Разрешимость операторных уравнений обобщенно-теплицева типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ч

.Л ЕРЕВАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕН™ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ЛАЛЛЯН АРТУР СУРЕНОШЧ

УДК 517.968

РАЗРЕШИМОСТЬ ОПЕРАТОРНЫХ УРАБШЖЙ ОБОБЩЕШЮ-ТЕГШЩЕВА ТЕПА

01.01.02 Дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на сояскзше ученой степени кандидата физико-математических наук

ЕРЕВАН - 1993

—■ iL—~

Работа выполнена в Институте Математики КАК Армении. Наумный руководитель - член-корр. ПАН Армении, профессор,

А.Б. Нерсесян.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Н.-Е. Товмасян, кандидат физико-математических наук,ведущий научный сотрудник Л.Г. Арабаджян.

Ведущая организация - Ереванский Государственный Инженерный

Университет. Г)

Защита диссертации состоится •Ж* оет&дРЯуд ээ г. в /¿> часов на заседании специализированного совета К 055.01.12 по присуждению ученой степени кандидата физико-«атеыатических наук при Ереванском Государственном Университете по адресу: 375049, Ереван, ул. Алека Манукяна,1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института Математики HAK Республики Армения.

л года.

Автореферат разослан 993

Ученый секретарь сиедаализнрованного Совета,, кандидат фмз.-ыат. наук \JW/V Т.Н. Арутюнян

ОБЩАЯ aAFAKTSFUC.T^VA РАБОТЫ

Актуальность теш. Ряд задач физгаси и техники приводят к

итегральным уравнениям с разностными ядрами, или алгебраическим «

истемам с теплицевыми матрицами. Таковыми являются, например» адачи оптимального синтеза, рассеяния света, дифракции, двиаения рыла под водой и т.д..

Первые глубокие результаты об интегральных уравнениях на элуоси с ядрами, зависящими от разности аргументов, были получе-1 в 1931 г. Н. Винером и Э. Хопфом". При этом основный аппараты явилось преобразование Фурье, сводящее интегральное уравнение ядром, зависящим от разности аргументов, к задаче сопряжения ля пар аналитических (соответственно в верхней и нижней полу-юскостях) функций. Наиболее важный моментом при решении таких адач» является факторизация определенных фунгс-чй (матриц-¡гнкций). Эти задачи активно изучаются начиная о 40-х годов низшего столетия. Для скалярного случая, к настоящему времени порчены исчерпывающие результаты. Для матричного случая задача со-рязешш, в частности, исследована Н.П. Векуа2'. При этом, для иучая рациональной матрицы-функции, строятся эффективная факто-гзация, позволяющая находить как факторы, так и частные индексы.

N. Wiener and Е. Hopf» über eine Klasse singularer Integralgleichungen, Sitzungsberichte der Berliner Akademie der Wissenschaften» 1931, стр. 696. • Н.П. Векуа. Системы сингулярных интегральных уравнений. М., Наука, 1970

Первая ХЛ.-ЗЯ настоящей работы посвящена ивученлю новой аадг чи сопряжении для двух-пар функций, аналитических, соответстве* но, в верхней (шжней) полуплоскости и внутри (вне) едйшчно! круге (см. нине (1)). Зта задача эквивалентна факторизации 2x2 ОП^рйТОр-фуККЦИИ .

?л Тгптлдоы M.'i rpf ijT* являются объектом шногочислегаак иссж

о

дованлй п&оледних четнре* д^сятале-гий. Сш ветре чййуоя как nj решении ялгвбршшескиг (конечных «ли бесконечных) систем, так при дискретизации интегральных уравнений с разносткш ядром- А гебра«чеок«й аспект этой проблемы изучен,, в частности, Г. ХаЯн v.-} к К. Foe?1'. В работе В.М. Адунова" рассматривается цепоч ярямоуго.пышх тешшцевых матриц и строятся специальные многочл ироетраиства которых изоморфны пространствам ядер соотве стпуицнх tifiTpMn в цепочке. Во второй главе диссертации Teoj В.М. Адукоьа распространяется на матрицы более общего вида. ' Ш^к^абозд. Диссертация посвящена: й) исследованию на разрешимость новой задачи сопряжения, < ответствующнй задаче решения дискретно-континуальной систеыы ti Бинури-Хопфа при определенных условиях на ядра. . '

б) исследованию алгебраической структуры ядер матриц 06061 ного теплицева и обобщенного теплчцево-ганкелева типов, а ' та

" С. Heinig-and К. Rost. Algebraic •Methods for Toeplitz-li matrices and „operators,'AkedeiDic-Verlag, Berlin and В1гЙз »«?г Basel, Boston, Stuttgart, 19S4. ' " B.V. Адукой. Структура ядре и обращение теплицевых и танкер ' кнх navpfflb Известия ВУЗов, N7, 1S8G, 3-8.

'строению матриц, обратных к вышеуказанным, в случае обратимости юледиих.

Научная новизна. Теоретическая и практическая ценность. Все ;новные результаты диссертации являются новыми. Работа носит те-1етический характер и результаты ее первой главы могут быть ис-»льзованы для дальнейших исследований в области задач сопряжения [Я векторнозначных функций,а также при исследовании на разреши-'Сть дискретных и континуальных уравнений типа Викера-Хопфа.

Результаты второй главы диссертации могут быть использованы [Я получения быстрых алгоритмов обращения обощенных теплицевкх и ющенных теплицево-ганкелевых матриц.

Методика исследования. В диссертации используются метода 1яничн0й задачи Ркмана для краевых задач аналитических функций в >четакии с теорией функций комплексной переменной, методы иссле->вания на разрешимость интегральных уравнений с ядрам теплицева па, а также метода линейной алгебры.

• Апробация работы. Результаты диссертации докладывались в Ин-итуте Математики HAH Республики Армения на семинаре отдела диф-ренциальных уравнений, а такие на механико-математическом фа-льтете Ереванского Государственного Университета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в ботах П, 2, 31. Результаты совместных с A.B. Керсесяном . работ «надлежит авторам в равной мере. "

Объем работы. Диссертация состоит из введения и двух гнав, каждой главе по четыре параграфа. Библиография содержит 24 ной- ■ кования. Общий объем работы - 110 страниц.

- б -

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В главе I исследуется задача сопряжения, являющаяся обобще

нием задачи Банана, соответствующая система та Бинера-Хопфз.

Именно, в' §1.2 ставится однородная краевая задача для дву

пар функций у* (I) к 2Л(г), аналитических, соответственно, в верх

ней (низшей) полуплоскости переменной I и внутри (вне) единичнот круга переменной с = е":

Р,, а) - > +

У кг] (г+2т)у* (г+27Ш) + К,и(еи)а*(е1') =

П= -Си

Простейшие условия, обеспечивающие однозначную и явную раг решимость краевой задачи (1), приведены в ('). Основную роль п] этом (обеспечивающую нетеровость задачи (1)) играют условия

Л, (*) К^и)-1 и'0, (~«> « 1; < о»)

(2)

^ - " к (г+2тсп)К , и+Етш)

Л (е11) = К (е1') - V -12--=-- * О, (0 г < 2ж)

" • . К , (и2т) - 1

П--1Л1 1 1

Б данной работе задача (1) исследуется при допущении обращу ния ь нуль функции 7^(1;) (что влечет за собой, вообще говоря, н •литое особенностей'у (е11)) в следующих двух случаях:

' A.B. Нероесян.с,Разрёшмооть некоторых уравне'ний и задачи с пряжения со сдвигом. Республиканская научно-практическая ко ферешщя по методике .преподавания математики и механики ВУЗе. Тезисы докладов (24-27 мая 1983 года).

П(>2р4'

3=1 3

к 4 С"Ь) - 1 ¿и " 1.

де относительно точек 1 , 2*> з", величин а. , г , а также

в 0 $ в ' 9

нкций РГ(1), КГ(1) еы. низеприводише условия).

В пункте 1 §1.2 за основу берется представление (3) и выво-тся формулы дйя числа линейно независимых решэгкй однородной дачи (1) в классе функций, удовлетворяющие услоешо Гольдера ответственно на действительной оси К и единичной окрушкссти Г, обращающихся на бесконечности в куль, а такие пншсивеются в ной форме саш решения, при следутщих предположениях ка коэффи-енты задачи (1):

1. функции К82(1), К2|(1;) удовлетво^лгат условию

льдера на Я = (-м, со) и ббрящаются на бесконечности в пуль, нкцкя Кгг (г) удовлетворяет условию Гедьдера на Г;

и

2. Км(1) - 1 - р"(*) - " (5)

3=1

е р" - целые > О, ^ р" = р;

3=1

- I и о <-» ^ г < <»)

• 12 р-

з. .*'<*> (6)

3=1

,е р*яг - целые > О,

V t-t

4. K;(t) = K"(t) f](-.f-r-) ' •

s=i

mí p" - im.imr> > 0. X" (t

J s s

5. К* (г*)И0, h^-nln (p^, р'зг),

I h. - t = £ % = I'

„-l S=1 j = 1

s". - «Зкксирсзанкые точка верхней полуплоскости, - целые > 0.

Фунгаря К* (2) аналитичаз в верхней полуплоскости, за иск 4í¿'mMk <йги» >.*осет, бесконачно удаленной точки, в которой ее ртдок рзечг k -d-q (где' к . - порядок на бесконечности фут; К (t)), и удовлзтворяет условна Гельдера во всьх коиачных

ПрИПСДЛелГГБр.Х R.

. V ц

6. К-(7.-)^0, г-йТ-тГ^-ЯЬ Уга=г,

1Пи j = 1

s~ - ^лпегарозакше '/очи? нижней полуплоскости,

- цодае >, 0.

Фуягасвя К"(й) йналиютла в пкиней полуплоскости, за кскл Г'яем, бить «окгт, бесконечно удаленной точней, в которой се п дои paucii li^-r-q (гдг: it - порядок па бесконечности фун Я,, (t)} и .удовлетворяет услоглта Гелъдера во всех конечных t,

líS.WiiiXZr,¡ИХ Л.

С учетом (S), \oi, ÍY), да: Функции Д,(ен) (см. (2)) с ейдл^по слздуюк;с:п оСцее представление:

Ь

ПС^1- V)1

= йг. (3)

П(е -е^)"

Ь V

■э 7 - целые > О, т,; го - целые > п, ш= ш; / (еа)*0,<»5

к= 1 ■ р=\ а Г (к=1,2,... ,Ь; 8=1,2,... ,р). Из вцзепртовдекных уело-

й следует, что Л (е11) удовлетворяет условии Гельдера на Г.

Факторизация функций [К11 (X) - 1]"1 и /Г1 (еи) приводит к

едунцэыу для них представлению:

- 1] ' = ---, (?)

г.<*> -2я[1»[(шГ;р«,,<») - «г

<11; Т=5

-08

а Лпйр11 - 1]"\ (-<» £ г ^ *>),

1 V

. гг (г) «, ^ (х)Щ , * = 1п'< (еи) (ск-^)

г . .

Справедливы следуйте условия дгсфЪерепцирусиоста: Функции К^сг), к1г , ' к2](1;) в точках

-Шт,

(к=1,2,...(Ь), ъв+2тт (б=1,2,...,у; п=0,±1,±2,...) дафферонгрфу« ш, соответственно, 7 -1 и т+^-1'.раз.

с!г (Еункция Кгг (г; в точках- гк (к=1,2.. .. гЬ), г=е (в=1,2,...,1') дифференцируема, соответственно, !к-1 к тк^-1 раз Справедлива следующая

Тсореыа 1.1. Пусть выполнена условия (3), (5), (6 (7) и й,, йг .Тогда число линейно независимых решений задачи (1 удовмтворящих поставленных условиял, вираххюшся следующими фо\ жидели (построена латриц А, В, СГ, Т),ч Е, приведено в §1.2 диссе,

а) при Ь > О,

Не (*<гг~Ь-р-гапеЙ.+П1тах{»г) ,^1\))Н(игг-Ь-р-гал|5\+штах{аг1

б) при гся- Ь < О,

К= Ц +о~Ь)Н (ш+q-h) -гад5В-гап£0-гап£Е

В пункте 2 §1.2 за основу берется представление (4) и выв

датся форцули для числа ликейно независимых решений однороги

задачи (1) в массе функций, удовлетворяющих.условию Гельдера с

отвзтстесчшо на й и Г, и- обращающиеся на бесконечности в нуль,

также выписываются в явной форме сами-- репения, при -следуш

условиях дкффереицируеиости:. -

функции К14(1;), К12(г), К21(г) в точках

,2,... ,г; п=0,+1,+2,...) дяфферекцирувиа соответствег

р"-1 раз. ч

с и

функция К2а(т) в Точках х~о " (б=1,2, ...дафференцируе

соответствешю р^*-1 раз.

Основной результат представлен теог^мой 1.2.

Г» 51.3 й качостьс примера ставите« и решается яонкреи

однородная' краевая задача.

В пункте 1 $1^4 исследуется неоднородная краевая зздача

со у '

£; кг1 ^+2таг)у+ (игш) + Кг2 (еи )2* (е11 )=а" (еи)+Ь(еи)

П=-00

1а основе представления (3).

В пункте 2 §1.4 краевая задача (11) рассмотрена для случая, :огда функции Ки(1)-1 и Л2(г) не ш.:еют нулей на Й и Г соответ-л:вйшго. В это« случае доказывается неторовость задачи (1) и ви-мсляется ее индекс.

Т е. о р е'ы а 1.3. Пусть Ь=р=0. Тогда в условиях творехи

I

.2 задача (1) нетерова, ее индекс эг равен ж+."«2 и, следователъ-:о (сл. тэорелу 1.1), лото вычислить количество условий роареш-осш неоднородной задачи (11).

Глава II посвящена обобщенным теплхщево-ганкелеЕыи опёрато-аи.. .

В §2.1 рассматривается цепочка пряиоугольшх (обобщешю-егшщевых.) матриц вида

К - !а ■ , , (13)

^=0,1.....т+цк

це - взаимно простые натуральше- числа,

^ + 1 < к <

п-И

V

- 1

:новшми условиями пш этом пуляются следук^ге:

(13)

В пункте 2 §2.1 для рациональных функций вида Р(х)=^> р1

I

вводится линейная функционал оу по формуле:

Ох{Р(Х)} = ]Грд (14)

V

где а,- суть элементы матриц Ак.

Если через кегЛк(х*') обозначить пространство многочленов Р~ (х") по неполояителыщы степенны х* формальной степени (пн|л1ф>, которие удовлетворяют условиям: •

ок(х1?"(х'')> = 0 (15)

для í к |1к»>, цЧкгн-1), ц.(кг+2), ...е рп

то кег\{ж") будет нзсаорфаз пространству кегА^ ядер натрхгш Лк.

В пункте 3 §2.1 рассматриваются пространства кегА^ (у41) шо гочленоэ б'(у41) по кеотрздатеяьшзд стетшшш у^ формальной степей (п-ук)ц, удовлетворяю^?« условиям:'

о^У^У*)} - О, (16)

для 3 = уцк, уДО-О, V(¡хк-2>» ~яп

(функционал ау вводится по тому зее правилу, что м о:<). Показыв; ется, что кегА^ (уи) изоморфны пространствам кегА^ ядер цатриц А, транспонированных к А .

- 1 о -

В ¿2.1 т.оОо.иТоя псилткс суыСо^С'Тгь^х ^; 1 о г о г)> с.1 ; о г;

Р" (х") для цепочки матриц \ и существенных многочленов (у") для цепочки :.;отрнц с помощью которых описываются ядра всех матриц Ак к Псказако, что число суцествеш.их жогочденов в кеядом случае не превшает ц + V, и доказана следугдая

I о о р е м а 2.1. Пусть выполнены условия (13) и Р(" (х''' 1,

.... р;+1(х"), .... р-+1и").....

Рр^] (х"), .... (у(х'-") - существенные лиогочлены цепочки ¿хприц

к. Та;-;и: к

' кеглях") = <0>, при. - -ь I ^ к < к,; .

ос М.

1«гА„<х") = (х^РТф") + (х11'')?". .(2'*) +

1 .- 1 I =а 1

+ Уг ох"" >р- (х*) + V ь: (х** )р: (Х* ).

г «

¡- = Ц + 1 и = р +• 1

при к, +1 ^ к .

Здесь (х11"), г" (к111' ), 1" ), Ь'Сх^") - произвольные лкойсио-ны по }юполошпелытл степенях. я (-х111>), сяаюни, которых пе визга соптбекскбенно:

к - к - 1 для к - к - 2 а'(хм");

к - к2 для 1 (х" ''); к - к, - 1 для Ь (х!>").

Причел б тол с.цроло, когда к - к4- 2 < 0, к - к,< О, к - к_-1< о, предполагавшей, что гГ(х|и') * о, Г(х,!") и О, ^(х11") =.• О ссса-СппспРснно. Где

К - р-^1] . - [ - ] + 1 (18)

а - m + 1 + u(k +1) - ге $ u,

fi - £> - n - 1 + ji + Vk2 Ц + V.

В пункте 3 §2.1 производится специальное построение и, для

• 4

случая m = п, формулируется необходимые и дос^атошше условия обратимости матрицы

А = 1а . .Г. (20)

Основные результаты сфоруулфоваш н доийвзакы & .теоремах 2.2 v. 2.3.

В §2.2 выводится формула рекуррентного восстановлешш элементов обратной ыатрищ по известным значениям некоторых ее "граничных элементов".

Теорема 2,4. Пуйпъ для O^iin-ц

элеленти оОратилой латрици к - Ja j=0 удовлетворят соотоше ниял:

а, - а. = О (21)

v+V.j+Ц «J

i

Тогда элемент обратной матрица В = jb^j" ,=о удовлетворят еле духщил рекуppetmau соотношение:

к. 1=1

fb.. = О, при rain((,3) < О; raax(t,j) > п;

где рк , ^ - ноэф$ш(иенти суцествеюыт лногочлею

P~(xv) и Q* (у^) соответственно. Или, в лгтримной aar; си

H+V

в = = X • (23)

V. I =1

Последняя формула является обобщением формулы Гохберга-¡менцула" для случая теплицевой матрицы.

В пункте 2 §2.2 дается алгоритм обращения матрицы Ао, провожен оценка необходимых при этом аддатившх и мультипликативных юраций й сравнение полученных результатов с ранее известными.

В §2.3 рассматриваются обобщенная теплицевэ-ганкелева матри-I вида

S = 18. .1? . л = ¡а . . + h . . л , (24)

11 » IAV-VJ [IV+W1 l.J-0 '

вспомогательная матрица вида

§ = ПЗ i? „ = ¡а . . - h .. .. , (25)

Для случая, когда матрицы S и § обратимы, выводятся рекур-¡нтные формулы одновременного восстановления элементов обратных »триц

R = aniir.i-0 = S"4: й - ■<26>

Теорема 2.5. Путь .ктрицы S и § обратимы, и, кроле izo, detR^O, detR^O, detS^O, detf^^O, где

R. ■ . л '■ «vnl-o •

leda справедливы рекуррентные форлулы:

И.Ц. Гохберг, И.А. Фельдман. Уравнения в свертках и проекционные метода их решения. М., Наука, 1971.

где

Гкя rki + fk.j-v ~ ( 1 ~ £ Vs.i )?ki "

s = О

n

-¿rdAd + X U'

d=0 l=n-V+1

»-1

e=0

»-1 1Г1+Ц

+ У Г, У . tVf. x, (28

/ , km"nu ¿_, d-p.j kd

m=0 d=n+1

- doi " _

Уш я Z, - 8mA 0» - » - V +1. .... П)

k=0

„ def n

QBI ^

*kd Z, - huuvd> <fl - 0.....

i=0

de* ^Д t

Ущ] " «W - Bm.k+A (» « 0, 1, .... V-1)

def

= Гк> + V+»d)

k = 0

l -O

Этот результат обобщает полученные ранее формулы рекурре* ного восстановления элементов обратной матрицы для случая, koi |i s v = 1 (сы. (')).

" A.B. Нерсесян, A.A. Паяоян. Построение матрицы, обратной cj ue матриц Теплица и Ганкеля. Известия АН Ары. ССР,° Математ ка, т. 18, N2, 1983V» 150-160.

В {2.4 вводятся последовательности йряьгоугольшх матриц вида

Изучаются ядра кегСг и кег5*2 матриц и 5'г соответственно. Доказывается взоиорфязи ыеаду пространствами кег£»г и. кег5'г и тростравстваьм специально подобранных многочленов, посредством соторах выводится формула рекуррентного восстановления элементов гатркца И«^ (в случае, если Б0 обратима). Сформулируем основной результат параграфа Теорема 2.6. Пусть лтриир. 5о обратила и И = гиС*.о обратая н ней. Тогда, если

ц1+»,)-(к-1 )(1»"1=к».к1»4 1.....п

¿=0, 1. . . ,п+цк

. . ,п

(30)

(29)

11+2 ц

•т

(31)

Ш-2«>

й=0

ко 1, 2, 2((1+у){ I = 1, 2, ..., 2(ц+1>)

о справедлива рекуррентная форлула:

г.

- г

I = О, 1

• • •»

п+2ц; 3 = 0, 1.....П+2У

В пункте 2 §2.4 формулируется и доказываются теореыы 2.7 2.8, зашдочавдне в себе алгоритм рекуррентного построения вектс ров» принадлежащих кег!>к.

Основные результаты диссертации опубликованы в следувдр работах:

1. А.С.Лвлэян, А.Б.Нерсесян. Условия разрешимости одной зада* сопрякения для пары кусочно-аналитичесгетх функций. Извесп АН Арм. ССР, Математика, т. 22, N5, 1987, 439-450.

2. А.С.Лалаян, А.Б.Нерсесян. Структура ядра и обращение некот< рых обощений теплицевых матриц. Депонирована в Ары НИИНП ЯаЗ-АрЭО, 28, XI. 1990.

3. д.С.Лалеян. Обращение обобщенной тешшцево-ганкелевой матр: да. ДАН Армении, т.91, Л5, 1990, 195-198.