

36. Лифанов И. К., Тыртышников Е. Е. Теплицевы матрицы и сингулярные уравнения // Вычислительные процессы и системы. Вып. 7. М.: Наука. 1989.

37. Морозов В. А. Алгоритмические основы методов решения некорректно поставленных задач // Вычислительные методы и программирование. 2003. Т. 4. 130-141.

38. Пустыльников Л. Д. Теплицевы и ганкелевы матрицы и их применение // УМН. 1984. Т. 39. № 4 (238). С. 53-84.

39. Тыртышников Е. Е. О некоторых задачах, связанных с теплицевыми матрицами // Численный анализ на Фортране. Методы и алгоритмы. М.: МГУ. 1979. С. 105-113.

40. Тыртышников Е. Е. О решении систем с матрицами типа теплицевых // Численный анализ на Фортране. Вычислительные методы и инструмент. системы. М.: МГУ. 1979. С. 60-72.

41. Тыртышников Е. Е. Некоторые алгоритмы, связанные с матрицами типа теплицевых // Вычислительные методы и программирование. Вып. 35. М.: МГУ. 1981. С. 158-180.

42. Тыртышников Е. Е. Параллельные алгоритмы в задачах с теплицевыми матрицами // Вычислительные процессы и системы. Вып. 5. М.: Наука. 1987. С. 51-67.

43. Тыртышников Е. Е. Новые быстрые алгоритмы для систем с ганке-левой и теплицевой матрицами // ЖВМ и МФ. 1989. Т. 29. № 5. С. 645-652.

44. Чугунов В. Н. О двух частных случаях решения нормальной ганкеле-вой задачи // ЖВМ и МФ. 2009. Т. 49. № 6. С. 931-939.

45. Чугунов В. Н. О частных решениях нормальной Т+Н-задачи // ЖВМ и МФ. 2010. Т. 50. № 4. С. 612-617.

46. Arimoto A. A simple proof of the classification of normal Toeplitz matrices // Electronic J. Linear Algebra. 2002. V. 9. P. 108-111.

47. Brown A. and Haimos P. R. Algebraic properties of Toeplitz operators // J. Reine Angew. Math. 1963/1964. V. 213. P. 89-102.

48. Chugunov V. N., Ikramov Kh. D. A contribution to the normal Hankel problem // Linear Algebra Appl. 2009. V. 430. № 8-9. P. 2094-2101.

49. Chugunov V. N., Ikramov Kh. D. The conjugate-normal Toeplitz problem // Linear Algebra and its Appl. 2009. V. 430. № 8-9. P. 2467-2473.

50. Chugunov V. N., Ikramov Kh. D. There exist normal Hankel ((f),ip)-circulants of any order n // Matrix methods: Theory, Algorithms and Applications. 2010. C. 222-227.

51. Dellwo D. R. Accelerated refinement with applications to integral equations // SIAM J. Numer. Anal. 1988. V. 25. P. 1327-1339.

52. Farenick D. R., Krupnik M., Krupnik N., Lee W. Y. Normal Toeplitz matrices// SIAM J. Matrix Anal. Appl. 1996. V. 17. № 4. P. 1037-1043.

53. Frobenius G. Uber das Trägheitsgesetz der quadratischen—Formen,-Sitzungsber. der Königl. Preuss. Akad. der Wiss. 1894. P. 241-256, 407431.

54. Frobenius G. Ableitung eines Satzes von Carathéodory aus einer Formel von Kronecker // Sitzungsber. der Königl. Preuss. Akad. der Wiss. 1912. P. 16-31.

55. Greville T. N. E. Toeplitz matrices with Toeplitz inverses revisited // Linear Algebra and its Appl. 1983. V. 55. P. 87-92.

56. Gu G., Patton L. Commutation relations for Toeplitz and Hankel matrices // SIAM J. Matrix Anal. Appl. 2003. V. 24. P. 728-746.

57. Hankel G. Theorie der complexen Zahlensysteme. Lpz. 1867.

58. Hankel G. Zur Geschichte der Mathematik in Altertum und Mittelalter. Lpz. 1874.

59. Chugunov V. N., Ikramov Kh. D. A complete solution of the normal Hankel problem // Linear Algebra and its Appl. 2010. V. 432. № 12. P. 3210-3230.

60. Ito K. Every normal Toeplitz matrix is either of type I or of type II // SIAM J. Matrix Anal. Appl. 1996. V. 17. № 4. P. 998-1006.

61. Kailath T., Kung S.-Y. Morf M. Displacement ranks of a matrix // Bull. Amer. Math. Soc. 1979. V. 1. № 5. P. 769-773.

62. Levinson N. The Wiener rms (root mean square) error criteria in filter design and prediction //J. Math. Phys. 1947. V. 25. P. 261-278.

63. Pan V. Structured Matrices and Polynomials: Unified Superfast Algorithms// Birkhaeuse, Springer, Boston, New York. 2001.

64. Pan V., Wang X. Inversion of Displacement Operators// SIAM Journal on Matrix Analysis and Appl. 2002. V. 24. № 3. P. 660 677.

65. Töeplitz O. Grundlagen für eine Theorie der unendlichen Matrizen // Mathematische Annalen. 1910. V. 69. № 3. P. 289-330.

66. Töeplitz O. Zur Theorie der quadratischen und bilinearen Formen von unendlichvielen Veränderlichen, I. Teil: Theorie der L-Formen // Mathematische Annalen. 1911. V 70. № 3. P. 351-376.67. http://www.calpoly.edu/ math/newsletter.htm.