Аналитическая продолжимость функций и рациональные приближения в некоторых пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 517.537.38,517.538.5

Мочалина Екатерина Павловна

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ПРОДОЛЖИМОСТЬ ФУНКЦИЙ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ В НЕКОТОРЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

о г

Москва, 2006

Работа выполена на кафедре теории функций и функционального анализа Механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

кандидат физико-математических наук, доцент Н.С. Вячеславов, доктор физико-математических наук, профессор В.И. Данченко, кандидат физико-математических наук, доцент А.К. Рамазанов. Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского.

Защита диссертации состоится 13 октября 2006 г. в 16 час. 15 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.85 в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 13 сентября 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.85 в МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

Т.П. Лукашенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

В 1912 году С.Н. Бернштейн1'2 выявил тесную связь между скоростью полиномиального приближения функции на отрезке в равномерной метрике и ее структурными свойствами. Условие, необходимое и достаточное для того, чтобы функция / была аналитической на отрезке [—1; 1] и, оставаясь аналитической внутри эллипса Эр с фокусами в точках ±1 и суммой полуосей 1/р, имела особенности на Эр, заключается в том, чтобы

Й5Г\/ВД. [-1; !]) = ?•

Символом En(f, К) обозначатеся величина наименьшего уклонения в пространстве С(К) непрерывной на компакте К С С функции / от Р„ - подпространства алгебраических полиномов степени не выше n; int Г -ограниченная область с жордановой замкнутой границей_ Г; Cr - линия уровня компакта К, имеющего односвязное дополнение в С.

Если Г - замкнутая аналитическая жорданова кривая, К — int Г U Г и функция / голоморфна в замкнутой области int Cr, то выполняется следующее соотношение

En{f,K) = 0(R'n).

Этот результат неявно содержится в работе Г. Фабера3. Как показал Г. Сеге4, предположение об аналитичности контура Г в условии предыдущего утверждения можно опустить.

Дж. Уолш5 доказал эквивалентность равенства

~Ш$/Епи,К) = 1/R

п-юо

и требования, что функция / голоморфна в области int Cr и на ее границе имеет хотя бы одну особую точку, в случае, когда дополнение компакта К

1Бернштейн С.П.,Sur l'ordre de la meilleure des fonctions continues par des polynomes de degré donné. Mémoires de l'Académie Royale de Belgique, 1912, V. 4, p. 1-104.

2Бернштейн C.H., О наилучшем приближении непрерывных функций посредством многочленов данной степени. Харьков, Сообщения Харьковского математического общества, 1912.

3Faber G.,Über polynomische Entwicklungen.Ms.th. Annalen, 1903, V. 57, p. 389-408.

4Szegö G.,Über orthogonale Polynome, die zu einer gegeben Kurve der komplexen Ebene gehörenM&Üi. Z., 1921, V. 9, p. 218-270.

5WaIsh J.L.,Über den Grad der Approximation einer analytischen Funktion.Müncher Berischter, 1926, p. 223-229.

односвязно е С. Дж. Уолш и X. Рассел6 обобщили последний результат на случай компактов со связным регулярным дополнением.

Посредством rn,k = {g/s : g 6 Pn, 5 £ Pk} обозначим совокупность рациональных функций порядка (п, к). Для конкретного значения р € (0; +оо), фиксированной функции / 6 Нр и заданных целых неотрицательных чисел п и к определим величину наилучшего приближения / множеством гп,к Л IIр в пространстве Нр следующим равенством

В случаях к = п и к = 0 будем использовать привычные обозначения

Я'ВД) = #рЯп,п(/), HpEn(f) = HpRntQ{f).

A.JI. Левин7 показал, что условие

~Ш<УН*ЕП{/) - Я»Я„(/) = р < 1

П-+00

для некоторой функции / 6 Я2, обеспечивает возможность ее аналитического продолжения в круг радиуса 1 f^/p с центром в нуле. Этот результат был существенно усилен X. М. Махмудовым8: если задано число р £ (1;+оо) и функция / € Нр, то условие

ТШГл/ЯРад) - HPR„(f) = р < 1

эквивалентно тому, что 1 /р - радиус голоморфности /.

В первой части главы 1 получен аналог приведенного выше результата С.Н. Бернштейна и дано обобщение теоремы Х.М. Махмудова.

В параграфе два главы 1 рассматривается возможность мероморфного продолжения функций из некоторого класса. Точнее, здесь получена формула для вычисления &-ого радиуса мероморфности каждой такой функции. Самыми известными результатами в этом направлении являются формула О. Коши для радиуса сходимости степенного ряда и теорема Ж. Адамара о кругах мероморфности аналитической в нуле функции

/(z) =ao + cnz + --- + amzm + --- . (1)

"Walsh J.L., Russell H.G.,On the convergence and overconvergence of sequences of ■polynomials of best simutaneous approximation to several functions analytic in distinct re-<;toTLs.Transactions of the American Mathematical Society, 1934, V. 36, p.13-28.

гЛевин A.JI.расположение полюсов рациональных функций наилучшего приближения.Ыа.тем. сб., 1969, Т. 80(122), с. 281-289.

"Махмудов Х.М.,0 функциях с близкими значениями наименьших уклонений от полиномов и рациональных функций.М&тем. сб., 1991, Т. 182, с. 1657-1668.

При каждом к 6 2>+ посредством т*(/) обозначим максимальный радиус круга с центром в нуле, в который функция / может быть продолжена как мероморфная порядка не выше & (т. е. тпо(/) - радиус сходимости ряда (1), в открытом круге = {г £ С : |г| < тпк(/)} при к 6 N у функции

/ число полюсов с учетом кратности не превосходит к). Символом 2?т,к обозначим симметрический определитель

Dm,к =

От От+1 • • • Om+fc От+1 От+2 ■ • • Om+Jt+1

а-т+к От+к+1 ■ • ■ Om+2Jfc

а посредством 1к - следующий верхний предел:

lk — lim y/Dmk-

т~* оо

По определению положим f_i = 1.

Ж. Адамар9,10 показал, что отношение lk-iflk — mk{f)~ радиус fc-oro круга мероморфности функции /. Если для некоторого натурального значения s справедливо строгое неравенство

m,{f) > m._i(/), (2)

то функция / в круге M,(f) имеет ровно s полюсов с учетом кратности.

Пусть п,тп & Z+ - целые неотрицательные числа. Аппроксимация Паде fn,m(/) - Pn,m(f)/<2n,m(f) ФУНКЦИИ (1) ПОрЯДКа (п,Гп) , ГДе Pn,m(f) € Рш 9n,m(/) S РШ| определяется условием

Считаем, что старшие коэффициенты знаменателей ?п,т(/) равны 1. Кроме того предполагаем справедливость неравенства (2) для некоторого натурального значания индекса s. Тогда из теоремы Р. Монтессу де Баллора11 следует, что для знаменателей s-ой строки таблицы Паде существует предел

3

lim g„,a(/)(z) = ||(.z - а„),

'Hadamard J., Essai sur l'etude des functions donnés par leur developpment de Tay-/or. Journal de mathématiques pures et appliques, 1892, Ser. 4, V. 8, p. 1-86.

l0Hadamard J.,Oeuvres de Jaques Hadamard.Pa.ris, 1968, Ed. du Centre nat. de la rech. sci., V. 1, p. 7-93.

llMontessus de Ballor R.,Sur les fractions continnes algebriques.Butt. Soc. Math.France, 1902, JV 30, p. 266-336.

где корни ai, аг, ■ • • , as предельного полинома являются полюсами (с учетом кратностей) функции /.

Фиксируем натуральное число s и некоторый полином g3(z) = (2—ß\){z — Ä) ■ • • (z~ßi)> причем <7а(0) 0. Напомним, что в конечномерном пространстве любые нормы эквивалентны.

Имеет место следующее утверждение: соотношение

= (3)

необходимо и достаточно для того, чтобы функция /, заданная рядом (1), допускала мероморфное продолжение в круг радиуса R* = Л-1 тах \ßv\ с центром в нуле и имела там ровно s полюсов с учетом кратностей. Смысл последнего утверждения состоит в следующем: если фиксировано s € N и при п оо полюсы аппроксимаций Паде 7гп>л(/) быстро стремятся (в смысле (3)) к некоторым пределам ß\,ßi,--- ,ßa (и Д, ф 0), то все эти предельные точки являются полюсами функции /, причем она не имеет других особенностей в круге \г\ < R*, содержащем точки /3i, /32, • ■ • ,ßs, R* = ms(f) и выполняется (2).

В главе 2 изучаются рациональные аппроксимации со свободными полюсами функций следующего вида:

?(z) = J г € С\supp т. (4)

supp т

Порядки наилучших приближений функций т на компактах (не пересекающихся с носителями мер supp т) в равномерной метрике получены в работе A.A. Гончара12. В случае пересечения носителя меры supp т и компакта, на котором осуществляется аппроксимация г рациональными функциями, в одной или нескольких точках, скорость приближения в начале исследований была найдена для индивидуальных функций, позднее - для классов функций в работах Я.-Э. Андерссона, A.A. Пекарского, Н.С. Вячеславова и других авторов.

В предположении, что мера д конечна на отрезке [—1; 1], положим

K2) = ffM_,z&D. (5) -i

Напомним, что функции 7(t) и S(t) слабо эквивалентны при t fo, т.е. 7(í) х <5(t), если 7(f) = 0{S(t)) и 8(t) = 0(7(t)).

12Гончар A.A.,О скорости рациональной аппроксимации некоторых аналитических функций-Мал. сб., 1978, Т. 105, Я 2, с. 147-163.

Следующая оценка сверху при р = оо получена A.A. Пекарским13, а остальные результаты принадлежат Я.-Э. Андерссону14.

Пусть носитель конечной меры д содержится на отрезке [0,1]. Если заданы значения 1 < р < оо, а > — 1/р и dp(x) х (1 — x)adx при х -i- 1, то справедливы слабые асимптотики

HpR„(fi) х п^ехр |-7г-у/2п(а+ 1/р) }.

Фиксируем числа р € (0; 1) и а > — 1.

1. Если dß(x) ^ С(1 — x)adx, то при 1/р £ N. имеют место оценки сверху

tfpi?„(/I) < Cjn&exp {—ку/2п (а + 1/р) } .

2. Если С(1 — х)adx ^ dß(x), то выполнены неравенства

Cxn1-1/p s$ HPRniftn-bexp {тгл/2п (а + 1/р) }. Здесь С и Ci - не зависящие от п положительные величины.

а + 1/р + Ь + 1/р - среднее гармоническое чисел а + 1/р и ¿> + 1/р.

Н. С. Вячеславов15 показал, что если фиксированы параметры р € (1; +оо] а, Ь 6 (-1/р; +оо) и (1 - г)°(1 + x)bdx при х ±1, то

ЯрД„(Д) X п^е-*^.

Цель работы.

В настоящей работе получены условия в терминах наименьших рациональных уклонений функций в некоторых пространствах, обеспечивающих аналитическое или k-мероморфное их продолжение, а также изучаются величины наилучших приближений функций Стилтьеса в равномерной и интегральной метриках.

13Пекарский К.,Наилучшие равномерные рациональные приближения функций Маркова.Алгебра и анализ, 1995, Т. 7, с. 121-132.

"Andersson J.-E.,ßaitonoi approximation to function like xa in integral rtorms.Analysis Math., 1988, V. 14, Я 1, p. 11-25.

''Вячеславов H.C., Мочалила Е.П.,0 наилучших рациональных приближениях функций Маркова- Стилтъеса. Воронеж, ВГУ, Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы конф., 2005, с. 64-65.

Методы исследования.

Результаты диссертации получены с использованием методов теории функций комплексного переменного, математического анализа, теории аппроксимаций и функционального анализа.

Научная новизна.

Все результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

получены два критерия аналитического продолжения некоторых функций из jDp[—1; 1] и пространств Смирнова при р € (1;+оо) ;

приведены достаточные условия для возможности продолжения элементов из пространств Харди Нр, 1 < р < +оо в к -ый круг их мероморфности;

доказаны оценки для величин наименьшего рационального уклонения функций Стилтьеса в равномерной и интегральной метриках, являющиеся аналогами известных результатов Я.-Э. Андерссона, A.A. Пекарского и Е.А. Ровбы.

Теоретическая и практическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут применяться в теории приближений и ее приложениях.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались

на научных семинарах Механико-математического факультета МГУ: по теории приближений и граничным свойствам функций под руководством профессора Е.П. Долженко(2003-2006гг.), по рациональным аппроксимациям функций под руководством доцента Н.С. Вячеславова ( 2000-2006гг.);

Саратовской зимней математической школе "Современные проблемы теории функций и их приложения"(Саратов, 2002, 2006гг.);

Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы"(Воронеж, 2003, 2005гг.).

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[5], список которых приведен в конце автореферата. Все доказанные в диссертации теоремы получены автором впервые.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 42 наименования. Общий объем работы - 105 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Диссертация является исследованием в теории аппроксимаций рациональными функциями со свободными полюсами.

Во введении даны основные определения и обозначения, приведена история рассматриваемых вопросов и сформулированы основные результаты дис-

сертации.

В первой главе получены критерии аналитического продолжения некоторых функций и приведены условия к -мероморфного продолжения. Сформулируем их. Для заданной функции / € £р[—1; 1] определим величины наименьших уклонений в Ьр[~ 1; 1] от Рп и гп о как обычно:

ЬрЕп(Л = Ы II/ - !,[-!,.!), ¿рДп(/) = II/ - г||£р(-1;1].

3 С 1ц Г£ГП,П

Теорема 1.Если фиксировано числор € (1;+оо) и для заданной функции / 6 £р[—1; 1] справедливо неравенство

ЙпГ ^¡ЬРЕП{}) - ЬРЯ„(/) = /> < 1, (6)

то ояа аналитически продолжима в область, ограниченную Эр и на самом эллипсе Эр имеется хотя бы одна особая точка ее аналитического продолжения. Для любой функции / голоморфной внутри эллипса Эр, имеющей особенности на границе такой области, выполняется соотношение (6).

Для спрямляемого пути Г посредством |Г| будет обозначаться его длина. Символом С? обозначим односвязную ограниченную область со спрямляемой границей Г.

Как известно, если функция / € ЕР(С) - пространству Смирнова, то она почти всюду на Г имеет определенные предельные значения /(£) по всем некасательным путям, при- чем / € ЛР(Г). Положим

||/1к(С) 1ЛС)№1

1 /р

Для каждой функции / из ЕР(С) определим величины наименьших уклонений от подпространств Р„ и множеств гП1ППЕр(С) соответственно равенствами

ЕРЕП(/,С)= М ||/-3||£,(с), ед,(/,С) = Ы ||/-г|и,(С).

«€г„ гег0>„п.ь„(с»)

Пусть функция Ф осуществляет конформное отображение внешности области, ограниченной жордановой кривой Г на внешность единичного круга. Причем потребуем, чтобы при этом Ф(оо) = оо, Ф'(оо) > 0. При Л > 1 посредством Гд будем обозначать линии уровня кривой Г при отображении Ф (то есть Гд - прообраз окружности радиуса Л с центром в нуле).

Определение.Будем говорить, что при фиксированном а 6 (0; 1] спрямляемая кривая Г = {А, [0; |Г|]} принадлежит классу С( 1, а), если ее натура-

льная параметризация A(s) дифференцируема и A'(.s) содержится в классе Гельдера Lipa.

Теорема 2.Пусть фиксированы следующие величины: замкнутая жорда-нова кривая Г, принадлежащая классу С(1, а), область G = int Г, параметр р 6 (1; +оо) и функция f € EP(G). Условие

Tim ^EpEn{f, G) - EpRn(f, G) — p < 1 (7)

достаточно для того, чтобы функция f аналитически продолжалась в область int Fi/p и на ее границе аналитическое продолжение имело хотя бы одну особую точку. Для любой функции f голоморфной в области int Гур, имеющей особенность на границе Гцр, выполняется соотношение (7).

В следующей теореме для некоторых функций найдены радиусы их кругов мероморфности.

Теорема 3.Если фиксированы числа, k е N, р > 1 и функция f 6 Нр, для которой выполнено неравенство

Hm tfHPRnAf) ~ H*Rn+k+i{f) = Р < 1

и, кроме того, последовательность знаменателей сгп рациональных функций г„, определяемых равенством HpFLn. k{f) = ||/ — гп||д>, удовлетворяет условиям

lim cr„(z) = <r(z), cr(z) ф 0 Vz : |z¡ = 1, пчоо

TO mk{f) = I/R.

В главе 2 изучаются рациональные аппроксимации со свободными полюсами функций Стилтьеса вида (4) и (5).

Теорема 4. Фиксируем параметр р из интервала (0; 1) и меру ц, удовлетворяющую условию

dp(x) í£ Ci(l - z)a(l + x)bdx, x 6 (-1; 1),

при некоторых a > —1, b > —1 и положительной постоянной С\. Если 1/р - не целое число, то для каждого натурального значения п выполняется

неравенство , ._

WRniíi) 4 СпЪе-*^", причем здесь и ниже положительная величина С не зависит от п. Если мера ц, удовлетворяет условию

dfi(x) ^ С2(1 - х)°(1 + xfdx, х е (-1; 1),

при некоторых a > —1, Ь > — 1 и положительной постоянной С2) то имеет место следующая оценка снизу

Cn1-' <

Пусть А - банахово пространство функций /, непрерывных в круге Д = {z : \z\ < 1} и аналитических в D = {z : \z\ < 1}, с равномерной нормой -максимумом модуля функции. Множество функций А будем рассматривать также как предгильбертово пространство, в котором скалярное произведение определяется следующим образом

(/,<?) = ¿У /СгШИг|, /,де СА. эд

Пусть точки zi,-- - ,z„ е С\Д. Обозначим посредством Rn(z\t ■ ■ ■ , zn) линейное пространство рациональных функций степени ^пс фиксированными полюсами z\, • • • , zn, где каждый полюс записан с учетом его кратности, а через Fn - ортопроектор из А в B„(zi,-- ■ , zn).

Фиксируем некоторую меру т с носителем supp т, содержащимся на множестве R\(—1; 1), для которой определена функция (4).

Введем следующие величины:

/dr(t)

iti(iti-i)Bmt)'

supp т

Л„(/,Д) = inf ||/(z)-*-„(*,/)||С(Д), /6 А. Здесь а = (ai, • • • ,а„),

*«.■>-

- произведение Бляшке с нулями в точках а*, к = 1,••• ,n, a F„(z,f) -проекция / на -Rn(zi, • • ■ ,z,,).

Теорема 5 представляет собой аналог теоремы 1 из работы A.A. Пекарского и Е.А. Ровбы18.

Теорема 5 .Если фиксировано натуральное число п,ат- положительная борелевск&я мера с носителем supp г С (—со; —1] U [1; +оо) и

Г dr(t)

supp т

ТО

ЛП(?,Д) < s„(r), пе N.

16Пекарский A.A., Ровба Е.А.,Равномерные приближения функций Стилтъсса

посредством ортопроекции на множество рациональных функций.Маяеи. зам., 1999,

Т. 65, выпуск 3, с. 362-368.

Следующие теоремы являются обобщениями некоторых результатов A.A. Пекарского13. Здесь расширяется класс функций, для которых получены оценки.

Наименьшее уклонение в С[—1; 1] непрерывной на [—1; 1] функции / от совокупности Гд^щ будем обозначать посредством (/, [—1; 1]). Полагаем

R^ т = {г € rnjin : знаменатель г неотрицателен на R и функция г > О на носителе меры supp г},

АПт(т, [-1; 1]) = inf

■М /

dr{t)

supp г

r(t)(t-x)

q-l;l]

Теорема 6.Если мера т имеет носитель на R\(—1; 1), причем

dr(t)

I

supp Т

< ОО,

(8)

функция т определяется согласно равенству (4), тогда при любых значениях индексов п > т — 1 выполняется неравенство

Л„т(т, [-1; 1]) < Яп,т(г, ("1; 1])-

Пусть - пространство полиномов с действительными коэффициентами степени не выше п, а

3 ={р-

'п,ш — Л у

1 Q

ре sn, q е s,

•5п,т = {г € Ип.т : знаменатель г неотрицателен на К и функция г является знакопостоянной на каждом из лучей[1;+оо) и (—оо; —1]},

•м /

dr(t)

stipp T

r (t){t-z)

С( Д)

Теорема 7.Если мера т имеет носитель на Я.\(— 1; 1), а функция т определяется согласно (4) и удовлетворяет условию (8), то при всехп т имеет место следующая оценка

7Г

Автор выражает глубокую признательность научному руководителю доценту Н.С, Вячеславову за постановки задач и руководство работой, профессору Е.П. Долженко за доброжелательное отношение и ценные советы, а также всем участникам семинара по теории приближений и граничным свойствам функций под руководством профессора Е.П. Долженко за полезное обсуждение.

Работы автора по теме диссертации

1. Мочалина Е.П. Об одном критерии аналитической продолжимости функции с отрезка.// УМН, 2003, Т.58 Вып. 6, с. 161-162.

2. Мочалина Е.П. Достаточные условия к - мероморфного продолжения функций.// Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика, механика, N 4, 2004, с. 14-19.

3. Вячеславов Н.С., Мочалина Е.П. О рациональных аппроксимациях функций типа Маркова-Стилтьеса.// Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского, материалы международной летней школы-конф., 2004, Т. 20, с. 54-55.

Теорема 2 получена Мочалиной Е.П., теорема 1 получена Вячеславовым Н.С.

4. Вячеславов Н.С., Мочалина Е.П. О наилучших рациональных приближениях функций Маркова-Стилтьеса.// Воронеж, ВГУ, Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы конф., 2005, с. 64-65.

При конечных значениях р теорема получена Вячеславовым Н.С., при р — +оо - Мочалиной Е.П.

5. Мочалина Е.П. Аналитическая продолжимость некоторых функций из классов Смиронова ЕР{С) при р 6 (1; +оо). // Саратов, Изд-во "Научная книга", Современные проблемы теории функций и их приложения, тезисы докладов 13-ой Саратовской зимней школы, 2006, с. 123 - 124.

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова. Подписано в печать / Л Об Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. /, О

Тираж 100 экз. Заказ^Х

Введение.

1 О некоторых условиях аналитической и &-мероморфной продолжимости функций.

1.1 Аналитическая продолжимость некоторых функций из пространств Лебега Lp[—1; 1] и Смирнова EP(G) при р 6 (1; +оо)

1.2 к - мероморфное продолжение некоторых функций из пространств Харди #р, 1 < р < оо.

2 Приближения функций типа Маркова-Стилтьеса в некоторых пространствах Харди и равномерной метрике.

2.1 Рациональные приближения функций типа Маркова-Стилтьеса в пространствах Харди Нр, 0 <р < 1.

2.2 Приближение посредством ортопроекции на подпространство рациональных функций с фиксированным знаменателем

2.3 Приближение в равномерной метрике на отрезке

2.4 Приближение функций типа Маркова-Стилтьеса в равномерной метрике на единичном круге.

При каждом п £ Z+ символом Рп обозначим пространство полиномов с комплексными коэффициентами степени не выше п. Наименьшее уклонение функции / £ С[—1; 1] от подпространства Рп в равномерной метрике на отрезке [—1; 1] будем обозначать посредством En(f):

Mf) = inf II/ " 8\\с[-1*].

Sc-i n

В теории аппроксимаций большой интерес представляет тот случай, когда приближаемая функция / является аналитической на отрезке [-1;1], следовательно и в некоторой области, содержащей этот отрезок. С.Н.Бернштейн в 1912 году заметил, что при таких условиях на функцию / наименьшее уклонение En(f) убывает скорее, чем общий член некоторой геометрической прогрессии, доказал теорему во всей общности и, кроме того, вычислил асимптотические значения в некоторых случаях. А именно, пусть Эр - эллипс с фокусами в точках ±1 и суммой полуосей 1 /р.

Теорема([2], [3]).Условие, необходимое и достаточное для тощ чтобы функция f(z) была аналитической на отрезке [—1; 1] и, оставаясь аналитической внутри эллипса Эр, имела особенности на Эр, заключается в том, чтобы .

ИтУЩТ) = /><!•

П-* 00

Обозначим посредством rn>k = {g/s : g £ Pn>s £ Pk} совокупность рациональных функций порядка (п, к), причем считаем, что гп = гП)П. Для заданной функции / £ Lp[—1; 1] определим величины ее наименьших уклонений в Lp[— 1; 1] от Рп и гп как обычно:

LpEn(f) = inf II/ - S||ip[i;i], LPUf) = inf II/ - r|Up[1;1].

SfcJrn "fcrn

Следующая теорема является аналогом приведенного выше результата С.Н. Бернштейна.

Теорема 1 .Если фиксировано число р £ (1; +оо) и для заданной функции / £ Lp[—1; 1] справедливо неравенство

Ш{1ьрЕп(!) - LpRn(f) = р<1, (1)

П-*00 V то она аналитически продолжима в область, ограниченную Эр и на самом эллипсе Эр имеется хотя бы одна особая точка ее аналитического продолжения. Для любой функции f голоморфной внутри эллипса Эр, имеющей особенности на границе такой области, выполняется соотношение (1).

Пространство Харди Нр, р 6 (0;+оо), образовано аналитическими в единичном круге D = {z : \z\ < 1} функциями, удовлетворяющими условию

2тг \ VP ге^)рИ <+оо.

Функции /, голоморфные и ограниченные в Д образуют пространство Н00 с нормой = sup|/(*)|. zeD

Для конкретного значения р G (0;+оо], фиксированной функции /бЯр и заданных целых неотрицательных чисел п и & определим величину наилучшего приближения / множеством гП)к ПЯрв пространстве Нр следующим равенством mw/)= inf ||/-г||н, г€гп,кпнр

В случаях к = п и к = О будем использовать привычные обозначения

HpRn(f) = HpRn>n(f), HpEn(f) = HpRnfi(f).

A. Jl. Левиным в 1969 году была доказана следующая Теорема( [13]). Если

ШУН2ЕП{/) - HtRnif) = р< 1

П—> 00 для некоторой функции f £ Н2, то она аналитически продолжается в круг радиуса 1/^/р с центром в нуле.

X. М. Махмудов получил значительное усиление этого результата.

Теорема([16]).Если задано число р G (1;+оо) и функция f G Нр, то условие lim y/HPEn(f) - HPRnif) = р< 1 обеспечивает возможность аналитического продолжения f в круг радиуса 1/р и на его границе у функции f имеется хотя бы одна особая точка.

Введем стандартные обозначения. Известная теорема К.Жордана утверждает, что каждая замкнутая жорданова кривая Г С С служит границей двух односвязных областей в С: int Г - ограниченная область и ext Г Э оо. Для спрямляемого пути Г посредством |Г| будет обозначаться его длина. Символом G обозначим односвязную ограниченную область со спрямляемой границей Г.

Определение . Пространство Смирнова EP(G) образует совокупность функций /, голоморфных в G и таких, что для каждой из них существует последовательность замкнутых жордановых спрямляемых кривых Гп(/) С (?, n = 1,2, • • •, со свойствами:

1. Гп(/) при п -У оо стремится к Г в том смысле, что

00 int Ti(/) С int Г2(Я С • • • С int Tn{f) и |J int Tn{f) = G; n=1

2. sup / < 00. n J

Гп (/)

Как известно([4], стр. 422), если функция / Е -Ер(С), то она почти всюду на Г имеет определенные предельные значения /(£) по всем некасательным путям, причем / 6 £Р(Г). Положим 1/Р

Для каждой функции / из пространства Смирнова #Р(С?) определим величины наименьших уклонений от подпространства Рп и множества гп П EP(G) соответственно равенствами

EpEn(f, G) = inf ||/ - S|U,(G), EpRn(f, G) = inf ||/ - r\\Ep[a).

5cfn r£rnr\np(U)

Пусть функция Ф осуществляет конформное отображение внешности области, ограниченной жордановой кривой Г на внешность единичного круга. Причем потребуем, чтобы при этом Ф(оо) = оо, Ф'(оо) > 0. При R > 1 посредством Гд будем обозначать линии уровня кривой Г при отображении Ф (то есть Гд - прообраз окружности радиуса R с центром в нуле). Заметим, что определенные выше эллипсы Э^д и являются линиями уровня Гд, если

Г=[-1;1].

Определеные.Будем говорить, что при фиксированном a 6 (0; 1] спрямляемая кривая Г = {Л, [0; |Г|]} принадлежит классу С( 1, а), если ее натуральная параметризация Л(s) дифференцируема и X'(s) содержится в классе Гель дера Lipa.

Следующая теорема является обобщением результата X. М. Махмудова.

Теорема 2.Пусть фиксированы следующие величины: замкнутая жорда-нова кривая Г, принадлежащая классу С( 1, а), область G = int Г, параметр р G (1; +оо) я функция f 6 EP(G). Условие lim \/EpEn(f, G) - EpRntf, G) = p< 1 (2) rwoo V достаточно для того, чтобы функция f аналитически продолжалась в область int Yijp и на ее границе аналитическое продолжение имело хотя бы одну особую точку. Для любой функции f голоморфной в области int Гимеющей особенность на границе Т\/р, выполняется соотношение (2).

В параграфе два главы 1 рассматривается возможность мероморфного продолжения функций из некоторого класса. Точнее, здесь получена формула для вычисления к-ого радиуса мероморфности каждой такой функции. Самыми известными результатами в этом направлении являются формула О. Коши для радиуса сходимости степенного ряда и теорема Ж. Адамара о кругах мероморфности аналитической в нуле функции f(z)=a0 + a1z + --- + amzm + --- . (3)

При каждом к Е Z+ посредством rrik(f) обозначим максимальный радиус круга с центром в нуле, в который функция / может быть продолжена как мероморфная порядка не выше к (т. е. то(/) - радиус сходимости ряда (3), в открытом круге Mfc(/) = {z € С : \z\ < mjfc(/)} при к £ N у функции / число полюсов с учетом кратности не превосходит к). Символом Dm>k обозначим симметрический определитель ш+1 • • • dm+k am+2 . am+fc+i . . . )

Ят+fc+l • • • am+2k а посредством Ik - следующий верхний предел:

По определению положим Li = 1.

Теорема([30],[31]).Отношение h-i/h = mk{f)- радиус к-ого круга мероморфности функции /. Если для некоторого натурального значения s справедливо строгое неравенство ms(f) > mai(/), (4) то функция f в круге радиуса Ms(f) имеет ровно s полюсов с учетом кратности.

Пусть n, m £ Z+ - целые неотрицательные числа. Аппроксимация Паде

7Гn,m{f) = Pn,m(/)/9n,m(/) ФУНКЦИИ (3) Порядка (n, т) , ГДв pn,m{f) € Рп,

9n,m(/) £ Рщ) определяется условием qn,m(f)W(z)-Pn,m(f)(z) = 0(zn+m+1).

Dm,к = dm am+1 am+k

Кроме того предполагаем справедливость неравенства (4) для некоторого натурального значания индекса s. Тогда из теоремы Р. Монтессу де Баллора [32] следует, что для знаменателей s-ой строки таблицы Паде существует предел s ton gn,s(f)(z) = ТТ(* ~ a")> п—Ьст n-> 00

V=1 где корни ai, «2, •" , as предельного полинома являются полюсами (с учетом кратностей) функции /.

Фиксируем натуральное число s и некоторый полином qs(z) = (z—/3i)(z— Р2)"' (Z — Ps), причем gs(0) ф 0. Напомним, что в конечномерном пространстве любые нормы эквивалентны.

Имеет место следующее утверждение: соотношение

Ш\\дпМ) ~ qs\\1/n = X < I (5) необходимо и достаточно для того, чтобы функция /, заданная рядом (3), допускала мероморфное продолжение в круг радиуса R* — А1тах|Д,| с v центром в нуле и имела там ровно s полюсов с учетом кратностей. Доказательство необходимости имеется, по-существу, в работе Ж. Адамара [30]. Достаточность доказана А.А. Гончаром в [5]. Смысл последнего утверждения, состоит в следующем: если фиксировано s G N и при п -»• оо полюсы аппроксимаций Паде 7r„)S(/) быстро стремятся (в смысле (5)) к некоторым пределам , • • • , Д (и Д, ф 0), то все эти предельные точки являются полюсами функции /, причем она не имеет других особенностей в круге |з| < R*, содержащем точки Д, Дг, • • • , Д, R* = ms(f) и выполняется (4).

Теорема 3.Если фиксированы числа k £ N, р > 1 и функция f € Нр, для которой выполнено неравенство lim \ lHPRntk(f) - HpRn+k+\(f) = p

Tl-¥00 v 1 и, кроме того, последовательность знаменателей an рациональных функций rn, определяемых равенством HpRn<k{f) = \\f — гп\\нр, удовлетворяет условиям lim an(z) = a(z), a(z) ф 0 \fz : |z| = 1, n-f00 то rrik(f) = 1/p.

В главе 2 изучаются рациональные аппроксимации со свободными полюсами функций следующего вида: r{z) = f г <= С\supp т. (6)

J t — z supp т

Порядки наилучших приближений функций г на компактах (не пересекающихся с носителями мер supp т) в равномерной метрике получены, например, в работе А. А. Гончара [б]. В случае пересечения носителя меры supp т и компакта, на котором осуществляется аппроксимация т рациональными функциями, в одной или нескольких точках, скорость приближения в начале исследований была найдена для индивидуальных функций, позднее - для классов функций в работах Я.-Э. Андерссона, АА. Пекарского и других авторов.

В предположении, что мера ц конечна на отрезке [—1; 1], положим

-1

Напомним, что функции 7(t) и 8(t) слабо эквивалентны при t to, т.е. 7(t) х S(t), если 7(t) = 0(S(tj) и S{t) = 0(7M).

В следующей теореме оценка сверху при р = оо получена А.А. Пекарским [19], а остальные результаты принадлежат Я.-Э. Андерссону [27].

Теорема. Носитель конечной меры ц содержится на отрезке [0,1]. Если заданы значения 1 < р ^ 00, а > -1/р и d/i(x) х (1 — x)adx при х 1, то справедливы слабые асимптотики

HpRn{p) х п^ехр |-7Г\/2п (a + l/p) J .

Фиксируем числа р Е (0; 1) и a > —1.

1. Если dp,(x) ^ С(1 - x)adx, то при 1/р ^ N имеют место оценки сверху

HPRnifi) ^ СхпЪехр |-тга/2П (а + 1/р) }.

2. Если С(1 - x)adx ^ dn(x), то выполнены неравенства

Сщ^ HpRn(il)n-bexp {iry/2n (a + 1/р) } .

Здесь С и С\ - не зависящие от п положительные величины. Пусть х=—— 1 а + 1/р + Ь + 1/р

- среднее гармоническое чисел a + 1/р иЬ + 1/р.

Теорема(Н. С. Вячеславов, [41]). Пусть фиксированы параметры р 6 (1; +оо], a, be (-1 /р; +оо) и dp(x) х (1 - х)а(\ + x)bdx при х -> ±1. Тогда

В случае р Е (0; 1) цитированные результаты Я.-Э. Андерссона для функций с особенностью в одной концевой точке отрезка, на котором осуществляется аппроксимация, переносятся на случай двух особенностей в концах такого отрезка.

Теорема 4. Фиксируем параметр р из интервала (0; 1) и меру ц, удовлетворяющую условию dp,(x) ^ Ci(l - x)a(l + x)bdx, х е (-1; 1), при некоторых a > —1, b > —1 и положительной постоянной С\. Если 1/р - не целое число, то для каждого натурального значения п выполняется неравенство

HpRn(p) ^ Спъе-*^, причем здесь и ниже положительная величина С не зависит от п.

Если мера ц, удовлетворяет условию dfi{x) ^ С2( 1 - x)a(l + x)bdx, х € (-1; 1), при некоторых a > —1, b > —1 и положительной постоянной то имеет место следующая оценка снизу

Сп^р ^ HPRnffln-be*^.

Пусть А - банахово пространство функций /, непрерывных в круге А = {z : \z\ ^ 1} и аналитических в D, с равномерной нормой - максимумом модуля функции. Множество функций А будем рассматривать также как предгильбертово пространство, в котором скалярное произведение определяется следующим образом = ^ J №ШЧ />9 G СЛ. д&

Пусть точки z\,-' ,zn G С\Д. Обозначим посредством Rn(zi,-" линейное пространство рациональных функций степени ^ п с фиксированными полюсами zi, - • • , zn, где каждый полюс записан с учетом его кратности, а через Fn - ортопроектор из А в Rn{z\, • • • , zn).

Фиксируем некоторую меру т с носителем supp т, содержащимся на множестве R\(—1; 1), для которой определена функция

-v ^ f dTW ii^i supp T

Введем следующие величины: зп(т) = inf / a\,-,aneD J dr(t) t(t-l)\Bn(t,a)\v supp T

Лп(/, Д) = inf и/и - Fn(zJ)Под, fe A.

Zi,- ,г„бС\Д

Здесь a = (аь • • • ,an), k=1 afcC

- произведение Бляшке с нулями в точках а^, к — 1,••• ,п, а Fn(z,f) -проекция / на Rn{zu •• • ,zn).

Теорема^А.А. Пекарский, ЕЛ. Ровба, [20], стр. 363). Пусть т - положительная борелевская мера с носителем supp (j, С [1; +оо) я dr{t) t- 1 00. supp т

Тогда

An(f, Д) ^ 3sn(r), п 6 N. Автором получен следующий аналог этого результата. Нам понадобится обозначение: dr{t)

SJt) = inf / tu-,tn6(-l;0] J t\(\t\-i)Bi(\t\,ty supp T

Теорема 5.Если фиксировано натуральное число п, а т - положительная борелевская мера с носителем supp т С (—оо; — 1] U [1; +оо) и I rfr(t) 1*1-1 00, supp т

ТО

Лп(г,Д)^5п(г), пе N. Наименьшее уклонение в С[-1; 1] непрерывной на [—1;1] функции / от совокупности гП)П1 будем обозначать посредством Rn,m(f, [—1; 1])- Полагаем {r £ rn,m : знаменатель г неотрицателен на R и функция г > О на носителе меры supp т}, dr(t)

Anm(r, [-1; 1]) = inf r€-"-n+m+l,2m

•И / r(t){t - x) supp T c[-1;1]

Следующие теоремы являются аналогами некоторых результатов А.А. Пекарского из работы [19]. Здесь расширяется класс функций, для которых получены оценки.

Теорема 6.Если мера т имеет носитель на R\(—1; 1), причем dr(t) |t|-l 00,

7) supp т функция т определяется согласно равенству (6), тогда при любых значениях индексов n ^ га — 1 выполняется неравенство

Апт(г,[-1;1])^^)т(г,[-1;1]).

Пусть Sn - пространство полиномов с действительными коэффициентами степени не выше n, а

Sn>m = {r G Rn,m • знаменатель г неотрицателен на R и функция г является знакопостоянной на каждом из лучей [1; -f-оо) и (—оо; — 1]}, dr(t)

Km(T,A) = Jnf rCiSn+m+i^m w / r(t)(t-z) supp T

C( Д)

Теорема 7.Если мера т имеет носитель на R\(—1; 1), а функция т определяется согласно (6) и удовлетворяет условию (7), то при всехп ^ m имеет место следующая оценка л;т(г,д) ^ §s„,m(r, д).

7Г

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [38]—[42], докладывались на семинаре по теории приближений и граничным свойствам функций в Московском Государственном Университете им. М. В. Ломоносова (руководитель - профессор Е. П. Долженко), на конференциях по теории функций в Саратове в 2002, 2006 годах и в Воронеже в 2003, 2005 годах.

1. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М.:Физматгиз, 1961.

2. Бернштейн С.Н. О наилучшем приближении непрерывных функций посредством многочленов данной степени. Харьков, Сообщения Харьковского математического общества, 1912.

3. Бернштейн С.Н. Экстремальные свойства полиномов и наилучшее приближение непрерывных функций одной вещественной переменной. М.-Л.ОНТИ, 1937.

4. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1961.

5. Гончар А.А. О сходимости аппроксимаций Паде для некоторых классов мероморфных функций. Мат. сб., 1975, Т. 97, N 4, с. 607-629.

6. Гончар А.А. О скорости рациональной аппроксимации некоторых аналитических функций. Мат. сб., 1978, Т. 105, Я 2, с. 147-163.

7. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.: Наука, 1977.

8. Камке Е. Интеграл Лебега-Стилтьеса. М.: Физматгиз, 1959.

9. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981.

10. Корнейчук Н.П., Бабенко В.Ф., Лигун А.А.Экстремальные свойства полиномов и сплайнов. Киев: Наукова думка, 1992.И. Корнейчук Н.П.Сплайны в теории приближений. М.: Наука, 1984.

11. Кусис П. Введение в теорию пространств Нр. М.: Мир, 1984.

12. Левин А.Л. Расположение полюсов рациональных функций наилучшего приближения. Матем. сб., 1969, Т. 80(122), с. 281-289.

13. Мамедханов Дж.И. О неравенствах типа С.М. Никольского. Тр. матем. ин-та АН СССР, 1987, Т. 180, с. 118-119.

14. Математическая энциклопедия. М.: Наука, 1979, Т. 2.

15. Махмудов Х.М. О функциях с близкими значениями наименьших уклонений от полиномов и рациональных функций. Матем. сб., 1991, Т. 182, с. 1657-1668.

16. Махмудов Х.М. О рациональных аппроксимациях функций комплексного переменного в интегральных метриках. Диссертация на соискание ученой степени кадидата физико-математических наук. Москва, 1989.

17. Никольский С.М. Неравенства для целых функций конечной степени и их применение в теории дифференцируемых функций многих переменных. Тр. МИАН, 1951, Т. 217, с. 135-181.

18. Пекарский А.А. Наилучшие равномерные рациональные приближения функций Маркова. Алгебра и анализ, 1995, Т. 7, с. 121-132.

19. Пекарский А.А., Ровба Е.А. Равномерные приближения функций Стилтьеса посредством ортопроекции на множество рациональных функций. Матем. зам., 1999, Т. 65, выпуск 3, с. 362-368.

20. Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций. M.-JL, Гостехиздат, 1950.

21. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. М: Наука, 1979.

22. Суетин П.К. Многочлены, ортогональные по контуру. УМН, 1966, Т. 21, выпуск 2(128).

23. Уолш Дж.Л.Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области. М., ИЛ, 1969.

24. Федоров В.М. Курс функционального анализа. Изд. "Лань", 2005.

25. Фихтенгольц Г.М.Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.2, М., Наука, 1969.

26. Andersson J.-E. Rational approximation to function like xa in integral norms. Analysis Math., 1988, V. 14, Af 1, p. 11-25.

27. Duren P.L. Theory of Hp spaces. Academic Press (New York-London), 1970.

28. Duren P.L.,Romberg B. W., Shields A. L. Linear functionals on Hp spaces with 0 < p < 1. J. Reine Angew. Math., 1969, V. 238, p. 32-60.

29. Hadamard J. Essai sur I'etude des functions donnes par leur developpment de Taylor. Journal de mathematiques pures et appliques, 1892, Ser. 4, V. 8, p. 1-86.

30. Hadamard J. Oeuvres de Jaques Hadamard. Paris, 1968, Ed. du Centre nat. de la rech. sci., V. 1, p. 7-93.

31. Montessus de Bailor R. Sur les fractions continnes algebriques. Bull. Soc. Math.France,1902,Л/" 30, p. 266-336.

32. Newman D.J. Quadrature formulae for Hp functions. Math. Z., 1979, V. 166, p. 111-115.

33. Petrushev P.P., Popov V.A. Rational approximation of real function. Cambridge University Press, 1987.

34. Sewell W.E. Generalized derivatives and approximation by polynomials. Trans, of the Amer. Math. Soc., 1937, V. 41, p. 84-123.

35. Szego G. Uber orthogonale Polynome, die zu einer gegeben Kurve der kom-plexen Ebene gehoren. Math. Z., 1921, V. 9, p. 218-270.

36. Walsh J.L. Uber den Grad der Approximation einer analytischen Funktio-nen. Munchner Beirichte, 1926, p. 223-229.

37. Мочалина Е.П. Об одном критерии аналитической продолжимости функции с отрезка. УМН, 2003, Т.58 Вып. 6, с. 161-162.

38. Мочалина Е.П. Достаточные условия к мероморфного продолжения функций. Вести. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика, механика, Я 4, 2004, с. 14-19.

39. Вячеславов Н.С., Мочалина Е.П. О рациональных аппроксимациях функций типа Маркова-Стилтьеса. Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского, материалы международной летней школы-конф., 2004, Т. 20, с. 54-55.

40. Вячеславов Н.С., Мочалина Е.П. О наилучших рациональных приближениях функций Маркова-Стилтьеса. Воронеж, ВГУ, Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы конф, 2005, с. 64-65.